„Kvantált Hall-jelenség” változatai közötti eltérés
155. sor: | 155. sor: | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
− | + | {| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | |
− | [[Fájl:ciklotron.jpg|közép| | + | |- |
− | + | | align="center"|[[Fájl:ciklotron.jpg|közép|130px]] | |
+ | |- | ||
+ | | align="center"|7. ábra. | ||
+ | |} | ||
Nagy mágneses térben azt várjuk, hogy az elektronok egy középponti $r$ kordináta körül nagyon kis, $\approx r_c$ sugarú ciklotronmozgást végeznek. Klasszikusan az elektron éppen aktuális $r$ helyzetét | Nagy mágneses térben azt várjuk, hogy az elektronok egy középponti $r$ kordináta körül nagyon kis, $\approx r_c$ sugarú ciklotronmozgást végeznek. Klasszikusan az elektron éppen aktuális $r$ helyzetét | ||
189. sor: | 192. sor: | ||
$$\hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{U} = \hat{H}_0 + \hat{U}_{bezaro} + \hat{U}_{flukt}$$ | $$\hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{U} = \hat{H}_0 + \hat{U}_{bezaro} + \hat{U}_{flukt}$$ | ||
− | + | {| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | |
− | [[Fájl:QHall_potential.png|közép|350px | + | |- |
− | + | | align="center"|[[Fájl:QHall_potential.png|közép|350px]] | |
+ | |- | ||
+ | | align="center"|8. ábra. ''Landau-szintek módosulása a a minta szélénél a bezáró potenciál, illetve a minta közepében jelentkező fluktuáló potenciál miatt'' | ||
+ | |} | ||
Az U potenciált perturbációként kezelve, és feltételezve hogy U lassan változik a hullámfüggvény tipikus kiterjedéséhez, $r_c$-hez képest (azaz elegendően nagy a mágneses tér) az energiária egyszerűen | Az U potenciált perturbációként kezelve, és feltételezve hogy U lassan változik a hullámfüggvény tipikus kiterjedéséhez, $r_c$-hez képest (azaz elegendően nagy a mágneses tér) az energiária egyszerűen | ||
212. sor: | 218. sor: | ||
a minta széelinél találunk állapotokat a bezáró potenciálnak köszönhetően, a minta belsejében egy ''tiltott sávot'' tapasztalunk a Fermi energia és a betöltött Landau szint között. Ebben az esetben elektrontranszport csak a minta szélei mentén megengedett, ahol az elektronok energiája metszi a Fermi energiát. Mivel a minta két szélét elválasztó makroszkópikus méretű tartományban az elektrontranszport nem megengedett, így a minta két széle között nem történhet átszóródás. | a minta széelinél találunk állapotokat a bezáró potenciálnak köszönhetően, a minta belsejében egy ''tiltott sávot'' tapasztalunk a Fermi energia és a betöltött Landau szint között. Ebben az esetben elektrontranszport csak a minta szélei mentén megengedett, ahol az elektronok energiája metszi a Fermi energiát. Mivel a minta két szélét elválasztó makroszkópikus méretű tartományban az elektrontranszport nem megengedett, így a minta két széle között nem történhet átszóródás. | ||
− | + | {| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | |
− | [[Fájl:QHall_elallapot.png|közép|350px | + | |- |
− | + | | align="center"|[[Fájl:QHall_elallapot.png|közép|350px]] | |
+ | |- | ||
+ | | align="center"|9. ábra. ''A tömbi Landau-szintektől távol áram csak az élállapotok mentén folyhat, a két él között nincs átszóródás'' | ||
+ | |} | ||
Vizsgáljuk meg a minta felső széle mentén az elektronpályák középpontjának mozgását. Korábban kiszámolt képletünk alapján: | Vizsgáljuk meg a minta felső széle mentén az elektronpályák középpontjának mozgását. Korábban kiszámolt képletünk alapján: | ||
225. sor: | 234. sor: | ||
A Hall-ellenállás meghatározásához az élállapotokon keresztül folyó áramot is meg kell határoznunk. Először számoljuk ki, hogy egy élállapot $d\epsilon$ szélességű energiatartománya mekkora járulékot ad az áramhoz. | A Hall-ellenállás meghatározásához az élállapotokon keresztül folyó áramot is meg kell határoznunk. Először számoljuk ki, hogy egy élállapot $d\epsilon$ szélességű energiatartománya mekkora járulékot ad az áramhoz. | ||
− | + | {| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | |
− | [[Fájl:BezaroPot2.jpg|közép|150px | + | |- |
− | + | | align="center"|[[Fájl:BezaroPot2.jpg|közép|150px]] | |
+ | |- | ||
+ | | align="center"|10. ábra. | ||
+ | |} | ||
A $d\epsilon$ energiatartomány $dy$ szélességű térbeli tartománynak felel meg az él mentén, ahol $d\epsilon/dy$ a potenciál y szerinti deriváltja. Korábbi számolásaink alapján az elektronok sebessége $v=(1/e B)\cdot (\mathrm{d} \epsilon/\mathrm{d} y)$, az elektronsűrűség pedig $n=2eB/h$, így az áramra | A $d\epsilon$ energiatartomány $dy$ szélességű térbeli tartománynak felel meg az él mentén, ahol $d\epsilon/dy$ a potenciál y szerinti deriváltja. Korábbi számolásaink alapján az elektronok sebessége $v=(1/e B)\cdot (\mathrm{d} \epsilon/\mathrm{d} y)$, az elektronsűrűség pedig $n=2eB/h$, így az áramra | ||
$$I=j \mathrm{d} y = n e v \mathrm{d} y = \frac{2 e}{h} \mathrm{d} \epsilon$$ | $$I=j \mathrm{d} y = n e v \mathrm{d} y = \frac{2 e}{h} \mathrm{d} \epsilon$$ | ||
adódik. | adódik. | ||
− | + | {| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | |
− | [[Fájl:BezaroPot3.jpg|közép|150px | + | |- |
− | + | | align="center"|[[Fájl:BezaroPot3.jpg|közép|150px]] | |
+ | |- | ||
+ | | align="center"|11. ábra. | ||
+ | |} | ||
Mivel $\mu_1-\mu_2=e V$ esetén a felső él mentén $eV$-vel magasabb energiáig vannak betöltve az állapotok mint az alsó él mentén, így a mintén folyó teljes áram | Mivel $\mu_1-\mu_2=e V$ esetén a felső él mentén $eV$-vel magasabb energiáig vannak betöltve az állapotok mint az alsó él mentén, így a mintén folyó teljes áram | ||
$$I=\frac{2 e}{h} e V.$$ | $$I=\frac{2 e}{h} e V.$$ |
A lap 2013. július 9., 07:55-kori változata
SZERKESZTÉS ALATT!
Klasszikus Hall-effektus
A Hall-effektust 1879-ben Edwin Hall fedezte fel. A jelenség lényege, hogy ha egy síkszerű elektromos vezetőben a síkra merőleges mágneses tér jelenlétében áram folyik, akkor a vezető két oldala között az elektronokra ható Lorentz-erő miatt feszültség jelenik meg.
1. ábra. Hall-jelenség méréséhez használt elrendezés |
A Hall-jelenséget általában az 1. ábrán bemutatott Hall-elrendezésben szokták mérni. Az irányú
áram az 1. és 2. kontaktus között folyik. Ha a mérést zérus mágneses térben végezzük, akkor a 4. és 5. kontaktus között (
irányban) nem mérünk feszültséget. A 3. és 4. kontaktus között mért
longitudinális feszültség és az áram arányából pedig a minta négypont ellenállását kapjuk meg.
A minta síkjára merőleges (
irányú) mágneses teret kapcsolva a 4. és 5. kontaktus között
Hall-feszültség jelenik meg, melynek az értéke a mágneses tér nagyságával lineárisan változik (2. ábra, piros görbe). A 3. és 4. kontaktus között (kismértékű mágneses ellenállástól eltekintve) továbbra is a zérus térben tapasztalt longitudinális ellenállást mérjük (2. ábra, kék görbe).
2. ábra. Hall-feszültség és longitudinális feszültség változása a mágneses térrel |
A Hall-jelenség jól leírható klasszikus, Drude-közelítésben. Az egyszerűség kedvéért számoljunk két dimenzióban. Az elektronok impulzusának idő szerinti deriváltját az elektronokra ható erők összegeként kapjuk meg. A
elektromos, illetve
Lorentz erő mellett figyelembe vesszük azt is, hogy a a kristályban történő szóródások következtében az elektronok átlagosan
momentumrelaxációs idő alatt elveszítik impulzusukat:
![\[m \frac{dv}{dt}=-eE-ev \times B - m \frac{v}{\tau_m}.\]](/images/math/a/4/0/a40d7310b8c331638a3c505446d0b0ac.png)
A sebesség helyett vezessük be a áramsűrűséget, ahol
az elektronok (kétdimenziós) sűrűsége.
Az egyenletet átrendezve az alábbi mátrixegyenletet kapjuk az elektromos tér és az áramsűrűség komponensei között:
![\[\left( \begin{array}{c} E_x \\ E_y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} m/e^2 n \tau_m & B/e n \\ -B/e n & m/e^2 n \tau_m \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} j_x \\ j_y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \rho_{xx} & \rho_{xy} \\ \rho_{yx} & \rho_{yy} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} j_x \\ j_y \end{array} \right).\]](/images/math/a/f/f/affb8c8691fb45b35bac75ddd96f23ca.png)
Az áramot irányba folyatva és
irányú feszültséget mérve a minta longitudinális ellenállását a
fajlagos ellenállásból kaphatjuk meg a geometriai faktorokkal történő skálázás után.
A fenti számolásból jól látszik, hogy véges mágneses térben irányú áram esetén
irányú feszültség is megjelenik. A Hall-ellenállást a 4. és 5. kontaktusok között megjelenő
Hall-feszültség és az
áram hányadosaként definiáljuk. Két dimenzióban ez megegyezik az
irányú elektromos tér és az
irányú áramsűrűség arányával:
![\[R_H=\frac{V_H}{I}=\frac{E_y}{j_x}=\rho_{yx}=-\frac{B}{e n}\]](/images/math/5/8/2/58234e322c92b4a0dc30a97ef948cd91.png)
Egyszerű számolásunkból jól látszik, hogy a Hall-ellenállás a mágneses térrel egyenesen arányos, és ezen kívül csak az elektronok sűrűségétől függ, azaz az
relaxációs idő a longitudinális ellenállástól eltérően a Hall-ellenállásban nem jelenik meg. Ennek köszönhetően a Hall-ellenállás mérése általánosan bevett módszer félvezetők elektronsűrűségének meghatározására. Érdemes megjegyezni, hogy
-típusú félvezetőkben, azaz amikor az áramot nem elektronok, hanem lyukak vezetik, a Hall-ellenállás előjelet vált. A Hall-jelenséget -amellett hogy a szilárdtestfizika alapvető mérési módszerei közé tartozik- a hétköznapokban is gyakran használjuk különböző elektronikai eszközökben elhelyezett mágneses tér szenzorok formájában.
