„Állóhullámok megfeszített, rugalmas húrban” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
(Új oldal, tartalma: „Szerkesztés alatt!”)
 
 
(2 szerkesztő 19 közbeeső változata nincs mutatva)
1. sor: 1. sor:
−
Szerkesztés alatt!
+
<wlatex>
 +
 
 +
[[Kategória:Mechanika]]
 +
<!--[[Kategória:Elektromosságtan]]-->
 +
<!--[[Kategória:Hőtan]]-->
 +
<!--[[Kategória:Kvantummechanika]]-->
 +
<!--[[Kategória:Statisztikus fizika]]-->
 +
<!--[[Kategória:Nanofizika]]-->
 +
<!--[[Kategória:Optika]]-->
 +
<!--[[Kategória:Szilárdtestfizika]]-->
 +
<!--[[Kategória:Mag és részecskefizika]]-->     
 +
<!--[[Kategória:Informatika]]-->
 +
[[Kategória:Laborgyakorlat]]
 +
[[Kategória:Fizika laboratórium 1.]]
 +
<!--[[Kategória:Fizika laboratórium 2.]]-->
 +
<!--[[Kategória:Fizika laboratórium 3.]]-->
 +
<!--[[Kategória:Fizika laboratórium 4.]]-->
 +
[[Kategória:Szerkesztő:Vankó]]
 +
 
 +
''A mérés célja:''
 +
* az állóhullámokkal kapcsolatos ismeretek elmélyítése,
 +
* az állóhullámokra és a hullámterjedésre vonatkozó legfontosabb összefüggések kísérleti ellenőrzése.
 +
 
 +
''A cél érdekében:''
 +
* összefoglaljuk az állóhullámokra vonatkozó alapvető ismereteket,
 +
* megvizsgáljuk egy mindkét végén rögzített húrban ki-alakuló állóhullámokat,
 +
* hullámhossz- és frekvenciamérésekkel meghatározzuk a húrban a hang terjedési sebességét, és annak függését a húr jellemző adataitól.
 +
 
 +
 
 +
__TOC__
 +
 
 +
==Elméleti összefoglaló==
 +
 
 +
Kísérleteink során mindkét végén rögzített húrban terjedő hullámokat vizsgálunk. A hullám leírásánál feltételezzük, hogy a hullámterjedés egydimenziósnak tekinthető (a hullám a húr mentén terjed), a hullám transzverzális (a húr pontjainak elmozdulásvektorai a húrra merőlegesek) és síkban polarizált (a pontok elmozdulásvektorai mindig ugyanabban a síkban vannak). Ez azt jelenti, hogy a húr pontjainak az egyensúlyi helyzetből való kitérése (elmozdulása) egyetlen skaláris mennyiséggel jellemezhető. A hullám leírására a fentiek alapján a húrral párhuzamosan választott $x$-tengely esetén a
 +
{{eq|c^2\frac{\partial^2\psi(x,t)}{\partial x^2}{{=}}\frac{\partial^2\psi(x,t)}{\partial t^2}|eq:1|(1)}}
 +
egydimenziós hullámegyenletet használhatjuk. Itt $x$ koordináta, $t$ az idő, a kitérés hely- és időfüggését megadó – tehát a hullám terjedését leíró – hullámfüggvény, $c$ pedig a hullám terjedési sebessége a húron. Ha a hullámegyenletet a húr esetére levezetjük, akkor kiderül, hogy a $c$ terjedési sebessége a húrt megfeszítő erőtől $(T)$ és a húr egységnyi hosszára jutó tömegtől $(\mu)$ függ, és ezekkel az alábbi módon fejezhető ki
 +
{{eq|c{{=}}\sqrt{\frac{T}{\mu} }.|eq:2|(2)}}
 +
 
 +
A húrban valamilyen külső gerjesztés hatására kialakuló hullám általában igen bonyolult. Tapasztalatból tudjuk azonban, hogy meghatározott frekvenciákon történő gerjesztés esetén a húron, a végekről visszaverődő hullámok interferenciája révén sajátos, állandósult hullámalakzat – ún. állóhullám – jön létre. Ennek jellegzetessége az, hogy a húr meghatározott szakaszán levő pontok azonos fázisban rezegnek, a rezgés amplitúdója pedig a hely függvénye. Ez matematikailag úgy fogalmazható meg, hogy az [[#eq:1|(1)]] egyenletnek létezik olyan megoldása, amely egy csak helytől és egy csak időtől függő függvény szorzata [az [[#eq:1|(1)]] parciális differenciálegyenletben a változók szeparálhatók]. Harmonikus gerjesztés esetén ez a megoldás a
 +
{{eq|\psi(x,t){{=}}\varphi(x)\sin(\omega t+\alpha)|eq:3|(3)}}
 +
alakban írható fel, ahol $\omega=2\pi\nu$ a rezgés körfrekvenciája ($\nu$ frekvencia, Hz), $\alpha$ pedig a fázisszög.
 +
 
