Nagyfrekvenciás jelek terjedésének fizikai alapjai forrásának megtekintése

__TOC__

==Bevezetés==
<wlatex>
A laborgyakorlat célja, hogy a nagyfrekvenciás ($f>1-10~\textrm{MHz}$) méréstechnika és jelátvitel területén felmerülő alapfogalmakat és jelenségeket bemutassa. A legfontosabb amit érdemes megjegyezni az, hogy az alacsony frekvenciás hálózatok vizsgálatakor megszokott leírásmódok nagyobb frekvenciákon érvényüket vesztik, és a hagyományos áramköri jelenségeken túlmutató, szokatlan jelenségek lépnek fel, mint pl. a jelek reflexiója. A fizika szempontjából itt a Maxwell-egyenletek nagyfrekvenciás, azaz hullámjelenségeket is figyelembe vevő alkalmazásáról van szó kábelek esetére.

A XIX. század közepén felmerült az igény a nagy távolságokra történő adattovábbításra, akár kontinensnyi távolságokban, pl. tenger alatti kábelek segítségével. (Az első transzatlanti kábelt 1858-ban helyezték üzembe.) Hamar kiderült, hogy a vezetékben történő jeltovábbításánál lényeges a hullámjelenségek figyelembevétele. Ez a technológiai fejlődés és igény az elméleti leírásra időben közel volt a Maxwell-egyenletek (1861) megszületéséhez. A vezetékben terjedő hullámjelenségek leírását ma mint az ún. ''távíróegyenleteket'' ismerjük. Ez a Maxwell-egyenletek által megjósolt elektromágneses hullámjelenségek egyik gyakorlati alkalmazása, és e leírás gyakorlati sikere is inspirálóan hatott az elektromágneses sugárzás későbbi felfedezésére (Hertz, 1886).

A fizikus tanulmányok során eddigiekben felmerült egyenáramú (DC) és alacsony frekvenciás váltóáramú (AC) hálózatok vizsgálatakor nem törődtünk azzal, hogy a jel terjedési sebessége véges. Feltételeztük, hogy adott ponton feszültséget kapcsolva egy áramkörre az pillanatszerűen megjelenik minden azonos potenciálú helyen. Mindez nyilvánvalóan érvényét veszíti, amikor a jel számára szükséges terjedési idő, $t=d/c$ (itt $d$ a kábel hossza, $c$ a közegben érvényes fénysebesség), összemérhető a jel periódusidejével: $t \approx 1/f$ (a gyakorlatban inkább a $10 \cdot t \approx 1/f$ feltétel a használatos). Például a transzatlanti kábel esetére az így kapott frekvencia $f=6~\textrm{Hz}$. Ez az eredmény azt jelenti, hogy a hullámjelenségek figyelembe vétele nélkül a transzatlanti kommunikáció csak ennél lényegesen alacsonyabb frekvencián, mai szóhasználattal kb. $6~\textrm{Hz}$ ''sávszélességen'' (azaz 6 bit/sec) mehetne csak végbe.

A hullámjelenségek figyelembevétele a modern kommunikációs eszközöknél még fontosabb, mivel pl. 9 GHz-es vivőfrekvenciára (ami egy elterjedt kommunikációs sáv) a hullámhossz mindössze 3 cm. Egy  másik gyakorlati példánk a számítógépek, melyek tipikusan 2-3 GHz-es jelekkel dolgoznak ($\lambda \approx 10~\textrm{cm}$), melyeket 10-20 cm távolságra juttatnak el, így itt nyilvánvalóan szükséges a hullámjelenségek figyelembevétele az áramkörök tervezésekor. A későbbi tanulmányaink során hasonló jelenségekkel találkozhatunk az ''Önálló labor'' tárgy NMR (magmágneses-rezonancia) és ESR (elektronspin-rezonancia) laborgyakorlatain.
</wlatex>


==Elméleti háttér==
<wlatex>
===A távíróegyenletek===
Tekintsük a jelet továbbító vezeték egy infinitezimálisan kicsi darabját, ami az 1. ábrán látható. Ezt legáltalánosabban egy soros, ún. ''elosztott ellenállás'', $\widetilde{R}$ (egysége Ohm per méter), ''elosztott induktivitás'', $\widetilde{L}$ (egysége Henry per méter), ''elosztott kapacitás'', $\widetilde{C}$ (egysége Farád per méter), és  a két drót közti ''elosztott vezetés'', $\widetilde{G}$ (egysége Siemens per méter) jellemzi.
A soros ellenállás oka a vezetékdarabokban lévő veszteség, az induktivitás oka pedig az, hogy az egyes drótdarabokat mágneses tér veszi körbe, ezért lesz egyetlen drótszálnak is önindukciója. A $\widetilde{G}$ írja le a két vezetékdarab közti elektromos vezetést, ami akkor is jelen van, ha nagyon jó dielektrikum választja el a két vezetőt egymástól. Mivel a két drót nincs azonos potenciálon, ezért lesz köztük a $\widetilde{C}$ kapacitás.
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:vezetek_sema.png|közép|300px|]]
|-
| align="center"|1. ábra: A jelterjedésben vizsgált vezeték egy darabjának áramköri modellje.
|}
Látható, hogy a fenti értékek közül $\widetilde{R}$ értéke elsősorban a vezető anyagi minőségétől függ (értéke nagyfrekvencián a ''skin-effektus'' miatt megnő), azonban $\widetilde{L}$, $\widetilde{C}$ és $\widetilde{G}$ értéke nagyban függ attól, hogy a két drót egymáshoz képest hogyan helyezkedik el (pl. sodort érpárra $\widetilde{L}=0$, de $\widetilde{C}$ értéke nagy). Egymástól adott távolságra elhelyezkedő drótpár esetére $\widetilde{L}$ értéke fix, viszont $\widetilde{C}$ nagyban függ a környező dielektrikumtól (utóbbi probléma a sós víz miatt a transzatlanti kábelnél merült fel). Mindezen problémákra kínál megoldást a koaxiális kábel (Heaviside, 1880), amiben a földelt külső vezetéken belül helyezkedik el a másik drót. Ennek előnye, hogy minden paramétere jól definiált, mind az elektromos, mind a mágneses erővonalak belül a két koaxiális vezeték között helyezkednek el, amint azt a 2. ábra mutatja. A korábbi merev falú, levegővel kitöltött koaxiális kábeleket mára a rugalmas dielektrikummal kitöltött kábelek váltották fel (tipikusan $\varepsilon_{\text{r}}=2-3$ és $\mu_{\text{r}}=1,0$).
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:koax_abra.png|közép|300px|]]
|-
| align="center"|2. ábra: A koaxiális vezeték keresztmetszete az elektromos és mágneses tér $\underline{\textit{\textbf{E}}}$, ill. $\underline{\textit{\textbf{B}}}$ vonalaival a kábel alapvető, ún. TEM00 módusára. A belső vezetéken változó feszültség van, míg a külső leggyakrabban le van földelve.
|}

