„Kvantált Hall-jelenség” változatai közötti eltérés
(→Kétdimenziós elektrongáz mágneses térben, Landau-nívók) |
(→Kétdimenziós elektrongáz mágneses térben, Landau-nívók) |
||
| 134. sor: | 134. sor: | ||
A Landau-szintek magasfokú degenerációja mögött szemléletesen az áll, hogy egy ciklotronsugárnak megfelelő tipikus kiterjedésű elektronállapotot a minta $A$ felületén összesen$N\approx 2A/r_c^2\pi$ különböző helyre tehetünk le (a spin szerinti degenerációt is figyelembe véve). Ez alapján kis átalakítással $N=4\Phi/\Phi_0$ adódik, azaz naiv számolásunkkal egy egy kettes szorzó eltéréssel visszakaptuk a Landau nívók fent kiszámolt degenerációs fokát. | A Landau-szintek magasfokú degenerációja mögött szemléletesen az áll, hogy egy ciklotronsugárnak megfelelő tipikus kiterjedésű elektronállapotot a minta $A$ felületén összesen$N\approx 2A/r_c^2\pi$ különböző helyre tehetünk le (a spin szerinti degenerációt is figyelembe véve). Ez alapján kis átalakítással $N=4\Phi/\Phi_0$ adódik, azaz naiv számolásunkkal egy egy kettes szorzó eltéréssel visszakaptuk a Landau nívók fent kiszámolt degenerációs fokát. | ||
| − | Landau szintek | + | A Landau-szintek kialakulásának fontos feltétele, hogy az elektronok a ciklotronpályát két ütközés között sokszor bejárják, azaz a cikotronpálya periódusideje a momentumrelaxációs időnél sokkal nagyobb legyen, $\omega_c \gg \tau_m^{-1}$. Ez akkor teljesül, ha $B \gg \mu^{-1}$, ahol $\mu=e \tau_m /m$ az elektronok mobilitása a 2DEG-ben, azaz Landau-szinteket csak kellően tiszta mintában és kellően nagy mágneses térben látunk. További fontos feltétel, hogy Landau szintek közötti energiakülönbség, a mobilitása} \;\; \Rightarrow$ nagy B tér, elegendően nagy tisztaság. |
| − | + | ||
| − | $\omega_c | + | |
* $\hbar \omega_c >> k_B T,\; eV$ alacsony hőmérséklet!) | * $\hbar \omega_c >> k_B T,\; eV$ alacsony hőmérséklet!) | ||
* kevés Landau szint legyen betöltve, kis e sűrűség. | * kevés Landau szint legyen betöltve, kis e sűrűség. | ||
A lap 2013. július 10., 06:32-kori változata
Klasszikus Hall-effektus
A Hall-effektust 1879-ben Edwin Hall fedezte fel. A jelenség lényege, hogy ha egy síkszerű elektromos vezetőben a síkra merőleges mágneses tér jelenlétében áram folyik, akkor a vezető két oldala között az elektronokra ható Lorentz-erő miatt feszültség jelenik meg.
 |
| 1. ábra. Hall-jelenség méréséhez használt elrendezés |
A Hall-jelenséget általában az 1. ábrán bemutatott Hall-elrendezésben szokták mérni. Az 
irányú 
áram az 1. és 2. kontaktus között folyik. Ha a mérést zérus mágneses térben végezzük, akkor a 4. és 5. kontaktus között (
irányban) nem mérünk feszültséget. A 3. és 4. kontaktus között mért 
longitudinális feszültség és az áram arányából pedig a minta négypont ellenállását kapjuk meg.
A minta síkjára merőleges (
irányú) mágneses teret kapcsolva a 4. és 5. kontaktus között 
Hall-feszültség jelenik meg, melynek az értéke a mágneses tér nagyságával lineárisan változik (2. ábra, piros görbe). A 3. és 4. kontaktus között (kismértékű mágneses ellenállástól eltekintve) továbbra is a zérus térben tapasztalt longitudinális ellenállást mérjük (2. ábra, kék görbe).
 |
| 2. ábra. Hall-feszültség és longitudinális feszültség változása a mágneses térrel |
A Hall-jelenség jól leírható klasszikus, Drude-közelítésben. Az egyszerűség kedvéért számoljunk két dimenzióban. Az elektronok 
impulzusának idő szerinti deriváltját az elektronokra ható erők összegeként kapjuk meg. A 
elektromos, illetve 
Lorentz erő mellett figyelembe vesszük azt is, hogy a a kristályban történő szóródások következtében az elektronok átlagosan 
momentumrelaxációs idő alatt elveszítik impulzusukat:
![\[m \frac{dv}{dt}=-eE-ev \times B - m \frac{v}{\tau_m}.\]](/images/math/a/4/0/a40d7310b8c331638a3c505446d0b0ac.png)
A sebesség helyett vezessük be a 
áramsűrűséget, ahol 
az elektronok (kétdimenziós) sűrűsége.
Az egyenletet átrendezve az alábbi mátrixegyenletet kapjuk az elektromos tér és az áramsűrűség komponensei között:
![\[\left( \begin{array}{c} E_x \\ E_y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} m/e^2 n \tau_m & B/e n \\ -B/e n & m/e^2 n \tau_m \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} j_x \\ j_y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \rho_{xx} & \rho_{xy} \\ \rho_{yx} & \rho_{yy} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} j_x \\ j_y \end{array} \right).\]](/images/math/a/f/f/affb8c8691fb45b35bac75ddd96f23ca.png)
Az áramot irányba folyatva és irányú feszültséget mérve a minta longitudinális ellenállását a 
fajlagos ellenállásból kaphatjuk meg a geometriai faktorokkal történő skálázás után.
A fenti számolásból jól látszik, hogy véges mágneses térben irányú áram esetén irányú feszültség is megjelenik. A Hall-ellenállást a 4. és 5. kontaktusok között megjelenő Hall-feszültség és az áram hányadosaként definiáljuk. Két dimenzióban ez megegyezik az irányú elektromos tér és az irányú áramsűrűség arányával:
![\[R_H=\frac{V_H}{I}=\frac{E_y}{j_x}=\rho_{yx}=-\frac{B}{e n}\]](/images/math/5/8/2/58234e322c92b4a0dc30a97ef948cd91.png)
Egyszerű számolásunkból jól látszik, hogy a Hall-ellenállás a 
mágneses térrel egyenesen arányos, és ezen kívül csak az elektronok sűrűségétől függ, azaz az relaxációs idő a longitudinális ellenállástól eltérően a Hall-ellenállásban nem jelenik meg. Ennek köszönhetően a Hall-ellenállás mérése általánosan bevett módszer félvezetők elektronsűrűségének meghatározására. Érdemes megjegyezni, hogy 
-típusú félvezetőkben, azaz amikor az áramot nem elektronok, hanem lyukak vezetik, a Hall-ellenállás előjelet vált. A Hall-jelenséget -amellett hogy a szilárdtestfizika alapvető mérési módszerei közé tartozik- a hétköznapokban is gyakran használjuk különböző elektronikai eszközökben elhelyezett mágneses tér szenzorok formájában.
Hall-jelenséget elsősorban félvezetőkben szoktak tanulmányozni, hiszen az alacsony elektronsűrűség miatt a Hall-ellenállás viszonylag könnyen mérhető. Fémekben a nagy elektronsűrűség miatt a Hall-ellenállás értéke sokkal kisebb, de precíziós műszerekkel fémekben is vizsgálható a Hall-jelenség. Mindezekről a fizikushallgatók maguk is meggyőződhetnek a Hall-effektus c. hallgatói mérés során.
Kvantált Hall-effektus
Klaus von Klitzing meglepő felfedezése
A Hall-jelenséget megfelelően nagy tisztaságú kétdimenziós elektrongázban (2DEG) és elegendően nagy mágneses térben vizsgálva nagyon meglepő viselkedést tapasztalunk. A Hall-ellenállás a lineáris térfüggés helyett lépcsőszerűen változik, a longitudinális ellenállás pedig zérus értéket vesz fel (
) azokban a mágneses tér tartományokban, ahol a Hall-ellenállás vízszintes platót mutat (lásd 1. ábra).
 |
| 3. ábra. Kvantált Hall-jelenség, forrás: Wikipedia |
A kvantált Hall-ellenállás értékeket egy univerzális állandó és egy egész szám hányadosaként kapjuk meg:
![\[R_H=\frac{h}{e^2 n}, \;\;\;n=0,1,2,\dots,\]](/images/math/9/8/2/98210ceb9358c0a152f4f1b27ddc3485.png)
ami a spindegeneráció miatti 2-es szorzótól eltekintve a vezetőképesség kvantálás képletének felel meg.
A tapasztalatok szerint a kvantált 
értékek függetlenek a minta alakjától, méretétől, anyagától, és kísérletileg meghatározott értékei akár 
pontossággal leírhatók a fenti egyszerű képlettel, azaz a kvantált Hall platók ellenállás-standardként is jól használhatók.
A kvantált Hall jelenséget Klaus von Klitzing fedezte fel 1980-ban.1 Pár évvel később (1985-ben) felfedezését Nobel díjjal jutalmazták.
A következő Nobel díj: tört számú kvantált Hall-effektus
A kvantált Hall-jelenség felfedezése óriási érdeklődést váltott ki, és nem kellett sokat várni újabb meglepő kísérleti eredményekre. Daniel Tsui és Horst Störmer kísérletei 1982-ben megmutatták,2,3 hogy még tisztább kétdimenziós elektrongázban és még nagyobb mágneses térben a Hall-ellenállás
![\[R_H=\frac{h}{e^2 \nu},\;\;\; \nu=\frac{p}{q}, \;\;\; p,q=0,1,2,\dots\]](/images/math/2/c/8/2c80ed0473db25bb0c2e968af88c9c06.png)
értékeket vehet fel, ahol 
már nem egész szám, hanem bizonyos egész számok hányadosa. A Hall-platók tartományában
a longitudinális feszültség továbbra is zérus, .