 +
A [[#eq:3|(3)]] megoldást az [[#eq:1|(1)]] egyenletbe helyettesítve az időfüggő rész kiesik, a helyfüggő részre pedig – amely a rezgés amplitúdójának a húr mentén való változását adja meg – az alábbi közönséges másodrendű differenciál-egyenletet eredményezi:
 +
{{eq|\frac{\mathrm{d}^2\varphi(x)}{\mathrm{d}x^2}+k^2\varphi(x){{=}}0.|eq:4|(4)}}
 +
Az egyenletben bevezettük a $k$ hullámszámot, amelyet a $k=\frac{\omega}{c}$ összefüggés definiál.
 +
 
 +
A [[#eq:4|(4)]] egyenlet általános megoldása
 +
{{eq|\varphi(x){{=}}A\sin(kx)+B\cos(kx),|eq:5|(5)}}
 +
ahol $A$ és $B$ tetszőleges állandók, melyeket a konkrét fizikai feltételek határoznak meg. Esetünkben az egyik ilyen feltétel az, hogy a húr két vége rögzített, ami azt jelenti, hogy itt a kitérés mindig nulla. Emiatt a matematikailag lehetséges [[#eq:5|(5)]] általános megoldásnak csak olyan alakjai lehetnek elfogadhatóak, amelyekre fennáll, hogy
 +
{{eq|\varphi(0){{=}}0,|eq:6a|(6a)}}
 +
{{eq|\varphi(L){{=}}0,|eq:6b|(6b)}}
 +
(koordinátarendszerünk kezdőpontja a húr egyik vége, így a másik végpont koordinátája $L$, a húr hossza).
 +
 
 +
Könnyen belátható, hogy a [[#eq:6a|(6a)]] határfeltétel csak $B=0$ esetén elégíthető ki, vagyis a megoldás csak egy
 +
$$\varphi(x)=A\sin(kx)$$
 +
típusú függvény lehet, de a [[#eq:6b|(6b)]] feltétel miatt ez is csak akkor, ha a k hullámszám értéke a
 +
{{eq|k_n{{=}}n\frac{\pi}{L},\quad (n{{=}}1,\,2,\,3,\dots)|eq:7|(7)}}
 +
összefüggéssel meghatározott értékeket veszi fel.
 +
 
 +
Mivel a $k$ hullámszám a $\lambda$ hullámhosszal egyértelmű kapcsolatban van $\left(k=\frac{2\pi}{\lambda}\right)$, a [[#eq:7|(7)]] feltétel azt jelenti, hogy állóhullám csak meghatározott
 +
{{eq|\lambda_n{{=}}\frac{2L}{n},\quad (n{{=}}1,\,2,\,3,\dots)|eq:8|(8)}}
 +
hullámhosszak esetén jön létre. Ez a $\nu=\frac{c}{\lambda}$ összefüggés miatt egyben azt is jelenti, hogy meghatározott $c$ terjedési sebességgel [ami húrnál a [[#eq:2|(2)]] egyenlet miatt meghatározott feszítőerőt és lineáris sűrűséget jelent] a húr $\nu$ rezgési frekvenciája sem lehet tetszőleges, hanem csak a
 +
{{eq|\nu_n{{=}}n\frac{c}{2L},\quad (n{{=}}1,\,2,\,3,\dots)|eq:9|(9)}}
 +
értékeket veheti fel. Ezek a frekvenciák a húr rezonancia-frekvenciái.
 +
 
 +
A fentiek alapján a határfeltételeket kielégítő megoldások az alábbi alakban írhatók fel:
 +
 
 +
{{eq|\varphi_n(x){{=}}A_n\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right).\quad (n{{=}}1,\,2,\,3,\dots)|eq:10|(10)}}
 +
 
 +
Az $A_n$ állandót – vagyis az amplitúdó maximális értékét – a gerjesztés körülményei (a kezdeti feltételek) határozzák meg, ez azonban vizsgálataink szempontjából érdektelen. Feltételezve, hogy a húrban egyetlen $n$ értéknek megfelelő állóhullám-alakzat jött létre, az [[#eq:1|(1)]] egyenlet megoldása végül az alábbi módon irható fel:
 +
{{eq|\varphi_n(x,t){{=}}A_n\sin\left(\frac{2\pi}{\lambda_n}x\right)\sin(\omega_n t+\alpha_n).\quad (n{{=}}1,\,2,\,3,\dots)|eq:11|(11)}}
 +
 
 +
{{fig|Állóhullámok_megfeszített,_rugalmas_húrban_1.png|fig:1|1. ábra}}
 +
 
 +
A létrejött állóhullám lehetséges amplitúdó-eloszlásait a [[#eq:10|(10)]] megoldás adja meg. A megfelelő – csomópontokat és duzzadóhelyeket tartalmazó – amplitúdó-eloszlások az [[#fig:1|1. ábrán]] láthatók néhány $n$ érték esetén. A [[#eq:10|(10)]] egyenletből az is látszik, hogy adott $n$ esetén a csomópontok egymástól mért $d_n$ távolsága
 +
$$d_n=\frac{L}{n}=\frac{\lambda_n}{2}.$$
 +
 
 +
A különböző $n$ értékekhez – a [[#eq:9|(9)]] összefüggésnek megfelelően – különböző frekvenciák, ill. hangmagasságok tartoznak. A szokásos elnevezés szerint az $n=l$ értékhez tartozó hang a húr alaphangja, míg a magasabb értékekhez tartozók a felharmonikusok.
 +
 
 +
Itt jegyezzük meg, hogy egy húr szokásos gerjesztésekor (pl.: pengetéssel, vonóval) általában sok lehetséges rezgési forma jelenik meg egyidejűleg. [Matematikailag ez azt jelenti, hogy a hullámegyenlet megoldása az egyes rezgési formákhoz tartozó [[#eq:11|(11)]] típusú megoldások összege.] Egy húrnak azért lehet mégis meghatározott hangmagassága, mert az alaphang amplitúdója rendszerint sokkal nagyobb, mint a felharmonikusoké. Mindig megszólalnak azonban a felharmonikusok is: ezek határozzák meg a húr hangjának hangszínét.
 +
 
 +
Méréseink során harmonikus (szinuszos) gerjesztést alkalmazunk, ezért a húrban a frekvencia megfelelő megválasztásával különböző $n$ értékekhez tartozó állóhullám-formákat tudunk létrehozni. Mivel azonban a gerjesztés meglehetősen bonyolult folyamat, a létrejött hullámalakzat meghatározásánál legyünk óvatosak és azt ne a gerjesztő rezgés frekvenciája alapján, hanem közvetlen mérés útján próbáljuk azonosítani. A gerjesztés során ugyanis – minden igyekezetünk ellenére – a húrban több rezgési forma gerjesztődik és előfordulhat, hogy ezek közül nem a gerjesztő rezgés frekvenciájának, hanem valamelyik felharmonikusának megfelelő forma válik dominánssá. Így a gerjesztett rezgés frekvenciája a gerjesztő frekvencia egészszámú többszöröse is lehet.
 +
 
 +
 
 +
==A mérőberendezés és használata==
 +
 
 +
{{fig2|Állóhullámok_megfeszített,_rugalmas_húrban_2.png|fig:2|2. ábra}}
 +
 
 +
{{fig2|Allohullam.png|fig:3|3. ábra}}
 +
 
 +
A mérőberendezés ([[#fig:2|2. ábra]] és [[#fig:3|3. ábra]]) egy alaplapra (1) szerelt, megfeszített acél húr (2), melynek végei egy csavarral (3) mozgatható alumínium tömbhöz (4), ill. a kétkarú emelőhöz (5) csatlakoznak. A húrhosszúság csúsztatható támaszokkal (6) szabályozható. A rezgést egy függvénygenerátorral (7) meghajtott gerjesztő tekercs (8) hozza létre mágneses csatolás révén, melynek hatására transzverzális- és gyakorlatilag síkban polarizált hullámok keletkeznek a húron. A létrejövő rezgést egy detektor-tekerccsel (9) észleljük, melynek jelét (a gerjesztő jellel együtt) kétsugaras oszcilloszkópon (10) jelenítjük meg. A húrt feszítő erőt az (5) emelő megfelelő karjára (a hosszabb, a használat során a vízszintes kar) akasztott súllyal (11) hozzuk létre.
 +
 
 +
A húr rögzítése: Az (5) emelő karján levő résbe a húr egyik végét úgy helyezzük be, hogy a rajta levő sárgaréz bütyök megakadjon, a másik végén levő fület pedig a (4) tömbön levő csavarra akasztjuk. Ehhez a tömböt a (3) csavarral a szükséges mértékben elmozdítjuk. Ezután ugyanezen csavarral a húrt megfeszítjük, úgy hogy az emelő erőkarja vízszintes legyen.
 +
 
 +
A berendezéssel a mérés szempontjából fontos paraméterek az alábbi módon változtathatók:
 +
* A húr vizsgált hosszát a (6) támaszok eltolásával változtathatjuk.
 +
* A húrt feszítő erő az erőkarra akasztott tömeg helyének (az erőkar hosszának) változtatásával szabályozható. Az emelő kialakítása olyan, hogy a feszítő erő megegyezik a felakasztott tömeg súlyával, ha az a tengelytől számított első vájatban van, az erő kétszeres, ha második vájatban van, stb. (A súly felhelyezése után a (3) csavarral mindig állítsuk be az erőkar vízszintes helyzetét).
 +
* A húr egységnyi hosszra eső tömegét a húr kicserélésével tudjuk változtatni. Az egyes húrok $\mu$ értéke az átmérő méréséből (csavarmikrométer) az acél ismert (7800 kgm<sup>&minus;3</sup>) sűrűségének felhasználásával számolható ki.
 +
* A húron létrejövő állóhullám alakzatot a függvénygenerátor frekvenciájának változtatásával módosíthatjuk.
 +
 
 +
A mérés során a függvénygenerátort szinuszos rezgésre állítsuk, a gerjesztő tekercset pedig az egyik támaszhoz közel (kb. 5 cm) helyezzük el (leghatékonyabban csomópont közelében működik). A detektor tekercset kezdetben a vizsgált húrszakasz közepe tájához tegyük, majd a feladatnak megfelelően változtassuk meg helyét. (A detektor a legnagyobb jelet a duzzadóhely közelében adja.)
 +
 