A koaxiális kábelek hosszegységre eső kapacitására és önindukciós együtthatójára e két paraméter definíciójából adódik:
$$
\widetilde{C}=\frac{2 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_{\text{r}}}{\ln(D/d)}, \qquad \widetilde{L}=\frac{\mu_0 \mu_{\text{r}}\ln(D/d)}{2\pi},
$$
ahol $D$ az árnyékolás belső átmérője és $d$ a kábel belső vezetőjének külső átmérője, $\varepsilon_0$ és $\mu_0$ az ismert fizika állandók, $\varepsilon_{\text{r}}$ és $\mu_{\text{r}}$ az anyagra jellemző paraméterek.

A távíróegyenletek bemutatásához a legegyszerűbb eset tárgyalásához feltesszük, hogy mindkét drót tökéletes vezető ($\widetilde{R}=0$) és tökéletesen szigetelt egymástól ($\widetilde{G}=0$), tehát a jelenség csak $\widetilde{L}$ és $\widetilde{C}$-től fog függeni. (A teljesen általános eset is megoldható, csak bonyolultabb eredményekre vezet.) Ekkor mind a feszültség ($U(x,t)$), mind az áram ($I(x,t)$) hely- és időfüggő lesz, és leírásukra a következő két csatolt, lineáris, elsőrendű parciális-differenciálegyenlet adódik (Heaviside, 1880):
$$
\begin{aligned}
\frac{\partial U(x,t)}{\partial x}=-\widetilde{L} \frac{\partial I(x,t)}{\partial t}\\
\frac{\partial I(x,t)}{\partial x}=-\widetilde{C} \frac{\partial U(x,t)}{\partial t}.
\end{aligned}
$$
Ezek a távíróegyenletek a Maxwell-egyenletekből véges differenciák segítségével elemi úton levezethetők. További összevonással két ekvivalens hullámegyenletet kapunk mind az áramra, mind a feszültségre:
$$
\begin{aligned}
\frac{\partial^2 U(x,t)}{\partial t^2}=\frac{1}{\widetilde{L}\widetilde{C}}\frac{\partial^2 U(x,t)}{\partial x^2}\\
\frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial t^2}=\frac{1}{\widetilde{L}\widetilde{C}}\frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial x^2}.
\end{aligned}
$$
Az ismert alakú hullámegyenletekből leolvasható, hogy a kábelben terjedő zavar sebessége $v=\frac{1}{\sqrt{\widetilde{L}\widetilde{C}}}$, és a legáltalánosabb megoldás a feszültségre és áramra:
$$
\begin{aligned}
U(x,t)=U^+ f(\omega t- k x)+U^-f(\omega t+ k x)\\
I(x,t)=I^+ f(\omega t- k x)+I^-f(\omega t+ k x),
\end{aligned}
$$
ahol $\omega$ a terjedő hullám körfrekvenciája, $k=\omega/v$ pedig a hullámszáma. $U^+$ és $U^-$ a pozitív, illetve negatív $x$ irányba terjedő jel amplitúdója, $f$ egy tetszőleges függvény. Vegyük észre, hogy a $v$ mennyiség dimenziója valóban m/s.

Egy speciális eset az, amikor a kábelen csak egy irányba haladó hullám van jelen. Ez a megoldás:
$$
\begin{aligned}
U(x,t)=U_0 e^{i(\omega t- k x)}\\
I(x,t)=I_0 e^{i(\omega t- k x)}.
\end{aligned}
$$
Ezt a speciális megoldást a távíróegyenletekbe visszaírva azt kapjuk, hogy a feszültség és áram aránya a haladó hullámra:
$$
\frac{U(x,t)}{I(x,t)}=\sqrt{\frac{\widetilde{L}}{\widetilde{C}}}=Z_0,
$$
ahol a $Z_0$ ellenállás dimenziójú mennyiséget a kábel hullámimpedanciájának nevezzük.
</wlatex>


===Visszaverődések a kábel végéről===
<wlatex>
A hullámegyenlet konkrét megoldását a kezdeti és peremfeltételek (pl. a drót végén előírt amplitúdó) ismeretében kaphatjuk meg. Középiskolás hangtani jelenségekkel analóg a következő két eset: amikor a koax kábel végét rövidre zárjuk ($Z_{\text{l}}=0$), ill. amikor a koax kábel végén szakadás van ($Z_{\text{l}}=\infty$). E két esetet szemlélteti a 3. ábra. Amennyiben a vezeték hossza és a gerjesztő hullám frekvenciája között jól meghatározható összefüggések állnak fenn ($d=n  \cdot \lambda/2$ a zárt végre és $d=(2n+1)  \cdot \lambda/4$ nyitott végre, $n$ egész), a vezeték mentén  feszültség állóhullámok alakulnak ki. A csomó- és duzzadóhelyeket a jól ismert bezárt illetve nyitott végű síppal való analógia alapján kaphatjuk meg. E két esetet a hanghullámokra vonatkozó analógia alapján úgy érthetjük meg, hogy mind a lezárt, mind a nyitott végről visszaverődik a hullám, és a kábelmenti feszültségben látható állóhullám kép az odafelé haladó és visszavert hullámok interferenciájának eredménye. A DC áramköröknél szerzett ismeretek azt mondanák, hogy a feszültség a rövidre zárt drótpárban végig 0, míg a szakadásos végű drótpárra végig a meghajtó generátor feszültségét veszi fel.
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:aramkor_lezarassal_new.png|közép|400px|]]
|-
| align="center"|3. ábra: Sematikus áramkör szinuszos meghajtó generátorral aminek $Z_{\textrm{f}}$ kimenő ellenállása van, koaxiális vezeték aminek a végén $Z_{\textrm{l}}$ lezáró impedancia van. A generátorból jön ki a teljes teljesítmény ha $Z_{\textrm{f}}=Z_0$. A lezárás három értékére vonatkozó vezetékbeli feszültség eloszlást is mutatjuk 20 pillanatfelvételre, amikor $d=5 \lambda$. Vegyük észre, hogy $Z_{\textrm{f}}=Z_0$ esetén a vezetékben homogén a feszültség maximuma, $Z_{\textrm{f}}=0$ esetén mindkét végén csomópont van (ekkor forráson is 0 feszültséget mérünk), és $Z_{\textrm{f}}=\inf$ esetén mindkét végén duzzadóhely van. 
|}
A nagyfrekvenciás adat- vagy energiaátvitel nyilvánvalóan azt követeli meg, hogy a kábel végéről ne legyen visszaverődés. Az A. függelékben megmutatjuk, hogy ez akkor lép fel, amennyiben a lezáró impedanciára fennáll:
$$
Z_{\text{l}}=Z_0\,,
$$
ahol $Z_0=\sqrt{\widetilde{L}/\widetilde{C}}$ a vezeték hullámimpedanciája. Amennyiben ez a feltétel nem teljesül, akkor a visszavert és a kábel végére érkező hullámok amplitúdójának arányára fennáll:
$$
\Gamma=\frac{Z_{\text{l}}-Z_0}{Z_{\text{l}}+Z_0},
$$
ahol $\Gamma$ az ún. reflexiós tényező; $Z_{\text{l}}$ komplex értéke mellett $\Gamma$ is komplex, ami azt fejezi ki, hogy a visszavert hullám fázisa nem többszöröse $\pi$-nek. Vegyük észre, hogy a két fentebb tárgyalt határesetben, $Z_{\text{l}}=0$ és $Z_{\text{l}}=\infty$, amikor is maximális a reflexió $\pi$, ill. 0 fokos fázistolással visszavert hullámmal.

A leggyakrabban használt koaxiális kábelek hullámimpedanciája $50~\Omega$. Ez az érték megállapodásból született, és a 60-as évektől kezdve elterjedt ipari sztenderd lett. Néhány helyen találkozhatunk még $75~\Omega$-os koaxiális kábelekkel is. Érdekességképp ezen értékek és az $50~\Omega$ történeti hátteréről olvashatunk a B. függelékben.

A DC és alacsony frekvenciájú (néhány kHz-es AC) eszközöknél megszokhattuk, hogy egy ideális feszültség forrás belső ellenállása $0~\Omega$, míg ideális feszültségmérő bemenő ellenállása végtelen. A nagyfrekvenciás hálózatoknál minden mérőeszköz bemenő és kimenő ellenállása $50~\Omega$, mivel ekkora hullámimpedanciájú kábeleket csatlakoztatunk hozzájuk. Amennyiben egy adott hullámimpedanciájú vezetéket az ennek megfelelő ellenállással zárunk le, úgy nem alakulnak ki állóhullámok (hiszen nincs reflexió a végről), és a teljes vezeték hosszában azonos feszültséget mérhetünk.
</wlatex>


===A lezáró impedancia===
<wlatex>
A kábelt lezáró impedancia megvalósításának egy érdekes esetét mutatja a 4.a ábra. Az áramkör sajátossága, hogy valós 50 &Omega; impedanciájú lezárást valósít meg, miközben nem tartalmaz jelentős rezisztív elemet a tekercs kis ellenállásán kívül. A 4.b ábra mutatja az áramkörben párhuzamosan kapcsolt $C_{\text{T}}$ és $L$ impedanciájának $Z_{\text{par}}$, valós és képzetes részeit $C_{\text{T}}=217~\textrm{pF}$ és $L=1~\mu\textrm{H}$ esetére, és feltettük, hogy a tekercsnek van egy kicsi, kb. 1 &Omega;-os valós ellenállása is. (A gyakorlaton használt vörösréz ($\varrho=1,7\cdot 10^{-8}\Omega\text{m}$) tekercsünk 0,5 m hosszú, 1 mm átmérőjű, ennek DC ellenállása 11 m&Omega;. 10 MHz-en a behatolási mélység 20 &mu;m, ezért az ellenállása felmegy 130 m&Omega;-ra.) Az áramkör ezen részére 10 MHz-en az impedancia valós része 50 &Omega;, míg a képzetes rész nagy pozitív értékű (440 &Omega;), amit a sorba kötött $C_{\text{M}}=36~\textrm{pF}$-os kondenzátorral tudunk kompenzálni. Így el tudjuk érni azt, hogy ez az áramkör valós 50 &Omega; impedanciájú lezárásnak tűnjön. Ezt az áramkört a magmágneses rezonancia spektroszkópiában használják rádiófrekvenciás pulzusok adás-vételére.
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:NMR_aramkor_uj.png|közép|600px|]]
|-
| align="center"|4. ábra: a) Rezisztív elemet nem tartalmazó áramkör, ami behangolható a kábel hullámimpedanciájára. A példánkban csak a $C_{\text{M}}$ értékét változtatjuk. b) Az áramkörbeli párhuzamosan kapcsolt $C_{\text{T}}$ és $L$ rész impedanciájának, $Z_{\text{par}}$ valós és képzetes része a frekvencia függvényében konkrét értékekre (a 10 MHz alatti rész 10 szeresre van nagyítva). Vegyük észre, hogy 10 MHz-en a képzetes rész nagy pozitív értékű miközben a valós rész 50 &Omega;.
|}
Az 5. ábrán mutatjuk a 4.a ábra áramkörének reflexióját, $\left|\Gamma\right|$, a frekvencia függvényében a
$C_{\text{M}}$ illesztő kondenzátor három értékére. Az optimálisan beállított $C_{\text{M}}$ érték mellett a reflexió nullává válik.
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:NMR_aramkor_reflexio.png|közép|300px|]]
|-
| align="center"|5. ábra: A bemutatott áramkörről történő reflexiós tényező, $\left|\Gamma\right|$, a frekvencia függvényében a szövegben megadott paraméterekkel a $C_{\text{M}}$ három értékére: optimális (36 pF), annál kisebb (20 pF), illetve nagyobb (65 pF). Utóbbi két esetet nevezik alul- , ill. túl-csatolt esetnek is. Vegyük észre, hogy a $C_{\text{M}}$ optimális értéke mellett a reflexió 0-vá válik egy adott frekvencián, míg egyébként véges értékű minden frekvencián.
|}
</wlatex>


===Visszaverődések vizsgálata===
<wlatex>
A reflexiók jelenlétét kétféleképpen vizsgálhatjuk, a forrás kimenő feszültségének vizsgálatával és ún. ''duplexer'' segítségével. Az első esetben az oszcillátor forrás kimenetére BNC T elosztót teszünk, majd az így kettéosztott jelet küldjük egy hosszú (pl. 10-25 m) vezetékbe, egy rövidebb (pl. 0,5 m) BNC kábellel pedig egy oszcilloszkópra tesszük a jelet. Az oszcilloszkóp bemenetére is egy másik T-vel 50 &Omega;-os lezárást teszünk. A forrás frekvenciájának függvényében a hosszú vezeték lezárásának értékétől függően az oszcilloszkópon lévő jel nagysága változik. Ebből pl. a jel terjedési sebességét a kábelen vagy ennek ismeretében a kábel hosszát meg tudjuk határozni.
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:hybrid_tee_uj.png|közép|300px|]]
|-
| align="center"|6. ábra: Az esetünkben használt duplexer, vagy ''hybrid magic tee'' (típusa Anzac HH107, 2-200 MHz) sematikus ábrája. A duplexeren a csatlakozók másképp helyezkednek el, mint ezen a sematikus ábrán, figyeljünk a jelölésekre!
|}
A duplexer egy általános fogalom, lényege, hogy lehetőséget ad arra, hogy egy forrásból egy kábel felé elküldött jelre meghatározhassuk a kábel felől reflektált feszültséget. Esetünkben a rádiófrekvenciás duplexer egy ún. ''hybrid magic tee'', amit a 6. ábra mutat és működését a C. függelékben mutatjuk meg. A duplexer lényege, hogy pl. az $A$ bemenetére adott feszültséget elosztja a $C$ és $D$ portok között, miközben a $C$ port felé a fázist is elforgatja. (A ''hybrid magic tee''-re jellemző, hogy a portok között van egy kismértékű (10%) áthallás is.) A jel terjedési irányát megfordítva: az $A$ porton a $C$ és $D$ portokra adott feszültségek különbsége jelenik meg: $D-C$. A mi esetünkben a reflexiók vizsgálatára a ''hybrid magic tee'' használatakor $A$: a forrás, $D$: az oszcilloszkóp CH1, 50 &Omega;-os lezárással, $C$: a reflexióra bevizsgált kábel, $B$: az oszcilloszkóp másik bemenete 50 &Omega;-mal lezárva. Ha a $B$ porton 0 feszültséget mérünk, akkor a bevizsgált kábelen nincs reflexió.
</wlatex>


===A Smith chart===
<wlatex>
Az ún. ''Smith chart'' egy gyakran használt grafikus segédeszköz a az áramkörök frekvenciafüggő tulajdonságainak vizsgálatára és a felmerülő problémák megoldására. A ''Smith chart''-on többféle mennyiséget is megjeleníthetünk, mint pl. impedancia, admittancia, reflexiós tényező, állóhullámarány stb.
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:Smith_chart_reflexio_uj2.png|közép|600px|]]
|-
| align="center"|7. ábra: A kábelvégről történő reflexió esetén kapott ''Smith chart'', a kör sugarának és a körív nevezetes pontjainak bejelölésével. Az ábrához tartozó kísérleti elrendezést is mutatjuk. A vízszintes és függőleges tengelyek a sugár egységeiben vannak mérve.
|}
A 7. ábrán mutatjuk a $Z_{\text{L}}$ terhelő ellenállással lezárt kábelvégről történő reflexió esetén a reflexiós tényező képzetes részét a valós rész függvényében:
$$
\Gamma=\frac{V_{\text{visszavert}}}{V_{\text{bejövõ}}}.
$$
A kapott görbét a kábel $l$ hossza parametrizálja, a nevezetes pontjait az ábrán bejelöltük, azaz amikor $l$ értéke a hullámhosszhoz képest megadott értékeket vesz fel. A kör sugara $r=\frac{Z_{\text{L}}-50}{Z_{\text{L}}+50}$, itt a sugár előjeles mennyiségként értendő, tehát negatív előjel esetén a $\Gamma=0$ pontra tükröződik a kör. A reflexiós tényező valós és képzetes részeit a kábel végéről visszavert jel -- kiadott jelhez képesti -- fázisának mérésével kaphatjuk meg.

A 4.a ábrai áramkörrel történő lezárás esetére mutatjuk a reflexiós tényező képzetes részét a valós rész függvényében. Jól láthatóan kör alakul ki, aminek a frekvencia a paramétere. Az optimális (vagy kritikus) csatolás esetén a kör átmegy a Smith chart origóján.
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:Smith_chart_NMR_uj.png|közép|300px|]]
|-
| align="center"|8. ábra: A reflexiós tényező valós és képzetes részei ábrázolva egymás függvényében a 4.a áramkör esetére az impedanciaillesztés három esetére. A körök paramétere a frekvencia, aminek a határértékeit bejelöltük.
|}
A 8. ábrán a 4.a ábrai áramkörrel történő lezárás esetére mutatjuk a reflexiós tényező képzetes részét a valós rész függvényében. Jól láthatóan kör alakul ki, aminek a frekvencia a paramétere. Az optimális (vagy kritikus) csatolás esetén a kör átmegy a Smith chart origóján.
</wlatex>


==Mérési feladatok==
A mérést két alkalomra bontva fogjuk elvégezni.

===I. A kábelvégi reflexió vizsgálata (első mérési alkalom)===
<wlatex>
====1. Oszcilloszkóppal====

Itt oszcilloszkóppal mérjük meg a kábelvégi reflexió hatását a forrás kimenetére.

*1. Vegyük fel oszcilloszkóp segítségével a nagyfrekvenciás jelgenerátor kimenetének feszültségét a lezáró impedancia három esetére (0,  50 &Omega; és szakadás) a frekvencia (0,001 MHz-15 MHz) függvényében a mérőprogrammal. (''Segítség:'' BNC T a forrás kimenetén, egyik vége oszcilloszkópon minél rövidebb dróttal 50 &Omega;-mal lezárva, másik végén egy ismert hosszúságú BNC kábel, mérőeszköz leírás a D. függelékben. A forrás 2-es kimenetére triggereljük az oszcilloszkópot. A mérőprogramban a ''rflabor <startfreq> <stopfreq> <numberofpoints>'' paranccsal tudjuk a frekvencia változtatása mellett felvenni az oszcilloszkóp 1-es csatornáján mért jel nagyságát és az 1-es és 2-es csatornán mért jel egymáshoz viszonyított fázisát. A ''save'' paranccsal tudjuk elmenteni a mérésünk eredményét. A ''readscope'' paranccsal fel tudjuk venni az oszcilloszkópon éppen látható jelet.)
*2. A kapott görbék segítségével határozzuk meg a kábelbeli jel terjedési sebességét. Ebből határozzuk meg a BNC kábelben lévő dielektrikum $\epsilon_{\text{r}}$ relatív dielektromos állandóját ($\mu_{\text{r}}=1$), és írjuk le röviden, hogy a módszer hogyan használható egy elszakadt kábelban a szakadás helyének meghatározására.

