Mechanika - Rugókra merőleges rezgés forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 1.]]
[[Kategória:Szerkesztő:Gombkötő]]
[[Kategória:Mechanika]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika gyakorlat 1.
| témakör     = Mechanika - Rezgések I.
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex># (*6.9.) Két vízszintes helyzetű $D$ rugóállandójú rugó közé $m$ tömegű anyagi pontot erősítünk, amely vertikálisan kis amplitúdóval rezgéseket végez. A két rugó összhossza nyugalmi állapotban $l_0$, megfeszítve $l$. Határozzuk meg a rezgési frekvenciát, mint $l$ függvényét, ha kis amplitúdójú rezgéseket engedünk csak meg. Vizsgáljuk az $l\rightarrow l_0$ határesetet! [[Kép:Kfgy1-6-9.svg|none|250px]]</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Írjuk fel a rugó hosszváltozásás pontosan a Pitagorasz-tétel segítségével, majd közelítsük kis változásokra. Ne felejtsük el a rugóerőt a mozgás irányára vetíteni!}}{{Végeredmény|content=Az effektív rugóállandó $$D_{\rm{eff}}=D\frac{l-l_0}l,$$ ezzel számolható a frekvencia az ismert összefüggéssel.}}</wlatex></includeonly><noinclude>
== Megoldás ==
<wlatex>A rezgési frekvencia meghatározásához fel kell írni a rugókra merőleges irányú mozgásegyenletet, azaz a visszatérítő erőt az ez irányú kitérés függvényében. Mivel a két rugó azonos hatású, kezelhetjük a feladatot úgy is, hogy csak egy rugót tekintünk, és a testet úgy képzeljük, mintha egy függőleges súrlódásmentes sínen tudna csúszkálni. Az erre az esetre meghatározott effektív rugóállandó kétszerese lesz a valóságos a két rugó esetén. 
$x=0$ egyensúlyi helyzet esetén a rugó megnyúlása $l-l_0$. Kimozdítva onnan a rugó hossza $l$ helyett már $l_2$, és $$x^2+l^2=l_2^2$$. A rugóerő $F_r=-D(l_2-l_0)$, de ez rugóirányú, ennek csak az $x$ irányú vetülete jelenik meg az $x$ irányú mozgásegyenletben. A sín és a rugó által bezárt szöget $\alpha$-val jelölve $$F_x=F_r\cos{\alpha}=F_r\frac xl_2$$ $l_2$ a fenti Pitagorasz-tételből kifejezhető, azonban a mozgásegyenlet így még túl általános, nem harmonikus rezgést ír le, ehhez ugyanis alkalmazni kell a kis kitérés közelítését is.
Erre számos módszer kínálkozik. Az egyik az $l_2(x)$ függvény sorbafejtése, ez $$l_2(x)=\sqrt{x^2+l^2}=l\sqrt{1+\frac{x^2}{l^2}}\approx l\left(1+\frac{x^2}{2l^2}\right)$$ Ennek második tagja $F_x$ kifejezésébe beírva összességében $x$-ben harmadrendű, tehát elhagyható, ami azt is jelenti, hogy $l_2$ elsőrendű közelítésben egyenlő $l$-el, mivel a sorfejtésben nincs $x$-el arányos lineáris tag, csak másodrendű $x^2$-tel arányos. Így a visszatérítő erő végül: $$F_x\approx -D(l-l_0)\frac xl,$$ vagyis az effektív rugóállandó $$D_{\rm{eff}}=D\frac{l-l_0}l$$ 
A másik lehetőség a Pitagorasz-tétel négyzetes alakjának teljes differenciálját képezni, mindkét oldalon a saját $x$ és $l_2$ változó szerint. (Emlékezzünk, hogy $l$ minimális, de előfeszített hossz adott állandó paraméter!) Ebből: $2x\rm dx=2l_2\rm dl_2$ kapható, azaz a rugó kis hosszváltozása $$\rm dl_2=\frac{x}{l_2}\rm dx=\cos{\alpha}\rm dx$$ Ez utóbbi alakot egy megfelelő rajzból is felírhattuk volna, amely a sínen történő kis $\rm dx$ elmozdulást a rugó kis $\rm dl_2$ megnyúlásával veti össze, ez lett volna a harmadik, grafikus módszer.[[Kép:Kfgy1-6-9M.svg|none|250px]] A rugóerő ezt a közelítést felhasználva $$F_r=-D(l_2-l_0)=-D(l+\rm dl_2-l_0)=-D(l-l_0+\cos{\alpha}\rm dx)$$ önmagában még látszólag lineáris $dx$-ben, de $\cos{\alpha}$ szintén kicsi ($<<1$) és a kis kitéréssel arányos, tehát ez a tag másodrendű, így elhagyható. H azonban ezt ebből még nem látnánk, képezzük $F_x$-et: $$F_x=-D(l-l_0)\cos{\alpha}-D\cos^2{\alpha}\rm dx$$ Mivel kis kitérésekre $\alpha\approx 90^{\circ}$, így $\cos{\alpha}\ll 1$ és $\cos^2{\alpha}\ll \cos{\alpha}$, tehát a második tag még akkor is elhagyható, ha $\rm dx$ összemérhető $l-l_0$ előfeszítéssel.
Összességében tehát azt látjuk, hogy előfeszítés nélkül nem lesz harmonikus rezgés, mivel annak frekvenciájára nulla adódna. (Lásd feszítetlen gitárhúr) Másodsorban a relatív előfeszítés számít, és annak négyzetgyökével arányos a frekvencia. Harmadrészt $l\gg l_0$ esetén (azaz $l\rightarrow\infty$ határesetben) visszakapjuk a rugó $D$ állandóját.</wlatex>
</noinclude>