 +
A különböző állóhullám alakzatok (rezonanciák) keresésekor a gerjesztő frekvenciát kb. 50 Hz-től kezdve lassan növeljük, közben figyeljük a detektor jelét és a húr hangját: stabil állóhullám alakzat (rezonancia) elérésekor a jelnek és a hang erősségének maximuma van. Ha a jel kicsi, először próbáljuk a detektor tekercset elmozdítani, ha ez sem segít, akkor növeljük a gerjesztő jel amplitúdóját. A maximum észlelése után a detektort húzzuk végig a húr mentén, és a jel-amplitúdó helyfüggéséből állapítsuk meg az állóhullám jellegét és a hozzátartozó $n$ értékét.
 +
 
 +
Az állóhullám frekvenciáját mindig a detektor jelének vizsgálatával határozzuk meg: vagy a jel periódus-idejének közvetlen mérésével az oszcilloszkópon, vagy – ha kétsugaras oszcilloszkópot használunk – a gerjesztő jellel való összehasonlítás útján.
 +
 
 +
==Mérési feladatok==
 +
 
 +
[[A méréshez rendelkezésre álló eszközök: Állóhullámok megfeszített, rugalmas húrban|A méréshez rendelkezésre álló eszközök]]
 +
 
 +
*''A mérés elvégzéséhez és a mérési napló elkészítéséhez a dőlt betűs részekben adunk segítséget.''
 +
 
 +
'''1.''' Állítsa be a 60 cm-es húrhosszúságot, majd feszítse meg a húrt kb. 60 N erővel (2 kg tömeget az emelő erőkarjának harmadik vájatába akasztva)! A gerjesztő frekvencia változtatásával állítsa elő az első öt $(n=1,\,2,\,\dots 5)$ állóhullám alakzatot! Mindegyiknél mérje meg a frekvenciát, az egyes csomópontok és duzzadóhelyek koordinátáit (pl. a húr egyik végétől mérve) és a ''mért koordináták alapján'' állapítsa meg az állóhullám hullámhosszát! Az eredményeket foglalja táblázatba! Ellenőrizze, hogy teljesül-e a [[#eq:8|(8)]] összefüggés!
 +
* ''A hanggenerátor egyik kimenetén egy frekvenciával arányos feszültség jelenik meg. Ez egy voltmérőre van kapcsolva, amiről a hanggenerátor frekvenciája – a nagyságrendtől eltekintve – leolvasható.
 +
* A mérőberendezés összerakása és kipróbálása után az oszcilloszkópon jól megfigyelhető, hogy a húr frekvenciája a hanggenerátor frekvenciájának általában kétszerese.
 +
* Vajon miért? Próbálja megmagyarázni!
 +
* Természetesen mérni a húr frekvenciáját kell! Ezt le lehetne olvasni az oszcilloszkópról is, de ennél gyorsabb és pontosabb módszer a hanggenerátor frekvenciájának leolvasása (ld. az előző pontot) és ennek megkétszerezése.''
 +
 
 +
'''2.''' Ábrázolja az egyes állóhullám-alakzatok frekvenciáját ($\nu_n$) az alakzat $n$ sorszámának függvényében, és illesszen egyenest a pontokra! Mérje meg a húr $L$ hosszát, majd az egyenes meredekségéből számítsa ki a hang $c$ terjedési sebességét a húrban! Vesse össze az értéket a [[#eq:2|(2)]] összefüggésből számolt hangsebességgel!
 +
* ''A húrok egységnyi hosszra jutó tömegének meghatározásához csavarmikrométerrel meg kell mérni a húrok átmérőjét. A mikrométer hosszanti csavarorsóján egymás alatt (0,5 mm eltolással) két 1 mm-es osztástávolságú mérőskála található. A keresztirányú skálán 50 osztás található, így 0,01 mm pontossággal lehet mérni (a mikrométer név félrevezető). A mérőpofákat először a belső (durva) csavarral lehet állítani, a mérésnél viszont a külső (racsnis) csavart kell használni.
 +
* A húrok acélból készültek ($\rho$ = 7800 kgm<sup>&minus;3</sup>).''
 +
 
 +
'''3.''' Állítsa elő az $n=$ 1-hez tartozó állóhullámot változatlan feszítő erő, de négy másik hosszúság esetén is, és mindegyik esetben mérje meg a rezgés frekvenciáját! Ábrázolja a frekvenciát a húr hosszúság reciprokának függvényében, majd illesszen a mérési pontokra egyenest! Határozza meg ismét a hang terjedési sebességét, vesse össze a korábban kapott értékekkel!
 +
 