====2. Duplexerrel====

Itt a ''hybrid magic tee'' (Tee a továbbiakban) segítségével vizsgáljuk a kábelvégi reflexiót. A vizsgált frekvenciatartomány: 2-20 MHz.

*3. A Tee bekötése: $A$ - a forrás, $D$ - a oszcilloszkóp CH2 (trigger forrás), 50 &Omega;-os lezárással, $C$ - az oszcilloszkóp másik bemenete, CH1 50 &Omega;-mal lezárva. Ekkor a CH1 és CH2-n ellentétes fázisú jelet kell látunk, amit vegyünk is fel (''readscope'' parancs)! A következő esetben: $A$ - a forrás, $D$ - oszcilloszkóp CH2, 50 &Omega;-os lezárással, $C$ - 50 &Omega;-mal lezárva, $B$ - az oszcilloszkóp másik bemenete, CH1 50 &Omega;-mal lezárva. Ideális esetben ekkor 0 jelet kellene látnunk, azonban a duplexer tökéletlensége miatt mégis látunk egy kis jelet CH1-en, amit vegyünk is fel!
*4. A Tee segítségével vegyük fel a kábel végéről visszavert jel nagyságát a frekvencia függvényében (2-15 MHz), úgy mint az előző feladatban, de a $C$-re a reflexióra bevizsgált kábelt helyezzük, rövidre zárva, lezáratlanul és 50 &Omega;-mal lezárva. Milyen az oszcilloszkóp CH1-en mért jele a frekvencia függvényében erre a három esetre és miért? (''Segítség:'' a duplexer mindhárom esetben a visszavert jel nagyságát mutatja meg, ami nem interferál a forrás jelével. Ezért itt nem várjuk olyan állóhullámképek kialakulását mint az I/1/1. feladatban.) Vizsgáljuk meg, hogy 10 MHz-es frekvencián a CH1 csatornán látható jelhez képest hogyan változik CH2-n látható jel fázisa akkor, amikor a kábel végét rövidre zárjuk, vagy lezáratlanul hagyjuk. Ehhez vegyük fel e két esetre az oszcilloszkóp jelét!
Az első feladatban 1 kHz-15 MHz intervallumban vizsgáltuk a jelterjedést, a negyedikben, a duplexerrel a 2 MHz-15 MHz intervallumon. Mi miért szűkítettük a sávot? Az előző feladatot végezzük el az 1 kHz-15 MHz sávban is. Mit tapasztalunk?

====3. Pulzus kábelvégi reflexiójának vizsgálata====

*5. A jelgenerátoron állítsunk be 1 MHz-es frekvenciájú szinusz jelet. A BURST megnyomása után beállítható, hogy a generátor e jel hány periódusát küldje ki milyen ismétlési idővel. Az I/2/4. mérési feladatbeli összeállítást használjuk fel arra, hogy a 25 m-es kábel végéről történő reflexiót megmérjük. Az oszcilloszkóp jelét vegyük fel, és a visszavert pulzus időkésésének tekintsük az összetartozó fázisú jelek közti időkülönbséget. Mit látunk a rövidzár, szakadás és 50 &Omega;-os lezárás eseteire? Az impulzus visszaverődési idejéből határozzuk meg a kábelbeli fénysebességet, és a kapott eredményt hasonlítsuk össze I/1/2. mérési feladat eredményével. Próbáljuk ki ugyanezt, ha nem szinusz, hanem négyszögjelet használunk, és az így kapott jelalakokat is vegyük fel! A szakadást tartalmazó koaxiális kábelen látott reflexióból számoljuk ki a szakadás helyzetét.
</wlatex>

===II. A lezáró impedancia vizsgálata (első alkalom)===
<wlatex>
*6. A 4.a ábrán látható áramkört csatlakoztassuk a Tee segítségével a forrásra az eddigi ismeretek alapján úgy, hogy az áramkörről történő reflexiót vizsgálhassuk. Állítsuk be a $C_{\text{M}}$ trimmer kondenzátor értékét úgy, hogy az áramkörről minimális legyen a reflexió egy adott frekvencián! Ekkor olyan reflexiós görbét kellene kapnunk mint amit az 5. ábrán mutatunk. Segítség: a multiméter segítségével állítsuk a $C_{\text{M}}$-et úgy, hogy kb. 30 pF-on legyen. (A forgókondenzátor a doboz hátoldalán levő banánhüvelyekhez van csatlakoztatva.) Ekkor látnunk kell egy reflexió minimumot 10 MHz körül. Közel erre a frekvenciára álljunk rá, és a jelgenerátor frekvenciája és a trimmer kondenzátor együttes állításával érjük el, hogy a minimális reflexió értéke kisebb legyen mint a minimumtól távoli frekvencián mért reflexió 10%-a! Alternatív, bár lassabb módszer az, ha folyamatosan a ''freqswe'' paranccsal felvesszük a reflexiót úgy, hogy közben a $C_{\text{M}}$ értékét változtatjuk, ekkor az 5. ábrán mutatottakhoz hasonló görbéket figyelhetünk meg.
*7. Vegyük fel az áramkörről reflektálódó jelet a frekvencia függvényében legfeljebb 1-2 MHz szélességben! Mérjük meg a $C_{\text{M}}$ értékét. Számítsuk ki, hogy mekkora $C_{\text{M}}$ érték mellett lesz az áramkör impedanciája $50+i\cdot 0~\Omega$ , és hasonlítsuk össze a két értéket. A  tekercs és a párhuzamos kapacitás adatai az alkatrészeket tartalmazó dobozról leolvashatók.
</wlatex>