A későbbiekben látni fogjuk, hogy Klaus von Klitzing felfedezése, az egész számú kvantált Hall-effektus (IQHE, integer quantum Hall effect) egy viszonylag egyszerű modellel magyarázható, melyben az elektronok kölcsönhatását nem kell figyelembe venni. Ezzel szemben Tsui és Störmer méréseiben tapasztalt tört számú kvantált Hall-effektus (FQHE, fractional quantum Hall effect) magyarázatában az elektronok kölcsönhatása fontos szerepet kap, a jelenség úgynevezett kompozit fermion részecskék bevezetésével írható le, mely Robert Laughlin nevéhez kötődik.4
Tsui és Störmer kísérleti felfedezését, illetve Laughlin kísérletekre adott elméleti magyarázatát 1998-ban Nobel-díjjal jutalmazták.
A harmadik Nobel-díj: anomális kvantált Hall-effektus grafénban
A kvantált Hall-effektus egy közelmúltban kiosztott Nobel-díjjal kapcsolatban is előtérbe került. 2010-ben Andre Geim és Konstantin Novoselov grafénon, azaz egyetlen grafit síkon végzett kísérleteit jutalmazták Nobel-díjjal, melynek keretében alapvető jelentőségű volt a grafénon tapasztalható anomális kvantált Hall-jelenség megmutatása. Grafénon a Hall-ellenállás az elektrosztatikus potenciáltól függően egyaránt lehet pozitív és negatív, a kvantált értékek pedig
![\[R_H=\pm\frac{h}{e^2}\frac{1}{4(m+1/2)}, \;\;\; m=0,1,2,\dots \]](/images/math/b/a/6/ba64c8e52cbc399217766186f9a65046.png)
képlet segítségével írhatók le. A kétdimenziós elektrongáz rendszerekkel ellentétben grafénban a kvantált Hall-effektus szobahőmérsékleten is megfigyelhető.
 |
| 4. ábra. Anomális kvantált Hall-jelenség grafénban, forrás: Tóvári Endre diplomamunka, BME Fizika Tanszék, 2011. |
A továbbiakban az egész számú kvantált Hall jelenség leírását szemléltetjük. A grafén fizikájáról egy külön fejezet keretében adunk leírást.
Kétdimenziós elektrongáz mágneses térben, Landau-nívók
Vizsgáljuk egy kétdimenziós szabad elektrongáz viselkedését a 2DEG síkjára merőleges mágneses térben!
 |
| 5. ábra. Ciklotronpálya mágneses térbe helyezett 2DEG-ben |
Klasszikusan az elektronok ciklotronpályákon mozognak (5. ábra) 
körfrekvenciával, azaz a körfrekvencia nem függ az elektronok sebességétől, csak a mágneses tértől.
A körpálya sugara klasszikusan tetszőleges lehet az elektron sebességétől függően, kvantummechanikai tárgyalásban viszont a körpálya sugarának (illetve a mozgás energiájának) kvantáltságát várjuk. A Bohr - Sommerfeld kvantálási feltétel alapján meghatározhatjuk a lehetséges legkisebb sugarat (ciklotronsugár):
![\[2 \pi r_c = \lambda = \frac{2 \pi \hbar}{p} = \frac{2 \pi \hbar}{m \omega_c r} \;\; \Longrightarrow \;\; r_c=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega_c}}.\]](/images/math/6/6/f/66f1261a573a1cde84b323dcee029c7a.png)
A kvantummechanikai viselkedés részletesebb leírásához oldjuk meg a rendszer Schrödinger-egyenletét. A Hamilton-operátor:
![\[\hat{H}=\frac{1}{2}m(\hat{v}_x^2+\hat{v}_y^2),\]](/images/math/0/4/c/04c528a1e299169f635a16f257773bab.png)
ahol a sebességoperátor a 
képlettel származtatható a kanonikus impulzus operátorból, illetve a vektorpotenciálból. A minta síkjára (x,y) merőleges (z irányú) B térnél
a vektorpotenciál az általánosság megszorítása nélkül vehető úgy, hogy csak x és y komponenssel rendelkezzen, azaz 
.
Számoljuk ki a sebességoperátor x és y komponensének a kommutátorát!
![\[[\hat{v}_x,\hat{v}_y]=\frac{1}{m^2}[\hat{p}_x+e\hat{A}_x,\;\hat{p}_y+e\hat{A}_y]=\frac{\hbar e}{i m^2}\left([\partial_x,A_y]+[A_x,\partial_y] \right)=\frac{\hbar e}{i m^2}\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)=\frac{\hbar e B}{i m^2},\]](/images/math/2/b/d/2bd4327b0894bd1f06a3771b988ffb71.png)
azaz:
![\[[\hat{v}_x,\hat{v}_y]=\frac{\alpha}{i},\;\;\;\alpha=\frac{\hbar \omega_c}{m}.\]](/images/math/a/6/0/a602195e6a8162ff96a8e478f8d0d4ab.png)
Vezessünk be új operátorokat: 
.
Az új operátorok segítségével a Hamilton operátor
![\[\hat{H}=\hbar \omega_c \left(\hat{a}^+\hat{a}+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\hbar \omega_c + \frac{\hbar \omega_c}{2 \alpha}(\hat{v}_x^2+\hat{v}_y^2-i\hat{v}_x\hat{v}_y+i\hat{v}_x\hat{v}_y)=\frac{1}{2}m(\hat{v}_x^2+\hat{v}_y^2)\]](/images/math/5/9/c/59cc717e76eb2820629c684fd6baa5c2.png)
formában írható fel, a két új operátor kommutátora pedig:
![\[[\hat{a},\hat{a}^+]=\frac{1}{2 \alpha}[i\hat{v}_x+\hat{v}_y, -i\hat{v}_x+\hat{v}_y]=1.\]](/images/math/7/a/a/7aada3231166cd64b2cf3ed14682e191.png)
Látszik, hogy az új operátorok segítségével az egydimenziós harmonikus oszcillátor problémájára vezettük vissza a Schrödinger egyenletet, így további számolás nélkül megállapíthatjuk, hogy a mágneses térben mozgó elektronok lehetséges energiái a harmonikus oszcillátorhoz hasonlóan kvantáltak:
![\[E=\hbar \omega_c (n+\frac{1}{2}).\]](/images/math/8/9/1/891ac508336891b7eceb3b919179baeb.png)
A kvantált energiaszinteket Landau nívóknak hívjuk.
 |
| 6. ábra. 2DEG állapotsűrűségének energiafüggése zérus térben, illetve nagy mágneses térben kialakult Landau-nívók esetén
|
Ahogy a 6. ábra mutatja, a mágneses tér bekapcsolása alapvetően megváltoztatja az elektronok állapotsűrűségének energia szerinti eloszlását. Mágneses tér nélkül az elektronok állapotsűrűsége konstans (energiafüggetlen), 
. Nagy mágneses térben csak a kvantált Landau-szinteken helyezkedhetnek el elektronok, ezek a diszkrét energiaszintek viszont szükségszerűen sokszorosan degenerált állapotok. D-szeres degenerációt feltételezve az állapotsűrűség: 
. Mivel az elektronok száma a mágneses tér bekapcsolásával nem változik, így feltételezhető hogy egy Landau-szinten levő állapotok zérus térben 
szélességű energiatartományban helyezkednek el. Így egy Landau-szint degenerációja (a spin szerinti degenerációt is figyelembe véve):
![\[D=\hbar \omega_c 2 \frac{A m}{2 \pi \hbar^2}=\frac{2 e B A}{h} \;\; \Longrightarrow \;\; D=\frac{2 \Phi}{\Phi_0},\]](/images/math/7/c/a/7ca63f5401af4876b36b9ff370f71497.png)
ahol 
a teljes fluxus
pedig a fluxuskvantum. Egy teljesen betöltött Landau-szinten a fentiek alapján az elektronsűrűség: 
.
A Landau-szintek magasfokú degenerációja mögött szemléletesen az áll, hogy egy ciklotronsugárnak megfelelő tipikus kiterjedésű elektronállapotot a minta 
felületén összesen
különböző helyre tehetünk le (a spin szerinti degenerációt is figyelembe véve). Ez alapján kis átalakítással 
adódik, azaz naiv számolásunkkal egy egy kettes szorzó eltéréssel visszakaptuk a Landau nívók fent kiszámolt degenerációs fokát.
. Ez akkor teljesül, ha 
, ahol 
az elektronok mobilitása a 2DEG-ben, azaz Landau-szinteket csak kellően tiszta mintában és kellően nagy mágneses térben látunk. További fontos feltétel, hogy Landau szintek közötti energiakülönbség, a mobilitása} \;\; \RightarrowLaTex syntax error\setbox0\hbox{$ nagy B tér, elegendően nagy tisztaság.
* $}%
\message{//depth:\the\dp0//}%
\box0%
\hbar \omega_c >> k_B T,\; eV$ alacsony hőmérséklet!)
- kevés Landau szint legyen betöltve, kis e sűrűség.
Ciklotron pályák középpontjának mozgása
 |
| 7. ábra. |
Nagy mágneses térben azt várjuk, hogy az elektronok egy középponti 
kordináta körül nagyon kis, 
sugarú ciklotronmozgást végeznek. Klasszikusan az elektron éppen aktuális helyzetét
alakban írhatjuk, ahol 
a középpontból az aktuális ponta mutató vektor. Körmozgás esetén az elektront körpályán tartó centripetális erőt 
alakban írhatunk, ami jelen esetben értelemszerűen a Lorentz erővel egyezik meg. Ez alapján a körpálya középpontját formálisan
![\[r_0 = r-\frac{e}{m \omega^2} v \times B\]](/images/math/c/2/d/c2d6543730e1c3734b301f0156562cf9.png)
alakban írhatjuk.
