„Speciális relativitáselmélet” változatai közötti eltérés

A lap jelenlegi, 2013. december 19., 14:24-kori változata

SZERKESZTÉS ALATT!!!

Motiváció A hírek, azaz az információ megszerzése és továbbítása az Emberiség történelmének egyik fontos tényezője volt. Győzelem vagy vereség függött a gyors, pontos információáramlástól. De lehet-e vajon tetszőleges gyorsasággal hírt közölni? Az elektrodinamikából tudjuk, hogy a csillagos égbolt éppen fénysebességgel küld felénk információt az Univerzum állapotáról. Ha "távolra" nézünk, egyben a "múltba" is tekintünk. Mit "látnánk", ha utolérnénk a fényt? Vajon lehetséges-e kitalálni egy fénynél sebesebb információközlési módszert? Vagy talán a fénysebesség valóban egy "objektív" áttörhetetlen korlát?

Elvek (posztulátumok)

Inerciarendszer a Newtoni mechanikában

Mint azt a klasszikus mechanikában már megtanultuk, a Newton-féle tér- és időszemlélet tükrözi a hétköznapi, egyszerű elképzelésünket. Azt gondoljuk, hogy létezik egy végtelen nagy (az egész Univerzumra kiterjedő) "álló" inerciarendszer, azaz van egy univerzális "Színpad" (tér) amelyen a Világ eseményei megtörténnek. Ebben mozognak a galaxisok, ebben mozog a Földünk is és a Föld felszínén lévő testek mozgását is ehhez az abszolút rendszerhez kellene viszonyítanunk. Valamint létezik (egy nagyon absztrakt) "valami", amit időnek nevezünk. Ez "egyenletesen telik" a végtelen távoli múlttól a "jelen pillanatig" és tudjuk, hogy ezt teszi a jövőben is "az idők végezetéig". Az abszolút inerciarendszerben a távolságokat (azaz a "Teret") méterrúddal mérjük, az "Időt" pedig órával. Mindezt eleve (a priori) adottnak, mintegy természetesnek vesszük.

:Nem vitatjuk e szemlélet jogosságát. Pedig megtehetnénk, ugyanis mindez csupán egy kulturális örökség és így meglehetősen speciális. A görögöktől kapott Euklideszi geometria a végtelen (homogén) tér szemléletét hagyta ránk. A geometriai törvények szigorú (logikai) rendje szinte evidensé teszi a térszemléletünk helyességét. A kereszténység (teremtéselméletén alapuló) lineáris időszemlélete hosszú generációkon keresztül ivódott belénk. Tudjuk, hogy más kultúrákban az időt más tulajdonságúnak képzelik az emberek. Például a hinduk időszemléletét a linearitás helyett a periodikusság jellemzi. Ennek vallási vetülete pl. a reinkarnációban való hit is.

Az álló, univerzális (abszolút) inerciarendszerhez képest minden egyenletes sebességgel mozgó vonatkoztatási rendszer szintén inerciarendszer. Azaz, ha létezik egy inerciarendszer, akkor végtelen sok is létezik! A Newton axiómák inerciarendszerekben érvényesek. Ez fordítva is igaz: (definíciószerűen) inerciarendszerek azok, amelyekben a Newton axiómák teljesülnek. Ez azt jelenti, hogy ha bezárkózunk egy inerciarendszerbe, akkor semmiféle mechanikai kísérlettel nem tudjuk eldönteni, hogy az abszolút rendszerben vagyunk-e vagy pedig nem. De ez azt is jelenti, hogy bármelyik inerciarendszert tekinthetjük állónak. Ezt egyszerűsített formában úgy mondjuk, hogy mechanikai kísérlettel nem tudjuk eldönteni, hogy állunk-e vagy mozgunk. Természetesen "mozgó" rendszeren mindig egyenletesen mozgót kell érteni.

Ezen az egyáltalán nem triviális problémán már Galileo Galilei is gondolkodott és tökéletesen megfogalmazta az inerciarendszerek ekvivalenciáját.

Gondolatait a "Discorsi…" ( röviden: Matematikai érvelések és bizonyítások) című művében igen részletesen és precízen fejtette ki.

A szóban forgó mű teljes címe: Galileo Galilei: "Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno due nuove scienze attenenti alla mecanica & i movimenti locali" 1638.

Ez még Isaac Newton előtt volt, így itt "csak" (!) a mozgások matematikai leírását adja meg (pl. a jól ismert itt szerepel először a fizika történetében). A "tehetetlenség" törvényének az első megfogalmazását is itt találhatjuk meg. Newton ezeket már "készen kapta". Az ő érdeme ezen gondolatok matematizálása és egységbe foglalása volt (Newton axiómák).

Az elmondottakból következik, hogy elegendő csak két (tetszőleges) inerciarendszert vizsgálni. A kettő közül az egyiket (bármelyiket) tekinthetjük állónak és a másikat (ehhez képest) mozgónak. Az, hogy melyik melyik, pusztán megállapodás kérdése. Az állónak tekintett rendszert -val, a mozgónak tekintett rendszert -vel szoktuk jelölni. Az élő beszédben pedig "vesszős" és "vesszőtlen" rendszert mondunk. Ezek után azt vizsgáljuk, hogy ugyanazt a mechanikai jelenséget milyennek észleli a -ban illetve a -ben lévő megfigyelő. Ezeket gyakran "álló megfigyelőnek" illetve "mozgó megfigyelőnek" hívjuk. Mármost azt várjuk, hogy bizonyos mért adatok (pl. a hely, a sebesség) a két inerciarendszerben ugyan mások lesznek, de ezek egymásba átszámolhatók. Ezt az átszámolási technikát nevezzük Galilei-féle transzformációnak.

1.1.1 ábra

A konkrét matematikai tárgyalás érdekében (a szokásos módszert követve) definiálnunk kell mind az álló, mind pedig a mozgó inerciarendszerben egy-egy koordinátarendszert. Célszerű lesz a "legegyszerűbb", Descartes koordináták választása. -ban a koordinátákat és az időt -vel és -vel, -ben -vel és -vel jelöljük. Mivel a fizikai eredmény nem függ sem a koordinátarendszer konkrét helyzetétől, sem az időszámítás kezdetétől, így további kényelmi szempontokat is figyelembe vehetünk.

A két rendszer egymáshoz képesti (egyenletes) sebessége kitüntet egy irányt, célszerű lesz az "x" tengely(eke)t (mindkét rendszerben) ebben az irányban felvenni. A sebesség nagysága legyen "u". (1.1.2 ábra)

1.1.2 ábra

További egyszerűsödést jelent, ha a megfelelő koordinátatengelyek egymással párhuzamosak és az "x" tengelyek egybeesnek. Mindezt az 1.1.3 ábra szemlélteti.

1.1.3 ábra

Egy valamilyen erő hatására mozgó tömegpont esetében a Galilei-transzformáció a következő (triviális) összefüggéseket jelenti (lásd az 1.1.3. ábrán.):

	(1.1.1)

Az utolsó összefüggés azt a természetes tényt rögzíti, hogy mindkét inerciarendszerben ugyanazt a naptárt és órát használjuk. Azaz az időt ugyanolyan módon (ugyanolyan órával és ugyanazzal az időszámítással) mérjük. Vagyis a (az időszámítás kezdete) mindkét rendszerben akkor van, amikor a Descartes tengelyek éppen fedésben vannak. Az elkövetkezőkben mindig ezt a konvenciót fogjuk követni. Modern szóval élve ez lesz a "default", azaz az "alapértelmezés". A relativitáselmélet szakirodalmában ezt standard boost –nak hívják.

A sebességek és a gyorsulások egyszerű deriválással kaphatók, azaz :

	(1.1.2)

illetve

	(1.1.3)

Tehát a sebesség nem, de a gyorsulás mindkét rendszerben ugyanakkorának adódik. Tegyük fel (mert jelenleg még igazából semmi nem indokolná az ellenkezőjét), hogy a pont tömege és a rá ható erő mindkét rendszerből mérve ugyanaz. Így valóban a Newton-féle mozgásegyenlet (mind a vesszős, mind pedig a vesszőtlen rendszerben) ugyanolyan alakú lesz:

	(1.1.4)

Ezt nevezzük Galilei-féle relativitás elvnek. Nyilvánvaló, hogy ha egyetlen tömegpont mozgástörvényét ismerjük, akkor nagyon sok, egymással kölcsönható tömegpontokból álló rendszer mozgását is meg tudjuk határozni (lásd: merev testek, folyadékok, gázok mechanikáját). Ezek után megállapíthatjuk, hogy a Galilei-féle relativitási elv szerint:

A speciális relativitáselmélet posztulátumai

Mi, most a leggyorsabb haladás érdekében az "axiomatikus utat" fogjuk követni. Azaz egy egyszerűsített "felvezetés" után kimondjuk a speciális relativitáselmélet alaptörvényeit (ezek neve "Einstein posztulátumok") majd ezek következményeit részletesen megtárgyaljuk. A kapott "relativisztikus" effektusok mindegyikét (közvetlen vagy közvetett) kísérletek sokasága igazolja, illetve (és ez a fontosabb) az elmúlt 100 évben még nem találkoztunk olyan természeti jelenséggel, amely cáfolta volna ezen törvények valamelyikét.

Galilei (1564-1642) és Newton (1642-1727) után mintegy 200 évvel James Clerk Maxwell (1831-1879) felismerte és megfogalmazta az elektrodinamika alaptörvényeit, az ún. Maxwell egyenleteket. Az 1864-ben megjelent művének a címe: "Az elektromágneses mező dinamikájának elmélete". Joggal merülhet fel a kérdés, hogy vajon ezek az egyenletek melyik vonatkoztatási rendszerben érvényesek. Ha következetesek akarunk lenni, akkor azt kell mondanunk, hogy természetesen a Newton-féle Univerzális (abszolút) Rendszerben (a Világszínpadon) biztosan jónak kell lennie. Hiszen ezért fogadjuk el alaptörvénynek. De mi a helyzet a többi (mozgó) inerciarendszerrel? Vajon ezek az "új" törvények ugyanúgy viselkednek, mint a Newton-féle mechanika, vagy esetleg másképpen? Azaz változatlanok maradnak-e, ha az abszolút rendszerből áttérünk egy mozgó rendszerre. Erre csak a tapasztalat adhatja meg a választ!

Mint azt már láttuk, a Maxwell-egyenletek szerint léteznie kell elektromágneses hullámoknak (EMH). Mivel a vákuum homogén és izotróp, így az EMH-k terjedése is ilyen kell hogy legyen. Valóban, Heinrich Hertz (1857-1894) kísérletileg kimutatta ezek létezését (1885-1889), ami még érdekesebbé tette a fenti kérdést. Ugyanis a klasszikus tapasztalatok szerint egy hullámjelenség mindig valamilyen anyagi közegben lép fel. Jól ismert példaként a hanghullámokat (levegőben), a rugalmas hullámokat (szilárd anyagban) vagy a felületi vízhullámokat említhetnénk. Így aztán nyilvánvaló volt, hogy az elektromágneses hullámnak is valamilyen anyagi közegre van szüksége. Ez a közeg azonban (a mechanikai szemlélet szerint) igen szokatlan tulajdonságú. Láttuk, hogy a (sík) EMH szerkezete olyan, hogy a térben és időben változó ("hullámzó") elektromos és mágneses térerősség merőleges a terjedési irányra, azaz ún. tranzverzális hullámról van szó.

1.2.1 ábra

A mechanikában tranzverzális hullámok csak szilárd anyagokban (ahol nyírási erőhatások ébredhetnek) lépnek fel. Az EMH-t hordozó közeg tehát a szilárd anyagokra emlékeztet. Ugyanakkor ebben a közegben a testek akadálytalanul mozoghatnak (pl. az égitestek), így ez a közeg a tömeggel bíró testek számára érzékelhetetlen. Ezért elnevezték "éternek".

Az éter görög szó (aithér). A mitológia szerint földi levegő felett lévő (könnyű, fénylő és tiszta) égi levegő, amelyben az istenek laknak.

Tehát – gondolták a régiek – az abszolút, álló Univerzális Rendszert kitölti az éter, és az EMH (pl. a fény) ebben terjed éppen sebességgel. Az EMH pedig a töltések között fellépő elektromágneses kölcsönhatások hordozója, közvetítője. Mint azt láttuk, a Maxwell-egyenletekben egyetlen sebességadat szerepel, ezt jelöltük -vel. Az egyenletekből levezethető hullámegyenletben éppen ez a jelenik meg. Ennek megoldásaként adódó EMH sebességére is ugyanez a adódik. Mindezt már részletesen tárgyaltuk az elektrodinamikában. A kérdés mármost az, hogy mekkora lesz az tengely mentén pozitív irányban haladó EMH sebessége, ha az éterhez képest mozgó inerciarendszerben mérjük azt meg (alapértelmezés!). A hullámoknál tapasztaltak szerint ennek különböznie kell a -től. Valóban, ha a Maxwell egyenletekből levezethető hullámegyenletet a fenti módon áttranszformáljuk a mozgó rendszerbe, akkor az új hullámegyenlet megoldására egy , illetve sebességű fényhullámot kapunk, attól függően, hogy szembe mozgunk-e a fénnyel () vagy vele egyező irányban (). De ez azt is jelentené, hogy ami a mechanikában lehetetlen volt, az most lehetővé válik: egy egyszerű fénysebesség méréssel meg tudnánk mondani, hogy "állunk-e vagy mozgunk".

Van azonban egy érdekes tény! Ugyanis, ha a Maxwell-egyenleteken (külön-külön mind a négyen) végrehajtjuk az -re vonatkozó Galilei-transzformációt, akkor olyan "új" tagok jelennek meg az egyenletekben, amelyet semmiféle kísérlet nem igazol. Az érdekesség az, hogy ezek a "felesleges tagok" a hullámegyenlet képzésekor éppen kiesnek! Ezért ez ott nem okozott gondot. Kimondhatjuk tehát, hogy a Galilei-transzformáció alkalmazása az elektrodinamikában rossz eredményt ad. De ez egyben azt is jelenti, hogy a mozgó rendszerben kapott sebességérték sem helyes. Erre a problémára a legegyszerűbb választ Albert Einstein adta meg.

Tételezzük fel – mondta –, hogy a Maxwell-egyenletek minden inerciarendszerben ugyanolyan alakúak. Tehát minden inerciarendszerben az EMH (fény) sebessége ugyanaz a érték. Ekkor viszont az abszolút nyugvó éter fogalma tarthatatlanná válik. Mondjuk tehát ki, hogy "az éter nem létezik!" Mindezekből következik, hogy nem csak mechanikai, hanem elektrodinamikai kísérlettel sem lehet eldönteni, hogy "nyugvó, vagy pedig "mozgó" rendszerben vagyunk. Az inerciarendszerek ezen egyenértékűsége és a , mint az elektromágneses kölcsönhatások terjedési sebességének állandósága (invarianciája) nem lehet véletlen. Einstein azt javasolta, hogy legyenek ezek alapvető természeti törvények. Az elmondottak lehető legszélesebb körű általánosítása vezet az Einstein-féle posztulátumokhoz. Ezek szerint

1. A Természettörvények minden inerciarendszerben ugyanolyan alakúak
2. Bármilyen fizikai hatás maximum sebességgel terjedhet.

A "" (homogén, izotrop) sebesség invarianciáját nem kell külön kimondani, mert ez az első posztulátumnak a következménye. Ha ez nem így volna, akkor fénysebesség méréssel különbséget tudnánk tenni két inerciarendszer között. Ha ezt a két alaptörvényt elfogadjuk, akkor ebből az egész speciális relativitáselmélet felépíthető: minden törvénye igazolható vagy cáfolható.

MEGJEGYZÉS: A "népszerűségnek örvendő" áltudományos művekkel kapcsolatban célszerű egy igen egyszerű prakticista álláspontra helyezkedni. A Természetet semmiféle filozófiai okoskodással nem lehet kitalálni. Ezért ne filozofálgassunk a relativitáselméletről! Elegendő csupán az, ha valaki elvégez egyetlen egy olyan kísérletet, amely az einsteini posztulátumok bármelyikét egyértelműen és reprodukálható módon megcáfolja. Azaz például mér egy -nél nagyobb hatásterjedési sebességet. Vagy "bezárkózva" egy mozgó inerciarendszerbe (amelyből nem "lát ki") valamilyen fizikai méréssel megállapítja, hogy az inerciarendszere mozog-e vagy nyugalomban van! Ennél több nem is kell! Minden egyéb csak szócséplés és üres "filozofálgatás"!

Mint azt tudjuk, a Fizikában a természeti jelenségek leírása úgy történik, hogy a kiválasztott térrész minden pontjában és minden időpontban meghatározzuk valamely fizikai mennyiség értékét. Ez szükségképpen mindig egy skalár mennyiség (szám + mértékegység). Az ismert természettörvények segítségével az függvény kiszámítható, és az eredmény mérésekkel ellenőrizhető. A speciális relativitáselmélet arról szól, hogy milyen kapcsolat van az állónak tekintett és a mozgó rendszerben meghatározott adatok között. Azaz

	(1.2.1)

Láttuk, hogy a mechanikában az álló és a mozgó megfigyelő által mért helykoordináta és idő adatok között a Galilei-transzformáció teremt kapcsolatot. Galilei szerint az erő komponensek és a tömeg pedig ugyanazok mind a két rendszerben (azaz nem transzformálódnak). Az már rögtön látszik, hogy a Galilei-transzformáció nem teljesíti azt a posztulátumot, amely szerint a fénysebesség minden inerciarendszerben ugyanaz a érték. Ez a már bemutatott sebesség összeadási formulából következik. Ezért egy új transzformációt kell keresnünk. Ezt a transzformációt már Einsteintől függetlenül Hendrik Antoon Lorentz és Henri Poincaré megtalálta. Ők arra a transzformációra jöttek rá, amely a Maxwell-egyenleteket változatlanul hagyja. Ők tehát egy speciális jelenségkört, az elektrodinamikát vizsgálták. Ezt a transzformációt a fizikus társadalom Lorentz-transzformációnak nevezte el. Einstein egyik nagy érdeme többek között az, hogy meglátta ennek a transzformációnak az alapvető és univerzális voltát, amely gyökeresen megváltoztatta a térről és az időről alkotott newtoni szemléletünket. És ennek megfelelően a természeti törvények fontos szimmetriatulajdonságára mutatott rá (lásd Einstein első posztulátumát).

A jelen tanulmányaink során mi csak a relativisztikus kinematikával és a relativisztikus dinamikával tudunk foglalkozni. Az elektrodinamika relativisztikus tárgyalása (azaz az elektromos és a mágneses térerősség komponensek transzformációs tulajdonságainak ismertetése) már jócskán meghaladja e kurzus színvonalát.

A Lorentz transzformáció

Az első feladatunk tehát az, hogy meghatározzuk azt a transzformációt, amelyik változatlanul hagyja a fény sebességét, ha az egyik inerciarendszerből egy másikra térünk át. Ha ez valóban egy univerzális törvény, akkor ezt a Maxwell-egyenletek nélkül is meg lehet csinálni (ez is Einstein ötlete volt!).

A gondolatmenet a következő: -Tekintsük az álló és a mozgó vonatkoztatási rendszert az alapértelmezés szerinti Descartes koordinátákkal ellátva.

A koordinátatengelyek kalibrálása (azaz tetszőleges méretű egyforma szakaszok kijelölése az , , tengelyeken) geometriai feladat, és így az egzaktul megoldható.

