„Nagyfrekvenciás jelek terjedésének fizikai alapjai” változatai közötti eltérés

A lap 2018. február 21., 22:57-kori változata (lapforrás) Halbritt (vitalap | szerkesztései) (→‎A távíróegyenletek) ← Régebbi szerkesztés		A lap 2018. február 21., 23:10-kori változata (lapforrás) Halbritt (vitalap | szerkesztései) (→‎A távíróegyenletek) Újabb szerkesztés →
31. sor:		31. sor:
	|}		|}
		+	A koaxiális kábelek hosszegységre eső kapacitására és önindukciós együtthatójára e két paraméter definiciójából adódik:
		+	$$
		+	\widetilde{C}=\frac{2 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_{\text{r}}}{\ln(D/d)}, \qquad \widetilde{L}=\frac{\mu_0 \mu_{\text{r}}\ln(D/d)}{2\pi},
		+	$$
		+
		+	\noindent ahol $D$ az árnyékolás belső átmérője és $d$ a kábel belső vezetőjének külső átmérője, $\varepsilon_0$ és $\mu_0$ az ismert fizika állandók, $\varepsilon_{\text{r}}$ és $\mu_{\text{r}}$ az anyagra jellemző paraméterek.
		+
		+	A távíróegyenletek bemutatásához a legegyszerűbb eset tárgyalásához feltesszük, hogy mindkét drót tökéletes vezető ($\widetilde{R}=0$) és tökéletesen szigetelt egymástól ($\widetilde{G}=0$), tehát a jelenség csak $\widetilde{L}$ és $\widetilde{C}$-től fog függeni. (A teljesen általános eset is megoldható, csak bonyolultabb eredményekre vezet.) Ekkor mind a feszültség ($U(x,t)$), mind az áram ($I(x,t)$) hely- és időfüggő lesz, és leírásukra a következő két csatolt, lineáris, elsőrendű parciális-differenciálegyenlet adódik (Heaviside, 1880):
		+	$$
		+	\begin{aligned}
		+	\frac{\partial U(x,t)}{\partial x}=-\widetilde{L} \frac{\partial I(x,t)}{\partial t}\\
		+	\frac{\partial I(x,t)}{\partial x}=-\widetilde{C} \frac{\partial U(x,t)}{\partial t}.
		+	\end{aligned}
		+	$$
		+	Ezek a távíróegyenletek a Maxwell-egyenletekből véges differenciák segítségével elemi úton levezethetők. További összevonással két ekvivalens hullámegyenletet kapunk mind az áramra, mind a feszültségre:
		+	$$
		+	\begin{aligned}
		+	\frac{\partial^2 U(x,t)}{\partial t^2}=\frac{1}{\widetilde{L}\widetilde{C}}\frac{\partial^2 U(x,t)}{\partial x^2}\\
		+	\frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial t^2}=\frac{1}{\widetilde{L}\widetilde{C}}\frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial x^2}.
		+	\end{aligned}
		+	$$
		+	Az ismert alakú hullámegyenletekből leolvasható, hogy a kábelben terjedő zavar sebessége $v=\frac{1}{\sqrt{\widetilde{L}\widetilde{C}}}$, és a legáltalánosabb megoldás a feszültségre és áramra:
		+	$$
		+	\begin{aligned}
		+	U(x,t)=U^+ f(\omega t- k x)+U^-f(\omega t+ k x)\\
		+	I(x,t)=I^+ f(\omega t- k x)+I^-f(\omega t+ k x),
		+	\end{aligned}
		+	$$
		+	ahol $\omega$ a terjedő hullám körfrekvenciája, $k=\omega/v$ pedig a hullámszáma. $U^+$ és $U^-$ a pozitív, illetve negatív $x$ irányba terjedő jel amplitúdója, $f$ egy tetszőleges függvény. Vegyük észre, hogy a $v$ mennyiség dimenziója valóban m/s.
		+
		+	Egy speciális eset az, amikor a kábelen csak egy irányba haladó hullám van jelen. Ez a megoldás:
		+	$$
		+	\begin{aligned}
		+	U(x,t)=U_0 e^{i(\omega t- k x)}\\
		+	I(x,t)=I_0 e^{i(\omega t- k x)}.
		+	\end{aligned}
		+	$$
		+	Ezt a speciális megoldást a távíróegyenletekbe visszaírva azt kapjuk, hogy a feszültség és áram aránya a haladó hullámra:
		+	$$
		+	\frac{U(x,t)}{I(x,t)}=\sqrt{\frac{\widetilde{L}}{\widetilde{C}}}=Z_0,
		+	$$
		+	ahol a $Z_0$ ellenállás dimenziójú mennyiséget a kábel ''hullámimpendaciájának'' nevezzük.
	</wlatex>		</wlatex>

---

A lap 2018. február 21., 23:10-kori változata

Tartalomjegyzék 1 Bevezetés 2 Elméleti háttér 2.1 A távíróegyenletek

Bevezetés

A laborgyakorlat célja, hogy a nagyfrekvenciás ( MHz) méréstechika és jelátvitel területén felmerülő alapfogalmakat és jelenségeket bemutassa. A legfontosabb amit érdemes megjegyezni az, hogy az alacsony frekvenciás hálózatok vizsgálatakor megszokott leírásmódok nagyobb frekvenciákon érvényüket vesztik, és a hagyományos áramköri jelenségeken túlmutató, szokatlan jelenségek lépnek fel, mint pl. a jelek reflexiója. A fizika szempontjából itt a Maxwell-egyenletek nagyfrekvenciás, azaz hullámjelenségeket is figyelembe vevő alkalmazásáról van szó kábelek esetére.

A XIX. század közepén felmerült az igény a nagy távolságokra történő adattovábbításra, akár kontinensnyi távolságokban, pl. tenger alatti kábelek segítségével. (Az első transzatlanti kábelt 1858-ban helyezték üzembe.) Hamar kiderült, hogy a vezetékben történő jeltovábbításánál lényeges a hullámjelenségek figyelembevétele. Ez a technológiai fejlődés és igény az elméleti leírásra időben közel volt a Maxwell-egyenletek (1861) megszületéséhez. A vezetékben terjedő hullámjelenségek leírását ma mint az ún. távíróegyenleteket ismerjük. Ez a Maxwell-egyenletek által megjósolt elektromágneses hullámjelenségek egyik gyakorlati alkalmazása, és e leírás gyakorlati sikere is inspirálóan hatott az elektromágneses sugárzás későbbi felfedezésére (Hertz, 1886).

A fizikus tanulmányok során eddigiekben felmerült egyenáramú (DC) és alacsony frekvenciás váltóáramú (AC) hálózatok vizsgálatakor nem törődtünk azzal, hogy a jel terjedési sebessége véges. Feltételeztük, hogy adott ponton feszültséget kapcsolva egy áramkörre az pillanatszerűen megjelenik minden azonos potenciálú helyen. Mindez nyilvánalóan érvényét veszíti, amikor a jel számára szükséges terjedési idő, (itt a kábel hossza, a közegben érvényes fénysebesség), összemérhető a jel periódusidejével: (a gyakorlatban inkább a feltétel a használatos). Például a transzatlanti kábel esetére az így kapott frekvencia Hz. Ez az eredmény azt jelenti, hogy a hullámjelenségek figyelembe vétele nélkül a transzatlanti kommunikáció csak ennél lényegesen alacsonyabb frekvencián, mai szóhasználattal kb. Hz sávszélességen (azaz 6 bit/sec) mehetne csak végbe.

A hullámjelenségek figyelembevétele a modern kommunikációs eszközöknél még fontosabb, mivel pl. 9 GHz-es vivőfrekvenciára (ami egy elterjedt kommunikációs sáv) a hullámhossz mindössze 3 cm. Egy másik gyakorlati példánk a számítógépek, melyek tipikusan 2-3 GHz-es jelekkel dolgoznak (), melyeket 10-20 cm távolságra juttatnak el, így itt nyilvánvalóan szükséges a hullámjelenségek figyelembevétele az áramkörök tervezésekor. A későbbi tanulmányaink során hasonló jelenségekkel találkozhatunk az Önálló labor tárgy NMR (magmágneses-rezonancia) és ESR (elektronspin-rezonancia) laborgyakorlatain.

Elméleti háttér

A távíróegyenletek

Tekintsük a jelet továbbító vezeték egy infinitezimálisan kicsi darabját, ami az 1. ábrán látható. Ezt legáltalánosabban egy soros, ún. elosztott ellenállás, (egysége Ohm per méter), elosztott induktivitás, (egysége Henry per méter), elosztott kapacitás, (egysége Farád per méter), és a két drót közti elosztott vezetés, (egysége Siemens per méter) jellemzi. A soros ellenállás oka a vezetékdarabokban lévő veszteség, az induktivitás oka pedig az, hogy az egyes drótdarabokat mágneses tér veszi körbe, ezért lesz egyetlen drótszálnak is önindukciója. A írja le a két vezetékdarab közti elektromos vezetést, ami akkor is jelen van, ha nagyon jó dielektrikum választja el a két vezetőt egymástól. Mivel a két drót nincs azonos potenciálon, ezért lesz köztük a kapacitás.

1. ábra: A jelterjedésben vizsgált vezeték egy darabjának áramköri modellje.

Látható, hogy a fenti értékek közül értéke elsősorban a vezető anyagi minőségétől függ (értéke nagyfrekvencián a skin-effektus miatt megnő), azonban , és értéke nagyban függ attól, hogy a két drót egymáshoz képest hogyan helyezkedik el (pl. sodort érpárra , de értéke nagy). Egymástól adott távolságra elhelyezkedő drótpár esetére értéke fix, viszont nagyban függ a környező dielektrikumtól (utóbbi probléma a sós víz miatt a transzatlanti kábelnél merült fel). Mindezen problémákra kínál megoldást a koaxiális kábel (Heaviside, 1880), amiben a földelt külső vezetéken belül helyezkedik el a másik drót. Ennek előnye, hogy minden paramétere jól definiált, mind az elektromos, mind a mágneses erővonalak belül a két koaxiális vezeték között helyezkednek el, amint azt a 2. ábra mutatja. A korábbi merev falú, levegővel kitöltött koaxiális kábeleket mára a rugalmas dielektrikummal kitöltött kábelek váltották fel (tipikusan és ).

2. ábra: A koaxiális vezeték keresztmetszete az elektromos és mágneses tér , ill. vonalaival a kábel alapvető, ún. TEM00 módusára. A belső vezetéken változó feszültség van, míg a külső leggyakrabban le van földelve.

A koaxiális kábelek hosszegységre eső kapacitására és önindukciós együtthatójára e két paraméter definiciójából adódik:

\noindent ahol az árnyékolás belső átmérője és a kábel belső vezetőjének külső átmérője, és az ismert fizika állandók, és az anyagra jellemző paraméterek.

A távíróegyenletek bemutatásához a legegyszerűbb eset tárgyalásához feltesszük, hogy mindkét drót tökéletes vezető () és tökéletesen szigetelt egymástól (), tehát a jelenség csak és -től fog függeni. (A teljesen általános eset is megoldható, csak bonyolultabb eredményekre vezet.) Ekkor mind a feszültség (), mind az áram () hely- és időfüggő lesz, és leírásukra a következő két csatolt, lineáris, elsőrendű parciális-differenciálegyenlet adódik (Heaviside, 1880):

Ezek a távíróegyenletek a Maxwell-egyenletekből véges differenciák segítségével elemi úton levezethetők. További összevonással két ekvivalens hullámegyenletet kapunk mind az áramra, mind a feszültségre:

Az ismert alakú hullámegyenletekből leolvasható, hogy a kábelben terjedő zavar sebessége , és a legáltalánosabb megoldás a feszültségre és áramra:

ahol a terjedő hullám körfrekvenciája, pedig a hullámszáma. és a pozitív, illetve negatív irányba terjedő jel amplitúdója, egy tetszőleges függvény. Vegyük észre, hogy a mennyiség dimenziója valóban m/s.

Egy speciális eset az, amikor a kábelen csak egy irányba haladó hullám van jelen. Ez a megoldás:

Ezt a speciális megoldást a távíróegyenletekbe visszaírva azt kapjuk, hogy a feszültség és áram aránya a haladó hullámra:

ahol a ellenállás dimenziójú mennyiséget a kábel hullámimpendaciájának nevezzük.