„Későneutron-paraméterek vizsgálata, uránkoncentráció meghatározása” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
(Új oldal, tartalma: „<wlatex> __TOC__ ==Bevezetés== Az <sup>235</sup>U atommag egy neutron befogását követő hasadása során keletkező instabil közbenső mag két hasadványmagra ha…”)
 
 
(egy szerkesztő 26 közbeeső változata nincs mutatva)
5. sor: 5. sor:
 
==Bevezetés==
 
==Bevezetés==
  
−
Az <sup>235</sup>U atommag egy neutron befogását követő hasadása során keletkező instabil közbenső mag két  hasadványmagra hasad, ezenkívül hasadásonként néhány (<sup>235</sup>U esetében átlagosan 2,47) neutron szabadul fel. A hasadás pillanatában (azaz 10<sup>-14</sup> s-on belül) keletkező atommagokat hasadványoknak nevezzük. Ezek később elektronokat szednek fel, majd radioaktív bomlások révén új atomokká alakulnak át. Ez utóbbiakat ''hasadási termékek''nek nevezzük. A keletkező neutronok több mint 99%-a a hasadást követő 10<sup>-12</sup> s-on belül emittálódik. Ezeket a neutronokat ''prompt neutronok''-nak nevezzük. Az ezt követően - akár néhány perccel később - kibocsátott neutronok az ún. ''késő neutronok''. Bár ezek mennyisége a prompt neutronokéhoz viszonyítva kicsi (<sup>235</sup>U esetében az össz-neutronszámnak csupán 0,64%-a), jelentőségük igen nagy a reaktorok szabályozhatósága szempontjából.
+
Az <sup>235</sup>U atommag egy neutron befogását követő hasadása során keletkező instabil közbenső mag két  hasadványmagra<ref>A hasadás pillanatában (azaz 10<sup>-14</sup> s-on belül) keletkező atommagokat hasadványoknak nevezzük. Ezek később elektronokat szednek fel, majd radioaktív bomlások révén új atomokká alakulnak át. Ez utóbbiakat ''hasadási termékek''nek nevezzük.</ref> hasad, ezenkívül hasadásonként néhány (<sup>235</sup>U esetében átlagosan 2,47) neutron szabadul fel. A keletkező neutronok több mint 99%-a a hasadást követő 10<sup>-12</sup> s-on belül emittálódik. Ezeket a neutronokat ''prompt neutronok''nak nevezzük. Az ezt követően - akár néhány perccel később - kibocsátott neutronok az ún. ''késő neutronok''. Bár ezek mennyisége a prompt neutronokéhoz viszonyítva kicsi (<sup>235</sup>U esetében az össz-neutronszámnak csupán 0,64%-a), jelentőségük igen nagy a reaktorok szabályozhatósága szempontjából.
  
  
14. sor: 14. sor:
 
<span style="font-size:110%"><sup>235</sup>U+n &rArr; <sup>236</sup>U* &rArr; <sup>90</sup>Kr+<sup>143</sup>Ba+3n</span>
 
<span style="font-size:110%"><sup>235</sup>U+n &rArr; <sup>236</sup>U* &rArr; <sup>90</sup>Kr+<sup>143</sup>Ba+3n</span>
  
−
A hasadási termékek száma igen nagy. A hasadványok relatív gyakoriságának tömegszám szerinti eloszlását az 1. ábrán láthatjuk. Megállapítható, hogy a görbének a 95 és a 140 tömegszám közelében egy-egy maximuma van. A hasadásban közvetlenül keletkező primer hasadási termékek nagy neutronfelesleggel rendelkeznek az azonos tömegszámú stabil atommagokhoz képest. A hasadási termékek az esetek döntő többségében sorozatos izobár magátalakulással, ${\beta}^-$ bomlással szabadulnak meg neutronfeleslegüktől, és így közelítik meg a stabil N-Z görbét. A fent bemutatott hasadványpár esetében a következő két bomlássorozat megy végbe:
+
A hasadási termékek száma igen nagy. A hasadványok relatív gyakoriságának tömegszám szerinti eloszlását az 1. ábrán láthatjuk. Megállapítható, hogy a görbének a 95 és a 140 tömegszám közelében egy-egy maximuma van. A hasadásban közvetlenül keletkező primer hasadási termékek nagy neutronfelesleggel rendelkeznek az azonos tömegszámú stabil atommagokhoz képest. A hasadási termékek az esetek döntő többségében sorozatos izobár magátalakulással, ${\beta^{-}}$-bomlással szabadulnak meg neutronfeleslegüktől, és így közelítik meg a stabil ${N-Z}$ görbét. A fent bemutatott hasadványpár esetében a következő két bomlássorozat megy végbe:
  
  
20. sor: 20. sor:
 
|-
 
|-
 
| width = "10%" |
 
| width = "10%" |
−
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ {^{90}\textrm{Kr}\frac{\beta^-}{33s}} \to {^{90}\textrm {Rb}\frac{\beta^-}{2.7min}} \to {^{90}\textrm{Sr}\frac{\beta^-}{28y}} \to {^{90}\textrm{Y}\frac{\beta^-}{64h}} \to {^{90}\textrm{Sr}\frac{\beta^-}{28y}} \to ^{90}\textrm{Zr} (stabil) \]</latex></div>  
+
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ {^{90}Kr\frac{\beta^{-}}{33s}} \to {^{90}Rb\frac{\beta^{-}}{2.7min}} \to {^{90}Sr\frac{\beta^{-}}{28y}} \to {^{90}Y\frac{\beta^{-}}{64h}} \to {^{90}Zr} (stabil) \]</latex></div>  
 
| align = "right" | <span id="eq2">  </span>  
 
| align = "right" | <span id="eq2">  </span>  
 
|}
 
|}
27. sor: 27. sor:
 
|-
 
|-
 
| width = "10%" |
 
| width = "10%" |
−
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ {^{143}\textrm{Ba}\frac{\beta^-}{0.5min}} \to {^{143}\textrm{La}\frac{\beta^-}{12min}} \to {^{143}\textrm{Ce}\frac{\beta^-}{33h}} \to {^{143}\textrm{Pr}\frac{\beta^-}{13.7d}} \to {^{143}\textrm{Nd}} (stabil) \]</latex></div>  
+
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ {^{143}Ba\frac{\beta^{-}}{0.5min}} \to {^{143}La\frac{\beta^{-}}{12min}} \to {^{143}Ce\frac{\beta^{-}}{33h}} \to {^{143}Pr\frac{\beta^{-}}{13.7d}} \to {^{143}}Nd (stabil) \]</latex></div>  
 
| align = "right" | <span id="eq2">  </span>  
 
| align = "right" | <span id="eq2">  </span>  
 
|}
 
|}
  
−
A vonalak alatti idők a ${\beta}^-$-bomlások felezési idejét jelentik.
+
A vonalak alatti idők a ${\beta^{-}}$-bomlások felezési idejét jelentik.
  
 
{|
 
{|
41. sor: 41. sor:
 
Amint a bevezetőben említettük, a hasadás során keletkező neutronok csaknem mindegyike - több mint 99%-a - a hasadást követően szinte azonnal, számottevő késés nélkül keletkezik. Ezek a ''prompt neutronok'', amelyeket a hasadványok bocsátják ki. Gerjesztési energiájuk ugyanis általában sokkal nagyobb mint egy neutron szeparációs energiája. Az ilyen gerjesztett állapotok neutronemisszióval történő bomlásának az ideje 10<sup>-15</sup> s (10<sup>-14</sup> s - 10<sup>-12</sup> s) vagy kisebb. Nem minden hasadvány emittál neutronokat, néhányuk esetében a legerjesztődés történhet ${\gamma}$ emisszióval is.
 
Amint a bevezetőben említettük, a hasadás során keletkező neutronok csaknem mindegyike - több mint 99%-a - a hasadást követően szinte azonnal, számottevő késés nélkül keletkezik. Ezek a ''prompt neutronok'', amelyeket a hasadványok bocsátják ki. Gerjesztési energiájuk ugyanis általában sokkal nagyobb mint egy neutron szeparációs energiája. Az ilyen gerjesztett állapotok neutronemisszióval történő bomlásának az ideje 10<sup>-15</sup> s (10<sup>-14</sup> s - 10<sup>-12</sup> s) vagy kisebb. Nem minden hasadvány emittál neutronokat, néhányuk esetében a legerjesztődés történhet ${\gamma}$ emisszióval is.
  
−
Ezt követően a hasadási termékek ${\beta}$-bomlással szabadulnak meg neutronfeleslegüktől, és további neutron-kibocsátás általában már nem történik. Némelyikük izobár átalakulása azonban olyan leányelem képződéséhez vezet, amelyikben a gerjesztési energia nagyobb, mint a neutron szeparációs energiája. Ekkor a ${(Z,N)}$ rendszámú, illetve neutronszámú hasadási termék magjából magasan gerjesztett állapotú ${(Z+1, N-1)}$ mag keletkezik, amely ''azonnal'' kibocsát egy neutront, és átalakul a ${(Z+1, N-2)}$ maggá. Így keletkeznek az ún. ''késő neutronok''. A ${(Z,N)}$ magot ''későneutron-anyamag''nak, a ${(Z+1, N-1)}$ magot pedig ''későneutron-emitter''nek nevezzük. Az ily módon keletkező késő neutronok esetében a maghasadás pillanatától számított teljes késési idő várható értékét az anyamag ${\beta}$-bomlásának felezési ideje szabja meg. Megállapíthatjuk továbbá, hogy az anyamagok ${\beta}$-bomlását követően létrejött emitter magok esetében a gerjesztési energia kisebb, mint a közvetlen hasadási termékek esetében, emiatt a késő neutronok átlagos energiája számottevően kisebb (300÷600 keV), mint a prompt neutronoké (átlagosan 2 MeV).
+
Ezt követően a hasadási termékek ${\beta}$-bomlással szabadulnak meg neutronfeleslegüktől, és további neutron-kibocsátás általában már nem történik. Némelyikük izobár átalakulása azonban olyan leányelem képződéséhez vezet, amelyikben a gerjesztési energia nagyobb, mint a neutron szeparációs energiája. Ekkor a ${(Z, N)}$ rendszámú, illetve neutronszámú hasadási termék magjából magasan gerjesztett állapotú ${(Z+1, N-1)}$ mag keletkezik, amely "azonnal" kibocsát egy neutront, és átalakul a ${(Z+1, N-2)}$ maggá. Így keletkeznek az ún. ''késő neutronok''. A ${(Z, N)}$ magot ''későneutron-anyamag''nak, a ${(Z+1, N-1)}$ magot pedig ''későneutron-emitter''nek nevezzük. Az ily módon keletkező késő neutronok esetében a maghasadás pillanatától számított teljes késési idő várható értékét az anyamag ${\beta}$-bomlásának felezési ideje szabja meg. Megállapíthatjuk továbbá, hogy az anyamagok ${\beta}$-bomlását követően létrejött emitter magok esetében a gerjesztési energia kisebb, mint a közvetlen hasadási termékek esetében, emiatt a késő neutronok átlagos energiája számottevően kisebb (300÷600 keV), mint a prompt neutronoké (átlagosan 2 MeV).
  
−
A hasadásban keletkező neutronok teljes ''hozama'' (száma, ${\nu}$) a prompt neutronok és a késő neutronok hozamából (${\nu}$<sub>p</sub>, illetve ${\nu}$<sub>k</sub>) tevődik össze.
+
A hasadásban keletkező neutronok teljes ''hozama'' (száma, ${\nu}$) a prompt neutronok és a késő neutronok hozamából (${\nu_{p}}$, illetve ${\nu_{k}}$) tevődik össze.
  
 
{| width = "100%"
 
{| width = "100%"
52. sor: 52. sor:
 
|}
 
|}
  
−
A késő neutronok mennyiségét szokás még az ún. ''későneutron-hányad''formájában is kifejezni:
+
A késő neutronok mennyiségét szokás még az ún. ''későneutron-hányad'' formájában is kifejezni:
  
 
{| width = "100%"
 
{| width = "100%"
64. sor: 64. sor:
  
 
{|
 
{|
−
| <span id="fig:2">[[Fájl: FizLab5_KNP_02.jpg|közép|bélyegkép|300px|2.ábra: A hasadást kiváltó neutron energiája]]</span>
+
| <span id="fig:2">[[Fájl: FizLab5_KNP_02.jpg|közép|bélyegkép|300px|2.ábra: A későneutron-hozam a hasadást kiváltó neutronenergiájának a függvényében]]</span>
 
|}
 
|}
  
 
A görbékből megállapítható, hogy a  későneutron-hozam a 0 ≤ E<sub>n</sub> ≤ 4 MeV intervallumban gyakorlatilag független a hasadást kiváltó neutronok energiájától.
 
A görbékből megállapítható, hogy a  későneutron-hozam a 0 ≤ E<sub>n</sub> ≤ 4 MeV intervallumban gyakorlatilag független a hasadást kiváltó neutronok energiájától.
−
A tejes későneutron-hozamok értékei jelentősen függnek a hasadóképes izotóptól. Az 1. táblázatban bemutatott értékekből azonban kétféle szabályt mégis megfigyelhetünk:
+
 
 +
A teljes későneutron-hozamok értékei jelentősen függnek a hasadóképes izotóptól. Az 1. táblázatban bemutatott értékekből azonban kétféle szabályt mégis megfigyelhetünk:
  
 
* Egy adott elemre vonatkozóan a későneutron-hozam növekszik a tömegszámmal ${(A)}$.
 
* Egy adott elemre vonatkozóan a későneutron-hozam növekszik a tömegszámmal ${(A)}$.
104. sor: 105. sor:
 
===A későneutron-csoportok===
 
===A későneutron-csoportok===
  
−
A magfizikusok eddig 66 különböző későneutron-anyamagot azonosítottak. Ezek a Ga, As, Se, Br, Kr, Rb, Sr, Y, In, Sn, Sb, Te, I, Xe, Cs, Ba, La és Tl egyes izotópjai. Felezési időik 0,12 s és 78 s között változik, emiatt az általuk keltett késő neutronok jelentősen különböző késleltetési időkkel jelennek meg. Reaktorkinetikai számításokban a késő neutronok korrekt kezelése ennek megfelelően az lenne, ha valamennyi anyamagot a saját felezési idejével és hozamával vennénk figyelembe. Ezzel kapcsolatban két fő probléma merül fel:
+
A magfizikusok eddig 66 különböző későneutron-anyamagot azonosítottak.<ref>Ezek a Ga, As, Se, Br, Kr, Rb, Sr, Y, In, Sn, Sb, Te, I, Xe, Cs, Ba, La és Tl egyes izotópjai.</ref> Felezési időik 0,12 s és 78 s között változik, emiatt az általuk keltett késő neutronok jelentősen különböző késleltetési időkkel jelennek meg. Reaktorkinetikai számításokban a késő neutronok korrekt kezelése ennek megfelelően az lenne, ha valamennyi anyamagot a saját felezési idejével és hozamával vennénk figyelembe. Ezzel kapcsolatban két fő probléma merül fel:
  
 
* Az anyamagok nagy száma miatt a feladat nagyon elbonyolódna.
 
* Az anyamagok nagy száma miatt a feladat nagyon elbonyolódna.
110. sor: 111. sor:
  
  
−
G. R. Keepin dolgozta ki kísérleti úton a számítások számára kielégítő közelítést a későneutron-adatok kondenzált kezelésével, azaz a későneutron-csoportok létrehozásával. Hasonlóan a mai gyakorlaton elvégzendő méréshez, hasadóanyagból készített mintát rövid ideig tartó neutron-besugárzásnak tett ki. A besugárzott mintában bekövetkezett hasadások révén nagy számú anyamag keletkezett, amelyek a besugárzást követően felezési idejük szerint lecsengő későneutron-forrásként működtek - ${S_\textrm{k}}(t)$. Ha a mintában a besugárzás során bekövetkezett hasadási reakciók száma ${n}$<sub>f</sub> volt, akkor a keltett anyamagok száma ${\nu_\textrm{k}}n_\textrm{f}$. Az ${S_\textrm{k}}(t)$ függvény ezen anyamagok lebomlását, és ennélfogva a késő neutronok keletkezésének időbeli alakulását írja le. A 3. ábrán egy ilyen görbe látható a <sup>87</sup>Br izotópnak, egy tipikus anyamagnak a bomlási-görbéjével együtt.
+
G. R. Keepin dolgozta ki kísérleti úton a számítások számára kielégítő közelítést a későneutron-adatok kondenzált kezelésével, azaz a későneutron-csoportok létrehozásával. Hasonlóan a mai gyakorlaton elvégzendő méréshez, hasadóanyagból készített mintát rövid ideig tartó neutron-besugárzásnak tett ki. A besugárzott mintában bekövetkezett hasadások révén nagy számú anyamag keletkezett, amelyek a besugárzást követően felezési idejük szerint lecsengő későneutron-forrásként működtek - ${S_{k}(t)}$. Ha a mintában a besugárzás során bekövetkezett hasadási reakciók száma ${n_\mathrm{f}}$ volt, akkor a keltett anyamagok száma ${\nu_{k}}n_\mathrm{f}$. Az ${S_{k}(t)}$ függvény ezen anyamagok lebomlását, és ennélfogva a késő neutronok keletkezésének időbeli alakulását írja le. A 3. ábrán egy ilyen görbe látható a <sup>87</sup>Br izotópnak, egy tipikus anyamagnak a bomlási-görbéjével együtt.
  
 
{|
 
{|
124. sor: 125. sor:
 
| align = "right" | <span id="eq2"> (2) </span>
 
| align = "right" | <span id="eq2"> (2) </span>
 
|}
 
|}
 +
  
 
ahol
 
ahol
129. sor: 131. sor:
 
{| cellpadding="2" text-align: center; cellspacing="0"
 
{| cellpadding="2" text-align: center; cellspacing="0"
 
|-
 
|-
−
| $\nu_\textrm{ki}$ || - az i-edik későneutron-csoport hozama
+
| $\nu_\mathrm{ki}$ || : az i-edik későneutron-csoport hozama
 
|-
 
|-
−
| $\lambda_\textrm{ki}$ || - az i-edik későneutron-csoport bomlási állandója
+
| $\lambda_\mathrm{ki}$ || : az i-edik későneutron-csoport bomlási állandója
 
|}
 
|}
  
  
−
Az ${S_\textrm{k}}(t)$ függvény a fenti közelítésben olyan későneutron-forrásfüggvényt reprezentál, amelyben mindegyik csoport saját $\nu_\textrm{ki}$ későneutron-hozammal, átlagos $\lambda_\textrm{ki}$ bomlási állandóval, ill. az ennek megfelelő átlagos felezési idővel rendelkezik. Három különböző hasadóképes izotópra (<sup>235</sup>U, <sup>239</sup>Pu, <sup>233</sup>U) a későneutron-csoportok főbb adatait a 2. táblázatban foglaltuk össze. Ez a hatcsoportos későneutron-struktúra általánosan használatos a reaktorkinetikában.
+
Az ${S_{k}}(t)$ függvény a fenti közelítésben olyan későneutron-forrásfüggvényt reprezentál, amelyben mindegyik csoport saját $\nu_{ki}$ későneutron-hozammal, átlagos $\lambda_{ki}$ bomlási állandóval, ill. az ennek megfelelő átlagos felezési idővel rendelkezik. Három különböző hasadóképes izotópra (<sup>235</sup>U, <sup>239</sup>Pu, <sup>233</sup>U) a későneutron-csoportok főbb adatait a 2. táblázatban foglaltuk össze. Ez a hatcsoportos későneutron-struktúra általánosan használatos a reaktorkinetikában.
  
  
173. sor: 175. sor:
  
 
===A késő neutronok hatása a neutronfluxus időbeni változására===
 
===A késő neutronok hatása a neutronfluxus időbeni változására===
 +
<ref>Ez a fejezet azoknak szóló összefoglalás, akik nem hallgatták a ''Reaktorfizika'' előadást, a többieknek könnyű olvasmány.</ref>
  
−
'''Ez a fejezet azoknak szóló összefoglalás, akik nem hallgatták a ''Reaktorfizika'' előadást, a többieknek könnyű olvasmány.'''
+
Ha egy termikus reaktor  időben állandósult állapotban üzemel, akkor az egymást követő neutrongenerációk neutronszámának hányadosát jelentő ''effektív sokszorozási tényező'', ${k_\textrm{eff}}$ éppen egységnyi. A reaktor teljesítményének növelésekor vagy csökkenésekor a sokszorozási tényező 1-től eltér:
−
 
+
−
Ha egy termikus reaktor  időben állandósult állapotban üzemel, akkor az egymást követő neutrongenerációk neutronszámának hányadosát jelentő ''effektív sokszorozási tényező'', ${k_\textrm{ff}}$ éppen egységnyi. A reaktor teljesítményének növelésekor vagy csökkenésekor a sokszorozási tényező 1-től eltér:
+
  
 
{| width = "100%"
 
{| width = "100%"
 
|-
 
|-
 
| width = "10%" |
 
| width = "10%" |
−
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \Delta{k}_{\textrm{eff}} = k_{\textrm{eff}}-1 \]</latex></div>
+
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \Delta k_\mathrm{eff} = k_\mathrm{eff}-1 \]</latex></div>
 
| align = "right" | <span id="eq2"> </span>
 
| align = "right" | <span id="eq2"> </span>
 
|}
 
|}
190. sor: 191. sor:
 
|-
 
|-
 
| width = "10%" |
 
| width = "10%" |
−
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \rho = \frac{\Delta{k}_{\textrm{eff}}}{k_\textrm{eff}} = \frac{k_\textrm{eff}-1}{k_\textrm{eff}} \]</latex></div>
+
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \rho = \frac{\Delta k_\mathrm{eff}}{k_\mathrm{eff}} = \frac{k_\mathrm{eff}-1}{k_\mathrm{eff}} \]</latex></div>
 
| align = "right" | <span id="eq2"> (3) </span>
 
| align = "right" | <span id="eq2"> (3) </span>
 
|}
 
|}
  
 
Időben állandósult állapotban $\rho$ = 0. A szokásos körülmények közötti teljesítményváltoztatások az állandósult állapothoz közeli állapotokon keresztül mennek végbe, és ekkor jó közelítéssel
 
Időben állandósult állapotban $\rho$ = 0. A szokásos körülmények közötti teljesítményváltoztatások az állandósult állapothoz közeli állapotokon keresztül mennek végbe, és ekkor jó közelítéssel
−
${\rho \approx \Delta{k}_\textrm{eff}}$. Minthogy ${ \Delta{k}_\textrm{eff} }$ jelenti a neutronszám növekedési arányát az egyik generáció és a soron következő generáció között, a teljes neutronszámnak egy generáció élete során bekövetkező növekedése ${n \Delta{k}_\textrm{eff} }$-fel egyenlő, ahol ${n}$ a neutronszám az induló neutronpopulációban. Ha a neutronok átlagos élettartama ${\ell}$, akkor a neutronszám időegység alatti változását a következő differenciálegyenlet adja meg:
+
${\rho \approx \Delta{k}_\mathrm{eff}}$. Minthogy ${ \Delta{k}_\mathrm{eff} }$ jelenti a neutronszám növekedési arányát az egyik generáció és a soron következő generáció között, a teljes neutronszámnak egy generáció élete során bekövetkező növekedése ${n \Delta{k}_\mathrm{eff} }$-fel egyenlő, ahol ${n}$ a neutronszám az induló neutronpopulációban. Ha a neutronok átlagos élettartama ${\ell}$, akkor a neutronszám időegység alatti változását a következő differenciálegyenlet adja meg:
  
 
{| width = "100%"
 
{| width = "100%"
 
|-
 
|-
 
| width = "10%" |
 
| width = "10%" |
−
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \frac{dn}{dt} = \frac{n\Delta{k_\textrm{eff}}}{\ell} \]</latex></div>
+
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \frac{dn}{dt} = \frac{n\Delta k_\mathrm{eff}}{\ell}. \]</latex></div>
 
| align = "right" | <span id="eq2"> (4) </span>
 
| align = "right" | <span id="eq2"> (4) </span>
 
|}
 
|}
  
−
Feltételezve azt, hogy ${ \Delta k_\textrm{eff} }$ nem függ az időtől, integrálással kapjuk:
+
Feltételezve azt, hogy ${ \Delta k_\mathrm{eff} }$ nem függ az időtől, integrálással kapjuk:
  
 
{| width = "100%"
 
{| width = "100%"
 
|-
 
|-
 
| width = "10%" |
 
| width = "10%" |
−
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ n(t) = n(t_0) \exp \Big( \dfrac{\Delta k_\textrm{eff}}{\ell}t \Big) \]</latex></div>
+
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ n(t) = n(t_0) \exp \Big( \frac{\Delta k_\mathrm{eff}}{\ell}t \Big) \]</latex></div>
 
| align = "right" | <span id="eq2"> (5) </span>
 
| align = "right" | <span id="eq2"> (5) </span>
 
|}
 
|}
  
−
Az oktatóreaktorban ${ \ell}$ = 7 ${\times}$ 10<sup>-5</sup> sec. Definiáljuk a reaktor periódusidejét ${(T)}$: az az idő, amely alatt a neutronszám az ${e}$-szeresére változik (${e}$ = 2,7172...), tehát (5) alapján:
+
Az oktatóreaktorban ${ \ell}$ = 7 ${\times}$ 10<sup>-5</sup> sec. Definiáljuk a reaktor periódusidejét ${(T)}$: az az idő, amely alatt a neutronszám az ${e}$-szeresére változik (${e}$ = 2,7172...), (5) alapján tehát:
  
  
219. sor: 220. sor:
 
|-
 
|-
 
| width = "10%" |
 
| width = "10%" |
−
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ T = \frac{\ell}{\Delta{k}_\textrm{eff}} \]</latex></div>
+
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ T = \frac{\ell}{\Delta{k}_\mathrm{eff}}. \]</latex></div>
 
| align = "right" | <span id="eq2"> (6) </span>
 
| align = "right" | <span id="eq2"> (6) </span>
 
|}
 
|}
228. sor: 229. sor:
 
|-
 
|-
 
| width = "10%" |
 
| width = "10%" |
−
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ n(t)=n(t_{0})\mathrm{e}^{\dfrac{t}{T}} \]</latex></div>
+
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ n(t)=n(t_{0})e^{\frac{t}{T}} \]</latex></div>
 
| align = "right" | <span id="eq2"> (5a) </span>
 
| align = "right" | <span id="eq2"> (5a) </span>
 
|}
 
|}
235. sor: 236. sor:
 
Az időben állandó, stacioner üzemű reaktorban ${  n(t) = n(t_{0})  }$ = konst., tehát ${T}$ végtelen. A reaktor periódusideje rendkívül fontos mennyiség a változó teljesítményű reaktor biztonsága szempontjából. Minden reaktorba beépítenek olyan biztonságvédelmi rendszert, amely azonnal leállítja a reaktort, ha a periódusidő a szabályozhatóság lehetőségeit tekintve túlságosan kicsiny. Ha nem üzemelne ''periódusidő-védelem'', a 7÷10 s-nál rövidebb periódusidő már kifejezetten veszélyes állapotot jelentene.
 
Az időben állandó, stacioner üzemű reaktorban ${  n(t) = n(t_{0})  }$ = konst., tehát ${T}$ végtelen. A reaktor periódusideje rendkívül fontos mennyiség a változó teljesítményű reaktor biztonsága szempontjából. Minden reaktorba beépítenek olyan biztonságvédelmi rendszert, amely azonnal leállítja a reaktort, ha a periódusidő a szabályozhatóság lehetőségeit tekintve túlságosan kicsiny. Ha nem üzemelne ''periódusidő-védelem'', a 7÷10 s-nál rövidebb periódusidő már kifejezetten veszélyes állapotot jelentene.
  
−
A késő neutronok fontosságának a kidomborítása érdekében határozzuk meg a periódusidőt abban az esetben, amikor a reaktivitás ${\rho}$ = 0,25%, de csak a prompt neutronokat figyelembe véve. A reaktivitást (amely dimenzió nélküli szám) gyakran fejezzük ki %-ban. Például ${\rho}$ = 0,25% azt jelenti, hogy ${\rho}$ = 0,0025 (vagyis (3) alapján ${k_\textrm{eff} \approx}$ 1,0025). Mivel ${\Delta k_\textrm{eff} \approx \rho}$ = 0,0025, (6) alapján a periódusidőre a következő adódik:
+
A késő neutronok fontosságának a kidomborítása érdekében határozzuk meg a periódusidőt abban az esetben, amikor a reaktivitás ${\rho}$ = 0,25%<ref>A reaktivitást (amely dimenzió nélküli szám) gyakran fejezzük ki %-ban. Például ${\rho}$ = 0,25% azt jelenti, hogy ${\rho}$ = 0,0025 (vagyis (3) alapján ${k_\mathrm{eff} \approx}$ 1,0025).</ref>, de csak a prompt neutronokat figyelembe véve. Mivel ${\Delta k_\mathrm{eff} \approx \rho}$ = 0,0025, (6) alapján a periódusidőre a következő adódik:
  
 
{| width = "100%"
 
{| width = "100%"
 
|-
 
|-
 
| width = "10%" |
 
| width = "10%" |
−
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ T = \frac{\ell}{\Delta{k}_\textrm{eff}} = \frac{0,00007}{0,0025} = 0,028 s \]</latex></div>
+
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ T = \frac{\ell}{\Delta{k}_\mathrm{eff}} = \frac{0,00007}{0,0025} = 0,028 s \]</latex></div>
 
| align = "right" | <span id="eq2"> </span>
 
| align = "right" | <span id="eq2"> </span>
 
|}
 
|}
249. sor: 250. sor:
 
|-
 
|-
 
| width = "10%" |
 
| width = "10%" |
−
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \frac{n(1s)}{n(0)} = \textrm{e}^{\frac{1s}{0,028s}}=\textrm{e}^{35,7}=3\times 10^{15} \]</latex></div>
+
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \frac{n(1s)}{n(0)} = e^{\frac{1s}{0,028s}}= e^{35,7}=3\times 10^{15} \]</latex></div>
 
| align = "right" | <span id="eq2"> </span>
 
| align = "right" | <span id="eq2"> </span>
 
|}
 
|}
  
  
−
szeresére nő. Semmilyen szabályozórendszer (amely mechanikus elemeket is tartalmaz) nem tudja követni ezt a gyors felfutást. ''Szerencsére'' a késő neutronok bizonyos feltételek között jelentősen lelassítják a növekedési ütemet, és ezzel lehetővé teszik a reaktorok szabályozását.
+
szeresére nő. Semmilyen szabályozórendszer (amely mechanikus elemeket is tartalmaz) nem tudja követni ezt a gyors felfutást. "Szerencsére" a késő neutronok bizonyos feltételek között jelentősen lelassítják a növekedési ütemet, és ezzel lehetővé teszik a reaktorok szabályozását.
  
−
A késő neutronok hatásának a megvilágítása érdekében leegyszerűsítjük a tárgyalást: csak egyetlen, átlagos későneutron-csoportot veszünk figyelembe - részletest tárgyalását lásd az [5] jegyzetben. Ha a 2. táblázatban az  <sup>235</sup>U-ra adott felezési időket átlagoljuk, 9 s-t kapunk, vagyis a (2) alatti hat bomlási állandót az átlagos
+
A késő neutronok hatásának a megvilágítása érdekében leegyszerűsítjük a tárgyalást: csak egyetlen, átlagos későneutron-csoportot veszünk figyelembe<ref>A részletest tárgyalását lásd az [5] jegyzetben.</ref> Ha a 2. táblázatban az  <sup>235</sup>U-ra adott felezési időket átlagoljuk, 9 s-t kapunk, vagyis a (2) alatti hat bomlási állandót az átlagos
  
 
{| width = "100%"
 
{| width = "100%"
265. sor: 266. sor:
 
|}
 
|}
  
−
bomlási állandóval helyettesítjük. Ha ${C(t)}$--vel jelöljük a t időpillanatban a reaktorban levő
+
bomlási állandóval helyettesítjük. Ha ${C(t)}$-vel jelöljük a t időpillanatban a reaktorban levő
 
későneutron-anyamagok számát, akkor 1 s alatt ${\bar{\lambda}C(t)}$ késő neutron keletkezik. Ennek megfelelően a (4) egyenlet az alábbi alakba megy át:
 
későneutron-anyamagok számát, akkor 1 s alatt ${\bar{\lambda}C(t)}$ késő neutron keletkezik. Ennek megfelelően a (4) egyenlet az alábbi alakba megy át:
  
271. sor: 272. sor:
 
|-
 
|-
 
| width = "10%" |
 
| width = "10%" |
−
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \frac{dn}{dt}=\frac{nk_{\textrm{eff}}(1-\beta)-n}{\ell}+\bar{\lambda}\textit{C(t)} \]</latex></div>
+
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \frac{dn}{dt}=\frac{nk_{\mathrm{eff}}(1-\beta)-n}{\ell}+\bar{\lambda}\textit{C(t)} \]</latex></div>
 
| align = "right" | <span id="eq2"> (7a) </span>
 
| align = "right" | <span id="eq2"> (7a) </span>
 
|}
 
|}
280. sor: 281. sor:
 
|-
 
|-
 
| width = "10%" |
 
| width = "10%" |
−
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \frac{dC}{dt}=-\bar{{\lambda}}\textit{C(t)}+\frac{nk_{\textrm{eff}}{\beta}}{\ell} \]</latex></div>
+
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \frac{dC}{dt}=-\bar{{\lambda}}\textit{C(t)}+\frac{nk_{\mathrm{eff}}{\beta}}{\ell} \]</latex></div>
 
| align = "right" | <span id="eq2"> (7b) </span>
 
| align = "right" | <span id="eq2"> (7b) </span>
 
|}
 
|}
  
 
    
 
    
−
A jobboldal első tagja az 1 s alatt elbomló, a második tag pedig az 1 s alatt a hasadásokban keletkező anyamagok számát adja meg. Vegyük észre, hogy éppen ezzel az utóbbi taggal csökkent (7a) jobb oldalának első  
+
A jobboldal első tagja az 1 s alatt elbomló, a második tag pedig az 1 s alatt a hasadásokban keletkező anyamagok számát adja meg.<ref>Vegyük észre, hogy éppen ezzel az utóbbi taggal csökkent (7a) jobb oldalának első tagja a (4) egyenlethez képest.</ref> Nézzük meg ezután, mennyiben növelik a késő neutronok a reaktorperiódust!
−
tagja a (4) egyenlethez képest. Nézzük meg ezután, mennyiben növelik a késő neutronok a reaktorperiódust!
+
  
 
(5a) mintájára a (7) egyenletrendszer megoldását az alábbi alakban keressük:
 
(5a) mintájára a (7) egyenletrendszer megoldását az alábbi alakban keressük:
293. sor: 293. sor:
 
|-
 
|-
 
| width = "10%" |
 
| width = "10%" |
−
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ n(t) = n_{0}\textrm{e}^{t/T} \quad \quad \textrm{és} \quad \quad C(t)=C_{0}\mathrm{e}^{t/T} \]</latex></div>
+
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ n(t) = n_{0}e^{t/T} \quad \quad \textrm{és} \quad \quad C(t)=C_{0}e^{t/T} \]</latex></div>
 
| align = "right" | <span id="eq2"> </span>
 
| align = "right" | <span id="eq2"> </span>
 
|}
 
|}
302. sor: 302. sor:
 
|-
 
|-
 
| width = "10%" |
 
| width = "10%" |
−
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \frac{\rho}{\beta}=\frac{\ell/(\mathrm{k}_{\textrm{eff}}\beta)}{T}+\frac{1}{1+\bar{\lambda}T} \]</latex></div>
+
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \frac{\rho}{\beta}=\frac{\ell/(\mathrm{k}_{\mathrm{eff}}\beta)}{T}+\frac{1}{1+\bar{\lambda}T} \]</latex></div>
 
| align = "right" | <span id="eq2"> (8) </span>
 
| align = "right" | <span id="eq2"> (8) </span>
 
|}
 
|}
313. sor: 313. sor:
 
|-
 
|-
 
| width = "10%" |
 
| width = "10%" |
−
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \frac{\rho}{\beta}\bar{\lambda}T^{2}+\Big(\frac{\rho}{\beta}-\frac{\ell\bar{\lambda}}{c\beta}-1\Big)T-\frac{\ell}{\mathrm{k}_{e\mathit{ff}}\beta}=0 \]</latex></div>
+
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \frac{\rho}{\beta}\bar{\lambda}T^{2}+\Big(\frac{\rho}{\beta}-\frac{\ell\bar{\lambda}}{\mathrm{k}_{e\mathrm{ff}}\beta}-1\Big)T-\frac{\ell}{k_{e\mathrm{ff}}\beta}=0 \]</latex></div>
 
| align = "right" | <span id="eq2"> (9) </span>
 
| align = "right" | <span id="eq2"> (9) </span>
 
|}
 
|}
  
−
Jelöljük a két gyököt ${T}$<sub>1</sub>-gyel és ${T}$<sub>2</sub>-vel. Ezek felhasználásával a neutronszám időfüggése
+
Jelöljük a két gyököt ${T_{1}}$-gyel és ${T_{2}}$-vel. Ezek felhasználásával a neutronszám időfüggése
  
 
{| width = "100%"
 
{| width = "100%"
 
|-
 
|-
 
| width = "10%" |
 
| width = "10%" |
−
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ n(t)=n_{1}\mathrm{e}^{t/T_{1}}+n_{2}\mathrm{e}^{t/T_{2}} \]</latex></div>
+
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ n(t)=n_{1}e^{t/T_{1}}+n_{2}e^{t/T_{2}} \]</latex></div>
 
| align = "right" | <span id="eq2"> (10) </span>
 
| align = "right" | <span id="eq2"> (10) </span>
 
|}
 
|}
 
 
−
alakban adódik, ahol az ${n}$<sub>1</sub> és ${n}$<sub>2</sub> állandók a kezdeti feltételektől függnek. Ha a ${\rho}$ reaktivitás negatív (vagyis ${k_\textrm{eff}}$ < 1, tehát a reaktor ''szubkritikus''), a (9) egyenlet mindhárom együtthatója negatív, tehát mindkét gyök negatív, vagyis a neutronszám (10) szerint a kezdeti feltételektől függetlenül időben csökken. '''Emlékeztetünk arra az elemi algebrai szabályra, hogy két egymást követő együttható azonos előjele negatív, különböző előjele pedig pozitív gyököt jelent.''' Ha azonban a ${\rho}$ reaktivitás pozitív (vagyis ${k_\textrm{eff}}$ > 1, tehát a reaktor ''szuperkritikus''), a (9) egyenlet első együtthatója pozitív, a harmadik pedig továbbra is negatív. A reaktivitástól függően a második együttható lehet negatív is, pozitív is. Mindkét esetben azonban van egy előjelváltás és egy előjelkövetés, vagyis a két gyök közül az egyik negatív, a másik pozitív. Legyen az utóbbi ${T}$<sub>1</sub>. Ekkor
+
alakban adódik, ahol az ${n_{1}}$ és ${n_{2}}$ állandók a kezdeti feltételektől függnek. Ha a ${\rho}$ reaktivitás negatív (vagyis ${k_\mathrm{eff}}$ < 1, tehát a reaktor ''szubkritikus''), a (9) egyenlet mindhárom együtthatója negatív, tehát mindkét gyök negatív<ref>Emlékeztetünk arra az elemi algebrai szabályra, hogy két egymást követő együttható azonos előjele negatív, különböző előjele pedig pozitív gyököt jelent.</ref>, vagyis a neutronszám (10) szerint a kezdeti feltételektől függetlenül időben csökken. Ha azonban a ${\rho}$ reaktivitás pozitív (vagyis ${k_\mathrm{eff}}$ > 1, tehát a reaktor ''szuperkritikus''), a (9) egyenlet első együtthatója pozitív, a harmadik pedig továbbra is negatív. A reaktivitástól függően a második együttható lehet negatív is, pozitív is. Mindkét esetben azonban van egy előjelváltás és egy előjelkövetés, vagyis a két gyök közül az egyik negatív, a másik pozitív. Legyen az utóbbi ${T_{1}}$. Ekkor elegendően nagy ${t}$ idő elteltével (10) átmegy az
−
elegendően nagy ${t}$ idő elteltével (10) átmegy az
+
  
 
{| width = "100%"
 
{| width = "100%"
 
|-
 
|-
 
| width = "10%" |
 
| width = "10%" |
−
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ n(t)=n_{1}\mathrm{e}^{t/T_{1}} \hspace{20mm} (\textit{t}\gg\textit{T}_{2}) \]</latex></div>
+
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ n(t)=n_{1}e^{t/T_{1}} \hspace{20mm} (\textit{t}\gg\textit{T}_{2}) \]</latex></div>
 
| align = "right" | <span id="eq2"> (11) </span>
 
| align = "right" | <span id="eq2"> (11) </span>
 
|}
 
|}
356. sor: 355. sor:
 
|}
 
|}
  
−
A fenti számpéldában ez a közelítés ${T}$<sub>1</sub> = 20,26 s-t ad, tehát a közelítő képlet elég pontos. Minőségileg megváltozik azonban a helyzet, amikor ${\rho/\beta}$ > 1. Ekkor ugyanis (9)-ben a második tag együtthatója pozitívra vált, és az egyenlet pozitív gyökét más képlettel kell közelíteni:'''Az Olvasó számára hasznos gyakorlat a közelítő képlet levezetése, így ugyanis ellenőrizheti, mennyire sikerült az eddigieket megértenie.'''
+
A fenti számpéldában ez a közelítés ${T}$<sub>1</sub> = 20,26 s-t ad, tehát a közelítő képlet elég pontos. Minőségileg megváltozik azonban a helyzet, amikor ${\rho/\beta}$ > 1. Ekkor ugyanis (9)-ben a második tag együtthatója pozitívra vált, és az egyenlet pozitív gyökét más képlettel kell közelíteni:<ref>Az Olvasó számára hasznos gyakorlat a közelítő képlet levezetése, így ugyanis ellenőrizheti, mennyire sikerült az eddigieket megértenie.</ref>
  
 
{| width = "100%"
 
{| width = "100%"
365. sor: 364. sor:
 
|}
 
|}
  
−
Például, ${\rho/\beta}$=1,1 esetén (${ k_\textrm{eff} }$=1,0071) a (12b) képlet szerint  ${T}$<sub>1</sub>=0,109 s, azaz a reaktor ismét  szabályozhatatlanná válik. A pontos érték ${T}$_<sub>1</sub> = 0,099 s) Azt találtuk tehát, a reaktor csak addig szabályozható, amíg ${\rho/\beta}$ < 1, vagyis  ${k_\textrm{eff}}$ < 1+${\beta}$ (közelítőleg). Más szavakkal a szabályozhatóság szükséges feltételét úgy szoktuk kifejezni, hogy ''a reaktor a késő neutronok nélkül legyen szubkritikus''. Ha azonban a reaktor már a késő neutronok nélkül is szuperkritikus (vagyis ha ${\rho/\beta}$ > 1), a reaktor szabályozhatatlanná válik, ''megszalad''. Az ilyen reaktorállapotot ''prompt szuperkritikus állapotnak'' nevezzük, amelynek a fellépte súlyos reaktorbalesetnek minősül.
+
Például, ${\rho/\beta}$=1,1 esetén (${ k_\mathrm{eff} }$ = 1,0071) a (12b) képlet szerint  ${T_{1}}$ = 0,109 s, azaz a reaktor ismét  szabályozhatatlanná válik. A pontos érték ${T_{1}}$ = 0,099 s Azt találtuk tehát, a reaktor csak addig szabályozható, amíg ${\rho/\beta}$ < 1, vagyis  ${k_\mathrm{eff}}$ < 1+${\beta}$ (közelítőleg). Más szavakkal a szabályozhatóság szükséges feltételét úgy szoktuk kifejezni, hogy ''a reaktor a késő neutronok nélkül legyen szubkritikus''. Ha azonban a reaktor már a késő neutronok nélkül is szuperkritikus (vagyis ha ${\rho/\beta}$ > 1), a reaktor szabályozhatatlanná válik, ''megszalad''. Az ilyen reaktorállapotot ''prompt szuperkritikus állapotnak'' nevezzük, amelynek a fellépte súlyos reaktorbalesetnek minősül.
 
   
 
   
−
Az elmondottakból következik, hogy a $\beta$ későneutron-hányadnak a reaktorszabályozás szempontjából döntő jelentősége van. Erre való tekintettel ezt választjuk a reaktivitás egységének is. Ennek az egységnek a neve: dollár, egy reaktor reaktivitása 1 dollár, ha ${\rho/\beta}$=1. Mint láttuk, a gyakorlatban ezt a reaktorállapotot kerülni kell, ezért a gyakorlatban ennek az egységnek a 100-ad részét, a centet (<big> ˘ </big>) használjuk, egy reaktor reaktivitása 1<big>˘</big>, ha ${\rho/\beta}$ = 0,01.
+
Az elmondottakból következik, hogy a $\beta$ későneutron-hányadnak a reaktorszabályozás szempontjából döntő jelentősége van. Erre való tekintettel ezt választjuk a reaktivitás egységének is. Ennek az egységnek a neve: ''dollár'', egy reaktor reaktivitása 1 dollár, ha ${\rho/\beta}$=1. Mint láttuk, a gyakorlatban ezt a reaktorállapotot kerülni kell, ezért a gyakorlatban ennek az egységnek a 100-ad részét, a centet (<big> ˘ </big>) használjuk, egy reaktor reaktivitása 1<big>˘</big>, ha ${\rho/\beta}$ = 0,01.
  
 
==Későneutron paraméterek meghatározása==
 
==Későneutron paraméterek meghatározása==
437. sor: 436. sor:
 
A polietilén csőpostatokban az ismeretlen mintából, a standardokéhoz hasonló mennyiséget, kb. 100 mg-ot helyezünk el. A besugárzást 10 kW reaktorteljesítményen végezzük. Az analizátor beállítása megegyezik a korábbival (vö. A mérés menete rész). A mérés alapgondolata: ''a standardokban és az ismeretlen mintában a besugárzott urán bomlásgörbéjét ugyanaz a (2) szerinti függvény írja le, legfeljebb az egyes görbék ${n_\textrm{f}}$ együtthatója térhet el.'' Ebből következik, hogy a lecsengő későneutron-intenzitási görbe bármelyik szakaszának összevetése alkalmas a minták összehasonlítására. Elvileg egy adott időpontbeli intenzitás - akár egy csatorna - is elegendő lenne, de több csatorna összegzésével a kiértékelés alapjául szolgáló impulzusszám relatív szórását csökkenthetjük. Az összegzett csatornák kiválasztásában az alábbi szempontokat vesszük figyelembe.
 
A polietilén csőpostatokban az ismeretlen mintából, a standardokéhoz hasonló mennyiséget, kb. 100 mg-ot helyezünk el. A besugárzást 10 kW reaktorteljesítményen végezzük. Az analizátor beállítása megegyezik a korábbival (vö. A mérés menete rész). A mérés alapgondolata: ''a standardokban és az ismeretlen mintában a besugárzott urán bomlásgörbéjét ugyanaz a (2) szerinti függvény írja le, legfeljebb az egyes görbék ${n_\textrm{f}}$ együtthatója térhet el.'' Ebből következik, hogy a lecsengő későneutron-intenzitási görbe bármelyik szakaszának összevetése alkalmas a minták összehasonlítására. Elvileg egy adott időpontbeli intenzitás - akár egy csatorna - is elegendő lenne, de több csatorna összegzésével a kiértékelés alapjául szolgáló impulzusszám relatív szórását csökkenthetjük. Az összegzett csatornák kiválasztásában az alábbi szempontokat vesszük figyelembe.
  
−
Mind a standardok, mind az ismeretlen minta tartalmaz oxigént, amelyben a besugárzás során az <sup>17</sup>O(n,p)<sup>17</sup>N magreakció eredményeként 4,1 s felezési idejű neutronemitter mag, <sup>17</sup>N keletkezik. Mivel az oxigén mennyisége mintánként változik (továbbá nem is ismert), a besugárzás után, a mérés megkezdése előtt célszerű 20 s ún. ''hűtési idő''t várni, mialatt az <sup>17</sup>N-től származó neutronok gyakorlatilag eltűnnek, és így a minta és a standardok oxigéntartalmának különbsége nem zavaró. Ebből következik,  hogy a 2. táblázat szerinti 3÷6 későneutron-csoportok a mérés kezdetére szintén eltűnnek, tehát az urántartalom meghatározását a 22,72 s felezési idejű, elegendően nagy hozamú későneutron-csoportra érdemes alapozni. A hűtési idő növelése egyébként más szempontból is hasznos lehet, mivel rövid hűtési idők esetében az időmérés bizonytalansága (1 s-os felbontás) is nagyobb. A mérési időt úgy kell megválasztani, hogy a mérési idő végén a csökkenő későneutron-intenzitás még mindig jelentősen kiemelkedjék a háttérből. (A javasolt mérési időintervallum 20÷80 s.)
+
Mind a standardok, mind az ismeretlen minta tartalmaz oxigént, amelyben a besugárzás során az <sup>17</sup>O(n,p)<sup>17</sup>N magreakció eredményeként 4,1 s felezési idejű neutronemitter mag, <sup>17</sup>N keletkezik. Mivel az oxigén mennyisége mintánként változik (továbbá nem is ismert), a besugárzás után, a mérés megkezdése előtt célszerű 20 s ún. ''hűtési idő''t várni, mialatt az <sup>17</sup>N-től származó neutronok gyakorlatilag eltűnnek, és így a minta és a standardok oxigéntartalmának különbsége nem zavaró. Ebből következik,  hogy a 2. táblázat szerinti 3.÷6. későneutron-csoportok a mérés kezdetére szintén eltűnnek, tehát az urántartalom meghatározását a 22,72 s felezési idejű, elegendően nagy hozamú későneutron-csoportra érdemes alapozni. A hűtési idő növelése egyébként más szempontból is hasznos lehet, mivel rövid hűtési idők esetében az időmérés bizonytalansága (1 s-os felbontás) is nagyobb. A mérési időt úgy kell megválasztani, hogy a mérési idő végén a csökkenő későneutron-intenzitás még mindig jelentősen kiemelkedjék a háttérből. (A javasolt mérési időintervallum 20÷80 s.)
  
 
A szórás és a kimutatási határ számításához a háttér mérése is szükséges: üres tok
 
A szórás és a kimutatási határ számításához a háttér mérése is szükséges: üres tok
444. sor: 443. sor:
 
===A mérés kiértékelése===
 
===A mérés kiértékelése===
  
−
<big>Egy standard mérése</big>
 
  
−
A kiértékelés célja az ismeretlen minta uránkoncentrációjának meghatározása. Jelölje a mintára, illetve a standardra vonatkozó impulzusszámok összegét rendre N<sub>x</sub> és N<sub>std</sub>:
+
'''''Egy standard mérése'''''
 +
 
 +
A kiértékelés célja az ismeretlen minta uránkoncentrációjának meghatározása. Jelölje a mintára, illetve a standardra vonatkozó impulzusszámok összegét rendre ${N_\mathrm{x}}$ és ${N_\mathrm{std}}$:
  
 
{| width = "100%"
 
{| width = "100%"
 
|-
 
|-
 
| width = "10%" |
 
| width = "10%" |
−
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \displaystyle\sum{a}{b}ni,x \quad \quad \sum{g}{h} \]</latex></div>
+
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ N_\mathrm{x} = \sum_{i=20}^{80}n_\mathrm{i,x} \hspace{20mm} N_\mathrm{std} = \sum_{i=20}^{80}n_\mathrm{i,std} \]</latex></div>
−
| align = "right" | <span id="eq2"> (xxx) </span>
+
| align = "right" | <span id="eq2"> (15) </span>
 
|}
 
|}
  
  
  
−
ahol ${n_\textrm{i,x}}$ és ${n_\textrm{i,std}}$ az i-edik csatorna tartalma az ismeretlen mintára, illetve a standardra vonatkozóan. Hasonló módon kapjuk az ezekből levonandó hátteret:
+
ahol ${n_\mathrm{i,x}}$ és ${n_\mathrm{i,std}}$ az i-edik csatorna tartalma az ismeretlen mintára, illetve a standardra vonatkozóan. Hasonló módon kapjuk az ezekből levonandó hátteret:
  
 
{| width = "100%"
 
{| width = "100%"
 
|-
 
|-
 
| width = "10%" |
 
| width = "10%" |
−
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \sum{a}{b}ni,x \quad \quad \sum{g}{h} \]</latex></div>
+
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ H_{x} = \sum_{i=20}^{80}h_{i,x} \]</latex></div>
−
| align = "right" | <span id="eq2"> (uuu) </span>
+
| align = "right" | <span id="eq2"> (16) </span>
 
|}
 
|}
  
−
ahol ${h_\textrm{i,x}}$ az i-edik csatorna tartalma az ismeretlen mintához tartozó háttér mérésekor. Ha a
+
ahol ${h_\mathrm{i,x}}$ az i-edik csatorna tartalma az ismeretlen mintához tartozó háttér mérésekor. Ha a
−
standardot és az ismeretlen mintát időben egymáshoz közel mérjük, fel lehet tételezni, hogy ez a háttér érvényes a standardra is. Az általánosság kedvéért azonban megengedjük, hogy az utóbbihoz külön háttér, ${n_\textrm{std}}$ tartozzon. Az ismeretlen koncentrációt azzal a feltételezéssel határozzuk meg, hogy a minta ''fajlagos'' (egységnyi tömegre vonatkozó) beütésszáma a ''C uránkoncentrációval arányos:''
+
standardot és az ismeretlen mintát időben egymáshoz közel mérjük, fel lehet tételezni, hogy ez a háttér érvényes a standardra is. Az általánosság kedvéért azonban megengedjük, hogy az utóbbihoz külön háttér, ${H_\mathrm{std}}$ tartozzon. Az ismeretlen koncentrációt azzal a feltételezéssel határozzuk meg, hogy a minta ''fajlagos'' (egységnyi tömegre vonatkozó) beütésszáma a ''C uránkoncentrációval arányos:''
−
N H
+
 
−
m
+
{| width = "100%"
−
aC
+
|-
−
−
+
| width = "10%" |
−
= , (17)
+
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \frac{N-H}{m} = aC \]</latex></div>
−
ahol m a minta tömege, és a valamilyen (ismeretlen) arányossági tényező. Természetesen
+
| align = "right" | <span id="eq2"> (17) </span>
−
a (17) összefüggés nem a mért adatokra, hanem csak azok várható értékére érvényes.
+
|}
 +
 
 +
ahol ${m}$ a minta tömege, és ${a}$ valamilyen (ismeretlen) arányossági tényező. Természetesen
 +
a (17) összefüggés nem a ''mért adatokra'', hanem csak azok ''várható értékére'' érvényes.
 
Viszont a (17) összefüggés lehetővé teszi, hogy az egyik standardra kapott mérési adatok
 
Viszont a (17) összefüggés lehetővé teszi, hogy az egyik standardra kapott mérési adatok
 
alapján becslést adjunk az ismeretlen a paraméterre:
 
alapján becslést adjunk az ismeretlen a paraméterre:
−
~a
+
 
−
N H
+
{| width = "100%"
−
m C
+
|-
−
std std
+
| width = "10%" |
−
std std
+
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \tilde{a} = \frac{N_\mathrm{std}-H_\mathrm{std}}{m_\mathrm{std}-C_\mathrm{std}} \]</latex></div>
−
=
+
| align = "right" | <span id="eq2"> (18) </span>
−
−
+
|}
−
, (18)
+
 
−
ahol az “std” index a standardra vonatkozóan mért adatokra utal. Cstd a kiválasztott
+
ahol az "${\mathrm{std}}$" index a standardra vonatkozóan mért adatokra utal. ${C_\mathrm{std}}$ a kiválasztott
 
standard bizonylati koncentrációja (tömeg%, vö. 3. táblázat). Ennek alapján az ismeretlen
 
standard bizonylati koncentrációja (tömeg%, vö. 3. táblázat). Ennek alapján az ismeretlen
 
minta uránkoncentrációját a
 
minta uránkoncentrációját a
−
C N H
+
 
−
x m a
+
{| width = "100%"
−
x x
+
|-
−
x
+
| width = "10%" |
−
=
+
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ C_{x} = \frac{N_{x}-H_{x}}{m_{x}\tilde{a}} \]</latex></div>
−
−
+
| align = "right" | <span id="eq2"> (19) </span>
−
~ (19)
+
|}
−
képlettel becsüljük. Ha csak egy standardot mérünk, ez a képlet jelenti a kiértékelés
+
 
−
végét. Mielőtt a két standard esetét tárgyalnánk, adjuk meg a (19)-hez tartozó hibaszámítási
+
képlettel becsüljük. Ha csak egy standardot mérünk, ez a képlet jelenti a kiértékelés végét. Mielőtt a két standard esetét tárgyalnánk, adjuk meg a (19)-hez tartozó hibaszámítási képleteket.
−
képleteket.
+
 
−
14
+
Tekintve, hogy tömeget (az egyéb hibaforrásokhoz képest) nagy pontossággal tudunk mérni, ${m_\mathrm{x}}$ és ${m_\mathrm{std}}$ mérési hibáját elhanyagoljuk. A háttérrel csökkentett beütésszámok szórásnégyzetét a Poisson-eloszlás alapján becsüljük:
−
Tekintve, hogy tömeget (az egyéb hibaforrásokhoz képest) nagy pontossággal
+
 
−
tudunk mérni, mx és mstd mérési hibáját elhanyagoljuk. A háttérrel csökkentett beütésszámok
+
{| width = "100%"
−
szórásnégyzetét a Poisson-eloszlás alapján becsüljük:
+
|-
−
σs2td ≈ Nstd + Hstd és σ2x ≈ Nx + Hx . (20)
+
| width = "10%" |
−
Az a paraméter (18) szerint becsült értékének a szórásnégyzete:
+
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \sigma^{2}_{std} \approx N_{std}+H_{std} \hspace{20mm} \acute{e}s \hspace{20mm} \sigma^{2}_{x} \approx N_{x}+H_{x} \]</latex></div>
−
( )
+
| align = "right" | <span id="eq2"> (20) </span>
−
σ
+
|}
−
σ
+
 
−
a
+
Az ${a}$ paraméter (18) szerint becsült értékének a szórásnégyzete:
−
std std
+
 
−
std std
+
{| width = "100%"
−
C
+
|-
−
std
+
| width = "10%" |
−
a N H
+
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \sigma^{2}_{a} = {\tilde{a}}^2 \Bigg(\frac{N_{std}+H_{std}}{(N_{std}-H_{std})^2}+\frac{\sigma^2_{C_{std}}}{C^2_{std}}\Bigg) \]</latex></div>
−
N H C
+
| align = "right" | <span id="eq2"> (21a) </span>
−
2 2 std
+
|}
−
2
+
 
−
2
+
−
2 =
+
−
+
+
−
−
+
−
+
+
−
+
−
+
−

+
−
+
−
+
−

+
−
~ , (21a)
+
 
továbbá a (19) szerint számolt uránkoncentrációé:
 
továbbá a (19) szerint számolt uránkoncentrációé:
−
( )
+
 
−
σ
+
{| width = "100%"
−
σ
+
|-
−
C x
+
| width = "10%" |
−
x x
+
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \sigma^{2}_{C_{x}} = C^2_{x} \Bigg(\frac{N_{x}+H_{x}}{(N_{x}-H_{x})^2}+\frac{\sigma^2_{a}}{\tilde{a}^2}\Bigg) \]</latex></div>
−
x x
+
| align = "right" | <span id="eq2"> (21b) </span>
−
a
+
|}
−
x C N H
+
 
−
N H a
+
−
2 2
+
−
2
+
−
2
+
−
2 =
+
−
+
+
−
−
+
−
+
+
−
+
−
+
−

+
−
+
−
+
−

+
−
~ . (21b)
+
 
A (21) képletek levezetése a matematikai statisztikai elemeiből következik, ezért nem is
 
A (21) képletek levezetése a matematikai statisztikai elemeiből következik, ezért nem is
 
részletezzük.
 
részletezzük.
−
Két standard mérése
+
 
−
Amikor mindkét standardot mérjük, több kiértékelési módszer kínálkozik. A
+
 
−
legegyszerűbb az a paraméternek mindkét standard alapján való független becslése:
+
'''''Két standard mérése'''''
−
~a
+
 
−
N H
+
 
−
i m C
+
Amikor mindkét standardot mérjük, több kiértékelési módszer kínálkozik. A legegyszerűbb az a paraméternek mindkét standard alapján való független becslése:
−
i i
+
 
−
i i
+
{| width = "100%"
−
=
+
|-
−
−
+
| width = "10%" |
−
, (i = 1, 2) (22)
+
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \tilde{a}_{i} = \frac{N_{i}-H_{i}}{m_{i}C_{i}} \hspace{20mm} (i = 1,2) \]</latex></div>
−
ahol az “i” index az egyes standard mintákra mért adatokat jelöli. Az így kapott értékek
+
| align = "right" | <span id="eq2"> (22) </span>
 +
|}
 +
 
 +
ahol az "${i}$" index az egyes standard mintákra mért adatokat jelöli. Az így kapott értékek
 
szórásnégyzetét (21a) mintájára becsülhetjük:
 
szórásnégyzetét (21a) mintájára becsülhetjük:
−
( )
+
 
−
σ
+
{| width = "100%"
−
σ
+
|-
−
ai i
+
| width = "10%" |
−
i i
+
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \sigma^{2}_{ai} = {\tilde{a}_{i}}^2 \Bigg(\frac{N_{i}+H_{i}}{(N_{i}-H_{i})^2}+\frac{\sigma^2_{Ci}}{C^2_{i}}\Bigg) \hspace{20mm} (i = 1,2) \]</latex></div>
−
i i
+
| align = "right" | <span id="eq2"> (23) </span>
−
Ci
+
|}
−
i
+
 
−
a N H
+
Az ${a}$ paraméter végső értékét ezek súlyozott átlagolásával becsülhetjük:
−
N H C
+
 
−
2 2
+
{| width = "100%"
−
2
+
|-
−
2
+
| width = "10%" |
−
2 =
+
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \tilde{a} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{2}\tilde{a}_{i}/\sigma^2_{ai}}{\displaystyle\sum_{i=1}^{2}1/\sigma^2_{ai}} \]</latex></div>
−
+
+
| align = "right" | <span id="eq2"> (24a) </span>
−
−
+
|}
−
+
+
 
−
+
−
+
−

+
−
+
−
+
−

+
−
~ . (i = 1, 2) (23)
+
−
Az a paraméter végső értékét ezek súlyozott átlagolásával becsülhetjük:
+
−
~
+
−
~
+
−
a
+
−
ai ai
+
−
i
+
−
ai
+
−
i
+
−
= =
+
−
=
+
−
Σ
+
−
Σ
+
−
σ
+
−
σ
+
−
2
+
−
1
+
−
2
+
−
2
+
−
1
+
−
2
+
−
1
+
−
, (24a)
+
 
amelynek a szórásnégyzete:
 
amelynek a szórásnégyzete:
−
15
+
 
−
σ
+
{| width = "100%"
−
σ
+
|-
−
a
+
| width = "10%" |
−
ai
+
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \sigma^2_{a} = \frac{1}{\displaystyle\sum_{i=1}^{2}1/\sigma^2_{ai}} \]</latex></div>
−
i
+
| align = "right" | <span id="eq2"> (24b) </span>
−
2
+
|}
−
2
+
 
−
1
+
Kevésbé heurisztikus becslést kapunk, ha a (17) képletre alapozva az ${a}$ paramétert lineáris regresszióval becsüljük. Ez azt jelenti, hogy az ${a}$ paraméter függvényében keressük a
−
2
+
 
−
1
+
{| width = "100%"
−
1
+
|-
−
=
+
| width = "10%" |
−
= Σ
+
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ Q=\sum_{i=1}^{2}w_{i}\Bigg(\frac{N_{i}-H_{i}}{m_{i}}-aC_{i}\Bigg)^2 \]</latex></div>
−
. (24b)
+
| align = "right" | <span id="eq2"> (25a) </span>
−
Kevésbé heurisztikus becslést kapunk, ha a (17) képletre alapozva az a paramétert
+
|}
−
lineáris regresszióval becsüljük. Ez azt jelenti, hogy az a paraméter függvényében kereszsük
+
 
−
a
+
négyzetösszeg minimumát, amelyben a súlyok a mért mennyiségek szórásnégyzeteivel fejezhetők ki:
−
Q w N H
+
 
−
m
+
{| width = "100%"
−
i aC
+
|-
−
i i
+
| width = "10%" |
−
i
+
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ w^{-1}_{i} = \frac{N_{i}+H_{i}}{m^2_{i}}+a^2\sigma^2_{C_{i}} \]</latex></div>
−
i
+
| align = "right" | <span id="eq2"> (25b) </span>
−
i
+
|}
−
=
+
 
−
−
+
−
−
+
−
+
−
 
+
−
+
−
 
+
−
= Σ
+
−
2
+
−
1
+
−
2
+
−
(25a)
+
−
négyzetösszeg minimumát, amelyben a súlyok a mért mennyiségek szórásnégyzeteivel
+
−
fejezhetők ki:
+
−
w N H
+
−
m
+
−
i a
+
−
i i
+
−
i
+
−
Ci
+
−
− =
+
−
+
+
−
1 +
+
−
2
+
−
2σ2 . (25b)
+
 
Ennek a minimumproblémának a megoldása könnyen levezethető:
 
Ennek a minimumproblémának a megoldása könnyen levezethető:
−
~a
+
 
−
w CN H
+
{| width = "100%"
−
m
+
|-
−
w C
+
| width = "10%" |
−
i i
+
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \tilde{a} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{2}w_{i}C_{i}\frac{N_{i}-H_{i}}{m_{i}}}{\displaystyle\sum_{i=1}^{2}w_{i}C^2_{i}} \]</latex></div>
−
i i
+
| align = "right" | <span id="eq2"> (26a) </span>
−
i i
+
|}
−
i i
+
 
−
i
+
−
=
+
−
−
+
−
=
+
−
=
+
−
Σ
+
−
Σ
+
−
1
+
−
2
+
−
2
+
−
1
+
−
2 , (26a)
+
 
amelynek a szórásnégyzete:
 
amelynek a szórásnégyzete:
−
σa
+
 
−
i i
+
{| width = "100%"
−
i
+
|-
−
w C
+
| width = "10%" |
−
2
+
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ \sigma^2_{a} = \frac{1}{\displaystyle\sum_{i=1}^{2}w_{i}C^2_{i}} \]</latex></div>
−
2
+
| align = "right" | <span id="eq2"> (26b) </span>
−
1
+
|}
−
2
+
 
−
= 1
+
Tekintve, hogy a ${w_{i}}$ i súlyok a (25b) képlet szerint függnek az ${a}$ paramétertől, a (26a) képlet alkalmazása ${a}$-ra nézve iterációt igényel.<ref>Ennek az iterációnak a tulajdonságai erősen függnek az egyes szórások értékeitől. Ajánlatos, hogy az Olvasó a konkrét mérés esetében közelebbről ismerkedjen meg vele. Általános tendencia, hogy a (25b) szerinti súlyozás csökkenteni igyekszik a becsült értékét.</ref> A (24a) szerinti módszer ilyen iterációt nem tesz szükségessé.
−
= Σ
+
 
−
. (26b)
+
Akár a (22)÷(24) formulákat, akár a (25)÷(26) formulákat használjuk, az ismeretlen uránkoncentráció meghatározására a (19) és (21b) képleteket kell alkalmaznunk. A két kiértékelési mód egymással egyenértékű. Ajánlatos, hogy az Olvasó ezt bizonyítsa be. Útmutatás: a (23) képletben (de csak ott!) írjunk ${\tilde{a}^2_{i}}$ helyébe ${\tilde{a}^2}$ -t; ezután egyszerű algebrai átalakításokkal beláthatjuk, hogy (24a) és (24b) pontosan ugyanazt adja, mint (26a), illetve (26b). Kérdés: miért elég ennek bizonyítása a két becslés egyenértékűségének a belátásához?
−
Tekintve, hogy a wi súlyok a (25b) képlet szerint függnek az a paramétertől, a (26a)
+
 
−
képlet alkalmazása a-ra nézve iterációt igényel.9 A (24a) szerinti módszer ilyen iterációt
+
'''''Kimutatási határ'''''
−
nem tesz szükségessé.
+
 
−
Akár a (22)÷(24) formulákat, akár a (25)÷(26) formulákat használjuk, az ismeretlen
+
A kimutatási határ definíciójánál az urán mennyiség meghatározás alapjául szolgáló nettó impulzusszám háttérből való szignifikáns kiemelkedését kell biztosítani statisztikai kritériumok alapján, másként megfogalmazva azt kell eldöntenünk, hogy van-e effektus vagy nincs, és ennek a döntésnek a mennyiségi megalapozását kell megadnunk. A döntés során alapvetően kétféle hibát követhetünk el. Az első az úgynevezett elsőfajú hiba melynél azt feltételezzük, hogy a mért összegzett intenzitás egy része a minta urán tartalmától származik, pedig csak a háttér pozitív fluktuációjáról van szó. Másodfajú hibát akkor követünk el, ha mért impulzusszám egy része urántól származik, de úgy gondoljuk hogy ez csak a háttér véletlen fluktuációja.
−
uránkoncentráció meghatározására a (19) és (21b) képleteket kell alkalmaznunk. A
+
 
−
két kiértékelési mód egymással egyenértékű. Ajánlatos, hogy az Olvasó ezt bizonyítsa be.
+
Az elsőfajú hiba ellen bizonyos megbízhatósági szinten - centrált normális zaj feltételezéssel - , úgy védhetjük magunkat, hogy a hasznos jel komponenstől elvárjuk, hogy a háttér szórását a konfidencia szinttől függő mértékben haladja meg.
−
Útmutatás: a (23) képletben (de csak ott!) írjunk ~ai
+
 
−
2 helyébe ~a 2 -t; ezután egyszerű
+
{| width = "100%"
−
algebrai átalakításokkal beláthatjuk, hogy (24a) és (24b) pontosan ugyanazt adja, mint
+
|-
−
(26a), illetve (26b). Kérdés: miért elég ennek bizonyítása a két becslés egyenértékűségének
+
| width = "10%" |
−
a belátásához?
+
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ L_{c1} = k_{1}\sigma_{h} = k_{1}\sqrt{N_{h}} \]</latex></div>
−
9 Ennek az iterációnak a tulajdonságai erősen függnek az egyes szórások értékeitől. Ajánlatos, hogy az
+
| align = "right" | <span id="eq2"> </span>
−
Olvasó a konkrét mérés esetében közelebbről ismerkedjen meg vele. Általános tendencia, hogy a (25b)
+
|}
−
szerinti súlyozás csökkenteni igyekszik a becsült értékét.
+
 
−
16
+
Ahol ${k_{1}}$ az elsőfajú hibára vonatkozó szignifikancia szinttől függő egyoldali kvantilis.
−
Kimutatási határ
+
 
−
A kimutatási határ definíciójánál az urán mennyiség meghatározás alapjául szolgáló nettó
+
A másodfajú hiba valószínűsége általában valamilyen konkrét ellenhipotézis formájában fogalmazható meg. Itt ésszerű kiindulás az, hogy feltételezünk egy ${L_{c2}}$ nagyságú nettó effektust, melynek meg kell haladnia az előbb definiált ${L_{c1}}$ szintet olyan mértékben, hogy az alá ${L_{c2}}$ bizonyos szintű negatív fluktuációi révén se kerülhessen. Azaz ${L_{c2}}$ legyen ${L_{c1}}$ plusz ${L_{c2}}$ szórásának megfelelő kvantilissel vett szorzata:
−
impulzusszám háttérből való szignifikáns kiemelkedését kell biztosítani statisztikai
+
 
−
kritériumok alapján, másként megfogalmazva azt kell eldöntenünk, hogy van-e effektus
+
{| width = "100%"
−
vagy nincs, és ennek a döntésnek a mennyiségi megalapozását kell megadnunk. A döntés
+
|-
−
során alapvetően kétféle hibát követhetünk el. Az első az úgynevezett elsőfajú hiba
+
| width = "10%" |
−
melynél azt feltételezzük, hogy a mért összegzett intenzitás egy része a minta urán
+
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ L_{c2} = L_{c1} + k_{2}\sqrt{\sigma^2_{L_{c2}}+\sigma^2_{h}} \]</latex></div>
−
tartalmától származik, pedig csak a háttér pozitív fluktuációjáról van szó. Másodfajú
+
| align = "right" | <span id="eq2"> </span>
−
hibát akkor követünk el, ha mért impulzusszám egy része urántól származik, de úgy
+
|}
−
gondoljuk hogy ez csak a háttér véletlen fluktuációja.
+
 
−
Az elsőfajú hiba ellen bizonyos megbízhatósági szinten - centrált normális zaj feltételezéssel
+
Ahol ${k_{2}}$ a másodfajú hibára vonatkozó szignifikancia szinthez tartozó kvantilis. Ha ${k_{2}}$ = ${k_{1}}$ feltételből indulunk ki (ettől való eltérés a kétféle hibából eredő kockázat alapján lehetséges), akkor a háttérből még szignifikánsan kiemelkedő impulzusszám:
−
- , úgy védhetjük magunkat, hogy a hasznos jel komponenstől elvárjuk, hogy a
+
 
−
háttér szórását a konfidencia szinttől függő mértékben haladja meg.
+
{| width = "100%"
−
Lc1 = k1σh = k1 Nh
+
|-
−
Ahol k1 az elsőfajú hibára vonatkozó szignifikancia szinttől függő egyoldali kvantilis.
+
| width = "10%" |
−
A másodfajú hiba valószínűsége általában valamilyen konkrét ellenhipotézis formájában
+
| width = "80%" | <div class="texdisplay"><latex display >\[ L_{c2} = k^2 + 2L_{c1} = k^2 + 2k\sqrt{N_{h}} \]</latex></div>
−
fogalmazható meg. Itt ésszerű kiindulás az, hogy feltételezünk egy Lc2 nagyságú nettó effektust,
+
| align = "right" | <span id="eq2"> </span>
−
melynek meg kell haladnia az előbb definiált Lc1 szintet olyan mértékben, hogy
+
|}
−
az alá Lc2 bizonyos szintű negatív fluktuációi révén se kerülhessen. Azaz Lc2 legyen Lc1
+
 
−
plusz Lc2 szórásának megfelelő kvantilissel vett szorzata:
+
E mennyiséget kell a standardnál mérhető impulzusszámhoz hasonlítani, hogy a urán mennyiségre vonatkozó kimutatási határ értéket megkapjuk.
−
Lc2 Lc1 k2 Lc h
+
−
2 2
+
−
2 = + σ + σ
+
−
Ahol k2 a másodfajú hibára vonatkozó szignifikancia szinthez tartozó kvantilis. Ha k2 =
+
−
k1 feltételből indulunk ki (ettől való eltérés a kétféle hibából eredő kockázat alapján
+
−
lehetséges), akkor a háttérből még szignifikánsan kiemelkedő impulzusszám:
+
−
Lc2 k c k k Nh
+
−
2
+
−
1
+
−
= + 2L = 2 + 2
+
−
E mennyiséget kell a standardnál mérhető impulzusszámhoz hasonlítani, hogy a urán
+
−
mennyiségre vonatkozó kimutatási határ értéket megkapjuk.
+
  
 
==Ellenőrző kérdések==
 
==Ellenőrző kérdések==
755. sor: 657. sor:
 
# Mi a periódus idő?
 
# Mi a periódus idő?
 
# Mi a szerepe a késő neutronoknak a reaktor szabályzásban?
 
# Mi a szerepe a késő neutronoknak a reaktor szabályzásban?
−
# Ismertesse a késő neutronok mérésénél alkalmazott módszert
+
# Ismertesse a késő neutronok mérésénél alkalmazott módszert!
 
# Milyen csoportokba sorolhatjuk a késő neutronokat és minek alapján?
 
# Milyen csoportokba sorolhatjuk a késő neutronokat és minek alapján?
 
# Ismertesse az uránkoncentráció meghatározás elvét!
 
# Ismertesse az uránkoncentráció meghatározás elvét!
766. sor: 668. sor:
 
# Kiss D., Quittner P., Neutronfizika, Akadémiai Kiadó, Budapest 1971.
 
# Kiss D., Quittner P., Neutronfizika, Akadémiai Kiadó, Budapest 1971.
 
# Szatmáry Z., Bevezetés a reaktorfizikába, Egyetemi jegyzet (ELTE), 1991.
 
# Szatmáry Z., Bevezetés a reaktorfizikába, Egyetemi jegyzet (ELTE), 1991.
 +
 +
==Külső hivatkozások==
 +
 +
A Későneutron-paraméterek vizsgálata, uránkoncentráció meghatározása laborjegyzet forrása elérhető a [http://www.reak.bme.hu/uploads/media/08_Kesoneutron_parameterek_meghatarozasa_01.pdf] linken:
 +
 +
==Lábjegyzetek==
 +
 +
 +
<references />

A lap jelenlegi, 2018. november 15., 12:32-kori változata



Tartalomjegyzék


Bevezetés

Az 235U atommag egy neutron befogását követő hasadása során keletkező instabil közbenső mag két hasadványmagra[1] hasad, ezenkívül hasadásonként néhány (235U esetében átlagosan 2,47) neutron szabadul fel. A keletkező neutronok több mint 99%-a a hasadást követő 10-12 s-on belül emittálódik. Ezeket a neutronokat prompt neutronoknak nevezzük. Az ezt követően - akár néhány perccel később - kibocsátott neutronok az ún. késő neutronok. Bár ezek mennyisége a prompt neutronokéhoz viszonyítva kicsi (235U esetében az össz-neutronszámnak csupán 0,64%-a), jelentőségük igen nagy a reaktorok szabályozhatósága szempontjából.


Elméleti összefoglalás

Az 235U termikus befogását követően létrejött közbenső mag sokféle (több 100) különböző módon hasadhat szét. Egy ilyen lehetőség például a következő:

235U+n ⇒ 236U* ⇒ 90Kr+143Ba+3n

A hasadási termékek száma igen nagy. A hasadványok relatív gyakoriságának tömegszám szerinti eloszlását az 1. ábrán láthatjuk. Megállapítható, hogy a görbének a 95 és a 140 tömegszám közelében egy-egy maximuma van. A hasadásban közvetlenül keletkező primer hasadási termékek nagy neutronfelesleggel rendelkeznek az azonos tömegszámú stabil atommagokhoz képest. A hasadási termékek az esetek döntő többségében sorozatos izobár magátalakulással, \setbox0\hbox{${\beta^{-}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-bomlással szabadulnak meg neutronfeleslegüktől, és így közelítik meg a stabil \setbox0\hbox{${N-Z}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% görbét. A fent bemutatott hasadványpár esetében a következő két bomlássorozat megy végbe:


\[ {^{90}Kr\frac{\beta^{-}}{33s}} \to {^{90}Rb\frac{\beta^{-}}{2.7min}} \to {^{90}Sr\frac{\beta^{-}}{28y}} \to {^{90}Y\frac{\beta^{-}}{64h}} \to {^{90}Zr} (stabil) \]
\[ {^{143}Ba\frac{\beta^{-}}{0.5min}} \to {^{143}La\frac{\beta^{-}}{12min}} \to {^{143}Ce\frac{\beta^{-}}{33h}} \to {^{143}Pr\frac{\beta^{-}}{13.7d}} \to {^{143}}Nd (stabil) \]

A vonalak alatti idők a \setbox0\hbox{${\beta^{-}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-bomlások felezési idejét jelentik.

1.ábra: Az 235U hasadási termékeinek tömegszám szerinti eloszlása

A prompt és késő neutronok keletkezése a hasadás során

Amint a bevezetőben említettük, a hasadás során keletkező neutronok csaknem mindegyike - több mint 99%-a - a hasadást követően szinte azonnal, számottevő késés nélkül keletkezik. Ezek a prompt neutronok, amelyeket a hasadványok bocsátják ki. Gerjesztési energiájuk ugyanis általában sokkal nagyobb mint egy neutron szeparációs energiája. Az ilyen gerjesztett állapotok neutronemisszióval történő bomlásának az ideje 10-15 s (10-14 s - 10-12 s) vagy kisebb. Nem minden hasadvány emittál neutronokat, néhányuk esetében a legerjesztődés történhet \setbox0\hbox{${\gamma}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% emisszióval is.

Ezt követően a hasadási termékek \setbox0\hbox{${\beta}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-bomlással szabadulnak meg neutronfeleslegüktől, és további neutron-kibocsátás általában már nem történik. Némelyikük izobár átalakulása azonban olyan leányelem képződéséhez vezet, amelyikben a gerjesztési energia nagyobb, mint a neutron szeparációs energiája. Ekkor a \setbox0\hbox{${(Z, N)}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% rendszámú, illetve neutronszámú hasadási termék magjából magasan gerjesztett állapotú \setbox0\hbox{${(Z+1, N-1)}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% mag keletkezik, amely "azonnal" kibocsát egy neutront, és átalakul a \setbox0\hbox{${(Z+1, N-2)}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% maggá. Így keletkeznek az ún. késő neutronok. A \setbox0\hbox{${(Z, N)}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% magot későneutron-anyamagnak, a \setbox0\hbox{${(Z+1, N-1)}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% magot pedig későneutron-emitternek nevezzük. Az ily módon keletkező késő neutronok esetében a maghasadás pillanatától számított teljes késési idő várható értékét az anyamag \setbox0\hbox{${\beta}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-bomlásának felezési ideje szabja meg. Megállapíthatjuk továbbá, hogy az anyamagok \setbox0\hbox{${\beta}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-bomlását követően létrejött emitter magok esetében a gerjesztési energia kisebb, mint a közvetlen hasadási termékek esetében, emiatt a késő neutronok átlagos energiája számottevően kisebb (300÷600 keV), mint a prompt neutronoké (átlagosan 2 MeV).

A hasadásban keletkező neutronok teljes hozama (száma, \setbox0\hbox{${\nu}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) a prompt neutronok és a késő neutronok hozamából (\setbox0\hbox{${\nu_{p}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, illetve \setbox0\hbox{${\nu_{k}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) tevődik össze.

\[ \nu =\nu_{p}+\nu_{k} \]

A késő neutronok mennyiségét szokás még az ún. későneutron-hányad formájában is kifejezni:

\[ \beta=\frac{\nu_{k}}{\nu} \]
 (1)

A 2. ábrán a későneutron-hozamnak a hasadást kiváltó neutron energiájától való függését mutatjuk be 235U és 239Pu esetére.

2.ábra: A későneutron-hozam a hasadást kiváltó neutronenergiájának a függvényében

A görbékből megállapítható, hogy a későneutron-hozam a 0 ≤ En ≤ 4 MeV intervallumban gyakorlatilag független a hasadást kiváltó neutronok energiájától.

A teljes későneutron-hozamok értékei jelentősen függnek a hasadóképes izotóptól. Az 1. táblázatban bemutatott értékekből azonban kétféle szabályt mégis megfigyelhetünk:

  • Egy adott elemre vonatkozóan a későneutron-hozam növekszik a tömegszámmal \setbox0\hbox{${(A)}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.
  • A későneutron-hozam csökken a protonszámmal \setbox0\hbox{${(Z)}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.


1. táblázat

Teljes későneutron-hozamok (későneutron-szám per 100 hasadás) különböző

izotópoknak termikus neutronok által kiváltott hasadásaira
hasadóképes mag \setbox0\hbox{${\nu}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%k (neutron/100 hasadás)
233U 0,667 \setbox0\hbox{$\pm$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% 0,0029
235U 1,621 \setbox0\hbox{$\pm$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% 0,0500
238U* 4,390 \setbox0\hbox{$\pm$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% 0,1000
239Pu 0,628 \setbox0\hbox{$\pm$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% 0,0380
240Pu* 0,950 \setbox0\hbox{$\pm$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% 0,0800
241Pu 1,520 \setbox0\hbox{$\pm$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% 0,1100
242Pu* 2,210 \setbox0\hbox{$\pm$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% 0,2600

* Gyors neutron által kiváltott hasadásokra vonatkozó adat

A későneutron-csoportok

A magfizikusok eddig 66 különböző későneutron-anyamagot azonosítottak.[2] Felezési időik 0,12 s és 78 s között változik, emiatt az általuk keltett késő neutronok jelentősen különböző késleltetési időkkel jelennek meg. Reaktorkinetikai számításokban a késő neutronok korrekt kezelése ennek megfelelően az lenne, ha valamennyi anyamagot a saját felezési idejével és hozamával vennénk figyelembe. Ezzel kapcsolatban két fő probléma merül fel:

  • Az anyamagok nagy száma miatt a feladat nagyon elbonyolódna.
  • Az egyes anyamagok bomlási sémája, felezési ideje, részaránya nem kellő pontossággal ismert.


G. R. Keepin dolgozta ki kísérleti úton a számítások számára kielégítő közelítést a későneutron-adatok kondenzált kezelésével, azaz a későneutron-csoportok létrehozásával. Hasonlóan a mai gyakorlaton elvégzendő méréshez, hasadóanyagból készített mintát rövid ideig tartó neutron-besugárzásnak tett ki. A besugárzott mintában bekövetkezett hasadások révén nagy számú anyamag keletkezett, amelyek a besugárzást követően felezési idejük szerint lecsengő későneutron-forrásként működtek - \setbox0\hbox{${S_{k}(t)}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Ha a mintában a besugárzás során bekövetkezett hasadási reakciók száma \setbox0\hbox{${n_\mathrm{f}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% volt, akkor a keltett anyamagok száma \setbox0\hbox{${\nu_{k}}n_\mathrm{f}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Az \setbox0\hbox{${S_{k}(t)}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvény ezen anyamagok lebomlását, és ennélfogva a késő neutronok keletkezésének időbeli alakulását írja le. A 3. ábrán egy ilyen görbe látható a 87Br izotópnak, egy tipikus anyamagnak a bomlási-görbéjével együtt.

3.ábra: A későneutron-forráserősség csökkenése az idő függvényében

Az \setbox0\hbox{${S_\textrm{k}}(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% bomlási görbe az összes anyamag járulékos bomlásgörbéinek bonyolult szuperpoziciója. Keepin szerint az \setbox0\hbox{${S_\textrm{k}}(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% jól közelíthető hat exponenciális függvény összegével:

\[ S_\textrm{k}(t) = n_\textrm{f}\sum_{i=1}^6\nu_\textrm{ki}\lambda_\textrm{ki}e^{{-\lambda_\textrm{ki}}t} \]
 (2)


ahol

\setbox0\hbox{$\nu_\mathrm{ki}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%  : az i-edik későneutron-csoport hozama
\setbox0\hbox{$\lambda_\mathrm{ki}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%  : az i-edik későneutron-csoport bomlási állandója


Az \setbox0\hbox{${S_{k}}(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvény a fenti közelítésben olyan későneutron-forrásfüggvényt reprezentál, amelyben mindegyik csoport saját \setbox0\hbox{$\nu_{ki}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% későneutron-hozammal, átlagos \setbox0\hbox{$\lambda_{ki}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% bomlási állandóval, ill. az ennek megfelelő átlagos felezési idővel rendelkezik. Három különböző hasadóképes izotópra (235U, 239Pu, 233U) a későneutron-csoportok főbb adatait a 2. táblázatban foglaltuk össze. Ez a hatcsoportos későneutron-struktúra általánosan használatos a reaktorkinetikában.


2. táblázat

A későneutron-csoportok adatai három hasadóképes izotópra

késő neutronok lehetséges anyamagjai közepes energia (MeV) anyamagok átlagos felezési ideje (s) késő neutronok részaránya az összes hasadási neutronhoz viszonyítva (%)
235U 239Pu 233U 235U 239Pu 233U
1 87Br, 142Cs 0,25 55,72 54,28 55,0 0,021 0,0072 0,0226
2 137I, 88Br 0,56 22,72 23,04 20,57 0,140 0,0626 0,0786
3 138I, 89Br, (93, 94)Rb 0,43 6,22 5,60 5,00 0,126 0,0444 0,0658
4 139I, (93, 94)Kr, 143Xe, (90, 92)Br 0,62 2,3 2,13 2,13 0,252 0,0685 0,0730
5 140I, 145Cs 0,42 0,61 0,618 0,615 0,074 0,018 0,0135
6 (Br, Rb, As stb.) - 0,23 0,257 0,277 0,027 0,0093 0,0087
összesen: 0,64 0,21 0,26


A késő neutronok hatása a neutronfluxus időbeni változására

[3]

Ha egy termikus reaktor időben állandósult állapotban üzemel, akkor az egymást követő neutrongenerációk neutronszámának hányadosát jelentő effektív sokszorozási tényező, \setbox0\hbox{${k_\textrm{eff}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% éppen egységnyi. A reaktor teljesítményének növelésekor vagy csökkenésekor a sokszorozási tényező 1-től eltér:

\[ \Delta k_\mathrm{eff} = k_\mathrm{eff}-1 \]

A \setbox0\hbox{$\rho$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% reaktivitás definíció szerint a következő:

\[ \rho = \frac{\Delta k_\mathrm{eff}}{k_\mathrm{eff}} = \frac{k_\mathrm{eff}-1}{k_\mathrm{eff}} \]
 (3)

Időben állandósult állapotban \setbox0\hbox{$\rho$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% = 0. A szokásos körülmények közötti teljesítményváltoztatások az állandósult állapothoz közeli állapotokon keresztül mennek végbe, és ekkor jó közelítéssel \setbox0\hbox{${\rho \approx \Delta{k}_\mathrm{eff}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Minthogy \setbox0\hbox{${ \Delta{k}_\mathrm{eff} }$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% jelenti a neutronszám növekedési arányát az egyik generáció és a soron következő generáció között, a teljes neutronszámnak egy generáció élete során bekövetkező növekedése \setbox0\hbox{${n \Delta{k}_\mathrm{eff} }$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-fel egyenlő, ahol \setbox0\hbox{${n}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a neutronszám az induló neutronpopulációban. Ha a neutronok átlagos élettartama \setbox0\hbox{${\ell}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, akkor a neutronszám időegység alatti változását a következő differenciálegyenlet adja meg:

\[ \frac{dn}{dt} = \frac{n\Delta k_\mathrm{eff}}{\ell}. \]
 (4)

Feltételezve azt, hogy \setbox0\hbox{${ \Delta k_\mathrm{eff} }$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% nem függ az időtől, integrálással kapjuk:

\[ n(t) = n(t_0) \exp \Big( \frac{\Delta k_\mathrm{eff}}{\ell}t \Big) \]
 (5)

Az oktatóreaktorban \setbox0\hbox{${ \ell}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% = 7 \setbox0\hbox{${\times}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% 10-5 sec. Definiáljuk a reaktor periódusidejét \setbox0\hbox{${(T)}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%: az az idő, amely alatt a neutronszám az \setbox0\hbox{${e}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-szeresére változik (\setbox0\hbox{${e}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% = 2,7172...), (5) alapján tehát:


\[ T = \frac{\ell}{\Delta{k}_\mathrm{eff}}. \]
 (6)

A neutronszámra felírt összefüggés átvihető közelítőleg (egycsoportos elmélet) a neutronsűrűségre és ezen keresztül a neutronfluxusra és a reaktorteljesítményre is:

\[ n(t)=n(t_{0})e^{\frac{t}{T}} \]
 (5a)


Az időben állandó, stacioner üzemű reaktorban \setbox0\hbox{${ n(t) = n(t_{0}) }$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% = konst., tehát \setbox0\hbox{${T}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% végtelen. A reaktor periódusideje rendkívül fontos mennyiség a változó teljesítményű reaktor biztonsága szempontjából. Minden reaktorba beépítenek olyan biztonságvédelmi rendszert, amely azonnal leállítja a reaktort, ha a periódusidő a szabályozhatóság lehetőségeit tekintve túlságosan kicsiny. Ha nem üzemelne periódusidő-védelem, a 7÷10 s-nál rövidebb periódusidő már kifejezetten veszélyes állapotot jelentene.

A késő neutronok fontosságának a kidomborítása érdekében határozzuk meg a periódusidőt abban az esetben, amikor a reaktivitás \setbox0\hbox{${\rho}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% = 0,25%[4], de csak a prompt neutronokat figyelembe véve. Mivel \setbox0\hbox{${\Delta k_\mathrm{eff} \approx \rho}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% = 0,0025, (6) alapján a periódusidőre a következő adódik:

\[ T = \frac{\ell}{\Delta{k}_\mathrm{eff}} = \frac{0,00007}{0,0025} = 0,028 s \]

Ezt azt jelenti, hogy 1 s alatt a neutronszám

\[ \frac{n(1s)}{n(0)} = e^{\frac{1s}{0,028s}}= e^{35,7}=3\times 10^{15} \]


szeresére nő. Semmilyen szabályozórendszer (amely mechanikus elemeket is tartalmaz) nem tudja követni ezt a gyors felfutást. "Szerencsére" a késő neutronok bizonyos feltételek között jelentősen lelassítják a növekedési ütemet, és ezzel lehetővé teszik a reaktorok szabályozását.

A késő neutronok hatásának a megvilágítása érdekében leegyszerűsítjük a tárgyalást: csak egyetlen, átlagos későneutron-csoportot veszünk figyelembe[5] Ha a 2. táblázatban az 235U-ra adott felezési időket átlagoljuk, 9 s-t kapunk, vagyis a (2) alatti hat bomlási állandót az átlagos

\[ \bar{\lambda}=\frac{\log 2}{9s}=0,077s^{-1} \]

bomlási állandóval helyettesítjük. Ha \setbox0\hbox{${C(t)}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-vel jelöljük a t időpillanatban a reaktorban levő későneutron-anyamagok számát, akkor 1 s alatt \setbox0\hbox{${\bar{\lambda}C(t)}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% késő neutron keletkezik. Ennek megfelelően a (4) egyenlet az alábbi alakba megy át:

\[ \frac{dn}{dt}=\frac{nk_{\mathrm{eff}}(1-\beta)-n}{\ell}+\bar{\lambda}\textit{C(t)} \]
 (7a)

amelynek a jobb oldalán az első tag a prompt, a második tag pedig a késő neutronok által képviselt neutronsokszorozást fejezi ki. Ezt az egyenletet ki kell egészítenünk a későneutron-anyamagok számát megszabó egyenlettel:

\[ \frac{dC}{dt}=-\bar{{\lambda}}\textit{C(t)}+\frac{nk_{\mathrm{eff}}{\beta}}{\ell} \]
 (7b)


A jobboldal első tagja az 1 s alatt elbomló, a második tag pedig az 1 s alatt a hasadásokban keletkező anyamagok számát adja meg.[6] Nézzük meg ezután, mennyiben növelik a késő neutronok a reaktorperiódust!

(5a) mintájára a (7) egyenletrendszer megoldását az alábbi alakban keressük:

\[ n(t) = n_{0}e^{t/T} \quad \quad \textrm{és} \quad \quad C(t)=C_{0}e^{t/T} \]

Ha ezt (7)-be helyettesítjük, elemi számolás után \setbox0\hbox{${T}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-re a következő egyenletet kapjuk:

\[ \frac{\rho}{\beta}=\frac{\ell/(\mathrm{k}_{\mathrm{eff}}\beta)}{T}+\frac{1}{1+\bar{\lambda}T} \]
 (8)

ahol felhasználtuk a (3) alatt definiált reaktivitást. Amikor ennek az egyenletnek a megfelelőjét 6 későneutron-csoport figyelembe vételével vezetjük le, akkor a kapott egyenletet reciprokóra egyenletnek nevezzük.

Adott reaktivitás mellett a (8) egyenlet a \setbox0\hbox{${T}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% periódusidőre vonatkozóan másodfokú egyenlet:

\[ \frac{\rho}{\beta}\bar{\lambda}T^{2}+\Big(\frac{\rho}{\beta}-\frac{\ell\bar{\lambda}}{\mathrm{k}_{e\mathrm{ff}}\beta}-1\Big)T-\frac{\ell}{k_{e\mathrm{ff}}\beta}=0 \]
 (9)

Jelöljük a két gyököt \setbox0\hbox{${T_{1}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-gyel és \setbox0\hbox{${T_{2}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-vel. Ezek felhasználásával a neutronszám időfüggése

\[ n(t)=n_{1}e^{t/T_{1}}+n_{2}e^{t/T_{2}} \]
 (10)

alakban adódik, ahol az \setbox0\hbox{${n_{1}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{${n_{2}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% állandók a kezdeti feltételektől függnek. Ha a \setbox0\hbox{${\rho}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% reaktivitás negatív (vagyis \setbox0\hbox{${k_\mathrm{eff}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% < 1, tehát a reaktor szubkritikus), a (9) egyenlet mindhárom együtthatója negatív, tehát mindkét gyök negatív[7], vagyis a neutronszám (10) szerint a kezdeti feltételektől függetlenül időben csökken. Ha azonban a \setbox0\hbox{${\rho}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% reaktivitás pozitív (vagyis \setbox0\hbox{${k_\mathrm{eff}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% > 1, tehát a reaktor szuperkritikus), a (9) egyenlet első együtthatója pozitív, a harmadik pedig továbbra is negatív. A reaktivitástól függően a második együttható lehet negatív is, pozitív is. Mindkét esetben azonban van egy előjelváltás és egy előjelkövetés, vagyis a két gyök közül az egyik negatív, a másik pozitív. Legyen az utóbbi \setbox0\hbox{${T_{1}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Ekkor elegendően nagy \setbox0\hbox{${t}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% idő elteltével (10) átmegy az

\[ n(t)=n_{1}e^{t/T_{1}} \hspace{20mm} (\textit{t}\gg\textit{T}_{2}) \]
 (11)

alakba. A késő neutronok jelenlétében is igaz marad tehát, hogy egy magára hagyott szuperkritikus reaktorban a neutronszám exponenciálisan nő. Döntő viszont az időállandó nagysága. Vegyük fel a következő számértékeket:

\[ \beta=0,0064 \hspace{10mm} \ell=7 \times 10^{-5} \hspace{10mm} \rho=0,0025 \hspace{10mm} \bar\lambda=0,077s^{-1} \hspace{10mm} k_{\textrm{eff}} = 1,0025 \]

Ezeket (9)-be helyettesítve \setbox0\hbox{${T}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%1 = 20,31 s adódik, ami lényegesen nagyobb idő, mint a késő neutronok nélkül kapott 0,028 s. Ez a számpélda jól mutatja a lényeget: a késő neutronok hatására a periódusidő olyan mértékben megnő, hogy a neutronszám növekedését külső eszközökkel biztonságosan befolyásolni lehet.

Ez az állítás azonban csak addig érvényes, amíg a reaktivitás nem túlságosan nagy, pontosabban, amíg \setbox0\hbox{${\rho/\beta}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% < 1. Amíg ez fennáll, a (9) egyenletben az \setbox0\hbox{${\ell}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-et tartalmazó tagok elhanyagolhatók, vagyis a pozitív periódus közelítőleg így írható:

\[ T_{1} \approx \frac{\beta-\rho}{\rho\bar{\lambda}} \hspace{30mm} (\rho/\beta<1) \]
 (12a)

A fenti számpéldában ez a közelítés \setbox0\hbox{${T}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%1 = 20,26 s-t ad, tehát a közelítő képlet elég pontos. Minőségileg megváltozik azonban a helyzet, amikor \setbox0\hbox{${\rho/\beta}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% > 1. Ekkor ugyanis (9)-ben a második tag együtthatója pozitívra vált, és az egyenlet pozitív gyökét más képlettel kell közelíteni:[8]

\[ T_{1} \approx \frac{\ell}{k_{\textrm{eff}}(\rho-\beta)} \hspace{20mm} (\rho/\beta>1) \]
 (12b)

Például, \setbox0\hbox{${\rho/\beta}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%=1,1 esetén (\setbox0\hbox{${ k_\mathrm{eff} }$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% = 1,0071) a (12b) képlet szerint \setbox0\hbox{${T_{1}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% = 0,109 s, azaz a reaktor ismét szabályozhatatlanná válik. A pontos érték \setbox0\hbox{${T_{1}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% = 0,099 s Azt találtuk tehát, a reaktor csak addig szabályozható, amíg \setbox0\hbox{${\rho/\beta}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% < 1, vagyis \setbox0\hbox{${k_\mathrm{eff}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% < 1+\setbox0\hbox{${\beta}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% (közelítőleg). Más szavakkal a szabályozhatóság szükséges feltételét úgy szoktuk kifejezni, hogy a reaktor a késő neutronok nélkül legyen szubkritikus. Ha azonban a reaktor már a késő neutronok nélkül is szuperkritikus (vagyis ha \setbox0\hbox{${\rho/\beta}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% > 1), a reaktor szabályozhatatlanná válik, megszalad. Az ilyen reaktorállapotot prompt szuperkritikus állapotnak nevezzük, amelynek a fellépte súlyos reaktorbalesetnek minősül.

Az elmondottakból következik, hogy a \setbox0\hbox{$\beta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% későneutron-hányadnak a reaktorszabályozás szempontjából döntő jelentősége van. Erre való tekintettel ezt választjuk a reaktivitás egységének is. Ennek az egységnek a neve: dollár, egy reaktor reaktivitása 1 dollár, ha \setbox0\hbox{${\rho/\beta}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%=1. Mint láttuk, a gyakorlatban ezt a reaktorállapotot kerülni kell, ezért a gyakorlatban ennek az egységnek a 100-ad részét, a centet ( ˘ ) használjuk, egy reaktor reaktivitása 1˘, ha \setbox0\hbox{${\rho/\beta}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% = 0,01.

Későneutron paraméterek meghatározása

A méréshez szükséges eszközök, anyagok

  • Reaktor és besugárzó csőposta
  • besugárzandó urán fólia csőposta-tokban
  • moderátorral töltött mérőedény
  • neutrondetektor-gyűrű 6 db detektorból (3He)
  • mérő elektronika (tápegység, diszkriminátor)
  • PC sokcsatornás analizátorkártyával (multiscaler - időanalizátor)

A mérés menete

A reaktor aktív zónájában besugárzott természetes urán fólia a csőposta segítségével (kb. 3 s-os szállítási idő után) a mérőhelyre kerül. A besugárzást követően a mérőedényben elhelyezett neutrondetektorok mérik a fólia időben csökkenő későneutron-intenzitását. Az intenzitás időbeli változásának rögzítése az analizátorkártyával történik, amely a detektorok diszkriminált jeleit összegzi a megadott léptetési időtartam alatt (1 s). A léptetési időtartam alatt gyűjtött impulzusok időbeli sorrendjüknek megfelelően egymás utáni csatornákban tárolódnak. Amint azt az elméleti összefoglalóban láttuk, a későneutron-intenzitásnak ez a változása nem más, mint különböző felezési idejű exponenciális bomlási görbék lineáris szuperpozíciója. A későneutron-intenzitás mért értékeiből a kiértékeléskor lépésről-lépésre meghatározzuk és levonjuk a leghosszabb felezési idejű exponenciális komponenseket.

A reaktor 1 kW-os teljesítményénél az urán fóliát tartalmazó tok a csőposta segítségével az aktív zónába kerül. A meghatározott besugárzási idő elteltével a minta automatikusan kerül a mérő pozícióba. A minta mozgását érzékelő, és a csőpostát vezérlő fotocella jele a méréshez startjelként használható. (Figyelem: a mozgásérzékelő befelé menet is jelez!)

A paraffin moderátorral töltött mérőedényben 6 db, párhuzamosan kapcsolt 3He töltésű neutron-számlálócső van elhelyezve. A termikus neutronenergiák tartományában érzékeny detektorok miatt a detektálandó késő neutronokat le kell lassítani. Éppen erre szolgál a mérőedényben levő moderátor. A neutronok lelassulási ideje elhanyagolhatóan kicsi (kb. 1\setbox0\hbox{${\mu}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%s.), még a gyakorlatilag mérhető legrövidebb felezési idejű késő neutronok késleltetési idejéhez képest is.

A neutrondetektorok esetében fordítsunk gondot a jelamplitúdó diszkriminációs szint helyes megválasztására! Mint ismeretes, az említett detektortípusnál az amplitúdódiszkriminációval jelentősen csökkenthető a \setbox0\hbox{${\gamma}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és zajháttér. A diszkriminációs szint beállításhoz először keressük meg azt a maximális diszkriminációs értéket, amelynél még jelentős a számlálási sebesség, és válasszuk ennek kb. 1/8-át. A mérést maximum 300 s-ig érdemes folytatni. A kapott eredmény a PC-ben elhelyezett analizátor memóriájában hozzáférhető, elmenthető és kinyomtatható.

Kiértékelés

A későneutron-intenzitás időbeli csökkenését leíró függvény közelítőleg 6 db exponenciális összegének tekinthető. A kiértékelés célja a felezési idők és a relatív intenzitások meghatározása az adott körülmények között mérhető későneutron-csoportokra. Az eljárás első lépéseként a leghosszabb felezési idejű komponens paramétereit határozzuk meg abban az időtartományban, ahol a rövidebb felezési idejű komponensek már nem észlelhetők, de a mért intenzitások még kiemelkednek a háttérből. Az intenzitások logaritmikus transzformációja után egyenest illesztünk a kiválasztott időintervallum pontjaira. Meredekségének abszolút értéke a leghosszabb felezési idejű csoport bomlási állandóját adja, míg a tengelymetszet a relatív intenzitás logaritmusa.

A meghatározott paraméterekkel megadott exponenciális komponenst levonjuk az eredeti intenzitásokból, ahol így már csak a maradék csoportoktól származó intenzitás időbeli függvénye marad, majd megismételjük az eljárást. A kiértékelésre szánt időintervallumok között célszerű pontokat kihagyni, hogy a levonást követően a véletlen zaj miatt megjelenő esetleges negatív értékek ne zavarjanak (például a logaritmusképzés miatt). Megjegyezzük, hogy az eljárás csak közelítő pontosságú, mivel az illesztés előtti logaritmikus transzformálás az eltéréseket is transzformálja. A számításoknál referencia időpontnak azt az időpontot kell venni, amikor a minta az aktív zónát elhagyja. (Ennek az időpontnak felel meg a startjel.)

Pontosabb eredmény kapható a teljes adatsoron végrehajtott súlyozott legkisebb négyzetes illesztéssel.

Urántartalom meghatározása

A mérés során egy olyan mintában, amelyik ismeretlen mennyiségben tartalmaz természetes izotóp-összetételű urániumot, meg kívánjuk határozni a tömeg százalékában mért uránkoncentrációt. Az ismeretlen összetételű minta teljes tömege 105,5 mg.

A méréshez szükséges eszközök, anyagok

  • A későneutron-paraméterek meghatározásánál használt berendezés (lásd 3.1. rész)
  • analitikai mérleg
  • polietilén csőposta besugárzó tokok
  • reaktor és besugárzó csőposta
  • két darab, a Nemzetközi Atomenergia Ügynökségtől (NAÜ) származó uránstandard


3. táblázat

Az uránstandardok adatai

jel természetes izotóp összetételű U-koncentráció a mintában a minta teljes tömege (mg)
bizonylati koncentrációk szélső értékei (tömeg%) U-koncentráció: átlagérték±szórás (tömeg%)
S-7 0,475 ÷ 0,527 0,501±0,013 93,3
S-8 0,128 ÷ 0,142 0,135±0,0035 85,1

A mérés menete

A mérés a relatív későneutron-intenzitás mérésén alapul, amely az urántartalom gyors, pontos, roncsolásmentes meghatározását teszi lehetővé. A módszer gyorsasága és egyszerű kivitelezhetősége miatt ércminták sorozatelemzésére, érzékenysége folytán pedig az érckutatásban az urán dúsulásainak nyomozására szolgálhat. A mérés célja ismeretlen koncentrációjú minta urántartalmának meghatározása a NAÜ két uránstandardjával történő összehasonlítás alapján, továbbá a mérési hibának, valamint a kimutatási határnak a számítása. Ismeretlen mintaként uránszurokérc tartalmú kőzetet használunk.

A polietilén csőpostatokban az ismeretlen mintából, a standardokéhoz hasonló mennyiséget, kb. 100 mg-ot helyezünk el. A besugárzást 10 kW reaktorteljesítményen végezzük. Az analizátor beállítása megegyezik a korábbival (vö. A mérés menete rész). A mérés alapgondolata: a standardokban és az ismeretlen mintában a besugárzott urán bomlásgörbéjét ugyanaz a (2) szerinti függvény írja le, legfeljebb az egyes görbék \setbox0\hbox{${n_\textrm{f}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% együtthatója térhet el. Ebből következik, hogy a lecsengő későneutron-intenzitási görbe bármelyik szakaszának összevetése alkalmas a minták összehasonlítására. Elvileg egy adott időpontbeli intenzitás - akár egy csatorna - is elegendő lenne, de több csatorna összegzésével a kiértékelés alapjául szolgáló impulzusszám relatív szórását csökkenthetjük. Az összegzett csatornák kiválasztásában az alábbi szempontokat vesszük figyelembe.

