„Tömegmérés rezonanciával és hangsebesség meghatározása” változatai közötti eltérés

A lap 2015. október 14., 12:44-kori változata

Új mérés! A leírás még készül!

A mérés célja:

• megismerkedni a hangtani mérések alapjaival, valamint a Fourier-transzformációval és annak alkalmazásával
• megismerkedni laboratóriumban használt Vernier LabPro számítógépes adatgyűjtő rendszerrel, és gyakorlatot szerezni a számítógéppel gyűjtött adatok feldolgozásában.

Ennek érdekében:

• áttekintjük egy hangvilla és egy furulya (síp) működési elvét a legegyszerűbb tárgylás szerint
• átismételjük a Fourier-transzformáció alapjait
• méréseket végzünk a számítógépes adatgyűjtő rendszerrel, melynek keretében vizsgáljuk a megszólaltatott hangvilla és a furulya által keltett hangokat és meghatározzuk a levegőbeli fénysebességet
• kiértékeljük az eredményeket IGOR Pro szoftverrel

Elméleti összefoglaló

Bevezetés

A laborgyakorlat során egy hangvilla és egy saját készítésű furulya által keltett hangrezgéseket vizsgáljuk a Vernier LabPro nevű számítógépes adatgyűjtő rendszer és egy mikrofon segítségével.

Mérések hangvillával

A hangvilla egy U alakú, általában acélból készített hangkeltő eszköz, melyet megütéssel szólaltathatunk meg. Sajátos geometriájának köszönhetően az alaphangon kívüli rezgések gyorsan lecsengenek, így 1-2 másodperc után a kívánt stabil rezgést biztosítja, nagyon kevés és gyenge magasabb hang kíséretében. Ezért a tulajdonságáért kedvelt eszköz a zenészek körében a hangszerek behangolásakor. Az önmagában megszólaltatott hangvilla jellemzően kis hangerővel szól, melyet némiképp befolyásol a megütés ereje, azonban egy megfelelő méretű rezgődobozhoz való csatolással sokkal hatékonyabban növelhetjük a hangerejét. A laborgyakorlaton egy ilyen eszközt fogunk használni, ennek lényege, hogy a félig nyitott fadoboz átveszi a rajta elhelyezkedő hangvilla rezgését, és azt átadja a benne lévő „légoszlopnak”, így felerősítve hallhatjuk a hangvilla rezgése által keltett hangot. Egy hangvilla alaphangjának kiszámolása a alábbi képlet alapján történhet, ilyenkor fontos ismernünk a villa különböző geometriai paramétereit (l, A), Young-modulusát (E), sűrűségét () és másodrendű nyomatékát (I).

Ezt azonban egyszerűbb módon is elvégezhetjük, ha a csatolt rezgődobozt vizsgáljuk. Azt feltételezve, hogy a doboz a hangvillára van hangolva, a doboz hossza alapján megállapított frekvencia megegyezik a hangvilla frekvenciájával.

Egy ilyen rezgődobozban kialakuló állóhullámokra teljesül, hogy a doboz nyitott végénél duzzadó helyük van, míg a zárt végen csomópont alakul ki. Azaz , ,, stb. hullámhosszú állóhullámokat várhatunk, melyek közül a hosszú alaphang lesz a hallható a tranziensek gyors elhalása után.

Ezzel a frekvencia egyszerűen kiszámolható a képlet alapján, ahol a hangsebesség levegőben, az állóhullám hullámhossza és a hang frekvenciája. Ha megvizsgáljuk a hangvilla frekvenciáját megadó korábbi képletet, négyzet alapú villaágakat feltételezve a másodrendű nyomaték -nek adódik, ahol a négyzet oldalhossza. A Young-moduluszt beírva a képletet átalakítva azt láthatjuk, hogy megjelenik benne a villa ágainak tömege, mint paraméter.

Ebből kifolyólag, ha változtatjuk a villa ágainak tömegét, akkor annak elhangolódik a frekvenciája. Ezzel az elvvel a hangvilla tömegmérésre is használható, ha a mérendő tömeget ráhelyezzük a villa egyik ágára, az elhangolja a frekvenciát és ebből meghatározható a tömeg nagysága.

Ennél a leegyszerűsített leírásnál két fontos dolgot kell figyelembe vennünk: egyrészt, a mérendő tömeg anyaga és geometriája eltérő lehet, mint a villa paraméterei, így a fenti képlet nem alkalmazható a frekvencia kiszámolására. Ehelyett egy kalibrációt kell készítenünk, hogy különböző tömegek mennyire hangolják el a villa frekvenciáját. Természetesen az elv akkor működik, amikor az ismeretlen tömeg jóval kisebb, mint a hangvilla tömege.

Másik fontos megjegyzés, hogy a hangvilla előnye, a felharmonikusok gyors lecsengése, főként a nagyon precízen egyformára kialakított villaágaknak köszönhető. Így, amennyiben egy tömeget helyezünk az egyik ágra, ezt a precíz kialakítást elrontjuk. Ezért a mérés során a tömeg rögzítésére használt mágneseket nem csak az egyik ágra helyezzük, hanem mindkettőre, így biztosítva, hogy a villa kialakításának elrontása lehetőleg kicsi legyen.

Mérések furulyával

A gyakorlat egyik feladata egy furulyaszerű hangszer elkészítése és ennek vizsgálata. Az elkészítés pontos menete a Mérési feladatok között olvasható.

A furulya működésének alapja, hogy a hangszerben egy olyan rezgő légoszlop tud kialakulni, amelynek frekvenciája a kívánt zenei hangot adja. A hangszer felépítése egyszerű, így kevés barkácsolással könnyen elkészíthető. A furulya egy hosszú csőből áll, aminek anyaga jellemzően fa (esetleg műanyag). Ezt a csövet nevezik a furulya testének. A test egyik végén, ahol a hangszerbe a levegőt fújjuk, egy keskeny, a levegő áramlását irányító rés helyezkedik el, majd ezt követi az úgynevezett labium (ajak), ami a hangszer talán legfontosabb része, mivel itt keletkezik a hang.

Amikor a furulyába belefújunk, a beáramló levegő a labiumon „megtörik” és örvények keletkeznek, ezáltal a furulyában lévő légoszlop rezgésbe jön és hang keletkezik. A hang keletkezésének elve hasonló, mint a hangvillánál használt rezgődoboznál, így a furulya alaphangját egyszerűen kiszámolhatjuk annak hosszából. A rezgődoboz egyik vége a labium lesz, itt duzzadó helye van az állóhullámnak, míg a másik vég a furulya vége, ahol szintén egy duzzadó hely lesz. Így a kialakuló állóhullámok rendre ,, hullámhosszúak lesznek, azaz az alaphang hullámhossza .

Egy furulyával lehetőségünk van különböző hangok keltésére is, mely a testen található megfelelő lyukak lefogásával illetve elengedésével érhető el. Röviden összefoglalva a lyukak szerepe az, hogy rövidítsék a rezgő légoszlop hosszát, mivel ilyenkor nem a furulya végén alakul ki duzzadó hely, hanem a lyuknál, így, mivel a labium és a lyuk közötti távolság rövidebb, magasabb hangon fog szólni a furulya.

A gyakorlat során az egyszerűség kedvéért mi egy kicsit eltérő módon használjuk a furulyát, az egyik végét lezárjuk egy hosszú rúddal, melyet mozgatni tudunk. Így egy félig zárt rezgődobozt hozunk létre, a rúd mozgatásával pedig ennek hossza változtatható, így különböző hullámhosszú rezgéseket vizsgálhatunk majd.

Hangtani mérések elemzése

A fentebb leírt eszközök által keltett hangok vizsgálatához valamilyen módon rögzítenünk kell azokat. Erre a célra egy mikrofont használunk majd, melyet egy XXXX digitális oszcilloszkóphoz csatlakoztatunk. Ez az oszcilloszkóp lehetőséget nyújt a mikrofon jelének, azaz az eszközök hangjának széleskörű vizsgálatára. A beépített mikroszámítógép segítségével maga az oszcilloszkóp képes különféle kiértékelések elvégzésére, az adatok elmentésére (pendrive-ra). A hangtani mérések során ezen funkciók közül a legfontosabb az ún. Fourier-transzformáció lesz.

Egy hangszer által kiadott tiszta hang egy frekvenciájú periodikus jelnek felel meg, melyben az alaphangnak megfelelő frekvenciás szinuszos rezgés mellett az alaphang felharmonikusai is szerepelnek. Ez matematikailag a Fourier-sorfejtés segítségével fogalmazható meg. Vegyünk egy tetszőleges frekvenciás jelet, melyre:

tetszőleges egész számra. Ez a függvény kifejthető a következő ún. Fourier-sorral:

ahol az ill. megadják, hogy a jelben milyen amplitúdóval és milyen fázistolással szerepel az frekvenciájú felharmonikus. Azonos hangmagasságon megszólaltatott különböző hangszerek a felharmonikusok eltérő amplitúdói és fázisai miatt szólnak másként.

Ha a jelünk nem periodikus, akkor is felbonthatjuk különböző frekvenciájú komponensekre. Ezt a műveletet hívjuk Fourier-transzformációnak:

ahol megadja, hogy egy adott frekvenciájú komponens mekkora járulékot ad a jelünkhöz. komplex szám, melynek abszolút értéke adja meg a frekvenciás komponens amplitúdóját, fázisa pedig a fázistolást. Ha a Fourier-transzformációt egy periodikus jelre alkalmazzuk, akkor az alapfrekvenciánál (), és a felharmonikusoknál () kapunk csúcsokat, melyek nagysága megadja a különböző felharmonikusok amplitúdóját.

Mérésekben a jelünket csak diszkrét pontokban ismerjük, így a fenti folytonos Fourier-integrált is ún. diszkrét Fourier-transzformáció (DFT) helyettesíti:

A diszkrét Fourier-transzformáció hatékony kiszámítására különböző algoritmusokat használhatunk, melyek közül kiemelkedően fontos az ún. FFT, "Fast Fourier Transformation".

A diszkrét Fourier-transzformáció fontos összefüggése a Nyquist-Shannon-féle mintavételezési tétel. Ha egy időfüggő jelből idő alatt -szer veszünk mintát ekvidisztáns időközönként, akkor a vett mintából a teljes spektrum csak maximális frekvenciáig, feloldással rekonstruálható. Másként kimondva, ha egy frekvenciánál nagyobb frekvenciakomponenst nem tartalmazó (sávkorlátozott) jelet akarunk mintavételezni, akkor legalább mintavételi frekvenciával kell mérni. A mérés hossza pedig a frekvenciafölbontást javítja.

A mérésben egy hangvilla és egy furulyában levő levegőoszlop rezgéseit vizsgáljuk. Ahogy már említettük, a hangvillára jellemző, hogy rezgési spektrumában csak az alaphang szerepel, nincsenek felharmonikusok. Az általunk használt furulyát egy egyik oldalán zárt sípnak tekinthetjük, melyben ideális esetben hullámhosszú állóhullámok alakulhatnak ki, ahol a furulya hossza a labium és a lezárt vég között, pedig egy egész szám. A fenti feltétel abból ered, hogy a labiumnál az állóhullámok duzzadóhelyei, a lezárt végnél pedig csomópontok találhatók. Az így kialakuló rezgések frekvenciái:

ahol a hang terjedési sebessége levegőben. Látszik, hogy félig zárt síp hangjában csak az alaphang páratlan felharmonikusai szerepelnek.

A Vernier LabPro interfész használata

2.ábra: Vernier LabPro interfész

A méréseket a 2. ábrán látható Vernier LabPro interfész segítségével végezzük, melyhez különböző szenzorok csatlakoztathatók. A mérés során a hangok rögzítésére egy Vernier által gyártott mikrofont használunk. Az interfész soros vagy USB porton keresztül csatlakoztatható a számítógéphez, és a szenzorok jelét a Logger Pro szoftver segítségével rögzítjük.

A szoftver elindítása után először be kell állítani, hogy milyen szenzorral (szenzorokkal) kívánunk mérni. A 3. ábrán látható ablakhoz az Experiment/Set Up Sensors/ Show All Interfaces gombokkal juthatunk el. Az ábrán látható beállításban az interfész CH1-es és CH2-es bemenetére egy-egy feszültségszenzor van csatlakoztatva.

A következő feladat az adatgyűjtés paramétereinek megadása. Az Experiment/Data Collection/Sampling gombokkal a 4. ábrán látható Data Collection ablakhoz jutunk. Itt állíthatjuk be a mérés hosszát és a mintavételezési frekvenciát. (A többi beállítást hagyjuk alapértéken!)

3.ábra: A szenzorok beállítása	4.ábra: Az adatgyűjtés beállítása

Mindkét mérésnél célszerű a mérőrendszert oszcilloszkóphoz hasonló üzemmódban használni. Ehhez a Data Collection ablakban állítsunk be ismétlődő mintavételezést (repeat), melynek hatására a beállított mérési hossz eltelte után újra kezdi a mérést a rendszer. A mintavételezést a Data Collection ablak Trigger fülében szinkronizálhatjuk a mért jel periódusával. Az 5. ábrán látható beállítás esetén a mintavételezés mindig akkor kezdődik, mikor a mért jel (CH1) értéke pozitív meredekséggel átlépi a beállított 4 V-os küszöbszintet.

Az Options/Graph Options/Axis Options gombok segítségével jeleníthetjük meg a 6. ábrán látható ablakot, ahol a grafikon tulajdonságait állíthatjuk be.

5.ábra: Trigger beállítása	6.ábra: A grafikon beállítása

A mérést a fő ablakban (7. ábra) található Collect/Stop gombbal indíthatjuk el, ill. állíthatjuk le.

