„Transzport nanovezetékekben: Landauer-formula, vezetőképesség-kvantálás” változatai közötti eltérés
(→Vezetőképesség kvantálás kvantum pont-kontaktusban) |
(→Kvantumvezeték ellenállása) |
||
(2 szerkesztő 41 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
1. sor: | 1. sor: | ||
==Karakterisztikus méretskálák== | ==Karakterisztikus méretskálák== | ||
− | |||
<wlatex> | <wlatex> | ||
Egy nanométeres skálájú objektum vezetési tulajdonságai több szempontból eltérnek a makroszkopikus skálán megszokott jelenségektől. | Egy nanométeres skálájú objektum vezetési tulajdonságai több szempontból eltérnek a makroszkopikus skálán megszokott jelenségektől. | ||
− | Makroszkopikus vezetékek ellenállása jól leírható az Ohm-törvénnyel: az áramsűrűség a fajlagos vezetőképesség és az elektromos tér szorzata, a vezetőképesség pedig arányos a vezeték | + | Makroszkopikus vezetékek ellenállása jól leírható az Ohm-törvénnyel: az áramsűrűség a fajlagos vezetőképesség és az elektromos tér szorzata, a vezetőképesség pedig arányos a vezeték keresztmetszetével és fordítottan arányos a hosszával: |
$$\vec{j}=\sigma \cdot \vec{E}, \ \ \ G=R^{-1}=\frac{A\cdot \sigma}{L}$$ | $$\vec{j}=\sigma \cdot \vec{E}, \ \ \ G=R^{-1}=\frac{A\cdot \sigma}{L}$$ | ||
− | Az Ohm törvény egyszerűen magyarázható az elektromos vezetés Drude modelljével. Az elektronok a kristályrácsban két ütközés közötti | + | Az Ohm-törvény egyszerűen magyarázható az elektromos vezetés Drude-modelljével. Az elektronok a kristályrácsban két ütközés közötti |
$\tau_m$ karakterisztikus idő alatt $p_\mathrm{drift}=m\cdot v_\mathrm{drift}=eE\tau_m$ impulzust nyernek, majd a véletlen irányba történő szóródás hatására ezt elveszítik. Ennek megfelelően $n$ elektronsűrűség esetén az az áramsűrűség illetve fajlagos vezetőképesség: | $\tau_m$ karakterisztikus idő alatt $p_\mathrm{drift}=m\cdot v_\mathrm{drift}=eE\tau_m$ impulzust nyernek, majd a véletlen irányba történő szóródás hatására ezt elveszítik. Ennek megfelelően $n$ elektronsűrűség esetén az az áramsűrűség illetve fajlagos vezetőképesség: | ||
$$\vec{j}=n\cdot e\cdot v_\mathrm{drift}\ \ \ \rightarrow \ \ \ \sigma=\frac{ne^2\tau_m}{m}.$$ | $$\vec{j}=n\cdot e\cdot v_\mathrm{drift}\ \ \ \rightarrow \ \ \ \sigma=\frac{ne^2\tau_m}{m}.$$ | ||
− | Az elektronok két ütközés között eltelt $\tau_m$ momentumrelaxációs idő alatt $l_m=v_F\tau_m$ utat tesznek meg, ahol $v_F$ a Fermi sebesség. A Drude modell értelmét veszti ha a vizsgált vezeték karakterisztikus mérete ($L$) kisebb mint az ütközések skáláját jellemző $l_m$ momentumrelaxációs szabadúthossz. Ezen feltétel alapján megkülönböztethetünk ''diffúzív'' vezetékeket ($L>l_m$), melyekben a elektronok sokszor szóródnak mialatt eljutnak az egyik elektródából a másikba, illetve ''ballisztikus nanovezetékeket'' ($L<l_m$), melyekben az elektronok csak a vezeték falán szóródnak, de a vezetéken belül nem. | + | Az elektronok két ütközés között eltelt $\tau_m$ momentumrelaxációs idő alatt $l_m=v_F\tau_m$ utat tesznek meg, ahol $v_F$ a |
+ | Fermi-sebesség. A Drude-modell értelmét veszti ha a vizsgált vezeték karakterisztikus mérete ($L$) kisebb mint az ütközések skáláját jellemző $l_m$ momentumrelaxációs szabadúthossz. Ezen feltétel alapján megkülönböztethetünk ''diffúzív'' vezetékeket ($L>l_m$), melyekben a elektronok sokszor szóródnak mialatt eljutnak az egyik elektródából a másikba (1/a. ábra), illetve ''ballisztikus nanovezetékeket'' ($L<l_m$), melyekben az elektronok csak a vezeték falán szóródnak, de a vezetéken belül nem (1/b. ábra). | ||
{| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | {| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | ||
|- | |- | ||
− | | style="width: 400px;"| [[Fájl:diffuziv_vezetek.png|közép|300px|]] | + | | align="center" style="width: 400px;"| [[Fájl:diffuziv_vezetek.png|közép|300px|]] |
− | | style="width: 400px;"| [[Fájl:ballisztikus_vezetek.png|közép|300px|]] | + | | align="center" style="width: 400px;"| [[Fájl:ballisztikus_vezetek.png|közép|300px|]] |
|- | |- | ||
− | | align="center"| | + | | align="center"|1/a. ábra. ''Diffúzív vezeték'' |
− | | align="center"| | + | | align="center"|1/b. ábra. ''Ballisztikus vezeték'' |
|} | |} | ||
− | A két határeset között lényeges | + | A két határeset között lényeges különbség jól szemléltethető az ellenállás hosszfüggésével: míg egy diffúzív vezeték ellenállása nő a vezeték hosszának növelésével, addig az 1/b. ábrán szemléltetett ballisztikus vezetékbe bejutó elektronok visszaszórás nélkül átjutnak a túloldalra, azaz az ellenállás nem függ a vezeték hosszától. |
− | Az elektronok hullámtermészetét figyelembe véve azt is érdemes megvizsgálni, hogy a vizsgált rendszer méretének skáláján megőrződik-e az elektronhullámok fázisinformációja. Ha a minta mérete kisebb mint az $L_\phi$ ''fázisrelaxációs hossz'', akkor a vezetési tulajdonságok makroszkopikus skálán nem tapasztalható érdekes ''interferencia-jelenségeket'' mutatnak, melyeket | + | Az elektronok hullámtermészetét figyelembe véve azt is érdemes megvizsgálni, hogy a vizsgált rendszer méretének skáláján megőrződik-e az elektronhullámok fázisinformációja. Ha a minta mérete kisebb mint az $L_\phi$ ''fázisrelaxációs hossz'', akkor a vezetési tulajdonságok makroszkopikus skálán nem tapasztalható érdekes ''interferencia-jelenségeket'' mutatnak, melyeket az [[Interferencia és dekoherencia nanoszerkezetekben|''interferencia és dekoherencia nanoszerkezetekben'']] fejezetben szemléltetünk. |
− | + | Szintén érdekes kérdés, hogy a vizsgált nanoszerkezetben megőrződik-e az elektronok spininformációja. Az ún. ''spindiffúziós hossznál'' ($L_s$) kisebb, mágnesesen rendezett tartományokat tartalmazó nanoszerkezetekben érdekes [[Spintronika|''spintronikai'']] jelenségeket tapasztalhatunk. | |
+ | |||
+ | További érdekes jelenségekkel találkozhatunk, ha a vezeték keresztmetszete az elektronok Fermi-hullámhosszával összemérhetővé válik, $L\sim \lambda_F$. Ezt a határesetet tárgyaljuk az alábbiakban. | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
30. sor: | 32. sor: | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
Az elektronok hullámhosszával összemérhető vezetékek tulajdonságait vizsgáljuk meg egy egyszerű modellel: két elektrontartályt kössünk össze egy kétdimenziós, párhuzamos falú ''ideális kvantumvezetékkel'', melyben az elektronok szóródás nélkül haladnak (2. ábra). | Az elektronok hullámhosszával összemérhető vezetékek tulajdonságait vizsgáljuk meg egy egyszerű modellel: két elektrontartályt kössünk össze egy kétdimenziós, párhuzamos falú ''ideális kvantumvezetékkel'', melyben az elektronok szóródás nélkül haladnak (2. ábra). | ||