Játsszunk el a gondolattal, hogy az 
koordinátát kvantummechanikai tartalommal ruházzuk fel a ciklotronpályák középpontjának helyét leíró operátorként. Komponensenként kifejtve:
![\[\hat{x}_0=\hat{x}-\frac{\hat{v}_y}{\omega_c},\;\; \hat{y}_0=\hat{y}-\frac{\hat{v}_x}{\omega_c}\]](/images/math/2/5/3/253219d5ef2b8038480deebd4297913e.png)
Vizsgáljuk meg, hogy a középponti koordináta várható értéke hogyan változik az idő függvényében:
![\[\frac{d}{d t}\langle\hat{x}_0\rangle = \frac{i}{\hbar} \langle[\hat{H},\hat{x}]\rangle - \frac{i m}{2\hbar\omega_c} \langle[\hat{v}^2_x+\hat{v}^2_y,\hat{v}_y]\rangle = \hat{v}_x - \frac{i m}{2\hbar\omega_c} \langle[\hat{v}^2_x,\hat{v}_y]\rangle = 0,\]](/images/math/d/e/d/deda0c25fb1f424e062d7d7480cf74a5.png)
![\[\frac{d}{d t}\langle\hat{y}_0\rangle = 0,\]](/images/math/6/1/d/61d29b01f81f90dd06e86a2dfc324837.png)
azaz a várakozásoknak megfelelően a ciklotronpályák középpontja nem mozog.
Érdemes kiszámolni a középponti koordináták operátorainak kommutátorát is:
![\[[\hat{y}_0,\hat{x}_0] = \left[\hat{y} + \frac{\hat{v}_x}{\omega_c}, \hat{x} - \frac{\hat{v}_y}{\omega_c} \right] = -\left[\hat{y}, \frac{\hat{p}_y}{m \omega_c} \right] + \left[\frac{\hat{p}_x}{m \omega_c}, \hat{x}\right] - \left[ \frac{\hat{v}_x}{\omega_c}, \frac{\hat{v}_y}{\omega_c} \right] = \frac{\hbar}{i m \omega_c} = \frac{r_c^2}{i}\]](/images/math/d/a/0/da0c4810a2c25218fbbd3c1fc9047572.png)
Tetszőleges két fizikai mennyiség operátorára fenn áll az általános Heisenberg féle határozatlansági reláció, azaz:
![\[\Delta A \cdot \Delta B \geq \frac{1}{2}|\langle[ \hat{A}, \hat{B} ]\rangle|\]](/images/math/0/5/b/05bec0a664f16c6b986ecddecc96718d.png)
Ezt az összefüggést a középponti koordináta két komponensének operátorára vonatkoztatva
![\[\Delta x_0 \cdot \Delta y_0 \geq \frac{r^2_c}{2}\]](/images/math/5/5/3/553157cd43fd417eeb10d946dbecc99e.png)
adódik, azaz a ciklotronpálya középpontjának x és y írányú kvantummechanikai bizonytalanságát összeszorozva pont az 
ciklotronsugár négyzete köszön vissza, egy elektron legalább 
helyet foglal. Ez alapján körszimmetrikus hullámfüggvényt feltételezve a ciklotron pályák x és y irányban is kiterjedésűek.
Megjegyzés: Landau mérték választása esetén x irányban végtelen kiterjedést, y irányban pedig 
kiterjedést kapunk, lásd függelék.
Bezáró és random potenciál
Az eddigiekben a Schrödinger egyenletben csak az elektronok kinetikus energiáját vettük figyelembe. Egy valós, véges méretű mintában a minta széleinél jelentkező bezáró potenciált, illetve a felületés töltések és szennyezők hatásaként a minta belsejében jelentkező potenciálfluktuációkat is figyelembe kell venni.
![\[\hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{U} = \hat{H}_0 + \hat{U}_{bezaro} + \hat{U}_{flukt}\]](/images/math/2/8/7/2872fe584b1550695198827d7d319a69.png)
 |
| 8. ábra. Landau-szintek módosulása a a minta szélénél a bezáró potenciál, illetve a minta közepében jelentkező fluktuáló potenciál miatt |
Az U potenciált perturbációként kezelve, és feltételezve hogy U lassan változik a hullámfüggvény tipikus kiterjedéséhez, -hez képest (azaz elegendően nagy a mágneses tér) az energiária egyszerűen
![\[E=\hbar \omega_c (n+\frac{1}{2}) + \langle \Psi | U | \Psi \rangle \approx E=\hbar \omega_c(n+\frac{1}{2}) + U(x_0,y_0)\]](/images/math/d/a/5/da5f08672e4054bb95629d9a327b26c1.png)
adódik, azaz a kvantált Landau szintek energiáit a hullámfüggvény középpontjánál vett potenciál értékével korrigáljuk.