Hall-jelenséget elsősorban félvezetőkben szoktak tanulmányozni, hiszen az alacsony elektronsűrűség miatt a Hall-ellenállás viszonylag könnyen mérhető. Fémekben a nagy elektronsűrűség miatt a Hall-ellenállás értéke sokkal kisebb, de precíziós műszerekkel fémekben is vizsgálható a Hall-jelenség. Mindezekről a fizikushallgatók maguk is meggyőződhetnek a Hall-effektus c. hallgatói mérés során.
Kvantált Hall-effektus
Klaus von Klitzing meglepő felfedezése
A Hall jelenséget megfelelően nagy tisztaságú kétdimenziós elektrongázban (2DEG) és elegendően nagy mágneses térben vizsgálva nagyon meglepő jelenséget tapasztalunk. A Hall ellenállás a lineáris térfüggés helyett lépcsőszerűen változik, a longitudinális ellenállás pedig zérus értéket vesz fel () azokban a mágneses tér tartományokban, ahol a Hall ellenállás vízszintes platót mutat (lásd ??? ábra).
3. ábra. Kvantált Hall-jelenség, forrás: Wikipedia |
A kvantált Hall ellenálás értékeket egy univerzális állandó és egy egész szám hányadosaként kapjuk meg:
![\[R_H=\frac{h}{e^2 n}, \;\;\;n=0,1,2,\dots,\]](/images/math/9/8/2/98210ceb9358c0a152f4f1b27ddc3485.png)
ami a spin degeneráció miatti 2-es szorzótól eltekintve a vezetőképesség kvantálás képletének felel meg.
A tapasztlatok szerint a kvantált értékek függetlenek a minta alakjától, méretétől, anyagától, és
kísérletileg meghatározott értékei akár
pontossággal leírhatók a fenti egyszerű képlettel, azaz a kvantált Hall platók ellenállás standardként is jól használhatók.
A kvantált Hall jelenséget Klaus von Klitzing fedezte fel 1980-ban. Pár évvel később (1985-ben) felfedezését Nobel díjjal jutalmazták.
A következő Nobel díj: tört számű kvantált Hall-effektus
A kvantált Hall-jelenség felfedezése óriási érdeklődést váltott ki, és nem kellett sokat várni újabb meglepő kísérleti eredményekre. [Daniel Tsui] és [Horst Störmer] kísérletei 1982-ben megmutatták, hogy még tisztább kétdimenziós elektrongázban és még nagyobb mágneses térben a Hall ellenállás
![\[R_H=\frac{h}{e^2 \nu},\;\;\; \nu=\frac{p}{q}, \;\;\; p,q=0,1,2,\dots\]](/images/math/2/c/8/2c80ed0473db25bb0c2e968af88c9c06.png)
értékeket vehet fel, ahol már nem egész szám, hanem bizonyos egész számok hányadosa. A Hall platók tartományában
a longitudinális feszültség továbbra is zérus,
.
A későbbiekben látni fogjuk, hogy Klaus von Klitzing felfedezése, az egész számú kvantált Hall-effektus (IQHE, integer quantum Hall effect) egy viszonylag egyszerű modellel magyarázható, melyben az elektronok kölcsönhatását nem kell figyelembe venni. Ezzel szemben Tsui és Störmer méréseiben tapasztalt tört számú kvantált Hall-effektus (FQHE, fractional quantum Hall effect) magyarázatában az elektronok kölcsönhatása fontos szerepet kap, a jelenség úgynevezett kompozit fermion részecskék bevezetésével írható le.
Tsui és Störmer kísérleti felfedezését, illetve Robert Laughlin kísérletekre adott elméleti magyarázatát 1998-ban Nobel díjjal jutalmazták.
A harmadik Nobel-díj: anomális kvantált Hall-effektus grafénban
A kvantált Hall-effektus egy közelmúltban kiosztott Nobel díjjal kapcsolatban is előtérbe került. 2010-ben Andre Geim és Konstantin Novoselov grafénon, azaz egyetlen grafit síkon végzett kísérleteit jutalmazták Nobel díjjal, melynek keretében alapvető jelentőségű volt a grafénon tapasztalható anaomális kvantált Hall-jelenség megmutatása. Grafénon a Hall ellenállás az elektrosztatikus potenciáltól függően egyaránt lehet pozitív és negatív, a kvantált értékek pedig
![\[R_H=\pm\frac{h}{e^2}\frac{1}{4(m+1/2)}, \;\;\; m=0,1,2,\dots \]](/images/math/b/a/6/ba64c8e52cbc399217766186f9a65046.png)
képlet segítségével írhatók le. A kétdimenziós elektrongáz rendszerekkel ellentétben grafénban a kvantált Hall-effektus szobahőmérsékleten is megfigyelhető.
4. ábra. Anomális kvantált Hall-jelenség grafénban |
A továbbiakban az egész számú kvantált Hall jelenség leírását szemléltetjük. A grafén fizikájáról egy külön fejezetben adunk részletes leírást. Előadások: IQHE: ujkisnano, Mezo I. FQHE: komplexnano, Mezo I (v. II?) grafén QHE: komplexno
Kétdimenziós elektrongáz mágneses térben, Landau-nívók
Vizsgáljuk egy kétdimenziós szabad elektrongáz viselkedését a 2DEG síkjára merőleges mágneses térben!
5. ábra. Ciklotronpálya mágneses térbe helyezett 2DEG-ben |
Klasszikusan az elektronok ciklotronpályákon mozognak körfrekvenciával, azaz a körfrekvencia nem függ az elektronok sebességétől, csak a mágneses tértől.
