„Transzport nanovezetékekben: Landauer-formula, vezetőképesség-kvantálás” változatai közötti eltérés
(→Landauer formula) |
(→Landauer formula) |
||
| 81. sor: | 81. sor: | ||
Zérus hőmérsékleten csak a $\mu_2$ kémiai potenciál alatti állapotok származhatnak mindkét elektródából, azonban az $\epsilon<\mu_2$ állapotok teljes árama értelemszerűen zérust ad, hiszen ez annak felel meg, mintha zérus feszültséget kapcsoltunk volna a rendszerre. Így a véges áramért továbbra is $\mu_2 <\epsilon< \mu_1$ állapotok felelnek, melyek csak az 1-es elektródából származhatnak. Így a teljes áram könnyen számolható például a szórócentrum és a 2-es elektróda közötti vezetékdarabban. Itt a $\mu_2 <\epsilon< \mu_1$ | Zérus hőmérsékleten csak a $\mu_2$ kémiai potenciál alatti állapotok származhatnak mindkét elektródából, azonban az $\epsilon<\mu_2$ állapotok teljes árama értelemszerűen zérust ad, hiszen ez annak felel meg, mintha zérus feszültséget kapcsoltunk volna a rendszerre. Így a véges áramért továbbra is $\mu_2 <\epsilon< \mu_1$ állapotok felelnek, melyek csak az 1-es elektródából származhatnak. Így a teljes áram könnyen számolható például a szórócentrum és a 2-es elektróda közötti vezetékdarabban. Itt a $\mu_2 <\epsilon< \mu_1$ | ||
energiasávban levő elektronok $\tau =1$ esetén a korábbiak alapján $I=(2e^2/h)\cdot V$ áramot adnának, ami $\tau <1$ esetén értelemszerűen a transzmittálódó elektronok hányadával skálázódik, azaz $I=(2e^2/h)\cdot \tau \cdot V$. Így egy egycsatornás, $\tau$ transzmisszós valószínűségű szórócentrumot tartalmazó nanovezeték vezetőképessége: | energiasávban levő elektronok $\tau =1$ esetén a korábbiak alapján $I=(2e^2/h)\cdot V$ áramot adnának, ami $\tau <1$ esetén értelemszerűen a transzmittálódó elektronok hányadával skálázódik, azaz $I=(2e^2/h)\cdot \tau \cdot V$. Így egy egycsatornás, $\tau$ transzmisszós valószínűségű szórócentrumot tartalmazó nanovezeték vezetőképessége: | ||
| − | $$G=\frac{2e^2}{h}\ | + | $$G=\frac{2e^2}{h}\tau .$$ |
Vizsgáljuk meg, hogy ez az eredmény érvényes-e véges hőmérsékleten is. A $\mathrm{d}I_1^+$ és $\mathrm{d}I_2^-$ áramkomponensek kizárólag az 1-es illetve a 2-es elektródából származnak, így a korábbiak alapján egy $\mathrm{d}\epsilon$ energiatartományban az áramjárulékuk: | Vizsgáljuk meg, hogy ez az eredmény érvényes-e véges hőmérsékleten is. A $\mathrm{d}I_1^+$ és $\mathrm{d}I_2^-$ áramkomponensek kizárólag az 1-es illetve a 2-es elektródából származnak, így a korábbiak alapján egy $\mathrm{d}\epsilon$ energiatartományban az áramjárulékuk: | ||
A lap 2013. május 15., 06:17-kori változata
Tartalomjegyzék[elrejtés] |
Karakterisztikus méretskálák
Egy nanométeres skálájú objektum vezetési tulajdonságai több szempontból eltérnek a makroszkopikus skálán megszokott jelenségektől.
Makroszkopikus vezetékek ellenállása jól leírható az Ohm-törvénnyel: az áramsűrűség a fajlagos vezetőképesség és az elektromos tér szorzata, a vezetőképesség pedig arányos a vezeték keresztmetszettel és fordítottan arányos a hosszával:
![\[\vec{j}=\sigma \cdot \vec{E}, \ \ \ G=R^{-1}=\frac{A\cdot \sigma}{L}\]](/images/math/7/b/c/7bc09554c31016e9d495c03164518ac1.png)
Az Ohm törvény egyszerűen magyarázható az elektromos vezetés Drude modelljével. Az elektronok a kristályrácsban két ütközés közötti
karakterisztikus idő alatt 
impulzust nyernek, majd a véletlen irányba történő szóródás hatására ezt elveszítik. Ennek megfelelően 
elektronsűrűség esetén az az áramsűrűség illetve fajlagos vezetőképesség:
![\[\vec{j}=n\cdot e\cdot v_\mathrm{drift}\ \ \ \rightarrow \ \ \ \sigma=\frac{ne^2\tau_m}{m}.\]](/images/math/f/a/b/fab95ca33435af25c18d27f16f26f4af.png)
Az elektronok két ütközés között eltelt momentumrelaxációs idő alatt 
utat tesznek meg, ahol 
a Fermi sebesség. A Drude modell értelmét veszti ha a vizsgált vezeték karakterisztikus mérete (
) kisebb mint az ütközések skáláját jellemző 
momentumrelaxációs szabadúthossz. Ezen feltétel alapján megkülönböztethetünk diffúzív vezetékeket (
), melyekben a elektronok sokszor szóródnak mialatt eljutnak az egyik elektródából a másikba, illetve ballisztikus nanovezetékeket (
), melyekben az elektronok csak a vezeték falán szóródnak, de a vezetéken belül nem.
 |
 |
| 1a. ábra - Diffúzív vezeték | 1b. ábra - Ballisztikus vezeték |
A két határeset között lényeges különbséf jól szemléltethető az ellenállás hosszfüggésével: míg egy diffúzív vezeték ellenállása nő a vezeték hosszának növelésével, addig a ?? ábrán szemléltetett ballisztikus vezetékbe bejutó elektronok visszaszórás nélkül átjutnak a túloldalra, azaz az ellenállás nem függ a vezeték hosszától.
Az elektronok hullámtermészetét figyelembe véve azt is érdemes megvizsgálni, hogy a vizsgált rendszer méretének skáláján megőrződik-e az elektronhullámok fázisinformációja. Ha a minta mérete kisebb mint az 
fázisrelaxációs hossz, akkor a vezetési tulajdonságok makroszkopikus skálán nem tapasztalható érdekes interferencia-jelenségeket mutatnak, melyeket a ?? fejezetben szemléltetünk.
További érdekes jelenségeket tapasztalhatunk, ha a vezeték keresztmetszete a az elektronok Fermi-hullámhosszával összemérhetővé válik, 
. Ezt a határesetet tárgyaljuk az alábbiakban.
Kvantumvezeték ellenállása
Az elektronok hullámhosszával összemérhető vezetékek tulajdonságait vizsgáljuk meg egy egyszerű modellel: két elektrontartályt kössünk össze egy kétdimenziós, párhuzamos falú ideális kvantumvezetékkel, melyben az elektronok szóródás nélkül haladnak (2. ábra).
Hard wall határfeltételt alkalmazva (azaz a bezáró potenciál a vezetéken belül ill. kívül zérus ill. végtelen) egyszerűen felírható az elektronok hullámfüggvénye:
![\[\Psi_{n,k}(x,y)=e^{ikx}\cdot \sin\left(\frac{n \pi y}{W} \right),\]](/images/math/c/b/b/cbb631029abef03f779de5d448cf7b17.png)
azaz hosszirányban (
) síkhullám terjedést, keresztirányban pedig kvantált állóhullámokat kapunk. Ennek megfelelően az elektronok energiája:
![\[\epsilon_n(k)=\frac{\hbar^2k^2}{2 m} + \frac{\pi^2 \hbar^2}{2 m W^2}\cdot n^2\]](/images/math/2/e/e/2eea1145eb1f05e5914cd5c4584a1028.png)
ahol 
az -irányú síkhullám terjedéshez tartozó hullámszám, pedig a kvantált keresztmódust (
-irányú állóhullámot) jellemzi. Az energiakifejezés a 3a ábrán szemléltetett, egymáshoz képest a keresztirányú energiák szerint eltolt egydimenziós diszperziós relációknak felel meg. Értelemszerűen csak azon módusokon (ún. vezetési csatornákon) keresztül folyhat áram, melyekhez tartozó tartozó keresztirányú energia kisebb az elektródák Fermi energiájánál, azaz a diszperziós reláció metszi a Fermi szintet. Ezen feltételnek megfelelő módusokat nyitott vezetési csatornának nevezzük, a nyitott csatornák számát 
-el jelöljük.
 |
 |
| 3a. ábra - Diszperzós reláció | 3b. ábra - Diszperzós reláció a mintára feszültséget kapcsolva |
Ha a két elektrontartály közé 
feszültséget kapcsolunk akkor a nanovezeték elektronállapotai a 3b ábrán szemléltetett módon töltődnek be: a pozitív -val rendelkező állapotok mind a bal oldali elektródából származnak, így ezek 
-vel magasabb energiáig vannak betöltve mint a jobb oldali elektródából származó, negatív -val rendelkező állapotok. Áramot csak a 
ás 
kémiai potenciál közötti tartományban levő pozitív -jú állapotok szállítanak, hiszen kémiai potenciál alatt a pozitív és negatív irányba haladó állapotok egyaránt betöltöttek, így eredő áramuk zérus lesz.
Egy adott vezetési csatornára az elektronok sebességét, illetve az energiasávban található elektronok sűrűségét
a következőképpen írhatjuk:
![\[v_n=\frac{1}{\hbar}\frac{\partial \epsilon_n(k)}{\partial k},\ \ \ \ n_n=\frac{eV}{2\pi}\left(\frac{\partial \epsilon_n(k)}{\partial k}\right)^{-1}.\]](/images/math/f/0/e/f0ee30d968d8fa736cddad6bfbccd5a8.png)
A vezetékben folyó áram számolásához az elektrontöltés, a sebesség és az elektronsűrűség szorzatát kell képezni, illetve ezt összegezni a különböző vezetési csatornákra:
![\[I=2\sum_{n=1}^{M}e v_n n_n =\frac{2e^2}{h}MV,\]](/images/math/6/1/c/61ce1c2052a80ff9f33efa0b2b800ba5.png)
ahol a kettes szorzó a spin szerinti degenerációnak felel meg. Mivel a sebesség és az elektronsűrűség szorzatában az energiadiszperzió deriváltja kiesik, a kvantumvezeték vezetőképessége egyszerűen a vezetőképesség-kvantum egész számú többszörösének adódik. Érdemes megjegyezni, hogy a hosszirányú irányú transzlációinvariancia miatt az irányú impulzus megmarad,
így az egyes csatornák között nem történhet átszóródás, mert az a hullámszám megváltozásával járna, azaz a vezetési csatornák áramjárulékát valóban tekinthetjük egymástól függetlennek.
A fenti számolásban abból indultunk ki, hogy csak az elektródák kémiai potenciálja alatt találunk betöltött állapotokat, azaz zérus hőmérsékletet tételezünk fel. Véges hőmérsékleten a kémiai potenciál 
szélességű környezetében egyaránt találhatók betöltött és betöltetlen állapotok, az állapotok betöltöttségének valószínűségét a Fermi-függvény írja le:
![\[f(\epsilon)=\frac{1}{e^{\frac{\epsilon -\mu}{kT}}+1}.\]](/images/math/0/d/5/0d5b0dcd22dcd721d4fddc49874b9617.png)
Az kvantumvezeték belsejében a 
, bal oldali elektródából származó elektronállapotok betöltöttségét az 1-es elektróda 
betöltési szám függvénye írja le, míg a 
állapotok a 2-es elektróda 
betöltési szám függvényével jellemezhető, ahol 
és 
egymáshoz képest energiával eltolt Fermi függvények. Ez a leírás egyben az elektrontartályok tökéletességét is feltételezi, azaz a kvantumvezetékből az egyik elektródába érkező elektronok csak termalizálódás után szóródhatnak vissza a kvantumvezetékbe, így az elektródát elhagyó elektronok valóban az elektróda Fermi-függvénye szerinti energiaeloszlást követik.
A fentiek alapján véges hőmérsékleten a vezetékben pozitív illetve negatív irányba folyó áramot a
![\[I^+=\frac{2 e}{L} \sum \limits_{k>0} v_k f_1(\epsilon_k) = 2e \int \frac{\mathrm{d}k}{2 \pi}\frac{\partial \epsilon_k}{\hbar \partial k} f_1(\epsilon_k) = \frac{2 e}{h}\int \mathrm{d} \epsilon f_1(\epsilon)\]](/images/math/a/4/9/a497c44ad3125b4c10a00aaeab36791d.png)
![\[I^-=\frac{2 e}{L} \sum \limits_{k<0} v_k f_2(\epsilon_k) = \frac{2 e}{h}\int \mathrm{d} \epsilon f_2(\epsilon)\]](/images/math/b/8/7/b87d522cfc4351134078079e018a0ea1.png)
képletek írják le, azaz az eredő áram:
![\[I=I^+-I^-=\frac{2 e}{h} \int \mathrm{d} \epsilon (f_1(\epsilon)-f_2(\epsilon))=\frac{2 e}{h}e V.\]](/images/math/2/2/2/222fc2bad7e610e864ce36bd3692f904.png)
Mivel 
integrál tetszóleg hőmérsékleten -vel egyenlő, így egy egycsatornás ideális kvantumvezeték ellenállása tetszőleges hőmérsékleten a 
vezetőképesség-kvantum.
Landauer formula
Most tekintsük azt az egyszerű modellt, amikor egy egycsatornás, ideális kvantumvezeték közepén egy szórócentrum található, melyen 
valószínűséggel jutnak át az elektronok. Ebben az esetben az elektródák felől a szórócentrum felé haladó állapotok továbbra is a megfelelő elektródából származnak, és ennek az eloszlásfüggvényét követik (lás a ?? ábrán a 
és 
áramkomponenseket). A szórócentrumtól az elektródák felé haladó állapotok viszont kevertek, pl. a 
áramjáruléknál egyaránt figyelembe kell venni az 1-es elektródából induló és a szórócentrumon reflektálódó, illetve a 2-es elektródából induló és a szórócentrumon transzmittálódó elektronokat.
Zérus hőmérsékleten csak a kémiai potenciál alatti állapotok származhatnak mindkét elektródából, azonban az 
állapotok teljes árama értelemszerűen zérust ad, hiszen ez annak felel meg, mintha zérus feszültséget kapcsoltunk volna a rendszerre. Így a véges áramért továbbra is 
állapotok felelnek, melyek csak az 1-es elektródából származhatnak. Így a teljes áram könnyen számolható például a szórócentrum és a 2-es elektróda közötti vezetékdarabban. Itt a
energiasávban levő elektronok 
esetén a korábbiak alapján 
áramot adnának, ami 
esetén értelemszerűen a transzmittálódó elektronok hányadával skálázódik, azaz 
. Így egy egycsatornás, transzmisszós valószínűségű szórócentrumot tartalmazó nanovezeték vezetőképessége:
![\[G=\frac{2e^2}{h}\tau .\]](/images/math/a/6/4/a64eb52921e1e0df099b099a51574fc1.png)
Vizsgáljuk meg, hogy ez az eredmény érvényes-e véges hőmérsékleten is. A és áramkomponensek kizárólag az 1-es illetve a 2-es elektródából származnak, így a korábbiak alapján egy 
energiatartományban az áramjárulékuk:
![\[\mathrm{d}I_1^+(\epsilon)=\frac{2 e}{h}\cdot f_1(\epsilon)\mathrm{d}\epsilon,\;\; \mathrm{d}I_2^-(\epsilon)=\frac{2 e}{h}\cdot f_2(\epsilon)\mathrm{d}\epsilon.\]](/images/math/2/f/6/2f6fb00ef30f83e32c2237831d31b794.png)
Ha az áramot a szórócentrum és az 1-es elektróda közötti vezetékdarabon akarjuk kiértékelni, akkor szükségünk van a áramjárulékra is, mely valószínűséggel a 2-es elektródából bejövő módus transzmissziójából, 
valószínűséggel pedig pedig a az 1-es elektródából bejövő módus reflexiójából származik:
![\[\mathrm{d}I_1^-(\epsilon)=\mathrm{d}I_1^+(\epsilon)\cdot (1-\tau) + \mathrm{d}I_2^-(\epsilon)\cdot \tau,\]](/images/math/4/8/5/48507cb9055e069f8369162bb6c45237.png)
így a negatív és pozitív irányba haladó áramkomponensek együttes járuléka:
![\[\mathrm{d}I_1=\mathrm{d}I_1^+ - \mathrm{d}I_1^- = \frac{2 e}{h} \cdot \tau \cdot [f_1(\epsilon)-f_2(\epsilon)]\mathrm{d}\epsilon.\]](/images/math/2/5/b/25b0182948be4af903ab05402c91d330.png)
A teljes áramot integrálással kapjuk meg:
![\[I=\frac{2 e}{h} \cdot \int \tau\cdot [f_1(\epsilon)-f_2(\epsilon)]\mathrm{d}\epsilon.\]](/images/math/8/e/b/8eb84b46ace0889490bbf5b55612c3d1.png)
A két Fermi-függvény különbsége a és kémiai potenciálok közötti energiatartományban, illetve a két kémiai potenciál körüli energiatartományban különbözik zérustól. Feltételezve hogy ebben a tartományban a transzmisszós valószínűség energiafüggetlen, és kihasználva a 
azonosságot a vezetőképességre véges hőmérsékleten is a
![\[G=\frac{2 e^2}{h}\cdot \tau\]](/images/math/2/b/7/2b71ca4ac4277db54e4a7c261efe31dc.png)
eredményt kapjuk. Ha nem tekinthető energiafüggetlennek, akkor -t a releváns energiatartományra vett átlagos transzmissziós valószínűségnek kell tekinteni.
Egy atomi méretű kontaktust modellezhetünk úgy, mint két ideális kvantumvezetéket, melyeket egy szórási tartomány köt össze. A bal oldali -edik vezetési csatornából a jobb oldali 
-edik csatornába való átjutáshoz hozzárendelhetünk egy 
transzmissziós valószínűséget. A rendszer vezetőképességét ezen valószínűségekből a Landauer formula segítségével számolhatjuk:
\begin{equation}
G=\frac{2e^2}{h}\sum_{n,m=1}^{M}T_{nm}.
\end{equation}
Megfelelő bázisba való áttéréssel elérhetjük, hogy a bal oldali -edik módus csak a jobb oldali -edik módusba tudjon szóródni. Ebben a \emph{sajátbázisban} a rendszer darab egymástól független egycsatornás vezetéknek tekinthető. Minden csatornához hozzárendelhetünk egy 
\emph{transzmissziós sajátértéket}, melyekkel a vezetőképesség
\begin{equation}
G=\frac{2e^2}{h}\sum_{n=1}^{M}\tau_{n}
\end{equation}
alakban írható.
Ezen transzmissziós sajátértékek halmaza jól jellemzi a kontaktus vezetési tulajdonságait, így a értékek halmazát gyakran ``mezoszkópikus PIN-kódnak is nevezik \cite{agrait03}.
Két ideális kvantumvezeték kvantált keresztmódusokkal, köztük egy 
transzmissziós mátrix-szal leírható keskeny csatorna:
![\[|out \rangle_R = \hat{t} |in \rangle_L\]](/images/math/b/4/f/b4f6cb71c7ccbe78c04f1f1a03e2a1d5.png)
A vezetőképességet a Landauer formula adja meg:
![\[G = \frac{2 e^2}{h} \mathrm{Tr}(\hat{t}^\dagger \hat{t}) = \frac{2 e^2}{h} \sum \limits_{i=1..N} T_i\]](/images/math/e/e/7/ee72cf7c8a308ecb13d30d9a9a07c008.png)
- Megfelelő sajátbázisban a vezetőképesség transzmissziós sajátértékek összege, ún. „mezoszkópikus PIN kód”.
Vezetőképesség kvantálás kvantum pont-kontaktusban
Kvantum pont-kontaktus: két elektródát egy keskeny, hullámhosszal összemérhető szélességű csatorna köt össze, melynek a szélességét középen egy kapuelektródára tett feszültséggel változtathatjuk.
- A kontaktus közepe felé haladva ez elektron keresztirányú energiája nő, hosszirányú kinetikus energiája pedig csökken.
- Adiabatikusan változó csatornaszélességnél a csatornák nem tudnak egymásba szóródni, függetlennek tekinthetők.
- A kontaktus közepénél a legtöbb csatorna keresztirányú energiája nagyobb mint a Fermi energia, ezek a módusok visszaverődnek a kontaktusról.
- A kontaktus közepén is nyitott csatornák T=1 valószínűséggel átjutnak, hiszen a visszaverődés jelentős impulzusváltozással járna.
Nyitott csatornák száma a kontaktus közepén:
![\[G=\frac{2 e^2}{h}N_c\]](/images/math/c/0/9/c097a47ee67bd5df52de92a9c84d8949.png)
Vezetőképesség kvantálás!
2DEG:
  |
| 2. ábra - 2DEG pontkontaktus. |