A véges U esetén az ellektronok mozgását úgy képzeljük el, hogy a gyors (
körfrekvenciájú) és kis (
) területre koncentrált ciklotronmozgás mellett a ciklotronpályák középpontjának koordinátái a potenciál hatására haladó mozgást végeznek. Írjuk fel a mozgásegyenletet 
és 
-ra:
![\[\frac{d}{d t}\langle\hat{x}_0\rangle = \frac{i}{\hbar} \langle[\hat{H},\hat{x}_0]\rangle = \frac{i}{\hbar} \langle[\hat{H}_0,\hat{x}_0]\rangle + \frac{i}{\hbar} \langle[\hat{U},\hat{x}_0]\rangle = - \frac{i}{\hbar m \omega_c} \langle[\hat{U},\hat{p}_y]\rangle = - \frac{1}{m \omega_c} \langle[U,\partial_x]\rangle = \frac{1}{e B} \langle\frac{\partial U}{\partial y}\rangle \approx \frac{1}{e B} \frac{\partial U(x_0,y_0)}{\partial y_0},\]](/images/math/f/b/3/fb3680bc04becaadd9022b0cb8a4b0cc.png)
ahol megintcsak feltételeztük, hogy a hullámfüggvény kiterjedése kicsi U változásának skáláján. Hasonlóan:
![\[\frac{d}{d t}\langle\hat{y}_0\rangle = -\frac{1}{e B} \langle\frac{\partial U}{\partial x}\rangle \approx -\frac{1}{e B} \frac{\partial U(x_0,y_0)}{\partial x_0}.\]](/images/math/6/e/5/6e54d16bf7d4702c1897619ee2e0e46b.png)
A fentiek alapján számoljuk ki a potenciál változását a pálya mentén, azaz U idő szerinti teljes deriváltját:
![\[\frac{d U}{d t}=\frac{\partial U}{\partial x_0} \cdot \dot{x}_0 + \frac{\partial U}{\partial y_0} \cdot \dot{y}_0 = \frac{c}{e H} \left( \frac{\partial U}{\partial x_0} \frac{\partial U}{\partial y_0} - \frac{\partial U}{\partial y_0} \frac{\partial U}{\partial x_0} \right) = 0.\]](/images/math/7/f/1/7f1c676f027034ba47413a9fcb82bb38.png)
Számolásunk alapján a ciklotronpályák középpontja ekvipotenciális felületek mentén mozog!
Elektron transzport egyetlen Landau nívó esetén
Tételezzük fel olyan mágneses teret, melynél a Fermi energia az első és második Landau szint között helyezkedik el, azaz az első Landau szint teljesen betöltött, a második pedig betöltetlen (lásd ?? ábra). Ebben az esetben a Fermi energiánál
a minta széelinél találunk állapotokat a bezáró potenciálnak köszönhetően, a minta belsejében egy tiltott sávot tapasztalunk a Fermi energia és a betöltött Landau szint között. Ebben az esetben elektrontranszport csak a minta szélei mentén megengedett, ahol az elektronok energiája metszi a Fermi energiát. Mivel a minta két szélét elválasztó makroszkópikus méretű tartományban az elektrontranszport nem megengedett, így a minta két széle között nem történhet átszóródás.
 |
| 9. ábra. A tömbi Landau-szintektől távol áram csak az élállapotok mentén folyhat, a két él között nincs átszóródás |
Vizsgáljuk meg a minta felső széle mentén az elektronpályák középpontjának mozgását. Korábban kiszámolt képletünk alapján:
![\[\dot{x}_0=\frac{1}{e B} \frac{\partial U_{bezaro}}{\partial y_0} > 0,\]](/images/math/c/1/1/c11add8cf9c52589b6c2d41bdc559315.png)
azaz, mivel a felső élnél a bezáró potenciál y szerinti deriváltja pozitív, így az elektronok pozitív x irányban mozognak. Y irányban a bezáró potenciál nem változik, így az elektronok középpontjának y irányú sebessége zérus. Hasonlóan megállapítható, hogy a minta alsó szélénél az elektronok negatív x irányú mozgást végeznek.
Az előbbi megállapítás önmagában elég ahhoz, hogy a kvantált Hall-effektus egyik meglepő tulajdonságát megértsük. Mivel a felső él mentén csak pozitív irányban haladhatnak az elektronok, és az alsó és felső élállapotok között nem megengedett az átszórás, így a felső él mentén mozgó elektronok mind a baloldali elektródából származnak, azaz kémiai potenciáljuk 
. Hasonlóképpen az alsó él mentén mozgó elektronok mind a jobb oldali elketródából származnak, azaz 
kémiai potenciállal rendelkeznek. Így érthető, hogy egy él mentén mért hosszirányú feszültség zérus, a két él között pedig a két elektróda kémiai potenciál különbségének megfelelő Hall feszültség jelentkezik,
![\[V_{xx}=0,\;\; V_H=(\mu_1-\mu_2)/e.\]](/images/math/3/4/9/349170341559ea0ff96bfbb28a3945c8.png)
A Hall-ellenállás meghatározásához az élállapotokon keresztül folyó áramot is meg kell határoznunk. Először számoljuk ki, hogy egy élállapot 
szélességű energiatartománya mekkora járulékot ad az áramhoz.
 |
| 10. ábra. |
A energiatartomány 
szélességű térbeli tartománynak felel meg az él mentén, ahol 
a potenciál y szerinti deriváltja. Korábbi számolásaink alapján az elektronok sebessége 
, az elektronsűrűség pedig 
, így az áramra
![\[I=j \mathrm{d} y = n e v \mathrm{d} y = \frac{2 e}{h} \mathrm{d} \epsilon\]](/images/math/5/6/5/56551249a8a9807923bbf6f40aae5f29.png)
adódik.