Alapvetően más a helyzet az időt mérő órákkal. Pontos órát igen sokféle módon lehet készíteni. A technikatörténet a görögök által használt vízi óráktól kezdve az inga-, a rugós- és a kvarcórákon át a mai modern atomórákig (lásd GPS) rengeteg fajta megoldást ismer. Ezek működésében a Fizika szinte minden ismert törvénye jelen van. Mondhatjuk tehát, hogy egy óra használata a természeti törvények "használatát" (is) jelenti. Egy adott rendszeren belül lévő óráknak pontosan egyformán kell járniuk. Nem kell, hogy ugyanolyan típusúak legyenek, de az időt egyformán kell mutatniuk. Ez egyszerű "kalibrálással" megoldható: az órákat egy "etalon" órához ("ősórához") kell igazítani. Hasonlóan ahhoz, mint amikor a hosszúság mérés etalonjának az "ősmétert" használtuk. Így az órák használata (ami az Idő mérésének egyedüli lehetséges módja) a természeti törvények objektív megnyilvánulását jelenti. Hiszen minden óra (bármilyen típusú is legyen) a természeti törvényeknek megfelelően működik.

1.3.1 ábra

Ez egy alapvetően fontos gondolat! Ezzel ugyanis megszabadítottuk az "Idő" fogalmát azoktól a szubjektív elemektől amelyeket életünk során a mindennapi élményeink vetítettek rá. Hála a kísérleti pszichológia fejlődésének mára már könyvtárnyi irodalom tárgyalja az emberi időérzékelés pszichés folyamatait. A természeti törvények szerint működő órák által definiált idő a természeti jelenségek objektív tulajdonságát tükrözik. Ezért mondhatjuk, hogy ezek az órák valóban az "Időt" mérik. Azt a valamit, ami a természeti jelenségek egymásutániságának a mértékét tükrözik. Mivel a biológiában is a Természet törvényei érvényesülnek így pl. a biológiai öregedés folyamatát is egy "óraként" lehet értelmezni. Világítsuk meg ezt egy igen egyszerű példával! Tegyük fel, hogy egy kutya az álló rendszerben lévő óra szerint 10 évig élt, és a mozgó rendszerben egy macska az ottani óra szerint szintén 10 évig élt. Ekkor joggal mondjuk azt, hogy a két állat ugyanolyan hosszú életet élt, függetlenül attól, hogy a két óra melyik rendszerben mérte az időt. A gazdik egymásnak elküldött táviratában ugyanaz az "élt 10 évig" mondat fog szerepelni.

Vizsgáljuk meg, hogy mit kell tapasztalnia az álló és a mozgó megfigyelőnek, ha az Einstein-posztulátumok valóban jól tükrözik a Természet "működését". Mint tudjuk, az alapértelmezés (sztenderd elrendezés) szerint az időszámítás kezdetét mindkét rendszerben ugyanaz az esemény definiálja. Nevezetesen, amikor az origók éppen fedték egymást, azaz:

	(1.3.1)

Az első posztulátum pedig

(1.3.2)

Indítsunk el egy fényjelet a időpillanatban és nézzük meg, hogy a megfigyelőknek a posztulátumok érvényességének a következtében mit kell tapasztalniuk.

A válasz egyszerű: az álló megfigyelő azt látja, hogy az helyen lévő óra időt mutat, a mozgó megfigyelő pedig azt tapasztalja, hogy az helyen lévő óra időt jelez. És természetesen a fénysebesség állandósága (1.3.2) szerint

(1.3.3)

Az 1.3.2 ábrán a kísérlet elvi vázlata látható. A könnyebb áttekinthetőség végett az egybeeső x és x’ tengelyeket egymással párhuzamosan rajzoltuk. Az egybeesésre a kapcsos zárójel után lévő "kettős nyíl" utal!

1.3.2 ábra

Természetesen ugyanez a helyzet, ha a tér bármely illetve pontját tekintjük, Ekkor értelemszerűen a

	(1.3.4)

összefüggések érvényesek (lásd 1.3.3 ábra).

1.3.3 ábra

Ezt a kísérletet felfoghatjuk úgy is, hogy ellenőriztük az órák (relativisztikusan) helyes működését. Azaz megnéztük, hogy mind az álló, mind pedig a mozgó rendszerben lévő órák eleget tesznek-e az Einsteini posztulátumoknak, azaz valóban teljesül-e a feltétel? Ránézésre látszik, hogy a Galilei-transzformáció ezt nem elégíti ki. Ugyanis (1.1.1) és (1.3.3) alapján azt kapjuk hogy:

	(1.3.5)

Tehát az (1.1.1) és az (1.3.3) egyszerre nem lehet igaz! Nincsen más választás, mint feladni a Galilei transzformációt és egy olyan másikat keresni, amely a (1.3.3) kapcsolatrendszert teljesíti.

Tehát a Galilei-transzformáció és a fénysebesség invarianciája egyszerre nem lehet igaz! Nincsen más választás, mint feladni a Galilei-transzformációt és egy olyan másikat keresni, amely ezt a feltételt teljesíti. Van még egy fontos támpontunk. Ez az ún. korrespondencia-elv. Ezt a Fizikai törvények megalkotásánál igen gyakran használjuk. Azt mondja ki, hogy egy adott jelenségre vonatkozó "új" törvénynek határesetben mindig vissza kell adnia a "régit". Ugyanis az "ú" törvény mindig megváltoztatja a "réginek" az érvényességi körét. Ettől még a régi állítások nem válnak hamissá, hiszen azokat továbbra is a "régi" feltételek között használjuk.

1.3.4 ábra

Jelen esetben ez azt jelenti, hogy ha a mechanikát a -hez mérten kis sebességeknél vizsgáljuk, akkor nyugodtan használhatjuk a Galilei-transzformációt. Például az előbbi esetben az arány sokkal kisebb lesz mint egy. Ezért határesetben (pl. ) visszakapjuk a Galilei-féle összefüggést.

Az előzőekben már megbeszéltük, hogy két inerciarendszer a természeti jelenségek leírása szempontjából ekvivalens egymással. Ezért az "álló" és a "mozgó" szerepek kijelölése önkényes. Így, ha az egyik a másikhoz képest sebességgel mozog, akkor a másik az egyikhez képest -val fog mozogni. Az eddig elmondottaknak megfelelően kézenfekvőnek tűnik, ha az "új" transzformációt következő alakban keressük:

	(1.3.6)

Ahol a korrespondencia-elv következtében a még ismeretlen -ra teljesülnie kell annak, hogy

	(1.3.7)

Végezzük el most is a fenti óraellenőrzési kísérletet, és nézzük meg, hogy miként kezeli ezt a mostani transzformáció! Írjuk be a (1.3.3) feltételt a (1.3.6) formulákba. (A továbbiakban a szokásoknak megfelelően a tényező után a "" szorzásjelet nem írjuk ki) Azt kapjuk, hogy:

	(1.3.8)

Összeszorozva a két egyenletet az szorzat kiesik az egyenletből és meghatározható:

és ezért

(1.3.9)

A korrespondencia tényleg teljesül, hiszen:

	(1.3.10)

Ezek után áttérhetünk az idő transzformációjának a meghatározására (). Az előzőekben már megbeszéltük, hogy két inercia rendszer a természeti jelenségek leírása szempontjából ekvivalens egymással. Ezért az "álló" és a "mozgó" szerepek kijelölése önkényes. Így, ha az egyik a másikhoz képest "+u" sebességgel mozog, akkor a másik az egyikhez képest "-u"- val fog mozogni. Ez azt jelenti, hogy :

	(1.3.11)

Az első egyenletet beírva a másodikba az x’-t ki tudjuk ejteni az egyenletekből:

(1.3.12)

Ezek után (t’ ) kifejezhető (x,t)-vel

(1.3.13)

átrendezve,

(1.3.13)

""-val való osztás után adódik, hogy

(1.3.14)

Ugyanakkor tudjuk, hogy:

Ezzel megkaptuk az idő transzformációs tulajdonságát.

(1.3.15)

Erre is teljesül a korrespondencia elv, hiszen

(1.3.16)

Azaz visszakaptuk a Galilei-féle abszolút idő fogalmát. Ezzel megszületett a Lorentz transzformáció, azaz:

	(1.3.17)

A következőkben megvizsgáljuk, hogy milyen következményei vannak ennek az új, relativisztikus szemléletnek. Az alkalmazások megkövetelik egy régi-új fogalom bevezetését. Ez az esemény. Ez azt jelenti, hogy a tér egy (x,y,z) pontjában (ez az esemény helye) a (t) időpillanatban (ez az esemény időpontja) a "" fizikai mennyiség felvesz egy értéket (ez maga az esemény). Ahhoz tehát, hogy egy eseményt meghatározzunk, a tér minden pontjához hozzárendeljük az ő helyét meghatározó Descartes koordinátákat, és elhelyezünk egy ("pontszerű") órát, amelyiket az imént bemutatott szinkronizálási eljárással kalibráltunk. Ez mutatja az adott pontban a mindenkori "t" időpontot. Ugyanezt a "" eseményt szemlélhetjük a mozgó rendszerből is. Ekkor természetesen (x’,y’,z’,t’,’) értékeket mérünk. Minden természeti jelenség ilyen elemi események sokaságából épül fel. Ezért (az általánosság minden csorbítása nélkül) elegendő az adott fajta események közül csak egynek a transzformációs tulajdonságait megvizsgálni.