![\[e v B = e \omega r B = m \omega^2 r.\]](/images/math/c/0/1/c01220074b7fd19b35cf93a2a0dbc668.png)
A körpálya sugara klasszikusan tetszőleges lehet az elektron sebességétől függően, kvantummechanikai tárgyalásban viszont a körpálya sugarának (illetve a mozgás energiájának) kvantáltságát várjuk. A Bohr - Sommerfeld kvantálási feltétel alapján meghatározhatjuk a lehetséges legkisebb sugarat (ciklotronsugár):
![\[2 \pi r_c = \lambda = \frac{2 \pi \hbar}{p} = \frac{2 \pi \hbar}{m \omega_c r} \;\; \Longrightarrow \;\; r_c=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega_c}}.\]](/images/math/6/6/f/66f1261a573a1cde84b323dcee029c7a.png)
A kvantummechanikai viselkedés részletesebb leírásához oldjuk meg a rendszer Schrödinger egyenletét. A Hamilton operátor:
![\[\hat{H}=\frac{1}{2}m(\hat{v}_x^2+\hat{v}_y^2),\]](/images/math/0/4/c/04c528a1e299169f635a16f257773bab.png)
ahol a sebességoperátor a képlettel származtatható a kanonikus impulzus operátorból, illetve a vektorpotenciálből. A minta síkjára (x,y) merőleges (z irányú) B térnél
a vektorpotenciál az általánosság megszorítása nélkül vehető úgy, hogy csak x és y komponenssel rendelkezzen, azaz
.
Számoljuk ki a sebességoperátor x és y komponensének az kommutátorát!
![\[[\hat{v}_x,\hat{v}_y]=\frac{1}{m^2}[\hat{p}_x+e\hat{A}_x,\;\hat{p}_y+e\hat{A}_y]=\frac{\hbar e}{i m^2}\left([\partial_x,A_y]+[A_x,\partial_y] \right)=\frac{\hbar e}{i m^2}\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)=\frac{\hbar e B}{i m^2},\]](/images/math/2/b/d/2bd4327b0894bd1f06a3771b988ffb71.png)
azaz:
![\[[\hat{v}_x,\hat{v}_y]=\frac{\alpha}{i},\;\;\;\alpha=\frac{\hbar \omega_c}{m}.\]](/images/math/a/6/0/a602195e6a8162ff96a8e478f8d0d4ab.png)
Vezessünk be új operátorokat: .
Az új operátorok segítségével a Hamilton operátor
![\[\hat{H}=\hbar \omega_c \left(\hat{a}^+\hat{a}+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\hbar \omega_c + \frac{\hbar \omega_c}{2 \alpha}(\hat{v}_x^2+\hat{v}_y^2-i\hat{v}_x\hat{v}_y+i\hat{v}_x\hat{v}_y)=\frac{1}{2}m(\hat{v}_x^2+\hat{v}_y^2)\]](/images/math/5/9/c/59cc717e76eb2820629c684fd6baa5c2.png)
formában írható fel, a két új operátor kommutátora pedig:
![\[[\hat{a},\hat{a}^+]=\frac{1}{2 \alpha}[i\hat{v}_x+\hat{v}_y, -i\hat{v}_x+\hat{v}_y]=1\]](/images/math/4/a/7/4a77c02d04686b81c0c800c3dc635cbd.png)
Látszik, hogy az új operátorok segítségével az egydimenziós harmonikus oszcillátor problémájára vezettük vissza a Schrödinger egyenletet, így további számolás nélkül megállapíthatjuk, hogy a mágneses térben mozgó elektronok lehetséges energiái a harmonikus oszcillátorhoz hasonlóan kvantáltak:
![\[E=\hbar \omega_c (n+\frac{1}{2}).\]](/images/math/8/9/1/891ac508336891b7eceb3b919179baeb.png)
A kvantált energiaszinteket Landau nívóknak hívjuk.
6. ábra. 2DEG állapotsűrűségének energiafüggése zérus ![]() |
Ahogy a ?? ábra mutatja, a mágneses tér bekapcsolása alapvetően megváltoztatja az elektronok állapotsűrűségének energia szerinti eloszlását. Mágneses tér nélkül az elektronok állapotsűrűsége konstans (energiafüggetlen), . Nagy mágneses térben csak a kvantált Landau szinteken helyezkedhetnek el elektronok, ezek a diszkrét energiaszintek viszont szükségszerűen sokszorosan degenerált állapotok. D-szeres degenerációt feltételezve az állapotsűrűség:
. Mivel az elektronok száma a mágneses tér bekapcsolásával nem változik, így feltételezhető hogy egy Landau szinten levő állapotok zérus térben
szélességű energiatartományban helyezkednek el. Így egy Landau szint degenerációja (a spin szerinti degenerációt is figyelembe véve):
![\[D=\hbar \omega_c 2 \frac{A m}{2 \pi \hbar^2}=\frac{2 e B A}{h} \;\; \Longrightarrow \;\; D=\frac{2 \Phi}{\Phi_0}, \Phi_0=\frac{h}{e}\]](/images/math/c/5/6/c56a2430569bfae684078754954f9bff.png)
Így egy teljesen betöltött Landau szinten az elektronsűrűség:
A Landau szintek magasfokó degenerációja mögött szemléletesen az áll, hogy egy ciklotronsugárnak megfelelő tipikus kiterjedésű elektronállapotot a minta felületén összesen
különböző helyre tehetünk le (a spin szerinti degenerációt is figyelembe véve). Ez alapján kis átalakítással
adódik, ahol
, a teljes fluxus,
pedig a fluxuskvantum, azaz naív számolásunkkal egy egy kettes szorzó eltéréssel visszakaptuk a Landau nívók fent kiszámolt degenerációs fokát.
