„Kvantált Hall-jelenség” változatai közötti eltérés
(→Mach-Zehnder interferométer kvantált Hall-élállapotokkal) |
|||
(egy szerkesztő 54 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
1. sor: | 1. sor: | ||
− | |||
− | |||
== Klasszikus Hall-effektus == | == Klasszikus Hall-effektus == | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
12. sor: | 10. sor: | ||
|} | |} | ||
− | A Hall-jelenséget általában az 1. ábrán bemutatott Hall-elrendezésben szokták mérni. Az | + | A Hall-jelenséget általában az 1. ábrán bemutatott Hall-elrendezésben szokták mérni. Az x irányú $I$ áram az 1. és 2. kontaktus között folyik. Ha a mérést zérus mágneses térben végezzük, akkor a 4. és 5. kontaktus között (y irányban) nem mérünk feszültséget. A 3. és 4. kontaktus között mért $V_{xx}$ ''longitudinális feszültség'' és az áram arányából pedig a minta [http://en.wikipedia.org/wiki/Four-terminal_sensing négypont ellenállását] kapjuk meg. |
− | A minta síkjára merőleges ( | + | A minta síkjára merőleges (z irányú) mágneses teret kapcsolva a 4. és 5. kontaktus között $V_H$ Hall-feszültség jelenik meg, melynek az értéke a mágneses tér nagyságával lineárisan változik (2. ábra, piros görbe). A 3. és 4. kontaktus között (kismértékű mágneses ellenállástól eltekintve) továbbra is a zérus térben tapasztalt longitudinális ellenállást mérjük (2. ábra, kék görbe). |
{| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | {| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | ||
31. sor: | 29. sor: | ||
$$\left( \begin{array}{c} E_x \\ E_y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} m/e^2 n \tau_m & B/e n \\ -B/e n & m/e^2 n \tau_m \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} j_x \\ j_y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \rho_{xx} & \rho_{xy} \\ \rho_{yx} & \rho_{yy} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} j_x \\ j_y \end{array} \right).$$ | $$\left( \begin{array}{c} E_x \\ E_y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} m/e^2 n \tau_m & B/e n \\ -B/e n & m/e^2 n \tau_m \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} j_x \\ j_y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \rho_{xx} & \rho_{xy} \\ \rho_{yx} & \rho_{yy} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} j_x \\ j_y \end{array} \right).$$ | ||
− | Az áramot | + | Az áramot x irányba folyatva és x irányú feszültséget mérve a minta longitudinális ellenállását a $\rho_{xx}=m/e^2 n \tau_m$ fajlagos ellenállásból kaphatjuk meg a geometriai faktorokkal történő skálázás után. |
− | A fenti számolásból jól látszik, hogy véges mágneses térben | + | A fenti számolásból jól látszik, hogy véges mágneses térben x irányú áram esetén y irányú feszültség is megjelenik. A Hall-ellenállást a 4. és 5. kontaktusok között megjelenő $V_H$ Hall-feszültség és az $I$ áram hányadosaként definiáljuk. Két dimenzióban ez megegyezik az y irányú elektromos tér és az x irányú áramsűrűség arányával: |
− | $$R_H=\frac{V_H}{I}=\frac{E_y}{j_x}=\rho_{yx}=-\frac{B}{e n}$$ | + | $$R_H=\frac{V_H}{I}=\frac{E_y}{j_x}=\rho_{yx}=-\frac{B}{e n}.$$ |
− | Egyszerű számolásunkból jól látszik, hogy a Hall-ellenállás a $B$ mágneses térrel egyenesen arányos, és ezen kívül csak az elektronok sűrűségétől függ, azaz az $\tau_m$ relaxációs idő a longitudinális ellenállástól eltérően a Hall-ellenállásban ''nem jelenik meg''. Ennek köszönhetően a Hall-ellenállás mérése általánosan bevett módszer félvezetők elektronsűrűségének meghatározására. Érdemes megjegyezni, hogy $p$-típusú félvezetőkben, azaz amikor az áramot nem elektronok, hanem lyukak vezetik, a Hall-ellenállás előjelet vált. A Hall-jelenséget -amellett hogy a szilárdtestfizika alapvető mérési módszerei közé tartozik- a hétköznapokban is gyakran használjuk különböző elektronikai eszközökben elhelyezett [http://en.wikipedia.org/wiki/Hall_effect_sensor mágneses tér szenzorok] formájában. | + | Egyszerű számolásunkból jól látszik, hogy a Hall-ellenállás a $B$ mágneses térrel egyenesen arányos, és ezen kívül csak az elektronok sűrűségétől függ, azaz az $\tau_m$ relaxációs idő a longitudinális ellenállástól eltérően a Hall-ellenállásban ''nem jelenik meg''. Ennek köszönhetően a Hall-ellenállás mérése általánosan bevett módszer félvezetők elektronsűrűségének meghatározására. Érdemes megjegyezni, hogy $p$-típusú félvezetőkben, azaz amikor az áramot nem elektronok, hanem lyukak vezetik, a Hall-ellenállás előjelet vált. A Hall-jelenséget - amellett hogy a szilárdtestfizika alapvető mérési módszerei közé tartozik - a hétköznapokban is gyakran használjuk különböző elektronikai eszközökben elhelyezett [http://en.wikipedia.org/wiki/Hall_effect_sensor mágneses tér szenzorok] formájában. |
Hall-jelenséget elsősorban félvezetőkben szoktak tanulmányozni, hiszen az alacsony elektronsűrűség miatt a Hall-ellenállás viszonylag könnyen mérhető. Fémekben a nagy elektronsűrűség miatt a Hall-ellenállás értéke sokkal kisebb, de precíziós műszerekkel fémekben is vizsgálható a Hall-jelenség. Mindezekről a fizikushallgatók maguk is meggyőződhetnek a [[Hall-effektus]] c. hallgatói mérés során. | Hall-jelenséget elsősorban félvezetőkben szoktak tanulmányozni, hiszen az alacsony elektronsűrűség miatt a Hall-ellenállás viszonylag könnyen mérhető. Fémekben a nagy elektronsűrűség miatt a Hall-ellenállás értéke sokkal kisebb, de precíziós műszerekkel fémekben is vizsgálható a Hall-jelenség. Mindezekről a fizikushallgatók maguk is meggyőződhetnek a [[Hall-effektus]] c. hallgatói mérés során. | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
==Kvantált Hall-effektus== | ==Kvantált Hall-effektus== | ||
− | |||
===Klaus von Klitzing meglepő felfedezése=== | ===Klaus von Klitzing meglepő felfedezése=== | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
− | A Hall jelenséget megfelelően nagy tisztaságú kétdimenziós elektrongázban (2DEG) és elegendően nagy mágneses térben vizsgálva nagyon meglepő | + | A Hall-jelenséget megfelelően nagy tisztaságú kétdimenziós elektrongázban (2DEG) és elegendően nagy mágneses térben vizsgálva nagyon meglepő viselkedést tapasztalunk. A Hall-ellenállás a lineáris térfüggés helyett lépcsőszerűen változik, a longitudinális ellenállás pedig zérus értéket vesz fel ($V_{xx}=0$) azokban a mágneses tér tartományokban, ahol a Hall-ellenállás vízszintes platót mutat (lásd 3. ábra). |
{| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | {| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | ||
54. sor: | 51. sor: | ||
|} | |} | ||
− | A kvantált Hall | + | A kvantált Hall-ellenállás értékeket egy univerzális állandó és egy egész szám hányadosaként kapjuk meg: |
$$R_H=\frac{h}{e^2 n}, \;\;\;n=0,1,2,\dots,$$ | $$R_H=\frac{h}{e^2 n}, \;\;\;n=0,1,2,\dots,$$ | ||
− | ami a | + | ami a spindegeneráció miatti 2-es szorzótól eltekintve a [[Transzport nanovezetékekben: Landauer-formula, vezetőképesség-kvantálás#Vezetőképesség-kvantálás kvantum-pontkontaktusban|vezetőképesség kvantálás]] képletének felel meg. |
− | A | + | A tapasztalatok szerint a kvantált $R_H$ értékek függetlenek a minta alakjától, méretétől, anyagától, és $R_H$ kísérletileg meghatározott értékei akár $10^{-7}$ pontossággal leírhatók a fenti egyszerű képlettel, azaz a kvantált Hall-platók ellenállás-standardként is jól használhatók. |
− | A kvantált Hall jelenséget [http://en.wikipedia.org/wiki/Klaus_von_Klitzing Klaus von Klitzing] fedezte fel 1980-ban. Pár évvel később (1985-ben) felfedezését Nobel díjjal jutalmazták. | + | A kvantált Hall-jelenséget [http://en.wikipedia.org/wiki/Klaus_von_Klitzing Klaus von Klitzing] fedezte fel 1980-ban.<sup>[http://prl.aps.org/abstract/PRL/v45/i6/p494_1 1]</sup> Pár évvel később (1985-ben) felfedezését Nobel-díjjal jutalmazták. |
</wlatex> | </wlatex> | ||
− | + | ===A következő Nobel-díj: tört számú kvantált Hall-effektus=== | |
− | ===A következő Nobel díj: tört | + | |
<wlatex> | <wlatex> | ||
− | A kvantált Hall-jelenség felfedezése óriási érdeklődést váltott ki, és nem kellett sokat várni újabb meglepő kísérleti eredményekre. [Daniel Tsui] és [Horst Störmer] kísérletei 1982-ben megmutatták, hogy még tisztább kétdimenziós elektrongázban és még nagyobb mágneses térben a Hall ellenállás | + | A kvantált Hall-jelenség felfedezése óriási érdeklődést váltott ki, és nem kellett sokat várni újabb meglepő kísérleti eredményekre. [http://en.wikipedia.org/wiki/Daniel_C._Tsui Daniel Tsui] és [http://en.wikipedia.org/wiki/Horst_Ludwig_St%C3%B6rmer Horst Störmer] kísérletei 1982-ben megmutatták,<sup>[http://prl.aps.org/abstract/PRL/v48/i22/p1559_1 2],[http://rmp.aps.org/abstract/RMP/v71/i4/p875_1 3]</sup> hogy még tisztább kétdimenziós elektrongázban és még nagyobb mágneses térben a Hall-ellenállás |
$$R_H=\frac{h}{e^2 \nu},\;\;\; \nu=\frac{p}{q}, \;\;\; p,q=0,1,2,\dots$$ | $$R_H=\frac{h}{e^2 \nu},\;\;\; \nu=\frac{p}{q}, \;\;\; p,q=0,1,2,\dots$$ | ||
− | értékeket vehet fel, ahol $\nu$ már nem egész szám, hanem bizonyos egész számok hányadosa. A Hall platók tartományában | + | értékeket vehet fel, ahol $\nu$ már nem egész szám, hanem bizonyos egész számok hányadosa. A Hall-platók tartományában |
a longitudinális feszültség továbbra is zérus, $V_{xx}=0$. | a longitudinális feszültség továbbra is zérus, $V_{xx}=0$. | ||
− | A későbbiekben látni fogjuk, hogy Klaus von Klitzing felfedezése, az ''egész számú kvantált Hall-effektus'' (IQHE, integer quantum Hall effect) egy viszonylag egyszerű modellel magyarázható, melyben az elektronok kölcsönhatását nem kell figyelembe venni. Ezzel szemben Tsui és Störmer méréseiben tapasztalt tört számú kvantált Hall-effektus (FQHE, fractional quantum Hall effect) magyarázatában az elektronok kölcsönhatása fontos szerepet kap, a jelenség úgynevezett ''kompozit fermion'' részecskék bevezetésével írható le. | + | A későbbiekben látni fogjuk, hogy Klaus von Klitzing felfedezése, az ''egész számú kvantált Hall-effektus'' (IQHE, integer quantum Hall effect) egy viszonylag egyszerű modellel magyarázható, melyben az elektronok kölcsönhatását nem kell figyelembe venni. Ezzel szemben Tsui és Störmer méréseiben tapasztalt tört számú kvantált Hall-effektus (FQHE, fractional quantum Hall effect) magyarázatában az elektronok kölcsönhatása fontos szerepet kap, a jelenség úgynevezett ''kompozit fermion'' részecskék bevezetésével írható le, mely [http://en.wikipedia.org/wiki/Robert_B._Laughlin Robert Laughlin] nevéhez kötődik.<sup>[http://prl.aps.org/abstract/PRL/v50/i18/p1395_1 4]</sup> |
− | Tsui és Störmer kísérleti felfedezését, illetve | + | Tsui és Störmer kísérleti felfedezését, illetve Laughlin kísérletekre adott elméleti magyarázatát 1998-ban Nobel-díjjal jutalmazták. |
</wlatex> | </wlatex> | ||
===A harmadik Nobel-díj: anomális kvantált Hall-effektus grafénban=== | ===A harmadik Nobel-díj: anomális kvantált Hall-effektus grafénban=== | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
− | A kvantált Hall-effektus egy közelmúltban kiosztott Nobel díjjal kapcsolatban is előtérbe került. 2010-ben Andre Geim és Konstantin Novoselov grafénon, azaz egyetlen grafit síkon végzett kísérleteit jutalmazták Nobel díjjal, melynek keretében alapvető jelentőségű volt a grafénon tapasztalható | + | A kvantált Hall-effektus egy közelmúltban kiosztott Nobel-díjjal kapcsolatban is előtérbe került. 2010-ben [http://en.wikipedia.org/wiki/Andre_Geim Andre Geim] és [http://en.wikipedia.org/wiki/Konstantin_Novoselov Konstantin Novoselov] grafénon, azaz egyetlen grafit síkon végzett kísérleteit jutalmazták Nobel-díjjal, melynek keretében alapvető jelentőségű volt a grafénon tapasztalható anomális kvantált Hall-jelenség megmutatása.<sup>[http://www.nature.com/nature/journal/v438/n7065/full/nature04233.html 5]</sup> Grafénon a Hall-ellenállás az elektrosztatikus potenciáltól függően egyaránt lehet pozitív és negatív, a kvantált értékek pedig |
$$R_H=\pm\frac{h}{e^2}\frac{1}{4(m+1/2)}, \;\;\; m=0,1,2,\dots $$ | $$R_H=\pm\frac{h}{e^2}\frac{1}{4(m+1/2)}, \;\;\; m=0,1,2,\dots $$ | ||
− | képlet segítségével írhatók le. A kétdimenziós elektrongáz rendszerekkel ellentétben grafénban a kvantált Hall-effektus szobahőmérsékleten is megfigyelhető. | + | képlet segítségével írhatók le. A kétdimenziós elektrongáz rendszerekkel ellentétben grafénban a kvantált Hall-effektus szobahőmérsékleten is megfigyelhető.<sup>[http://www.sciencemag.org/content/315/5817/1379.abstract 6]</sup> |
{| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | {| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | ||
84. sor: | 80. sor: | ||
| align="center"|[[Fájl:AnomKvantHall.png|közép|500px]] | | align="center"|[[Fájl:AnomKvantHall.png|közép|500px]] | ||
|- | |- | ||
− | | align="center"|4. ábra. ''Anomális kvantált Hall-jelenség grafénban'' | + | | align="center"|4. ábra. ''Anomális kvantált Hall-jelenség grafénban, forrás: Tóvári Endre diplomamunka, BME Fizika Tanszék, 2011.'' |
|} | |} | ||
− | A továbbiakban az egész számú kvantált Hall jelenség leírását szemléltetjük. A grafén fizikájáról egy külön | + | A továbbiakban az egész számú kvantált Hall-jelenség leírását szemléltetjük. A grafén fizikájáról egy külön fejezet keretében adunk leírást. |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
+ | |||
==Kétdimenziós elektrongáz mágneses térben, Landau-nívók == | ==Kétdimenziós elektrongáz mágneses térben, Landau-nívók == | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
99. sor: | 92. sor: | ||
{| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | {| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | ||
|- | |- | ||
− | | align="center"|[[Fájl:2DEG.jpg|közép| | + | | align="center"|[[Fájl:2DEG.jpg|közép|120px]] |
|- | |- | ||
| align="center"|5. ábra. ''Ciklotronpálya mágneses térbe helyezett 2DEG-ben'' | | align="center"|5. ábra. ''Ciklotronpálya mágneses térbe helyezett 2DEG-ben'' | ||
|} | |} | ||
− | Klasszikusan az elektronok ciklotronpályákon mozognak $\omega_c= | + | Klasszikusan az elektronok ciklotronpályákon mozognak (5. ábra) $\omega_c=eB/m$ körfrekvenciával, azaz a körfrekvencia nem függ az elektronok sebességétől, csak a mágneses tértől. |
− | + | ||
A körpálya sugara klasszikusan tetszőleges lehet az elektron sebességétől függően, kvantummechanikai tárgyalásban viszont a körpálya sugarának (illetve a mozgás energiájának) kvantáltságát várjuk. A Bohr - Sommerfeld kvantálási feltétel alapján meghatározhatjuk a lehetséges legkisebb sugarat (ciklotronsugár): | A körpálya sugara klasszikusan tetszőleges lehet az elektron sebességétől függően, kvantummechanikai tárgyalásban viszont a körpálya sugarának (illetve a mozgás energiájának) kvantáltságát várjuk. A Bohr - Sommerfeld kvantálási feltétel alapján meghatározhatjuk a lehetséges legkisebb sugarat (ciklotronsugár): | ||
$$2 \pi r_c = \lambda = \frac{2 \pi \hbar}{p} = \frac{2 \pi \hbar}{m \omega_c r} \;\; \Longrightarrow \;\; r_c=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega_c}}.$$ | $$2 \pi r_c = \lambda = \frac{2 \pi \hbar}{p} = \frac{2 \pi \hbar}{m \omega_c r} \;\; \Longrightarrow \;\; r_c=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega_c}}.$$ | ||
− | A kvantummechanikai viselkedés részletesebb leírásához oldjuk meg a rendszer Schrödinger egyenletét. | + | A kvantummechanikai viselkedés részletesebb leírásához oldjuk meg a rendszer Schrödinger-egyenletét. |
− | A Hamilton operátor: | + | A Hamilton-operátor: |
$$\hat{H}=\frac{1}{2}m(\hat{v}_x^2+\hat{v}_y^2),$$ | $$\hat{H}=\frac{1}{2}m(\hat{v}_x^2+\hat{v}_y^2),$$ | ||
− | ahol a sebességoperátor a $\hat{v}_i=(\hat{p}_i+e\hat{A}_i)/m$ képlettel származtatható a kanonikus impulzus operátorból, illetve a | + | ahol a sebességoperátor a $\hat{v}_i=(\hat{p}_i+e\hat{A}_i)/m$ képlettel származtatható a kanonikus impulzus operátorból, illetve a vektorpotenciálból. A minta síkjára (x,y) merőleges (z irányú) B térnél |
a vektorpotenciál az általánosság megszorítása nélkül vehető úgy, hogy csak x és y komponenssel rendelkezzen, azaz $A=(A_x(x,y),\;A_y(x,y))$. | a vektorpotenciál az általánosság megszorítása nélkül vehető úgy, hogy csak x és y komponenssel rendelkezzen, azaz $A=(A_x(x,y),\;A_y(x,y))$. | ||
− | Számoljuk ki a sebességoperátor x és y komponensének | + | Számoljuk ki a sebességoperátor x és y komponensének a kommutátorát! |
$$[\hat{v}_x,\hat{v}_y]=\frac{1}{m^2}[\hat{p}_x+e\hat{A}_x,\;\hat{p}_y+e\hat{A}_y]=\frac{\hbar e}{i m^2}\left([\partial_x,A_y]+[A_x,\partial_y] \right)=\frac{\hbar e}{i m^2}\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)=\frac{\hbar e B}{i m^2},$$ | $$[\hat{v}_x,\hat{v}_y]=\frac{1}{m^2}[\hat{p}_x+e\hat{A}_x,\;\hat{p}_y+e\hat{A}_y]=\frac{\hbar e}{i m^2}\left([\partial_x,A_y]+[A_x,\partial_y] \right)=\frac{\hbar e}{i m^2}\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)=\frac{\hbar e B}{i m^2},$$ | ||
azaz: | azaz: | ||
124. sor: | 116. sor: | ||
$$\hat{H}=\hbar \omega_c \left(\hat{a}^+\hat{a}+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\hbar \omega_c + \frac{\hbar \omega_c}{2 \alpha}(\hat{v}_x^2+\hat{v}_y^2-i\hat{v}_x\hat{v}_y+i\hat{v}_x\hat{v}_y)=\frac{1}{2}m(\hat{v}_x^2+\hat{v}_y^2)$$ | $$\hat{H}=\hbar \omega_c \left(\hat{a}^+\hat{a}+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\hbar \omega_c + \frac{\hbar \omega_c}{2 \alpha}(\hat{v}_x^2+\hat{v}_y^2-i\hat{v}_x\hat{v}_y+i\hat{v}_x\hat{v}_y)=\frac{1}{2}m(\hat{v}_x^2+\hat{v}_y^2)$$ | ||
formában írható fel, a két új operátor kommutátora pedig: | formában írható fel, a két új operátor kommutátora pedig: | ||
− | $$[\hat{a},\hat{a}^+]=\frac{1}{2 \alpha}[i\hat{v}_x+\hat{v}_y, -i\hat{v}_x+\hat{v}_y]=1$$ | + | $$[\hat{a},\hat{a}^+]=\frac{1}{2 \alpha}[i\hat{v}_x+\hat{v}_y, -i\hat{v}_x+\hat{v}_y]=1.$$ |
Látszik, hogy az új operátorok segítségével az egydimenziós harmonikus oszcillátor problémájára vezettük vissza a Schrödinger egyenletet, így további számolás nélkül megállapíthatjuk, hogy a mágneses térben mozgó elektronok lehetséges energiái a harmonikus oszcillátorhoz hasonlóan kvantáltak: | Látszik, hogy az új operátorok segítségével az egydimenziós harmonikus oszcillátor problémájára vezettük vissza a Schrödinger egyenletet, így további számolás nélkül megállapíthatjuk, hogy a mágneses térben mozgó elektronok lehetséges energiái a harmonikus oszcillátorhoz hasonlóan kvantáltak: | ||
− | $$E=\hbar \omega_c (n+\frac{1}{2}).$$ | + | $$E=\hbar \omega_c \left( n+\frac{1}{2}\right).$$ |
− | A kvantált energiaszinteket Landau nívóknak hívjuk. | + | A kvantált energiaszinteket Landau-nívóknak hívjuk. |
{| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | {| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | ||
|- | |- | ||
− | | align="center"|[[Fájl:LandauNivo.jpg|közép| | + | | align="center"|[[Fájl:LandauNivo.jpg|közép|250px]] |
|- | |- | ||
| align="center"|6. ábra. ''2DEG állapotsűrűségének energiafüggése zérus $B$ térben, illetve nagy mágneses térben kialakult Landau-nívók esetén'' | | align="center"|6. ábra. ''2DEG állapotsűrűségének energiafüggése zérus $B$ térben, illetve nagy mágneses térben kialakult Landau-nívók esetén'' | ||
|} | |} | ||
− | Ahogy a | + | Ahogy a 6. ábra mutatja, a mágneses tér bekapcsolása alapvetően megváltoztatja az elektronok állapotsűrűségének energia szerinti eloszlását. Mágneses tér nélkül az elektronok állapotsűrűsége konstans (energiafüggetlen), $g(\varepsilon)=2A m/2 \pi \hbar^2$. Nagy mágneses térben csak a kvantált Landau-szinteken helyezkedhetnek el elektronok, ezek a diszkrét energiaszintek viszont szükségszerűen sokszorosan degenerált állapotok. D-szeres degenerációt feltételezve az állapotsűrűség: $g(\varepsilon)=D \delta(\varepsilon-\hbar \omega_c(n+\frac{1}{2}))$. Mivel az elektronok száma a mágneses tér bekapcsolásával nem változik, így feltételezhető hogy egy Landau-szinten levő állapotok zérus térben $\hbar \omega_c$ szélességű energiatartományban helyezkednek el. Így egy Landau-szint degenerációja (a spin szerinti degenerációt is figyelembe véve): |
− | $$D=\hbar \omega_c 2 \frac{A m}{2 \pi \hbar^2}=\frac{2 e B A}{h} \;\; \Longrightarrow \;\; D=\frac{2 \Phi}{\Phi_0}, \ | + | $$D=\hbar \omega_c 2 \frac{A m}{2 \pi \hbar^2}=\frac{2 e B A}{h} \;\; \Longrightarrow \;\; D=\frac{2 \Phi}{\Phi_0},$$ |
+ | ahol $\Phi=B A$ a teljes fluxus$, \Phi_0=h/e$ pedig a fluxuskvantum. Egy teljesen betöltött Landau-szinten a fentiek alapján az elektronsűrűség: $n=2 e B/h$. | ||
− | + | A Landau-szintek magasfokú degenerációja mögött szemléletesen az áll, hogy egy ciklotronsugárnak megfelelő tipikus kiterjedésű elektronállapotot a minta $A$ felületén összesen$N\approx 2A/r_c^2\pi$ különböző helyre tehetünk le (a spin szerinti degenerációt is figyelembe véve). Ez alapján kis átalakítással $N=4\Phi/\Phi_0$ adódik, azaz naiv számolásunkkal egy egy kettes szorzó eltéréssel visszakaptuk a Landau-nívók fent kiszámolt degenerációs fokát. | |
− | + | ||
− | A Landau szintek | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
+ | A Landau-szintek kialakulásának fontos feltétele, hogy az elektronok a ciklotronpályát két ütközés között sokszor bejárják, azaz a cikotronpálya periódusideje a momentumrelaxációs időnél sokkal kisebb legyen, $\omega_c^{-1} \ll \tau_m$. Ez akkor teljesül, ha $B \gg \mu^{-1}$, ahol $\mu=e \tau_m /m$ az elektronok mobilitása a 2DEG-ben, azaz Landau-szinteket csak kellően tiszta mintában és kellően nagy mágneses térben látunk. További fontos feltétel, hogy Landau-szintek közötti energiakülönbség nagyobb legyen a hőmérsékletnél és a feszültségnél, $\hbar \omega_c >> k T,\; eV$. | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
− | === | + | ===Ciklotronpályák középpontjának mozgása=== |
<wlatex> | <wlatex> | ||