===III. Szórt kapacitás mérése koaxiális kábelen (második alkalom)===
<wlatex>
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:szortkapacitas_uj.png|közép|200px|]]
|-
| align="center"|9. ábra: Kábel szórt kapacitásának mérésére alkalmas összeállítás
|}
*8. Egy koaxiális kábel két vezetője egy kis kapacitású kondenzátort alakít ki. Rakjuk össze a 9. ábrán látható kapcsolást egy rövid és egy 20 m-es koaxiális kábellel. A mérőprogram segítségével mérjük meg az átviteli karakterisztikáját több bemenő frekvenciára. Figyeljük meg, hogy a hosszabb kábel használata esetén a kapcsolás mint aluláteresztő szűrő viselkedik. Mérjük meg ugyanezt a két kábelt négyszögjelet használva. Figyeljük meg, hogy a felfutás ideje különbözik a két kábelre. A mérések eredményéből határozzuk meg a kábel hosszegységre eső kapacitását.
</wlatex>

===IV. Fénysebesség mérése szabad térben (második alkalom)===
<wlatex>
*9. Rakjuk össze az adó egységet a függvénygenerátor és az adó antennaként használt tekercsből. A függvénygenerátoron állítsunk be egy négszögjelet. A függvénygenerátor másik kimenetére kössük a kb. 20 m-es kábellel az oszcilloszkóp egyik bemenetét. Az oszcilloszkóp másik bemenetére kössük a vevő antennát. A négyszögjel felfutásához és lefutásához kapcsolódó jelet mérünk a vevőnkkel.
*10. Rögzítsük a jelet az adó és vevő közeli helyzete mellett, majd távolítsuk egymástól az adót és a vevőt, amennyire a kábelek engedik. Figyeljük meg, hogy a referencia és az antennával mért jel helyzete változik egymáshoz képest. Mérjük a meg az elmozdulás miatti eltolódás idejét és az adó és a vevő távolságát. A kapott értékekből számoljuk számoljuk az elektromágneses hullám szabadtéri terjedési sebességét.
</wlatex>

==Függelék==
===A. A reflexiós tényező származtatása===
<wlatex>
Korábban láthattuk, hogy a kábelen egy irányban haladó jelre a feszültség és áram aránya minden időpillanatban és a kábel minden helyén a $Z_0$ hullámimpedancia. Azonban amikor a kábel vége egy tetszőleges $Z_{\textrm{l}}$ impedanciával van lezárva, akkor a lezáráson a feszültség és áram hányadosának ekkora értéket kell felvennie. Ezért alakul ki reflektált hullám, mert ez biztosítja, hogy a lezáráson ez a feltétel matematikailag fennálljon.

Vegyük fel úgy az $x$ koordinátát, hogy a lezáráson legyen $x=0$. Erre az esetre a távíróegyenletek megoldásai két egymással szemben terjedő haladó hullám mind a feszültségre mind az áramra, úgy, hogy a két iránybeli amplitúdók nem feltétlenül azonosak:
$$
U(x)=U^+_0 e^{i(\omega t +k x)}+U^-_0 e^{i(\omega t -k x)}\\
I(x)=\frac{U^+_0}{Z_0} e^{i(\omega t +k x)}-\frac{U^-_0}{Z_0} e^{i(\omega t -k x)},
$$
ahol $U^+_0$ és $U^-_0$ a lezárás felé, illetve attól távolodva haladó hullám. Vegyük észre az áram kifejezésében a második tag negatív előjelét, ami a távíróegyenletből adódik. Ennek a megoldásnak teljesítenie kell az $\frac{U(x=0)}{I(x=0)}=Z_{\textrm{l}}$ feltételt, azaz:
$$
Z_{\textrm{l}}=\frac{U^+_0+U^-_0}{U^+_0-U^-_0} Z_0,
$$
amiből adódik a visszavert hullám amplitúdójára:
$$
U^-_0=\frac{Z_{\textrm{l}}-Z_0}{Z_{\textrm{l}}+Z_0} U^+_0.
$$
Ebből közvetlenül adódik a korábbiakban bevezetett $\Gamma$ reflexiós tényező, ami a $
\Gamma=\frac{U_{\text{visszavert}}}{U_{\text{bejövõ}}}$ képlet szerint adódik.
</wlatex>

===B. Érdekességek a témakörből===
<wlatex>
====A kábelek impedanciaillesztésének szerepe====

A reflexiókat kábelvégi szakadások vizsgálatára lehet felhasználni. Kémregényekben ezzel a módszerrel vizsgálják meg, hogy egy kábelra valaki rámért-e, illetve azt is meg lehet vele határozni, hogy hol történt a rámérés. A mérés lényege, hogy akármennyire is kis perturbációként történik meg a kábelra a rámérés, az meg fogja változtatni egy adott ponton a vezeték hullámimpedanciáját, ami a kábelról történő reflexió megváltozásához vezet. A rámérés helye a frekvenciafüggő reflexiós együtthatóból határozható meg.

A fizikában semmi sem véletlen: ha két fizikai állandóból származtatható egy adott dimenziójú harmadik állandó, akkor annak legtöbbször van valami fizikai tartalma. Így van ez pl. a fluxuskvantummal (h/2e), vagy a Bohr-magnetonnal ($e\hbar/2m_{\text{e}}$), melyek a megfelelő fizikai mennyiségek kvantumai. Ismert a $c=1/\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}$ összefüggés, ami a fénysebesség és az elektromágneses egységek kapcsolatát írja le. Hasonlóan, a $\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}$ mennyiségnek is van fizikai tartalma. Ennek dimenziója Ohm, értéke kb. 377 &Omega; és a vákuum impedanciájának nevezzük.

A vákuum hullámimpedancia fizikai jelentése a következő. Az elektromos és mágneses térerősségek hányadosából vákuumban terjedő elektromágneses sugárzásra: $Z_0=|\textbf{E}|/|\textbf{H}|=\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}$ ez azt jelenti, hogy a vákuumba kisugárzó és onnan vevő antennáknak ilyen impedanciával kell ideálisan rendelkeznie. Másfelől ez az összefüggés, összehasonlítva a koaxiális kábelekkel azt jelenti, hogy utóbbiban kisebb az elektromos tér nagysága a mágneseshez képest mint a szabad térben terjedő elektromágneses sugárzás, ennek elsődleges oka, hogy a koaxiális kábelekben $\varepsilon_{\text{r}}>1$ (tipikusan 2,5 körüli).

Láttuk a bevezetőben, hogy a jelterjedés számára előnyös a koaxiális kábelek használata, azonban néhány helyen, pl. audiotechnikában, távközlésben találkozunk egyéb preferált impedanciákkal pl. 8, 150, vagy 600 &Omega;. Mindezeknek történeti háttere van, pl. a 600 &Omega; oka, hogy a hagyományos, nem koaxiális távíró vonalaknak (két rézdrót egymástól 1 láb távolságra) ekkora volt a hullámimpedanciája. Az első távolsági telefonok ezeket a vezetékeket használták, ezért egy időben a 600 &Omega; volt a távközlési sztenderd. Később a csavart rézdrótpár terjedt el aminek 150 &Omega; a hullámimpedanciája. Napjainkban igen elterjedt az ún. UTP (''unshielded twisted pair'') kábel a számítógépes hálózati alkalmazásokhoz, melynek 100 &Omega; a hullámimpedanciája.

A koaxiális kábelek elterjedésével felmerült a kérdés, hogy melyik hullámimdepancia legyen a sztenderd. Érdekes módon erre nem kapunk egyértelmű választ, több forrásból merítve ([http://www.highfrequencyelectronics.com/Archives/Jun07/HFE0607\_Editorial.pdf [1]], [http://www.rfcafe.com/references/electrical/history-of-50-ohms.htm [2]],[http://www.microwaves101.com/encyclopedia/why50ohms.cfm [3]],[http://en.wikipedia.org/wiki/Coaxial\_cable [4]]) a következő történetet találjuk.

A hullámimpedancia három egymástól független, technikailag fontos paraméterben jelenik meg: a maximális teljesítményátvitelben (optimális ha $Z_0=30~\Omega$), a nagyfeszültségű elektromos letörés maximumában (optimális ha $Z_0=60~\Omega$), és az átvitt jel veszteségének minimumában (optimális ha $Z_0=77~\Omega$). A korai (1920-as évek) rádiófrekvenciás gyakorlatban a források teljesítménye alacsony volt, ezért a 77 &Omega;-os kábelek terjedtek el. Mivel nem léteztek jó és rugalmas dielektrikumok, ezért a vezetékek két egymásba helyezett koaxiális csőből álltak, melyeket levegő töltött ki.

50 &Omega;-os vezetéket kapunk ha egy 3/4 colos rézcsövet egy 2 colos rézcsőbe helyezünk (mindkettő elterjedt méret az USA-ban), ezért ez a megoldás az 1930-as évektől elterjedt a nagyteljesítményű rádiófrekvenciás adások kisugárzására. Amikor egy 77 &Omega;-os vezetéket feltöltünk polietilénnel ($\varepsilon_{\text{r}}=2.3$) akkor az impedanciája 51 &Omega; lesz, ami szintén az 50 &Omega; felé mutat. Egy másik szempont az, hogy a két fent emlitett érték, 30 és 77 &Omega;, számtani közepe 53,5 &Omega;, mértani közepe 48 &Omega;, ezért az 50 &Omega; egy jó kompromisszum a veszteség és teljesítményátvitel között: ugyanazzal a kábellel tudunk nagyenegeriájú jelet adni és venni. Egy érdekes szempont még az, hogy egy koaxiális kábel amire a belső vezető és külső árnyékolás átmérőjének aránya ránézésre "szép", kb. 50 &Omega;-os hullámimpedanciájú lesz.

Az 50 &Omega; elterjedtsége ellenére találunk még gyenge videójelek átvitelénél 75 &Omega;-os kábelt, ami a veszteségre optimális, illetve 93 &Omega;-os kábelt pl. számítógép és monitorok összekötésére. A 93 &Omega;-os hullámimpedanciájú kábelnél a hosszegységre eső kapacitás a legalacsonyabb, ezért ennek a nagyfrekvenciás levágási frekvenciája a legnagyobb. Emiatt a négyszögjelek is jobban, torzításmentesen kerülnek átvitelre.

====Egyéb példák impedanciaillesztésre, mechanika és optikai területéről====

Impedanciaillesztéssel nem csak kábelekben terjedő elektromágneses hullámok, hanem fény és hanghullámok esetén is találkozhatunk. Hanghullámok terjedésekor nagyon különböző törésmutatójú közegek határára érkezve a hanghullámok visszaverődnek, ahelyett, hogy áthaladnának. Az orvosi ultrahangos vizsgálatokban használt zselé tölti be azt a szerepet, hogy az emberi test és a hanghullámot adó berendezés között illeszti az impedanciát. A bizonyos hangszereken található tölcsér és a hangszórók geometriai kialakítása is a hangadó és a környező levegő közötti impedancia illesztést végzik.

Az egyik sokat vizsgált mechanikai példánkban, két test rugalmas ütközésekor, a maximális energiaátadás a két test között akkor történik meg, amikor a két test tömege egyenlő. Ez is felfogható, mint "mechanikai impedancia illesztés".

Optikai problémáknál azt találjuk, hogy a fény visszaverődik olyan közegek határáról, melyek törésmutatója nem azonos. A törésmutató, $n$, reciprokát azonosíthatjuk az optikai vagy hullámimpedanciával: $Z=n^{-1}$. Az $n_1$ törésmutatójú közegből $n_2$ törésmutatójú közegbe haladó hullámra a reflektált hullám amplitúdójára azt kapjuk, hogy $r=\frac{Z_2-Z_1}{Z_1+Z_2}$. Ezt az összefüggést az optikában Fresnel-egyenletekként ismerik. Egy hétköznapi példája a szemüvegek lencséjéről történő reflexió (csillogás) ami megfelelő, ún. ''antireflex'' burkolattal szüntethető meg. Ebben az esetben az antireflex réteg végzi az impedanciaillesztés szerepét.
</wlatex>

===C. A rádiófrekvenciás duplexer===
<wlatex>
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| [[Fájl:duplexer_transformator_uj.png|közép|300px|]]
|-
| align="center"|C1. ábra: Az esetünkben használt rádiófrekvenciás duplexer megvalósítása. A fekete pontok a transzformátorok tekercsein az azonos fázisban lévő pontokat mutatják. Vegyük észre, hogy a menetszámok aránya nem 1:1, hanem minél jobban megközelíti az $1:1/\sqrt{2}$ arányt.
|}

A rádiófrekvenciás duplexer megvalósításának sémáját a C1. ábrán mutatjuk. Lényege, hogy a feszültségeket ferritmagos transzformátorokkal választjuk a portok között szét, vagy éppenséggel egyesítjük két port bemenő jelét. A transzformátorok tulajdonsága alapján az egyes portokon mérhető feszültségek között a következő összefüggések adódnak:

$$
V_{\text{A}}=\left(V_{\text{D}}-V_{\text{C}}\right)/\sqrt{2}\\
V_{\text{B}}=\left(V_{\text{C}}+V_{\text{D}}\right)/\sqrt{2}\\
V_{\text{C}}=\left(V_{\text{B}}-V_{\text{A}}\right)/\sqrt{2}\\
V_{\text{D}}=\left(V_{\text{A}}+V_{\text{B}}\right)/\sqrt{2}.
$$

Látható, hogy ezen feszültségek közötti összefüggések éppen annak a sematikának felelnek meg, amit a 6. ábrán mutatunk. Tehát pl. a $C$ port feszültsége az $A$ és $B$ portok feszültségeinek különbsége. Az energiamegmaradást megvizsgálva azt láthatjuk, hogy ha pl. $A$ és $B$ portokon érkezik be jel, akkor az a $C$ és $D$ portok között oszlik el, de nem egyenlően hanem attól függő intenzitás aránnyal, hogy a két jel fáziskülönbsége mekkora egymáshoz képest. Ha a fáziskülönbség éppen $\pi/2$, akkor az intenzitások egyenlően oszlanak el.
</wlatex>

===D. A mérőeszközök használata===
<wlatex>
'''Tektronix oszcilloszkóp'''. A digitális oszcilloszkóp alapvető használatát ismertnek tételezzük fel. A ''TRIGGER'' gomb megnyomása után választható ki a csatorna, amire triggerelünk (kijelző alatti gombokkal érhető el a trigger menü almenüje), a ''VERTICAL MENU''-ben a kijelzőtől jobbra elhelyezett gombokkal tudjuk a megfelelő kijelzett csatornákat beállítani. Célszerű a forrásból kijövő referencia jelre triggerelni, vagy a duplexerrel történő méréseknél a duplexer referencia (általában $D$) kimenetére. Az oszcilloszkóppal akkor tudjuk a lehető legkisebb hibával megmérni a feszültséget ha a mérendő jel éppen kitölti a képernyőt, vagy annál kis mértékben (maximum 20%) nagyobb. A frekvenciabeállítás akkor optimális ha a szinuszos jel néhány (2-5) periódusát látjuk.

'''Siglent SDG1025 jelgenerátor'''. A megfelelő jelalak az erre dedikált funkciógombokkal érhetőek el. A függvény paraméterei (''frequency'', ''amplitude'' stb.) a kijelző melletti gombok megnyomása után megadható. A két csatorna közti váltást a ''CH1/2'' gombbal tudjuk megtenni. A beállított jelalak kimeneten való megjelenítéséhez a kimeneti csatlakozók feletti ''OUTPUT'' gombokat kell megnyomni.

'''A mérőprogram'''. A Desktopon lévő ''RF\_Labor.Ink'' nevű parancsikont elindítva a program menüsora alatt találunk egy parancssort (''command line'') ahová az ''rflabor'', ''readscope'' vagy ''save'' parancsokat írhatjuk be. 

Az '''''rflabor''''' paranccsal mérhetjük meg a frekvencia sweepet. A program beállítja a generátort a megfelelő értékekre, majd mindig kiolvassa az oszcilloszkóp 1-es csatornájára kötött jel nagyságát, majd az 1-es és 2-es csatorna közti fáziskülönbséget. A parancs elindításához 3 paraméter szüksége, melyeket egy szünettel kell elválasztani: a kezdő frekvencia, a végső frekvencia és a mérési pontok száma.

A '''''readscope''''' paranccsal beolvashatjuk az oszcilloszkóp által mért jelalakot.

Az '''''save''''' paranccsal elmenthetjük a mérésünk eredményeit egy ASCII fájlba.
</wlatex>

===E. A mérőkód===
<wlatex>
A mérőkód C# nyelven készült el a Visual Studio 2013-as verzióját használva. A program USB porton keresztül VISA protokolt használva kommunikál a mérőműszerekkel. A VISA protokoll használatakor rövid szöveges parancsokat adunk a műszereknek, amik szintén szöveges üzenetekkel válaszolnak. Példának következik az oszcilloszkópot kiolvasó függvény kódja:
A mérőkód C# nyelven készült el a Visual Studio 2013-as verzióját használva. A program USB porton keresztül VISA protokolt használva kommunikál a mérőműszerekkel. A VISA protokoll használatakor rövid szöveges parancsokat adunk a műszereknek, amik szintén szöveges üzenetekkel válaszolnak. Példának következik az oszcilloszkópot kiolvasó függvény kódja:
<syntaxhighlight lang="csharp">
public static Curve read()
{
	Curve r = new Curve();
	
	double ch1scale = double.Parse(VISA.Query(VISAaddress, "CH1:SCAL?"));
	double ch1offset = double.Parse(VISA.Query(VISAaddress, "CH1:POS?"));
	double ch2offset = double.Parse(VISA.Query(VISAaddress, "CH2:POS?"));
	double ch2scale = double.Parse(VISA.Query(VISAaddress, "CH2:SCAL?"));
	double timebase = double.Parse(VISA.Query(VISAaddress, "HOR:MAI:SCALE?"));
	double timeoffset = double.Parse(VISA.Query(VISAaddress, "HOR:MAI:POS?"));

	VISA.Write(VISAaddress, "DATA:SOURCE CH1");
	VISA.Write(VISAaddress, "DATA:ENC ASCII");
	VISA.Write(VISAaddress, "DATA:WIDTH 1");
	VISA.Write(VISAaddress, "DATA:START 1");
	VISA.Write(VISAaddress, "DATA:STOP 25000");
	string instring1 = VISA.Query(VISAaddress, "CURV?");
	VISA.Write(VISAaddress, "DATA:SOURCE CH2");\\
	string instring2 = VISA.Query(VISAaddress, "CURV?");

	string[] ch1strings = instring1.Split(',');
	string[] ch2strings = instring2.Split(',');

	for (int i = 0; i < ch1strings.Length; i++)
	    r.Add(\\
	    (double)i / (ch1strings.Length) * timebase * 10 + timeoffset - 5 * timebase,
	    (double.Parse(ch1strings[i]) - ch1offset * 25) / 25 * ch1scale,
	    (double.Parse(ch2strings[i]) - ch2offset * 25) / 25 * ch2scale
	    );

	return r;
}
</syntaxhighlight>
</wlatex>