„RLC körök mérése” változatai közötti eltérés
| 87. sor: | 87. sor: | ||
===Aluláteresztő szűrők=== | ===Aluláteresztő szűrők=== | ||
| − | Írjuk fel az 1.a és 1.b ábrákon látható kapcsolások kimenő feszültségeit! (A vastag betűs mennyiségek komplex változók.) | + | Írjuk fel az 1.a és 1.b ábrákon látható kapcsolások kimenő feszültségeit! (A vastag betűs mennyiségek komplex változók, $j$ a képzetes egység.) |
{| cellpadding="2" style="border: 1px solid darkgray;" align="center" | {| cellpadding="2" style="border: 1px solid darkgray;" align="center" | ||
| 97. sor: | 97. sor: | ||
| <div class="texdisplay"><latex display >\[ \begin{array}{rcl} \mathbf{U}_{ki} & = & \mathbf{U}_{be} \frac{1/j\omega C}{R + 1/j\omega C} \\ \\ \mathbf{U}_{ki} & = & \mathbf{U}_{be} \frac{1}{1 + j\omega RC} \end{array} \]</latex></div> || <div class="texdisplay"><latex display >\[ \begin{array}{rcl} \mathbf{U}_{ki} & = & \mathbf{U}_{be} \frac{R}{R + j\omega L} \\ \\ \mathbf{U}_{ki} & = & \mathbf{U}_{be} \frac{1}{1 + j\omega L/R} \end{array} \]</latex></div> | | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \begin{array}{rcl} \mathbf{U}_{ki} & = & \mathbf{U}_{be} \frac{1/j\omega C}{R + 1/j\omega C} \\ \\ \mathbf{U}_{ki} & = & \mathbf{U}_{be} \frac{1}{1 + j\omega RC} \end{array} \]</latex></div> || <div class="texdisplay"><latex display >\[ \begin{array}{rcl} \mathbf{U}_{ki} & = & \mathbf{U}_{be} \frac{R}{R + j\omega L} \\ \\ \mathbf{U}_{ki} & = & \mathbf{U}_{be} \frac{1}{1 + j\omega L/R} \end{array} \]</latex></div> | ||
|} | |} | ||
| + | |||
| + | A kimeneti és bemeneti feszültségek hányadosa a hálózatra jellemző, frekvenciafüggő kifejezés. | ||
| + | |||
| + | {| cellpadding="2" style="border: 1px solid darkgray;" align="center" | ||
| + | |- border="0" | ||
| + | |- align="center" | ||
| + | | width="257pt" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \frac{\mathbf{U}_{ki}}{\mathbf{U}_{be}} = \frac{1}{1 + j\omega RC} \]</latex></div> | ||
| + | | width="257pt" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \frac{\mathbf{U}_{ki}}{\mathbf{U}_{be}} = \frac{1}{1 + j\omega L/R} \]</latex></div> | ||
| + | | align = "right" | <span id="eq8"> (8) </span> | ||
| + | |} | ||
| + | |||
| + | A két (8) kifejezés formailag azonos, tehát a két kapcsolás azonos jellegű viselkedést mutat. Ameddig $\omega RC \ll 1$ vagy $\omega L/R \ll 1$, a kifejezések értéke 1, ha $\omega RC \gg 1$ vagy $\omega L/R \gg 1$, a hányados értéke $1/\omega$ szerint csökken. Ez azt jelenti, hogy adott $R$, $C$ és $L$ esetén az alacsony frekvenciájú jelek csillapítás nélkül jelennek meg a kimeneten, míg magasabb frekvenciákon a kimenő feszültség egyre kisebb. Ezeket a kapcsolásokat aluláteresztő szűrőknek nevezik. | ||
A lap 2012. február 10., 14:55-kori változata
Szerkesztés alatt!
Tartalomjegyzék |
A mérés célja:
-megismerkedni a leggyakrabban használt frekvenciafüggő áramköri elemekkel és az ezekből felépülő szelektív áramkörökkel.
Ennek érdekében:
-áttekintjük a váltakozó áramú hálózatok reaktáns elemeinek tulajdonságait és néhány egyszerű szűrő és egy rezgőkör frekvenciafüggő viselkedését; -méréseket végzünk a fent említett hálózatokon.
Elméleti összefoglaló
Tekercs
A tekercsben indukálódó feszültséget az
![\[ u(t) = L \frac{\textrm{d} i(t)}{\textrm{d} t} \]](/images/math/b/9/7/b9710f6c92cb97243f2b7ac6041c2968.png) |
(1) |
egyenlet írja le. Szinuszos gerjesztés [ 
] esetén
![\[ u(t) = L \omega I_0 \textrm{cos}\omega t, \]](/images/math/0/3/5/035e8061307b0fb1e88ab24eea483f20.png) |
(2) |
ami a következő alakba is írható:
![\[ u(t) = L \omega I_0 \textrm{sin}( \omega t + 90^\circ ), \]](/images/math/f/1/c/f1c9d1f12cf58ff6ee685253d1a0780f.png) |
(3) |
tehát a tekercsben fellépő feszültség 90°-ot siet az átfolyó áramhoz képest. A jelenség magyarázata a Lenz-törvényen alapul.
Kondenzátor
A kondenzátoron átfolyó áram időfüggését az alábbi egyenlet írja le:
![\[ i(t) = C \frac{\textrm{d} u(t)}{\textrm{d} t}. \]](/images/math/3/a/5/3a59cf6674a1e812bd6efebb50d10387.png) |
(4) |
Szinuszos gerjesztés [ 
] esetén:
![\[ i(t) = C \omega U_0 \textrm{cos}\omega t, \]](/images/math/2/4/9/249f0a17c4e98375ef0b67a874a7fd59.png) |
(5) |
ami a fentiekhez hasonlóan a következő alakba írható:
![\[ i(t) = C \omega U_0 \textrm{sin}( \omega t + 90^\circ ), \]](/images/math/3/8/7/38735ee3e3c4984f666b1b322710f6f7.png) |
(6) |
azaz a kondenzátor árama 90°-ot siet a feszültségéhez képest. Magyarázata az, hogy először áram folyik, így töltések kerülnek a lemezekre, és ezek hozzák létre a feszültséget. Gyakran szükséges a kondenzátor feszültségének ismerete, ami (4) alapján az alábbiak szerint számítható:
![\[ u(t) = \frac{1}{C} \int i(t)\textrm{d}t . \]](/images/math/6/7/0/670d10edef033c504ff445211a4ae29e.png) |
(7) |
Aluláteresztő szűrők
Írjuk fel az 1.a és 1.b ábrákon látható kapcsolások kimenő feszültségeit! (A vastag betűs mennyiségek komplex változók, 
a képzetes egység.)
 |
 |
![\[ \begin{array}{rcl} \mathbf{U}_{ki} & = & \mathbf{U}_{be} \frac{1/j\omega C}{R + 1/j\omega C} \\ \\ \mathbf{U}_{ki} & = & \mathbf{U}_{be} \frac{1}{1 + j\omega RC} \end{array} \]](/images/math/b/7/c/b7c626c15eb78b040394ba7114fd43ac.png) |
![\[ \begin{array}{rcl} \mathbf{U}_{ki} & = & \mathbf{U}_{be} \frac{R}{R + j\omega L} \\ \\ \mathbf{U}_{ki} & = & \mathbf{U}_{be} \frac{1}{1 + j\omega L/R} \end{array} \]](/images/math/8/d/5/8d535a5d400eee015ae924bfc0899e45.png) |
A kimeneti és bemeneti feszültségek hányadosa a hálózatra jellemző, frekvenciafüggő kifejezés.
![\[ \frac{\mathbf{U}_{ki}}{\mathbf{U}_{be}} = \frac{1}{1 + j\omega RC} \]](/images/math/b/4/a/b4ac9a1d7d323374047107f0f4c351ef.png) |
![\[ \frac{\mathbf{U}_{ki}}{\mathbf{U}_{be}} = \frac{1}{1 + j\omega L/R} \]](/images/math/b/d/8/bd868eaf7f755a0d4b16d6196eceb5e8.png) |
(8) |
A két (8) kifejezés formailag azonos, tehát a két kapcsolás azonos jellegű viselkedést mutat. Ameddig 
vagy 
, a kifejezések értéke 1, ha 
vagy 
, a hányados értéke 
szerint csökken. Ez azt jelenti, hogy adott 
, 
és 
esetén az alacsony frekvenciájú jelek csillapítás nélkül jelennek meg a kimeneten, míg magasabb frekvenciákon a kimenő feszültség egyre kisebb. Ezeket a kapcsolásokat aluláteresztő szűrőknek nevezik.