7.ábra: Logger Pro fő ablak A mérés végén az adatokat nem a Save utasítással kell elmenteni (ekkor olyan fájlt kapnánk, amit később is csak ezzel a programmal tudnánk megnyitni), hanem exportálni kell (File/Export As/Text')! Az így elmentett text fájlokat később bármely más adatkezelő programmal (Igor Pro, Excel, stb.) meg lehet nyitni. Furulya készítése A furulya készítésének leírását az Ezermester c. újság 1998-as márciusi kiadásának alapján készítettük, a laborgyakorlatnak megfelelően átírva. Az eredeti leírás ezen a linken olvasható. xxxxx.ábra: Furulya sematikus vázlata A furulya testének kiválasztása A korábbi képletek alapján számolja ki, hogy milyen hosszúságú furulyatestet kell használnia a xxxHz-es alaphang megszólaltatásához. Vegye figyelembe, hogy a test hossza 4-5 cm nagyobb kell legyen, mint a valós rezgőcső hossza. Vágjon le egy megfelelő hosszúságú darabot a műanyagcsőből! A labium kialakítása Ez a furulyakészítés legnehezebb művelete, mivel a megfelelően kialakított ajak a kulcsa a tiszta hang keltésének. A cső egyik végétől mérjünk le 2 cm-t, majd egy szikével merőlegesen vágjuk be a csövet kb 5mm-nyire. Ettől a vágástól mérjünk le további 1 cm-t (azaz a végtől 3cm-t), majd innen a korábbi bevágásig ferdén vágjuk be a csövet, ezzel egy ék alakot kiformázva. Érdemes először kisebb meredekségű bevágást ejteni és utána korrigálni, nehogy túl mély éket alakítsunk ki. Labium formázása Az előző lépésben készített ékalak éle egyenetlen lesz, ami rontja a furulya hangjának minőségét, nehéz lesz megszólaltatni és levegősen fog szólni. Ezen javíthatunk, ha egy reszelővel eldolgozzuk a vágáskor kialakult sorját, valamint az ékalakot szabályosra formázzuk. A reszelővel óvatosan dolgozzunk, mert túlreszelve elrontható az eddigi munkánk. Befúvónyílás kialakítása A furulya ék felőli végén ki kell alakítanunk egy, a test belső átmérőjéhez képest keskeny, nyílást, ez lesz a befúvónyílás. Ehhez vágjunk le egy kb. 2 cm hosszú darabor a farúdból, a pontos méretet az ék kezdete és a test végének megfelelően mérjük le. Ebből a fadarabból egy szike segítségével hasítsunk le egy darabot, enyhén átlósan, azaz egyik végén kicsit több anyagot szedjünk le. Ezt is érdemes kisebb lépésekben végezni, különösen ügyelve a balesetek elkerülésére! Amint elkészül a kívánt alak, helyezzük bele a furulya végébe. Ha nem szorul a fadarab a furulya testében, szigetelőszalaggal körbetekerve növelhetjük a vastagságot. Lezáró rúd elkészítése Az előző lépések végén a furulya az alaphangon megszólaltatható, ha a végét kezünkkel befogjuk. Más hangok keltéséhez azonban lyukak kialakítása helyett a furulya testének hosszát fogjuk változtatni. Ehhez egy olyan lezárást készítünk, aminek pozíciója változtatható a furulya testében. A rendelkezésre álló farúdból mérjen le egy akkora darabot, ami elég hosszú, hogy a furulyában elérjen a labiumig, valamint ilyen, teljesen betolt pozícióban is lógjon ki elegendő rész a mozgatáshoz. A rúd egyik végét tekerje be szigetelőszalaggal, úgy, hogy lezárja a furulya testét, de könnyen mozgatható legyen benne. Itt is érdemes több lépésben dolgozni, ne legyen túl vastag a szigetelőszalag réteg. Végül kenje be a szigetelőszalagot vákuumzsírral, ezzel elősegítve a könnyebb mozgatást és a jobb tömítettséget. Ezzel a saját készítésű furulya elkészült, amennyiben a labium kialakítása megfelelő, könnyen megszólaltatható és különböző hullámhosszú hangok kelthetők. Mérési feladatok A méréshez rendelkezésre álló eszközök A mérés elvégzéséhez és a mérési napló elkészítéséhez a dőlt betűs részekben adunk segítséget. Hangvilla vizsgálata 1. Mérje meg a hangvilla frekvenciáját az adatgyűjtő segítségével! Állítson be egy megfelelő mintavételezési időt úgy, hogy a képernyőn legalább 10 periódus látszódjon. Üsse meg a hangvillát, majd a tranziensek elhalása után, amikor a számítógépen szabályos szinuszos jelalak látható, állítsa le a mérést. Az adatgyűjtés megfelelő beállításához számolja ki a hangvilla frekvenciáját kétféle módon (hangvilla paraméterei, rezgődoboz mérete)! A kapott értékeket vesse össze! Melyik módszerrel számolt frekvenciának nagyobb a hibája? Várja meg, a tranziensek elhalását, a tiszta alaphang beállását. Hova célszerű helyezni a mikrofont a méréskor? 