 |
| 11. ábra. |
Mivel 
esetén a felső él mentén 
-vel magasabb energiáig vannak betöltve az állapotok mint az alsó él mentén, így a mintén folyó teljes áram
![\[I=\frac{2 e}{h} e V.\]](/images/math/4/9/9/499eee5d0128a9c6ec6f93e59c0aee99.png)
Ennek megfelelően a Hall ellenállás illetve a Hall vezetőképesség:
![\[R_H=\frac{V_H}{I}=\frac{h}{2 e^2}, \ \ \ G_H=\frac{I}{V_H}=\frac{2 e^2}{h}\]](/images/math/f/f/7/ff7c9f71dda1342c1cc8529198bb826b.png)
A Hall-vezetőképességre kapott eredmény megegyezik egy egycsatornás tökéletes kvantumvezeték ellenállásával, azaz a vezetőképesség kvantummal ??. Fontos azonban megemlíteni, hogy nanovezetékekben a vezetőképesség kvantálás csak a hullámhosszal összemérhető méreteknél és simán változó (visszaszórás mentes) potenciálban figyelhető meg, addig a kvantált Hall-effektus a jobbra és balra haladó állapotok térbeli szeparációjának köszönhetően egy makroszkopikus mintán megfigyelhető jelenség.
Több Landau nívó, Zeeman felhasadás
A korábbiakban a Landau nívókat spin szerint degeneráltnak tekintettük. Természetesen mágneses térben az energiák spin szerinti Zeeman-felhasadását is figyelembe kell venni:
![\[E=\hbar \omega_c (n+\frac{1}{2})+U_{bezaro} + g \mu_B B S_z,\]](/images/math/5/7/e/57e34776260ea88a8d95d3895cfaddfb.png)
ahol 
az elektronspin z irányú komponense.
Félvezetőkben a kis effektív tömeg miatt tipikusan 
(![\setbox0\hbox{$\hbar \omega_c [K] \approx 20 B [T],\;\; g \mu_B B [K] \approx 0.3 \cdot B [T]$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/a/e/d/aede3cb72dc611fb7781497ae0a0ddeb.png)
), de ha a tér elegendően nagy akkor a Landau-szintek 
és 
spinű elektronjai elkülönült energiaszinteket tudnak létrehozni, ezek a spin polarizált Landau-szintek.
Egyetlen teljesen betültött spinpolarizált Landau-szint esetén a minta két szélén kialakuló élállapot értelemszerűen 
vezetőképességet ad, hiszen csak a spindegenerációból adódó kettes faktort kell elhagyni az állapotsűrűségből.
Ha a Fermi energia alatt M db. spin polarizált Landau szint található, és az élektől távol a Fermi energia két Landau szint közé esik akkor a Hall-vezetőképesség és ellenállás:
![\[G_H=\frac{I}{V_H}=\frac{e^2}{h} M,\;\; R_H=\frac{h}{e^2}\frac{1}{M},\]](/images/math/b/e/7/be7b25d6f8f505d0e53c9e68a4a32391.png)
Azaz visszakaptuk a kísérletekben megfigyelt értékeket. A mérések szerint relatív pontossága akár 
is lehet, ami a visszaszórás hiányának tökéletességét mutatja. Fontos megjegyezni hogy a minta egyik oldalán kölönböző Landau-szintek közötti átszórás nem változtat a vezetőképességen, hiszen csak az számít hogy egy adott élállapotban elinduló elektron - még ha át is szóródik másik élállapotba - biztosan nem jut vissza a kiinduló elektródába.
A jelenség megértését segíti a ?? ábrán bemutatott klasszikus kép is: az élek mentén hiába szóródik szennyezőkön egy elektron, az 1. elektródából induló elektron végül mindig a 2. elekródába érkezik!
A Fermi-energia helyzete
A fenti megfontolások alapján pontosan kijön a Hall-ellenállás kvantáltsága, azonban a számolások azon a feltételezésen alapulnak, hogy a Fermi energia két Landau-szint közé esik, ami nem feltétlenül igaz. Vizsgáljuk meg pontosabban, hogy mikor is esik a Fermi energia két Landau szint közé!
1/B növelésével egymás után töltjük be a spinpolarizált Landau szinteket. A Landau szintek óriási degenerációja miatt a Fermi energia szinte mindig az egyik Landau szintre esik, kivéve amikor éppen egy teljesen betöltött és egy betöltetlen Landau szint közötti élállapotokat töltünk fel. Az élállapotok száma azonban elhanyagolható a Landau-szintek belső állapotainak számához képest, egyszerű becslés e két allapotszám úgy aránylik egymáshoz mint a minta makroszkópikus szélessége az élállapot nanométeres skálájú y irányú kiterjedéséhez. Ennek megfelelően csak nagyon szűk mágneses tér tartományokban várjuk, hogy a Fermi energia két tömbi Landau szint energiája között legyen (?? ábra). Ha viszont a Fermi energia egy tömbi Landau szintnél helyezkedik el, akkor ezen a Landau szinten keresztül már átszóródhatnak az elektronok a két él között, azaz a korábbi érvelésünk érvénytelen. Azaz azt a lehangoló eredményt kaptuk, hogy a Hall-vezetőképesség csak nagyon szűk, szinte pontszerű mágneses-tér tartományokban veszi fel a várt kvantált értékeket, ráadásul ezek a pontok jól illeszkednek a klasszikus Hall-vezetőképesség 1/B-vel lineárisan arányos változására (?? ábra), azaz a kiterjedt Hall-platókra eddig nem kaptunk magyarázatot.