− | + | ||
− | [[Fájl:Qwire.png|közép|300px | + | {| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" |
− | + | |- | |
+ | | align="center"|[[Fájl:Qwire.png|közép|300px]] | ||
+ | |- | ||
+ | | align="center"|2. ábra. ''Ideális kvantumvezeték'' | ||
+ | |} | ||
''Hard wall'' határfeltételt alkalmazva (azaz a bezáró potenciál a vezetéken belül ill. kívül zérus ill. végtelen) egyszerűen felírható az elektronok hullámfüggvénye: | ''Hard wall'' határfeltételt alkalmazva (azaz a bezáró potenciál a vezetéken belül ill. kívül zérus ill. végtelen) egyszerűen felírható az elektronok hullámfüggvénye: | ||
$$\Psi_{n,k}(x,y)=e^{ikx}\cdot \sin\left(\frac{n \pi y}{W} \right),$$ | $$\Psi_{n,k}(x,y)=e^{ikx}\cdot \sin\left(\frac{n \pi y}{W} \right),$$ | ||
azaz hosszirányban ($x$) síkhullám terjedést, keresztirányban pedig kvantált állóhullámokat kapunk. Ennek megfelelően az elektronok energiája: | azaz hosszirányban ($x$) síkhullám terjedést, keresztirányban pedig kvantált állóhullámokat kapunk. Ennek megfelelően az elektronok energiája: | ||
− | $$\ | + | $$\varepsilon_n(k)=\frac{\hbar^2k^2}{2 m} + \frac{\pi^2 \hbar^2}{2 m W^2}\cdot n^2,$$ |
− | ahol $k$ az $x$-irányú síkhullám terjedéshez tartozó hullámszám, $n$ pedig a kvantált keresztmódust ($y$-irányú állóhullámot) jellemzi. Az energiakifejezés a | + | ahol $k$ az $x$-irányú síkhullám terjedéshez tartozó hullámszám, $n$ pedig a kvantált keresztmódust ($y$-irányú állóhullámot) jellemzi. Az energiakifejezés a 3/a. ábrán szemléltetett, egymáshoz képest a keresztirányú energiák szerint eltolt egydimenziós diszperziós relációknak felel meg. Értelemszerűen csak azon módusokon (ún. ''vezetési csatornákon'') keresztül folyhat áram, melyekhez tartozó keresztirányú energia kisebb az elektródák Fermi-energiájánál, azaz a diszperziós reláció metszi a Fermi-szintet. Ezen feltételnek megfelelő módusokat nyitott vezetési csatornának nevezzük, a nyitott csatornák számát $M$-mel jelöljük. |
{| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | {| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | ||
|- | |- | ||
− | | [[Fájl:disp.png|közép|385px|]] | + | | align="center"|[[Fájl:disp.png|közép|385px|]] |
− | | [[Fájl: | + | | align="center"|[[Fájl:disp_Biased.png|közép|350px|]] |
|- | |- | ||
− | | align="center"| | + | | align="center"|3/a. ábra. ''Diszperzós reláció ideális kvantumvezetékben'' |
− | | align="center"| | + | | align="center"|3/b. ábra. ''Diszperzós reláció a mintára feszültséget kapcsolva'' |
|} | |} | ||
− | Ha a két elektrontartály közé $V$ feszültséget kapcsolunk akkor a nanovezeték elektronállapotai a | + | Ha a két elektrontartály közé $V$ feszültséget kapcsolunk akkor a nanovezeték elektronállapotai a 3/b. ábrán szemléltetett módon töltődnek be: a pozitív $k$-val rendelkező állapotok mind a bal oldali elektródából származnak, így ezek $eV$-vel magasabb energiáig vannak betöltve mint a jobb oldali elektródából származó, negatív $k$-val rendelkező állapotok. Áramot csak a $\mu_1$ ás $\mu_2$ kémiai potenciál közötti tartományban levő pozitív $k$-jú állapotok szállítanak, hiszen $\mu_2$ kémiai potenciál alatt a pozitív és negatív irányba haladó állapotok egyaránt betöltöttek, így eredő áramuk zérus lesz. |
− | Egy adott vezetési csatornára az elektronok sebességét, illetve az | + | Egy adott vezetési csatornára az elektronok sebességét, illetve az állapotsűrűséget a következőképpen írhatjuk: |
− | a következőképpen írhatjuk: | + | $$v_n=\frac{1}{\hbar}\frac{\partial \varepsilon_n(k)}{\partial k},\ \ \ \ g_n=\frac{L}{2\pi}\left(\frac{\partial \varepsilon_n(k)}{\partial k}\right)^{-1}.$$ |
− | $$v_n=\frac{1}{\hbar}\frac{\partial \ | + | Az $eV$ energiasávban található elektronok sűrűségét $n_n=eV\cdot g_n/L$ képlettel számolhatjuk. A vezetékben folyó áram számolásához az elektrontöltés, a sebesség és az elektronsűrűség szorzatát kell képezni, illetve ezt összegezni a különböző vezetési csatornákra: |
− | A vezetékben folyó áram számolásához az elektrontöltés, a sebesség és az elektronsűrűség szorzatát kell képezni, illetve ezt összegezni a különböző vezetési csatornákra: | + | |
$$I=2\sum_{n=1}^{M}e v_n n_n =\frac{2e^2}{h}MV,$$ | $$I=2\sum_{n=1}^{M}e v_n n_n =\frac{2e^2}{h}MV,$$ | ||
− | ahol a kettes szorzó a spin szerinti degenerációnak felel meg. Mivel a sebesség és az elektronsűrűség szorzatában az energiadiszperzió deriváltja kiesik, a kvantumvezeték vezetőképessége egyszerűen a vezetőképesség-kvantum egész számú többszörösének adódik. Érdemes megjegyezni, hogy a hosszirányú | + | ahol a kettes szorzó a spin szerinti degenerációnak felel meg. Mivel a sebesség és az elektronsűrűség szorzatában az energiadiszperzió deriváltja kiesik, a kvantumvezeték vezetőképessége egyszerűen a $G_0=2e^2/h$ ''vezetőképesség-kvantum'' egész számú többszörösének adódik. Érdemes megjegyezni, hogy a hosszirányú transzláció-invariancia miatt az $x$ irányú impulzus megmarad, |
így az egyes csatornák között nem történhet átszóródás, mert az a $k$ hullámszám megváltozásával járna, azaz a vezetési csatornák áramjárulékát valóban tekinthetjük egymástól függetlennek. | így az egyes csatornák között nem történhet átszóródás, mert az a $k$ hullámszám megváltozásával járna, azaz a vezetési csatornák áramjárulékát valóban tekinthetjük egymástól függetlennek. | ||
A fenti számolásban abból indultunk ki, hogy csak az elektródák kémiai potenciálja alatt találunk betöltött állapotokat, azaz zérus hőmérsékletet tételezünk fel. Véges hőmérsékleten a kémiai potenciál $kT$ szélességű környezetében egyaránt találhatók betöltött és betöltetlen állapotok, az állapotok betöltöttségének valószínűségét a Fermi-függvény írja le: | A fenti számolásban abból indultunk ki, hogy csak az elektródák kémiai potenciálja alatt találunk betöltött állapotokat, azaz zérus hőmérsékletet tételezünk fel. Véges hőmérsékleten a kémiai potenciál $kT$ szélességű környezetében egyaránt találhatók betöltött és betöltetlen állapotok, az állapotok betöltöttségének valószínűségét a Fermi-függvény írja le: | ||
− | $$f(\ | + | $$f(\varepsilon)=\frac{1}{e^{\frac{\varepsilon -\mu}{kT}}+1}.$$ |
− | Az kvantumvezeték belsejében a $k>0$, bal oldali elektródából származó elektronállapotok betöltöttségét az 1-es elektróda $f_l(\ | + | Az kvantumvezeték belsejében a $k>0$, bal oldali elektródából származó elektronállapotok betöltöttségét az 1-es elektróda $f_l(\varepsilon)$ betöltési szám függvénye írja le, míg a $k<0$ állapotok a 2-es elektróda $f_2(\varepsilon)$ betöltési szám függvényével jellemezhetők, ahol $f_1$ és $f_2$ egymáshoz képest $eV$ energiával eltolt Fermi-függvények. Ez a leírás egyben az elektrontartályok tökéletességét is feltételezi, azaz a kvantumvezetékből az egyik elektródába érkező elektronok csak ''termalizálódás'' után szóródhatnak vissza a kvantumvezetékbe, így az elektródát elhagyó elektronok valóban az elektróda Fermi-függvénye szerinti energiaeloszlást követik. |