Megjegyzés: a fenti állapotsűrűséges argumentum abból a feltételezésből indul ki, hogy az egyes Landau szintek egyformán degeneráltak. Az egyes landau szintek degenerációjának fokát pontosabban kiszámolhatjuk egy konkrét mértéket választva az ún. Landau mértékben. Ez a számolás is megerősíti a fenti, állapotsűrűségek összevetéséből kapott eredményt. Mivel kifejezetten tanulságos az itt ismertetett mértékinvariáns tárgyalásmódot összevetni a Landau mértékben elvégzett számolással, ezért az utóbbit vázlatosan a ?? függelékben ismertetjük.
Landau szintek megfigyelésének feltételei:
- Az elektron sokszor végig tudja járja a cikl. pályát két szórás között:
nagy B tér, elegendően nagy tisztaság.
-
alacsony hőmérséklet!)
- kevés Landau szint legyen betöltve, kis e sűrűség.
Ciklotron pályák középpontjának mozgása
7. ábra. |
Nagy mágneses térben azt várjuk, hogy az elektronok egy középponti kordináta körül nagyon kis,
sugarú ciklotronmozgást végeznek. Klasszikusan az elektron éppen aktuális
helyzetét
alakban írhatjuk, ahol
a középpontból az aktuális ponta mutató vektor. Körmozgás esetén az elektront körpályán tartó centripetális erőt
alakban írhatunk, ami jelen esetben értelemszerűen a Lorentz erővel egyezik meg. Ez alapján a körpálya középpontját formálisan
![\[r_0 = r-\frac{e}{m \omega^2} v \times B\]](/images/math/c/2/d/c2d6543730e1c3734b301f0156562cf9.png)
alakban írhatjuk.
Játsszunk el a gondolattal, hogy az koordinátát kvantummechanikai tartalommal ruházzuk fel a ciklotronpályák középpontjának helyét leíró operátorként. Komponensenként kifejtve:
![\[\hat{x}_0=\hat{x}-\frac{\hat{v}_y}{\omega_c},\;\; \hat{y}_0=\hat{y}-\frac{\hat{v}_x}{\omega_c}\]](/images/math/2/5/3/253219d5ef2b8038480deebd4297913e.png)
Vizsgáljuk meg, hogy a középponti koordináta várható értéke hogyan változik az idő függvényében:
![\[\frac{d}{d t}\langle\hat{x}_0\rangle = \frac{i}{\hbar} \langle[\hat{H},\hat{x}]\rangle - \frac{i m}{2\hbar\omega_c} \langle[\hat{v}^2_x+\hat{v}^2_y,\hat{v}_y]\rangle = \hat{v}_x - \frac{i m}{2\hbar\omega_c} \langle[\hat{v}^2_x,\hat{v}_y]\rangle = 0,\]](/images/math/d/e/d/deda0c25fb1f424e062d7d7480cf74a5.png)
![\[\frac{d}{d t}\langle\hat{y}_0\rangle = 0,\]](/images/math/6/1/d/61d29b01f81f90dd06e86a2dfc324837.png)
azaz a várakozásoknak megfelelően a ciklotronpályák középpontja nem mozog.
Érdemes kiszámolni a középponti koordináták operátorainak kommutátorát is:
![\[[\hat{y}_0,\hat{x}_0] = \left[\hat{y} + \frac{\hat{v}_x}{\omega_c}, \hat{x} - \frac{\hat{v}_y}{\omega_c} \right] = -\left[\hat{y}, \frac{\hat{p}_y}{m \omega_c} \right] + \left[\frac{\hat{p}_x}{m \omega_c}, \hat{x}\right] - \left[ \frac{\hat{v}_x}{\omega_c}, \frac{\hat{v}_y}{\omega_c} \right] = \frac{\hbar}{i m \omega_c} = \frac{r_c^2}{i}\]](/images/math/d/a/0/da0c4810a2c25218fbbd3c1fc9047572.png)
Tetszőleges két fizikai mennyiség operátorára fenn áll az általános Heisenberg féle határozatlansági reláció, azaz:
![\[\Delta A \cdot \Delta B \geq \frac{1}{2}|\langle[ \hat{A}, \hat{B} ]\rangle|\]](/images/math/0/5/b/05bec0a664f16c6b986ecddecc96718d.png)
Ezt az összefüggést a középponti koordináta két komponensének operátorára vonatkoztatva
![\[\Delta x_0 \cdot \Delta y_0 \geq \frac{r^2_c}{2}\]](/images/math/5/5/3/553157cd43fd417eeb10d946dbecc99e.png)
adódik, azaz a ciklotronpálya középpontjának x és y írányú kvantummechanikai bizonytalanságát összeszorozva pont az ciklotronsugár négyzete köszön vissza, egy elektron legalább
helyet foglal. Ez alapján körszimmetrikus hullámfüggvényt feltételezve a ciklotron pályák x és y irányban is
kiterjedésűek.
Megjegyzés: Landau mérték választása esetén x irányban végtelen kiterjedést, y irányban pedig kiterjedést kapunk, lásd függelék.
Bezáró és random potenciál
Az eddigiekben a Schrödinger egyenletben csak az elektronok kinetikus energiáját vettük figyelembe. Egy valós, véges méretű mintában a minta széleinél jelentkező bezáró potenciált, illetve a felületés töltések és szennyezők hatásaként a minta belsejében jelentkező potenciálfluktuációkat is figyelembe kell venni.
![\[\hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{U} = \hat{H}_0 + \hat{U}_{bezaro} + \hat{U}_{flukt}\]](/images/math/2/8/7/2872fe584b1550695198827d7d319a69.png)
8. ábra. Landau-szintek módosulása a a minta szélénél a bezáró potenciál, illetve a minta közepében jelentkező fluktuáló potenciál miatt |
Az U potenciált perturbációként kezelve, és feltételezve hogy U lassan változik a hullámfüggvény tipikus kiterjedéséhez, -hez képest (azaz elegendően nagy a mágneses tér) az energiária egyszerűen
![\[E=\hbar \omega_c (n+\frac{1}{2}) + \langle \Psi | U | \Psi \rangle \approx E=\hbar \omega_c(n+\frac{1}{2}) + U(x_0,y_0)\]](/images/math/d/a/5/da5f08672e4054bb95629d9a327b26c1.png)
adódik, azaz a kvantált Landau szintek energiáit a hullámfüggvény középpontjánál vett potenciál értékével korrigáljuk.
A véges U esetén az ellektronok mozgását úgy képzeljük el, hogy a gyors ( körfrekvenciájú) és kis (
) területre koncentrált ciklotronmozgás mellett a ciklotronpályák középpontjának koordinátái a potenciál hatására haladó mozgást végeznek. Írjuk fel a mozgásegyenletet
és
-ra:
![\[\frac{d}{d t}\langle\hat{x}_0\rangle = \frac{i}{\hbar} \langle[\hat{H},\hat{x}_0]\rangle = \frac{i}{\hbar} \langle[\hat{H}_0,\hat{x}_0]\rangle + \frac{i}{\hbar} \langle[\hat{U},\hat{x}_0]\rangle = - \frac{i}{\hbar m \omega_c} \langle[\hat{U},\hat{p}_y]\rangle = - \frac{1}{m \omega_c} \langle[U,\partial_x]\rangle = \frac{1}{e B} \langle\frac{\partial U}{\partial y}\rangle \approx \frac{1}{e B} \frac{\partial U(x_0,y_0)}{\partial y_0},\]](/images/math/f/b/3/fb3680bc04becaadd9022b0cb8a4b0cc.png)
ahol megintcsak feltételeztük, hogy a hullámfüggvény kiterjedése kicsi U változásának skáláján. Hasonlóan:
![\[\frac{d}{d t}\langle\hat{y}_0\rangle = -\frac{1}{e B} \langle\frac{\partial U}{\partial x}\rangle \approx -\frac{1}{e B} \frac{\partial U(x_0,y_0)}{\partial x_0}.\]](/images/math/6/e/5/6e54d16bf7d4702c1897619ee2e0e46b.png)
A fentiek alapján számoljuk ki a potenciál változását a pálya mentén, azaz U idő szerinti teljes deriváltját:
![\[\frac{d U}{d t}=\frac{\partial U}{\partial x_0} \cdot \dot{x}_0 + \frac{\partial U}{\partial y_0} \cdot \dot{y}_0 = \frac{c}{e H} \left( \frac{\partial U}{\partial x_0} \frac{\partial U}{\partial y_0} - \frac{\partial U}{\partial y_0} \frac{\partial U}{\partial x_0} \right) = 0.\]](/images/math/7/f/1/7f1c676f027034ba47413a9fcb82bb38.png)
Számolásunk alapján a ciklotronpályák középpontja ekvipotenciális felületek mentén mozog!
Elektron transzport egyetlen Landau nívó esetén
Tételezzük fel olyan mágneses teret, melynél a Fermi energia az első és második Landau szint között helyezkedik el, azaz az első Landau szint teljesen betöltött, a második pedig betöltetlen (lásd ?? ábra). Ebben az esetben a Fermi energiánál
a minta széelinél találunk állapotokat a bezáró potenciálnak köszönhetően, a minta belsejében egy tiltott sávot tapasztalunk a Fermi energia és a betöltött Landau szint között. Ebben az esetben elektrontranszport csak a minta szélei mentén megengedett, ahol az elektronok energiája metszi a Fermi energiát. Mivel a minta két szélét elválasztó makroszkópikus méretű tartományban az elektrontranszport nem megengedett, így a minta két széle között nem történhet átszóródás.
9. ábra. A tömbi Landau-szintektől távol áram csak az élállapotok mentén folyhat, a két él között nincs átszóródás |
Vizsgáljuk meg a minta felső széle mentén az elektronpályák középpontjának mozgását. Korábban kiszámolt képletünk alapján:
![\[\dot{x}_0=\frac{1}{e B} \frac{\partial U_{bezaro}}{\partial y_0} > 0,\]](/images/math/c/1/1/c11add8cf9c52589b6c2d41bdc559315.png)
azaz, mivel a felső élnél a bezáró potenciál y szerinti deriváltja pozitív, így az elektronok pozitív x irányban mozognak. Y irányban a bezáró potenciál nem változik, így az elektronok középpontjának y irányú sebessége zérus. Hasonlóan megállapítható, hogy a minta alsó szélénél az elektronok negatív x irányú mozgást végeznek.
