„Fotoeffektus vizsgálata uj” változatai közötti eltérés
| 91. sor: | 91. sor: | ||
Ezzel a hőmérséklet ismeretében meghatározható az $e/k$ arány. | Ezzel a hőmérséklet ismeretében meghatározható az $e/k$ arány. | ||
| − | ==== | + | ====Planck-állandó és elektron töltés arányának meghatározása LED-ekkel==== |
Ahogy már említettük, a LED-ek gyakorlatilag p-n átmenetek, melyek kontaktpotenciálja az $1-3V$-os tartományba esik. Ha a LED-re „nyitóirányban” feszültséget kapcsolunk, az a kialakult kontaktpotenciált csökkenti és egy diódára jellemző értéknél (ún. nyitófeszültség) kiegyenlíti, ekkor az elektronok/lyukak áramlása jelentősen megnő, ezáltal a diódán áram folyik. Ennek következtében a p-n átmenet határára folyamatosan töltéshordozók érkeznek és ott rekombinálódnak, mely során a félvezető tiltott sávnak megfelelő enegriát adnak le fotonok formájában, így a LED fényt bocsát ki. Ezzel gyakorlatilag a fotoeffektus ellentétes folyamata játszódik le és mivel a LED nyitófeszültsége jó közelítéssel (idealizált esetben) arányos a tiltott sáv szélességével, különböző színű LED-ek nyitófeszültségének és a kibocsájtott fényük frekvenciájának vizsgálatával szintén meghatározható a $h/e$ arány. | Ahogy már említettük, a LED-ek gyakorlatilag p-n átmenetek, melyek kontaktpotenciálja az $1-3V$-os tartományba esik. Ha a LED-re „nyitóirányban” feszültséget kapcsolunk, az a kialakult kontaktpotenciált csökkenti és egy diódára jellemző értéknél (ún. nyitófeszültség) kiegyenlíti, ekkor az elektronok/lyukak áramlása jelentősen megnő, ezáltal a diódán áram folyik. Ennek következtében a p-n átmenet határára folyamatosan töltéshordozók érkeznek és ott rekombinálódnak, mely során a félvezető tiltott sávnak megfelelő enegriát adnak le fotonok formájában, így a LED fényt bocsát ki. Ezzel gyakorlatilag a fotoeffektus ellentétes folyamata játszódik le és mivel a LED nyitófeszültsége jó közelítéssel (idealizált esetben) arányos a tiltott sáv szélességével, különböző színű LED-ek nyitófeszültségének és a kibocsájtott fényük frekvenciájának vizsgálatával szintén meghatározható a $h/e$ arány. | ||
A lap 2022. október 6., 17:31-kori változata
A mérés célja:
- Igazolni, hogy a fotoelektronok kinetikus energiája, illetőleg a vele arányos lezáró feszültség független a fény intenzitásától,
- a
arány meghatározása méréssel.
Ennek érdekében:
- Megmérjük egy vákuumfotodióda lezárási feszültséget
- különböző intenzitású fénynél
- különböző hullámhosszú fénynél
Tartalomjegyzék |
Elméleti összefoglaló
A fotoeffektus
A külső fényelektromos hatás alapjelensége: ha egy fémlemezre fény esik, a lemezből elektronok lépnek ki. E jelenség vizsgálata néhány olyan eredményre vezetett, melyeket a fény folytonos hullámelméletével nem lehet megmagyarázni. Ezek a következők:
- Az elektronok csak akkor lépnek ki, ha a fény frekvenciája nagyobb egy, az illető fémre jellemző határfrekvenciánál. A klasszikus szemlélet szerint azonban a
feltételnek megfelelő sugárzási intenzitás minden frekvencián biztosítható.
- Megfelelő fényfrekvencia esetén az elektronok kilépése akármilyen gyenge fény hatására azonnal (10-9 s-on belül) bekövetkezik. (A kísérletek során használt fémeknél a kilépési munka 10-19 J nagyságrendű, az elektron által „lefedett” terület, ahonnan energiát gyűjthet ~ 10-19m2 , egy átlagos megvilágítást feltételezve, ami
, a 
alapján 105 s , ~ 28 óra lenne a folyamathoz szükséges idő.)
- A kilépő elektronok száma arányos a megvilágítás erősségével, de energia eloszlásuk független attól. A maximális mozgási energia a fény frekvenciájának lineáris függvénye, a klasszikus számítások szerint ez nem lineáris.
E kvalitatív tapasztalatok kvantitatív magyarázatát Albert Einstein adta meg azzal, hogy Planck kvantumhipotézisét a fényjelenségekre is kiterjesztette. Feltételezte, hogy a Planck-féle 
energiacsomag nem csak a sugárzó oszcillátor diszkrét energiaváltozásait adja meg, hanem a sugárzási térben is adagokban van jelen az energia. A fényenergia diszkrét energiaadagokban terjed. Ezek a fotonok.
Tehát egy foton energiája:
![\[E = h \cdot f \]](/images/math/5/c/0/5c07bee9bace405835bbce9a8dd08e00.png)
ahol 
a Planck-féle állandó, 
pedig a sugárzás– esetünkben a fény – frekvenciája. Az elektronok kilépése csak akkor indulhat meg, ha a beeső fotonok energiája legalább az elektronok kötési energiájával egyenlő. A kilépés feltétele tehát:
![\[ h \cdot f \geq W = h \cdot f_{0} \]](/images/math/1/a/4/1a46565ae3f9a2d869c6e6f813b4772b.png)
ahol 
az elektron kötési energiája, az úgynevezett kilépési munka, 
pedig a fémre jellemző küszöbfrekvencia. Általános esetben:
![\[ h \cdot f = W + \frac{1}{2} m v^2 \]](/images/math/3/4/b/34b779e4ab9bda9585f2c8e861050c97.png)
vagyis a foton energiatöbblete a kilépő elektron kinetikus energiájaként jelenik meg. Nagyobb fényintenzitás több fotont, tehát több kilépő elektront jelent. Ilyen módon magyarázatot nyert a külső fényelektromos jelenség valamennyi felsorolt sajátsága.
A fényelektromos jelenség egyik legelterjedtebb gyakorlati alkalmazása a fotocella, ami egy légritkított üvegcső, mely egyik oldalán a belső felületére felvitt fémréteg képezi a katódot, a vele szemben elhelyezett dróthurok pedig az anód (1.ábra). Mint a (3) egyenletből látható, a határfrekvencia esetétől eltekintve a kilépő elektronok kinetikus energiával is rendelkeznek, ami feszültségmentes tér esetén elegendő ahhoz, hogy az anódig repüljenek, ezért 0 anódfeszültség esetén is mérhető bizonyos – igen kicsi – áram.
Ahhoz, hogy a fotocella tetszőleges megvilágítás ellenére teljesen árammentes legyen, akkora ellenteret kell az anód és a katód között létesíteni, mely a legnagyobb energiájú elektronokat is meggátolja az anód elérésében. Az árammentesség feltétele tehát:
![\[ e U_{0} = \frac{1}{2} m v^2_{max} \]](/images/math/b/1/6/b167bd4a9a4b50f7679105d3418c2382.png)
ahol 
az elektron töltése, 
pedig a lezáró feszültség. A fotocella anódja és a katódja tekinthető egy kapacitásnak, mely a fotoáram hatására elektromosan feltöltődik (ha a kimenetei "lebegnek", azaz nem zárjuk rövidre egy véges ellenállással) mindaddig, amíg potenciálja el nem éri az lezáró feszültséget. Erre az feszültségre a (3) és (4) egyenletekb a következő kifejezést kapjuk:
![\[ U_{0} = \frac{h}{e} f - \frac{W}{e} \]](/images/math/f/c/7/fc712ba7b78513272126457b561a81b9.png)
A fotocellát különböző, jól meghatározott frekvenciájú fénnyel megvilágítva a - 
grafikonon egy egyenest kapunk, melynek meredeksége a Planck-állandó () és az elektron töltésének () hányadosa.
Fénykibocsátó dióda (LED)
A fotoeffektus tulajdonságaiból adódik, hogy a fenti méréshez olyan fényt kell juttatni a fotocellára, mely monokromatikus. Ez a fénykibocsátó diódákra, azaz a LED-ekre jó közelítéssel teljesül. A LED-ek, ahogy a nevük is mutatja olyan félvezető p-n átmenetek (dióák), melyek fotonokat képesek kibocsájtani, tehát egy, a fotoeffektussal ellentétes folyamat megy bennük végre, amiben a p-n átmeneten áthaladó, majd rekombinálódó elektronok energiát adnak le egy foton kibocsátása formájában.
Félvezető p-n átmenet tulajdonságai - e/k állandó meghatározása
Félvezetőkben az elektromos áramot elektronok és lyukak (elektronhiányok) mozgása eredményezi. Bizonyos adalék anyagok (foszfor, arzén) hatására a félvezetőkben az elektronok annyira túlsúlyba kerülnek a lyukakhoz képest, hogy gyakorlatilag csak elektronvezetés alakul ki: az ilyen félvezetőt n típusúnak nevezik. Más adalékok (bór, gallium, alumínium) viszont a félvezetőben lyukvezetést hoznak létre: az ilyen félvezetők a p típusú félvezetők.
Ha egy p típusú és egy n típusú félvezetőt érintkezésbe hozunk (ez az ún. p–n átmenet), akkor az érintkezési helyen kontaktpotenciál jön létre, mert energetikai okok miatt az n típusú részből elektronok mennek át a p típusú részbe (így az negatív többlettöltésre tesz szert), a p típusú részből viszont lyukak mennek át az n típusú részbe (így abban pozitív többlettöltés jön létre). A kontaktus létrejöttének pillanatában tehát egy, a p rétegből az n rétegbe irányuló kezdeti áram folyik. Az áram hatására a potenciálkülönbség nő, ami egyre jobban akadályozza a további töltésátmenetet, ezért egy bizonyos feszültség elérése után a p→n irányú áram megszűnik, és kialakul egy állandósult kontaktpotenciál. Ezzel egyidejűleg a kontaktus két oldalán létrejön egy olyan tartomány, amelyben nincsenek mozgásképes töltéshordozók. A töltéshordozók áthaladását (a p→n irányú áramot) ezen a kiürített tartományon át a létrejött 
magasságú potenciálgát akadályozza, ezért külső feszültség nélkül a töltéshordozók csak a termikus mozgás segítségével, véletlenszerűen jutnak át.
Eléggé általánosan igaz, hogy a termikusan aktivált folyamat gyakorisága az 
faktorral arányos, ahol 
a továbbhaladáshoz szükséges energia, 
a Boltzmann-állandó, 
pedig az abszolút hőmérséklet. Ennek megfelelően annak gyakorisága, hogy egy lyuk p→n irányban vagy egy elektron n→p irányban az magasságú potenciálgáton átugrik, az 
faktorral arányos ( az elektron töltésének nagysága). Ez egyben azt is jelenti, hogy a termikus aktiváció segítségével a potenciálgáton át egy p→n irányú, ún. injektált áram folyik:
![\[ I_I = C e^{-\frac{e U_D}{kT} } \]](/images/math/d/5/e/d5ef6635b7ee6ed2836b080edd6ef241.png)
A kiürített tartományon át ugyanakkor létrjön egy ellenkező irányú áram is, ami annak következménye, hogy a termikus mozgás (termikus aktiváció) révén, ha kis számban is, de mindig keletkeznek töltéshordozók, így – többek között – a kiürített réteg n oldalán lyukak, p oldalán pedig elektronok jelennek meg. Mivel a kontaktpotenciál ezeknek a mozgását a kontaktuson át éppen elősegíti, ily módon egy n→p irányú, ún. telítési (szaturációs) áram, 
jön létre. Ez az áram nem függ a kontaktuson kialakult feszültségtől, csak a termikusan keltett töltéshordozók mennyiségétől. Külső feszültség nélküli (egyensúlyi) állapotban a két áram egymást kiegyenlíti, vagyis ekkor 
.
Ha a p–n átmenetre 
külső feszültséget kapcsolunk, akkor ez módosítja a potenciálgát magasságát, ezért megváltoztatja az injektált áramot, amely most
![\[ I_I = C e^{-\frac{e\left( U_D - U \right)}{kT} } \]](/images/math/8/d/5/8d52f071d230da35dd0220e54f80dabc.png)
Itt 
állandó, az feszültség pedig negatív, ha a feszültség a kontaktpotenciállal egyirányú, és pozitív, ha azzal ellentétes. Mivel 
esetén 
,
![\[ C=I_se^{\frac{eU_D}{kT} }, \]](/images/math/1/3/4/1348ca7c3a4c1bbff6ab1dbb2f69fa94.png)
amivel az injektált áramra azt kapjuk, hogy
![\[ I_I=I_se^{\frac{eU}{kT} }. \]](/images/math/8/2/5/825146574af2ec40b07a5921788d49ac.png)
A kontaktuson átfolyó 
eredő áram a feszültségfüggő 
injektált áram és a feszültségtől független 
telítési áram különbsége:
![\[ I=I_s\left(e^{\frac{eU}{kt} }-1 \right). \]](/images/math/2/0/3/20373aab9f22485f5557b92b75afa4df.png)
Ez az összefüggés azt az ismert tapasztalatot tükrözi, hogy egy ilyen kontaktus különböző irányban előfeszítve különböző nagyságú áramot bocsát át, más szóval egyenirányít. Az ilyen egyenirányító p–n átmenetet félvezető diódának nevezik.
Ha megvizsgáljuk az (5) egyenlettel leírható áram-feszültség összefüggést (ún. áram–feszültség karakterisztikát), látható, hogy az exponensben megjelenik az elektron töltésének () és a Boltzmann-állandónak () a hányadosa.
Így a (5) alakú karakterisztikából az 
hányados elvileg meghatározható, de az összefüggés egyszerűsítésével a feladat is egyszerűsíthető. Mivel méréseinket szobahőmérséklethez közeli hőmérsékleteken végezzük, érvényes, hogy 
, így az egyenletben az exponenciális tag mellett az „1” elhanyagolható, mivel a félvezetők jellemző tiltott sávszélessége 
nagyságrendű. Ezért jó közelítéssel érvényes, hogy
![\[ I=I_se^{\frac{eU}{kt} }. \]](/images/math/a/7/3/a738095ed4541519d1a47bcf258ead0d.png)
Ha az egyenlet mindkét oldalának a természetes alapú logaritmusát vesszük, akkor az 
összefüggés linearizálható, hiszen
![\[ln I =ln I_s+\frac{e}{kT}U. \]](/images/math/8/8/8/88814faa90c3b80efa94343955c051fb.png)
Ez azt jelenti, hogy ha a hőmérsékletet állandó értéken tartva megmérjük az áram-feszültség karakterisztikát, majd az áramértékek természetes logaritmusát ábrázoljuk a feszültség függvényében, akkor a pontok egy egyenest adnak. Jelölje a mérési pontokhoz illesztett egyenes meredekségét 
.
![\[ M_U=\frac{e}{kT} \]](/images/math/d/b/e/dbe303f83138bf5e451e17680d13b539.png)
összefüggés, amiből az hányadosra azt kapjuk, hogy
![\[ \frac{e}{k} =M_UT \]](/images/math/7/1/8/718657f25de1d93f7cf2bced52b351ac.png)
Ezzel a hőmérséklet ismeretében meghatározható az arány.
Planck-állandó és elektron töltés arányának meghatározása LED-ekkel
Ahogy már említettük, a LED-ek gyakorlatilag p-n átmenetek, melyek kontaktpotenciálja az 
-os tartományba esik. Ha a LED-re „nyitóirányban” feszültséget kapcsolunk, az a kialakult kontaktpotenciált csökkenti és egy diódára jellemző értéknél (ún. nyitófeszültség) kiegyenlíti, ekkor az elektronok/lyukak áramlása jelentősen megnő, ezáltal a diódán áram folyik. Ennek következtében a p-n átmenet határára folyamatosan töltéshordozók érkeznek és ott rekombinálódnak, mely során a félvezető tiltott sávnak megfelelő enegriát adnak le fotonok formájában, így a LED fényt bocsát ki. Ezzel gyakorlatilag a fotoeffektus ellentétes folyamata játszódik le és mivel a LED nyitófeszültsége jó közelítéssel (idealizált esetben) arányos a tiltott sáv szélességével, különböző színű LED-ek nyitófeszültségének és a kibocsájtott fényük frekvenciájának vizsgálatával szintén meghatározható a 
arány.
Diffrakció
A tapasztalat szerint egy akadály mellett elhaladó fénysugár az akadályoknál részben elhajlik, behatol az árnyéktérbe is. Ez a diffrakció (fényelhajlás) jelensége. A jelenséget a "Huygens-Fresnel-elv" segítségével lehet meg-magyarázni: a Huygens-Fresnel-elv alapján a hullámfelület minden pontja elemi hullámforrásnak tekintendő, és ezeknek az egymással koherens elemi gömbhullámoknak az interferenciája szabja meg a tér egy pontjában a fényhatást.
Példaképp vizsgáljuk meg az optikai rés esetét. A rés egy átlátszatlan felületen kialakított keskeny, a fény hullámhosszával összemérhető szélességű, hosszú nyílás. Világítsuk meg a rést egy koherens, párhuzamos fénynyalábbal (legegyszerűbben egy lézer fényével). A fény a résen áthaladva elhajlik. A réstől távol elhelyezett ernyőn a résből kiinduló elemi hullámok interferenciája alakítja ki a diffrakciós képet. A diffrakciós képet – az intenzitást a hely függvényében - egy fotodióda mozgatásával könnyen meg lehet mérni (2. ábra).
A k hullámszámvektor irányában a relatív intenzitást a Fourier-integrál segítségével lehet kiszámítani. Az intenzitás arányos az integrál abszolút értékének négyzetével:
![\[ I(\pmb{k}) = \left \lvert \int_{-\infty}^{\infty} e^{\pmb{kx}i}f(\pmb{x})d\pmb{x} \right \rvert^2. \]](/images/math/9/6/6/9663788744b887e93547c4b60e644842.png)
A kifejezésben
![\[|\pmb{k}| = k = \frac{2\pi}{\lambda},\]](/images/math/e/e/d/eede5e35ac948ed5edd2f2c0e0f933f8.png)
![\[\pmb{kx} = kx \sin \theta \approx kx\theta \; (\theta\ll1), \]](/images/math/1/6/3/16352f870f8061cacbb3124b500b23b9.png)
![\[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{d} \; \mathrm{ha} \; x \in \left[-\frac{d}{2};\frac{d}{2}\right] \\ 0\; \mathrm{ha} \; x \notin \left[-\frac{d}{2};\frac{d}{2}\right]. \end{cases} \]](/images/math/8/0/f/80fc88f0461a627382a9bb9ce5f935cc.png)
Felhasználva, hogy
![\[ y = D \mathrm{tg} \theta \approx D\theta \; (\theta<<1), \]](/images/math/f/2/2/f22288c877cdce402826e2269aca0b3b.png)
és elvégezve az integrálást
![\[ I(y) = \left( \frac{\lambda D}{\pi yd} \right)^2\sin^2\left( \frac{\pi yd}{\lambda D} \right).\]](/images/math/0/a/6/0a6a92de54041fb3e92b33500738749a.png)
A diffrakciós kép az 3. ábrán látható. A vízszintes tengely 
egységekben van skálázva. Az intenzitás az 
helyen válik először zérussá. Az két zérushely közti távolság (
) és a 
távolság mérésével a 
hullámhossz ismeretében a 
résszélesség, ismeretében pedig a hullámhossz meghatározható.
Meglepő módon a rés „inverzének”, egy vékony akadálynak (pl. hajszál) a diffrakciós képe ugyanilyen, így ezzel a módszerrel vékony drótok, hajszálak, stb. átmérője is mérhető.
Bonyolultabb optikai struktúrák (például két vagy több párhuzamos rés) esetén a diffrakciós kép hasonlóan kiszámítható, csak 
kifejezését kell ennek megfelelően módosítani.
A diffrakciós kép alapján következtetni lehet az optikai struktúrára. Ha az intenzitás kifejezésében ismernénk az abszolútértékjelen belüli kifejezést, akkor inverz Fourier-transzformációval meg lehetne határozni a diffrakciós képet létrehozó struktúrát. A mérés alapján azonban csak az intenzitást (az abszolút érték négyzetét) ismerjük, így nem teljesen egyértelmű a számítás.
A másik lehetőség az, hogy a diffrakciós kép alapján megsejtjük (vagy más információk alapján tudjuk), hogy körülbelül milyen optikai struktúra hozta létre a diffrakciós képet (például néhány egyforma, párhuzamos rés); majd paraméteresen kiszámítjuk a feltételezett struktúra diffrakciós képét, végül a paramétereket addig változtatjuk, amíg a számított és a mért diffrakciós kép a legjobban egyezik egymással.
Mérési feladatok
Aktualizálás alatt!