− | + | Nagy mágneses térben azt várjuk, hogy az elektronok egy középponti $r$ kordináta körül nagyon kis, $\approx r_c$ sugarú ciklotronmozgást végeznek. Klasszikusan az elektron éppen aktuális $r$ helyzetét | |
+ | $r = r_0 + \Delta r$ alakban írhatjuk, ahol $\Delta r$ a középpontból az aktuális ponta mutató vektor (7. ábra). | ||
{| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | {| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | ||
|- | |- | ||
− | | align="center"|[[Fájl:ciklotron.jpg|közép| | + | | align="center"|[[Fájl:ciklotron.jpg|közép|80px]] |
|- | |- | ||
| align="center"|7. ábra. | | align="center"|7. ábra. | ||
|} | |} | ||
− | + | Körmozgás esetén az elektront körpályán tartó centripetális erőt $F_{cp} = -m\omega^2\Delta r = - e v \times B$ alakban írhatjuk, ami jelen esetben értelemszerűen a Lorentz-erővel egyezik meg. Ez alapján a körpálya középpontját formálisan | |
− | + | ||
− | + | ||
$$r_0 = r-\frac{e}{m \omega^2} v \times B$$ | $$r_0 = r-\frac{e}{m \omega^2} v \times B$$ | ||
alakban írhatjuk. | alakban írhatjuk. | ||
− | Játsszunk el a gondolattal, hogy az $r_0$ koordinátát kvantummechanikai tartalommal ruházzuk fel a ciklotronpályák középpontjának helyét leíró operátorként | + | |
− | $$\hat{x}_0=\hat{x}-\frac{\hat{v}_y}{\omega_c},\;\; \hat{y}_0=\hat{y}-\frac{\hat{v}_x}{\omega_c}$$ | + | Játsszunk el a gondolattal, hogy az $r_0$ koordinátát kvantummechanikai tartalommal ruházzuk fel a ciklotronpályák középpontjának helyét leíró operátorként! Komponensenként kifejtve: |
+ | $$\hat{x}_0=\hat{x}-\frac{\hat{v}_y}{\omega_c},\;\; \hat{y}_0=\hat{y}-\frac{\hat{v}_x}{\omega_c}.$$ | ||
Vizsgáljuk meg, hogy a középponti koordináta várható értéke hogyan változik az idő függvényében: | Vizsgáljuk meg, hogy a középponti koordináta várható értéke hogyan változik az idő függvényében: | ||
$$\frac{d}{d t}\langle\hat{x}_0\rangle = \frac{i}{\hbar} \langle[\hat{H},\hat{x}]\rangle - \frac{i m}{2\hbar\omega_c} \langle[\hat{v}^2_x+\hat{v}^2_y,\hat{v}_y]\rangle = \hat{v}_x - \frac{i m}{2\hbar\omega_c} \langle[\hat{v}^2_x,\hat{v}_y]\rangle = 0,$$ | $$\frac{d}{d t}\langle\hat{x}_0\rangle = \frac{i}{\hbar} \langle[\hat{H},\hat{x}]\rangle - \frac{i m}{2\hbar\omega_c} \langle[\hat{v}^2_x+\hat{v}^2_y,\hat{v}_y]\rangle = \hat{v}_x - \frac{i m}{2\hbar\omega_c} \langle[\hat{v}^2_x,\hat{v}_y]\rangle = 0,$$ | ||
175. sor: | 159. sor: | ||
Érdemes kiszámolni a középponti koordináták operátorainak kommutátorát is: | Érdemes kiszámolni a középponti koordináták operátorainak kommutátorát is: | ||
− | $$[\hat{y}_0,\hat{x}_0] = \left[\hat{y} + \frac{\hat{v}_x}{\omega_c}, \hat{x} - \frac{\hat{v}_y}{\omega_c} \right] = -\left[\hat{y}, \frac{\hat{p}_y}{m \omega_c} \right] + \left[\frac{\hat{p}_x}{m \omega_c}, \hat{x}\right] - \left[ \frac{\hat{v}_x}{\omega_c}, \frac{\hat{v}_y}{\omega_c} \right] = \frac{\hbar}{i m \omega_c} = \frac{r_c^2}{i}$$ | + | $$[\hat{y}_0,\hat{x}_0] = \left[\hat{y} + \frac{\hat{v}_x}{\omega_c}, \hat{x} - \frac{\hat{v}_y}{\omega_c} \right] = -\left[\hat{y}, \frac{\hat{p}_y}{m \omega_c} \right] + \left[\frac{\hat{p}_x}{m \omega_c}, \hat{x}\right] - \left[ \frac{\hat{v}_x}{\omega_c}, \frac{\hat{v}_y}{\omega_c} \right] = \frac{\hbar}{i m \omega_c} = \frac{r_c^2}{i}.$$ |
− | Tetszőleges két fizikai mennyiség operátorára | + | Tetszőleges két fizikai mennyiség operátorára fennáll az általános Heisenberg-féle határozatlansági reláció, azaz: |
− | $$\Delta A \cdot \Delta B \geq \frac{1}{2}|\langle[ \hat{A}, \hat{B} ]\rangle|$$ | + | $$\Delta A \cdot \Delta B \geq \frac{1}{2}|\langle[ \hat{A}, \hat{B} ]\rangle|.$$ |
Ezt az összefüggést a középponti koordináta két komponensének operátorára vonatkoztatva | Ezt az összefüggést a középponti koordináta két komponensének operátorára vonatkoztatva | ||
$$\Delta x_0 \cdot \Delta y_0 \geq \frac{r^2_c}{2}$$ | $$\Delta x_0 \cdot \Delta y_0 \geq \frac{r^2_c}{2}$$ | ||
adódik, azaz a ciklotronpálya középpontjának x és y írányú kvantummechanikai bizonytalanságát összeszorozva pont az $r_c$ ciklotronsugár négyzete köszön vissza, egy elektron legalább $r_c^2/2$ ''helyet foglal''. Ez alapján körszimmetrikus hullámfüggvényt feltételezve a ciklotron pályák x és y irányban is $\approx r_c$ kiterjedésűek. | adódik, azaz a ciklotronpálya középpontjának x és y írányú kvantummechanikai bizonytalanságát összeszorozva pont az $r_c$ ciklotronsugár négyzete köszön vissza, egy elektron legalább $r_c^2/2$ ''helyet foglal''. Ez alapján körszimmetrikus hullámfüggvényt feltételezve a ciklotron pályák x és y irányban is $\approx r_c$ kiterjedésűek. | ||
+ | </wlatex> | ||
− | |||
− | |||
− | |||
===Bezáró és random potenciál=== | ===Bezáró és random potenciál=== | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
− | + | Az eddigiekben a Schrödinger-egyenletben csak az elektronok kinetikus energiáját vettük figyelembe. Egy valós, véges méretű mintában a minta széleinél jelentkező bezáró potenciált, illetve a felületi töltések és szennyezők hatásaként a minta belsejében jelentkező potenciálfluktuációkat is figyelembe kell venni (8. ábra): | |
− | Az eddigiekben a Schrödinger egyenletben csak az elektronok kinetikus energiáját vettük figyelembe. Egy valós, véges méretű mintában a minta széleinél jelentkező bezáró potenciált, illetve a | + | $$\hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{U} = \hat{H}_0 + \hat{U}_\mathrm{bezaro} + \hat{U}_\mathrm{flukt}.$$ |
− | + | ||
− | $$\hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{U} = \hat{H}_0 + \hat{U}_{bezaro} + \hat{U}_{flukt}$$ | + | |
{| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | {| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | ||
196. sor: | 176. sor: | ||
| align="center"|[[Fájl:QHall_potential.png|közép|350px]] | | align="center"|[[Fájl:QHall_potential.png|közép|350px]] | ||
|- | |- | ||
− | | align="center"|8. ábra. ''Landau-szintek módosulása a a minta szélénél a bezáró potenciál, illetve a minta | + | | align="center"|8. ábra. ''Landau-szintek módosulása a a minta szélénél a bezáró potenciál, illetve a minta belsejében jelentkező fluktuáló potenciál miatt'' |
|} | |} | ||
− | Az U potenciált perturbációként kezelve, és feltételezve hogy U lassan változik a hullámfüggvény tipikus kiterjedéséhez, $r_c$-hez képest (azaz elegendően nagy a mágneses tér) az energiária egyszerűen | + | Az $U$ potenciált perturbációként kezelve, és feltételezve hogy $U$ lassan változik a hullámfüggvény tipikus kiterjedéséhez, $r_c$-hez képest (azaz elegendően nagy a mágneses tér) az energiária egyszerűen |
$$E=\hbar \omega_c (n+\frac{1}{2}) + \langle \Psi | U | \Psi \rangle \approx E=\hbar \omega_c(n+\frac{1}{2}) + U(x_0,y_0)$$ | $$E=\hbar \omega_c (n+\frac{1}{2}) + \langle \Psi | U | \Psi \rangle \approx E=\hbar \omega_c(n+\frac{1}{2}) + U(x_0,y_0)$$ | ||
− | adódik, azaz a kvantált Landau szintek energiáit a hullámfüggvény középpontjánál vett potenciál értékével korrigáljuk. | + | adódik, azaz a kvantált Landau-szintek energiáit a hullámfüggvény középpontjánál vett potenciál értékével korrigáljuk. |
− | + | Véges $U$ esetén az elektronok mozgását úgy képzeljük el, hogy a gyors ($\omega_c$ körfrekvenciájú) és kis ($\sim r_c^2 \sim 1/B$) területre koncentrált ciklotronmozgás mellett a ciklotronpályák középpontjának koordinátái a potenciál hatására haladó mozgást végeznek. Írjuk fel a mozgásegyenletet $x_0$ és $y_0$-ra: | |
− | $$\frac{d}{d t}\langle\hat{x}_0\rangle = \frac{i}{\hbar} \langle[\hat{H},\hat{x}_0]\rangle = \frac{i}{\hbar} \langle[\hat{H}_0,\hat{x}_0]\rangle + \frac{i}{\hbar} \langle[\hat{U},\hat{x}_0]\rangle = - \frac{i}{\hbar m \omega_c} \langle[\hat{U},\hat{p}_y]\rangle = - \frac{1}{m \omega_c} \langle[U,\partial_x]\rangle = \frac{1}{e B} \ | + | $$\frac{d}{d t}\langle\hat{x}_0\rangle = \frac{i}{\hbar} \langle[\hat{H},\hat{x}_0]\rangle = \frac{i}{\hbar} \langle[\hat{H}_0,\hat{x}_0]\rangle + \frac{i}{\hbar} \langle[\hat{U},\hat{x}_0]\rangle = - \frac{i}{\hbar m \omega_c} \langle[\hat{U},\hat{p}_y]\rangle = - \frac{1}{m \omega_c} \langle[U,\partial_x]\rangle = \frac{1}{e B} \left< \frac{\partial U}{\partial y}\right> \approx \frac{1}{e B} \frac{\partial U(x_0,y_0)}{\partial y_0},$$ |
− | ahol megintcsak feltételeztük, hogy a hullámfüggvény kiterjedése kicsi U változásának skáláján. Hasonlóan: | + | ahol megintcsak feltételeztük, hogy a hullámfüggvény kiterjedése kicsi $U$ változásának skáláján. Hasonlóan: |
− | $$\frac{d}{d t}\ | + | $$\frac{d}{d t}\left< \hat{y}_0\right> = -\frac{1}{e B} \left< \frac{\partial U}{\partial x}\right> \approx -\frac{1}{e B} \frac{\partial U(x_0,y_0)}{\partial x_0}.$$ |
− | A fentiek alapján számoljuk ki a potenciál változását a pálya mentén, azaz U idő szerinti teljes deriváltját: | + | A fentiek alapján számoljuk ki a potenciál változását a pálya mentén, azaz $U$ idő szerinti teljes deriváltját: |
$$\frac{d U}{d t}=\frac{\partial U}{\partial x_0} \cdot \dot{x}_0 + \frac{\partial U}{\partial y_0} \cdot \dot{y}_0 = \frac{c}{e H} \left( \frac{\partial U}{\partial x_0} \frac{\partial U}{\partial y_0} - \frac{\partial U}{\partial y_0} \frac{\partial U}{\partial x_0} \right) = 0.$$ | $$\frac{d U}{d t}=\frac{\partial U}{\partial x_0} \cdot \dot{x}_0 + \frac{\partial U}{\partial y_0} \cdot \dot{y}_0 = \frac{c}{e H} \left( \frac{\partial U}{\partial x_0} \frac{\partial U}{\partial y_0} - \frac{\partial U}{\partial y_0} \frac{\partial U}{\partial x_0} \right) = 0.$$ | ||
Számolásunk alapján a ''ciklotronpályák középpontja ekvipotenciális felületek mentén mozog''! | Számolásunk alapján a ''ciklotronpályák középpontja ekvipotenciális felületek mentén mozog''! | ||
− | |||
</wlatex> | </wlatex> | ||
− | == | + | ==Elektrontranszport egyetlen Landau-nívó esetén== |
<wlatex> | <wlatex> | ||
− | + | Tételezzünk fel olyan mágneses teret, melynél a Fermi-energia az első és második Landau-szint között helyezkedik el, azaz az első Landau-szint teljesen betöltött, a második pedig betöltetlen (lásd 9. ábra, bal oldal). Ebben az esetben a Fermi-energiánál | |
− | a minta | + | a minta széleinél találunk csak állapotokat a bezáró potenciálnak köszönhetően, a minta belsejében egy ''tiltott sávot'' tapasztalunk a Fermi-energia és a betöltött Landau-szint között. Ebben az esetben elektrontranszport csak a minta szélei mentén megengedett, ahol az elektronok energiája metszi a Fermi-energiát. Mivel a minta két szélét elválasztó makroszkopikus méretű tartományban az elektrontranszport nem megengedett, így a minta két széle között nem történhet átszóródás (9. ábra, jobb oldal). |
{| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | {| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | ||
226. sor: | 205. sor: | ||
Vizsgáljuk meg a minta felső széle mentén az elektronpályák középpontjának mozgását. Korábban kiszámolt képletünk alapján: | Vizsgáljuk meg a minta felső széle mentén az elektronpályák középpontjának mozgását. Korábban kiszámolt képletünk alapján: | ||
− | $$\dot{x}_0=\frac{1}{e B} \frac{\partial U_{bezaro}}{\partial y_0} > 0,$$ | + | $$\dot{x}_0=\frac{1}{e B} \frac{\partial U_\mathrm{bezaro}}{\partial y_0} > 0,$$ |
azaz, mivel a felső élnél a bezáró potenciál y szerinti deriváltja pozitív, így az elektronok pozitív x irányban mozognak. Y irányban a bezáró potenciál nem változik, így az elektronok középpontjának y irányú sebessége zérus. | azaz, mivel a felső élnél a bezáró potenciál y szerinti deriváltja pozitív, így az elektronok pozitív x irányban mozognak. Y irányban a bezáró potenciál nem változik, így az elektronok középpontjának y irányú sebessége zérus. | ||
Hasonlóan megállapítható, hogy a minta alsó szélénél az elektronok negatív x irányú mozgást végeznek. | Hasonlóan megállapítható, hogy a minta alsó szélénél az elektronok negatív x irányú mozgást végeznek. | ||
− | Az előbbi megállapítás önmagában elég ahhoz, hogy a kvantált Hall-effektus egyik meglepő tulajdonságát megértsük. Mivel a felső él mentén csak pozitív irányban haladhatnak az elektronok, és az alsó és felső ''élállapotok'' között nem megengedett az átszórás, így a felső él mentén mozgó elektronok mind a baloldali elektródából származnak, azaz kémiai potenciáljuk $\mu_1$. Hasonlóképpen az alsó él mentén mozgó elektronok mind a jobb oldali elketródából származnak, azaz $\mu_2$ kémiai potenciállal rendelkeznek. Így érthető, hogy egy él mentén mért hosszirányú feszültség zérus, a két él között pedig a két elektróda kémiai potenciál különbségének megfelelő Hall feszültség jelentkezik, | + | Az előbbi megállapítás önmagában elég ahhoz, hogy a kvantált Hall-effektus egyik meglepő tulajdonságát megértsük. Mivel a felső él mentén csak pozitív irányban haladhatnak az elektronok, és az alsó és felső ''élállapotok'' között nem megengedett az átszórás, így a felső él mentén mozgó elektronok mind a baloldali elektródából származnak, azaz kémiai potenciáljuk $\mu_1$. Hasonlóképpen az alsó él mentén mozgó elektronok mind a jobb oldali elketródából származnak, azaz $\mu_2$ kémiai potenciállal rendelkeznek (9. ábra, jobb oldal). Így érthető, hogy egy él mentén mért hosszirányú feszültség zérus, a két él között pedig a két elektróda kémiai potenciál különbségének megfelelő Hall-feszültség jelentkezik, |
$$V_{xx}=0,\;\; V_H=(\mu_1-\mu_2)/e.$$ | $$V_{xx}=0,\;\; V_H=(\mu_1-\mu_2)/e.$$ | ||
− | A Hall-ellenállás meghatározásához az élállapotokon keresztül folyó áramot is meg kell határoznunk. Először számoljuk ki, hogy egy élállapot $d\ | + | A Hall-ellenállás meghatározásához az élállapotokon keresztül folyó áramot is meg kell határoznunk. Először számoljuk ki, hogy egy élállapot $d\varepsilon$ szélességű energiatartománya mekkora járulékot ad az áramhoz. |
+ | A $d\varepsilon$ energiatartomány $dy$ szélességű térbeli tartománynak felel meg az él mentén, ahol $d\varepsilon/dy$ a potenciál y szerinti deriváltja (10. ábra). | ||
{| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | {| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | ||
|- | |- | ||
240. sor: | 220. sor: | ||
| align="center"|10. ábra. | | align="center"|10. ábra. | ||
|} | |} | ||
− | + | Korábbi számolásaink alapján az elektronok sebessége $v=(1/e B)\cdot (\mathrm{d} \varepsilon/\mathrm{d} y)$, az elektronsűrűség pedig $n=2eB/h$, így az áramra | |
− | $$I=j \mathrm{d} y = n e v \mathrm{d} y = \frac{2 e}{h} \mathrm{d} \ | + | $$I=j \mathrm{d} y = n e v \mathrm{d} y = \frac{2 e}{h} \mathrm{d} \varepsilon$$ |
adódik. | adódik. | ||
+ | |||
{| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | {| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | ||
|- | |- | ||
249. sor: | 230. sor: | ||
| align="center"|11. ábra. | | align="center"|11. ábra. | ||
|} | |} | ||
− | Mivel $\mu_1-\mu_2=e V$ esetén a felső él mentén $eV$-vel magasabb energiáig vannak betöltve az állapotok mint az alsó él mentén, így a | + | Mivel $\mu_1-\mu_2=e V$ esetén a felső él mentén $eV$-vel magasabb energiáig vannak betöltve az állapotok mint az alsó él mentén (11. ábra), így a mintán folyó teljes áram |
$$I=\frac{2 e}{h} e V.$$ | $$I=\frac{2 e}{h} e V.$$ | ||
− | Ennek megfelelően a Hall ellenállás illetve a Hall vezetőképesség: | + | Ennek megfelelően a Hall-ellenállás illetve a Hall-vezetőképesség: |
$$R_H=\frac{V_H}{I}=\frac{h}{2 e^2}, \ \ \ G_H=\frac{I}{V_H}=\frac{2 e^2}{h}$$ | $$R_H=\frac{V_H}{I}=\frac{h}{2 e^2}, \ \ \ G_H=\frac{I}{V_H}=\frac{2 e^2}{h}$$ | ||
− | A Hall-vezetőképességre kapott eredmény megegyezik egy egycsatornás tökéletes kvantumvezeték ellenállásával, azaz a vezetőképesség kvantummal | + | A Hall-vezetőképességre kapott eredmény megegyezik egy [[Transzport nanovezetékekben: Landauer-formula, vezetőképesség-kvantálás#Kvantumvezeték ellenállása|egycsatornás tökéletes kvantumvezeték ellenállásával, azaz a vezetőképesség kvantummal]]. Fontos azonban megemlíteni, hogy nanovezetékekben a vezetőképesség-kvantálás csak a hullámhosszal összemérhető méreteknél és simán változó (visszaszórásmentes) potenciálban figyelhető meg, addig a kvantált Hall-effektus a jobbra és balra haladó állapotok térbeli szeparációjának köszönhetően egy makroszkopikus mintán megfigyelhető jelenség. |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
− | == Több Landau nívó, Zeeman felhasadás == | + | == Több Landau-nívó, Zeeman-felhasadás == |
<wlatex> | <wlatex> | ||
− | A korábbiakban a Landau nívókat spin szerint degeneráltnak tekintettük. Természetesen mágneses térben az energiák spin szerinti Zeeman-felhasadását is figyelembe kell venni: | + | A korábbiakban a Landau-nívókat spin szerint degeneráltnak tekintettük. Természetesen mágneses térben az energiák spin szerinti Zeeman-felhasadását is figyelembe kell venni: |
− | $$E=\hbar \omega_c (n+\frac{1}{2})+U_{bezaro} + g \mu_B B S_z,$$ | + | $$E=\hbar \omega_c \left(n+\frac{1}{2} \right) +U_\mathrm{bezaro} + g \mu_B B S_z,$$ |
ahol $S_z=\pm1/2$ az elektronspin z irányú komponense. | ahol $S_z=\pm1/2$ az elektronspin z irányú komponense. | ||
− | Félvezetőkben a kis effektív tömeg miatt tipikusan $\hbar \omega_c | + | Félvezetőkben a kis effektív tömeg miatt tipikusan $\hbar \omega_c \gg g \mu_B B$ ($\hbar \omega_c [K] \approx 20 B [T],\;\; g \mu_B B [K] \approx 0.3 \cdot B [T]$), de ha a $B$ tér elegendően nagy akkor a Landau-szintek fel és le spinű elektronjai elkülönült energiaszinteket tudnak létrehozni, ezek a spinpolarizált Landau-szintek (12. ábra). |
− | + | {| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | |
− | [[Fájl:QHall_splitting.png|közép|350px | + | |- |
− | + | | align="center"|[[Fájl:QHall_splitting.png|közép|350px]] | |
+ | |- | ||
+ | | align="center"|12. ábra. ''Spinpolarizált Landau-szintek'' | ||
+ | |} | ||
− | Egyetlen teljesen | + | Egyetlen teljesen betöltött spinpolarizált Landau-szint esetén a minta két szélén kialakuló élállapot értelemszerűen $G_H=e^2/h$ vezetőképességet ad, hiszen csak a spindegenerációból adódó kettes faktort kell elhagyni az állapotsűrűségből. |
− | Ha a Fermi energia alatt M db. | + | Ha a Fermi-energia alatt M db. spinpolarizált Landau-szint található, és a minta belsejében a Fermi-energia két Landau-szint közé esik, akkor a Hall-vezetőképesség: |
− | + | $$G_H=\frac{e^2}{h} M,$$ | |
− | $$G_H | + | azaz visszakaptuk a kísérletekben megfigyelt értékeket. A mérések szerint $R_H$ relatív pontossága akár $\sim 10^{-7}$ is lehet, ami a visszaszórás hiányának tökéletességét mutatja. Fontos megjegyezni, hogy a minta egyik oldalán különböző Landau-szintek közötti átszórás nem változtat a vezetőképességen, hiszen csak az számít, hogy egy adott élállapotban elinduló elektron - még ha át is szóródik másik élállapotba - biztosan nem jut vissza a kiinduló elektródába. |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
+ | A jelenség megértését segíti a 13. ábrán bemutatott klasszikus kép is: az élek mentén hiába szóródik szennyezőkön egy elektron, az 1. elektródából induló elektron végül mindig a 2. elektródába érkezik! | ||
+ | {| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | ||
+ | |- | ||
+ | | align="center"|[[Fájl:HallClassic.jpg|közép|250px]] | ||
+ | |- | ||
+ | | align="center"|13. ábra. ''Élállapotok klasszikus ciklotronpályákkal szemléltetve'' | ||
+ | |} | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
==A Fermi-energia helyzete == | ==A Fermi-energia helyzete == | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
− | A fenti megfontolások alapján pontosan kijön a Hall-ellenállás kvantáltsága, azonban a számolások azon a feltételezésen alapulnak, hogy a Fermi energia két Landau-szint közé esik, ami nem feltétlenül igaz. Vizsgáljuk meg pontosabban, hogy mikor is esik a Fermi | + | A fenti megfontolások alapján pontosan kijön a Hall-ellenállás kvantáltsága, azonban a számolások azon a feltételezésen alapulnak, hogy a Fermi-energia két Landau-szint közé esik, ami nem feltétlenül igaz. Vizsgáljuk meg pontosabban, hogy mikor is esik a Fermi-energia két Landau-szint közé! |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
+ | {| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | ||
+ | |- | ||
+ | | align="center"|[[Fájl:Ef.jpg|közép|250px]] | ||
+ | |- | ||
+ | | align="center"|14. ábra. ''Felső panel: a Fermi energia változása 1/B függvényében. Általában a Fermi energia valamelyik tömbi, spinpolarizált Landau-szintnél található (vízszintes platók), és csak nagyon szűk mágneses tér tartományokban kerül $\varepsilon_F$ két Landau-szint közé. Az alsó panel azt szemlélteti, hogy a Hall-vezetőképesség kvantált értékeit csak azokban a diszkrét (zöld) pontokban várjuk, ahol $\varepsilon_F$ két Landau-szint között helyezkedik el.'' | ||
+ | |} | ||
+ | 1/B növelésével egymás után töltjük be a spinpolarizált Landau-szinteket. A Landau-szintek óriási degenerációja miatt a Fermi-energia szinte mindig az egyik Landau-szintre esik, kivéve amikor éppen egy teljesen betöltött és egy betöltetlen Landau-szint közötti élállapotokat töltünk fel. Az élállapotok száma azonban elhanyagolható a Landau-szintek belső állapotainak számához képest: egyszerű becslésként e két állapotszám úgy aránylik egymáshoz mint a minta makroszkopikus szélessége az élállapot nanométeres skálájú y irányú kiterjedéséhez. Ennek megfelelően csak nagyon szűk mágneses tér tartományokban várjuk, hogy a Fermi-energia két tömbi Landau-szint energiája között legyen (14. ábra, felső panel). Ha viszont a Fermi-energia egy tömbi Landau-szintnél helyezkedik el, akkor ezen a Landau-szinten keresztül már átszóródhatnak az elektronok a két él között (15. ábra), azaz a korábbi érvelésünk érvénytelen. Azaz azt a lehangoló eredményt kaptuk, hogy a Hall-vezetőképesség csak nagyon szűk, szinte pontszerű mágneses-tér tartományokban veszi fel a várt kvantált értékeket, ráadásul ezek a pontok jól illeszkednek a klasszikus Hall-vezetőképesség 1/B-vel lineárisan arányos változására (14. ábra alsó panel), azaz a kiterjedt Hall-platókra eddig nem kaptunk magyarázatot. | ||
+ | {| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | ||
+ | |- | ||
+ | | align="center"|[[Fájl:QHall_E_Fermi.png|közép|150px]] | ||
+ | |- | ||
+ | | align="center"|15. ábra. ''Ha a Fermi-energia egy tömbi Landau-szintnél található, akkor a két oldalon haladó élállapotok között az eletronok át tudnak szóródni a tömbi Landau-szinten keresztül'' | ||
+ | |} | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
== Rendezetlenség szerepe == | == Rendezetlenség szerepe == | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
+ | Az eddigi számolásokban csak az élállapotok kialakulásáért felelős bezáró potenciált vettük figyelembe. A kiterjedt kvantált Hall-platók megértéséhez a minta belsejében kialakuló fluktuáló potenciált is figyelembe kell venni. Tökéletlen minta (azaz véges fluktuáló potenciál) esetén a tömbi Landau-szintektől eltérő energiánál az elektronok nem csak az élállapot mentén mozoghatnak, hanem a minta belsejében a fluktuáló potenciál adott energiának megfelelő ekvipotenciális vonalai mentén is. Ha az energia kellőképpen eltér a tömbi Landau-szintektől, akkor az elektronok a fluktuáló potenciál hegyei vagy völgyei mentén kis kiterjedésű zárt pályákra kényszerülnek (16. ábra bal oldal), azaz a minta belsejében vannak a Landau-szintektől eltérő energiájú állapotok, de ezek lokalizált állapotok, a minta két széle közötti transzporthoz nem járulnak hozzá. A tömbi Landau-szinteknek megfelelő energiáknál az elektronok már találnak az ekvipotenciális vonalak mentén olyan trajektróriákat, melyek mentén átszóródhatnak a minta két széle között (16. ábra jobb oldal). | ||
− | + | {| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | |
+ | |- | ||
+ | | align="center"|[[Fájl:QHall_equipotential.png|közép|450px]] | ||
+ | |- | ||
+ | | align="center"|16. ábra. ''Elektronok mozgása ekvipotenciális felületek mentén'' | ||
+ | |} | ||
− | + | A fentiek gondolatmenet alapján megállapíthatjuk, hogy tökéletlen minta esetén a Landau-szintek körüli véges energiatartományban véges állapotsűrűséget tapasztalunk (17. ábra), azonban a Landau-szintektől távolabb ez a véges állapotsűrűség a tömbi tartomány potenciáljában lokalizált állapotoknak felel meg. Ennek megfelelően a Fermi-energia kiterjedt mágneses tér tartományokban eltér Landau-szintek energiájától, de ezeknél az energiáknál továbbra is igaz a két oldalon kialakuló élállapotok közötti átszórás tilalma, azaz valóban véges szélességű kvantált Hall-platókat várunk. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | {| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | |
− | + | |- | |
− | + | | align="center"|[[Fájl:szennyezesek.jpg|közép|450px]] | |
− | [[Fájl:szennyezesek.jpg|közép|450px | + | |- |
− | + | | align="center"|17. ábra. ''Szennyezők hatása az állapotsűrűségre: a Landau-szintek körüli szélesebb energiatartományban lokalizált elektronállapotok jelennek meg'' | |
− | + | |} | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
+ | A fentiek alapján látjuk, hogy a rendezetlenségnek kettős szerepe van a kvantált Hall-jelenség szempontjából. Egyrészt túl nagy szennyező-koncentráció, melynél a szórások közötti átlagos idő összemérhető a ciklotronmozgás periódusidejével ($B \sim 1/\mu$) lerombolja a kvantált Hall-jelenséget. Másrészt ha a minta túl tökéletes, akkor szintén nem várunk kiterjedt kvantált Hall-platókat, azaz a minta tökéletlensége teszi lehetővé, hogy $R_H=h/e^2$ legyen a létező legpontosabb ellenállás standard. Ez utóbbi egyértelműen látszik a tört számú kvantált Hall-effektust bemutató kísérletekben.<sup>[http://prl.aps.org/abstract/PRL/v48/i22/p1559_1 2],[http://prl.aps.org/abstract/PRL/v50/i18/p1395_1 3]</sup> Ezekhez a mérésekhez nagyon jó minőségű (nagy szabad úthosszal rendelkező) kétdimenziós elektrongáz rendszerek kellettek (epitaxiálisan növesztett GaAs/AlGaAs 2DEG + delta dópolás + nagyon alacsony hőmérséklet), és ennek megfelelően az egész számú kvantált Hall-platók sokkal ''csúnyábbak'', kevésbé kiterjedtek mint Klaus von Klitzing IQHE mérései.<sup>[http://prl.aps.org/abstract/PRL/v45/i6/p494_1 1]</sup> | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
− | + | ==Mach-Zehnder interferométer kvantált Hall-élállapotokkal== | |
− | == Mach-Zehnder interferométer | + | |
<wlatex> | <wlatex> | ||
+ | A kvantált Hall-effektus - azon túl, hogy önmagában is érdekes jelenség - a nanofizika eszköztárát is fontos kísérleti technikával bővítette. Az kvantált Hall-élállapotok a visszaszórás hiánya miatt kifejezetten jól használhatók arra, hogy kvantum elektronikai kísérleteket végezzünk. Az alábbiakban a legalapvetőbb példát mutatjuk be: egy Mach Zehnder interferométer kialakítását élállapotokkal.<sup>[http://www.nature.com/nature/journal/v422/n6930/full/nature01503.html 7]</sup> | ||
− | + | {| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | |
+ | |- | ||
+ | | align="center"|[[Fájl:QHall_interferometer.png|közép|350px]] | ||
+ | |- | ||
+ | | align="center"|18. ábra. ''Mach-Zehnder interferométer kvantált Hall-élállapotokkal'' | ||
+ | |} | ||
− | + | Az optikában jól ismert Mach-Zehnder interferométer elvét elektronokkal a 18. ábrán szemléltetett módon, pár mikrométer méretű áramkörben lehet megvalósítani. Az elektronok egy 2DEG-ben, a szürkével jelzett tartományokban mozoghatnak. Nagy mágneses térrel az elektronokot élállapotokra kényszerítjük, a $B$ teret úgy állítjuk be, hogy csak egy Landau-szint legyen betöltve. Az S elektródára feszültséget kapcsolunk, a D1 elektródán a föld felé folyó áramot mérünk, a D2 elektródát leföldeljük. Az S elektródából induló élállapotban az elektronok eljutnak a QPC1 [[Transzport nanovezetékekben: Landauer-formula, vezetőképesség-kvantálás#Vezetőképesség-kvantálás kvantum-pontkontaktusban|kvantum-pontkontaktushoz]], mely félig áteresztő tükérként van beállítva, azaz a nyaláb felét visszaveri, a másik felét átengedi ($\mathcal{T}=0.5$). A két parciális elektronhullám a QPC2 kvantum-pontkontaktusnál találkozik, mely mindkét nyalábot $\mathcal{T}=0.5$ valószínűséggel a D1 elektróda felé haladó élállapotba szórja, így a D1-nél mért áramban láthatjuk a két nyaláb közti interferenciát. A két nyaláb közötti fázisviszony kétféleképpen is hangolható: egyrészt a G kapuelektródára helyezett feszültséggel hangolhatjuk az alsó ágon haladó elektronok trajektóriájának hosszát, másrészt a mágneses tér enyhe változtatásával hangolhatjuk a két nyaláb közti [[Interferencia_és_dekoherencia_nanoszerkezetekben#Aharonov-Bohm_gyűrű|Aharonov-Bohm fázisból]] adódó fáziskülönbséget. Mind a G-re adott feszültség, mind a mágneses tér változtatásával közel 100%-os kontrasztú oszcilláció látható a D1 elektróda áramában.<sup>[http://www.nature.com/nature/journal/v422/n6930/full/nature01503.html 7]</sup> | |
+ | </wlatex> | ||
− | + | ==Hivatkozások== | |
− | + | ||
− | + | ===Fent hivatkozott szakcikkek=== | |
− | [[ | + | [1] [http://prl.aps.org/abstract/PRL/v45/i6/p494_1 K. v. Klitzing, G. Dorda, M. Pepper: ''New Method for High-Accuracy Determination of the Fine-Structure Constant Based on Quantized Hall Resistance'', '''Phys. Rev. Lett. 45''' p494–497 (1980)] |
− | + | ||
− | + | [2] [http://prl.aps.org/abstract/PRL/v48/i22/p1559_1 D. C. Tsui, H. L. Stormer, A. C. Gossard: ''Two-Dimensional Magnetotransport in the Extreme Quantum Limit'', '''Phys. Rev. Lett. 48''' p1559–1562 (1982)] | |
− | + | [3] [http://rmp.aps.org/abstract/RMP/v71/i4/p875_1 Horst L. Stormer: ''Nobel Lecture: The fractional quantum Hall effect'', '''Rev. Mod. Phys. 71''' p875–889 (1999)] | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
+ | [4] [http://prl.aps.org/abstract/PRL/v50/i18/p1395_1 R. B. Laughlin: ''Anomalous Quantum Hall Effect: An Incompressible Quantum Fluid with Fractionally Charged Excitations'', '''Phys. Rev. Lett. 50''' p1395–1398 (1983)] | ||
+ | [5] [http://www.nature.com/nature/journal/v438/n7065/full/nature04233.html K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, M. I. Katsnelson, I. V. Grigorieva, S. V. Dubonos, A. A. Firsov: ''Two-dimensional gas of massless Dirac fermions in graphene'', '''Nature 438''' p197-200 (2005)] | ||
− | + | [6] [http://www.sciencemag.org/content/315/5817/1379.abstract K. S. Novoselov, Z. Jiang, Y. Zhang, S. V. Morozov, H. L. Stormer, U. Zeitler, J. C. Maan, G. S. Boebinger, P. Kim, A. K. Geim: ''Room-Temperature Quantum Hall Effect in Graphene'', '''Science 315''' p. 1379 (2007)] | |
− | + | [7] [http://www.nature.com/nature/journal/v422/n6930/full/nature01503.html Yang Ji, Yunchul Chung, D. Sprinzak, M. Heiblum, D. Mahalu, Hadas Shtrikman: ''An electronic Mach–Zehnder interferometer'', '''Nature 422''' p415-418 (2003)] | |
− | [ | + | ===Ajánlott könyvek és összefoglaló cikkek=== |
− | + | *[http://books.google.hu/books/about/Electronic_Transport_in_Mesoscopic_Syste.html?id=28BC-ofEhvUC&redir_esc=y S. Datta: ''Electronic Transport in Mesoscopic Systems'', Cambridge University Press (1997)] | |
+ | *[http://books.google.hu/books/about/Semiconductor_Nanostructures.html?id=qD6623gfAZgC&redir_esc=y Thomas Ihn: ''Semiconducting nanosctructures'', OUP Oxford (2010)] | ||
+ | *[http://books.google.hu/books?id=YNr4OcCExUcC&printsec=frontcover&dq=Nazarov+quantum+transport&hl=hu&sa=X&ei=2SzZUfGCMYna4ASDq4DQBQ&ved=0CDIQ6AEwAA Yuli V. Nazarov, Yaroslav M. Blanter: ''Quantum Transport: Introduction to Nanoscience'', Cambridge University Press (2009)] | ||
− | + | ===Ajánlott kurzusok=== | |
− | + | *[[Új kísérletek a nanofizikában|''Új kísérletek a nanofizikában'', Halbritter András és Csonka Szabolcs, BME Fizika Tanszék]] | |
− | + | *[[Transzport komplex nanoszerkezetekben|''Transzport komplex nanoszerkezetekben'', Halbritter András, Csonka Szabolcs, Csontos Miklós, Makk Péter, BME Fizika Tanszék]] | |
+ | *[[Alkalmazott szilárdtestfizika|''Alkalmazott szilárdtestfizika'', Mihály György, BME Fizika Tanszék]] | ||
+ | *[[Fizika 3 - Villamosmérnöki mesterszak|''Fizika 3'', Mihály György, BME Fizika Tanszék (mérnök hallgatóknak)]] | ||
+ | *[http://www.phy.bme.hu/~zarand/mezoszkopia.html ''Mezoszkopikus rendszerek fizikája'', Zaránd Gergely, BME Elméleti Fizika Tanszék] | ||
+ | *''Mezoszkopikus rendszerek fizikája'', Cserti József, ELTE Komplex Rendszerek Fizikája Tanszék |
A lap jelenlegi, 2013. július 11., 16:17-kori változata
Klasszikus Hall-effektus
A Hall-effektust 1879-ben Edwin Hall fedezte fel. A jelenség lényege, hogy ha egy síkszerű elektromos vezetőben a síkra merőleges mágneses tér jelenlétében áram folyik, akkor a vezető két oldala között az elektronokra ható Lorentz-erő miatt feszültség jelenik meg.
1. ábra. Hall-jelenség méréséhez használt elrendezés |
A Hall-jelenséget általában az 1. ábrán bemutatott Hall-elrendezésben szokták mérni. Az x irányú áram az 1. és 2. kontaktus között folyik. Ha a mérést zérus mágneses térben végezzük, akkor a 4. és 5. kontaktus között (y irányban) nem mérünk feszültséget. A 3. és 4. kontaktus között mért
longitudinális feszültség és az áram arányából pedig a minta négypont ellenállását kapjuk meg.
A minta síkjára merőleges (z irányú) mágneses teret kapcsolva a 4. és 5. kontaktus között
Hall-feszültség jelenik meg, melynek az értéke a mágneses tér nagyságával lineárisan változik (2. ábra, piros görbe). A 3. és 4. kontaktus között (kismértékű mágneses ellenállástól eltekintve) továbbra is a zérus térben tapasztalt longitudinális ellenállást mérjük (2. ábra, kék görbe).
2. ábra. Hall-feszültség és longitudinális feszültség változása a mágneses térrel |
A Hall-jelenség jól leírható klasszikus, Drude-közelítésben. Az egyszerűség kedvéért számoljunk két dimenzióban. Az elektronok impulzusának idő szerinti deriváltját az elektronokra ható erők összegeként kapjuk meg. A
elektromos, illetve
Lorentz erő mellett figyelembe vesszük azt is, hogy a a kristályban történő szóródások következtében az elektronok átlagosan
momentumrelaxációs idő alatt elveszítik impulzusukat:
![\[m \frac{dv}{dt}=-eE-ev \times B - m \frac{v}{\tau_m}.\]](/images/math/a/4/0/a40d7310b8c331638a3c505446d0b0ac.png)
A sebesség helyett vezessük be a áramsűrűséget, ahol
az elektronok (kétdimenziós) sűrűsége.
Az egyenletet átrendezve az alábbi mátrixegyenletet kapjuk az elektromos tér és az áramsűrűség komponensei között:
![\[\left( \begin{array}{c} E_x \\ E_y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} m/e^2 n \tau_m & B/e n \\ -B/e n & m/e^2 n \tau_m \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} j_x \\ j_y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \rho_{xx} & \rho_{xy} \\ \rho_{yx} & \rho_{yy} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} j_x \\ j_y \end{array} \right).\]](/images/math/a/f/f/affb8c8691fb45b35bac75ddd96f23ca.png)
Az áramot x irányba folyatva és x irányú feszültséget mérve a minta longitudinális ellenállását a fajlagos ellenállásból kaphatjuk meg a geometriai faktorokkal történő skálázás után.
A fenti számolásból jól látszik, hogy véges mágneses térben x irányú áram esetén y irányú feszültség is megjelenik. A Hall-ellenállást a 4. és 5. kontaktusok között megjelenő Hall-feszültség és az
áram hányadosaként definiáljuk. Két dimenzióban ez megegyezik az y irányú elektromos tér és az x irányú áramsűrűség arányával:
![\[R_H=\frac{V_H}{I}=\frac{E_y}{j_x}=\rho_{yx}=-\frac{B}{e n}.\]](/images/math/2/0/8/20880a9554882e5cebff4b0f5b2ac003.png)
Egyszerű számolásunkból jól látszik, hogy a Hall-ellenállás a mágneses térrel egyenesen arányos, és ezen kívül csak az elektronok sűrűségétől függ, azaz az
relaxációs idő a longitudinális ellenállástól eltérően a Hall-ellenállásban nem jelenik meg. Ennek köszönhetően a Hall-ellenállás mérése általánosan bevett módszer félvezetők elektronsűrűségének meghatározására. Érdemes megjegyezni, hogy
-típusú félvezetőkben, azaz amikor az áramot nem elektronok, hanem lyukak vezetik, a Hall-ellenállás előjelet vált. A Hall-jelenséget - amellett hogy a szilárdtestfizika alapvető mérési módszerei közé tartozik - a hétköznapokban is gyakran használjuk különböző elektronikai eszközökben elhelyezett mágneses tér szenzorok formájában.
Hall-jelenséget elsősorban félvezetőkben szoktak tanulmányozni, hiszen az alacsony elektronsűrűség miatt a Hall-ellenállás viszonylag könnyen mérhető. Fémekben a nagy elektronsűrűség miatt a Hall-ellenállás értéke sokkal kisebb, de precíziós műszerekkel fémekben is vizsgálható a Hall-jelenség. Mindezekről a fizikushallgatók maguk is meggyőződhetnek a Hall-effektus c. hallgatói mérés során.
Kvantált Hall-effektus
Klaus von Klitzing meglepő felfedezése
A Hall-jelenséget megfelelően nagy tisztaságú kétdimenziós elektrongázban (2DEG) és elegendően nagy mágneses térben vizsgálva nagyon meglepő viselkedést tapasztalunk. A Hall-ellenállás a lineáris térfüggés helyett lépcsőszerűen változik, a longitudinális ellenállás pedig zérus értéket vesz fel () azokban a mágneses tér tartományokban, ahol a Hall-ellenállás vízszintes platót mutat (lásd 3. ábra).
3. ábra. Kvantált Hall-jelenség, forrás: Wikipedia |
A kvantált Hall-ellenállás értékeket egy univerzális állandó és egy egész szám hányadosaként kapjuk meg:
![\[R_H=\frac{h}{e^2 n}, \;\;\;n=0,1,2,\dots,\]](/images/math/9/8/2/98210ceb9358c0a152f4f1b27ddc3485.png)
ami a spindegeneráció miatti 2-es szorzótól eltekintve a vezetőképesség kvantálás képletének felel meg.
A tapasztalatok szerint a kvantált értékek függetlenek a minta alakjától, méretétől, anyagától, és
kísérletileg meghatározott értékei akár
pontossággal leírhatók a fenti egyszerű képlettel, azaz a kvantált Hall-platók ellenállás-standardként is jól használhatók.
A kvantált Hall-jelenséget Klaus von Klitzing fedezte fel 1980-ban.1 Pár évvel később (1985-ben) felfedezését Nobel-díjjal jutalmazták.
A következő Nobel-díj: tört számú kvantált Hall-effektus
A kvantált Hall-jelenség felfedezése óriási érdeklődést váltott ki, és nem kellett sokat várni újabb meglepő kísérleti eredményekre. Daniel Tsui és Horst Störmer kísérletei 1982-ben megmutatták,2,3 hogy még tisztább kétdimenziós elektrongázban és még nagyobb mágneses térben a Hall-ellenállás
![\[R_H=\frac{h}{e^2 \nu},\;\;\; \nu=\frac{p}{q}, \;\;\; p,q=0,1,2,\dots\]](/images/math/2/c/8/2c80ed0473db25bb0c2e968af88c9c06.png)
értékeket vehet fel, ahol már nem egész szám, hanem bizonyos egész számok hányadosa. A Hall-platók tartományában
a longitudinális feszültség továbbra is zérus,
.
A későbbiekben látni fogjuk, hogy Klaus von Klitzing felfedezése, az egész számú kvantált Hall-effektus (IQHE, integer quantum Hall effect) egy viszonylag egyszerű modellel magyarázható, melyben az elektronok kölcsönhatását nem kell figyelembe venni. Ezzel szemben Tsui és Störmer méréseiben tapasztalt tört számú kvantált Hall-effektus (FQHE, fractional quantum Hall effect) magyarázatában az elektronok kölcsönhatása fontos szerepet kap, a jelenség úgynevezett kompozit fermion részecskék bevezetésével írható le, mely Robert Laughlin nevéhez kötődik.4
Tsui és Störmer kísérleti felfedezését, illetve Laughlin kísérletekre adott elméleti magyarázatát 1998-ban Nobel-díjjal jutalmazták.
A harmadik Nobel-díj: anomális kvantált Hall-effektus grafénban
A kvantált Hall-effektus egy közelmúltban kiosztott Nobel-díjjal kapcsolatban is előtérbe került. 2010-ben Andre Geim és Konstantin Novoselov grafénon, azaz egyetlen grafit síkon végzett kísérleteit jutalmazták Nobel-díjjal, melynek keretében alapvető jelentőségű volt a grafénon tapasztalható anomális kvantált Hall-jelenség megmutatása.5 Grafénon a Hall-ellenállás az elektrosztatikus potenciáltól függően egyaránt lehet pozitív és negatív, a kvantált értékek pedig
![\[R_H=\pm\frac{h}{e^2}\frac{1}{4(m+1/2)}, \;\;\; m=0,1,2,\dots \]](/images/math/b/a/6/ba64c8e52cbc399217766186f9a65046.png)
képlet segítségével írhatók le. A kétdimenziós elektrongáz rendszerekkel ellentétben grafénban a kvantált Hall-effektus szobahőmérsékleten is megfigyelhető.6
4. ábra. Anomális kvantált Hall-jelenség grafénban, forrás: Tóvári Endre diplomamunka, BME Fizika Tanszék, 2011. |
A továbbiakban az egész számú kvantált Hall-jelenség leírását szemléltetjük. A grafén fizikájáról egy külön fejezet keretében adunk leírást.
Kétdimenziós elektrongáz mágneses térben, Landau-nívók
Vizsgáljuk egy kétdimenziós szabad elektrongáz viselkedését a 2DEG síkjára merőleges mágneses térben!
5. ábra. Ciklotronpálya mágneses térbe helyezett 2DEG-ben |
Klasszikusan az elektronok ciklotronpályákon mozognak (5. ábra) körfrekvenciával, azaz a körfrekvencia nem függ az elektronok sebességétől, csak a mágneses tértől.
A körpálya sugara klasszikusan tetszőleges lehet az elektron sebességétől függően, kvantummechanikai tárgyalásban viszont a körpálya sugarának (illetve a mozgás energiájának) kvantáltságát várjuk. A Bohr - Sommerfeld kvantálási feltétel alapján meghatározhatjuk a lehetséges legkisebb sugarat (ciklotronsugár):
![\[2 \pi r_c = \lambda = \frac{2 \pi \hbar}{p} = \frac{2 \pi \hbar}{m \omega_c r} \;\; \Longrightarrow \;\; r_c=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega_c}}.\]](/images/math/6/6/f/66f1261a573a1cde84b323dcee029c7a.png)
A kvantummechanikai viselkedés részletesebb leírásához oldjuk meg a rendszer Schrödinger-egyenletét. A Hamilton-operátor:
![\[\hat{H}=\frac{1}{2}m(\hat{v}_x^2+\hat{v}_y^2),\]](/images/math/0/4/c/04c528a1e299169f635a16f257773bab.png)
ahol a sebességoperátor a képlettel származtatható a kanonikus impulzus operátorból, illetve a vektorpotenciálból. A minta síkjára (x,y) merőleges (z irányú) B térnél
a vektorpotenciál az általánosság megszorítása nélkül vehető úgy, hogy csak x és y komponenssel rendelkezzen, azaz
.
Számoljuk ki a sebességoperátor x és y komponensének a kommutátorát!
![\[[\hat{v}_x,\hat{v}_y]=\frac{1}{m^2}[\hat{p}_x+e\hat{A}_x,\;\hat{p}_y+e\hat{A}_y]=\frac{\hbar e}{i m^2}\left([\partial_x,A_y]+[A_x,\partial_y] \right)=\frac{\hbar e}{i m^2}\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)=\frac{\hbar e B}{i m^2},\]](/images/math/2/b/d/2bd4327b0894bd1f06a3771b988ffb71.png)
azaz:
![\[[\hat{v}_x,\hat{v}_y]=\frac{\alpha}{i},\;\;\;\alpha=\frac{\hbar \omega_c}{m}.\]](/images/math/a/6/0/a602195e6a8162ff96a8e478f8d0d4ab.png)
Vezessünk be új operátorokat: .
Az új operátorok segítségével a Hamilton operátor
![\[\hat{H}=\hbar \omega_c \left(\hat{a}^+\hat{a}+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\hbar \omega_c + \frac{\hbar \omega_c}{2 \alpha}(\hat{v}_x^2+\hat{v}_y^2-i\hat{v}_x\hat{v}_y+i\hat{v}_x\hat{v}_y)=\frac{1}{2}m(\hat{v}_x^2+\hat{v}_y^2)\]](/images/math/5/9/c/59cc717e76eb2820629c684fd6baa5c2.png)
formában írható fel, a két új operátor kommutátora pedig:
![\[[\hat{a},\hat{a}^+]=\frac{1}{2 \alpha}[i\hat{v}_x+\hat{v}_y, -i\hat{v}_x+\hat{v}_y]=1.\]](/images/math/7/a/a/7aada3231166cd64b2cf3ed14682e191.png)
Látszik, hogy az új operátorok segítségével az egydimenziós harmonikus oszcillátor problémájára vezettük vissza a Schrödinger egyenletet, így további számolás nélkül megállapíthatjuk, hogy a mágneses térben mozgó elektronok lehetséges energiái a harmonikus oszcillátorhoz hasonlóan kvantáltak:
![\[E=\hbar \omega_c \left( n+\frac{1}{2}\right).\]](/images/math/f/6/5/f6521c2748fdbeb33991a5bb430cb921.png)
A kvantált energiaszinteket Landau-nívóknak hívjuk.
6. ábra. 2DEG állapotsűrűségének energiafüggése zérus ![]() |
Ahogy a 6. ábra mutatja, a mágneses tér bekapcsolása alapvetően megváltoztatja az elektronok állapotsűrűségének energia szerinti eloszlását. Mágneses tér nélkül az elektronok állapotsűrűsége konstans (energiafüggetlen), . Nagy mágneses térben csak a kvantált Landau-szinteken helyezkedhetnek el elektronok, ezek a diszkrét energiaszintek viszont szükségszerűen sokszorosan degenerált állapotok. D-szeres degenerációt feltételezve az állapotsűrűség:
. Mivel az elektronok száma a mágneses tér bekapcsolásával nem változik, így feltételezhető hogy egy Landau-szinten levő állapotok zérus térben
szélességű energiatartományban helyezkednek el. Így egy Landau-szint degenerációja (a spin szerinti degenerációt is figyelembe véve):
![\[D=\hbar \omega_c 2 \frac{A m}{2 \pi \hbar^2}=\frac{2 e B A}{h} \;\; \Longrightarrow \;\; D=\frac{2 \Phi}{\Phi_0},\]](/images/math/7/c/a/7ca63f5401af4876b36b9ff370f71497.png)
ahol a teljes fluxus
pedig a fluxuskvantum. Egy teljesen betöltött Landau-szinten a fentiek alapján az elektronsűrűség:
.
A Landau-szintek magasfokú degenerációja mögött szemléletesen az áll, hogy egy ciklotronsugárnak megfelelő tipikus kiterjedésű elektronállapotot a minta felületén összesen
különböző helyre tehetünk le (a spin szerinti degenerációt is figyelembe véve). Ez alapján kis átalakítással
adódik, azaz naiv számolásunkkal egy egy kettes szorzó eltéréssel visszakaptuk a Landau-nívók fent kiszámolt degenerációs fokát.
A Landau-szintek kialakulásának fontos feltétele, hogy az elektronok a ciklotronpályát két ütközés között sokszor bejárják, azaz a cikotronpálya periódusideje a momentumrelaxációs időnél sokkal kisebb legyen, . Ez akkor teljesül, ha
, ahol
az elektronok mobilitása a 2DEG-ben, azaz Landau-szinteket csak kellően tiszta mintában és kellően nagy mágneses térben látunk. További fontos feltétel, hogy Landau-szintek közötti energiakülönbség nagyobb legyen a hőmérsékletnél és a feszültségnél,
.
Ciklotronpályák középpontjának mozgása
Nagy mágneses térben azt várjuk, hogy az elektronok egy középponti kordináta körül nagyon kis,
sugarú ciklotronmozgást végeznek. Klasszikusan az elektron éppen aktuális
helyzetét
alakban írhatjuk, ahol
a középpontból az aktuális ponta mutató vektor (7. ábra).
7. ábra. |
Körmozgás esetén az elektront körpályán tartó centripetális erőt alakban írhatjuk, ami jelen esetben értelemszerűen a Lorentz-erővel egyezik meg. Ez alapján a körpálya középpontját formálisan
![\[r_0 = r-\frac{e}{m \omega^2} v \times B\]](/images/math/c/2/d/c2d6543730e1c3734b301f0156562cf9.png)
alakban írhatjuk.
Játsszunk el a gondolattal, hogy az koordinátát kvantummechanikai tartalommal ruházzuk fel a ciklotronpályák középpontjának helyét leíró operátorként! Komponensenként kifejtve:
![\[\hat{x}_0=\hat{x}-\frac{\hat{v}_y}{\omega_c},\;\; \hat{y}_0=\hat{y}-\frac{\hat{v}_x}{\omega_c}.\]](/images/math/a/2/a/a2a8559ef48c3d1672aa9d7f896105ae.png)
Vizsgáljuk meg, hogy a középponti koordináta várható értéke hogyan változik az idő függvényében:
![\[\frac{d}{d t}\langle\hat{x}_0\rangle = \frac{i}{\hbar} \langle[\hat{H},\hat{x}]\rangle - \frac{i m}{2\hbar\omega_c} \langle[\hat{v}^2_x+\hat{v}^2_y,\hat{v}_y]\rangle = \hat{v}_x - \frac{i m}{2\hbar\omega_c} \langle[\hat{v}^2_x,\hat{v}_y]\rangle = 0,\]](/images/math/d/e/d/deda0c25fb1f424e062d7d7480cf74a5.png)
![\[\frac{d}{d t}\langle\hat{y}_0\rangle = 0,\]](/images/math/6/1/d/61d29b01f81f90dd06e86a2dfc324837.png)
azaz a várakozásoknak megfelelően a ciklotronpályák középpontja nem mozog.
Érdemes kiszámolni a középponti koordináták operátorainak kommutátorát is:
![\[[\hat{y}_0,\hat{x}_0] = \left[\hat{y} + \frac{\hat{v}_x}{\omega_c}, \hat{x} - \frac{\hat{v}_y}{\omega_c} \right] = -\left[\hat{y}, \frac{\hat{p}_y}{m \omega_c} \right] + \left[\frac{\hat{p}_x}{m \omega_c}, \hat{x}\right] - \left[ \frac{\hat{v}_x}{\omega_c}, \frac{\hat{v}_y}{\omega_c} \right] = \frac{\hbar}{i m \omega_c} = \frac{r_c^2}{i}.\]](/images/math/c/5/3/c53a60723b4b27cfcc165f0643c8b465.png)
Tetszőleges két fizikai mennyiség operátorára fennáll az általános Heisenberg-féle határozatlansági reláció, azaz:
![\[\Delta A \cdot \Delta B \geq \frac{1}{2}|\langle[ \hat{A}, \hat{B} ]\rangle|.\]](/images/math/7/b/c/7bc1dd0c823a339b9b1a68dabaccd8b6.png)
Ezt az összefüggést a középponti koordináta két komponensének operátorára vonatkoztatva
![\[\Delta x_0 \cdot \Delta y_0 \geq \frac{r^2_c}{2}\]](/images/math/5/5/3/553157cd43fd417eeb10d946dbecc99e.png)
adódik, azaz a ciklotronpálya középpontjának x és y írányú kvantummechanikai bizonytalanságát összeszorozva pont az ciklotronsugár négyzete köszön vissza, egy elektron legalább
helyet foglal. Ez alapján körszimmetrikus hullámfüggvényt feltételezve a ciklotron pályák x és y irányban is
kiterjedésűek.
Bezáró és random potenciál
Az eddigiekben a Schrödinger-egyenletben csak az elektronok kinetikus energiáját vettük figyelembe. Egy valós, véges méretű mintában a minta széleinél jelentkező bezáró potenciált, illetve a felületi töltések és szennyezők hatásaként a minta belsejében jelentkező potenciálfluktuációkat is figyelembe kell venni (8. ábra):
![\[\hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{U} = \hat{H}_0 + \hat{U}_\mathrm{bezaro} + \hat{U}_\mathrm{flukt}.\]](/images/math/3/9/c/39c1d2fa81b6b53685b74add091624f4.png)
8. ábra. Landau-szintek módosulása a a minta szélénél a bezáró potenciál, illetve a minta belsejében jelentkező fluktuáló potenciál miatt |
Az potenciált perturbációként kezelve, és feltételezve hogy
lassan változik a hullámfüggvény tipikus kiterjedéséhez,
-hez képest (azaz elegendően nagy a mágneses tér) az energiária egyszerűen
![\[E=\hbar \omega_c (n+\frac{1}{2}) + \langle \Psi | U | \Psi \rangle \approx E=\hbar \omega_c(n+\frac{1}{2}) + U(x_0,y_0)\]](/images/math/d/a/5/da5f08672e4054bb95629d9a327b26c1.png)
adódik, azaz a kvantált Landau-szintek energiáit a hullámfüggvény középpontjánál vett potenciál értékével korrigáljuk.
Véges esetén az elektronok mozgását úgy képzeljük el, hogy a gyors (
körfrekvenciájú) és kis (
) területre koncentrált ciklotronmozgás mellett a ciklotronpályák középpontjának koordinátái a potenciál hatására haladó mozgást végeznek. Írjuk fel a mozgásegyenletet
és
-ra:
![\[\frac{d}{d t}\langle\hat{x}_0\rangle = \frac{i}{\hbar} \langle[\hat{H},\hat{x}_0]\rangle = \frac{i}{\hbar} \langle[\hat{H}_0,\hat{x}_0]\rangle + \frac{i}{\hbar} \langle[\hat{U},\hat{x}_0]\rangle = - \frac{i}{\hbar m \omega_c} \langle[\hat{U},\hat{p}_y]\rangle = - \frac{1}{m \omega_c} \langle[U,\partial_x]\rangle = \frac{1}{e B} \left< \frac{\partial U}{\partial y}\right> \approx \frac{1}{e B} \frac{\partial U(x_0,y_0)}{\partial y_0},\]](/images/math/f/3/5/f3569d783edabad9f2f2c9776532d77b.png)
ahol megintcsak feltételeztük, hogy a hullámfüggvény kiterjedése kicsi változásának skáláján. Hasonlóan:
![\[\frac{d}{d t}\left< \hat{y}_0\right> = -\frac{1}{e B} \left< \frac{\partial U}{\partial x}\right> \approx -\frac{1}{e B} \frac{\partial U(x_0,y_0)}{\partial x_0}.\]](/images/math/7/a/c/7ac9a04be1f26b0870cddd26ee2dcc19.png)
A fentiek alapján számoljuk ki a potenciál változását a pálya mentén, azaz idő szerinti teljes deriváltját:
![\[\frac{d U}{d t}=\frac{\partial U}{\partial x_0} \cdot \dot{x}_0 + \frac{\partial U}{\partial y_0} \cdot \dot{y}_0 = \frac{c}{e H} \left( \frac{\partial U}{\partial x_0} \frac{\partial U}{\partial y_0} - \frac{\partial U}{\partial y_0} \frac{\partial U}{\partial x_0} \right) = 0.\]](/images/math/7/f/1/7f1c676f027034ba47413a9fcb82bb38.png)
Számolásunk alapján a ciklotronpályák középpontja ekvipotenciális felületek mentén mozog!
Elektrontranszport egyetlen Landau-nívó esetén
Tételezzünk fel olyan mágneses teret, melynél a Fermi-energia az első és második Landau-szint között helyezkedik el, azaz az első Landau-szint teljesen betöltött, a második pedig betöltetlen (lásd 9. ábra, bal oldal). Ebben az esetben a Fermi-energiánál
a minta széleinél találunk csak állapotokat a bezáró potenciálnak köszönhetően, a minta belsejében egy tiltott sávot tapasztalunk a Fermi-energia és a betöltött Landau-szint között. Ebben az esetben elektrontranszport csak a minta szélei mentén megengedett, ahol az elektronok energiája metszi a Fermi-energiát. Mivel a minta két szélét elválasztó makroszkopikus méretű tartományban az elektrontranszport nem megengedett, így a minta két széle között nem történhet átszóródás (9. ábra, jobb oldal).
9. ábra. A tömbi Landau-szintektől távol áram csak az élállapotok mentén folyhat, a két él között nincs átszóródás |
Vizsgáljuk meg a minta felső széle mentén az elektronpályák középpontjának mozgását. Korábban kiszámolt képletünk alapján:
![\[\dot{x}_0=\frac{1}{e B} \frac{\partial U_\mathrm{bezaro}}{\partial y_0} > 0,\]](/images/math/4/a/e/4aeab7cc082c07a636f6e28fea7c947f.png)
azaz, mivel a felső élnél a bezáró potenciál y szerinti deriváltja pozitív, így az elektronok pozitív x irányban mozognak. Y irányban a bezáró potenciál nem változik, így az elektronok középpontjának y irányú sebessége zérus. Hasonlóan megállapítható, hogy a minta alsó szélénél az elektronok negatív x irányú mozgást végeznek.
Az előbbi megállapítás önmagában elég ahhoz, hogy a kvantált Hall-effektus egyik meglepő tulajdonságát megértsük. Mivel a felső él mentén csak pozitív irányban haladhatnak az elektronok, és az alsó és felső élállapotok között nem megengedett az átszórás, így a felső él mentén mozgó elektronok mind a baloldali elektródából származnak, azaz kémiai potenciáljuk . Hasonlóképpen az alsó él mentén mozgó elektronok mind a jobb oldali elketródából származnak, azaz
kémiai potenciállal rendelkeznek (9. ábra, jobb oldal). Így érthető, hogy egy él mentén mért hosszirányú feszültség zérus, a két él között pedig a két elektróda kémiai potenciál különbségének megfelelő Hall-feszültség jelentkezik,
![\[V_{xx}=0,\;\; V_H=(\mu_1-\mu_2)/e.\]](/images/math/3/4/9/349170341559ea0ff96bfbb28a3945c8.png)
A Hall-ellenállás meghatározásához az élállapotokon keresztül folyó áramot is meg kell határoznunk. Először számoljuk ki, hogy egy élállapot szélességű energiatartománya mekkora járulékot ad az áramhoz.
A
energiatartomány
szélességű térbeli tartománynak felel meg az él mentén, ahol
a potenciál y szerinti deriváltja (10. ábra).
10. ábra. |
Korábbi számolásaink alapján az elektronok sebessége , az elektronsűrűség pedig
, így az áramra
![\[I=j \mathrm{d} y = n e v \mathrm{d} y = \frac{2 e}{h} \mathrm{d} \varepsilon\]](/images/math/3/a/a/3aafd214827f4dfdb93fcdbad99ca4a4.png)
adódik.
11. ábra. |
Mivel esetén a felső él mentén
-vel magasabb energiáig vannak betöltve az állapotok mint az alsó él mentén (11. ábra), így a mintán folyó teljes áram
![\[I=\frac{2 e}{h} e V.\]](/images/math/4/9/9/499eee5d0128a9c6ec6f93e59c0aee99.png)
Ennek megfelelően a Hall-ellenállás illetve a Hall-vezetőképesség:
![\[R_H=\frac{V_H}{I}=\frac{h}{2 e^2}, \ \ \ G_H=\frac{I}{V_H}=\frac{2 e^2}{h}\]](/images/math/f/f/7/ff7c9f71dda1342c1cc8529198bb826b.png)
A Hall-vezetőképességre kapott eredmény megegyezik egy egycsatornás tökéletes kvantumvezeték ellenállásával, azaz a vezetőképesség kvantummal. Fontos azonban megemlíteni, hogy nanovezetékekben a vezetőképesség-kvantálás csak a hullámhosszal összemérhető méreteknél és simán változó (visszaszórásmentes) potenciálban figyelhető meg, addig a kvantált Hall-effektus a jobbra és balra haladó állapotok térbeli szeparációjának köszönhetően egy makroszkopikus mintán megfigyelhető jelenség.
Több Landau-nívó, Zeeman-felhasadás
A korábbiakban a Landau-nívókat spin szerint degeneráltnak tekintettük. Természetesen mágneses térben az energiák spin szerinti Zeeman-felhasadását is figyelembe kell venni:
![\[E=\hbar \omega_c \left(n+\frac{1}{2} \right) +U_\mathrm{bezaro} + g \mu_B B S_z,\]](/images/math/a/1/f/a1fbb9183a7ec0169d43c1b5d5668e32.png)
ahol az elektronspin z irányú komponense.
Félvezetőkben a kis effektív tömeg miatt tipikusan (
), de ha a
tér elegendően nagy akkor a Landau-szintek fel és le spinű elektronjai elkülönült energiaszinteket tudnak létrehozni, ezek a spinpolarizált Landau-szintek (12. ábra).
12. ábra. Spinpolarizált Landau-szintek |
Egyetlen teljesen betöltött spinpolarizált Landau-szint esetén a minta két szélén kialakuló élállapot értelemszerűen vezetőképességet ad, hiszen csak a spindegenerációból adódó kettes faktort kell elhagyni az állapotsűrűségből.
Ha a Fermi-energia alatt M db. spinpolarizált Landau-szint található, és a minta belsejében a Fermi-energia két Landau-szint közé esik, akkor a Hall-vezetőképesség:
![\[G_H=\frac{e^2}{h} M,\]](/images/math/9/b/2/9b2856acf63d749244f5b97051f0e262.png)
azaz visszakaptuk a kísérletekben megfigyelt értékeket. A mérések szerint relatív pontossága akár
is lehet, ami a visszaszórás hiányának tökéletességét mutatja. Fontos megjegyezni, hogy a minta egyik oldalán különböző Landau-szintek közötti átszórás nem változtat a vezetőképességen, hiszen csak az számít, hogy egy adott élállapotban elinduló elektron - még ha át is szóródik másik élállapotba - biztosan nem jut vissza a kiinduló elektródába.
A jelenség megértését segíti a 13. ábrán bemutatott klasszikus kép is: az élek mentén hiába szóródik szennyezőkön egy elektron, az 1. elektródából induló elektron végül mindig a 2. elektródába érkezik!
13. ábra. Élállapotok klasszikus ciklotronpályákkal szemléltetve |
A Fermi-energia helyzete
A fenti megfontolások alapján pontosan kijön a Hall-ellenállás kvantáltsága, azonban a számolások azon a feltételezésen alapulnak, hogy a Fermi-energia két Landau-szint közé esik, ami nem feltétlenül igaz. Vizsgáljuk meg pontosabban, hogy mikor is esik a Fermi-energia két Landau-szint közé!
14. ábra. Felső panel: a Fermi energia változása 1/B függvényében. Általában a Fermi energia valamelyik tömbi, spinpolarizált Landau-szintnél található (vízszintes platók), és csak nagyon szűk mágneses tér tartományokban kerül ![]() ![]() |
1/B növelésével egymás után töltjük be a spinpolarizált Landau-szinteket. A Landau-szintek óriási degenerációja miatt a Fermi-energia szinte mindig az egyik Landau-szintre esik, kivéve amikor éppen egy teljesen betöltött és egy betöltetlen Landau-szint közötti élállapotokat töltünk fel. Az élállapotok száma azonban elhanyagolható a Landau-szintek belső állapotainak számához képest: egyszerű becslésként e két állapotszám úgy aránylik egymáshoz mint a minta makroszkopikus szélessége az élállapot nanométeres skálájú y irányú kiterjedéséhez. Ennek megfelelően csak nagyon szűk mágneses tér tartományokban várjuk, hogy a Fermi-energia két tömbi Landau-szint energiája között legyen (14. ábra, felső panel). Ha viszont a Fermi-energia egy tömbi Landau-szintnél helyezkedik el, akkor ezen a Landau-szinten keresztül már átszóródhatnak az elektronok a két él között (15. ábra), azaz a korábbi érvelésünk érvénytelen. Azaz azt a lehangoló eredményt kaptuk, hogy a Hall-vezetőképesség csak nagyon szűk, szinte pontszerű mágneses-tér tartományokban veszi fel a várt kvantált értékeket, ráadásul ezek a pontok jól illeszkednek a klasszikus Hall-vezetőképesség 1/B-vel lineárisan arányos változására (14. ábra alsó panel), azaz a kiterjedt Hall-platókra eddig nem kaptunk magyarázatot.
15. ábra. Ha a Fermi-energia egy tömbi Landau-szintnél található, akkor a két oldalon haladó élállapotok között az eletronok át tudnak szóródni a tömbi Landau-szinten keresztül |
Rendezetlenség szerepe
Az eddigi számolásokban csak az élállapotok kialakulásáért felelős bezáró potenciált vettük figyelembe. A kiterjedt kvantált Hall-platók megértéséhez a minta belsejében kialakuló fluktuáló potenciált is figyelembe kell venni. Tökéletlen minta (azaz véges fluktuáló potenciál) esetén a tömbi Landau-szintektől eltérő energiánál az elektronok nem csak az élállapot mentén mozoghatnak, hanem a minta belsejében a fluktuáló potenciál adott energiának megfelelő ekvipotenciális vonalai mentén is. Ha az energia kellőképpen eltér a tömbi Landau-szintektől, akkor az elektronok a fluktuáló potenciál hegyei vagy völgyei mentén kis kiterjedésű zárt pályákra kényszerülnek (16. ábra bal oldal), azaz a minta belsejében vannak a Landau-szintektől eltérő energiájú állapotok, de ezek lokalizált állapotok, a minta két széle közötti transzporthoz nem járulnak hozzá. A tömbi Landau-szinteknek megfelelő energiáknál az elektronok már találnak az ekvipotenciális vonalak mentén olyan trajektróriákat, melyek mentén átszóródhatnak a minta két széle között (16. ábra jobb oldal).
16. ábra. Elektronok mozgása ekvipotenciális felületek mentén |
A fentiek gondolatmenet alapján megállapíthatjuk, hogy tökéletlen minta esetén a Landau-szintek körüli véges energiatartományban véges állapotsűrűséget tapasztalunk (17. ábra), azonban a Landau-szintektől távolabb ez a véges állapotsűrűség a tömbi tartomány potenciáljában lokalizált állapotoknak felel meg. Ennek megfelelően a Fermi-energia kiterjedt mágneses tér tartományokban eltér Landau-szintek energiájától, de ezeknél az energiáknál továbbra is igaz a két oldalon kialakuló élállapotok közötti átszórás tilalma, azaz valóban véges szélességű kvantált Hall-platókat várunk.
17. ábra. Szennyezők hatása az állapotsűrűségre: a Landau-szintek körüli szélesebb energiatartományban lokalizált elektronállapotok jelennek meg |
A fentiek alapján látjuk, hogy a rendezetlenségnek kettős szerepe van a kvantált Hall-jelenség szempontjából. Egyrészt túl nagy szennyező-koncentráció, melynél a szórások közötti átlagos idő összemérhető a ciklotronmozgás periódusidejével () lerombolja a kvantált Hall-jelenséget. Másrészt ha a minta túl tökéletes, akkor szintén nem várunk kiterjedt kvantált Hall-platókat, azaz a minta tökéletlensége teszi lehetővé, hogy
legyen a létező legpontosabb ellenállás standard. Ez utóbbi egyértelműen látszik a tört számú kvantált Hall-effektust bemutató kísérletekben.2,3 Ezekhez a mérésekhez nagyon jó minőségű (nagy szabad úthosszal rendelkező) kétdimenziós elektrongáz rendszerek kellettek (epitaxiálisan növesztett GaAs/AlGaAs 2DEG + delta dópolás + nagyon alacsony hőmérséklet), és ennek megfelelően az egész számú kvantált Hall-platók sokkal csúnyábbak, kevésbé kiterjedtek mint Klaus von Klitzing IQHE mérései.1
Mach-Zehnder interferométer kvantált Hall-élállapotokkal
A kvantált Hall-effektus - azon túl, hogy önmagában is érdekes jelenség - a nanofizika eszköztárát is fontos kísérleti technikával bővítette. Az kvantált Hall-élállapotok a visszaszórás hiánya miatt kifejezetten jól használhatók arra, hogy kvantum elektronikai kísérleteket végezzünk. Az alábbiakban a legalapvetőbb példát mutatjuk be: egy Mach Zehnder interferométer kialakítását élállapotokkal.7
18. ábra. Mach-Zehnder interferométer kvantált Hall-élállapotokkal |
Az optikában jól ismert Mach-Zehnder interferométer elvét elektronokkal a 18. ábrán szemléltetett módon, pár mikrométer méretű áramkörben lehet megvalósítani. Az elektronok egy 2DEG-ben, a szürkével jelzett tartományokban mozoghatnak. Nagy mágneses térrel az elektronokot élállapotokra kényszerítjük, a teret úgy állítjuk be, hogy csak egy Landau-szint legyen betöltve. Az S elektródára feszültséget kapcsolunk, a D1 elektródán a föld felé folyó áramot mérünk, a D2 elektródát leföldeljük. Az S elektródából induló élállapotban az elektronok eljutnak a QPC1 kvantum-pontkontaktushoz, mely félig áteresztő tükérként van beállítva, azaz a nyaláb felét visszaveri, a másik felét átengedi (
). A két parciális elektronhullám a QPC2 kvantum-pontkontaktusnál találkozik, mely mindkét nyalábot
valószínűséggel a D1 elektróda felé haladó élállapotba szórja, így a D1-nél mért áramban láthatjuk a két nyaláb közti interferenciát. A két nyaláb közötti fázisviszony kétféleképpen is hangolható: egyrészt a G kapuelektródára helyezett feszültséggel hangolhatjuk az alsó ágon haladó elektronok trajektóriájának hosszát, másrészt a mágneses tér enyhe változtatásával hangolhatjuk a két nyaláb közti Aharonov-Bohm fázisból adódó fáziskülönbséget. Mind a G-re adott feszültség, mind a mágneses tér változtatásával közel 100%-os kontrasztú oszcilláció látható a D1 elektróda áramában.7
Hivatkozások
Fent hivatkozott szakcikkek
Ajánlott könyvek és összefoglaló cikkek
- S. Datta: Electronic Transport in Mesoscopic Systems, Cambridge University Press (1997)
- Thomas Ihn: Semiconducting nanosctructures, OUP Oxford (2010)
- Yuli V. Nazarov, Yaroslav M. Blanter: Quantum Transport: Introduction to Nanoscience, Cambridge University Press (2009)
Ajánlott kurzusok
- Új kísérletek a nanofizikában, Halbritter András és Csonka Szabolcs, BME Fizika Tanszék
- Transzport komplex nanoszerkezetekben, Halbritter András, Csonka Szabolcs, Csontos Miklós, Makk Péter, BME Fizika Tanszék
- Alkalmazott szilárdtestfizika, Mihály György, BME Fizika Tanszék
- Fizika 3, Mihály György, BME Fizika Tanszék (mérnök hallgatóknak)
- Mezoszkopikus rendszerek fizikája, Zaránd Gergely, BME Elméleti Fizika Tanszék
- Mezoszkopikus rendszerek fizikája, Cserti József, ELTE Komplex Rendszerek Fizikája Tanszék