Az előbbi megállapítás önmagában elég ahhoz, hogy a kvantált Hall-effektus egyik meglepő tulajdonságát megértsük. Mivel a felső él mentén csak pozitív irányban haladhatnak az elektronok, és az alsó és felső élállapotok között nem megengedett az átszórás, így a felső él mentén mozgó elektronok mind a baloldali elektródából származnak, azaz kémiai potenciáljuk . Hasonlóképpen az alsó él mentén mozgó elektronok mind a jobb oldali elketródából származnak, azaz
kémiai potenciállal rendelkeznek. Így érthető, hogy egy él mentén mért hosszirányú feszültség zérus, a két él között pedig a két elektróda kémiai potenciál különbségének megfelelő Hall feszültség jelentkezik,
![\[V_{xx}=0,\;\; V_H=(\mu_1-\mu_2)/e.\]](/images/math/3/4/9/349170341559ea0ff96bfbb28a3945c8.png)
A Hall-ellenállás meghatározásához az élállapotokon keresztül folyó áramot is meg kell határoznunk. Először számoljuk ki, hogy egy élállapot szélességű energiatartománya mekkora járulékot ad az áramhoz.
10. ábra. |
A energiatartomány
szélességű térbeli tartománynak felel meg az él mentén, ahol
a potenciál y szerinti deriváltja. Korábbi számolásaink alapján az elektronok sebessége
, az elektronsűrűség pedig
, így az áramra
![\[I=j \mathrm{d} y = n e v \mathrm{d} y = \frac{2 e}{h} \mathrm{d} \epsilon\]](/images/math/5/6/5/56551249a8a9807923bbf6f40aae5f29.png)
adódik.
11. ábra. |
Mivel esetén a felső él mentén
-vel magasabb energiáig vannak betöltve az állapotok mint az alsó él mentén, így a mintén folyó teljes áram
![\[I=\frac{2 e}{h} e V.\]](/images/math/4/9/9/499eee5d0128a9c6ec6f93e59c0aee99.png)
Ennek megfelelően a Hall ellenállás illetve a Hall vezetőképesség:
![\[R_H=\frac{V_H}{I}=\frac{h}{2 e^2}, \ \ \ G_H=\frac{I}{V_H}=\frac{2 e^2}{h}\]](/images/math/f/f/7/ff7c9f71dda1342c1cc8529198bb826b.png)
A Hall-vezetőképességre kapott eredmény megegyezik egy egycsatornás tökéletes kvantumvezeték ellenállásával, azaz a vezetőképesség kvantummal ??. Fontos azonban megemlíteni, hogy nanovezetékekben a vezetőképesség kvantálás csak a hullámhosszal összemérhető méreteknél és simán változó (visszaszórás mentes) potenciálban figyelhető meg, addig a kvantált Hall-effektus a jobbra és balra haladó állapotok térbeli szeparációjának köszönhetően egy makroszkopikus mintán megfigyelhető jelenség.
Több Landau nívó, Zeeman felhasadás
A korábbiakban a Landau nívókat spin szerint degeneráltnak tekintettük. Természetesen mágneses térben az energiák spin szerinti Zeeman-felhasadását is figyelembe kell venni:
![\[E=\hbar \omega_c (n+\frac{1}{2})+U_{bezaro} + g \mu_B B S_z,\]](/images/math/5/7/e/57e34776260ea88a8d95d3895cfaddfb.png)
ahol az elektronspin z irányú komponense.
Félvezetőkben a kis effektív tömeg miatt tipikusan (
), de ha a
tér elegendően nagy akkor a Landau-szintek
és
spinű elektronjai elkülönült energiaszinteket tudnak létrehozni, ezek a spin polarizált Landau-szintek.
Egyetlen teljesen betültött spinpolarizált Landau-szint esetén a minta két szélén kialakuló élállapot értelemszerűen vezetőképességet ad, hiszen csak a spindegenerációból adódó kettes faktort kell elhagyni az állapotsűrűségből.
Ha a Fermi energia alatt M db. spin polarizált Landau szint található, és az élektől távol a Fermi energia két Landau szint közé esik akkor a Hall-vezetőképesség és ellenállás:
![\[G_H=\frac{I}{V_H}=\frac{e^2}{h} M,\;\; R_H=\frac{h}{e^2}\frac{1}{M},\]](/images/math/b/e/7/be7b25d6f8f505d0e53c9e68a4a32391.png)
Azaz visszakaptuk a kísérletekben megfigyelt értékeket. A mérések szerint relatív pontossága akár
is lehet, ami a visszaszórás hiányának tökéletességét mutatja. Fontos megjegyezni hogy a minta egyik oldalán kölönböző Landau-szintek közötti átszórás nem változtat a vezetőképességen, hiszen csak az számít hogy egy adott élállapotban elinduló elektron - még ha át is szóródik másik élállapotba - biztosan nem jut vissza a kiinduló elektródába.
A jelenség megértését segíti a ?? ábrán bemutatott klasszikus kép is: az élek mentén hiába szóródik szennyezőkön egy elektron, az 1. elektródából induló elektron végül mindig a 2. elekródába érkezik!
A Fermi-energia helyzete
A fenti megfontolások alapján pontosan kijön a Hall-ellenállás kvantáltsága, azonban a számolások azon a feltételezésen alapulnak, hogy a Fermi energia két Landau-szint közé esik, ami nem feltétlenül igaz. Vizsgáljuk meg pontosabban, hogy mikor is esik a Fermi energia két Landau szint közé!