2. Vizsgálja a hangvilla csillapítását, ehhez mérjen a lehető leghosszabb ideig. Az előzőekben meghatározott alapfrekvencia alapján határozza meg, milyen mérési frekvenciát célszerű beállítani, itt vegye figyelembe a Nyquist-Shannon-féle mintavételezési tételt! Fontos figyelembe venni azt is, hogy a Vernier LabPro adatgyűjtő által egy mérés alatt maximálisan 12000 mérési pont rögzíthető. A gyakorlatban ez azt jelenti, hogy a mérési idő és a frekvencia szorzata ettől a számtól kisebb kell legyen. Azaz 1kHz-es mérési frekvencia esetén maximálisan 12s-ig mérhetünk. A tranziensek hatásának elkerülése érdekében a mérést a megütés után indítsa, vagy vágja le az adatsor első másodperceit. 3. Határozza meg a hangvilla frekvenciáját gyors Fourier-transzformációval (FFT)! Ehhez használja az IGOR PRO szoftvert! Válasszon megfelelő mérési frekvenciát és időintervallumot, valamint a kiértékeléskor FFT ablakot. Mi alapján határozza meg az optimális frekvenciát és időtartamot? Milyen frekvencia felbontással tud így mérni? Miért fontos a mérésnek megfelelő FFT ablak kiválasztása? 4. Vizsgálja meg, milyen mértékben rontja el a hangvilla tulajdonságait a paramétereinek változtatása! Először helyezzen egy mágnest az egyik ágra és vizsgálja a rezgés lecsengését. Ezután helyezzen egy ugyanilyen mágnest a másik ágra, minél pontosabban a másik mágnessel megegyező helyre. Szintén vizsgálja meg a lecsengési időt, valamint minél pontosabban határozza meg az így kialakított hangvilla frekvenciáját. Határozza meg a mágnesek tömegét a frekvencia eltolódásából! Végezze el a mérést úgy, hogy mindkét mágnest az egyik ágra helyezi! Milyen irányú frekvenciaeltolódást vár a mágnesek felhelyezésekor? Becsülje meg ennek mértékét! (mágnes mérete, tömege, villa tömege, paraméterei, stb. becslése) Ha azzal a feltételezéssel élünk, hogy a felhelyezett mágnesek csak a villa tömegét módosítják, a frekvencia eltolódásából meghatározható a mágnesek tömege. Fejezze ki a mágnesek tömegét a mért frekvenciákkal! 5. Mérje meg különböző ismert tömegek esetén a frekvencia eltolódást és készítsen kalibrációs görbét, ami alapján egy ismeretlen tömeg által okozott frekvencia eltolódásból meghatározható a tömeg mértéke! Határozza meg, milyen tömegfelbontással tud ezzel a módszerrel tömeget mérni! Az előző feladatban azt feltételeztük, hogy a villára helyezett tömeg egyszerűen csak a villa tömegét módosítja. A fenti képleteket áttekintve látható, hogy ez egy jó közelítés, de pontos méréshez nem lesz megfelelő. Mivel egy így kialakított rendszer esetén a számítások bonyolultak, nem a képletek alapján célszerű számolni, hanem inkább ismert tömegekkel kalibrálni az eszközt. Gondolja át a mérés lehetséges hibáit, ezeket jegyezze le a mérési naplóba is! A frekvencia eltolódása nem csak a tömeg megnövekedéséből adódik, hanem a geometriai paraméterek változtatása is közrejátszik. Így a súlyok elrendezése is befolyásolja a mérést. Ebből kifolyólag, amennyiben lehetséges érdemes több kalibrációs görbét felvenni és ezekkel dolgozni A frekvencia felbontás a mérési idő növelésével javítható, ez azonban a mintavételezési frekvenciát csökkenti. A mérés idejét a lecsengésnek megfelelően célszerű meghatározni, a mérési frekvenciánál figyelembe kell venni a Nyquist-Shannon-féle mintavételezési tételt, valamint az eszköz specifikációját. Ha ideje engedi, végezzen kalibrációt több mintavételezési frekvenciára. 6. Határozza meg két ismeretlen tömeg mértékét minél pontosabban! Az előző feladat kalibrációs görbéi segítségével határozza meg az ismeretlenek tömegét, adja meg a hibáját. Ezt a mérést érdemes több mérési frekvenciával és több mérési idővel elvégezni