„Elektrosztatika példák - Vezető anyaggal töltött kondenzátor ellenállása” változatai közötti eltérés
(→Megoldás) |
(→Megoldás) |
||
35. sor: | 35. sor: | ||
$$\vec{j} = \frac{\sigma Q}{2 \pi r L \epsilon_0}$$ | $$\vec{j} = \frac{\sigma Q}{2 \pi r L \epsilon_0}$$ | ||
amely áramsűrűséget az $r$ sugarú hengerfelületen integrálva megkapjuk a hengerek között folyó áramot: | amely áramsűrűséget az $r$ sugarú hengerfelületen integrálva megkapjuk a hengerek között folyó áramot: | ||
− | $$I = \iint \vec{j}\cdot\vec{dA} | + | $$I = \iint \vec{j}\cdot\vec{dA} = \sigma \iint \vec{E}\cdot\vec{dA} = \frac{\sigma Q}{\epsilon_0}$$ |
Ebből az Ohm-törvény alapján a henger ellenállása: | Ebből az Ohm-törvény alapján a henger ellenállása: | ||
$$R = \frac{U}{I} = \frac{\ln\left(\frac{b}{a}\right)}{2 \pi L\sigma}$$ | $$R = \frac{U}{I} = \frac{\ln\left(\frac{b}{a}\right)}{2 \pi L\sigma}$$ | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap jelenlegi, 2021. március 22., 14:22-kori változata
Feladat
- Számítsuk ki az
a) és sugarú gömblemezekből álló , vezetőképességű közeggel kitöltött gömbkondenzátor; ill.
b) az hosszúságú, és sugarú, fegyverzetekből álló, vezetőképességű közeggel kitöltött hengerkondenzátor ellenállását!
A fegyverzetek közti feszültség mindkét esetben időben állandó!
Megoldás
a, Mivel a kondenzátor lemezei közti feszültség --- és így a lemezeken jelen lévő töltés nagysága is --- időben állandó, a fegyverzetek közt folyó áram stacionárius. A Gauss-tétel stacionárius áramok esetén is igaz. A Gauss tétel egy sugarú koncentrikus gömbre:
amiből a gömbök közötti potenciálkülönbség:
A differenciális Ohm-törvény alapján a gömbben folyó áramsűrűség nagysága:
amely áramsűrűséget az sugarú gömbfelületen integrálva megkapjuk a gömbhéjak között folyó áramot:
Ebből az Ohm-törvény alapján a gömb ellenállása:
b, Henger esetén:
amiből a hengerek közötti potenciálkülönbség:
A differenciális Ohm-törvény alapján a hengerben folyó áramsűrűség:
amely áramsűrűséget az sugarú hengerfelületen integrálva megkapjuk a hengerek között folyó áramot:
Ebből az Ohm-törvény alapján a henger ellenállása: