|
|
| 1. sor: |
1. sor: |
| − | <noinclude>
| |
| − | [[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 2.]]
| |
| − | [[Kategória:Szerkesztő:Beleznai]]
| |
| − | [[Kategória:Elektrosztatika]]
| |
| − | {{Kísérleti fizika gyakorlat
| |
| − | | tárgynév = Kísérleti fizika gyakorlat 2.
| |
| − | | témakör = Elektrosztatika - Erőhatások elektromos erőtérben, elektromos térerősség
| |
| − | }}
| |
| − | == Feladat ==
| |
| − | </noinclude><wlatex># Egy $R$ sugarú korong egyenletesen töltött $\omega$ felületi töltéssűrűséggel. Határozzuk meg a térerősséget a körvezető tengelyén, a korong síkjától $z$ távolságban!
| |
| − | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Az $R$ sugarú korongunkat osszuk igen vékony, $0<r<R$ sugarú töltött gyűrűk sokaságára}}{{Végeredmény|content=$$E=\dfrac{\omega}{2\varepsilon_{0}} \left(1-\dfrac{z}{(R^2+z^2)^{1/2}} \right)$$}}
| |
| − | </wlatex></includeonly><noinclude>
| |
| − | == Megoldás ==
| |
| − | <wlatex>
| |
| − | Induljunk ki az [[Elektrosztatika példák - Körvezető tengelye mentén az elektromos tér|előző feladat megoldásából]], amely szerint egy $r$ sugarú, $Q$ töltéssel egyenletesen töltött gyűrű tengelyén a térerősség az alábbiak szerint írható le:
| |
| | | | |
| − | $$ E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{z}{(r^2+z^2)^{3/2}} $$
| |
| − |
| |
| − | Ahol $z$ a gyűrű síkjától mért távolság.
| |
| − | Az $R$ sugarú korongunkat felosztjuk igen vékony, $0<r<R$ sugarú töltött gyűrűk sokaságára az 1. ábra szerint. Ebben az esetben egy gyűrű $dA$ területe:
| |
| − |
| |
| − | $$ dA=2r\pi dr$$
| |
| − |
| |
| − | Ahol $dr$ a gyűrű szélessége. Ez alapján a gyűrű $dQ$ töltése:
| |
| − |
| |
| − | $$dQ=\omega dA=2r\pi\omega dr$$
| |
| − |
| |
| − | A gyűrű $dE$ térerősség járuléka a kérdéses pontban:
| |
| − |
| |
| − | $$ dE=\dfrac{dQ}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{z}{(r^2+z^2)^{3/2}}=\dfrac{\omega}{2\varepsilon_{0}}\dfrac{rz}{(r^2+z^2)^{3/2}}dr $$
| |
| − |
| |
| − | Az elemi gyűrűk $dE$ térerősség járulékait összegezzük:
| |
| − |
| |
| − | $$E= \int_0^R dE=\dfrac{z\omega}{2\varepsilon_{0}}\int_0^R\dfrac{r}{(r^2+z^2)^{3/2}}dr=\int_0^R dE=\dfrac{z\omega}{2\varepsilon_{0}} \left[-\dfrac{1}{(r^2+z^2)^{1/2}} \right]_0^R $$
| |
| − |
| |
| − | Tehát a korong elektromos tere:
| |
| − |
| |
| − | $$E=\dfrac{\omega}{2\varepsilon_{0}} \left(1-\dfrac{z}{(R^2+z^2)^{1/2}} \right)$$
| |
| − |
| |
| − | Érdekesség: Ha a korong méretét minden határon túl növeljük, $(R\rightarrow \infty)$ a fenti összefüggés határértéke visszaadja a végtelen síklap jól ismert [[Elektrosztatika példák - Végtelen sík elektromos tere|térerősség formuláját:]]
| |
| − |
| |
| − | $$E=\lim_{R \to \infty}\dfrac{\omega}{2\varepsilon_{0}} \left(1-\dfrac{z}{(R^2+z^2)^{1/2}} \right) = \dfrac{\omega}{2\varepsilon_{0}}$$
| |
| − | </wlatex>
| |
| − | </noinclude>
| |