Eddig csak a zöld pontokat magyaráztuk meg! Ez alapján 
lineáris függés is lehetne, nem kellene kiterjedt kvantált platókat látni!
Mi stabilizálja 
-et a Landau szintek közé?
Rendezetlenség szerepe
Az eddigi számolásokban csak az élállapotok kialakulásáért felelős bezáró potenciált vettük figyelembe. A kiterjedt kvantált Hall-platók megértéséhez a minta belsejében kialakuló fluktuáló potenciált is figyelembe kell venni. Tökéletlen minta (azaz véges fluktuáló potenciál) esetén a tömbi Landau szintektől eltérő energiánál az elektronok nem csak az élállapot mentén mozoghatnak, hanem a minta belsejében a fluktuáló potenciál adott energiának megfelelő ekvipotenciális vonalai mentén is. Ha az energia kellőképpen eltér a tömbi Landau szintektől akkor az elektronok a fluktuáló potenciál hegyei vagy völgyei mentén zárt pályákra kényszerülnek (?? ábra), azaz a minta belsejében vannak a landau szintektől eltérő energiájú állapotok, de ezek lokalizált állapotok, a minta két széle közötti transzporthoz nem járulnak hozzá. A Landau szinteknek megfelelő energiáknál - azaz a fluktuáló potenciál átlagértékénél - az elektronok már találnak az ekvipotenciális vonalak mentén olyan trajektróriákat, melyek mentén átszóródhatnak a minta két széle között (?? ábra).
A fentiek gondolatmenet alapján megállapíthatjuk, hogy tökéletlen minta esetén a Landau szintek körüli véges energiatartományban véges állapotsűrűséget tapasztalunk (?? ábra), azonban a Landau szintektől távolabb ez a véges állapotsűrűség a tömbi tartomány potenciáljában lokalizált állapotoknak felel meg. Ennek megfelelően a Fermi-energia kiterjedt mágneses tér tartományokban eltér Landau szintek energiájától, de ezeknél az energiáknál továbbra is igaz a két oldalon kialakuló élállapotok közötti átszórás tilalma, azaz valóban véges szélességű kvantált Hall-platókat várunk.
A fentiek alapján látjuk, hogy a rendezetlenségnek kettős szerepe van a kvantált Hall-jelenség szempontjából. Egyrészt, túl nagy szennyező-koncentráció, melynél a szórások közötti átlagos idő összemérhető a ciklotronmozgás periódusidejével (
) lerombolja a kvantált Hall-jelenséget. Másrészt ha a minta túl tökéletes akkor szintén nem várunk kiterjedt kvantált Hall-platókat, azaz a minta tökéletlensége teszi lehetővé, hogy 
legyen a létező legpontosabb ellenállás standard. Ez utóbbi egyértelműen látszik a tört számű kvantált Hall-effektust bemutató kísérletekben. Ezekhez a mérésekhez nagyon jó minőségű (nagy szabad úthosszal rendelkező) kétdimenziós elektrongáz rendszerek kellettek (epitaxiálisan növesztett GaAs/AlGaAs 2DEG + delta dópolás + nagyon alacsony hőmérséklet), és ennek megfelelően az egész számú kvantált Hall platók sokkal csúnyábbak, kevésbé kiterjedtek mint Klaus von Klitzing IQHE mérései.
Mach-Zehnder interferométer Kvantum Hall élállapotokkal
A kvantált Hall effektus - azon túl, hogy önmagában is érdekes jelenség - a nanofizika eszköztárát is fontos kísérleti technikával bővítette. Az kvantált Hall élállapotok - a visszaszórás hiánya miatt - kifejezetten jól használhatók arra hogy kvantum elektronikai kísérleteket végezünk. Az alábbiakban a legalapvetőbb példát mutatjuk be: egy Mach Zehnder interferométer kialakítását élállapotokkal.
E
elektronokkal koherens közötti visszaszórás hiánya miatt 2DEG nagy mágneses térben, úgy hogy az elektronok csak a legalsó Landau szinten, egy élállapotban tudnak propagálni.
Kapu elektródákkal hangoljuk az alsó ág trajektóriáinak hosszát, azaz az alsó ág fázisát.
-re állított QPC 2 felé osztja az "élcsatornát" (edge channel), mint egy féligáteresztő tükör. A source elektródába visszaverődés nincs.
Egy másik -re hangolt QPC-vel egyesítjük a két nyalábot.
Az egyik kimenő nyalábon mérjük az interferenciajelet.
A külső mágneses térrel hangoljuk az Aharonov-Bohm fázist.
Mind a mágneses tér, mind a kapu feszültség függvényében jó látszik az interferenciakép.
Forrás: J. Yang et el. Nature 422, 415 (2003)