Ha rátekintünk a (1.3.17) Lorentz transzformációra, láthatjuk, hogy a meghatározásához nem csak a -re, de még az -re is szükségünk van. Azaz nem csak az számít, hogy mikor, hanem az is, hogy hol történik az az esemény, amelynek a mozgó rendszerbeni időpontját meg szeretnénk tudni. Az Időnek ez a furcsa tulajdonsága azt mutatja, hogy az idő és a térkoordináták mintegy "összefonódnak" és egységes egészként transzformálódnak. Ezért a számnégyest a "Téridő" egy pontjának nevezzük. Olyan tulajdonságai vannak, mint egy négydimenziós vektortérnek. Az események tehát a téridőben zajlanak. A -ból a -be való átszámolás a téridő transzformációs tulajdonsága. Ez az, amit Lorentz transzformációnak neveztünk. A téridő igen szemléletes geometriai reprezentációját Hermann Minkowski (1907) alkotta meg.

Első lépésként a kinematikával fogunk foglalkozni. Ekkor a "" felépíthető az mennyiségekből (pl. sebesség, gyorsulás). Mivel a "tér+idő" adatok (Lorentz) transzformációja ismert, így az ezekből származtatott "" transzformációja definíció szerint meghatározható. A következőkben ezt részletesen is tárgyalni fogjuk. Minden más esetben (pl. erőkomponensek, elektromos és mágneses térerősség komponensei stb) a "" transzformációját külön meg kell határozni. A fizikusok kidolgoztak erre egy "koherens" és "szisztematikus" módszert, de ez meghaladja ennek a kurzusnak a lehetőségeit.

A számolásaink tovább egyszerűsödnek, ha figyelembe vesszük azt a tényt, hogy az alapértelmezés (standard boost) szerint az és koordináta adatok nem transzformálódnak. Így az esemény tér-idő adatait fogja jelenteni.

1.3.5 ábra

A Lorentz transzformáció a kinematikában (relativisztikus kinematika)

A hosszkontrakció

Tekintsük a következő feladatot! Az álló rendszerben lévő megfigyelő mérje meg a mozgó rendszer tengelyén fekvő, hosszúságú rúdnak a hosszát. A rúd végeinek koordinátáit jelölje .

Einstein szemléletes példájával élve az a kérdés, hogyan lehet meghatározni egy száguldó vonat hosszát a sínpár mellett állva? A megoldás igen egyszerű. Állítsunk fel a sín mentén (egy sorban) nagyon sok megfigyelőt, akik szorosan egymás mellett állnak. Minden megfigyelőnek a kezében legyen egy óra. Minden megfigyelőnek az a feladata, hogy állítsa meg az óráját, amikor a vonat eleje éppen elhalad az orra előtt. Mi is álljunk be a sorba és állítsuk meg az óránkat, ha megpillantjuk a vonat végét. Amikor a vonat elrobog a sor előtt, minden megfigyelő (magunkat is beleértve) megállítja az óráját a kapott utasításnak megfelelően. Nyílvánvaló, hogy csak egyetlen olyan megfigyelő lesz, akinek az órája éppen a mi óránkkal egyező időpontot mutat. Ennek a megfigyelőnek a tőlünk mért távolsága lesz a mozgó vonat hossza. Hiszen ugyanabban a pillanatban láttuk meg mi a vonat végét, mint amikor a másik megfigyelő a vonat elejét. Azt mondjuk, hogy ez a két megfigyelés egy időben történt. Az elmondottak könnyen lefordíthatók az "események nyelvére" a következő ábra segítségével.

2.1.1 ábra

Az álló rendszerben a rúd hosszát két esemény definiálja. Az egyik amikor megpillantjuk a rúd elejét , a másik, amikor a végét . A két esemény egyidejű, tehát . A mozgó rúd mért hosszát a rendszerben az kifejezés definiálja. A rúd hossza a (vele együtt) mozgó rendszerben nyilvánvalóan . Ezt nevezzük nyugalmi hossznak, hiszen ekkor a szakaszhoz képest nyugalomban vagyunk.

A két esemény kapcsolata a Lorentz transzformációnak megfelelően:

	(2.1.1)

A fent bevezetett jelöléseket használva

(2.1.2)

A jelenség neve hosszkontrakció. Eszerint egy mozgó rúd hossza a mozgás irányában "megrövidül". Az inerciarendszerek ekvivalenciájából következik, hogy mindez "fordítva" is igaz: ha ugyanekkor elhelyezünk egy nyugalmi hosszúságú rudat az álló rendszer tengelye mentén, akkor ennek a hosszát a mozgó rendszerből mérve észleljük rövidebbnek.

Joggal felmerülhet a kérdés, hogy mármost kinek van igaza? Az eddigiek szellemében csak azt mondhatjuk, hogy a két megfigyelő valójában két különböző típusú mérést hajtott végre. A "hagyományos eljárás", azaz a rudak közvetlen összehasonlítása csak akkor lehetséges, ha a megfigyelő a rúdhoz képest nyugalomban van. A mozgó rúd hosszmérése esetén ez lehetetlen, hiszen nem tudunk "átugrani" (kezünkben a rúddal) -ból -be!

Természetesen, az iménti levezetés akkor is elvégezhető, ha nincsenek jelen a merev (fizikai) rudak, csak a kijelölt és koordinátapontok (pl. az űrben lebegő két objektum közőtti távolság esetén). Ezért azt mondhatjuk, hogy a hosszkontrakció nem az anyagi rudak tulajdonsága, hanem magának a Térnek a sajátossága.

Erre a merész következtetésre Einstein jutott először. A kor evvel foglalkozó fizikusai (Lorerntz, Fitzgerald, Poicare) ugyanis a rudak valódi összehúzódásáról beszéltek. Az einstein-i gondolat igen fontos természetfilozófiai jelentőségéről az utolsó fejezetben olvashatunk egy rövid összefoglalót (a teljesség igénye nélkül).

Az idődilatáció

Mint az eddig kiderült, a relativitáselmélet megfosztotta az Időt a rárakodott pszichológiai és az ebből fakadó filozófiai rétegektől és egzaktul mérhető mennyiséggé tette. Az Idő az a paraméter, amely a lezajló események sorrendiségét regisztrálja. Az Időt órával mérjük. Egy órát bármilyen objektummal megvalósíthatunk, ha az eleget tesz a méréseknél használt általános követelményeknek. Az óra lehet tehát akár fizikai, kémiai, vagy biológiai képződmény (szerkezet) is.

Helyezzünk el a mozgó rendszer koordinátájú pontjába egy órát (lásd ábra). Az óra által mért egységnyi időtartamot jelölje . Azaz adjon az óra jeleket a , , , … időpontokban, amelyek -al követik egymást. A jelek tetszőlegesek: ketyegés, mutató elmozdulás, digitális kijelzés stb. Ezek a jelek az események.

A kérdés az, hogy milyen egység időtartamot mér az álló megfigyelő? Nyilvánvalóan elegendő csak két egymást követő eseményt vizsgálni. Azaz határozzuk meg, hogy az álló megfigyelő milyen adatokat detektál az és az eseményeket mérve. Az álló megfigyelő azt látja, hogy az óra koordinátája állandóan változik. Azaz a szóban forgó két esemény tér-idő adatai illetve lesznek.

2.2.1 ábra

Mint tudjuk, az álló és a mozgó megfigyelő adatai között a Lorentz transzformáció teremt kapcsolatot. Azaz írhatjuk, hogy:

	(2.2.1)

Majd ebből kapjuk, hogy:

	(2.2.2)

Ezért tehát:

(2.2.3)

Látható tehát, hogy , azaz az álló megfigyelő szerint a mozgó óra lassabban jár. Legyen például , ekkor értéke , és így . Ezért ha az álló megfigyelő óráján óra telik el, addig a mozgó óra csak órát megy tovább. Az inerciarendszerek ekvivalenciája miatt a mozgó megfigyelő ugyanezt állítja az álló óráról. Természetesen jelen esetben is mindkét állítás helyes. Ezen most sem kell csodálkoznunk, hiszen a mérési eljárás ebben az esetben is más volt az álló rendszerben, mint a mozgóban. Hiszen a mozgó rendszerben ugyanazon óra által mutatott két időpontot (, ) határoztunk meg. Az álló rendszerben történt méréskor pedig két különböző helyen (, ) lévő, két különböző óra által mutatott (, ) időpontokkal számoltunk. Az álló és a mozgó óra közvetlen összehasonlítására most sincsen lehetőség, hiszen a megfigyelők (zsebükben az óráikkal) nem hagyhatják el a saját rendszerüket.

Ha az órák közvetlen összehasonlítását is lehetővé tesszük, akkor egy másik problémához jutunk, amelynek a találó neve "ikerparadoxon".

Paradoxonnak egy elméleten belüli látszólagos ellentmondást nevezünk. Azért látszólagos, mert abból fakad, hogy valami lényeges tényt nem vettünk figyelembe, vagy valamit rosszul értelmeztünk. A paradoxonok feloldása azért nehéz, mert rutinszerűen gondolkodunk. Például hallgatólagosan olyan dolgokat feltételezünk, amelyek esetleg ellentmondanak az elmélet tételeinek. A relativitáselmélet állításai igen szokatlanok (pl. hosszkontrakció, idődilatáció), a hétköznapi tapasztalatoknak ellentmondanak. Ezért megszületésekor paradoxonok sokaságával próbálták cáfolni állításait. Mivel a relativitáselmélet jól tükrözi a Természetben lezajló jelenségeket (azaz egy "jó elmélet"), így a paradoxonok mind feloldhatóak voltak. Némelyik olyan "szellemes", hogy ma is használjuk az elmélet jobb megértetésének céljából. Az egyik ezek közül éppen az "ikerparadoxon".

Az ikerparadoxon

Képzeljünk el egy (egypetéjű) ikerpárt. Legyen a nevük (pl. Aladár) és (pl. Béla). 30 éves korukban beül egy űrhajóba és közel fénysebességgel, egyenletesen mozogva távolodik a Földtől, majd (egy előre megbeszélt terv szerint) megfordul és ugyanazzal az állandó sebességgel visszatér a Földre. Mit vár és mit vár , amikor újra találkoznak és mit fognak valójában tapasztalni?

