„Elektrosztatika példák - Két azonos sugarú fémgömbből álló rendszer kapacitása” változatai közötti eltérés
(→Feladat) |
(→Megoldás) |
||
20. sor: | 20. sor: | ||
− | A $Q$ töltéssel bíró gömb által keltett tér hatására $U_{AB1}$ potenciálkülönbség jön létre az ábrán látható A és B pontok között. Az $U_{AB1}$ meghatározható, ha a gömb elektromos terét integráljuk $A$ és $B$ pontok között: | + | A $Q$ töltéssel bíró gömb által keltett tér hatására $U_{AB1}$ potenciálkülönbség jön létre az ábrán látható A és B pontok között. Mivel a gömbfelületek külön-külön ekvipotenciális felületek, emiatt a két gömbfelületnek bármely két pontja között azonos a feszültség. Az $U_{AB1}$ meghatározható, ha a gömb elektromos terét integráljuk $A$ és $B$ pontok között: |
[[Kép:KFGY2-4-4.png|none|400px]] | [[Kép:KFGY2-4-4.png|none|400px]] | ||
− | $$U_{AB1}=-\int_{A}^{B}E_{(r)}dr-\int_{a}^{b | + | $$U_{AB1}=-\int_{A}^{B}E_{(r)}dr=-\int_{a}^{b+a}E_{(r)}dr=-\dfrac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \int_{a}^{b+a} \dfrac{1}{r^2} dr=\dfrac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left( \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b+a} \right)$$ |
A két gömbből álló rendszer tükörszimmetriájából következik, hogy a másik, $-Q$ töltésű gömb által az $A$ és $B$ pontok között létrehozott $U_{AB2}$ potenciálkülönbség megegyezik az első gömb által keltett $U_{AB1}$ potenciálkülönbséggel. ($U_{AB1}=U_{AB2}$) Tekintve, hogy a potenciáltér lineáris, a két gömbfelület között mért potenciálkülönbség az egyes gömbök által keltett potenciálkülönbségek összege: | A két gömbből álló rendszer tükörszimmetriájából következik, hogy a másik, $-Q$ töltésű gömb által az $A$ és $B$ pontok között létrehozott $U_{AB2}$ potenciálkülönbség megegyezik az első gömb által keltett $U_{AB1}$ potenciálkülönbséggel. ($U_{AB1}=U_{AB2}$) Tekintve, hogy a potenciáltér lineáris, a két gömbfelület között mért potenciálkülönbség az egyes gömbök által keltett potenciálkülönbségek összege: | ||
− | $$U_{AB}=U_{AB1}+U_{AB2}=2U_{AB1}=\dfrac{Q}{2\pi \varepsilon_0} \left( \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b | + | $$U_{AB}=U_{AB1}+U_{AB2}=2U_{AB1}=\dfrac{Q}{2\pi \varepsilon_0} \left( \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b+a} \right)$$ |
A rendszer kapacitása: | A rendszer kapacitása: | ||
− | $$C=\dfrac{Q}{U_{AB}}=\dfrac{2\pi \varepsilon_0}{\left( \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b | + | $$C=\dfrac{Q}{U_{AB}}=\dfrac{2\pi \varepsilon_0}{\left( \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b+a} \right)}$$ |
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap jelenlegi, 2021. március 8., 14:53-kori változata
Feladat
- Mekkora két azonos , sugarú fémgömbből álló rendszer kapacitása, ha gömbök felületének egymáshoz legközelebbi pontjai távolságra helyezkednek el? ()
Megoldás
Legyen töltése az egyik, töltése a másik fémgömbnek.
Gauss tétel segítségével könnyen meghatározhatjuk a töltésű gömb által keltett teret az távolság függvényében:
A töltéssel bíró gömb által keltett tér hatására potenciálkülönbség jön létre az ábrán látható A és B pontok között. Mivel a gömbfelületek külön-külön ekvipotenciális felületek, emiatt a két gömbfelületnek bármely két pontja között azonos a feszültség. Az meghatározható, ha a gömb elektromos terét integráljuk és pontok között:
A két gömbből álló rendszer tükörszimmetriájából következik, hogy a másik, töltésű gömb által az és pontok között létrehozott potenciálkülönbség megegyezik az első gömb által keltett potenciálkülönbséggel. () Tekintve, hogy a potenciáltér lineáris, a két gömbfelület között mért potenciálkülönbség az egyes gömbök által keltett potenciálkülönbségek összege:
A rendszer kapacitása: