„Transzport nanovezetékekben: Landauer-formula, vezetőképesség-kvantálás” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
(→‎Kvantumvezeték ellenállása)
(→‎Kvantumvezeték ellenállása)
 
(2 szerkesztő 34 közbeeső változata nincs mutatva)
1. sor: 1. sor:
 
==Karakterisztikus méretskálák==
 
==Karakterisztikus méretskálák==
−
 
 
<wlatex>
 
<wlatex>
 
Egy nanométeres skálájú objektum vezetési tulajdonságai több szempontból eltérnek a makroszkopikus skálán megszokott jelenségektől.  
 
Egy nanométeres skálájú objektum vezetési tulajdonságai több szempontból eltérnek a makroszkopikus skálán megszokott jelenségektől.  
14. sor: 13. sor:
 
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
 
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
 
|-
 
|-
−
| style="width: 400px;"| [[Fájl:diffuziv_vezetek.png|közép|300px|]]
+
| align="center" style="width: 400px;"| [[Fájl:diffuziv_vezetek.png|közép|300px|]]
−
| style="width: 400px;"| [[Fájl:ballisztikus_vezetek.png|közép|300px|]]
+
| align="center" style="width: 400px;"| [[Fájl:ballisztikus_vezetek.png|közép|300px|]]
 
|-
 
|-
 
| align="center"|1/a. ábra. ''Diffúzív vezeték''
 
| align="center"|1/a. ábra. ''Diffúzív vezeték''
27. sor: 26. sor:
 
Szintén érdekes kérdés, hogy a vizsgált nanoszerkezetben megőrződik-e az elektronok spininformációja. Az ún. ''spindiffúziós hossznál'' ($L_s$) kisebb, mágnesesen rendezett tartományokat tartalmazó nanoszerkezetekben érdekes [[Spintronika|''spintronikai'']] jelenségeket tapasztalhatunk.  
 
Szintén érdekes kérdés, hogy a vizsgált nanoszerkezetben megőrződik-e az elektronok spininformációja. Az ún. ''spindiffúziós hossznál'' ($L_s$) kisebb, mágnesesen rendezett tartományokat tartalmazó nanoszerkezetekben érdekes [[Spintronika|''spintronikai'']] jelenségeket tapasztalhatunk.  
  
−
További érdekes jelenségekkel találkozhatunk, ha a vezeték keresztmetszete a az elektronok Fermi-hullámhosszával összemérhetővé válik, $L\sim \lambda_F$. Ezt a határesetet tárgyaljuk az alábbiakban.
+
További érdekes jelenségekkel találkozhatunk, ha a vezeték keresztmetszete az elektronok Fermi-hullámhosszával összemérhetővé válik, $L\sim \lambda_F$. Ezt a határesetet tárgyaljuk az alábbiakban.
 
</wlatex>
 
</wlatex>
  
36. sor: 35. sor:
 
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
 
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
 
|-
 
|-
−
| [[Fájl:Qwire.png|közép|300px]]
+
| align="center"|[[Fájl:Qwire.png|közép|300px]]
 
|-
 
|-
 
| align="center"|2. ábra. ''Ideális kvantumvezeték''
 
| align="center"|2. ábra. ''Ideális kvantumvezeték''
44. sor: 43. sor:
 
$$\Psi_{n,k}(x,y)=e^{ikx}\cdot \sin\left(\frac{n \pi y}{W} \right),$$
 
$$\Psi_{n,k}(x,y)=e^{ikx}\cdot \sin\left(\frac{n \pi y}{W} \right),$$
 
azaz hosszirányban ($x$) síkhullám terjedést, keresztirányban pedig kvantált állóhullámokat kapunk. Ennek megfelelően az elektronok energiája:
 
azaz hosszirányban ($x$) síkhullám terjedést, keresztirányban pedig kvantált állóhullámokat kapunk. Ennek megfelelően az elektronok energiája:
−
$$\epsilon_n(k)=\frac{\hbar^2k^2}{2 m} + \frac{\pi^2 \hbar^2}{2 m W^2}\cdot n^2$$
+
$$\varepsilon_n(k)=\frac{\hbar^2k^2}{2 m} + \frac{\pi^2 \hbar^2}{2 m W^2}\cdot n^2,$$
−
ahol $k$ az $x$-irányú síkhullám terjedéshez tartozó hullámszám, $n$ pedig a kvantált keresztmódust ($y$-irányú állóhullámot) jellemzi. Az energiakifejezés a 3a ábrán szemléltetett, egymáshoz képest a keresztirányú energiák szerint eltolt egydimenziós diszperziós relációknak felel meg. Értelemszerűen csak azon módusokon (ún. ''vezetési csatornákon'') keresztül folyhat áram, melyekhez tartozó tartozó keresztirányú energia kisebb az elektródák Fermi energiájánál, azaz a diszperziós reláció metszi a Fermi szintet. Ezen feltételnek megfelelő módusokat nyitott vezetési csatornának nevezzük, a nyitott csatornák számát $M$-el jelöljük.  
+
ahol $k$ az $x$-irányú síkhullám terjedéshez tartozó hullámszám, $n$ pedig a kvantált keresztmódust ($y$-irányú állóhullámot) jellemzi. Az energiakifejezés a 3/a. ábrán szemléltetett, egymáshoz képest a keresztirányú energiák szerint eltolt egydimenziós diszperziós relációknak felel meg. Értelemszerűen csak azon módusokon (ún. ''vezetési csatornákon'') keresztül folyhat áram, melyekhez tartozó keresztirányú energia kisebb az elektródák Fermi-energiájánál, azaz a diszperziós reláció metszi a Fermi-szintet. Ezen feltételnek megfelelő módusokat nyitott vezetési csatornának nevezzük, a nyitott csatornák számát $M$-mel jelöljük.  
  
 
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
 
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
 
|-
 
|-
−
| [[Fájl:disp.png|közép|385px|]]
+
| align="center"|[[Fájl:disp.png|közép|385px|]]
−
| [[Fájl:disp_biased.png|közép|350px|]]
+
| align="center"|[[Fájl:disp_Biased.png|közép|350px|]]
 
|-
 
|-
 
| align="center"|3/a. ábra. ''Diszperzós reláció ideális kvantumvezetékben''
 
| align="center"|3/a. ábra. ''Diszperzós reláció ideális kvantumvezetékben''
57. sor: 56. sor:
  
  
−
Ha a két elektrontartály közé $V$ feszültséget kapcsolunk akkor a nanovezeték elektronállapotai a 3b ábrán szemléltetett módon töltődnek be: a pozitív $k$-val rendelkező állapotok mind a bal oldali elektródából származnak, így ezek $eV$-vel magasabb energiáig vannak betöltve mint a jobb oldali elektródából származó, negatív $k$-val rendelkező állapotok. Áramot csak a $\mu_1$ ás $\mu_2$ kémiai potenciál közötti tartományban levő pozitív $k$-jú állapotok szállítanak, hiszen $\mu_2$ kémiai potenciál alatt a pozitív és negatív irányba haladó állapotok egyaránt betöltöttek, így eredő áramuk zérus lesz.
+
Ha a két elektrontartály közé $V$ feszültséget kapcsolunk akkor a nanovezeték elektronállapotai a 3/b. ábrán szemléltetett módon töltődnek be: a pozitív $k$-val rendelkező állapotok mind a bal oldali elektródából származnak, így ezek $eV$-vel magasabb energiáig vannak betöltve mint a jobb oldali elektródából származó, negatív $k$-val rendelkező állapotok. Áramot csak a $\mu_1$ ás $\mu_2$ kémiai potenciál közötti tartományban levő pozitív $k$-jú állapotok szállítanak, hiszen $\mu_2$ kémiai potenciál alatt a pozitív és negatív irányba haladó állapotok egyaránt betöltöttek, így eredő áramuk zérus lesz.
  
−
Egy adott vezetési csatornára az elektronok sebességét, illetve az $eV$ energiasávban található elektronok sűrűségét
+
Egy adott vezetési csatornára az elektronok sebességét, illetve az állapotsűrűséget a következőképpen írhatjuk:
−
a következőképpen írhatjuk:
+
$$v_n=\frac{1}{\hbar}\frac{\partial \varepsilon_n(k)}{\partial k},\ \ \ \ g_n=\frac{L}{2\pi}\left(\frac{\partial \varepsilon_n(k)}{\partial k}\right)^{-1}.$$  
−
$$v_n=\frac{1}{\hbar}\frac{\partial \epsilon_n(k)}{\partial k},\ \ \ \ n_n=\frac{eV}{2\pi}\left(\frac{\partial \epsilon_n(k)}{\partial k}\right)^{-1}.$$
+
Az $eV$ energiasávban található elektronok sűrűségét $n_n=eV\cdot g_n/L$ képlettel számolhatjuk. A vezetékben folyó áram számolásához az elektrontöltés, a sebesség és az elektronsűrűség szorzatát kell képezni, illetve ezt összegezni a különböző vezetési csatornákra:
−
A vezetékben folyó áram számolásához az elektrontöltés, a sebesség és az elektronsűrűség szorzatát kell képezni, illetve ezt összegezni a különböző vezetési csatornákra:
+
 
$$I=2\sum_{n=1}^{M}e v_n n_n =\frac{2e^2}{h}MV,$$
 
$$I=2\sum_{n=1}^{M}e v_n n_n =\frac{2e^2}{h}MV,$$
−
ahol a kettes szorzó a spin szerinti degenerációnak felel meg. Mivel a sebesség és az elektronsűrűség szorzatában az energiadiszperzió deriváltja kiesik, a kvantumvezeték vezetőképessége egyszerűen a vezetőképesség-kvantum egész számú többszörösének adódik. Érdemes megjegyezni, hogy a hosszirányú irányú transzlációinvariancia miatt az $x$ irányú impulzus megmarad,  
+
ahol a kettes szorzó a spin szerinti degenerációnak felel meg. Mivel a sebesség és az elektronsűrűség szorzatában az energiadiszperzió deriváltja kiesik, a kvantumvezeték vezetőképessége egyszerűen a $G_0=2e^2/h$ ''vezetőképesség-kvantum'' egész számú többszörösének adódik. Érdemes megjegyezni, hogy a hosszirányú transzláció-invariancia miatt az $x$ irányú impulzus megmarad,  
 
így az egyes csatornák között nem történhet átszóródás, mert az a $k$ hullámszám megváltozásával járna, azaz a vezetési csatornák áramjárulékát valóban tekinthetjük egymástól függetlennek.
 
így az egyes csatornák között nem történhet átszóródás, mert az a $k$ hullámszám megváltozásával járna, azaz a vezetési csatornák áramjárulékát valóban tekinthetjük egymástól függetlennek.
  
 
A fenti számolásban abból indultunk ki, hogy csak az elektródák kémiai potenciálja alatt találunk betöltött állapotokat, azaz zérus hőmérsékletet tételezünk fel. Véges hőmérsékleten a kémiai potenciál $kT$ szélességű környezetében egyaránt találhatók betöltött és betöltetlen állapotok, az állapotok betöltöttségének valószínűségét a Fermi-függvény írja le:
 
A fenti számolásban abból indultunk ki, hogy csak az elektródák kémiai potenciálja alatt találunk betöltött állapotokat, azaz zérus hőmérsékletet tételezünk fel. Véges hőmérsékleten a kémiai potenciál $kT$ szélességű környezetében egyaránt találhatók betöltött és betöltetlen állapotok, az állapotok betöltöttségének valószínűségét a Fermi-függvény írja le:
−
$$f(\epsilon)=\frac{1}{e^{\frac{\epsilon -\mu}{kT}}+1}.$$
+
$$f(\varepsilon)=\frac{1}{e^{\frac{\varepsilon -\mu}{kT}}+1}.$$
−
Az kvantumvezeték belsejében a $k>0$, bal oldali elektródából származó elektronállapotok betöltöttségét az 1-es elektróda $f_l(\epsilon)$ betöltési szám függvénye írja le, míg a $k<0$ állapotok a 2-es elektróda $f_2(\epsilon)$ betöltési szám függvényével jellemezhető, ahol $f_1$ és $f_2$ egymáshoz képest $eV$ energiával eltolt Fermi függvények. Ez a leírás egyben az elektrontartályok tökéletességét is feltételezi, azaz a kvantumvezetékből az egyik elektródába érkező elektronok csak ''termalizálódás'' után szóródhatnak vissza a kvantumvezetékbe, így az elektródát elhagyó elektronok valóban az elektróda Fermi-függvénye szerinti energiaeloszlást követik.  
+
Az kvantumvezeték belsejében a $k>0$, bal oldali elektródából származó elektronállapotok betöltöttségét az 1-es elektróda $f_l(\varepsilon)$ betöltési szám függvénye írja le, míg a $k<0$ állapotok a 2-es elektróda $f_2(\varepsilon)$ betöltési szám függvényével jellemezhetők, ahol $f_1$ és $f_2$ egymáshoz képest $eV$ energiával eltolt Fermi-függvények. Ez a leírás egyben az elektrontartályok tökéletességét is feltételezi, azaz a kvantumvezetékből az egyik elektródába érkező elektronok csak ''termalizálódás'' után szóródhatnak vissza a kvantumvezetékbe, így az elektródát elhagyó elektronok valóban az elektróda Fermi-függvénye szerinti energiaeloszlást követik.  
−
A fentiek alapján véges hőmérsékleten a vezetékben pozitív illetve negatív irányba folyó áramot a
+
A fentiek alapján véges hőmérsékleten a vezetékben pozitív illetve negatív irányba folyó áramot az
−
 
+
$$I^+=\frac{2 e}{L} \sum \limits_{k>0} v_k f_1(\varepsilon_k) = 2e \int \frac{\mathrm{d}k}{2 \pi}\frac{\partial \varepsilon_k}{\hbar \partial k} f_1(\varepsilon_k) = \frac{2 e}{h}\int \mathrm{d} \varepsilon f_1(\varepsilon),$$
−
$$I^+=\frac{2 e}{L} \sum \limits_{k>0} v_k f_1(\epsilon_k) = 2e \int \frac{\mathrm{d}k}{2 \pi}\frac{\partial \epsilon_k}{\hbar \partial k} f_1(\epsilon_k) = \frac{2 e}{h}\int \mathrm{d} \epsilon f_1(\epsilon)$$
+
$$I^-=\frac{2 e}{L} \sum \limits_{k<0} v_k f_2(\varepsilon_k) = \frac{2 e}{h}\int \mathrm{d} \varepsilon f_2(\varepsilon)$$
−
$$I^-=\frac{2 e}{L} \sum \limits_{k<0} v_k f_2(\epsilon_k) = \frac{2 e}{h}\int \mathrm{d} \epsilon f_2(\epsilon)$$
+
 
képletek írják le, azaz az eredő áram:
 
képletek írják le, azaz az eredő áram:
−
$$I=I^+-I^-=\frac{2 e}{h} \int \mathrm{d} \epsilon (f_1(\epsilon)-f_2(\epsilon))=\frac{2 e}{h}e V.$$
+
$$I=I^+-I^-=\frac{2 e}{h} \int \mathrm{d} \varepsilon (f_1(\varepsilon)-f_2(\varepsilon))=\frac{2 e}{h}e V.$$
−
Mivel $\int \mathrm{d} \epsilon (f_1(\epsilon)-f_2(\epsilon))$ integrál tetszóleg hőmérsékleten $eV$-vel egyenlő, így egy egycsatornás ideális kvantumvezeték ellenállása tetszőleges hőmérsékleten a $G_0=\frac{2 e^2}{h}$ ''vezetőképesség-kvantum''.
+
Mivel $\int \mathrm{d} \varepsilon (f_1(\varepsilon)-f_2(\varepsilon))$ integrál tetszőleges hőmérsékleten $eV$-vel egyenlő, így egy egycsatornás ideális kvantumvezeték ellenállása tetszőleges hőmérsékleten a $G_0=2 e^2/h$ ''vezetőképesség-kvantum'', ami $\approx 12900\,\Omega$ ellenállásnak felel meg.
−
 
+
 
</wlatex>
 
</wlatex>
  
−
== Landauer formula ==
+
== Landauer-formula ==
 
<wlatex>
 
<wlatex>
−
Most tekintsük azt az egyszerű modellt, amikor egy egycsatornás, ideális kvantumvezeték közepén egy szórócentrum található, melyen $\mathcal{T}$ valószínűséggel jutnak át az elektronok. Ebben az esetben az elektródák felől a szórócentrum felé haladó állapotok továbbra is a megfelelő elektródából származnak, és ennek az eloszlásfüggvényét követik (lásd a ?? ábrán a $\mathrm{d}I_1^+$ és $\mathrm{d}I_2^-$ áramkomponenseket). A szórócentrumtól az elektródák felé haladó állapotok viszont kevertek, pl. a $\mathrm{d}I_1^-$ áramjáruléknál egyaránt figyelembe kell venni az 1-es elektródából induló és a szórócentrumon reflektálódó, illetve a 2-es elektródából induló és a szórócentrumon transzmittálódó elektronokat.
+
Most tekintsük azt az egyszerű modellt, amikor egy egycsatornás, ideális kvantumvezeték közepén egy szórócentrum található, melyen $\mathcal{T}$ valószínűséggel jutnak át az elektronok. Ebben az esetben az elektródák felől a szórócentrum felé haladó állapotok továbbra is a megfelelő elektródából származnak, és ennek az eloszlásfüggvényét követik (lásd a 4. ábrán a $\mathrm{d}I_1^+$ és $\mathrm{d}I_2^-$ áramkomponenseket). A szórócentrumtól az elektródák felé haladó állapotok viszont kevertek, pl. a $\mathrm{d}I_1^-$ áramjáruléknál egyaránt figyelembe kell venni az 1-es elektródából induló és a szórócentrumon reflektálódó, illetve a 2-es elektródából induló és a szórócentrumon transzmittálódó elektronokat.
  
−
[[Fájl:Qwire2.png|közép|300px|Kvantumvezeték + szórócentrum]]
+
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
 +
|-
 +
| align="center"|[[Fájl:Qwire2.png|közép|300px]]
 +
|-
 +
| align="center"|4. ábra. ''Egycsatornás kvantumvezeték $\mathcal{T}$ átmeneti valószínűségű szórócentrummal''
 +
|}
  
−
Zérus hőmérsékleten csak a $\mu_2$ kémiai potenciál alatti állapotok származhatnak mindkét elektródából, azonban az $\epsilon<\mu_2$ állapotok teljes árama értelemszerűen zérust ad, hiszen ez annak felel meg, mintha zérus feszültséget kapcsoltunk volna a rendszerre. Így a véges áramért továbbra is $\mu_2 <\epsilon< \mu_1$ állapotok felelnek, melyek csak az 1-es elektródából származhatnak. Így a teljes áram könnyen számolható például a szórócentrum és a 2-es elektróda közötti vezetékdarabban. Itt a $\mu_2 <\epsilon< \mu_1$
+
Zérus hőmérsékleten csak a $\mu_2$ kémiai potenciál alatti állapotok származhatnak mindkét elektródából, azonban az $\varepsilon<\mu_2$ állapotok teljes árama értelemszerűen zérust ad, hiszen ez annak felel meg, mintha zérus feszültséget kapcsoltunk volna a rendszerre. Így a véges áramért továbbra is $\mu_2 <\varepsilon< \mu_1$ állapotok felelnek, melyek csak az 1-es elektródából származhatnak. Így a teljes áram könnyen számolható például a szórócentrum és a 2-es elektróda közötti vezetékdarabban. Itt a $\mu_2 <\varepsilon< \mu_1$
 
energiasávban levő elektronok $\mathcal{T} =1$ esetén a korábbiak alapján $I=(2e^2/h)\cdot V$ áramot adnának, ami $\mathcal{T} <1$ esetén értelemszerűen a transzmittálódó elektronok hányadával skálázódik, azaz  $I=(2e^2/h)\cdot \mathcal{T} \cdot V$. Így egy egycsatornás, $\mathcal{T}$ transzmisszós valószínűségű szórócentrumot tartalmazó nanovezeték vezetőképessége:
 
energiasávban levő elektronok $\mathcal{T} =1$ esetén a korábbiak alapján $I=(2e^2/h)\cdot V$ áramot adnának, ami $\mathcal{T} <1$ esetén értelemszerűen a transzmittálódó elektronok hányadával skálázódik, azaz  $I=(2e^2/h)\cdot \mathcal{T} \cdot V$. Így egy egycsatornás, $\mathcal{T}$ transzmisszós valószínűségű szórócentrumot tartalmazó nanovezeték vezetőképessége:
 
$$G=\frac{2e^2}{h}\mathcal{T} .$$
 
$$G=\frac{2e^2}{h}\mathcal{T} .$$
  
−
Vizsgáljuk meg, hogy ez az eredmény érvényes-e véges hőmérsékleten is. A $\mathrm{d}I_1^+$ és $\mathrm{d}I_2^-$ áramkomponensek kizárólag az 1-es illetve a 2-es elektródából származnak, így a korábbiak alapján egy $\mathrm{d}\epsilon$ energiatartományban az áramjárulékuk:
+
Vizsgáljuk meg, hogy ez az eredmény érvényes-e véges hőmérsékleten is. A $\mathrm{d}I_1^+$ és $\mathrm{d}I_2^-$ áramkomponensek kizárólag az 1-es illetve a 2-es elektródából származnak, így a korábbiak alapján egy $\mathrm{d}\varepsilon$ energiatartományban az áramjárulékuk:
−
$$\mathrm{d}I_1^+(\epsilon)=\frac{2 e}{h}\cdot f_1(\epsilon)\mathrm{d}\epsilon,\;\; \mathrm{d}I_2^-(\epsilon)=\frac{2 e}{h}\cdot f_2(\epsilon)\mathrm{d}\epsilon.$$
+
$$\mathrm{d}I_1^+(\varepsilon)=\frac{2 e}{h}\cdot f_1(\varepsilon)\mathrm{d}\varepsilon,\;\; \mathrm{d}I_2^-(\varepsilon)=\frac{2 e}{h}\cdot f_2(\varepsilon)\mathrm{d}\varepsilon.$$
 
Ha az áramot a szórócentrum és az 1-es elektróda közötti vezetékdarabon akarjuk kiértékelni, akkor szükségünk van a $\mathrm{d}I_1^-$ áramjárulékra is, mely $\mathcal{T}$ valószínűséggel a 2-es elektródából bejövő módus transzmissziójából, $\mathcal{R}=1-\mathcal{T}$ valószínűséggel pedig pedig a az 1-es elektródából bejövő módus reflexiójából származik:
 
Ha az áramot a szórócentrum és az 1-es elektróda közötti vezetékdarabon akarjuk kiértékelni, akkor szükségünk van a $\mathrm{d}I_1^-$ áramjárulékra is, mely $\mathcal{T}$ valószínűséggel a 2-es elektródából bejövő módus transzmissziójából, $\mathcal{R}=1-\mathcal{T}$ valószínűséggel pedig pedig a az 1-es elektródából bejövő módus reflexiójából származik:
−
$$\mathrm{d}I_1^-(\epsilon)=\mathrm{d}I_1^+(\epsilon)\cdot (1-\mathcal{T}) + \mathrm{d}I_2^-(\epsilon)\cdot \mathcal{T},$$
+
$$\mathrm{d}I_1^-(\varepsilon)=\mathrm{d}I_1^+(\varepsilon)\cdot (1-\mathcal{T}) + \mathrm{d}I_2^-(\varepsilon)\cdot \mathcal{T},$$
 
így a negatív és pozitív irányba haladó áramkomponensek együttes járuléka:
 
így a negatív és pozitív irányba haladó áramkomponensek együttes járuléka:
−
$$\mathrm{d}I_1=\mathrm{d}I_1^+ - \mathrm{d}I_1^- = \frac{2 e}{h} \cdot \mathcal{T} \cdot [f_1(\epsilon)-f_2(\epsilon)]\mathrm{d}\epsilon.$$
+
$$\mathrm{d}I_1=\mathrm{d}I_1^+ - \mathrm{d}I_1^- = \frac{2 e}{h} \cdot \mathcal{T} \cdot [f_1(\varepsilon)-f_2(\varepsilon)]\mathrm{d}\epsilon.$$
 
A teljes áramot integrálással kapjuk meg:  
 
A teljes áramot integrálással kapjuk meg:  
−
$$I=\frac{2 e}{h} \cdot \int \mathcal{T}\cdot [f_1(\epsilon)-f_2(\epsilon)]\mathrm{d}\epsilon.$$
+
$$I=\frac{2 e}{h} \cdot \int \mathcal{T}\cdot [f_1(\varepsilon)-f_2(\varepsilon)]\mathrm{d}\varepsilon.$$
−
A két Fermi-függvény különbsége a $\mu_1$ és $\mu_2$ kémiai potenciálok közötti energiatartományban, illetve a két kémiai potenciál körüli $kT$ energiatartományban különbözik zérustól. Feltételezve hogy ebben a tartományban a $\mathcal{T}$ transzmisszós valószínűség energiafüggetlen, és kihasználva a $\int \mathrm{d} \epsilon (f_1(\epsilon)-f_2(\epsilon))=eV$ azonosságot a vezetőképességre véges hőmérsékleten is a  
+
A két Fermi-függvény különbsége a $\mu_1$ és $\mu_2$ kémiai potenciálok közötti energiatartományban, illetve a két kémiai potenciál körüli $kT$ energiatartományban különbözik zérustól. Feltételezve hogy ebben a tartományban a $\mathcal{T}$ transzmisszós valószínűség energiafüggetlen, és kihasználva a $\int \mathrm{d} \varepsilon (f_1(\varepsilon)-f_2(\varepsilon))=eV$ azonosságot a vezetőképességre véges hőmérsékleten is a  
 
$$G=\frac{2 e^2}{h}\cdot \mathcal{T}$$
 
$$G=\frac{2 e^2}{h}\cdot \mathcal{T}$$
 
eredményt kapjuk. Ha a transzmissziós valószínűség nem tekinthető energiafüggetlennek, akkor $\mathcal{T}$-t a releváns energiatartományra vett átlagos transzmissziós valószínűségnek kell tekinteni.
 
eredményt kapjuk. Ha a transzmissziós valószínűség nem tekinthető energiafüggetlennek, akkor $\mathcal{T}$-t a releváns energiatartományra vett átlagos transzmissziós valószínűségnek kell tekinteni.
  