− | A fentiek alapján véges hőmérsékleten a vezetékben pozitív illetve negatív irányba folyó áramot | + | A fentiek alapján véges hőmérsékleten a vezetékben pozitív illetve negatív irányba folyó áramot az |
− | + | $$I^+=\frac{2 e}{L} \sum \limits_{k>0} v_k f_1(\varepsilon_k) = 2e \int \frac{\mathrm{d}k}{2 \pi}\frac{\partial \varepsilon_k}{\hbar \partial k} f_1(\varepsilon_k) = \frac{2 e}{h}\int \mathrm{d} \varepsilon f_1(\varepsilon),$$ | |
− | $$I^+=\frac{2 e}{L} \sum \limits_{k>0} v_k f_1(\ | + | $$I^-=\frac{2 e}{L} \sum \limits_{k<0} v_k f_2(\varepsilon_k) = \frac{2 e}{h}\int \mathrm{d} \varepsilon f_2(\varepsilon)$$ |
− | $$I^-=\frac{2 e}{L} \sum \limits_{k<0} v_k f_2(\ | + | |
képletek írják le, azaz az eredő áram: | képletek írják le, azaz az eredő áram: | ||
− | $$I=I^+-I^-=\frac{2 e}{h} \int \mathrm{d} \ | + | $$I=I^+-I^-=\frac{2 e}{h} \int \mathrm{d} \varepsilon (f_1(\varepsilon)-f_2(\varepsilon))=\frac{2 e}{h}e V.$$ |
− | Mivel $\int \mathrm{d} \ | + | Mivel $\int \mathrm{d} \varepsilon (f_1(\varepsilon)-f_2(\varepsilon))$ integrál tetszőleges hőmérsékleten $eV$-vel egyenlő, így egy egycsatornás ideális kvantumvezeték ellenállása tetszőleges hőmérsékleten a $G_0=2 e^2/h$ ''vezetőképesség-kvantum'', ami $\approx 12900\,\Omega$ ellenállásnak felel meg. |
− | + | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
− | == Landauer formula == | + | == Landauer-formula == |
<wlatex> | <wlatex> | ||
− | Most tekintsük azt az egyszerű modellt, amikor egy egycsatornás, ideális kvantumvezeték közepén egy szórócentrum található, melyen $\mathcal{T}$ valószínűséggel jutnak át az elektronok. Ebben az esetben az elektródák felől a szórócentrum felé haladó állapotok továbbra is a megfelelő elektródából származnak, és ennek az eloszlásfüggvényét követik (lásd a | + | Most tekintsük azt az egyszerű modellt, amikor egy egycsatornás, ideális kvantumvezeték közepén egy szórócentrum található, melyen $\mathcal{T}$ valószínűséggel jutnak át az elektronok. Ebben az esetben az elektródák felől a szórócentrum felé haladó állapotok továbbra is a megfelelő elektródából származnak, és ennek az eloszlásfüggvényét követik (lásd a 4. ábrán a $\mathrm{d}I_1^+$ és $\mathrm{d}I_2^-$ áramkomponenseket). A szórócentrumtól az elektródák felé haladó állapotok viszont kevertek, pl. a $\mathrm{d}I_1^-$ áramjáruléknál egyaránt figyelembe kell venni az 1-es elektródából induló és a szórócentrumon reflektálódó, illetve a 2-es elektródából induló és a szórócentrumon transzmittálódó elektronokat. |
− | [[Fájl:Qwire2.png|közép|300px | + | {| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" |
+ | |- | ||
+ | | align="center"|[[Fájl:Qwire2.png|közép|300px]] | ||
+ | |- | ||
+ | | align="center"|4. ábra. ''Egycsatornás kvantumvezeték $\mathcal{T}$ átmeneti valószínűségű szórócentrummal'' | ||
+ | |} | ||
− | Zérus hőmérsékleten csak a $\mu_2$ kémiai potenciál alatti állapotok származhatnak mindkét elektródából, azonban az $\ | + | Zérus hőmérsékleten csak a $\mu_2$ kémiai potenciál alatti állapotok származhatnak mindkét elektródából, azonban az $\varepsilon<\mu_2$ állapotok teljes árama értelemszerűen zérust ad, hiszen ez annak felel meg, mintha zérus feszültséget kapcsoltunk volna a rendszerre. Így a véges áramért továbbra is $\mu_2 <\varepsilon< \mu_1$ állapotok felelnek, melyek csak az 1-es elektródából származhatnak. Így a teljes áram könnyen számolható például a szórócentrum és a 2-es elektróda közötti vezetékdarabban. Itt a $\mu_2 <\varepsilon< \mu_1$ |
energiasávban levő elektronok $\mathcal{T} =1$ esetén a korábbiak alapján $I=(2e^2/h)\cdot V$ áramot adnának, ami $\mathcal{T} <1$ esetén értelemszerűen a transzmittálódó elektronok hányadával skálázódik, azaz $I=(2e^2/h)\cdot \mathcal{T} \cdot V$. Így egy egycsatornás, $\mathcal{T}$ transzmisszós valószínűségű szórócentrumot tartalmazó nanovezeték vezetőképessége: | energiasávban levő elektronok $\mathcal{T} =1$ esetén a korábbiak alapján $I=(2e^2/h)\cdot V$ áramot adnának, ami $\mathcal{T} <1$ esetén értelemszerűen a transzmittálódó elektronok hányadával skálázódik, azaz $I=(2e^2/h)\cdot \mathcal{T} \cdot V$. Így egy egycsatornás, $\mathcal{T}$ transzmisszós valószínűségű szórócentrumot tartalmazó nanovezeték vezetőképessége: | ||
$$G=\frac{2e^2}{h}\mathcal{T} .$$ | $$G=\frac{2e^2}{h}\mathcal{T} .$$ | ||
− | Vizsgáljuk meg, hogy ez az eredmény érvényes-e véges hőmérsékleten is. A $\mathrm{d}I_1^+$ és $\mathrm{d}I_2^-$ áramkomponensek kizárólag az 1-es illetve a 2-es elektródából származnak, így a korábbiak alapján egy $\mathrm{d}\ | + | Vizsgáljuk meg, hogy ez az eredmény érvényes-e véges hőmérsékleten is. A $\mathrm{d}I_1^+$ és $\mathrm{d}I_2^-$ áramkomponensek kizárólag az 1-es illetve a 2-es elektródából származnak, így a korábbiak alapján egy $\mathrm{d}\varepsilon$ energiatartományban az áramjárulékuk: |
− | $$\mathrm{d}I_1^+(\ | + | $$\mathrm{d}I_1^+(\varepsilon)=\frac{2 e}{h}\cdot f_1(\varepsilon)\mathrm{d}\varepsilon,\;\; \mathrm{d}I_2^-(\varepsilon)=\frac{2 e}{h}\cdot f_2(\varepsilon)\mathrm{d}\varepsilon.$$ |
Ha az áramot a szórócentrum és az 1-es elektróda közötti vezetékdarabon akarjuk kiértékelni, akkor szükségünk van a $\mathrm{d}I_1^-$ áramjárulékra is, mely $\mathcal{T}$ valószínűséggel a 2-es elektródából bejövő módus transzmissziójából, $\mathcal{R}=1-\mathcal{T}$ valószínűséggel pedig pedig a az 1-es elektródából bejövő módus reflexiójából származik: | Ha az áramot a szórócentrum és az 1-es elektróda közötti vezetékdarabon akarjuk kiértékelni, akkor szükségünk van a $\mathrm{d}I_1^-$ áramjárulékra is, mely $\mathcal{T}$ valószínűséggel a 2-es elektródából bejövő módus transzmissziójából, $\mathcal{R}=1-\mathcal{T}$ valószínűséggel pedig pedig a az 1-es elektródából bejövő módus reflexiójából származik: | ||
− | $$\mathrm{d}I_1^-(\ | + | $$\mathrm{d}I_1^-(\varepsilon)=\mathrm{d}I_1^+(\varepsilon)\cdot (1-\mathcal{T}) + \mathrm{d}I_2^-(\varepsilon)\cdot \mathcal{T},$$ |
így a negatív és pozitív irányba haladó áramkomponensek együttes járuléka: | így a negatív és pozitív irányba haladó áramkomponensek együttes járuléka: | ||
− | $$\mathrm{d}I_1=\mathrm{d}I_1^+ - \mathrm{d}I_1^- = \frac{2 e}{h} \cdot \mathcal{T} \cdot [f_1(\ | + | $$\mathrm{d}I_1=\mathrm{d}I_1^+ - \mathrm{d}I_1^- = \frac{2 e}{h} \cdot \mathcal{T} \cdot [f_1(\varepsilon)-f_2(\varepsilon)]\mathrm{d}\epsilon.$$ |
A teljes áramot integrálással kapjuk meg: | A teljes áramot integrálással kapjuk meg: | ||
− | $$I=\frac{2 e}{h} \cdot \int \mathcal{T}\cdot [f_1(\ | + | $$I=\frac{2 e}{h} \cdot \int \mathcal{T}\cdot [f_1(\varepsilon)-f_2(\varepsilon)]\mathrm{d}\varepsilon.$$ |
− | A két Fermi-függvény különbsége a $\mu_1$ és $\mu_2$ kémiai potenciálok közötti energiatartományban, illetve a két kémiai potenciál körüli $kT$ energiatartományban különbözik zérustól. Feltételezve hogy ebben a tartományban a $\mathcal{T}$ transzmisszós valószínűség energiafüggetlen, és kihasználva a $\int \mathrm{d} \ | + | A két Fermi-függvény különbsége a $\mu_1$ és $\mu_2$ kémiai potenciálok közötti energiatartományban, illetve a két kémiai potenciál körüli $kT$ energiatartományban különbözik zérustól. Feltételezve hogy ebben a tartományban a $\mathcal{T}$ transzmisszós valószínűség energiafüggetlen, és kihasználva a $\int \mathrm{d} \varepsilon (f_1(\varepsilon)-f_2(\varepsilon))=eV$ azonosságot a vezetőképességre véges hőmérsékleten is a |
$$G=\frac{2 e^2}{h}\cdot \mathcal{T}$$ | $$G=\frac{2 e^2}{h}\cdot \mathcal{T}$$ | ||
eredményt kapjuk. Ha a transzmissziós valószínűség nem tekinthető energiafüggetlennek, akkor $\mathcal{T}$-t a releváns energiatartományra vett átlagos transzmissziós valószínűségnek kell tekinteni. | eredményt kapjuk. Ha a transzmissziós valószínűség nem tekinthető energiafüggetlennek, akkor $\mathcal{T}$-t a releváns energiatartományra vett átlagos transzmissziós valószínűségnek kell tekinteni. | ||
− | + | {| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | |
− | [[Fájl:Transzmisszios_matrix_2.png|közép|250px | + | |- |
− | + | | align="center"|[[Fájl:Transzmisszios_matrix_2.png|közép|250px]] | |
+ | |- | ||
+ | | align="center"|5. ábra. ''Többcsatornás kvantumvezeték leírása $\hat{t}$ transzmissziós mátrixszal'' | ||
+ | |} | ||
− | Több vezetési csatorna esetén a szórócentrum hatását egy komplex transzmissziós mátrixszal ($t$) írhatjuk le, mely a bal oldalon az egyes csatornákban bejövő, azaz az elektródától a szórócentrum felé haladó illetve a jobb oldalon kimenő, azaz a szórócentrumtól az elektróda felé haladó módusok között teremt kapcsolatot | + | Több vezetési csatorna esetén a szórócentrum hatását egy komplex transzmissziós mátrixszal ($\hat{t}$) írhatjuk le, mely a bal oldalon az egyes csatornákban bejövő, azaz az elektródától a szórócentrum felé haladó illetve a jobb oldalon kimenő, azaz a szórócentrumtól az elektróda felé haladó módusok között teremt kapcsolatot: |
− | $$\left| \mathrm{ki} \right>_2=\hat{t} \left| \mathrm{be} \right>_1$$ | + | $$\left| \mathrm{ki} \right>_2=\hat{t} \left| \mathrm{be} \right>_1.$$ |
Megmutatható, hogy a vezetőképesség ebben az esetben | Megmutatható, hogy a vezetőképesség ebben az esetben | ||
109. sor: | 120. sor: | ||
$$G = \frac{2 e^2}{h} \sum \limits_{i=1..N} \mathcal{T}_i.$$ | $$G = \frac{2 e^2}{h} \sum \limits_{i=1..N} \mathcal{T}_i.$$ | ||
A $\hat{t}^\dagger \hat{t}$ operátor sajátértékeinek megfelelő $\mathcal{T}_i$ transzmissziós együtthatók az i-edik ''sajátcsatorna'' transzmissziós valószínűségét adják meg. | A $\hat{t}^\dagger \hat{t}$ operátor sajátértékeinek megfelelő $\mathcal{T}_i$ transzmissziós együtthatók az i-edik ''sajátcsatorna'' transzmissziós valószínűségét adják meg. | ||
− | |||
</wlatex> | </wlatex> | ||
− | == Vezetőképesség kvantálás kvantum | + | == Vezetőképesség-kvantálás kvantum-pontkontaktusban== |
<wlatex> | <wlatex> | ||
+ | Vegyünk egy olyan kétdimenziós kvantumvezetéket, melyben nincsenek szórócentrumok, a vezeték $W$ szélessége pedig lassan (adiabatikusan) változik a hossztengely mentén (6. ábra alsó panel). A lassan változó szélességnek köszönhetően a vezeték lokálisan mindenütt jól közelíthető egy párhuzamos falú vezetékdarabbal, és a hullámfüggvények leírhatók az adott szélességhez tartozó keresztirányú állóhullámokkal, illetve hosszirányú síkhullám terjedéssel. A 6. ábra felső panele a keresztirányú állóhullámokhoz tartozó energiát ábrázolja a vezeték mentén különböző vezetési csatornákra. Egyértelmű, hogy azon vezetési csatornák tudnak csak átjutni a vezetéken (ú.n. ''kvantum-pontkontaktuson''), melyek keresztirányú energiája a vezeték legkisebb keresztmetszeténél is a Fermi-energia alatt van. | ||
− | + | {| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | |
+ | |- | ||
+ | | align="center"|[[Fájl:PointContact2.png|közép|500px]] | ||
+ | |- | ||
+ | | align="center"|6. ábra. ''Keresztirányú energiák egy adiabatikus kvantum-pontkontaktusban'' | ||
+ | |} | ||
− | A | + | A 7. ábra a vezetékben kialakuló diszperziós relációkat mutatja a vezeték két közeli tartományában. A jobb oldali panel egy kicsit keskenyebb vezetékszakaszhoz tartozik mint a bal oldali, így a nagyobb keresztirányú energia miatt a parabolikus diszperziók felfele tolódnak. Mivel a vezeték lokálisan közel transzlációinvariáns, így a hosszirányú impulzus és a $k$ hullámszám csak keveset változhat miközben az elektron egy adott tartományból eljut egy másik, közeli tartományba. Egy adott vezetési csatornában $k$ hullámszámmal rendelkező állapot a vezeték keskenyedése során csak úgy tud mindig kis impulzusváltozással előre haladni, ha ugyanabban a vezetési csatornában marad (lásd zöld nyíl). Más csatornába történő átszóródás, illetve visszaszóródás esetén $k$ jelentősen változna. Kicsit más a helyzet, ha az előrehaladás után az adott csatorna diszperziós relációjának alja a Fermi-energia fölé kerül, azaz az elektron nem tud továbbhaladni. Ebben az esetben az a legkisebb impulzusváltozással járó folyamat, ha nullához közeli de pozitív bejövő $k$-val rendelkező elektron ugyanazon csatorna $-k$ állapotába szóródik vissza (piros nyíl). |
+ | |||
+ | {| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | ||
+ | |- | ||
+ | | align="center"|[[Fájl:Adiabatic2.png|közép|800px]] | ||
+ | |- | ||
+ | | align="center"|7. ábra. ''Adiabatikus kvantumvezetékben az elektronok a saját vezetési csatornájukban haladnak előre, illetve ha a csatorna bezáródik, akkor visszaszóródnak'' | ||
+ | |} | ||
− | A fenti érvek alapján elmondható, hogy egy lassan változó szélességű kvantum-pontkontaktusban az összes olyan csatorna melyhez tartozó keresztirányú energia a legkisebb keresztmetszetben is a Fermi-energia alatt van $\mathcal{T}=1$ valószínűséggel transzmittálódik (lásd zöld görbék a | + | A fenti érvek alapján elmondható, hogy egy lassan változó szélességű kvantum-pontkontaktusban az összes olyan csatorna, melyhez tartozó keresztirányú energia a legkisebb keresztmetszetben is a Fermi-energia alatt van, $\mathcal{T}=1$ valószínűséggel transzmittálódik (lásd zöld görbék a 6. ábrán), az összes többi csatorna pedig $\mathcal{R}=1$ valószínűséggel reflektálódik (piros görbék a 6. ábrán), azaz a vezetőképesség a vezetőképesség-kvantum egész számú többszöröse: |
$$G=\frac{2e^2}{h}M,$$ | $$G=\frac{2e^2}{h}M,$$ | ||
ahol $M$ a legkisebb keresztmetszetben ''elférő'' keresztirányú módusok száma. | ahol $M$ a legkisebb keresztmetszetben ''elférő'' keresztirányú módusok száma. | ||
− | < | + | Ez a jelenség kísérletekben is megfigyelhető, elsőként van Wees és szerzőtársai,<sup>[http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.60.848 1]</sup> illetve Wharam és szerzőtársai<sup>[http://dx.doi.org/10.1088/0022-3719/21/8/002 2]</sup> demonstrálták a vezetőképesség-kvantálást kétdimenziós elektrongáz-rendszerből kialakított kvantum-pontkontaktusban. A kísérletet sematikusan a 8. ábra szemlélteti. A kétdimenziós elektrongázban két felső kapuelektróda segítségével egy keskeny csatornát alakítunk ki, a csatorna szélessége a kapuelektródákra adott feszültséggel hangolható. Először a kapuelektródák alatt teljesen kiürítjük a kétdimenziós elektrongázt, majd a kapufeszültség változtatásával folyamatosan kinyitjuk a csatornát, és egyre szélesebb pontkontaktust alakítunk ki a két elektróda között. A vezetőképesség eközben lépcsőszerűen változik, először zérusról $2e^2/h$-ra nő, majd a vezetési csatornák egyenkénti kinyílásával a vezetőképesség-kvantum egész számú töbszöröseinél látunk platókat. |
− | [[ | + | |
− | </ | + | |
− | + | {| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | |
− | + | |- | |
− | Vezetőképesség kvantálás | + | | align="center"|[[Fájl:2DEG_contact.ogv|bélyegkép|közép|800px|thumbtime=0:10]] |
+ | |- | ||
+ | | align="center"|8. ábra. ''Vezetőképesség-kvantálás kvantum-pontkontaktusban'' | ||
+ | |} | ||
− | + | Fontos megjegyezni, hogy egy félvezetőben - így a 8. ábrán szemléltetett kvantum-pontkontaktusban - az elektronok Fermi-hullámhossza párszor tíz nanométer nagyságrendű, így az elektronok ''nem látják'' az anyag atomi felépítéséből adódó, tized nanométer nagyságrendű egyenetlenséget, hanem egy sima, közel adiabatikus csatornát látnak. Ezzel szemben fémekben a Fermi-hullámhossz a szomszédos atomok távolságával összemérhető, így egyetlen vagy pár nyitott vezetési csatornával rendelkező pontkontaktust úgy kaphatunk, ha két elektródát mondjuk egyetlen atom köt össze. Ebben az esetben az elektronok a hullámhosszukkal azonos skálán változó, az anyag atomi felépítését tükröző potenciálban mozognak (lásd 9. ábra), melyről nem várjuk hogy adiabatikus legyen, azaz vezetőképesség-kvantálást sem várunk. A kísérletek ezt alá is támasztják,<sup>[http://dx.doi.org/10.1016%2FS0370-1573%2802%2900633-6 3]</sup> a legtöbb fémből készült atomi méretű kontaktusban ugyan csak pár nyitott vezetési csatorna áll rendelkezésre, de az azokhoz tartozó $\mathcal{T}_i$ transzmissziós sajátértékek általában tökéletlen transzmissziónak felelnek meg. Atomi mérető kontaktusok viselkedéséről röviden a [[Nanoszerkezetek előállítási és vizsgálati technikái#Önszerveződő_nanoszerkezetek|''Nanoszerkezetek előállítási és vizsgálati technikái'']] fejezetben számolunk be. | |
− | + | ||
{| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | {| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | ||
|- | |- | ||
− | | [[Fájl: | + | | align="center"|[[Fájl:PointContact.png|közép|300px]] |
|- | |- | ||
− | | align="center"| | + | | align="center"|9. ábra. ''A hullámhossz skáláján változó potenciálban nem várunk vezetőképesség-kvantálást'' |
|} | |} | ||
+ | </wlatex> | ||
− | + | ==Hivatkozások== | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ===Fent hivatkozott szakcikkek=== | |
+ | [1] [http://prl.aps.org/abstract/PRL/v60/i9/p848_1 B. J. van Wees, H. van Houten, C. W. J. Beenakker, J. G. Williamson, L. P. Kouwenhoven, D. van der Marel, C. T. Foxon: ''Quantized conductance of point contacts in a two-dimensional electron gas'', '''Phys. Rev. Lett. 60'' p848–850 (1988)] | ||
+ | |||
+ | [2] [http://iopscience.iop.org/0022-3719/21/8/002/ D A Wharam, T J Thornton, R Newbury, M Pepper, H Ahmed, J E F Frost, D G Hasko, D C Peacock, D A Ritchie and G A C Jones: ''One-dimensional transport and the quantisation of the ballistic resistance'', '''Journal of Physics C: Solid State Physics 21''' L209 (1988)] | ||
+ | |||
+ | [3] [http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0370157302006336 Nicolás Agrait, Alfredo Levy Yeyati, Jan M. van Ruitenbeek: ''Quantum properties of atomic-sized conductors'', '''Physics Reports 377''', p81–279 (2003)] | ||
+ | |||
+ | ===Ajánlott könyvek és összefoglaló cikkek=== | ||
+ | *[http://books.google.hu/books/about/Electronic_Transport_in_Mesoscopic_Syste.html?id=28BC-ofEhvUC&redir_esc=y S. Datta: ''Electronic Transport in Mesoscopic Systems'', Cambridge University Press (1997)] | ||
+ | *[http://books.google.hu/books/about/Semiconductor_Nanostructures.html?id=qD6623gfAZgC&redir_esc=y Thomas Ihn: ''Semiconducting nanosctructures'', OUP Oxford (2010)] | ||
+ | *[http://books.google.hu/books?id=YNr4OcCExUcC&printsec=frontcover&dq=Nazarov+quantum+transport&hl=hu&sa=X&ei=2SzZUfGCMYna4ASDq4DQBQ&ved=0CDIQ6AEwAA Yuli V. Nazarov, Yaroslav M. Blanter: ''Quantum Transport: Introduction to Nanoscience'', Cambridge University Press (2009)] | ||
+ | |||
+ | ===Ajánlott kurzusok=== | ||
+ | *[[Új kísérletek a nanofizikában|''Új kísérletek a nanofizikában'', Halbritter András és Csonka Szabolcs, BME Fizika Tanszék]] | ||
+ | *[[Transzport komplex nanoszerkezetekben|''Transzport komplex nanoszerkezetekben'', Halbritter András, Csonka Szabolcs, Csontos Miklós, Makk Péter, BME Fizika Tanszék]] | ||
+ | *[[Alkalmazott szilárdtestfizika|''Alkalmazott szilárdtestfizika'', Mihály György, BME Fizika Tanszék]] | ||
+ | *[[Fizika 3 - Villamosmérnöki mesterszak|''Fizika 3'', Mihály György, BME Fizika Tanszék (mérnök hallgatóknak)]] | ||
+ | *[http://www.phy.bme.hu/~zarand/mezoszkopia.html ''Mezoszkopikus rendszerek fizikája'', Zaránd Gergely, BME Elméleti Fizika Tanszék] | ||
+ | *''Mezoszkopikus rendszerek fizikája'', Cserti József, ELTE Komplex Rendszerek Fizikája Tanszék |
A lap jelenlegi, 2014. február 13., 16:51-kori változata
Tartalomjegyzék |
Karakterisztikus méretskálák
Egy nanométeres skálájú objektum vezetési tulajdonságai több szempontból eltérnek a makroszkopikus skálán megszokott jelenségektől.
Makroszkopikus vezetékek ellenállása jól leírható az Ohm-törvénnyel: az áramsűrűség a fajlagos vezetőképesség és az elektromos tér szorzata, a vezetőképesség pedig arányos a vezeték keresztmetszetével és fordítottan arányos a hosszával:
![\[\vec{j}=\sigma \cdot \vec{E}, \ \ \ G=R^{-1}=\frac{A\cdot \sigma}{L}\]](/images/math/7/b/c/7bc09554c31016e9d495c03164518ac1.png)
Az Ohm-törvény egyszerűen magyarázható az elektromos vezetés Drude-modelljével. Az elektronok a kristályrácsban két ütközés közötti
karakterisztikus idő alatt
impulzust nyernek, majd a véletlen irányba történő szóródás hatására ezt elveszítik. Ennek megfelelően
elektronsűrűség esetén az az áramsűrűség illetve fajlagos vezetőképesség:
![\[\vec{j}=n\cdot e\cdot v_\mathrm{drift}\ \ \ \rightarrow \ \ \ \sigma=\frac{ne^2\tau_m}{m}.\]](/images/math/f/a/b/fab95ca33435af25c18d27f16f26f4af.png)
Az elektronok két ütközés között eltelt momentumrelaxációs idő alatt
utat tesznek meg, ahol
a
Fermi-sebesség. A Drude-modell értelmét veszti ha a vizsgált vezeték karakterisztikus mérete (
) kisebb mint az ütközések skáláját jellemző
momentumrelaxációs szabadúthossz. Ezen feltétel alapján megkülönböztethetünk diffúzív vezetékeket (
), melyekben a elektronok sokszor szóródnak mialatt eljutnak az egyik elektródából a másikba (1/a. ábra), illetve ballisztikus nanovezetékeket (
), melyekben az elektronok csak a vezeték falán szóródnak, de a vezetéken belül nem (1/b. ábra).
1/a. ábra. Diffúzív vezeték | 1/b. ábra. Ballisztikus vezeték |
A két határeset között lényeges különbség jól szemléltethető az ellenállás hosszfüggésével: míg egy diffúzív vezeték ellenállása nő a vezeték hosszának növelésével, addig az 1/b. ábrán szemléltetett ballisztikus vezetékbe bejutó elektronok visszaszórás nélkül átjutnak a túloldalra, azaz az ellenállás nem függ a vezeték hosszától.
Az elektronok hullámtermészetét figyelembe véve azt is érdemes megvizsgálni, hogy a vizsgált rendszer méretének skáláján megőrződik-e az elektronhullámok fázisinformációja. Ha a minta mérete kisebb mint az fázisrelaxációs hossz, akkor a vezetési tulajdonságok makroszkopikus skálán nem tapasztalható érdekes interferencia-jelenségeket mutatnak, melyeket az interferencia és dekoherencia nanoszerkezetekben fejezetben szemléltetünk.
Szintén érdekes kérdés, hogy a vizsgált nanoszerkezetben megőrződik-e az elektronok spininformációja. Az ún. spindiffúziós hossznál () kisebb, mágnesesen rendezett tartományokat tartalmazó nanoszerkezetekben érdekes spintronikai jelenségeket tapasztalhatunk.
További érdekes jelenségekkel találkozhatunk, ha a vezeték keresztmetszete az elektronok Fermi-hullámhosszával összemérhetővé válik, . Ezt a határesetet tárgyaljuk az alábbiakban.
Kvantumvezeték ellenállása
Az elektronok hullámhosszával összemérhető vezetékek tulajdonságait vizsgáljuk meg egy egyszerű modellel: két elektrontartályt kössünk össze egy kétdimenziós, párhuzamos falú ideális kvantumvezetékkel, melyben az elektronok szóródás nélkül haladnak (2. ábra).
2. ábra. Ideális kvantumvezeték |
Hard wall határfeltételt alkalmazva (azaz a bezáró potenciál a vezetéken belül ill. kívül zérus ill. végtelen) egyszerűen felírható az elektronok hullámfüggvénye:
![\[\Psi_{n,k}(x,y)=e^{ikx}\cdot \sin\left(\frac{n \pi y}{W} \right),\]](/images/math/c/b/b/cbb631029abef03f779de5d448cf7b17.png)
azaz hosszirányban () síkhullám terjedést, keresztirányban pedig kvantált állóhullámokat kapunk. Ennek megfelelően az elektronok energiája:
![\[\varepsilon_n(k)=\frac{\hbar^2k^2}{2 m} + \frac{\pi^2 \hbar^2}{2 m W^2}\cdot n^2,\]](/images/math/c/7/7/c772508502b24caf1faa4c68c5109a51.png)
ahol az
-irányú síkhullám terjedéshez tartozó hullámszám,
pedig a kvantált keresztmódust (
-irányú állóhullámot) jellemzi. Az energiakifejezés a 3/a. ábrán szemléltetett, egymáshoz képest a keresztirányú energiák szerint eltolt egydimenziós diszperziós relációknak felel meg. Értelemszerűen csak azon módusokon (ún. vezetési csatornákon) keresztül folyhat áram, melyekhez tartozó keresztirányú energia kisebb az elektródák Fermi-energiájánál, azaz a diszperziós reláció metszi a Fermi-szintet. Ezen feltételnek megfelelő módusokat nyitott vezetési csatornának nevezzük, a nyitott csatornák számát
-mel jelöljük.
3/a. ábra. Diszperzós reláció ideális kvantumvezetékben | 3/b. ábra. Diszperzós reláció a mintára feszültséget kapcsolva |
Ha a két elektrontartály közé feszültséget kapcsolunk akkor a nanovezeték elektronállapotai a 3/b. ábrán szemléltetett módon töltődnek be: a pozitív
-val rendelkező állapotok mind a bal oldali elektródából származnak, így ezek
-vel magasabb energiáig vannak betöltve mint a jobb oldali elektródából származó, negatív
-val rendelkező állapotok. Áramot csak a
ás
kémiai potenciál közötti tartományban levő pozitív
-jú állapotok szállítanak, hiszen
kémiai potenciál alatt a pozitív és negatív irányba haladó állapotok egyaránt betöltöttek, így eredő áramuk zérus lesz.
Egy adott vezetési csatornára az elektronok sebességét, illetve az állapotsűrűséget a következőképpen írhatjuk:
![\[v_n=\frac{1}{\hbar}\frac{\partial \varepsilon_n(k)}{\partial k},\ \ \ \ g_n=\frac{L}{2\pi}\left(\frac{\partial \varepsilon_n(k)}{\partial k}\right)^{-1}.\]](/images/math/f/4/f/f4f7ceadc88e3403d53b0023da1ad7c4.png)
Az energiasávban található elektronok sűrűségét
képlettel számolhatjuk. A vezetékben folyó áram számolásához az elektrontöltés, a sebesség és az elektronsűrűség szorzatát kell képezni, illetve ezt összegezni a különböző vezetési csatornákra:
![\[I=2\sum_{n=1}^{M}e v_n n_n =\frac{2e^2}{h}MV,\]](/images/math/6/1/c/61ce1c2052a80ff9f33efa0b2b800ba5.png)
ahol a kettes szorzó a spin szerinti degenerációnak felel meg. Mivel a sebesség és az elektronsűrűség szorzatában az energiadiszperzió deriváltja kiesik, a kvantumvezeték vezetőképessége egyszerűen a vezetőképesség-kvantum egész számú többszörösének adódik. Érdemes megjegyezni, hogy a hosszirányú transzláció-invariancia miatt az
irányú impulzus megmarad,
így az egyes csatornák között nem történhet átszóródás, mert az a
hullámszám megváltozásával járna, azaz a vezetési csatornák áramjárulékát valóban tekinthetjük egymástól függetlennek.
A fenti számolásban abból indultunk ki, hogy csak az elektródák kémiai potenciálja alatt találunk betöltött állapotokat, azaz zérus hőmérsékletet tételezünk fel. Véges hőmérsékleten a kémiai potenciál szélességű környezetében egyaránt találhatók betöltött és betöltetlen állapotok, az állapotok betöltöttségének valószínűségét a Fermi-függvény írja le:
![\[f(\varepsilon)=\frac{1}{e^{\frac{\varepsilon -\mu}{kT}}+1}.\]](/images/math/5/a/a/5aae133ab52ed8c35f1826a9457cb79c.png)
Az kvantumvezeték belsejében a , bal oldali elektródából származó elektronállapotok betöltöttségét az 1-es elektróda
betöltési szám függvénye írja le, míg a
állapotok a 2-es elektróda
betöltési szám függvényével jellemezhetők, ahol
és
egymáshoz képest
energiával eltolt Fermi-függvények. Ez a leírás egyben az elektrontartályok tökéletességét is feltételezi, azaz a kvantumvezetékből az egyik elektródába érkező elektronok csak termalizálódás után szóródhatnak vissza a kvantumvezetékbe, így az elektródát elhagyó elektronok valóban az elektróda Fermi-függvénye szerinti energiaeloszlást követik.
A fentiek alapján véges hőmérsékleten a vezetékben pozitív illetve negatív irányba folyó áramot az
![\[I^+=\frac{2 e}{L} \sum \limits_{k>0} v_k f_1(\varepsilon_k) = 2e \int \frac{\mathrm{d}k}{2 \pi}\frac{\partial \varepsilon_k}{\hbar \partial k} f_1(\varepsilon_k) = \frac{2 e}{h}\int \mathrm{d} \varepsilon f_1(\varepsilon),\]](/images/math/3/1/c/31c4678e29410e7fa637f9687cb858a1.png)
![\[I^-=\frac{2 e}{L} \sum \limits_{k<0} v_k f_2(\varepsilon_k) = \frac{2 e}{h}\int \mathrm{d} \varepsilon f_2(\varepsilon)\]](/images/math/b/6/2/b62e9effa804bd451c8f5b37e453b7a3.png)
képletek írják le, azaz az eredő áram:
![\[I=I^+-I^-=\frac{2 e}{h} \int \mathrm{d} \varepsilon (f_1(\varepsilon)-f_2(\varepsilon))=\frac{2 e}{h}e V.\]](/images/math/e/8/0/e80de55ed30db22f813dd9ffdbc36397.png)
Mivel integrál tetszőleges hőmérsékleten
-vel egyenlő, így egy egycsatornás ideális kvantumvezeték ellenállása tetszőleges hőmérsékleten a
vezetőképesség-kvantum, ami
ellenállásnak felel meg.
Landauer-formula
Most tekintsük azt az egyszerű modellt, amikor egy egycsatornás, ideális kvantumvezeték közepén egy szórócentrum található, melyen valószínűséggel jutnak át az elektronok. Ebben az esetben az elektródák felől a szórócentrum felé haladó állapotok továbbra is a megfelelő elektródából származnak, és ennek az eloszlásfüggvényét követik (lásd a 4. ábrán a
és
áramkomponenseket). A szórócentrumtól az elektródák felé haladó állapotok viszont kevertek, pl. a
áramjáruléknál egyaránt figyelembe kell venni az 1-es elektródából induló és a szórócentrumon reflektálódó, illetve a 2-es elektródából induló és a szórócentrumon transzmittálódó elektronokat.
4. ábra. Egycsatornás kvantumvezeték ![]() |
Zérus hőmérsékleten csak a kémiai potenciál alatti állapotok származhatnak mindkét elektródából, azonban az
állapotok teljes árama értelemszerűen zérust ad, hiszen ez annak felel meg, mintha zérus feszültséget kapcsoltunk volna a rendszerre. Így a véges áramért továbbra is
állapotok felelnek, melyek csak az 1-es elektródából származhatnak. Így a teljes áram könnyen számolható például a szórócentrum és a 2-es elektróda közötti vezetékdarabban. Itt a
energiasávban levő elektronok
esetén a korábbiak alapján
áramot adnának, ami
esetén értelemszerűen a transzmittálódó elektronok hányadával skálázódik, azaz
. Így egy egycsatornás,
transzmisszós valószínűségű szórócentrumot tartalmazó nanovezeték vezetőképessége:
![\[G=\frac{2e^2}{h}\mathcal{T} .\]](/images/math/3/c/3/3c33c14c13478a7d5031d6b5b51ced23.png)
Vizsgáljuk meg, hogy ez az eredmény érvényes-e véges hőmérsékleten is. A és
áramkomponensek kizárólag az 1-es illetve a 2-es elektródából származnak, így a korábbiak alapján egy
energiatartományban az áramjárulékuk:
![\[\mathrm{d}I_1^+(\varepsilon)=\frac{2 e}{h}\cdot f_1(\varepsilon)\mathrm{d}\varepsilon,\;\; \mathrm{d}I_2^-(\varepsilon)=\frac{2 e}{h}\cdot f_2(\varepsilon)\mathrm{d}\varepsilon.\]](/images/math/e/9/8/e983f21ad16c4ed34dc48057d58842ce.png)
Ha az áramot a szórócentrum és az 1-es elektróda közötti vezetékdarabon akarjuk kiértékelni, akkor szükségünk van a áramjárulékra is, mely
valószínűséggel a 2-es elektródából bejövő módus transzmissziójából,
valószínűséggel pedig pedig a az 1-es elektródából bejövő módus reflexiójából származik:
![\[\mathrm{d}I_1^-(\varepsilon)=\mathrm{d}I_1^+(\varepsilon)\cdot (1-\mathcal{T}) + \mathrm{d}I_2^-(\varepsilon)\cdot \mathcal{T},\]](/images/math/1/c/a/1ca0063385d01527198c7d015ff1c0a9.png)
így a negatív és pozitív irányba haladó áramkomponensek együttes járuléka:
![\[\mathrm{d}I_1=\mathrm{d}I_1^+ - \mathrm{d}I_1^- = \frac{2 e}{h} \cdot \mathcal{T} \cdot [f_1(\varepsilon)-f_2(\varepsilon)]\mathrm{d}\epsilon.\]](/images/math/f/3/9/f39db877ac18b4c6636656330ee65181.png)
A teljes áramot integrálással kapjuk meg:
![\[I=\frac{2 e}{h} \cdot \int \mathcal{T}\cdot [f_1(\varepsilon)-f_2(\varepsilon)]\mathrm{d}\varepsilon.\]](/images/math/f/c/b/fcb985a47ca9ef664771724359b3c658.png)
A két Fermi-függvény különbsége a és
kémiai potenciálok közötti energiatartományban, illetve a két kémiai potenciál körüli
energiatartományban különbözik zérustól. Feltételezve hogy ebben a tartományban a
transzmisszós valószínűség energiafüggetlen, és kihasználva a
azonosságot a vezetőképességre véges hőmérsékleten is a
![\[G=\frac{2 e^2}{h}\cdot \mathcal{T}\]](/images/math/3/9/c/39c19c41cf54b36e17aafebf82ee4a19.png)
eredményt kapjuk. Ha a transzmissziós valószínűség nem tekinthető energiafüggetlennek, akkor -t a releváns energiatartományra vett átlagos transzmissziós valószínűségnek kell tekinteni.
5. ábra. Többcsatornás kvantumvezeték leírása ![]() |
Több vezetési csatorna esetén a szórócentrum hatását egy komplex transzmissziós mátrixszal () írhatjuk le, mely a bal oldalon az egyes csatornákban bejövő, azaz az elektródától a szórócentrum felé haladó illetve a jobb oldalon kimenő, azaz a szórócentrumtól az elektróda felé haladó módusok között teremt kapcsolatot:
![\[\left| \mathrm{ki} \right>_2=\hat{t} \left| \mathrm{be} \right>_1.\]](/images/math/3/1/5/3157e2b71d142f8d8906ed5935cf03e9.png)
Megmutatható, hogy a vezetőképesség ebben az esetben
![\[G = \frac{2 e^2}{h} \mathrm{Tr}(\hat{t}^\dagger \hat{t})\]](/images/math/7/3/1/731d25473a2b91fd02df762b3eef3887.png)
formában írható. A kifejezést átírhatjuk
formában, ahol
a bal oldali i-edik csatornából a jobb oldali j-edik vezetési csatornába történő átszórás valószínűségét adja meg. Ennek megfelelően a vezetőképesség
![\[G = \frac{2 e^2}{h} \sum \limits_{i,j} \mathcal{T}_{j,i}\]](/images/math/d/d/6/dd6a269bd64cb9e81b26fe13d09f4ea4.png)
formában írható. Megfelelő bázisban a probléma diagonalizálható, azaz elérhető hogy a jobb oldali i-edik csatornából csak a bal oldali i-edik csatornába tudjanak szóródni elektronok. Ekkor a rendszer a nyitott vezetési csatornák számának megfelelő db. egymástól független egydimenziós vezetéknek tekinthető, melyek vezetőképesség-járulékát egyszerűen összegezhetjük:
![\[G = \frac{2 e^2}{h} \sum \limits_{i=1..N} \mathcal{T}_i.\]](/images/math/b/5/d/b5ddacc209168c8bfd3c40d09bd11038.png)
A operátor sajátértékeinek megfelelő
transzmissziós együtthatók az i-edik sajátcsatorna transzmissziós valószínűségét adják meg.
Vezetőképesség-kvantálás kvantum-pontkontaktusban
Vegyünk egy olyan kétdimenziós kvantumvezetéket, melyben nincsenek szórócentrumok, a vezeték szélessége pedig lassan (adiabatikusan) változik a hossztengely mentén (6. ábra alsó panel). A lassan változó szélességnek köszönhetően a vezeték lokálisan mindenütt jól közelíthető egy párhuzamos falú vezetékdarabbal, és a hullámfüggvények leírhatók az adott szélességhez tartozó keresztirányú állóhullámokkal, illetve hosszirányú síkhullám terjedéssel. A 6. ábra felső panele a keresztirányú állóhullámokhoz tartozó energiát ábrázolja a vezeték mentén különböző vezetési csatornákra. Egyértelmű, hogy azon vezetési csatornák tudnak csak átjutni a vezetéken (ú.n. kvantum-pontkontaktuson), melyek keresztirányú energiája a vezeték legkisebb keresztmetszeténél is a Fermi-energia alatt van.
6. ábra. Keresztirányú energiák egy adiabatikus kvantum-pontkontaktusban |
A 7. ábra a vezetékben kialakuló diszperziós relációkat mutatja a vezeték két közeli tartományában. A jobb oldali panel egy kicsit keskenyebb vezetékszakaszhoz tartozik mint a bal oldali, így a nagyobb keresztirányú energia miatt a parabolikus diszperziók felfele tolódnak. Mivel a vezeték lokálisan közel transzlációinvariáns, így a hosszirányú impulzus és a hullámszám csak keveset változhat miközben az elektron egy adott tartományból eljut egy másik, közeli tartományba. Egy adott vezetési csatornában
hullámszámmal rendelkező állapot a vezeték keskenyedése során csak úgy tud mindig kis impulzusváltozással előre haladni, ha ugyanabban a vezetési csatornában marad (lásd zöld nyíl). Más csatornába történő átszóródás, illetve visszaszóródás esetén
jelentősen változna. Kicsit más a helyzet, ha az előrehaladás után az adott csatorna diszperziós relációjának alja a Fermi-energia fölé kerül, azaz az elektron nem tud továbbhaladni. Ebben az esetben az a legkisebb impulzusváltozással járó folyamat, ha nullához közeli de pozitív bejövő
-val rendelkező elektron ugyanazon csatorna
állapotába szóródik vissza (piros nyíl).
7. ábra. Adiabatikus kvantumvezetékben az elektronok a saját vezetési csatornájukban haladnak előre, illetve ha a csatorna bezáródik, akkor visszaszóródnak |
A fenti érvek alapján elmondható, hogy egy lassan változó szélességű kvantum-pontkontaktusban az összes olyan csatorna, melyhez tartozó keresztirányú energia a legkisebb keresztmetszetben is a Fermi-energia alatt van, valószínűséggel transzmittálódik (lásd zöld görbék a 6. ábrán), az összes többi csatorna pedig
valószínűséggel reflektálódik (piros görbék a 6. ábrán), azaz a vezetőképesség a vezetőképesség-kvantum egész számú többszöröse:
![\[G=\frac{2e^2}{h}M,\]](/images/math/a/5/a/a5af2626ce765f8c594e3b30ae49e615.png)
ahol a legkisebb keresztmetszetben elférő keresztirányú módusok száma.
Ez a jelenség kísérletekben is megfigyelhető, elsőként van Wees és szerzőtársai,1 illetve Wharam és szerzőtársai2 demonstrálták a vezetőképesség-kvantálást kétdimenziós elektrongáz-rendszerből kialakított kvantum-pontkontaktusban. A kísérletet sematikusan a 8. ábra szemlélteti. A kétdimenziós elektrongázban két felső kapuelektróda segítségével egy keskeny csatornát alakítunk ki, a csatorna szélessége a kapuelektródákra adott feszültséggel hangolható. Először a kapuelektródák alatt teljesen kiürítjük a kétdimenziós elektrongázt, majd a kapufeszültség változtatásával folyamatosan kinyitjuk a csatornát, és egyre szélesebb pontkontaktust alakítunk ki a két elektróda között. A vezetőképesség eközben lépcsőszerűen változik, először zérusról -ra nő, majd a vezetési csatornák egyenkénti kinyílásával a vezetőképesség-kvantum egész számú töbszöröseinél látunk platókat.
8. ábra. Vezetőképesség-kvantálás kvantum-pontkontaktusban |
Fontos megjegyezni, hogy egy félvezetőben - így a 8. ábrán szemléltetett kvantum-pontkontaktusban - az elektronok Fermi-hullámhossza párszor tíz nanométer nagyságrendű, így az elektronok nem látják az anyag atomi felépítéséből adódó, tized nanométer nagyságrendű egyenetlenséget, hanem egy sima, közel adiabatikus csatornát látnak. Ezzel szemben fémekben a Fermi-hullámhossz a szomszédos atomok távolságával összemérhető, így egyetlen vagy pár nyitott vezetési csatornával rendelkező pontkontaktust úgy kaphatunk, ha két elektródát mondjuk egyetlen atom köt össze. Ebben az esetben az elektronok a hullámhosszukkal azonos skálán változó, az anyag atomi felépítését tükröző potenciálban mozognak (lásd 9. ábra), melyről nem várjuk hogy adiabatikus legyen, azaz vezetőképesség-kvantálást sem várunk. A kísérletek ezt alá is támasztják,3 a legtöbb fémből készült atomi méretű kontaktusban ugyan csak pár nyitott vezetési csatorna áll rendelkezésre, de az azokhoz tartozó transzmissziós sajátértékek általában tökéletlen transzmissziónak felelnek meg. Atomi mérető kontaktusok viselkedéséről röviden a Nanoszerkezetek előállítási és vizsgálati technikái fejezetben számolunk be.
9. ábra. A hullámhossz skáláján változó potenciálban nem várunk vezetőképesség-kvantálást |
Hivatkozások
Fent hivatkozott szakcikkek
Ajánlott könyvek és összefoglaló cikkek
- S. Datta: Electronic Transport in Mesoscopic Systems, Cambridge University Press (1997)
- Thomas Ihn: Semiconducting nanosctructures, OUP Oxford (2010)
- Yuli V. Nazarov, Yaroslav M. Blanter: Quantum Transport: Introduction to Nanoscience, Cambridge University Press (2009)
Ajánlott kurzusok
- Új kísérletek a nanofizikában, Halbritter András és Csonka Szabolcs, BME Fizika Tanszék
- Transzport komplex nanoszerkezetekben, Halbritter András, Csonka Szabolcs, Csontos Miklós, Makk Péter, BME Fizika Tanszék
- Alkalmazott szilárdtestfizika, Mihály György, BME Fizika Tanszék
- Fizika 3, Mihály György, BME Fizika Tanszék (mérnök hallgatóknak)
- Mezoszkopikus rendszerek fizikája, Zaránd Gergely, BME Elméleti Fizika Tanszék
- Mezoszkopikus rendszerek fizikája, Cserti József, ELTE Komplex Rendszerek Fizikája Tanszék