2.2.1.1 ábra

Legyen az űrhajó sebessége akkora, hogy (2.2.3) szerint . Ez kb. sebességnek felel meg.

Az gondolatmenete a következő. Ő a Földet természetesen állónak tekinti. Tudja jól, hogy a testvére, , lassabban öregszik, mert megtanulta, hogy a mozgó óra lassabban jár mint az álló. Amikor 50 éves, még csak 35 (ugyanis ). A megbeszélt terv szerint ekkor az űrhajó visszafordul és ugyanazzal az egyenletes sebességgel a Föld felé tart. szerint a testvére továbbra is lassabban öregszik. éppen 70 éves, amikor megérkezik. A visszaút számára ugyanolyan hosszú volt, mint az elmenetele, azaz szintén 5 évig tartott. arra számít, hogy éppen 40 évesen száll ki az űrhajóból. Így egy 40 éves és egy 70 éves ikerpár fog összeölelkezni.

Ezek után lássuk, a történetet szemszögéből! Ő szintén önmagát tekinti állónak. Egyenletes sebességgel távolodik tőle a Föld, ahol testvére lassabban öregszik mint ő. Ezt logikusnak tarja, hiszen az egyenletesen mozgó Földön az órák lassabban járnak. Amikor 35 éves, csak 31.25 (hiszen ). Ekkor megfordul és változatlan nagyságú, egyenletes sebességgel hazafelé tart. 5 év múlva megérkezik a Földre. Ekkor tehát 40 éves. De szerinte a visszaút alatt a testvére, , szintén csak 1.25 évet öregedett, azaz 31.25+1.25=32.5 évesnek kell lennie. azt várja, hogy amikor 40 évesen kiszáll az űrhajóból, a 32.5 éves (fiatalabb) ikertestvérével fog találkozni. A kérdés mármost az, hogy ha a testvérpár egymás mellé áll, ki lesz az öregebb?

A történteket az alábbi táblázatban foglaljuk össze:

	Életkorok az elváláskor		Az utazás alatt eltelt idő		Életkorok a találkozáskor
	A	B	A	B	A	B
A Földön maradt testvér szerint
Az űrhajóban utazó testvér szerint

Ez nyilvánvaló ellentmondás (paradoxon), hiszen a 40 éves a megérkezésekor vagy a 70 éves, vagy a 32.5 éves -val találkozik. A két gondolatmenet egyszerre nem lehet igaz! Az eredmény azonban ténykérdés és az összeölelkezéskor kiderül, hogy melyikük gondolkodott helyesen. A paradoxon feloldása viszonylag egyszerű. gondolatmenete azért helytelen, mert az űrhajó az utazása során nem mindig viselkedett inerciarendszerként. Az elindulás, a fordulás és a fékezés alatt az űrhajó gyorsuló mozgást végzett. Ezzel a szimmetria megtört. Tehát egy 40 és egy 70 éves ember fog találkozni.

Megjegyzés: Jogosan merül föl a kérdés, hogy vajon miként észleli a testvér az utazása során a Földön maradt testvére öregedését. Azaz lehet-e bármit is mondani arról, hogy a gyorsuló űrhajóban lévő megfigyelő milyennek észleli egy inerciarendszerben "múló időt". Természetesen erre a kérdésre egyértelmű válasz adható, de ez már túllépne ennek a kurzusnak keretein.

A tárgyalt probléma egy új fogalom bevezetését generálja. Ez a sajátidő. A sajátidő a megfigyelővel együtt mozgó óra által mért idő, bármilyen is legyen a megfigyelő mozgása. Jelen estben az sajátideje 70 év, a -jé 40 év volt.

A sajátidő

Nézzük meg a sajátidő fogalmát általános esetben is. Mozogjon egy pont tetszőleges térbeli pályán!

A pálya két végpontja adott (, ). A pont végighalad a teljes pályán és a vele együtt mozgó megfigyelő méri a időt a nála lévő órával. Ez lesz a sajátidő, amelynek értéke legyen most . Ugyanezt a mozgást nagyon sok inerciarendszerből megvizsgálhatjuk. Nyilvánvaló, hogy a mozgó óra által mutatott időtartam egyértelmű fizikai tény és ez nem függ attól, hogy a mozgást melyik inerciarendszerből figyeljük. Válasszunk ki tetszőlegesen két inerciarendszert és jelöljük őket -val és -vel. A szokásos alapértelmezés szerint definiáljuk a Descartes koordinátákat és a rendszeridőket. Az itt lévő megfigyelők a mozgó órát különbözőképpen látják mozogni. Ki-ki a saját rendszerében meg tudja mérni a mozgó óra futási idejét, legyen ez és . Ugyanakkor mind a ketten ki tudják számítani a is, amelyre ugyanazt a (helyes) értéket fogják kapni. Azt mondjuk, hogy a sajátidő egy invariáns mennyiség, azaz nem függ attól, hogy melyik inercia rendszerből nézve határozzuk meg az értékét.

2.3.1 ábra

A -beli megfigyelő számolási módja a következő: Osszuk fel a pályát infinitezimális (csaknem tökéletes egyenesnek tekinthető) szakaszokra!

Egy ilyen kicsiny szakasz megtételéhez a -beli megfigyelő szerint idő kell. A pályán mozgó óra ezalatt időt mér. Ezen infinitezimális szakaszon a pont (és az óra) mozgási sebessége állandónak tekinthető, így az idődilatáció formulája használható:

(2.3.1)

Mármost (a -ból mérve) legyen a mozgó óra a pálya kezdeti pontjában időpillanatban és a végpontban pillanatban! Így (2.2.3) alapján a következő írható:

(2.3.2.)

Ugyanez a számolás megtehető a másik inercia rendszerben is. Természetesen mindenhol a vesszős rendszerben lévő megfigyelő által mért vesszős adatokat (, , , , ) kell használni. Ezek ugyan mások, mint a -beliek, de a mozgó óra sajátidejére ugyanazt fogjuk kapni.

Az egyidejűség relativitása

Mint azt már a bevezetésben említettük, a speciális relativitáselmélet megalapozásában sokan részt vettek. Lorentz és Poincare munkái vezettek a legmesszebbre. Az elektrodinamika Maxwell-egyenleteinek vizsgálata során ők is eljutottak az idő "relatív" voltáig: az álló és a mozgó inerciarendszerben mért idők transzformációs tulajdonságához. Ezek az eredmények azonban mintegy "be voltak zárva" az elektrodinamikába.

Albert Einstein volt az, aki mindezt a teljes általánosság szintjére emelte. Felismerte azt, hogy itt alapvető természeti törvényekről van szó, amelyek (többek között) a Térről és az Időről tesznek alapvető kijelentéseket és száműzte az éter fogalmát a Fizikából. Ennek megfelelően ő volt az, aki egyszerű, áttekinthető, logikus rendszerbe (axiómák) szervezte a relativisztikus törvényeket. Ezért aztán (természetesen elismerve az elődök munkáit is) méltán beszélünk Einstein-féle speciális relativitáselméletről.

Az szakmai előzményeken való túllépést jelenti az az igen fontos einsteini felismerés is, hogy az egyidejűség is relatív fogalom. Nincsen "abszolút" egyidejűség: ha két esemény az egyik inerciarendszerben egy időben történik, akkor (lehetséges), hogy egy másikban a két esemény két különböző időpontban következik be. Sőt még az események sorrendje is megváltozhat. A következőkben erről lesz szó.

2.4.1 ábra

Tekintsünk az álló rendszerben két eseményt, amelyeket az és az téridő adatokkal adunk meg. Ugyanezen két eseményt a mozgó rendszerben és az mennyiségek jellemzik.

2.4.2 ábra

Az időviszonyokat külön is ábrázolhatjuk. A következőkben ezt vizsgáljuk.

Írjuk fel a két esemény időadatainak a Lorentz transzformációját:

	(2.4.1)

A két egyenletet vonjuk ki egymásból. Ekkor megkapjuk az események közötti időkülönbségek kapcsolatát, tehát

(2.4.2)

Legyen a két esemény egyidejű az álló rendszerben! (2.4.3 ábra) Ez azt jelenti, hogy . Ezért aztán adódik, hogy

(2.4.3)

2.4.3 ábra

Látható, hogy két egyidejű esemény akkor lesz egyidejű a mozgó rendszerben is, ha az álló rendszerben egy helyen történtek:

	(2.4.4)

Az egyidejű események sorrendje a mozgó rendszerben az események álló rendszerbeli helyétől függ, azaz az előjelétől.

Az ok-okozat relativisztikus tárgyalása

Tekintsünk két (nem egy helyen és nem egy időben történő) eseményt!

2.5.1 ábra

Az események időadatainak Lorentz-transzformációját kivonva egymásból, átrendezéssel az adódik, hogy

(2.5.1)

A kapott algebrai kifejezésnek igen szemléletes fizikai jelentése van. Tegyük fel, hogy , azaz az első esemény előbb történik meg, mint a második. Ekkor létezik egy olyan mozgó rendszer, amelyben a két esemény sorrendje megcserélődik. Ez akkor következik be, ha a második szorzótényező értéke negatív. Ez a tény azonban felvet egy alapvető problémát. Ha ugyanis a két esemény ok-okozati viszonyban van egymással (azaz az első esemény okozza a másodikat) akkor a sorrendcsere fizikai lehetetlenség. Hiszen nem létezhet olyan inerciarendszer, amelyben az okozat megelőzi az okot (pl. előbb törik össze a pohár és csak utána esik le)! Látható, hogy ez a paradoxon akkor következne be, ha

(2.5.2)

Ez pedig csak akkor teljesülhet, minthogy , ha:

(2.5.3)

De az egyenlőtlenség baloldalán annak a hatásnak az átlagsebessége áll, amelyet az első esemény elindít, és amely aztán előidézi a második bekövetkezését. De ez a reláció ellene mond a második axiómánknak, miszerint a "c" minden hatás terjedési sebességének a felső határa. Ezzel tulajdonképpen igazoltuk a második axióma jogosságát.