1/B növelésével egymás után töltjük be a spinpolarizált Landau szinteket. A Landau szintek óriási degenerációja miatt a Fermi energia szinte mindig az egyik Landau szintre esik, kivéve amikor éppen egy teljesen betöltött és egy betöltetlen Landau szint közötti élállapotokat töltünk fel. Az élállapotok száma azonban elhanyagolható a Landau-szintek belső állapotainak számához képest, egyszerű becslés e két allapotszám úgy aránylik egymáshoz mint a minta makroszkópikus szélessége az élállapot nanométeres skálájú y irányú kiterjedéséhez. Ennek megfelelően csak nagyon szűk mágneses tér tartományokban várjuk, hogy a Fermi energia két tömbi Landau szint energiája között legyen (?? ábra). Ha viszont a Fermi energia egy tömbi Landau szintnél helyezkedik el, akkor ezen a Landau szinten keresztül már átszóródhatnak az elektronok a két él között, azaz a korábbi érvelésünk érvénytelen. Azaz azt a lehangoló eredményt kaptuk, hogy a Hall-vezetőképesség csak nagyon szűk, szinte pontszerű mágneses-tér tartományokban veszi fel a várt kvantált értékeket, ráadásul ezek a pontok jól illeszkednek a klasszikus Hall-vezetőképesség 1/B-vel lineárisan arányos változására (?? ábra), azaz a kiterjedt Hall-platókra eddig nem kaptunk magyarázatot.
Eddig csak a zöld pontokat magyaráztuk meg! Ez alapján lineáris függés is lehetne, nem kellene kiterjedt kvantált platókat látni!
Mi stabilizálja -et a Landau szintek közé?
Rendezetlenség szerepe
Az eddigi számolásokban csak az élállapotok kialakulásáért felelős bezáró potenciált vettük figyelembe. A kiterjedt kvantált Hall-platók megértéséhez a minta belsejében kialakuló fluktuáló potenciált is figyelembe kell venni. Tökéletlen minta (azaz véges fluktuáló potenciál) esetén a tömbi Landau szintektől eltérő energiánál az elektronok nem csak az élállapot mentén mozoghatnak, hanem a minta belsejében a fluktuáló potenciál adott energiának megfelelő ekvipotenciális vonalai mentén is. Ha az energia kellőképpen eltér a tömbi Landau szintektől akkor az elektronok a fluktuáló potenciál hegyei vagy völgyei mentén zárt pályákra kényszerülnek (?? ábra), azaz a minta belsejében vannak a landau szintektől eltérő energiájú állapotok, de ezek lokalizált állapotok, a minta két széle közötti transzporthoz nem járulnak hozzá. A Landau szinteknek megfelelő energiáknál - azaz a fluktuáló potenciál átlagértékénél - az elektronok már találnak az ekvipotenciális vonalak mentén olyan trajektróriákat, melyek mentén átszóródhatnak a minta két széle között (?? ábra).
A fentiek gondolatmenet alapján megállapíthatjuk, hogy tökéletlen minta esetén a Landau szintek körüli véges energiatartományban véges állapotsűrűséget tapasztalunk (?? ábra), azonban a Landau szintektől távolabb ez a véges állapotsűrűség a tömbi tartomány potenciáljában lokalizált állapotoknak felel meg. Ennek megfelelően a Fermi-energia kiterjedt mágneses tér tartományokban eltér Landau szintek energiájától, de ezeknél az energiáknál továbbra is igaz a két oldalon kialakuló élállapotok közötti átszórás tilalma, azaz valóban véges szélességű kvantált Hall-platókat várunk.
A fentiek alapján látjuk, hogy a rendezetlenségnek kettős szerepe van a kvantált Hall-jelenség szempontjából. Egyrészt, túl nagy szennyező-koncentráció, melynél a szórások közötti átlagos idő összemérhető a ciklotronmozgás periódusidejével () lerombolja a kvantált Hall-jelenséget. Másrészt ha a minta túl tökéletes akkor szintén nem várunk kiterjedt kvantált Hall-platókat, azaz a minta tökéletlensége teszi lehetővé, hogy
legyen a létező legpontosabb ellenállás standard. Ez utóbbi egyértelműen látszik a tört számű kvantált Hall-effektust bemutató kísérletekben. Ezekhez a mérésekhez nagyon jó minőségű (nagy szabad úthosszal rendelkező) kétdimenziós elektrongáz rendszerek kellettek (epitaxiálisan növesztett GaAs/AlGaAs 2DEG + delta dópolás + nagyon alacsony hőmérséklet), és ennek megfelelően az egész számú kvantált Hall platók sokkal csúnyábbak, kevésbé kiterjedtek mint Klaus von Klitzing IQHE mérései.
Mach-Zehnder interferométer Kvantum Hall élállapotokkal
A kvantált Hall effektus - azon túl, hogy önmagában is érdekes jelenség - a nanofizika eszköztárát is fontos kísérleti technikával bővítette. Az kvantált Hall élállapotok - a visszaszórás hiánya miatt - kifejezetten jól használhatók arra hogy kvantum elektronikai kísérleteket végezünk. Az alábbiakban a legalapvetőbb példát mutatjuk be: egy Mach Zehnder interferométer kialakítását élállapotokkal.
E
elektronokkal koherens közötti visszaszórás hiánya miatt 2DEG nagy mágneses térben, úgy hogy az elektronok csak a legalsó Landau szinten, egy élállapotban tudnak propagálni.
Kapu elektródákkal hangoljuk az alsó ág trajektóriáinak hosszát, azaz az alsó ág fázisát.
-re állított QPC 2 felé osztja az "élcsatornát" (edge channel), mint egy féligáteresztő tükör. A source elektródába visszaverődés nincs.
Egy másik
-re hangolt QPC-vel egyesítjük a két nyalábot.
Az egyik kimenő nyalábon mérjük az interferenciajelet.
A külső mágneses térrel hangoljuk az Aharonov-Bohm fázist.
Mind a mágneses tér, mind a kapu feszültség függvényében jó látszik az interferenciakép.
Forrás: J. Yang et el. Nature 422, 415 (2003)