−
<span id="abra3">
+
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
−
[[Fájl:Transzmisszios_matrix_2.png|közép|250px|Pontkontaktus]]
+
|-
−
</span>
+
| align="center"|[[Fájl:Transzmisszios_matrix_2.png|közép|250px]]
 +
|-
 +
| align="center"|5. ábra. ''Többcsatornás kvantumvezeték leírása $\hat{t}$ transzmissziós mátrixszal''
 +
|}
  
−
Több vezetési csatorna esetén a szórócentrum hatását egy komplex transzmissziós mátrixszal ($t$) írhatjuk le, mely a bal oldalon az egyes csatornákban bejövő, azaz az elektródától a szórócentrum felé haladó illetve a jobb oldalon kimenő, azaz a szórócentrumtól az elektróda felé haladó módusok között teremt kapcsolatot  
+
Több vezetési csatorna esetén a szórócentrum hatását egy komplex transzmissziós mátrixszal ($\hat{t}$) írhatjuk le, mely a bal oldalon az egyes csatornákban bejövő, azaz az elektródától a szórócentrum felé haladó illetve a jobb oldalon kimenő, azaz a szórócentrumtól az elektróda felé haladó módusok között teremt kapcsolatot:
−
$$\left|  \mathrm{ki} \right>_2=\hat{t} \left| \mathrm{be} \right>_1$$
+
$$\left|  \mathrm{ki} \right>_2=\hat{t} \left| \mathrm{be} \right>_1.$$
  
 
Megmutatható, hogy a vezetőképesség ebben az esetben  
 
Megmutatható, hogy a vezetőképesség ebben az esetben  
116. sor: 120. sor:
 
$$G = \frac{2 e^2}{h} \sum \limits_{i=1..N} \mathcal{T}_i.$$
 
$$G = \frac{2 e^2}{h} \sum \limits_{i=1..N} \mathcal{T}_i.$$
 
A $\hat{t}^\dagger \hat{t}$ operátor sajátértékeinek megfelelő $\mathcal{T}_i$ transzmissziós együtthatók az i-edik ''sajátcsatorna'' transzmissziós valószínűségét adják meg.
 
A $\hat{t}^\dagger \hat{t}$ operátor sajátértékeinek megfelelő $\mathcal{T}_i$ transzmissziós együtthatók az i-edik ''sajátcsatorna'' transzmissziós valószínűségét adják meg.
−
 
 
</wlatex>
 
</wlatex>
  
−
== Vezetőképesség kvantálás kvantum pont-kontaktusban ==
+
== Vezetőképesség-kvantálás kvantum-pontkontaktusban==
 
<wlatex>
 
<wlatex>
 +
Vegyünk egy olyan kétdimenziós kvantumvezetéket, melyben nincsenek szórócentrumok, a vezeték $W$ szélessége pedig lassan (adiabatikusan) változik a hossztengely mentén (6. ábra alsó panel). A lassan változó szélességnek köszönhetően a vezeték lokálisan mindenütt jól közelíthető egy párhuzamos falú vezetékdarabbal, és a hullámfüggvények leírhatók az adott szélességhez tartozó keresztirányú állóhullámokkal, illetve hosszirányú síkhullám terjedéssel. A 6. ábra felső panele a keresztirányú állóhullámokhoz tartozó energiát ábrázolja a vezeték mentén különböző vezetési csatornákra. Egyértelmű, hogy azon vezetési csatornák tudnak csak átjutni a vezetéken (ú.n. ''kvantum-pontkontaktuson''), melyek keresztirányú energiája a vezeték legkisebb keresztmetszeténél is a Fermi-energia alatt van.
  
−
Vegyünk egy olyan kétdimenziós kvantumvezetéket, melyben nincsenek szórócentrumok, a vezeték $W$ szélessége pedig lassan (adiabatikusan) változik a hossztengely mentén (?? ábra alsó panel). A lassan változó szélességnek köszönhetően a vezeték lokálisan mindenütt jól közelíthető egy párhuzamos falú vezetékdarabbal, és a hullámfüggvények leírhatók az adott szélességhez tartozó keresztirányú állóhullámokkal, illetve hosszirányú síkhullám terjedéssel. A ?? ábra felső panele a keresztirányú állóhullámokhoz tartozó energiát ábrázolja a vezeték mentén különböző vezetési csatornákra. Az egyértelmű, hogy azon vezetési csatornák tudnak csak átjutni a vezetéken (ú.n. ''kvantum-pontkontaktuson), melyek keresztirányú energiája a vezeték legkisebb keresztmetszeténél is a Fermi-energia alatt van.
+
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
 +
|-
 +
| align="center"|[[Fájl:PointContact2.png|közép|500px]]
 +
|-
 +
| align="center"|6. ábra. ''Keresztirányú energiák egy adiabatikus kvantum-pontkontaktusban''
 +
|}
  
−
<span id="abra5">
+
A 7. ábra a vezetékben kialakuló diszperziós relációkat mutatja a vezeték két közeli tartományában. A jobb oldali panel egy kicsit keskenyebb vezetékszakaszhoz tartozik mint a bal oldali, így a nagyobb keresztirányú energia miatt a parabolikus diszperziók felfele tolódnak. Mivel a vezeték lokálisan közel transzlációinvariáns, így a hosszirányú impulzus és a $k$ hullámszám csak keveset változhat miközben az elektron egy adott tartományból eljut egy másik, közeli tartományba. Egy adott vezetési csatornában $k$ hullámszámmal rendelkező állapot a vezeték keskenyedése során csak úgy tud mindig kis impulzusváltozással előre haladni, ha ugyanabban a vezetési csatornában marad (lásd zöld nyíl). Más csatornába történő átszóródás, illetve visszaszóródás esetén $k$ jelentősen változna. Kicsit más a helyzet, ha az előrehaladás után az adott csatorna diszperziós relációjának alja a Fermi-energia fölé kerül, azaz az elektron nem tud továbbhaladni. Ebben az esetben az a legkisebb impulzusváltozással járó folyamat, ha nullához közeli de pozitív bejövő $k$-val rendelkező elektron ugyanazon csatorna $-k$ állapotába szóródik vissza (piros nyíl).
−
[[Fájl:PointContact2.png|közép|500px|Pontkontaktus]]
+
−
</span>
+
  
−
A ?? ábra a vezetékben kialakuló diszperziós relációkat mutatja a vezeték két közeli tartományában. A jobb oldali panel egy kicsit keskenyebb vezetékszakaszhoz tartozik mint a bal oldali, így a nagyobb keresztirányú energia miatt a parabolikus diszperziók felfele tolódnak. Mivel a vezeték lokálisan közel transzlációinvariáns, így a hosszirányú impulzus és a $k$ hullámszám csak keveset változhat miközben az elektron egy adott tartományból eljut egy másik, közeli tartományba. Egy adot vezetési csatornán $k$ hullámszámmal rendelkező állapot a vezeték keskenyedése során csak úgy tud mindig kis impulzusváltozással előre haladni, ha mindig ugyan abban a vezetési csatornában marad (lásd zöld nyíl). Más csatornába történő átszóródás, illetve visszaszóródás esetén $k$ jelentősen változna. Kicsit más a helyzet, ha az előrehaladás után az adott csatorna diszperziós relációjának alja a Fermi-energia fölé kerül, azaz az elektron nem tud továbbhaladni. Ebben az esetben az a legkisebb impolzusváltozással járó folyamat, ha nullához közeli de pozitív bejövő $k$-val rendelkező elektron ugyan azon csatorna $-k$ állapotába szóródik vissza.
+
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
 +
|-
 +
| align="center"|[[Fájl:Adiabatic2.png|közép|800px]]
 +
|-
 +
| align="center"|7. ábra. ''Adiabatikus kvantumvezetékben az elektronok a saját vezetési csatornájukban haladnak előre, illetve ha a csatorna bezáródik, akkor visszaszóródnak''
 +
|}
  
−
A fenti érvek alapján elmondható, hogy egy lassan változó szélességű kvantum-pontkontaktusban az összes olyan csatorna melyhez tartozó keresztirányú energia a legkisebb keresztmetszetben is a Fermi-energia alatt van $\mathcal{T}=1$ valószínűséggel transzmittálódik (lásd zöld görbék a ?? ábrán), az összes többi csatorna pedig $\mathcal{R}=1$ valószínűséggel reflektálódik, azaz a vezetőképesség a vezetőképesség-kvantum egész számú többszöröse:
+
A fenti érvek alapján elmondható, hogy egy lassan változó szélességű kvantum-pontkontaktusban az összes olyan csatorna, melyhez tartozó keresztirányú energia a legkisebb keresztmetszetben is a Fermi-energia alatt van, $\mathcal{T}=1$ valószínűséggel transzmittálódik (lásd zöld görbék a 6. ábrán), az összes többi csatorna pedig $\mathcal{R}=1$ valószínűséggel reflektálódik (piros görbék a 6. ábrán), azaz a vezetőképesség a vezetőképesség-kvantum egész számú többszöröse:
 
$$G=\frac{2e^2}{h}M,$$
 
$$G=\frac{2e^2}{h}M,$$
 
ahol $M$ a legkisebb keresztmetszetben ''elférő'' keresztirányú módusok száma.
 
ahol $M$ a legkisebb keresztmetszetben ''elférő'' keresztirányú módusok száma.
  
−
Ez a jelenség kísérletekben is megfigyelhető ha egy kétdimenziós elektrongázban két felső kapuelektróda segítségével egy keskeny csatornát alakítunk ki. Az elrendezést a ?? ábra bal oldali panele szemlélteti: 
+
Ez a jelenség kísérletekben is megfigyelhető, elsőként van Wees és szerzőtársai,<sup>[http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.60.848 1]</sup> illetve Wharam és szerzőtársai<sup>[http://dx.doi.org/10.1088/0022-3719/21/8/002 2]</sup> demonstrálták a vezetőképesség-kvantálást kétdimenziós elektrongáz-rendszerből kialakított kvantum-pontkontaktusban. A kísérletet sematikusan a 8. ábra szemlélteti. A kétdimenziós elektrongázban két felső kapuelektróda segítségével egy keskeny csatornát alakítunk ki, a csatorna szélessége a kapuelektródákra adott feszültséggel hangolható. Először a kapuelektródák alatt teljesen kiürítjük a kétdimenziós elektrongázt, majd a kapufeszültség változtatásával folyamatosan kinyitjuk a csatornát, és egyre szélesebb pontkontaktust alakítunk ki a két elektróda között. A vezetőképesség eközben lépcsőszerűen változik, először zérusról $2e^2/h$-ra nő, majd a vezetési csatornák egyenkénti kinyílásával a vezetőképesség-kvantum egész számú töbszöröseinél látunk platókat.
  
 +
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
 +
|-
 +
| align="center"|[[Fájl:2DEG_contact.ogv|bélyegkép|közép|800px|thumbtime=0:10]]
 +
|-
 +
| align="center"|8. ábra. ''Vezetőképesség-kvantálás kvantum-pontkontaktusban''
 +
|}
  
−
2DEG:
+
Fontos megjegyezni, hogy egy félvezetőben - így a 8. ábrán szemléltetett kvantum-pontkontaktusban - az elektronok Fermi-hullámhossza párszor tíz nanométer nagyságrendű, így az elektronok ''nem látják'' az anyag atomi felépítéséből adódó, tized nanométer nagyságrendű egyenetlenséget, hanem egy sima, közel adiabatikus csatornát látnak. Ezzel szemben fémekben a Fermi-hullámhossz a szomszédos atomok távolságával összemérhető, így egyetlen vagy pár nyitott vezetési csatornával rendelkező pontkontaktust úgy kaphatunk, ha két elektródát mondjuk egyetlen atom köt össze. Ebben az esetben az elektronok a hullámhosszukkal azonos skálán változó, az anyag atomi felépítését tükröző potenciálban mozognak (lásd 9. ábra), melyről nem várjuk hogy adiabatikus legyen, azaz vezetőképesség-kvantálást sem várunk. A kísérletek ezt alá is támasztják,<sup>[http://dx.doi.org/10.1016%2FS0370-1573%2802%2900633-6 3]</sup> a legtöbb fémből készült atomi méretű kontaktusban ugyan csak pár nyitott vezetési csatorna áll rendelkezésre, de az azokhoz tartozó $\mathcal{T}_i$ transzmissziós sajátértékek általában tökéletlen transzmissziónak felelnek meg. Atomi mérető kontaktusok viselkedéséről röviden a [[Nanoszerkezetek előállítási és vizsgálati technikái#Önszerveződő_nanoszerkezetek|''Nanoszerkezetek előállítási és vizsgálati technikái'']] fejezetben számolunk be.
  
 
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
 
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
 
|-
 
|-
−
| [[Fájl:2DEG_contact.ogv|bélyegkép|közép|800px|thumbtime=0:00]]
+
| align="center"|[[Fájl:PointContact.png|közép|300px]]
 
|-
 
|-
−
| align="center"|2. ábra - 2DEG pontkontaktus.
+
| align="center"|9. ábra. ''A hullámhossz skáláján változó potenciálban nem várunk vezetőképesség-kvantálást''
 
|}
 
|}
 +
</wlatex>
  
−
<span id="abra2">
+
==Hivatkozások==
−
[[Fájl:PointContact.png|közép|300px|Pontkontaktus]]
+
−
</span>
+
  
−
</wlatex>
+
===Fent hivatkozott szakcikkek===
 +
[1] [http://prl.aps.org/abstract/PRL/v60/i9/p848_1 B. J. van Wees, H. van Houten, C. W. J. Beenakker, J. G. Williamson, L. P. Kouwenhoven, D. van der Marel, C. T. Foxon: ''Quantized conductance of point contacts in a two-dimensional electron gas'', '''Phys. Rev. Lett. 60'' p848–850 (1988)]
 +
 
 +
[2] [http://iopscience.iop.org/0022-3719/21/8/002/ D A Wharam, T J Thornton, R Newbury, M Pepper, H Ahmed, J E F Frost, D G Hasko, D C Peacock, D A Ritchie and G A C Jones: ''One-dimensional transport and the quantisation of the ballistic resistance'', '''Journal of Physics C: Solid State Physics 21''' L209 (1988)]
 +
 
 +
[3] [http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0370157302006336 Nicolás Agrait, Alfredo Levy Yeyati, Jan M. van Ruitenbeek:  ''Quantum properties of atomic-sized conductors'', '''Physics Reports 377''', p81–279 (2003)]
 +
 
 +
===Ajánlott könyvek és összefoglaló cikkek===
 +
*[http://books.google.hu/books/about/Electronic_Transport_in_Mesoscopic_Syste.html?id=28BC-ofEhvUC&redir_esc=y S. Datta: ''Electronic Transport in Mesoscopic Systems'', Cambridge University Press (1997)]
 +
*[http://books.google.hu/books/about/Semiconductor_Nanostructures.html?id=qD6623gfAZgC&redir_esc=y Thomas Ihn: ''Semiconducting nanosctructures'', OUP Oxford (2010)]
 +
*[http://books.google.hu/books?id=YNr4OcCExUcC&printsec=frontcover&dq=Nazarov+quantum+transport&hl=hu&sa=X&ei=2SzZUfGCMYna4ASDq4DQBQ&ved=0CDIQ6AEwAA Yuli V. Nazarov, Yaroslav M. Blanter: ''Quantum Transport: Introduction to Nanoscience'', Cambridge University Press (2009)]
 +
 
 +
===Ajánlott kurzusok===
 +
*[[Új kísérletek a nanofizikában|''Új kísérletek a nanofizikában'', Halbritter András és Csonka Szabolcs, BME Fizika Tanszék]]
 +
*[[Transzport komplex nanoszerkezetekben|''Transzport komplex nanoszerkezetekben'', Halbritter András, Csonka Szabolcs, Csontos Miklós, Makk Péter, BME Fizika Tanszék]]
 +
*[[Alkalmazott szilárdtestfizika|''Alkalmazott szilárdtestfizika'', Mihály György, BME Fizika Tanszék]]
 +
*[[Fizika 3 - Villamosmérnöki mesterszak|''Fizika 3'', Mihály György, BME Fizika Tanszék (mérnök hallgatóknak)]]
 +
*[http://www.phy.bme.hu/~zarand/mezoszkopia.html ''Mezoszkopikus rendszerek fizikája'', Zaránd Gergely, BME Elméleti Fizika Tanszék]
 +
*''Mezoszkopikus rendszerek fizikája'', Cserti József, ELTE Komplex Rendszerek Fizikája Tanszék

A lap jelenlegi, 2014. február 13., 15:51-kori változata

Tartalomjegyzék

Karakterisztikus méretskálák


Egy nanométeres skálájú objektum vezetési tulajdonságai több szempontból eltérnek a makroszkopikus skálán megszokott jelenségektől. Makroszkopikus vezetékek ellenállása jól leírható az Ohm-törvénnyel: az áramsűrűség a fajlagos vezetőképesség és az elektromos tér szorzata, a vezetőképesség pedig arányos a vezeték keresztmetszetével és fordítottan arányos a hosszával:

\[\vec{j}=\sigma \cdot \vec{E}, \ \ \ G=R^{-1}=\frac{A\cdot \sigma}{L}\]

Az Ohm-törvény egyszerűen magyarázható az elektromos vezetés Drude-modelljével. Az elektronok a kristályrácsban két ütközés közötti \setbox0\hbox{$\tau_m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% karakterisztikus idő alatt \setbox0\hbox{$p_\mathrm{drift}=m\cdot v_\mathrm{drift}=eE\tau_m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% impulzust nyernek, majd a véletlen irányba történő szóródás hatására ezt elveszítik. Ennek megfelelően \setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% elektronsűrűség esetén az az áramsűrűség illetve fajlagos vezetőképesség:

\[\vec{j}=n\cdot e\cdot v_\mathrm{drift}\ \ \ \rightarrow \ \ \ \sigma=\frac{ne^2\tau_m}{m}.\]

Az elektronok két ütközés között eltelt \setbox0\hbox{$\tau_m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% momentumrelaxációs idő alatt \setbox0\hbox{$l_m=v_F\tau_m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% utat tesznek meg, ahol \setbox0\hbox{$v_F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a Fermi-sebesség. A Drude-modell értelmét veszti ha a vizsgált vezeték karakterisztikus mérete (\setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) kisebb mint az ütközések skáláját jellemző \setbox0\hbox{$l_m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% momentumrelaxációs szabadúthossz. Ezen feltétel alapján megkülönböztethetünk diffúzív vezetékeket (\setbox0\hbox{$L>l_m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%), melyekben a elektronok sokszor szóródnak mialatt eljutnak az egyik elektródából a másikba (1/a. ábra), illetve ballisztikus nanovezetékeket (\setbox0\hbox{$L<l_m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%), melyekben az elektronok csak a vezeték falán szóródnak, de a vezetéken belül nem (1/b. ábra).

Diffuziv vezetek.png
Ballisztikus vezetek.png
1/a. ábra. Diffúzív vezeték 1/b. ábra. Ballisztikus vezeték

A két határeset között lényeges különbség jól szemléltethető az ellenállás hosszfüggésével: míg egy diffúzív vezeték ellenállása nő a vezeték hosszának növelésével, addig az 1/b. ábrán szemléltetett ballisztikus vezetékbe bejutó elektronok visszaszórás nélkül átjutnak a túloldalra, azaz az ellenállás nem függ a vezeték hosszától.

Az elektronok hullámtermészetét figyelembe véve azt is érdemes megvizsgálni, hogy a vizsgált rendszer méretének skáláján megőrződik-e az elektronhullámok fázisinformációja. Ha a minta mérete kisebb mint az \setbox0\hbox{$L_\phi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% fázisrelaxációs hossz, akkor a vezetési tulajdonságok makroszkopikus skálán nem tapasztalható érdekes interferencia-jelenségeket mutatnak, melyeket az interferencia és dekoherencia nanoszerkezetekben fejezetben szemléltetünk.

Szintén érdekes kérdés, hogy a vizsgált nanoszerkezetben megőrződik-e az elektronok spininformációja. Az ún. spindiffúziós hossznál (\setbox0\hbox{$L_s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) kisebb, mágnesesen rendezett tartományokat tartalmazó nanoszerkezetekben érdekes spintronikai jelenségeket tapasztalhatunk.

További érdekes jelenségekkel találkozhatunk, ha a vezeték keresztmetszete az elektronok Fermi-hullámhosszával összemérhetővé válik, \setbox0\hbox{$L\sim \lambda_F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Ezt a határesetet tárgyaljuk az alábbiakban.

Kvantumvezeték ellenállása


Az elektronok hullámhosszával összemérhető vezetékek tulajdonságait vizsgáljuk meg egy egyszerű modellel: két elektrontartályt kössünk össze egy kétdimenziós, párhuzamos falú ideális kvantumvezetékkel, melyben az elektronok szóródás nélkül haladnak (2. ábra).

Qwire.png
2. ábra. Ideális kvantumvezeték

Hard wall határfeltételt alkalmazva (azaz a bezáró potenciál a vezetéken belül ill. kívül zérus ill. végtelen) egyszerűen felírható az elektronok hullámfüggvénye:

\[\Psi_{n,k}(x,y)=e^{ikx}\cdot \sin\left(\frac{n \pi y}{W} \right),\]

azaz hosszirányban (\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) síkhullám terjedést, keresztirányban pedig kvantált állóhullámokat kapunk. Ennek megfelelően az elektronok energiája:

\[\varepsilon_n(k)=\frac{\hbar^2k^2}{2 m} + \frac{\pi^2 \hbar^2}{2 m W^2}\cdot n^2,\]

ahol \setbox0\hbox{$k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% az \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-irányú síkhullám terjedéshez tartozó hullámszám, \setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pedig a kvantált keresztmódust (\setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-irányú állóhullámot) jellemzi. Az energiakifejezés a 3/a. ábrán szemléltetett, egymáshoz képest a keresztirányú energiák szerint eltolt egydimenziós diszperziós relációknak felel meg. Értelemszerűen csak azon módusokon (ún. vezetési csatornákon) keresztül folyhat áram, melyekhez tartozó keresztirányú energia kisebb az elektródák Fermi-energiájánál, azaz a diszperziós reláció metszi a Fermi-szintet. Ezen feltételnek megfelelő módusokat nyitott vezetési csatornának nevezzük, a nyitott csatornák számát \setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-mel jelöljük.

Disp.png
Disp Biased.png
3/a. ábra. Diszperzós reláció ideális kvantumvezetékben 3/b. ábra. Diszperzós reláció a mintára feszültséget kapcsolva


Ha a két elektrontartály közé \setbox0\hbox{$V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% feszültséget kapcsolunk akkor a nanovezeték elektronállapotai a 3/b. ábrán szemléltetett módon töltődnek be: a pozitív \setbox0\hbox{$k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-val rendelkező állapotok mind a bal oldali elektródából származnak, így ezek \setbox0\hbox{$eV$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-vel magasabb energiáig vannak betöltve mint a jobb oldali elektródából származó, negatív \setbox0\hbox{$k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-val rendelkező állapotok. Áramot csak a \setbox0\hbox{$\mu_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% ás \setbox0\hbox{$\mu_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kémiai potenciál közötti tartományban levő pozitív \setbox0\hbox{$k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-jú állapotok szállítanak, hiszen \setbox0\hbox{$\mu_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kémiai potenciál alatt a pozitív és negatív irányba haladó állapotok egyaránt betöltöttek, így eredő áramuk zérus lesz.

Egy adott vezetési csatornára az elektronok sebességét, illetve az állapotsűrűséget a következőképpen írhatjuk:

\[v_n=\frac{1}{\hbar}\frac{\partial \varepsilon_n(k)}{\partial k},\ \ \ \ g_n=\frac{L}{2\pi}\left(\frac{\partial \varepsilon_n(k)}{\partial k}\right)^{-1}.\]

Az \setbox0\hbox{$eV$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% energiasávban található elektronok sűrűségét \setbox0\hbox{$n_n=eV\cdot g_n/L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% képlettel számolhatjuk. A vezetékben folyó áram számolásához az elektrontöltés, a sebesség és az elektronsűrűség szorzatát kell képezni, illetve ezt összegezni a különböző vezetési csatornákra:

\[I=2\sum_{n=1}^{M}e v_n n_n =\frac{2e^2}{h}MV,\]

ahol a kettes szorzó a spin szerinti degenerációnak felel meg. Mivel a sebesség és az elektronsűrűség szorzatában az energiadiszperzió deriváltja kiesik, a kvantumvezeték vezetőképessége egyszerűen a \setbox0\hbox{$G_0=2e^2/h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% vezetőképesség-kvantum egész számú többszörösének adódik. Érdemes megjegyezni, hogy a hosszirányú transzláció-invariancia miatt az \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% irányú impulzus megmarad, így az egyes csatornák között nem történhet átszóródás, mert az a \setbox0\hbox{$k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hullámszám megváltozásával járna, azaz a vezetési csatornák áramjárulékát valóban tekinthetjük egymástól függetlennek.

A fenti számolásban abból indultunk ki, hogy csak az elektródák kémiai potenciálja alatt találunk betöltött állapotokat, azaz zérus hőmérsékletet tételezünk fel. Véges hőmérsékleten a kémiai potenciál \setbox0\hbox{$kT$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szélességű környezetében egyaránt találhatók betöltött és betöltetlen állapotok, az állapotok betöltöttségének valószínűségét a Fermi-függvény írja le:

\[f(\varepsilon)=\frac{1}{e^{\frac{\varepsilon -\mu}{kT}}+1}.\]

Az kvantumvezeték belsejében a \setbox0\hbox{$k>0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, bal oldali elektródából származó elektronállapotok betöltöttségét az 1-es elektróda \setbox0\hbox{$f_l(\varepsilon)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% betöltési szám függvénye írja le, míg a \setbox0\hbox{$k<0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% állapotok a 2-es elektróda \setbox0\hbox{$f_2(\varepsilon)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% betöltési szám függvényével jellemezhetők, ahol \setbox0\hbox{$f_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$f_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% egymáshoz képest \setbox0\hbox{$eV$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% energiával eltolt Fermi-függvények. Ez a leírás egyben az elektrontartályok tökéletességét is feltételezi, azaz a kvantumvezetékből az egyik elektródába érkező elektronok csak termalizálódás után szóródhatnak vissza a kvantumvezetékbe, így az elektródát elhagyó elektronok valóban az elektróda Fermi-függvénye szerinti energiaeloszlást követik. A fentiek alapján véges hőmérsékleten a vezetékben pozitív illetve negatív irányba folyó áramot az

\[I^+=\frac{2 e}{L} \sum \limits_{k>0} v_k f_1(\varepsilon_k) = 2e \int \frac{\mathrm{d}k}{2 \pi}\frac{\partial \varepsilon_k}{\hbar \partial k} f_1(\varepsilon_k) = \frac{2 e}{h}\int \mathrm{d} \varepsilon f_1(\varepsilon),\]
\[I^-=\frac{2 e}{L} \sum \limits_{k<0} v_k f_2(\varepsilon_k) = \frac{2 e}{h}\int \mathrm{d} \varepsilon f_2(\varepsilon)\]

képletek írják le, azaz az eredő áram:

\[I=I^+-I^-=\frac{2 e}{h} \int \mathrm{d} \varepsilon (f_1(\varepsilon)-f_2(\varepsilon))=\frac{2 e}{h}e V.\]

Mivel \setbox0\hbox{$\int \mathrm{d} \varepsilon (f_1(\varepsilon)-f_2(\varepsilon))$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% integrál tetszőleges hőmérsékleten \setbox0\hbox{$eV$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-vel egyenlő, így egy egycsatornás ideális kvantumvezeték ellenállása tetszőleges hőmérsékleten a \setbox0\hbox{$G_0=2 e^2/h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% vezetőképesség-kvantum, ami \setbox0\hbox{$\approx 12900\,\Omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% ellenállásnak felel meg.

Landauer-formula


Most tekintsük azt az egyszerű modellt, amikor egy egycsatornás, ideális kvantumvezeték közepén egy szórócentrum található, melyen \setbox0\hbox{$\mathcal{T}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% valószínűséggel jutnak át az elektronok. Ebben az esetben az elektródák felől a szórócentrum felé haladó állapotok továbbra is a megfelelő elektródából származnak, és ennek az eloszlásfüggvényét követik (lásd a 4. ábrán a \setbox0\hbox{$\mathrm{d}I_1^+$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\mathrm{d}I_2^-$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% áramkomponenseket). A szórócentrumtól az elektródák felé haladó állapotok viszont kevertek, pl. a \setbox0\hbox{$\mathrm{d}I_1^-$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% áramjáruléknál egyaránt figyelembe kell venni az 1-es elektródából induló és a szórócentrumon reflektálódó, illetve a 2-es elektródából induló és a szórócentrumon transzmittálódó elektronokat.

Qwire2.png
4. ábra. Egycsatornás kvantumvezeték \setbox0\hbox{$\mathcal{T}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% átmeneti valószínűségű szórócentrummal

Zérus hőmérsékleten csak a \setbox0\hbox{$\mu_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kémiai potenciál alatti állapotok származhatnak mindkét elektródából, azonban az \setbox0\hbox{$\varepsilon<\mu_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% állapotok teljes árama értelemszerűen zérust ad, hiszen ez annak felel meg, mintha zérus feszültséget kapcsoltunk volna a rendszerre. Így a véges áramért továbbra is \setbox0\hbox{$\mu_2 <\varepsilon< \mu_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% állapotok felelnek, melyek csak az 1-es elektródából származhatnak. Így a teljes áram könnyen számolható például a szórócentrum és a 2-es elektróda közötti vezetékdarabban. Itt a \setbox0\hbox{$\mu_2 <\varepsilon< \mu_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% energiasávban levő elektronok \setbox0\hbox{$\mathcal{T} =1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% esetén a korábbiak alapján \setbox0\hbox{$I=(2e^2/h)\cdot V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% áramot adnának, ami \setbox0\hbox{$\mathcal{T} <1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% esetén értelemszerűen a transzmittálódó elektronok hányadával skálázódik, azaz \setbox0\hbox{$I=(2e^2/h)\cdot \mathcal{T} \cdot V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Így egy egycsatornás, \setbox0\hbox{$\mathcal{T}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% transzmisszós valószínűségű szórócentrumot tartalmazó nanovezeték vezetőképessége:

\[G=\frac{2e^2}{h}\mathcal{T} .\]

Vizsgáljuk meg, hogy ez az eredmény érvényes-e véges hőmérsékleten is. A \setbox0\hbox{$\mathrm{d}I_1^+$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\mathrm{d}I_2^-$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% áramkomponensek kizárólag az 1-es illetve a 2-es elektródából származnak, így a korábbiak alapján egy \setbox0\hbox{$\mathrm{d}\varepsilon$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% energiatartományban az áramjárulékuk:

\[\mathrm{d}I_1^+(\varepsilon)=\frac{2 e}{h}\cdot f_1(\varepsilon)\mathrm{d}\varepsilon,\;\; \mathrm{d}I_2^-(\varepsilon)=\frac{2 e}{h}\cdot f_2(\varepsilon)\mathrm{d}\varepsilon.\]

Ha az áramot a szórócentrum és az 1-es elektróda közötti vezetékdarabon akarjuk kiértékelni, akkor szükségünk van a \setbox0\hbox{$\mathrm{d}I_1^-$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% áramjárulékra is, mely \setbox0\hbox{$\mathcal{T}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% valószínűséggel a 2-es elektródából bejövő módus transzmissziójából, \setbox0\hbox{$\mathcal{R}=1-\mathcal{T}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% valószínűséggel pedig pedig a az 1-es elektródából bejövő módus reflexiójából származik:

\[\mathrm{d}I_1^-(\varepsilon)=\mathrm{d}I_1^+(\varepsilon)\cdot (1-\mathcal{T}) + \mathrm{d}I_2^-(\varepsilon)\cdot \mathcal{T},\]

így a negatív és pozitív irányba haladó áramkomponensek együttes járuléka:

\[\mathrm{d}I_1=\mathrm{d}I_1^+ - \mathrm{d}I_1^- = \frac{2 e}{h} \cdot \mathcal{T} \cdot [f_1(\varepsilon)-f_2(\varepsilon)]\mathrm{d}\epsilon.\]

A teljes áramot integrálással kapjuk meg:

\[I=\frac{2 e}{h} \cdot \int \mathcal{T}\cdot [f_1(\varepsilon)-f_2(\varepsilon)]\mathrm{d}\varepsilon.\]

A két Fermi-függvény különbsége a \setbox0\hbox{$\mu_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\mu_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kémiai potenciálok közötti energiatartományban, illetve a két kémiai potenciál körüli \setbox0\hbox{$kT$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% energiatartományban különbözik zérustól. Feltételezve hogy ebben a tartományban a \setbox0\hbox{$\mathcal{T}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% transzmisszós valószínűség energiafüggetlen, és kihasználva a \setbox0\hbox{$\int \mathrm{d} \varepsilon (f_1(\varepsilon)-f_2(\varepsilon))=eV$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% azonosságot a vezetőképességre véges hőmérsékleten is a

\[G=\frac{2 e^2}{h}\cdot \mathcal{T}\]

eredményt kapjuk. Ha a transzmissziós valószínűség nem tekinthető energiafüggetlennek, akkor \setbox0\hbox{$\mathcal{T}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-t a releváns energiatartományra vett átlagos transzmissziós valószínűségnek kell tekinteni.

Transzmisszios matrix 2.png
5. ábra. Többcsatornás kvantumvezeték leírása \setbox0\hbox{$\hat{t}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% transzmissziós mátrixszal

Több vezetési csatorna esetén a szórócentrum hatását egy komplex transzmissziós mátrixszal (\setbox0\hbox{$\hat{t}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) írhatjuk le, mely a bal oldalon az egyes csatornákban bejövő, azaz az elektródától a szórócentrum felé haladó illetve a jobb oldalon kimenő, azaz a szórócentrumtól az elektróda felé haladó módusok között teremt kapcsolatot:

\[\left| \mathrm{ki} \right>_2=\hat{t} \left| \mathrm{be} \right>_1.\]

Megmutatható, hogy a vezetőképesség ebben az esetben

\[G = \frac{2 e^2}{h} \mathrm{Tr}(\hat{t}^\dagger \hat{t})\]

formában írható. A \setbox0\hbox{$\mathrm{Tr}(\hat{t}^\dagger \hat{t})$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kifejezést átírhatjuk \setbox0\hbox{$\sum_{i,j} t_{j,i}^* \cdot t_{j,i} = \sum_{i,j} \mathcal{T}_{j,i}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% formában, ahol \setbox0\hbox{$\mathcal{T}_{j,i}=|t_{j,i}|^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a bal oldali i-edik csatornából a jobb oldali j-edik vezetési csatornába történő átszórás valószínűségét adja meg. Ennek megfelelően a vezetőképesség

\[G = \frac{2 e^2}{h} \sum \limits_{i,j} \mathcal{T}_{j,i}\]

formában írható. Megfelelő bázisban a probléma diagonalizálható, azaz elérhető hogy a jobb oldali i-edik csatornából csak a bal oldali i-edik csatornába tudjanak szóródni elektronok. Ekkor a rendszer a nyitott vezetési csatornák számának megfelelő \setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% db. egymástól független egydimenziós vezetéknek tekinthető, melyek vezetőképesség-járulékát egyszerűen összegezhetjük:

\[G = \frac{2 e^2}{h} \sum \limits_{i=1..N} \mathcal{T}_i.\]

A \setbox0\hbox{$\hat{t}^\dagger \hat{t}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% operátor sajátértékeinek megfelelő \setbox0\hbox{$\mathcal{T}_i$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% transzmissziós együtthatók az i-edik sajátcsatorna transzmissziós valószínűségét adják meg.

Vezetőképesség-kvantálás kvantum-pontkontaktusban


Vegyünk egy olyan kétdimenziós kvantumvezetéket, melyben nincsenek szórócentrumok, a vezeték \setbox0\hbox{$W$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szélessége pedig lassan (adiabatikusan) változik a hossztengely mentén (6. ábra alsó panel). A lassan változó szélességnek köszönhetően a vezeték lokálisan mindenütt jól közelíthető egy párhuzamos falú vezetékdarabbal, és a hullámfüggvények leírhatók az adott szélességhez tartozó keresztirányú állóhullámokkal, illetve hosszirányú síkhullám terjedéssel. A 6. ábra felső panele a keresztirányú állóhullámokhoz tartozó energiát ábrázolja a vezeték mentén különböző vezetési csatornákra. Egyértelmű, hogy azon vezetési csatornák tudnak csak átjutni a vezetéken (ú.n. kvantum-pontkontaktuson), melyek keresztirányú energiája a vezeték legkisebb keresztmetszeténél is a Fermi-energia alatt van.

PointContact2.png
6. ábra. Keresztirányú energiák egy adiabatikus kvantum-pontkontaktusban

A 7. ábra a vezetékben kialakuló diszperziós relációkat mutatja a vezeték két közeli tartományában. A jobb oldali panel egy kicsit keskenyebb vezetékszakaszhoz tartozik mint a bal oldali, így a nagyobb keresztirányú energia miatt a parabolikus diszperziók felfele tolódnak. Mivel a vezeték lokálisan közel transzlációinvariáns, így a hosszirányú impulzus és a \setbox0\hbox{$k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hullámszám csak keveset változhat miközben az elektron egy adott tartományból eljut egy másik, közeli tartományba. Egy adott vezetési csatornában \setbox0\hbox{$k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hullámszámmal rendelkező állapot a vezeték keskenyedése során csak úgy tud mindig kis impulzusváltozással előre haladni, ha ugyanabban a vezetési csatornában marad (lásd zöld nyíl). Más csatornába történő átszóródás, illetve visszaszóródás esetén \setbox0\hbox{$k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% jelentősen változna. Kicsit más a helyzet, ha az előrehaladás után az adott csatorna diszperziós relációjának alja a Fermi-energia fölé kerül, azaz az elektron nem tud továbbhaladni. Ebben az esetben az a legkisebb impulzusváltozással járó folyamat, ha nullához közeli de pozitív bejövő \setbox0\hbox{$k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-val rendelkező elektron ugyanazon csatorna \setbox0\hbox{$-k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% állapotába szóródik vissza (piros nyíl).

Adiabatic2.png
7. ábra. Adiabatikus kvantumvezetékben az elektronok a saját vezetési csatornájukban haladnak előre, illetve ha a csatorna bezáródik, akkor visszaszóródnak

A fenti érvek alapján elmondható, hogy egy lassan változó szélességű kvantum-pontkontaktusban az összes olyan csatorna, melyhez tartozó keresztirányú energia a legkisebb keresztmetszetben is a Fermi-energia alatt van, \setbox0\hbox{$\mathcal{T}=1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% valószínűséggel transzmittálódik (lásd zöld görbék a 6. ábrán), az összes többi csatorna pedig \setbox0\hbox{$\mathcal{R}=1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% valószínűséggel reflektálódik (piros görbék a 6. ábrán), azaz a vezetőképesség a vezetőképesség-kvantum egész számú többszöröse:

\[G=\frac{2e^2}{h}M,\]

ahol \setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a legkisebb keresztmetszetben elférő keresztirányú módusok száma.

Ez a jelenség kísérletekben is megfigyelhető, elsőként van Wees és szerzőtársai,1 illetve Wharam és szerzőtársai2 demonstrálták a vezetőképesség-kvantálást kétdimenziós elektrongáz-rendszerből kialakított kvantum-pontkontaktusban. A kísérletet sematikusan a 8. ábra szemlélteti. A kétdimenziós elektrongázban két felső kapuelektróda segítségével egy keskeny csatornát alakítunk ki, a csatorna szélessége a kapuelektródákra adott feszültséggel hangolható. Először a kapuelektródák alatt teljesen kiürítjük a kétdimenziós elektrongázt, majd a kapufeszültség változtatásával folyamatosan kinyitjuk a csatornát, és egyre szélesebb pontkontaktust alakítunk ki a két elektróda között. A vezetőképesség eközben lépcsőszerűen változik, először zérusról \setbox0\hbox{$2e^2/h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ra nő, majd a vezetési csatornák egyenkénti kinyílásával a vezetőképesség-kvantum egész számú töbszöröseinél látunk platókat.

2DEG contact.ogv
8. ábra. Vezetőképesség-kvantálás kvantum-pontkontaktusban

Fontos megjegyezni, hogy egy félvezetőben - így a 8. ábrán szemléltetett kvantum-pontkontaktusban - az elektronok Fermi-hullámhossza párszor tíz nanométer nagyságrendű, így az elektronok nem látják az anyag atomi felépítéséből adódó, tized nanométer nagyságrendű egyenetlenséget, hanem egy sima, közel adiabatikus csatornát látnak. Ezzel szemben fémekben a Fermi-hullámhossz a szomszédos atomok távolságával összemérhető, így egyetlen vagy pár nyitott vezetési csatornával rendelkező pontkontaktust úgy kaphatunk, ha két elektródát mondjuk egyetlen atom köt össze. Ebben az esetben az elektronok a hullámhosszukkal azonos skálán változó, az anyag atomi felépítését tükröző potenciálban mozognak (lásd 9. ábra), melyről nem várjuk hogy adiabatikus legyen, azaz vezetőképesség-kvantálást sem várunk. A kísérletek ezt alá is támasztják,3 a legtöbb fémből készült atomi méretű kontaktusban ugyan csak pár nyitott vezetési csatorna áll rendelkezésre, de az azokhoz tartozó \setbox0\hbox{$\mathcal{T}_i$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% transzmissziós sajátértékek általában tökéletlen transzmissziónak felelnek meg. Atomi mérető kontaktusok viselkedéséről röviden a Nanoszerkezetek előállítási és vizsgálati technikái fejezetben számolunk be.

PointContact.png
9. ábra. A hullámhossz skáláján változó potenciálban nem várunk vezetőképesség-kvantálást

Hivatkozások

Fent hivatkozott szakcikkek

[1] B. J. van Wees, H. van Houten, C. W. J. Beenakker, J. G. Williamson, L. P. Kouwenhoven, D. van der Marel, C. T. Foxon: Quantized conductance of point contacts in a two-dimensional electron gas, 'Phys. Rev. Lett. 60 p848–850 (1988)

[2] D A Wharam, T J Thornton, R Newbury, M Pepper, H Ahmed, J E F Frost, D G Hasko, D C Peacock, D A Ritchie and G A C Jones: One-dimensional transport and the quantisation of the ballistic resistance, Journal of Physics C: Solid State Physics 21 L209 (1988)

[3] Nicolás Agrait, Alfredo Levy Yeyati, Jan M. van Ruitenbeek: Quantum properties of atomic-sized conductors, Physics Reports 377, p81–279 (2003)

Ajánlott könyvek és összefoglaló cikkek

Ajánlott kurzusok

A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Transzport_nanovezetékekben:_Landauer-formula,_vezetőképesség-kvantálás&oldid=14172”