 +
'''4.''' Kiválasztva az egyik húrt, állítson be kb. 60 cm-es húrhosszúságot, akasszon egy súlyt az emelő erőkarjának első vájatába, majd a gerjesztő frekvencia változtatásával állítsa be az első állóhullám alakzatot ($n=$ 1)! Mérje meg az állóhullám hullámhosszát és frekvenciáját és a $c=\lambda\cdot\nu$ összefüggés alapján számítsa ki a hang terjedési sebességét a húrban! Készítsen táblázatot és írja be a $T$ feszítő erő, a $\mu$ lineáris sűrűség, a $\nu$ alapfrekvencia és a $c$ terjedési sebesség értékeit! Ismételje meg a mérést még négy különböző feszítő erővel (a súlyt helyezze egyre távolabb az emelő tengelyétől) és írja be ismét az adatokat a táblázatba! Ezután közepes feszítő erőnél ismételje meg a mérést a mérőhelyen található többi húrral, és ismét írja be az adatokat a táblázatba!
 +
 
 +
'''5.''' Az [[#Határozza meg a hang terjedési sebességét különböző feszítő erők és húrok esetén!|4. pontban]] kapott táblázat alapján ellenőrizze a [[#eq:2|(2)]] egyenletet! (Az egyenlet szerint ''állandó'' $\mu$ mellett a $c\propto T^{\tfrac{1}{2}}$ összefüggés lineáris, ''állandó'' $T$ mellett pedig a $c\propto \mu^{-\tfrac{1}{2}}$ összefüggés lineáris.) Ha a táblázat alapján elkészítjük ezeket a grafikonokat, akkor a pontoknak egy egyenesen kell lenniük és a meredekség az első esetben $\sqrt{\frac{1}{\mu}}$, második esetben pedig $\sqrt{T}$.
 +
 
 +
[[Fizika laboratórium 1.|Vissza a Fizika laboratórium 1. tárgyoldalára.]]
 +
 
 +
</wlatex>

A lap jelenlegi, 2015. március 16., 11:06-kori változata


A mérés célja:

  • az állóhullámokkal kapcsolatos ismeretek elmélyítése,
  • az állóhullámokra és a hullámterjedésre vonatkozó legfontosabb összefüggések kísérleti ellenőrzése.

A cél érdekében:

  • összefoglaljuk az állóhullámokra vonatkozó alapvető ismereteket,
  • megvizsgáljuk egy mindkét végén rögzített húrban ki-alakuló állóhullámokat,
  • hullámhossz- és frekvenciamérésekkel meghatározzuk a húrban a hang terjedési sebességét, és annak függését a húr jellemző adataitól.


Tartalomjegyzék


Elméleti összefoglaló

Kísérleteink során mindkét végén rögzített húrban terjedő hullámokat vizsgálunk. A hullám leírásánál feltételezzük, hogy a hullámterjedés egydimenziósnak tekinthető (a hullám a húr mentén terjed), a hullám transzverzális (a húr pontjainak elmozdulásvektorai a húrra merőlegesek) és síkban polarizált (a pontok elmozdulásvektorai mindig ugyanabban a síkban vannak). Ez azt jelenti, hogy a húr pontjainak az egyensúlyi helyzetből való kitérése (elmozdulása) egyetlen skaláris mennyiséggel jellemezhető. A hullám leírására a fentiek alapján a húrral párhuzamosan választott \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-tengely esetén a

 
\[c^2\frac{\partial^2\psi(x,t)}{\partial x^2}=\frac{\partial^2\psi(x,t)}{\partial t^2}\]
(1)

egydimenziós hullámegyenletet használhatjuk. Itt \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% koordináta, \setbox0\hbox{$t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% az idő, a kitérés hely- és időfüggését megadó – tehát a hullám terjedését leíró – hullámfüggvény, \setbox0\hbox{$c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pedig a hullám terjedési sebessége a húron. Ha a hullámegyenletet a húr esetére levezetjük, akkor kiderül, hogy a \setbox0\hbox{$c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% terjedési sebessége a húrt megfeszítő erőtől \setbox0\hbox{$(T)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és a húr egységnyi hosszára jutó tömegtől \setbox0\hbox{$(\mu)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függ, és ezekkel az alábbi módon fejezhető ki

 
\[c=\sqrt{\frac{T}{\mu} }.\]
(2)

A húrban valamilyen külső gerjesztés hatására kialakuló hullám általában igen bonyolult. Tapasztalatból tudjuk azonban, hogy meghatározott frekvenciákon történő gerjesztés esetén a húron, a végekről visszaverődő hullámok interferenciája révén sajátos, állandósult hullámalakzat – ún. állóhullám – jön létre. Ennek jellegzetessége az, hogy a húr meghatározott szakaszán levő pontok azonos fázisban rezegnek, a rezgés amplitúdója pedig a hely függvénye. Ez matematikailag úgy fogalmazható meg, hogy az (1) egyenletnek létezik olyan megoldása, amely egy csak helytől és egy csak időtől függő függvény szorzata [az (1) parciális differenciálegyenletben a változók szeparálhatók]. Harmonikus gerjesztés esetén ez a megoldás a

 
\[\psi(x,t)=\varphi(x)\sin(\omega t+\alpha)\]
(3)

alakban írható fel, ahol \setbox0\hbox{$\omega=2\pi\nu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a rezgés körfrekvenciája (\setbox0\hbox{$\nu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% frekvencia, Hz), \setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pedig a fázisszög.

A (3) megoldást az (1) egyenletbe helyettesítve az időfüggő rész kiesik, a helyfüggő részre pedig – amely a rezgés amplitúdójának a húr mentén való változását adja meg – az alábbi közönséges másodrendű differenciál-egyenletet eredményezi:

 
\[\frac{\mathrm{d}^2\varphi(x)}{\mathrm{d}x^2}+k^2\varphi(x)=0.\]
(4)

Az egyenletben bevezettük a \setbox0\hbox{$k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hullámszámot, amelyet a \setbox0\hbox{$k=\frac{\omega}{c}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% összefüggés definiál.

A (4) egyenlet általános megoldása

 
\[\varphi(x)=A\sin(kx)+B\cos(kx),\]
(5)

ahol \setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tetszőleges állandók, melyeket a konkrét fizikai feltételek határoznak meg. Esetünkben az egyik ilyen feltétel az, hogy a húr két vége rögzített, ami azt jelenti, hogy itt a kitérés mindig nulla. Emiatt a matematikailag lehetséges (5) általános megoldásnak csak olyan alakjai lehetnek elfogadhatóak, amelyekre fennáll, hogy

 
\[\varphi(0)=0,\]
(6a)
 
\[\varphi(L)=0,\]
(6b)

(koordinátarendszerünk kezdőpontja a húr egyik vége, így a másik végpont koordinátája \setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, a húr hossza).

Könnyen belátható, hogy a (6a) határfeltétel csak \setbox0\hbox{$B=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% esetén elégíthető ki, vagyis a megoldás csak egy

\[\varphi(x)=A\sin(kx)\]

típusú függvény lehet, de a (6b) feltétel miatt ez is csak akkor, ha a k hullámszám értéke a

 
\[k_n=n\frac{\pi}{L},\quad (n=1,\,2,\,3,\dots)\]
(7)

összefüggéssel meghatározott értékeket veszi fel.

Mivel a \setbox0\hbox{$k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hullámszám a \setbox0\hbox{$\lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hullámhosszal egyértelmű kapcsolatban van \setbox0\hbox{$\left(k=\frac{2\pi}{\lambda}\right)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, a (7) feltétel azt jelenti, hogy állóhullám csak meghatározott

 
\[\lambda_n=\frac{2L}{n},\quad (n=1,\,2,\,3,\dots)\]
(8)

hullámhosszak esetén jön létre. Ez a \setbox0\hbox{$\nu=\frac{c}{\lambda}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% összefüggés miatt egyben azt is jelenti, hogy meghatározott \setbox0\hbox{$c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% terjedési sebességgel [ami húrnál a (2) egyenlet miatt meghatározott feszítőerőt és lineáris sűrűséget jelent] a húr \setbox0\hbox{$\nu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% rezgési frekvenciája sem lehet tetszőleges, hanem csak a

 
\[\nu_n=n\frac{c}{2L},\quad (n=1,\,2,\,3,\dots)\]
(9)

értékeket veheti fel. Ezek a frekvenciák a húr rezonancia-frekvenciái.

A fentiek alapján a határfeltételeket kielégítő megoldások az alábbi alakban írhatók fel:

 
\[\varphi_n(x)=A_n\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right).\quad (n=1,\,2,\,3,\dots)\]
(10)

Az \setbox0\hbox{$A_n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% állandót – vagyis az amplitúdó maximális értékét – a gerjesztés körülményei (a kezdeti feltételek) határozzák meg, ez azonban vizsgálataink szempontjából érdektelen. Feltételezve, hogy a húrban egyetlen \setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értéknek megfelelő állóhullám-alakzat jött létre, az (1) egyenlet megoldása végül az alábbi módon irható fel:

 
\[\varphi_n(x,t)=A_n\sin\left(\frac{2\pi}{\lambda_n}x\right)\sin(\omega_n t+\alpha_n).\quad (n=1,\,2,\,3,\dots)\]
(11)
1. ábra

A létrejött állóhullám lehetséges amplitúdó-eloszlásait a (10) megoldás adja meg. A megfelelő – csomópontokat és duzzadóhelyeket tartalmazó – amplitúdó-eloszlások az 1. ábrán láthatók néhány \setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% érték esetén. A (10) egyenletből az is látszik, hogy adott \setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% esetén a csomópontok egymástól mért \setbox0\hbox{$d_n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolsága

\[d_n=\frac{L}{n}=\frac{\lambda_n}{2}.\]

A különböző \setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értékekhez – a (9) összefüggésnek megfelelően – különböző frekvenciák, ill. hangmagasságok tartoznak. A szokásos elnevezés szerint az \setbox0\hbox{$n=l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értékhez tartozó hang a húr alaphangja, míg a magasabb értékekhez tartozók a felharmonikusok.

Itt jegyezzük meg, hogy egy húr szokásos gerjesztésekor (pl.: pengetéssel, vonóval) általában sok lehetséges rezgési forma jelenik meg egyidejűleg. [Matematikailag ez azt jelenti, hogy a hullámegyenlet megoldása az egyes rezgési formákhoz tartozó (11) típusú megoldások összege.] Egy húrnak azért lehet mégis meghatározott hangmagassága, mert az alaphang amplitúdója rendszerint sokkal nagyobb, mint a felharmonikusoké. Mindig megszólalnak azonban a felharmonikusok is: ezek határozzák meg a húr hangjának hangszínét.

Méréseink során harmonikus (szinuszos) gerjesztést alkalmazunk, ezért a húrban a frekvencia megfelelő megválasztásával különböző \setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értékekhez tartozó állóhullám-formákat tudunk létrehozni. Mivel azonban a gerjesztés meglehetősen bonyolult folyamat, a létrejött hullámalakzat meghatározásánál legyünk óvatosak és azt ne a gerjesztő rezgés frekvenciája alapján, hanem közvetlen mérés útján próbáljuk azonosítani. A gerjesztés során ugyanis – minden igyekezetünk ellenére – a húrban több rezgési forma gerjesztődik és előfordulhat, hogy ezek közül nem a gerjesztő rezgés frekvenciájának, hanem valamelyik felharmonikusának megfelelő forma válik dominánssá. Így a gerjesztett rezgés frekvenciája a gerjesztő frekvencia egészszámú többszöröse is lehet.


A mérőberendezés és használata

2. ábra
3. ábra

A mérőberendezés (2. ábra és 3. ábra) egy alaplapra (1) szerelt, megfeszített acél húr (2), melynek végei egy csavarral (3) mozgatható alumínium tömbhöz (4), ill. a kétkarú emelőhöz (5) csatlakoznak. A húrhosszúság csúsztatható támaszokkal (6) szabályozható. A rezgést egy függvénygenerátorral (7) meghajtott gerjesztő tekercs (8) hozza létre mágneses csatolás révén, melynek hatására transzverzális- és gyakorlatilag síkban polarizált hullámok keletkeznek a húron. A létrejövő rezgést egy detektor-tekerccsel (9) észleljük, melynek jelét (a gerjesztő jellel együtt) kétsugaras oszcilloszkópon (10) jelenítjük meg. A húrt feszítő erőt az (5) emelő megfelelő karjára (a hosszabb, a használat során a vízszintes kar) akasztott súllyal (11) hozzuk létre.

A húr rögzítése: Az (5) emelő karján levő résbe a húr egyik végét úgy helyezzük be, hogy a rajta levő sárgaréz bütyök megakadjon, a másik végén levő fület pedig a (4) tömbön levő csavarra akasztjuk. Ehhez a tömböt a (3) csavarral a szükséges mértékben elmozdítjuk. Ezután ugyanezen csavarral a húrt megfeszítjük, úgy hogy az emelő erőkarja vízszintes legyen.

A berendezéssel a mérés szempontjából fontos paraméterek az alábbi módon változtathatók:

  • A húr vizsgált hosszát a (6) támaszok eltolásával változtathatjuk.
  • A húrt feszítő erő az erőkarra akasztott tömeg helyének (az erőkar hosszának) változtatásával szabályozható. Az emelő kialakítása olyan, hogy a feszítő erő megegyezik a felakasztott tömeg súlyával, ha az a tengelytől számított első vájatban van, az erő kétszeres, ha második vájatban van, stb. (A súly felhelyezése után a (3) csavarral mindig állítsuk be az erőkar vízszintes helyzetét).
  • A húr egységnyi hosszra eső tömegét a húr kicserélésével tudjuk változtatni. Az egyes húrok \setbox0\hbox{$\mu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értéke az átmérő méréséből (csavarmikrométer) az acél ismert (7800 kgm−3) sűrűségének felhasználásával számolható ki.
  • A húron létrejövő állóhullám alakzatot a függvénygenerátor frekvenciájának változtatásával módosíthatjuk.

A mérés során a függvénygenerátort szinuszos rezgésre állítsuk, a gerjesztő tekercset pedig az egyik támaszhoz közel (kb. 5 cm) helyezzük el (leghatékonyabban csomópont közelében működik). A detektor tekercset kezdetben a vizsgált húrszakasz közepe tájához tegyük, majd a feladatnak megfelelően változtassuk meg helyét. (A detektor a legnagyobb jelet a duzzadóhely közelében adja.)

A különböző állóhullám alakzatok (rezonanciák) keresésekor a gerjesztő frekvenciát kb. 50 Hz-től kezdve lassan növeljük, közben figyeljük a detektor jelét és a húr hangját: stabil állóhullám alakzat (rezonancia) elérésekor a jelnek és a hang erősségének maximuma van. Ha a jel kicsi, először próbáljuk a detektor tekercset elmozdítani, ha ez sem segít, akkor növeljük a gerjesztő jel amplitúdóját. A maximum észlelése után a detektort húzzuk végig a húr mentén, és a jel-amplitúdó helyfüggéséből állapítsuk meg az állóhullám jellegét és a hozzátartozó \setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értékét.

Az állóhullám frekvenciáját mindig a detektor jelének vizsgálatával határozzuk meg: vagy a jel periódus-idejének közvetlen mérésével az oszcilloszkópon, vagy – ha kétsugaras oszcilloszkópot használunk – a gerjesztő jellel való összehasonlítás útján.

Mérési feladatok

A méréshez rendelkezésre álló eszközök

  • A mérés elvégzéséhez és a mérési napló elkészítéséhez a dőlt betűs részekben adunk segítséget.

1. Állítsa be a 60 cm-es húrhosszúságot, majd feszítse meg a húrt kb. 60 N erővel (2 kg tömeget az emelő erőkarjának harmadik vájatába akasztva)! A gerjesztő frekvencia változtatásával állítsa elő az első öt \setbox0\hbox{$(n=1,\,2,\,\dots 5)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% állóhullám alakzatot! Mindegyiknél mérje meg a frekvenciát, az egyes csomópontok és duzzadóhelyek koordinátáit (pl. a húr egyik végétől mérve) és a mért koordináták alapján állapítsa meg az állóhullám hullámhosszát! Az eredményeket foglalja táblázatba! Ellenőrizze, hogy teljesül-e a (8) összefüggés!

  • A hanggenerátor egyik kimenetén egy frekvenciával arányos feszültség jelenik meg. Ez egy voltmérőre van kapcsolva, amiről a hanggenerátor frekvenciája – a nagyságrendtől eltekintve – leolvasható.
  • A mérőberendezés összerakása és kipróbálása után az oszcilloszkópon jól megfigyelhető, hogy a húr frekvenciája a hanggenerátor frekvenciájának általában kétszerese.
  • Vajon miért? Próbálja megmagyarázni!
  • Természetesen mérni a húr frekvenciáját kell! Ezt le lehetne olvasni az oszcilloszkópról is, de ennél gyorsabb és pontosabb módszer a hanggenerátor frekvenciájának leolvasása (ld. az előző pontot) és ennek megkétszerezése.

2. Ábrázolja az egyes állóhullám-alakzatok frekvenciáját (\setbox0\hbox{$\nu_n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) az alakzat \setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sorszámának függvényében, és illesszen egyenest a pontokra! Mérje meg a húr \setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszát, majd az egyenes meredekségéből számítsa ki a hang \setbox0\hbox{$c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% terjedési sebességét a húrban! Vesse össze az értéket a (2) összefüggésből számolt hangsebességgel!

  • A húrok egységnyi hosszra jutó tömegének meghatározásához csavarmikrométerrel meg kell mérni a húrok átmérőjét. A mikrométer hosszanti csavarorsóján egymás alatt (0,5 mm eltolással) két 1 mm-es osztástávolságú mérőskála található. A keresztirányú skálán 50 osztás található, így 0,01 mm pontossággal lehet mérni (a mikrométer név félrevezető). A mérőpofákat először a belső (durva) csavarral lehet állítani, a mérésnél viszont a külső (racsnis) csavart kell használni.
  • A húrok acélból készültek (\setbox0\hbox{$\rho$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% = 7800 kgm−3).

3. Állítsa elő az \setbox0\hbox{$n=$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% 1-hez tartozó állóhullámot változatlan feszítő erő, de négy másik hosszúság esetén is, és mindegyik esetben mérje meg a rezgés frekvenciáját! Ábrázolja a frekvenciát a húr hosszúság reciprokának függvényében, majd illesszen a mérési pontokra egyenest! Határozza meg ismét a hang terjedési sebességét, vesse össze a korábban kapott értékekkel!

4. Kiválasztva az egyik húrt, állítson be kb. 60 cm-es húrhosszúságot, akasszon egy súlyt az emelő erőkarjának első vájatába, majd a gerjesztő frekvencia változtatásával állítsa be az első állóhullám alakzatot (\setbox0\hbox{$n=$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% 1)! Mérje meg az állóhullám hullámhosszát és frekvenciáját és a \setbox0\hbox{$c=\lambda\cdot\nu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% összefüggés alapján számítsa ki a hang terjedési sebességét a húrban! Készítsen táblázatot és írja be a \setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% feszítő erő, a \setbox0\hbox{$\mu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% lineáris sűrűség, a \setbox0\hbox{$\nu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% alapfrekvencia és a \setbox0\hbox{$c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% terjedési sebesség értékeit! Ismételje meg a mérést még négy különböző feszítő erővel (a súlyt helyezze egyre távolabb az emelő tengelyétől) és írja be ismét az adatokat a táblázatba! Ezután közepes feszítő erőnél ismételje meg a mérést a mérőhelyen található többi húrral, és ismét írja be az adatokat a táblázatba!

5. Az 4. pontban kapott táblázat alapján ellenőrizze a (2) egyenletet! (Az egyenlet szerint állandó \setbox0\hbox{$\mu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% mellett a \setbox0\hbox{$c\propto T^{\tfrac{1}{2}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% összefüggés lineáris, állandó \setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% mellett pedig a \setbox0\hbox{$c\propto \mu^{-\tfrac{1}{2}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% összefüggés lineáris.) Ha a táblázat alapján elkészítjük ezeket a grafikonokat, akkor a pontoknak egy egyenesen kell lenniük és a meredekség az első esetben \setbox0\hbox{$\sqrt{\frac{1}{\mu}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, második esetben pedig \setbox0\hbox{$\sqrt{T}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.

Vissza a Fizika laboratórium 1. tárgyoldalára.


A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Állóhullámok_megfeszített,_rugalmas_húrban&oldid=16293”