Mind a standardok, mind az ismeretlen minta tartalmaz oxigént, amelyben a besugárzás során az 17O(n,p)17N magreakció eredményeként 4,1 s felezési idejű neutronemitter mag, 17N keletkezik. Mivel az oxigén mennyisége mintánként változik (továbbá nem is ismert), a besugárzás után, a mérés megkezdése előtt célszerű 20 s ún. hűtési időt várni, mialatt az 17N-től származó neutronok gyakorlatilag eltűnnek, és így a minta és a standardok oxigéntartalmának különbsége nem zavaró. Ebből következik, hogy a 2. táblázat szerinti 3.÷6. későneutron-csoportok a mérés kezdetére szintén eltűnnek, tehát az urántartalom meghatározását a 22,72 s felezési idejű, elegendően nagy hozamú későneutron-csoportra érdemes alapozni. A hűtési idő növelése egyébként más szempontból is hasznos lehet, mivel rövid hűtési idők esetében az időmérés bizonytalansága (1 s-os felbontás) is nagyobb. A mérési időt úgy kell megválasztani, hogy a mérési idő végén a csökkenő későneutron-intenzitás még mindig jelentősen kiemelkedjék a háttérből. (A javasolt mérési időintervallum 20÷80 s.)

A szórás és a kimutatási határ számításához a háttér mérése is szükséges: üres tok besugárzásával a kiértékelésre szánt intervallumra vegyük fel a háttér-intenzitás értékeit.

A mérés kiértékelése

Egy standard mérése

A kiértékelés célja az ismeretlen minta uránkoncentrációjának meghatározása. Jelölje a mintára, illetve a standardra vonatkozó impulzusszámok összegét rendre \setbox0\hbox{${N_\mathrm{x}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{${N_\mathrm{std}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%:

\[ N_\mathrm{x} = \sum_{i=20}^{80}n_\mathrm{i,x} \hspace{20mm} N_\mathrm{std} = \sum_{i=20}^{80}n_\mathrm{i,std} \]
 (15)



ahol \setbox0\hbox{${n_\mathrm{i,x}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{${n_\mathrm{i,std}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% az i-edik csatorna tartalma az ismeretlen mintára, illetve a standardra vonatkozóan. Hasonló módon kapjuk az ezekből levonandó hátteret:

\[ H_{x} = \sum_{i=20}^{80}h_{i,x} \]
 (16)

ahol \setbox0\hbox{${h_\mathrm{i,x}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% az i-edik csatorna tartalma az ismeretlen mintához tartozó háttér mérésekor. Ha a standardot és az ismeretlen mintát időben egymáshoz közel mérjük, fel lehet tételezni, hogy ez a háttér érvényes a standardra is. Az általánosság kedvéért azonban megengedjük, hogy az utóbbihoz külön háttér, \setbox0\hbox{${H_\mathrm{std}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tartozzon. Az ismeretlen koncentrációt azzal a feltételezéssel határozzuk meg, hogy a minta fajlagos (egységnyi tömegre vonatkozó) beütésszáma a C uránkoncentrációval arányos:

\[ \frac{N-H}{m} = aC \]
 (17)

ahol \setbox0\hbox{${m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a minta tömege, és \setbox0\hbox{${a}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% valamilyen (ismeretlen) arányossági tényező. Természetesen a (17) összefüggés nem a mért adatokra, hanem csak azok várható értékére érvényes. Viszont a (17) összefüggés lehetővé teszi, hogy az egyik standardra kapott mérési adatok alapján becslést adjunk az ismeretlen a paraméterre:

\[ \tilde{a} = \frac{N_\mathrm{std}-H_\mathrm{std}}{m_\mathrm{std}-C_\mathrm{std}} \]
 (18)

ahol az "\setbox0\hbox{${\mathrm{std}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%" index a standardra vonatkozóan mért adatokra utal. \setbox0\hbox{${C_\mathrm{std}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a kiválasztott standard bizonylati koncentrációja (tömeg%, vö. 3. táblázat). Ennek alapján az ismeretlen minta uránkoncentrációját a

\[ C_{x} = \frac{N_{x}-H_{x}}{m_{x}\tilde{a}} \]
 (19)

képlettel becsüljük. Ha csak egy standardot mérünk, ez a képlet jelenti a kiértékelés végét. Mielőtt a két standard esetét tárgyalnánk, adjuk meg a (19)-hez tartozó hibaszámítási képleteket.

Tekintve, hogy tömeget (az egyéb hibaforrásokhoz képest) nagy pontossággal tudunk mérni, \setbox0\hbox{${m_\mathrm{x}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{${m_\mathrm{std}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% mérési hibáját elhanyagoljuk. A háttérrel csökkentett beütésszámok szórásnégyzetét a Poisson-eloszlás alapján becsüljük:

\[ \sigma^{2}_{std} \approx N_{std}+H_{std} \hspace{20mm} \acute{e}s \hspace{20mm} \sigma^{2}_{x} \approx N_{x}+H_{x} \]
 (20)

Az \setbox0\hbox{${a}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% paraméter (18) szerint becsült értékének a szórásnégyzete:

\[ \sigma^{2}_{a} = {\tilde{a}}^2 \Bigg(\frac{N_{std}+H_{std}}{(N_{std}-H_{std})^2}+\frac{\sigma^2_{C_{std}}}{C^2_{std}}\Bigg) \]
 (21a)

továbbá a (19) szerint számolt uránkoncentrációé:

\[ \sigma^{2}_{C_{x}} = C^2_{x} \Bigg(\frac{N_{x}+H_{x}}{(N_{x}-H_{x})^2}+\frac{\sigma^2_{a}}{\tilde{a}^2}\Bigg) \]
 (21b)

A (21) képletek levezetése a matematikai statisztikai elemeiből következik, ezért nem is részletezzük.


Két standard mérése


Amikor mindkét standardot mérjük, több kiértékelési módszer kínálkozik. A legegyszerűbb az a paraméternek mindkét standard alapján való független becslése:

\[ \tilde{a}_{i} = \frac{N_{i}-H_{i}}{m_{i}C_{i}} \hspace{20mm} (i = 1,2) \]
 (22)

ahol az "\setbox0\hbox{${i}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%" index az egyes standard mintákra mért adatokat jelöli. Az így kapott értékek szórásnégyzetét (21a) mintájára becsülhetjük:

\[ \sigma^{2}_{ai} = {\tilde{a}_{i}}^2 \Bigg(\frac{N_{i}+H_{i}}{(N_{i}-H_{i})^2}+\frac{\sigma^2_{Ci}}{C^2_{i}}\Bigg) \hspace{20mm} (i = 1,2) \]
 (23)

Az \setbox0\hbox{${a}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% paraméter végső értékét ezek súlyozott átlagolásával becsülhetjük:

\[ \tilde{a} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{2}\tilde{a}_{i}/\sigma^2_{ai}}{\displaystyle\sum_{i=1}^{2}1/\sigma^2_{ai}} \]
 (24a)

amelynek a szórásnégyzete:

\[ \sigma^2_{a} = \frac{1}{\displaystyle\sum_{i=1}^{2}1/\sigma^2_{ai}} \]
 (24b)

Kevésbé heurisztikus becslést kapunk, ha a (17) képletre alapozva az \setbox0\hbox{${a}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% paramétert lineáris regresszióval becsüljük. Ez azt jelenti, hogy az \setbox0\hbox{${a}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% paraméter függvényében keressük a

\[ Q=\sum_{i=1}^{2}w_{i}\Bigg(\frac{N_{i}-H_{i}}{m_{i}}-aC_{i}\Bigg)^2 \]
 (25a)

négyzetösszeg minimumát, amelyben a súlyok a mért mennyiségek szórásnégyzeteivel fejezhetők ki:

\[ w^{-1}_{i} = \frac{N_{i}+H_{i}}{m^2_{i}}+a^2\sigma^2_{C_{i}} \]
 (25b)

Ennek a minimumproblémának a megoldása könnyen levezethető:

\[ \tilde{a} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{2}w_{i}C_{i}\frac{N_{i}-H_{i}}{m_{i}}}{\displaystyle\sum_{i=1}^{2}w_{i}C^2_{i}} \]
 (26a)

amelynek a szórásnégyzete:

\[ \sigma^2_{a} = \frac{1}{\displaystyle\sum_{i=1}^{2}w_{i}C^2_{i}} \]
 (26b)

Tekintve, hogy a \setbox0\hbox{${w_{i}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% i súlyok a (25b) képlet szerint függnek az \setbox0\hbox{${a}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% paramétertől, a (26a) képlet alkalmazása \setbox0\hbox{${a}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ra nézve iterációt igényel.[9] A (24a) szerinti módszer ilyen iterációt nem tesz szükségessé.

Akár a (22)÷(24) formulákat, akár a (25)÷(26) formulákat használjuk, az ismeretlen uránkoncentráció meghatározására a (19) és (21b) képleteket kell alkalmaznunk. A két kiértékelési mód egymással egyenértékű. Ajánlatos, hogy az Olvasó ezt bizonyítsa be. Útmutatás: a (23) képletben (de csak ott!) írjunk \setbox0\hbox{${\tilde{a}^2_{i}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% helyébe \setbox0\hbox{${\tilde{a}^2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% -t; ezután egyszerű algebrai átalakításokkal beláthatjuk, hogy (24a) és (24b) pontosan ugyanazt adja, mint (26a), illetve (26b). Kérdés: miért elég ennek bizonyítása a két becslés egyenértékűségének a belátásához?

Kimutatási határ

A kimutatási határ definíciójánál az urán mennyiség meghatározás alapjául szolgáló nettó impulzusszám háttérből való szignifikáns kiemelkedését kell biztosítani statisztikai kritériumok alapján, másként megfogalmazva azt kell eldöntenünk, hogy van-e effektus vagy nincs, és ennek a döntésnek a mennyiségi megalapozását kell megadnunk. A döntés során alapvetően kétféle hibát követhetünk el. Az első az úgynevezett elsőfajú hiba melynél azt feltételezzük, hogy a mért összegzett intenzitás egy része a minta urán tartalmától származik, pedig csak a háttér pozitív fluktuációjáról van szó. Másodfajú hibát akkor követünk el, ha mért impulzusszám egy része urántól származik, de úgy gondoljuk hogy ez csak a háttér véletlen fluktuációja.

Az elsőfajú hiba ellen bizonyos megbízhatósági szinten - centrált normális zaj feltételezéssel - , úgy védhetjük magunkat, hogy a hasznos jel komponenstől elvárjuk, hogy a háttér szórását a konfidencia szinttől függő mértékben haladja meg.

\[ L_{c1} = k_{1}\sigma_{h} = k_{1}\sqrt{N_{h}} \]

Ahol \setbox0\hbox{${k_{1}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% az elsőfajú hibára vonatkozó szignifikancia szinttől függő egyoldali kvantilis.

A másodfajú hiba valószínűsége általában valamilyen konkrét ellenhipotézis formájában fogalmazható meg. Itt ésszerű kiindulás az, hogy feltételezünk egy \setbox0\hbox{${L_{c2}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% nagyságú nettó effektust, melynek meg kell haladnia az előbb definiált \setbox0\hbox{${L_{c1}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szintet olyan mértékben, hogy az alá \setbox0\hbox{${L_{c2}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% bizonyos szintű negatív fluktuációi révén se kerülhessen. Azaz \setbox0\hbox{${L_{c2}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% legyen \setbox0\hbox{${L_{c1}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% plusz \setbox0\hbox{${L_{c2}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szórásának megfelelő kvantilissel vett szorzata:

\[ L_{c2} = L_{c1} + k_{2}\sqrt{\sigma^2_{L_{c2}}+\sigma^2_{h}} \]

Ahol \setbox0\hbox{${k_{2}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a másodfajú hibára vonatkozó szignifikancia szinthez tartozó kvantilis. Ha \setbox0\hbox{${k_{2}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% = \setbox0\hbox{${k_{1}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% feltételből indulunk ki (ettől való eltérés a kétféle hibából eredő kockázat alapján lehetséges), akkor a háttérből még szignifikánsan kiemelkedő impulzusszám:

\[ L_{c2} = k^2 + 2L_{c1} = k^2 + 2k\sqrt{N_{h}} \]

E mennyiséget kell a standardnál mérhető impulzusszámhoz hasonlítani, hogy a urán mennyiségre vonatkozó kimutatási határ értéket megkapjuk.

Ellenőrző kérdések

  1. Mik a késő neutronok?
  2. Ismertesse a késő neutronok keletkezési mechanizmusát!
  3. Mik az anyamagok?
  4. Mik a prompt neutronok?
  5. Ismertesse a prompt neutronok keletkezési mechanizmusát!
  6. Mi a különbség a prompt és a későneutronok energia eloszlása között?
  7. Mi a periódus idő?
  8. Mi a szerepe a késő neutronoknak a reaktor szabályzásban?
  9. Ismertesse a késő neutronok mérésénél alkalmazott módszert!
  10. Milyen csoportokba sorolhatjuk a késő neutronokat és minek alapján?
  11. Ismertesse az uránkoncentráció meghatározás elvét!

Irodalom

  1. G. R. Keepin: Physics of Nuclear Reactors, Addison-Wesley Publishing Co., Massachusetts (1965)
  2. G. R. Keepin: Interpretation of Delayed Neutron Phenomena, J. Nucl. Energy, 7, 13 (1958)
  3. G. R. Keepin, T. F. Wimmet, R. K. Zeigler: Delayed Neutron from Fissionable Isotopes of Uranium, Plutonium and Thorium, Phys. Rev., 107, 1044 (1957)
  4. Kiss D., Quittner P., Neutronfizika, Akadémiai Kiadó, Budapest 1971.
  5. Szatmáry Z., Bevezetés a reaktorfizikába, Egyetemi jegyzet (ELTE), 1991.

Külső hivatkozások

A Későneutron-paraméterek vizsgálata, uránkoncentráció meghatározása laborjegyzet forrása elérhető a [1] linken:

Lábjegyzetek

  1. ↑ A hasadás pillanatában (azaz 10-14 s-on belül) keletkező atommagokat hasadványoknak nevezzük. Ezek később elektronokat szednek fel, majd radioaktív bomlások révén új atomokká alakulnak át. Ez utóbbiakat hasadási termékeknek nevezzük.
  2. ↑ Ezek a Ga, As, Se, Br, Kr, Rb, Sr, Y, In, Sn, Sb, Te, I, Xe, Cs, Ba, La és Tl egyes izotópjai.
  3. ↑ Ez a fejezet azoknak szóló összefoglalás, akik nem hallgatták a Reaktorfizika előadást, a többieknek könnyű olvasmány.
  4. ↑ A reaktivitást (amely dimenzió nélküli szám) gyakran fejezzük ki %-ban. Például \setbox0\hbox{${\rho}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% = 0,25% azt jelenti, hogy \setbox0\hbox{${\rho}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% = 0,0025 (vagyis (3) alapján \setbox0\hbox{${k_\mathrm{eff} \approx}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% 1,0025).
  5. ↑ A részletest tárgyalását lásd az [5] jegyzetben.
  6. ↑ Vegyük észre, hogy éppen ezzel az utóbbi taggal csökkent (7a) jobb oldalának első tagja a (4) egyenlethez képest.
  7. ↑ Emlékeztetünk arra az elemi algebrai szabályra, hogy két egymást követő együttható azonos előjele negatív, különböző előjele pedig pozitív gyököt jelent.
  8. ↑ Az Olvasó számára hasznos gyakorlat a közelítő képlet levezetése, így ugyanis ellenőrizheti, mennyire sikerült az eddigieket megértenie.
  9. ↑ Ennek az iterációnak a tulajdonságai erősen függnek az egyes szórások értékeitől. Ajánlatos, hogy az Olvasó a konkrét mérés esetében közelebbről ismerkedjen meg vele. Általános tendencia, hogy a (25b) szerinti súlyozás csökkenteni igyekszik a becsült értékét.
A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Későneutron-paraméterek_vizsgálata,_uránkoncentráció_meghatározása&oldid=23751”