A sebességek relativisztikus összegződése

Eddig a téridő pontjainak transzformációjával és ennek a fizikai értelmezésével foglakoztunk. Most rátérünk a sebesség, mint alapvető kinematikai mennyiség transzformációs tulajdonságainak a tárgyalására.

Tekintsünk egy pontot, amelynek mozgását a téridő négy koordinátájával adunk meg. A pont mozgását vizsgáljuk a szokásos álló és mozgó rendszerben.

Mint tudjuk, a sebesség az elmozdulás-vektor idő szerinti deriváltja, amelyet a Descartes komponenseivel (is) megadhatunk. Mivel a Lorentz transzformáció lineáris művelet, így változatlanul igaz lesz infinitezimális koordináta- és idő megváltozásokra is .

Bevezethetjük az ún. "infinitezimális" fogalmát a következő "formális" definícióval:

és .

Az infinitezimálisok "hányadosai" (definíció szerűen) éppen a klasszikus analízis deriváltjait adja. Mindezekkel kapjuk, hogy:

	(2.6.1)

Ezért a sebesség komponensére kapjuk, hogy:

(2.6.2)

Hasonló módon adódik az komponensre is:

(2.6.3)

Látható, hogy kis sebességeknél (mindkét esetben) éppen a jól ismert Galilei-féle sebesség összeadási formulát kapjuk. A kapott eredményeket két egyszerű (ám a Galilei-féle világban szokatlan eredményt adó) feladattal világítjuk meg.

Első példa: "merőleges sebességek" összeadása

Mozogjon egy fénysugár sebességgel az álló rendszer tengelye mentén. (2.6.2 ábra)

2.6.1 ábra

Határozzuk meg a fénysugár sebességét a mozgó rendszerhez képest! Az álló rendszerben a sebességadatok a következők:

	(2.6.4)

Így a mozgó rendszerben mért sebesség komponensek (2.6.2) és (2.6.3) alapján egyszerű behelyettesítéssel megkaphatók.

	(2.6.5)
	(2.6.6)

A fénysugár sebességének a nagysága az és az sebességkomponensekből adódik:

(2.6.7)

Tehát a fény a posztulátumoknak megfelelően, a mozgó rendszerben is sebességgel terjed, de az iránya egy kissé megváltozik.

A csillagászatból jól ismert jelenségről van szó. A mozgó Földön lévő megfigyelő éppen ezt a szögelhajlást tapasztalja, amikor az állócsillagok helyét (fél év időkülönbséggel, Föld sebességére merőleges irányban) pl. tavasszal és ősszel megméri. Ennek az effektusnak a neve csillagászati aberráció. (1728)

2.6.2 ábra

Második példa: "egyirányú sebességek" összeadása

Indítsunk el egy fénysugarat a mozgó rendszer tengelye mentén. Mekkora ennek a sebessége az álló rendszerben?

2.6.3 ábra

A mozgó rendszerben mérhető sebességadatok a következők:

(2.6.8)

A (2.6.2) értelmében az álló rendszerben azt kapjuk, hogy

(2.6.9)

Tehát ismét teljesül az einsteni axióma. Sőt, ez még akkor is igaz, ha a mozgó rendszer fénysebességgel halad az állóhoz képest, azaz .

A következőkben három olyan kinematikai kísérletet mutatunk be, amelyek megerősítik a speciális relativitáselmélet téridővel kapcsolatos állításait.

Fény mozgása áramló folyadékban

Ezt a kísérletet Hippolyte Fizeau már 1851-ben elvégezte. Korrekt magyarázatot a speciális relativitáselmélet sebességösszeadási technikája szolgáltatja. A mérés vázlata az alábbi ábrán látható.

Az "U" alakúra hajlított üvegcsőben sebességgel folyadék áramlik. A féligáteresztő tükörrel két részre osztott fénynyaláb az egyik ágban a folyadék áramlásával egy irányban, a másik ágban vele szemben halad. Így a fénysugarak a két ágban, a tükrökhöz képest különböző sebességgel mennek. Az ágak geometriai hossza (elvileg) megegyezik. Az üvegcsövet elhagyó nyalábokat egy másik féligáteresztő tükörrel újra egyesítjük. A sebességkülönbségekből adódó optikai úthossz-különbség miatt az egyesülő nyalábok interferenciavonalakat hoznak létre a felfogó ernyőn (ez a detektor). Ezt az optikai elrendezést Mach-Zehnder interferométernek hívják.

2.6.1.1 ábra

Alkalmazzuk a relativitáselméletet a jelen kísérletre! A tükrök és a detektor alkotják az álló rendszert. Az áramló folyadék lesz a mozgó rendszer. Ebből kettő is van, az interferométer két ágában. Azonban elegendő csak az egyiket megvizsgálni, mert a másik (fizikailag) ugyanilyen, csak a végső formulában a folyadék sebességének az előjelét kell megváltoztatni ( helyett ).

Alkalmazva a (2.6.2) formulát, azt kapjuk, hogy:

	(2.6.1.1)

Mivel a sebességek jóval alatt vannak, ezért a nevező sorfejtéssel közelíthető:

(2.6.1.2)

A fény terjedési sebessége a folyadékban az törésmutatótól függ:

(2.6.1.3)

Ezt felhasználva, megkapjuk a fény sebességét az interferométer tükreihez képest:

(2.6.1.4)

Ugyanez igaz a másik ágban is, de ekkor az helyére --t kell írnunk:

(2.6.1.5)

A két ágban fellépő sebességkülönbség optikai úthossz-különbséget eredményez. Ezt már az interferométer ki tudja mutatni.

A Fizeau- mérés eredménye tehát igen egyszerűen magyarázható a relativitáselmélet sebesség-összeadási formulája segítségével kapott közelítő függvénnyel.

A mű-mezon (műon) bomlása

A "μ-mezon" vagy "műon" egy instabil (szubatomi, azaz a protonnál kisebb, de az elektronnál nagyobb) részecske, amely alatt elbomlik. Ezek a részecskék a Föld felső légkörében, magasan keletkeznek, a kozmikus sugárzás eredményeképpen. A mérések azt mutatják, hogy a Föld felszínén is detektálunk mű-mezonokat. Ez azért meglepő, mert a részecske átlagsebességére az adódna, hogy:

Ez pedig a relativitáselmélet axiómája szerint lehetetlen. A kérdés mármost az, miként magyarázható ez a mérési eredmény?

A válasz az idődilatációban és/vagy a hosszkontrakcióban rejlik. A szóban forgó jelenséget mind a Földhöz rendelt álló , mind pedig a Föld felszíne felé száguldó mű-mezonhoz rögzített, mozgó (inercia)rendszerből is megvizsgáljuk.

2.6.2.1 ábra

A földi megfigyelő szerint azért éri el a mezon a Föld felszínét, mert a -ban sebességgel mozgó -ben az idő lassabban telik. Azaz (2.2.3) és szerint

(2.6.2.1)

A mű-mezon szempontjából, a Föld mozog sebességgel, így a (2.1.2) hosszkontrakció miatt a távolságot a mezonnal együtt mozgó megfigyelő (ez maga a mű-mezon) rövidebbnek méri, azaz

	(2.6.2.2)
	(2.6.2.3)

Rögtön látható, hogy az utolsó két formula, vagyis a (2.6.2.2) és a (2.6.2.3) pontosan ugyanaz. Számítsuk még ki a mezon sebességét! Az (2.6.2.3) átrendezése és beírása után kapjuk, hogy

	(2.6.2.4)

Ebből az ismereten kiszámítható:

	(2.6.2.5)
	(2.6.2.6)

Az értékére kapjuk, hogy:

(2.6.2.7)

Mivel ezért jó közelítéssel

(2.6.2.8)

És így . Ez pedig eleget tesz az einsteini axiómának!

(2.6.2.9)

A Doppler-effektus

Az akusztikában már hallottunk a Doppler-effektusról. A közeledő hangforrás frekvenciáját magasabbnak, a távolodóét alacsonyabbnak halljuk. A hang sebessége hat nagyságrenddel kisebb, mint , ezért a relativisztikus tárgyalás gyakorlatilag érdektelen. Egészen más a helyzet a fénnyel. Mivel a sebessége , csakis a relativisztikus számolás adhat helyes eredményt!

2.6.3.1 ábra

Tekintsük a szokásos (standard, , ) koordinátarendszereket. A fényforrás legyen a -ban és haladjon a fény (sík)hullám a tengely mentén.

A kérdés az, hogy mekkora frekvenciájú fényt érzékel a (fényforráshoz képest) mozgó megfigyelő?

Mint azt az elektrodinamikából tudjuk, a fényhullámot alkotó elektromos és mágneses mező bármelyik (Descartes) komponense ugyanolyan függvény szerint változik. Jelölje ezen komponensek valamelyikét a függvény. Ezen hullámfüggvény matematikai alakja a -ban:

(2.6.3.1)

A hely és az idő Lorentz-transzformációja szerint

	(2.6.3.2)

Így a hullámfüggvény a mozgó -ben így írható fel:

(2.6.3.3)

Fontos megjegyeznünk azt, hogy a Maxwell-egyenletek szerint az elektromos és a mágneses komponensek szintén transzformálódnak, ha egyik inerciarendszerből egy másikba térünk át. Ezért most az és az amplitúdók közötti transzformációt is vizsgálnunk kellene. Ez azonban már meghaladja ezen kurzus kereteit. Mivel a mozgó megfigyelő is egy hullámot fog érzékelni, ezért a függvény argumentumát úgy kell átrendezni, hogy az egyértelműen egy haladó hullámot adjon meg. Ennek megfelelően a (2.6.3.3)-ben található zárójeles kifejezés közös tényezők kiemelésével átalakítható.

(2.6.3.4)

Ezért aztán az adódik, hogy

(2.6.3.5)

És ezért a (2.6.3.1) alapján mondhatjuk, hogy

	(2.6.3.6)

Ez tehát az optikai Doppler-effektus. Kis sebességeknél visszakapjuk a "klasszikus" Doppler-formulát:

	(2.6.3.7)

Ha a fénnyel szemben mozgunk, akkor helyett -t kell írnunk és ezért kapjuk, hogy

	(2.6.3.8)

2.6.3.2 ábra

MEGJEGYZÉS: A (2.6.3.6) Doppler-összefüggés szerint: ha a fénnyel egy irányba sebességgel haladunk, akkor a fény frekvenciája lecsökken. Az elemi hullámszemlélet alapján azt várnánk, hogy ha (szélsőséges esetben) éppen fénysebességgel haladnánk, akkor a hullához (EMH) képest állnánk. Ez azt jelentené, hogy az egymásra merőleges és vektorok időben nem változnának. Az EMH-k esetén (síkhullámokra) vákuumra vonatkozó Maxwell-egyenleteknek azonban ilyen megoldása nincs. Ebből következik, hogy az amplitúdót is transzformálni kell, mégpedig úgy, hogy az amplitúdónak is nullává kell válnia.

A Mechanika (Dinamika) relativisztikus törvényei

Az előzőekben megtanultuk, hogyan kell átformálnunk a Térről és az Időről alkotott hétköznapi elképzelésünket. Megértettük, hogy mi az oka annak, hogy szakítanunk kellett a Newton által definiált abszolút Tér és abszolút Idő szemléletes fogalmával. Elcsodálkoztunk a kinematikai effektusokon, amelyek ennek a szakításnak az eredményeképpen szükségszerűen adódtak. Csodálkoztunk, mert a hétköznapi mozgások világában ezek megnyilvánulása 6-7 nagyságrenddel kisebbek az érzékszerveink által észlelhető effektusoknál. Így a szokatlanságuk a tapasztalat (szükségképpeni) hiányából fakad.

Előítéleteink rabjai vagyunk. Azon előítéleteké, amelyeket születésünktől fogva az érzékszervi észlelések (létfenntartó) sokasága épített ki bennünk. De hála absztrakciós készségünknek a "függöny mögé pillanthatunk". A Matematika pedig megadja azt az igen hatékony szerszámot, amellyel a dolgok (Természeti jelenségek rendszere) mélyére áshatunk.

A következőkben (a relativisztikus kinematikára támaszkodva) megnézzük, hogy a dinamikai törvények hogyan teljesítik az Einstein-féle posztulátumokat?

Tömegpont mozgása állandó erő hatására

Most egy jól ismert példán keresztül bemutatjuk azt, hogy a relativisztikus kinematika új (relativisztikus) dinamikát követel.

Az tengely mentén, az origóból, nyugalomból indulva, egy tömegpont állandó erő hatására mozog. Határozzuk meg a kinematikai jellemzőit (sebesség, megtett út)!

3.1.1 ábra

A Newton féle mozgástörvény szerint

(3.1.1.)

Ebből a gyorsulás:

(3.1.2.)

A sebesség egyszerű integrálással adódik

(3.1.3.)

A kezdeti feltételeknek megfelelően ("az origóból, nyugalomból indul") kapjuk, hogy:

	(3.1.4.)

Az eredmények grafikusan is ábrázolhatók. Látható, hogy a tömegpont sebessége a pillanatot követően meghaladja a fénysebességet. Ezért egy új mozgásegyenletet kellene használnunk. Olyat, amelyik eleget tesz a Speciális relativitás elmélet axiómáinak. A feladat nem triviális. Ugyanis (itt és most még) semmiféle törvényt nem ismerünk, amelynek alkalmazásával ez megtehető lenne. Az eddig használt Lorentz transzformáció ugyanis "csak" a tér-idő koordináták transzformációs szabályát rögzíti, de nem szól semmit a dinamikai mennyiségek (tömeg, erő) esetleges transzformációjáról. Ezért ezt nekünk kell most kitalálni! Ehhez újra végig kell gondolnunk a Newton-2 mozgásegyenlet pontos fizikai jelentését. Hátha találunk egy alkalmas kiinduló pontot!

3.1.2 ábra

A feladat egyszerűsítse érdekében továbbra is egyenes vonalú mozgást fogunk vizsgálni. Ennek értelmében egy (állandó) tömegű pontszerű test mozog az tengely mentén a rá ható (ugyancsak irányú) erő hatására. A pillanatnyi sebessége és a gyorsulása .

A gyorsulás transzformációja

Az előzőekben láttuk, hogy a inerciarendszer váltáskor a sebességek transzformációs formulája könnyen adódott. Ehhez csak azt kellett tenni, hogy a Lorentz transzformációval kapott infinitezimális tér koordinátákat elosszuk a infinitezimális időtartammal. Ezzel az "időderiváltak" rögtön megjelentek.

A klasszikus mechanika mozgásegyenletében (Newton 2) a gyorsulás szerepel. Ezért meg kell adnunk a gyorsulásra vonatkozó transzformációs formulát is. Ez most nem megy olyan könnyen, mint a sebesség esetében volt. Ennek egyik oka, hogy (mint az látható) a sebesség transzformációja nem egy "lineáris művelet". Hiszen (a minket érdeklő sebességkomponens esetében) ez

(3.2.1)

Ezért most az infinitezimálisokkal való "egyszerű manipiláció" (pl: ) nem vezet eredményre. El kell végeznünk deriválást. Ehhez egy kis matematikai trükköt kell bevetnünk. Látható, hogy a () mozgó rendszerben mért sebesség az álló () rendszerben mért sebesség függvénye. Azaz . Ezért a szerint deriválást a ""-en keresztül kell elvégeznünk. Írható tehát, hogy :

(3.2.2)

Nyilvánvaló, hogy az egyenlőség jobb oldalán meg kell jelennie az álló rendszerben mért gyorsulásnak. Ez rögtön adódik, ha a deriválásról áttérünk a szerinti deriválásra.

(3.2.3)

Ugyanakkor a "" derivált könnyen adódik, hiszen a és kapcsolatát a Lorentz transzformációból adódó "idődilatáció" adja meg, azaz:

(3.2.4)

Ezt beírva a gyorsulásra kapott fenti kifejezésbe az adódik, hogy:

(3.2.5)

Ezzel elértük, hogy az egyenlet egyik oldalán a mozgó (), a másik oldalán az álló () rendszerben mért kinematikai mennyiségek szerepeljenek Most már csak az van hátra, hogy a "" deriváltat kiszámoljuk. Ehhez a törtek deriválási szabályát kell alkalmazni, azaz:

(3.2.6)

Elvégezve a számlálóban a lehetséges egyszerűsítéseket az adódik, hogy:

(3.2.7)

Ezt beírva a fenti "" kifejezés jobb oldalába, megkapjuk a gyorsulás transzformációs összefüggését:

	(3.2.8)

Szavakban elmondva: "Ha egy álló rendszerben egy pont pillanatnyi gyorsulása , akkor a -hoz képes "" sebességgel mozgó rendszerbeli megfigyelő gyorsulást mér." Látható, hogy a gyorsulás transzformációjához (is) a "tér –idő" Lorentz transzformációjának az alkalmazásával jutottunk el.

Ezek után rátérhetünk a relativisztikus mozgásegyenlet megalkotására.

A relativisztikus mozgásegyenlet megalkotása

Abból a tényből kell kiindulnunk, hogy a Newton-féle axióma rendszer a makroszkopikus testek "hétköznapi" dinamikájának a jó fizikai modelljét adja. Ez azt jelenti, hogy a testek sokszorta nagyobbak (kb.-szor) mint egy atom és a sebességük sokkal kisebb, mint a vákuumbeli "" fénysebesség. Ha kilépünk ebből a mérettartományból, akkor (és csakis akkor) a Newton törvények elvesztik fizikai realitásukat. Ezért mondhatjuk, hogy a Newton törvények soha nem válnak hamissá, hiszen "per definitionem" csakis a nem-relativisztikus, makroszkopikus méretű testek dinamikáját adják meg. Ezeknek a helytállóságát pedig tapasztalati és kísérleti tények milliárdjai támasztják alá.

3.3.1 ábra

A Newton2 "mozgástörvény" a Mechanika egyik axiómája. Nincsen értelme megkérdezni, hogy miért éppen olyan amilyen, de érdemes elgondolkodnunk a pontos jelentésén.

Vizsgáljuk meg, hogy mit is állít az "" alakban felírt alaptörvény?! Mint láttuk, a mechanikai mozgásokat mindig valamilyen koordináta rendszerhez képest kell megadnunk. Ez a vonatkoztatási rendszer szemlélet alapvető volt mind a Galilei-féle "klasszikus", mind pedig az Einstein féle "relativisztikus" kinematikában. Ezt kellene követnünk a dinamikában is.

Rögtön egy érdekes szemléletbeli "kettősséget" fedezhetünk fel ebben az ( ) egyenletben. Ugyanis az "" az tömegpontnak az álló () rendszerben mért gyorsulása, míg az a mozgó ponton ható erő, azaz "a mozgó ponton ülő megfigyelő által mért erő" erő. Látható, hogy ugyanabban a mozgásegyenletben két különböző ( és ) koordinátarendszerben mért adat szerepel. Ez a "Janus arcúság" tehát a Newton-törvény lényegéhez tartozik. Ezt a szabályt, mint tapasztalati tényt elfogadtuk.

