„Magnetosztatika példák - Parabola alakú vezetőben kialakult indukált feszültség” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(→Feladat) |
(→Megoldás) |
||
(2 szerkesztő 10 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex>#Egy $y = ax^2$ egyenletnek megfelelően parabola alakúra hajlított vezetőt az xy síkra merőleges $B$ mágneses indukciójú térbe helyezzük. A $t = 0$ pillanatban az x tengellyel párhuzamos vezető $w$ gyorsulással elindul az $y = 0$ helyzetből a pozitív $y$ irányban. Állapítsuk meg az indukált feszültséget y függvényeként. [[Kép:KFGY2-9-1.png|none|350px]]</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$U = B\cdot\sqrt{ | + | </noinclude><wlatex>#Egy $y = ax^2$ egyenletnek megfelelően parabola alakúra hajlított vezetőt az xy síkra merőleges $B$ mágneses indukciójú térbe helyezzük. A $t = 0$ pillanatban az x tengellyel párhuzamos vezető $w$ gyorsulással elindul az $y = 0$ helyzetből a pozitív $y$ irányban. Állapítsuk meg az indukált feszültséget y függvényeként. [[Kép:KFGY2-9-1.png|none|350px]]</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$U = -B\cdot\sqrt{\frac{2w}{a}}\cdot y $$}} |
</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
− | Először a | + | Először a vezetékek által bezárt görbe területét kell kiszámoljuk az $y$ és az idő függvényében. |
− | A | + | |
− | $$\tilde{A} = \ | + | A parabola alatti területet a következőképpen írhatjuk fel, amikor a rúd $y$ magasságában jár: |
− | A vezető által körbezárt terület | + | $$\tilde{A} = 2\int_{0}^{\sqrt{\frac{y}{a}}} ax^2dx = \frac{2a^{-\frac{1}{2}}y^{\frac{3}{2}}}{3}$$ |
− | $$A = y\cdot\ | + | A a görbe alatti terület ismeretében kiszámítható a vezető által körbezárt terület is: |
+ | $$A = 2\cdot(y\cdot\sqrt{\frac{{y}}{a}}-\tilde{A}) = \frac{4}{3} a^{-\frac{1}{2}}\cdot y^{\frac{3}{2}} $$ | ||
Az indukált feszültség a Faraday féle indukciós törvény alapján: | Az indukált feszültség a Faraday féle indukciós törvény alapján: | ||
− | $$U = -B\cdot\frac{\partial A}{\partial t} = | + | $$U = -B\cdot\frac{\partial A}{\partial t}$$, |
− | + | ahol $$A(t) = \frac{4}{3} a^{-\frac{1}{2}}\cdot (\frac{1}{2}wt^2)^{\frac{3}{2}} $$, | |
+ | mivel az $y(t)$ függvény kiszámolható a kinematikai egyenletekből úgy, mint | ||
$$y(t) =\frac{1}{2}wt^2 $$ | $$y(t) =\frac{1}{2}wt^2 $$ | ||
− | Amiből az indukált feszültség $y$ függvényében: | + | Amiből az indukált feszültség az $y$ függvényében: |
− | $$U = | + | $$U = -2B\cdot\sqrt{\frac{2w}{a}}\cdot y $$ |
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap jelenlegi, 2021. április 26., 13:38-kori változata
Feladat
- Egy egyenletnek megfelelően parabola alakúra hajlított vezetőt az xy síkra merőleges mágneses indukciójú térbe helyezzük. A pillanatban az x tengellyel párhuzamos vezető gyorsulással elindul az helyzetből a pozitív irányban. Állapítsuk meg az indukált feszültséget y függvényeként.
Megoldás
Először a vezetékek által bezárt görbe területét kell kiszámoljuk az és az idő függvényében.
A parabola alatti területet a következőképpen írhatjuk fel, amikor a rúd magasságában jár:
A a görbe alatti terület ismeretében kiszámítható a vezető által körbezárt terület is:
Az indukált feszültség a Faraday féle indukciós törvény alapján:
, ahol ,mivel az függvény kiszámolható a kinematikai egyenletekből úgy, mint
Amiből az indukált feszültség az függvényében: