„Optikai heterodin detektálás” változatai közötti eltérés
Lenk (vitalap | szerkesztései) a |
Lenk (vitalap | szerkesztései) a |
||
| (egy szerkesztő 2 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
| 20. sor: | 20. sor: | ||
__TOC__ | __TOC__ | ||
| − | |||
| − | |||
==Elméleti összefoglaló== | ==Elméleti összefoglaló== | ||
| 111. sor: | 109. sor: | ||
| {{fig|Heterodin_02.png|fig:2|2. ábra. Az optikai keverésnél fellépő interferencia kép és a detektor méretének (d) viszonya, abban az esetben, ha a két nyaláb ('''k<sub>1</sub>''' és '''k<sub>2</sub>''') nem párhuzamos (α ≠ 0).}} | | {{fig|Heterodin_02.png|fig:2|2. ábra. Az optikai keverésnél fellépő interferencia kép és a detektor méretének (d) viszonya, abban az esetben, ha a két nyaláb ('''k<sub>1</sub>''' és '''k<sub>2</sub>''') nem párhuzamos (α ≠ 0).}} | ||
|} | |} | ||
| − | Az optikai keveréshez szükséges kismértékű frekvencia eltérést a Doppler-effektus révén érhetjük el: az interferométer egyik karjában lévő tükör #2, ld. ([[#fig:1|1. ábra]]) önmagával párhuzamos, nyalábra merőleges, „v” sebességgel történő mozgatása esetén a tükörre eső fény frekvenciája a Doppler effektus miatt megváltozik. A mozgó tükör az álló forrásból érkező „f” frekvenciájú lézernyalábot f'-nek érzékeli: | + | Az optikai keveréshez szükséges kismértékű frekvencia eltérést a Doppler-effektus révén érhetjük el: az interferométer egyik karjában lévő tükör#2, ld. ([[#fig:1|1. ábra]]) önmagával párhuzamos, nyalábra merőleges, „v” sebességgel történő mozgatása esetén a tükörre eső fény frekvenciája a Doppler-effektus miatt megváltozik. A mozgó tükör az álló forrásból érkező „f” frekvenciájú lézernyalábot f'-nek érzékeli: |
{{eq|f' {{=}} f - \frac{v}{\lambda}|eq:23|(23)}} | {{eq|f' {{=}} f - \frac{v}{\lambda}|eq:23|(23)}} | ||
ahol a sebesség előjeles mennyiség (v > 0, ha a tükör a forrástól távolodik). A tükör ilyen frekvenciájú fényt ver vissza, azonban a detektor egy másik frekvenciát (f") érzékel, ugyanis a tükör hozzá képest egy mozgó forrás. A mozgó tükör karjából érkező fény frekvenciája a detektornál tehát: | ahol a sebesség előjeles mennyiség (v > 0, ha a tükör a forrástól távolodik). A tükör ilyen frekvenciájú fényt ver vissza, azonban a detektor egy másik frekvenciát (f") érzékel, ugyanis a tükör hozzá képest egy mozgó forrás. A mozgó tükör karjából érkező fény frekvenciája a detektornál tehát: | ||
| 218. sor: | 216. sor: | ||
==PDF formátum== | ==PDF formátum== | ||
| − | *[[Media: | + | *[[Media:HeterodinL.pdf|Optikai heterodin detektálás és alkalmazásai]] |
</wlatex> | </wlatex> | ||
<!--Utolso szerkesztes: 2013.09.25--> | <!--Utolso szerkesztes: 2013.09.25--> | ||
A lap jelenlegi, 2013. szeptember 27., 09:12-kori változata
Tartalomjegyzék |
Elméleti összefoglaló
A hullám fogalma – a fény mint hullám
A fény, mint ismeretes, az elektromágneses tér hullámjelensége. Jellemző rezgési frekvenciája a 1014 Hz körüli tartományba esik. Az a fizikai mennyiség, amelynek terjedését egyszerűen fénynek nevezzük, az elektromos és mágneses térerősség. Tehát a fényben az elektromos és a mágneses tér változásai terjednek. Tekintsünk egy, a tárgyalás szempontjából egyszerű, lineárisan polarizált harmonikus síkhullámot. A síkhullám elnevezés onnan ered, hogy az azonos térerősségű pontok egy adott pillanatban egy síkon helyezkednek el. A síkhullám kifejezése:
![\[{{E\left( \mathbf{r},t \right) = {E_0}\cos \left( \omega t - \mathbf{kr} \right)}}\]](/images/math/f/6/d/f6dbdb46476464b9d6662507a6419707.png)
ahol E0 az elektromos hullám amplitúdója, k a hullámszám vektor, 
az elektro-mágneses hullám körfrekvenciája, „f” pedig a frekvenciája. Egyszerű megfontolásokból a hullám terjedési sebessége k-val és 
-val kifejezhető:
![\[{{c = \frac{\omega }{\left| \mathbf{k} \right|}}}\]](/images/math/4/9/8/498df15b96825a8a3056b81993690aaa.png)
A „k” helyett a gyakorlatban 
-t szokás használni, amelyet hullámhossznak nevezünk. Így az egyenlet ismertebb alakjában 
. Az (1) egyenletből látszik 
szemléletes jelentése is: azt a k vektor irányában mért legkisebb távolságot jelenti, amely szerint a térerősség periodikusan változik.
Doppler-effektus
Tegyük fel, hogy az (1) szerinti monokromatikus síkhullámot egy „K” koordináta-rendszerben írtuk fel. Ha ezt a síkhullámot a K-hoz képest v(t) pillanatnyi sebességgel mozgó K' rendszerből figyeljük, akkor a hullám K-beli frekvenciájától különböző frekvenciájú hullámot fogunk észlelni. Válasszuk úgy a K és K' rendszert, hogy t=0-ban az origók egybe essenek. Ekkor a K-beli koordinátát K'-beli koordinátákkal kifejezhetjük:
![\[\mathbf{r} = \int\limits_0^t \mathbf{v}(\tau) d\tau + \mathbf{r'}\]](/images/math/7/2/9/7297839bfebf68cf6ad7ead6ea975e9d.png)
Ezt beírva az (1) egyenletbe, a hullám K'-beli alakját nyerjük:
![\[E\left( \mathbf{r'},t \right) = {E_0}\cos \left( \phi (\mathbf{r'},t) \right)= {E_0}\cos \left( \omega t - \mathbf{k} \cdot \int\limits_0^t \mathbf{v}(\tau)d\tau - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r'} \right)\]](/images/math/4/f/b/4fbeeaac0cc0c04487ccfb314166d1d1.png)
Definíció szerint a körfrekvencia a fázis (
) idő szerinti parciális deriváltja:
![\[\omega '(t) \equiv \frac{\partial \phi }{\partial t} = \omega - \mathbf{k} \cdot \mathbf{v}(t)\]](/images/math/7/f/7/7f721c70bea40cad584df270cd0b883a.png)
tehát a két rendszer relatív sebességétől függően a körfrekvencia megváltozik, mégpedig a két vonatkoztatási rendszer relatív sebességének pillanatnyi értéke szerint. (Az egyszerűség kedvéért v és ω időfüggését a továbbiakban nem jelöljük.) Ezt a jelenséget felfedezőjéről Doppler-effektusnak nevezik. A jelenség az akusztikában már XIX században ismert és igazolt volt. (A fenti eredmény csak közelítő jellegű, mivel a Galilei-féle relativitás elvének megfelelő transzformáció, amellyel az egyik koordináta rendszerből áttérünk a másikba, csak a fénysebességhez képest kis v sebességek esetében igaz. A pontos tárgyalásnál a Galilei-féle relativitást fel kell cserélni az Einstein-féle relativitás elvével és ennek megfelelően a két rendszer transzformációját Lorentz-transzformációval kell leírni, ld. a függeléket. A gyakorlatban szinte mindig teljesül az a feltétel, hogy v << c, ahol „c” a fénysebesség, ezért a kapott eredmények nagyon nagy pontossággal érvényben maradnak.) Felhasználva a
![\[k = \frac{2\pi }{\lambda } \qquad \acute{e}s \qquad \omega = 2\pi f\]](/images/math/b/9/a/b9abc21b7ba7072d0f0ae710ffa9fc48.png)
egyenleteket, a körfrekvenciáról áttérve frekvenciára kapjuk:
![\[{{f' = f - \frac{\left| \mathbf{v} \right|}{\lambda }\cos \vartheta}}\]](/images/math/1/8/7/187e21043c83a83d4601cc0e608bd933.png)
ahol 
a k és v vektor által bezárt szög koszinusza. Speciálisan, ha k és v azonos irányú, akkor 
, így:
![\[{{f' = f - \frac{\left| \mathbf{v} \right|}{\lambda }}}\]](/images/math/2/9/1/291d690bfda0bad1dc4b297e4ae14de7.png)
és ha ellentétes irányúak, akkor 
, melyből:
![\[{{f' = f + \frac{\left| \mathbf{v} \right|}{\lambda }}}\]](/images/math/6/b/9/6b9a4002dacd0e2a8f87f4767d843bff.png)
Optikai keverés
Tekintsünk két különböző frekvenciájú (
és 
), és azonos terjedési irányú (x) elektromágneses síkhullámot, ahol az egyik körfrekvencia időfüggő: 
. Ebben az esetben az elektromos térerősségek a következőképp írhatók fel:
![\[{{{E_1} = {E_{10}}\cos \left( {{\omega _1}t - {k_1}x} \right)}}\]](/images/math/a/7/7/a7709a1c3886877b1eb5600faa6e9ef2.png)
![\[{E_2} = E_{20}\cos \left( \int\limits_0^t \omega _2(\tau )d\tau - \int\limits_t^{t - x/c} \omega _2(\tau )d\tau + \varphi \right)=E_{20}\cos \left( \int\limits_0^{t - x/c} \omega _2(\tau )d\tau + \varphi\right)\]](/images/math/7/3/d/73dd6eeac725da840fea306764acc11a.png)
ahol „c” a fénysebesség, 
pedig egy konstans fázistolás. Az eredő elektromágneses tér a kettő összege:
![\[E = E_1 + E_2 = E_{10}\cos \left(\omega_1t - k_1x\right) + E_{20}\cos\left(\int\limits_0^{t - x/c} \omega _2(\tau )d\tau + \varphi\right)\]](/images/math/6/7/c/67c684016a38ec51db4219749608b41e.png)
Helyezzünk az eredő tér egy adott pontjába (x) fényérzékelőt. Az érzékelő által szolgáltatott áram 
, ahol „P” a detektorra eső fényteljesítmény. A fényteljesítmény viszont az elektromos térerősség négyzetével arányos:
![\[P\sim E^2 = E_{10}^2 \cos^2\left(\omega_1t - k_1x\right) + E_{20}\cos^2\left(\int\limits_0^{t-x/c}\omega_2(\tau)d\tau + \varphi \right)+2E_{10}E_{20}\cos\left(\omega_1t - k_1x\right)\cos\left(\int\limits_{0}^{t-x/c}\omega_2(\tau)d\tau + \varphi\right)\]](/images/math/4/5/d/45d15020a51f96be9845137f137e1e15.png)
Ha ω2-t ω1-ből Doppler-eltolással állítjuk elő, és az alkalmazott sebességek nem relativisztikusak akkor ω2 csak nagyon kicsit tér el a konstans ω1-től. A továbbiakban egyszerűbb, ha az ω2 időfüggését egy külön 
taggal kezeljük, amely jóval kisebb ω1-nél.
![\[\omega_2(t) = \omega_1 + \Delta\omega(t)\]](/images/math/d/a/8/da82eecfb18dc662befca584cf8ef16a.png)
Δω függését a koordinátarendszerek sebességétől lásd a következő fejezetben. Ekkor
![\[\int\limits_0^{t-x/c}\omega_2(\tau)d\tau = \omega_1(t-x/c) + \int\limits_0^{t-x/c}\Delta\omega(\tau)d\tau\]](/images/math/3/7/d/37de04fd89f1253286612bc22946fafe.png)
Behelyettesítve (13)-ba a fenti összefüggést, és felhasználva, hogy
![\[{{\cos \alpha \cdot \cos \beta = \frac{1}{2}\left( {\cos \left( {\alpha + \beta } \right) + \cos \left( {\alpha - \beta } \right)} \right)}}\]](/images/math/e/d/e/edeb7e191965d71c4d6b7f0ef74cc12d.png)
iD alakja a következő:
![\[i_D \sim E_{10}^2\cos^2\left(\omega_1t - k_1x\right)+ E_{20}^2cos^2\left(\omega_1t - k_1x + \int\limits_0^{t-x/c}\Delta\omega(\tau)d\tau + \varphi\right) + E_{10}E_{20}\cos\left[2\omega_1t - 2k_1x + \int\limits_0^{t-x/c}\Delta\omega(\tau)d\tau + \varphi\right] + \]](/images/math/2/8/7/287fc39855b0c3aff842d462ab6f8dfb.png)
![\[E_{10}E_{20}\cos\left[-\int\limits_0^{t-x/c}\Delta\omega(\tau)d\tau - \varphi\right]\]](/images/math/1/3/6/1369728c41961da2c04d41d268e5f336.png)
A detektor a ráeső teljesítmény időátlagát méri. Mivel fény esetén és ~1015 nagyságrendű, és ezt a frekvenciát a fényérzékelő nem képes követni, az első három tag iD kifejezésében kiátlagolódik. Felhasználva, hogy:
![\[\left<\cos(x)\right> {{=}} 0\]](/images/math/d/0/2/d02ac06f22e163259bc590e80874612b.png)
![\[\left<\cos^2(x)\right> = \frac{1}{2}\]](/images/math/1/a/1/1a1ae1786360bfadec544cd7641c70a2.png)
![\[\cos(-x) {{=}} \cos(x)\]](/images/math/3/0/e/30e7fff53958b633533761ea8267c96d.png)
ahol < > az időátlagot jelenti. A detektor jelére azt kapjuk, hogy:
![\[\left<i_D\right> \sim \frac{E_{10}^2}{2} + \frac{E_{20}^2}{2} + E_{10}E_{20}\cdot\cos\left(\int\limits_0^{t-x/c}\Delta\omega(\tau)d\tau + \varphi\right)\]](/images/math/3/2/d/32dda468ce8a4f9981fec391c147c5dd.png)
Az időátlagolást a fenti kifejezésben a fényhullám periódusidejének néhányszorosára végeztük el (ahogy a detektor is teszi), ezért ha és elég közel esik egymáshoz, a (17) kifejezés negyedik tagja átlagolás után is megmarad, ugyanis az 
jóval nagyobb magánál és -nél. Amennyiben a különbségi körfrekvencia olyan kicsi, hogy az ebből eredő változást már a fényérzékelő is képes követni, a detektor kimenő jelében megjelenik egy, a két fény körfrekvencia-különbségével változó jel, melynek amplitúdója a két térerősség amplitúdójának szorzata. Bevezetve az intenzitásokra az 
és 
jelölést:
![\[\left<i_D\right> \sim \frac{I_1}{2} + \frac{I_2}{2} + \sqrt{I_1 I_2}\cdot\cos\left(\int\limits_0^{t-x/c}\Delta\omega(\tau)d\tau + \varphi\right)\]](/images/math/b/2/2/b22748fb804647cfe4c20b37c714a209.png)
Az így kapott jel egyenáramú komponense a két fényhullám intenzitásának összegével arányos, ami e mérésben nem informatív, ezért elektronikus úton leszűrjük. A mért jel váltóáramú komponensét (iH) heterodin jelnek, az eljárást pedig heterodin keverésnek nevezzük:
![\[i_H \equiv \sqrt{I_1 I_2}\cdot\cos\left(\int\limits_0^{t-x/c}\Delta\omega(\tau)d\tau + \varphi\right)\]](/images/math/9/5/a/95ab0f5d9374e083f3becaf77f5a1648.png)
Az optikai keverésnél az intenzitások közül az egyiket elektromos analógia alapján lokáloszcillátornak nevezik (I1), a másikat pedig jelintenzitásnak (I2). Fénydetektálás szempontjából az optikai keverésnek azért van nagy jelentősége, mert a keletkező heterodin jel frekvenciája jól meghatározott értékű, valamint megfelelő nagyságú lokáloszcillátor-intenzitás segítségével a 
szorzat még kis I2 mellett is megnövelhető. Így az optikai keverés kis fényintenzitások mérésének egyik alkalmas módszereként kínálkozik. Ha például egy detektor érzékenysége 1 mW, és ennél kisebb jelet, mondjuk 10 μW-ot akarunk vele mérni, akkor a 10 μW-os jelet összekeverve egy 1 W-os lokál-oszcillátor jelével, akkor kb. 3 mW-os kevert jel keletkezik, amely már mérhető az adott detektorral. A dolog szépséghibája, hogy a detektoron megjelenik egy nagy, jelen esetben 1 W-os egyenáramú jel is, ami az érzékelőt, vagy az elekronikus erősítőt telítésbe viheti.
Optikai keverés megvalósítása Doppler-effektus felhasználásával
Az optikai keverés megvalósításához egy interferométerre van szükség. Az 1. ábrán látható Michelson-interferométerben a két nyaláb a karokból a féligáteresztő lemezen egyesül úgy, hogy a detektort azonos ponton találja el, és irányuk is pontosan megegyezik (azaz k1 és k2 párhuzamos).
 |
Ha ugyanis k1−k2-nek van a terjedési irányra merőleges komponense (α ≠ 0, ld. 2. ábra), a detektor síkjában egy interferencia csíkrendszer alakul ki, ami miatt a heterodin jel kiátlagolódhat. Azért, hogy ezt elkerüljük, a detektor méretének (d) kisebbnek kell lennie a kialakuló interferencia kép fél periódusánál:
![\[d < \frac{2\pi}{4\cdot k_1\cdot \sin\left (\alpha/2\right )}\qquad \to \qquad \alpha < \frac{\lambda}{2d}\left [ rad \right ]\]](/images/math/6/c/1/6c14d26d3c3296ae6648c4862afc2487.png)
ahol felhasználtuk, hogy 
. Mivel a detektor mérete általában adott, az előző kifejezés a nyalábok egymáshoz viszonyított irányának beállítására ad egy erős kényszert: ha a detektor mérete d = 1 mm, λ = 633 nm, akkor α < 0,0003°, ami 3 m-en 1 mm távolságnak felel meg!
 |
Az optikai keveréshez szükséges kismértékű frekvencia eltérést a Doppler-effektus révén érhetjük el: az interferométer egyik karjában lévő tükör#2, ld. (1. ábra) önmagával párhuzamos, nyalábra merőleges, „v” sebességgel történő mozgatása esetén a tükörre eső fény frekvenciája a Doppler-effektus miatt megváltozik. A mozgó tükör az álló forrásból érkező „f” frekvenciájú lézernyalábot f'-nek érzékeli:
![\[f' = f - \frac{v}{\lambda}\]](/images/math/6/2/0/620606eeed058d89cb1e3d786ae8d007.png)
ahol a sebesség előjeles mennyiség (v > 0, ha a tükör a forrástól távolodik). A tükör ilyen frekvenciájú fényt ver vissza, azonban a detektor egy másik frekvenciát (f") érzékel, ugyanis a tükör hozzá képest egy mozgó forrás. A mozgó tükör karjából érkező fény frekvenciája a detektornál tehát:
![\[f" = f' - \frac{v}{\lambda} = f - \frac{2v}{\lambda} \qquad \Leftrightarrow \qquad \omega_2 = \omega_1 - k_1 \cdot 2v\]](/images/math/d/e/a/dea9ab6f82dc24fd5f13b4f6f2a6f07e.png)
A frekvenciák közötti különbség tehát:
![\[\Delta \omega = -2\cdot k_1\cdot v\]](/images/math/7/d/0/7d0750956592d16e99f10479d8a1082c.png)
ahol 
és 
. Ebből a heterodin frekvencia:
![\[f_H \equiv f' - f" = \frac{2\cdot v(t)}{\lambda}\]](/images/math/e/0/5/e057242996384012b08a6af6bd26199b.png)
A másik nyalábnak a frekvenciája változatlan, így a keletkező heterodin jel (21) szerint:
![\[i_H \equiv \sqrt{I_1I_2}\cdot \cos\left [\int\limits_0^{t-x/c}k_1\cdot 2v(\tau)d\tau - \varphi \right ]\]](/images/math/b/4/e/b4e086fd5131bc59b1d4eb3b876f85d1.png)
A sebesség időfüggése szempontjából két speciális esetet érdemes megvizsgálni. Az egyik az egyenes vonalú egyenletes sebességű mozgás. Ekkor v(t) = v = const., azaz (27) egyenletből az integrálás elvégzése után a következő marad:
![\[i_H \equiv \sqrt{I_1I_2}\cdot \cos \left [k_1\cdot 2v\cdot \left (t-\frac{x}{c}\right ) - \varphi \right ] = \sqrt{I_1I_2}\cdot \cos \left [(\omega_1 -\omega_2)\cdot t -(k_1 - k_2)\cdot x - \varphi\right ]\]](/images/math/0/f/e/0fee7e46857609dbfe48c66e85d53b21.png)
ahol felhasználtuk (24)-et. Egy lebegésszerű jelenséget tapasztalunk: a heterodin jel a körfek-venciák különbségének megfelelő frekvenciával harmonikusan változik. A másik jellemző sebességfüggést, a szinuszos rezgőmozgást végző tükröt, a következő alfejezetben tárgyaljuk.
Amplitúdó mérés heterodin méréstechnikával
Az előző fejezetben tárgyaltuk, hogy az interferométer egyik tükrének állandó, a tükörre merőleges sebességgel történő mozgatásának hatására milyen heterodin jel keletkezik és ez hogyan használható a sebesség nagyságának meghatározására. Ebben a fejezetben azt vizsgáljuk milyen a heterodin jel alakja, ha mozgás ugyan merőleges a tükörre, de a sebesség nagysága időben változó: a példa kedvéért harmonikus rezgőmozgás. A rezgés kitérése:
![\[x_r = x_0\cos (\omega_rt + \varphi_r)\]](/images/math/e/3/9/e395a30ab69fff47338f7f8d197c2770.png)
ahol 
az amplitúdó 
a rezgés körfrekvenciája 
pedig a kezdőfázis. Ez alapján a pillanatnyi sebesség:
![\[v(t) = \dot{x} = -x_0\omega_r \sin (\omega_rt + \varphi_r)\]](/images/math/d/1/1/d11e834ff1300794f4df08fdf5f218ab.png)
A heterodin frekvencia pedig:
![\[f_H = \frac{2v}{\lambda} = -\frac{2x_0\omega_r\sin(\omega_rt+\varphi_r)}{\lambda}\]](/images/math/4/b/0/4b06a4aac362d23d1116d9f5d8cdd28c.png)
Itt „v” a tükör #2 sebessége az interferométerben, az alkalmazott fény hullámhossza. A heterodin jel alakja a harmonikusan rezgő tükör esetén (27) és (30) alapján:
![\[i_H \equiv \sqrt{I_1I_2}\cos \left [\int\limits_0^{t-x/c}k_1\cdot 2v(\tau)d\tau - \varphi \right ] = \sqrt{I_1I_2}\cos \left [k_1\cdot 2x_0\cdot \cos \left (\omega_r \cdot (t-x/c)+ \varphi_r\right ) - \varphi \right ]\]](/images/math/e/0/3/e03643337f53d0ecdac890e83bdd13ba.png)
ahol -be a t = 0 miatt újonnan keletkezett konstans fázistolást is belevettük. Ha -be szintén beleértjük az x/c-ből eredő konstans fázistolást, akkor a heterodin jel alakja a következő:
![\[i_H \equiv \sqrt{I_1I_2}\cos \left [k_1\cdot 2x_0\cdot \cos(\omega_rt + \varphi_r) -\varphi \right ]\]](/images/math/0/5/1/0510476fae5f581ad18143d9d0b3596d.png)
 határozza meg a görbék együttes mozgását az időskálán, pedig a heterodin jel (kék görbe) kezdőfázisát adja meg a tükör sebességét leíró (fekete) görbéhez képest. |
A 3. ábrán jól láthatóak a heterodin jel nullhelyei. Célunk az, hogy összefüggést találjunk az adott idő alatt mérhető nullátmenetek és a rezgés amplitúdója között. Vizsgáljuk meg mi a feltétele annak, hogy a heterodin jel értéke 0 legyen. Ha bevezetjük a heterodin jel fázisára a:
![\[\Phi \equiv k_1\cdot 2x_0\cdot \cos(\omega_rt + \varphi_r) - \varphi\]](/images/math/2/a/a/2aa7be11df94aaf3210e877deed986a9.png)
jelölést, akkor a zérus helyek feltétele:
![\[\cos(\Phi) = 0 \quad \to \quad \Phi = (2n+1)\frac{\pi}{2} \quad n \in Z\]](/images/math/6/f/1/6f1512158d8759b8cf23141686f78b3c.png)
Ebből a következő adódik:
![\[\Phi = \frac{4\pi x_0}{\lambda}\cos (\omega_rt + \varphi_r) - \varphi = (2n+1)\frac{\pi }{2}\]](/images/math/c/9/a/c9ac5a7189769dc46c005153d603ab61.png)
Vegyük a 
és 
esetet, és vizsgáljuk meg hány nullahelye van a heterodin jelnek a rezgés egy félperiódusa alatt, azaz ![\setbox0\hbox{$\omega_rt \in [0;\pi]$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/2/f/8/2f81679d6599eec4e1f230a065510fdc.png)
intervallumon? A 4. ábra mutatja a 
-vel normált fázist az idő függvényében; azt keressük, ez a görbe hol veszi fel a (36)-ban meghatározott értékeket (ld. vízszintes rácsozat).
 -vel normált fázist mutatja az idő függvényében. A vízszintes rácsozat a 0,5 1,5; 2,5; 3,5 stb. értékeket mutatják, azt ahol a heterodin jel értéke zérus lesz. |
Az 4. ábra vízszintes rácsozata és a görbe metszéspontjai határozzák meg a heterodin jel nullátmeneteinek időpontjait. Egy fél periódus alatt a (36) függvény 
közötti értékeket vehet föl, a nullahelyek száma tehát:
![\[N = 2\cdot Round\left ( \frac{4x_0}{\lambda}\right )\]](/images/math/b/7/3/b7328bae8a2f92deab3131654587ddca.png)
ahol Round(E) az „E” értékének matematikai szabályok szerinti kerekítése. Hogyha a 
vagy 
, akkor ezek és x0 pontos értékétől függően a nullhelyek értéke eltérhet a képlettől ± 2-vel. Általános esetben tehát, ha a kezdőfázisok ismeretlenek:
![\[N = 2\cdot Round\left ( \frac{4x_0}{\lambda}\right )\pm 2\]](/images/math/a/1/6/a16e7425611c203e7f7172abaf5cecb5.png)
A fázisok hatásának megértéséhez a nullhelyeket meghatározó (36) képletet átrendezzük:
![\[\frac{4\pi x_0}{\lambda}\cos (\omega_rt + \varphi_r) = (2n+1)\frac{\pi}{2} - \varphi\]](/images/math/b/5/f/b5f9a49cf63850211e985f0c3a511676.png)
Ez alapján úgy lehet képzelni, mintha a 4. ábrán szereplő rácsozatot függőlegesen, pedig az egész görbét vízszintesen tologatná. A kísérlet során a harmonikus rezgést egy hangfrekvenciás elektromos generátorral hozzuk létre és a nullahelyeket ezen gerjesztő jel félperiódusa alatt számoljuk meg, azonban a valódi rezgés ehhez képest fázissal el van tolódva, ami az elektromos (kábelhossz, eszközök frekvencia átvitele) és a mechanikai fáziseltolódás összege. A mechanikai fázistolás a teljes heterodin jel időfüggő eltolódását okozza, az elektronikai rendszer fázistolása pedig a gerjesztő feszültséghez képest tolja el a rezgő tükör sebesség-idő függvényét. A az optikai elemek fázistolásának, és mechanikai pozíciójának eredménye (hatására a heterodin jel kezdőfázisa változik meg a sebesség-időfüggvényhez képest), így az optikai elemek nagyon kicsi elmozdulásaira is igen nagyot változik: a rendszer a mechanikai rezgésekre igen érzékeny lesz.
A mérést az 1. ábra szerinti interferométerrel végezzük el, amelyben természetesen csak akkor kapunk eredményt, ha x0 elég nagy. Amennyiben 
, akkor nullahelyek nem lépnek fel, így ez az eljárás nem alkalmazható. (Ekkor csak a heterodin jel spektrális vizsgálata adhat információt az amplitudóról.) Ezért a heterodin jel nullátmeneteinek számlálásával az alkalmazott lézerfény hullámhosszánál (
) nagyobb amplitúdójú rezgéseket lehet csupán vizsgálni. Ha a nullátmenetek között eltelt idők reciprokát képezzük, akkor ezek úgy tekinthetők, mint a ti és ti+1 időpontok közötti pillanatnyi frekvencia, így ezen időközök 
mérésével a pillanatnyi sebesség abszolút értéke is meghatározható az alábbi összefüggés alapján (de az előjele nem):
![\[\frac{1}{2\Delta \tau_i} = \mid f_i \mid \sim \frac{2\mid v\mid}{\lambda }\]](/images/math/6/9/7/697b9b654300dffba5ab021a101bc2dc.png)
Mérési feladatok
1. feladat
Egy kis hangszóró membránjára erősített sík üveglap mozgását vizsgáljuk. Szinuszos jellel meghajtva a hangszórót határozzuk meg a lapka sebességét az idő függvényében. Az 1. ábra szerinti interferométer elrendezést használjuk, ahol a tükör #2 szerepét a sík üveglap játssza. A hangszórót úgy kell beállítani, hogy a ráragasztott sík üveglap merőleges legyen a megvilágító lézernyaláb irányára. A hangszórót meghajtó generátor jele amplitúdóban és frekvenciában változtatható, így különböző meghajtási körülmények mellett vizsgálható a mozgás. A membránon levő üveglap sebességét a detektor kimenetén levő frekvencia modulált jel pillanatnyi frekvenciájából határozzuk meg. Ezt egy adott időpillanat utáni, a jel két egymást követő nullátmenete közötti idő mérésére vezetjük vissza. A mérés oszcilloszkóppal hajtjuk végre. A jelet a hangfrekvenciás generátorról triggereljük, kimerevítjük és a markerek segítségével megmérjük egy periódus alatt a nullhelyek időbeli távolságát. A (40) egyenlőségből f(t), és 
ismeretében a pillanatnyi sebesség v(t) is kiszámítható.
A mérés menete:
- Kapcsoljuk be a lézer tápegységet, az oszcilloszkópot, a jelgenerátort, és a detektort!
- A jelgenerátort állítsuk harmonikus jelalakra, frekvenciáját állítsuk be 100 Hz-re a FREQUENCY gombbal. A triggereléshez a jelet osszuk meg egy T dugóval és ezt csatla-koztassuk az oszcilloszkóp 1-es bemenetére. A másik BNC kábelt kössük a hangszóró bemenetére. Amplitúdóját az AMPLITUDE. gombbal állítsuk 30 mV peak to peak értékre.
- A hangszórót és tükör #1-et úgy állítsuk be, hogy a visszavert fénynyalábok a távoltérben (azaz a falon), és a detektoron is fedjék egymást (1. ábra). Így biztosítjuk az irányok párhuzamosságát és az azonos térbeli pozíciót. Ügyeljünk rá, hogy a lézerbe ne lőjünk vissza, mert a rezonátor veszteségeinek elhangolásával a kimenő teljesítmény zajos lesz.
- A detektor kimeneti jelét bevezetjük az oszcilloszkóp 2 csatornájára. Az oszcilloszkópon megjelenő jelet figyelve a tükör #1, a detektor és a hangszórótartó finombeállító csavarjaival maximalizáljuk a detektorjelet. Ez legalább 1 V csúcsérték legyen.
- Merevítsük ki a jelet a run/stop gombbal és határozzuk meg a szomszédos nullahelyek távolságát a rezgés egy periódusa alatt (cursors funkció), és ezeket használjuk a pillanatnyi frekvencia és a sebesség időfüggésénbek meghatározására.
- A nulla sebességű időkhöz rendeljünk extrapolációval a nulla sebességet! A mérésből a sebesség előjele nem határozható meg, csak annak abszolút értéke.
2. mérés
Mérjük meg a hangszóró membránjának amplitúdóját a frekvencia függvényében 100 Hz és 2000 Hz között, az előző feladatban beállított amplitúdót használva:
- 100 és 200 Hz között 20 Hz-ként,
- 200 és 500 Hz között 50 Hz-ként,
- 500 és 2000 Hz között 100 Hz-ként.
A detektor jelében a nullátmenetek száma alapján meghatározható egy rezgő rendszer amplitúdója. Ábrázoljuk a membrán amplitúdóját a frekvencia függvényében! Használjuk ismét az oszcilloszkóp run/stop és cursors funkcióját, ha szükséges! Milyen jellegzetességet mutat a kapott görbe?
3. mérés
Határozzuk meg egy lassú, egyenletesen mozgó tükör sebességét. A mozgási sebesség itt már olyan kicsi, hogy a heterodin frekvencia a hangfrekvenciás tartományba esik. Erről meg is lehet győződni, ha a detektor kimenetét a hangszóróra csatlakoztatjuk, így az úgynevezett Doppler-fütty hallhatóvá tehető. A tükör lassú, egyenletes mozgását egy motorral meghajtott lineáris mozgatóval hozzuk létre. A motor táplálásával különböző sebességeket lehet beállítani, és ennek megfelelően más-más heterodin frekvencia áll elő. Mivel a mozgás „egyenletes”, ezért a heterodin jel frekvenciája állandó, a mozgás folyamán nem változik. Ezért itt nem pillanatnyi frekvenciát kell meghatározni, hanem egy meghatározott frekvenciát, melynek mérését oszcilloszkóppal végezzük amiből kiszámolható a sebesség.
A mérés menete:
- Helyezzük be a lineáris mozgatót a hangszórót tartó mechanika helyére úgy, hogy a beeső és a tükörről visszaverődő nyaláb párhuzamos legyen! Ezt a tükörtartón levő állító mechanikával lehet elérni. A tükörmozgató síneket tegyük minél közelebb az osztótükörhoz, hogy az úthosszkülönbséget minimalizájuk.
- Kapcsoljuk be a motor tápegységét, és addig növeljük a feszültséget, amíg a motor egyenletesen nem forog. A motor feszültsége ne legyen nagyobb 3V-nál! Véghelyzethez közeledve változtassuk meg a polaritást és ezzel a sebesség irányát.
- A detektor kimenetét az oszcilloszkóp 1 bemenetére csatlakoztatva a tükörállítókkal maximalizáljuk a jelet.
- Mérjük meg az oszcilloszkóppal a heterodin jel frekvenciáját! A mérési eredményt 10 frekvencia értékéből átlagolja (mivel a sebesség kissé ingadozik).
- Ismételjük meg a mérést három másik motor meghajtásnál, azaz másik feszültségnél is! Minden motor feszültség esetén határozza meg a sebességet a vonalzó és óra segítségével.
- A detektor kimenetét csatlakoztassa a hangszóróra és állítson elő Doppler-füttyöt!
- Számítsa ki a két sebességértéket a (26) egyenlet segítségével!
Függelék - a Doppler effektus relativisztikus tárgyalása
Az elektromágneses sugárzás esetén is tapasztalható a doppler effektus, ami azt jelenti, hogy ha a forrás és a megfigyelő egymáshoz képest mozog, akkor az érzékelt frekvencia eltér a kibocsátott sugárzás frekvenciájától. Tekintsük K és K’ koordináta rendszereket, amelyek „x” tengelyük irányában egymáshoz képest v sebességgel mozognak; y és z tengely iránya egyezzen meg, valamint 
időpillanatban origójuk essen egybe. Ezen feltételek érvényessége mellett a két rendszer közti koordináta-transzformáció a következő alakú:
![\[\begin{cases} x' &= \gamma (x - vt) \\ y' &= y \\ z' &= z \\ t' &= \gamma (t - \frac{vx}{c^2}) \end{cases}\]](/images/math/6/5/2/6526fb686900036352084b87aa9b6104.png)
ahol
![\[\gamma {{=}} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\]](/images/math/b/c/b/bcb87a7dad977f66a04b78282c56701a.png)
és „c” a fénysebesség, „v” a két koordináta rendszer közti sebesség. Haladjon az „x” tengely mentén egy fénynyaláb. Ennek körfrekvenciája és hullámszáma a K rendszerben 
és 
, a K’ rendszerben 
és 
. A fázis egy invariáns skalár, mindkét rendszerből nézve állandó:
![\[\varphi {{=}} \omega t - kx {{=}} \omega 't' - k'x'\]](/images/math/5/3/3/533c91bd708709674f53409fe49284b3.png)
Ez egy 
irányba haladó elektromágneses hullám fázisa. Az egyenlet jobb oldalába behelyettesítve a koordináta-transzformációt, a következőt kapjuk:
![\[\varphi {{=}} \omega '\gamma \cdot t + k'\gamma v\cdot t -k'\gamma \cdot x - \omega '\gamma \frac{v}{c^2}\cdot x\]](/images/math/9/a/6/9a60e15b35ac74c1dc7bd78df7fc8620.png)
A körfrekvencia definíció szerint a fázis idő szerinti parciális deriváltja így:
![\[\omega \equiv \frac{\partial \varphi }{\partial t} {{=}} \omega '\gamma + k' \gamma v\]](/images/math/b/3/2/b329c76f1fe3bd3c00478f0351112e8c.png)
Felhasználva, hogy
és 
,
a frekvenciákra a következő összefüggés teljesül:
![\[f {{=}} \gamma \cdot f' + \gamma \cdot \frac{v}{\lambda '}\]](/images/math/9/b/b/9bbc5aeed71dd17d9a1fec143944c68a.png)
Mivel azonban a relatív sebesség igen kicsi 
ezért 
és így jó közelítéssel:
![\[f {{=}} f' + \frac{v}{\lambda}\]](/images/math/1/8/1/18199c710abf8da28c47147eb3ceb241.png)
A képletből leolvasható, hogy távolodó forrás és megfigyelő esetén a frekvencia csökken közeledő forrás és megfigyelő esetén a frekvencia nő.
PDF formátum