A koordinátarendszer szemlélet szerint azonban egy egyenletben csak egyazon koordinátarendszerben mért (homogén) adatok szerepelhetnek. A kérdés mármost az, hogy található-e egy, a fenti (amúgy helyes) mozgásegyenlettel ekvivalens, de homogén adatokat tartalmazó mozgásegyenlet. Ha létezik ilyen, akkor a Newton2 mozgásegyenlet kielégíti a koordinátarendszer szemléletünket is. Ez persze nem kell, hogy így legyen! Hiszen egy axióma attól axióma, hogy a szemléletünktől függetlenül igaz állítást fogalmaz meg a természeti jelenségekről.

Az egyszerűség végett maradjunk továbbra is az eddigi egydimenziós elrendezésünknél. A szemléletesség végett tekintsünk egy tömegű kocsit, amit egy hozzá erősített kötéllel (rúddal) lovak húznak.

3.3.4 ábra

Az úttestet fogjuk a nyugalomban lévő rendszernek tekinteni. Induljunk ki abból a nyílván való tényből, hogy a kocsihoz (és így a rajta ülő hajtóhoz) képest a kötél áll. A kötél által kifejtett erőhatás okozza az tömegű kocsinak az úttesthez képesti gyorsulását. Homogén adatokat akkor kapnánk, ha ezt a gyorsulást szintén a kocsin ülő hajtó mérné. De a gyorsuló kocsi nem inerciarendszer, ezért hajtó a saját koordinátarendszerében nem használhatja a Newton axiómákat.

Az úttesthez (a nyugvó -hoz) képest a kocsinak a "" időpontban pillanatnyi sebessége van. Ugyanakkor nyilvánvaló, hogy minden egyes "" időpillanatban definiálható egy olyan (mozgó) inerciarendszer, amelyiknek az állandó "" sebessége éppen -vel egyenlő.

MEGJEGYZÉS: Képzeljünk el egy négysávos autópályát! A legelső az ún. gyorsító sáv. A többi (haladó) sávban az előírt maximális sebesség legyen rendre 80, 100, 120 km/h. Tételezzünk fel egy forgalmas hétvégi napot. Ekkor minden haladó sáv telített. Minden gépkocsi a megengedett maximális sebességgel halad. Természetesen a különböző sávokban mozgó gépkocsik egymáshoz képest mindig valamilyen relatív (± 20, ± 40 km/h) sebességgel mozognak. Azaz bármelyik haladó sávban autózó vezető a többi sávban hozzá képest mindig mozgó gépkocsikat lát. Tegyük fel, hogy mi is felmegyünk az autópályára, és a gyorsító sávban egyenletes gyorsulással mozgunk. Ekkor lesz három olyan pillanat, amikor kitekintve az ablakunkon a haladó sávok valamelyikében, hozzánk képest éppen álló gépkocsit látunk. Ez akkor van így, amikor a sebességünk éppen 80, 100 vagy 120 km/h. Ezekben a pillanatokban a sebességünket tekintve egyformák vagyunk az állandó sebességgel mozgó gépkocsikkal.

Tehát, ahogyan a kocsi gyorsul és változik a pillanatnyi sebessége úgy mindig más és más sebességű K’ inercia-rendszerrel kerül "fedésbe". Így a kocsin ülő hajtó által mért kinematikai adatok (sebesség, gyorsulás) megegyeznek a vele éppen fedésben lévő inerciarendszerből mért adatokkal.

3.3.5.a ábra	3.3.5.b ábra

Tudjuk, hogy Newton2 mozgásegyenletet a kocsi hajtója a saját gyorsuló rendszerében nem használhatja. A kocsival éppen fedésben lévő inercia-rendszerben lévő megfigyelő azonban már igen. Nyilvánvaló, hogy a két megfigyelő "ekvivalens egymással", hiszen egymáshoz képest éppen állnak. Ugyanakkor a inercia-rendszerben lévő megfigyelő a kocsirúdhoz képest is éppen áll. Tehát számára a kocsira ható erő és a kocsi gyorsulása homogén adatok lesznek.

Ezért a Newton2 egyenlet (koordinátarendszer szemléletben, homogén adatokkal) így nézne ki:

(3.3.1)

Szavakban ezt úgy fogalmazhatnánk meg röviden, hogy: "A testre ható erő okozza az álló test pillanatnyi gyorsulását". "Az álló test gyorsulásán" a testhez képest "pillanatnyilag álló" inercia rendszerben mért gyorsulást értjük.

Itt használtuk a már bevezetett "vesszős" jelölést, ami a mozgó -ben mért adatokat jelenti. A Newton-féle mozgásegyenletnek az iménti "vesszős" felírása szokatlannak tűnik, hiszen a nemrelativisztikus szemléletben ezeknek nincsen jelentősége. Azt is tudjuk, hogy kis sebességeknél a newtoni mechanikában igaz a Galilei-féle relativitási elv. Azaz egy (pontszerű) test pillanatnyi gyorsulása minden inercia rendszerhez képest ugyanakkora. Mindez a Newton által bevezetett abszolút tér és abszolút idő fogalmából következett. A mostani példánkban ez azt jelenti, hogy a kocsin ülő hajtó által mért gyorsulás ugyanakkora, mint a kocsinak az úttesten álló megfigyelő által észlelt gyorsulása. Azaz minden "" pillanatban teljesül, hogy:

(3.3.2)

Ez minden (bármilyen nagy) pillanatnyi sebességnél is igaz. A makroszkopikus testek közötti mechanikai erőhatások minden inercia rendszerből nézve szintén ugyanazok. Tehát az helyett is írható. Így jutottunk el a Newton 2 "szokásos" alakjához, azaz

(3.3.3)

MEGJEGYZÉS: Ha "Q" elektromos töltések mozgását vizsgáljuk mágneses térben, akkor a fent elmondottak még hangsúlyosabbá válnak. Ugyanis egy mágneses térben "" sebességgel mozgó megfigyelő (a tapasztalatok szerint) egy mágneses tér mellett egy elektromos teret is mér. Így a megfigyelővel együtt mozgó "Q" töltésre egy erő fog hatni. Mivel a Q töltés a vele együtt mozgó -höz képest áll, ezért az ebben mérhető -ből nem származik erőhatás. Kis sebességeknél ( ) a terek kiszámítása egyszerű. és . Ennek a következménye a jól ismert Lorentz erő. Tehát itt jogos az "vesszős jelölés". Ezt azonban nem szoktuk kiírni. Nagy sebességeknél a "vesszős terek" számítása bonyolultabb. Ezzel mi nem foglalkozunk.

Az elmondottakból következik, hogy a relativisztikus általánosításhoz célszerű a kocsival éppen fedésben lévő inercia rendszerben felírt Newton2 egyenletből kiindulni. Ez ugyanis bármilyen nagy sebesség esetén is igaz:

(3.3.4)

Minket általában az érdekel, hogy milyen lesz az tömegpont mozgása az álló rendszerben, ha rá erő hat. Ehhez ismernünk kell a tömegpontnak a rendszerben mért gyorsulását. A newtoni mechanikában ez triviális, hiszen . Mint azt láttuk, a speciális relativitáselméletben az már nem lesz egyenlő az -el.

Itt van tehát az a pont, ahol áttérhetünk a relativisztikus effektusokra. Annyit kell csak tennünk, hogy végrehajtjuk a relativisztikus esetben kapott gyorsulás transzformációt. A -ban lévő (álló) megfigyelő szerint az "" tömegpont éppen sebességgel mozog. Tudjuk továbbá, hogy a pillanatnyi rendszer sebessége az álló -hoz képest . Ezek felhasználásával a gyorsulás transzformációjára kapjuk, hogy :

(3.3.5)

Egyszerűsítés után

(3.3.6)

Beírva ezt az "" mozgásegyenletbe, adódik a keresett relativisztikus mozgásegyenlet:

	(3.3.7)

Látszik, hogy a korrespondecia elv is teljesül, azaz esetén visszakapjuk az "" Newton2 mozgásegyenletet

Mint azt tudjuk, a newtoni mechanikában fontos szerepe van az impulzus fogalmának. Egyértelmű tapasztalati tény (Newton1), hogy ha a tömegpontra nem hat erő, akkor az impulzusa állandó marad. Ez az "impulzus megmaradás tétele" egyetlen tömegpont esetén. Mint tudjuk, ebben a Természet egyik alapvető szimmetriáját ismertük fel. Az Einstein féle első posztulátum szerint a "Természet törvényei" minden inerciarendszerben ugyanolyanok. Ez nyilvánvalóan vonatkozik az impulzus megmaradás tételére is, amelynek (minden sebesség értéknél) még relativisztikus esetben is igaznak kell lennie. Ez az a logikai pont, ahonnan el tudunk indulni a relativisztikus impulzus fogalma felé. Mondhatjuk tehát azt, hogy: "A tömegpont impulzusának nevezzük azt a dinamikai mennyiséget, amelyik állandó marad, ha a pontra nem hat erő."

Azaz meg kell követelnünk, hogy relativisztikus esetben (is) igaz legyen a következő mozgásegyenlet (axióma):

(3.3.8)

Ez egyben megadja az impulzusnak a (dinamikán alapuló) definícióját is. Ezért aztán a fentiek (3.3.7) értelmében írhatjuk, hogy:

(3.3.9)

Ebből pedig (némi számolás után) kapjuk az impulzus "relativisztikus" alakját, azaz azt, hogy

(3.3.10)

Ez az eredmény "visszafelé" könnyen ellenőrizhető. Határozzuk meg ugyanis ennek a relativisztikus -nek az idő szerinti deriváltját (a rendszerben)

(3.3.11)

A "" szerinti deriválás elvégzéséhez áttekinthetőbb alakot kapunk, ha bevezetjük a paramétert. Ekkor a szóban forgó összefüggésre azt kapjuk, hogy

(3.3.12)

Így a deriválás már könnyen elvégezhető:

(3.3.13)

és ezért:

(3.3.14)

ahol

Ez pedig éppen a bizonyítandó összefüggésünk.

MEGJEGYZÉS:Látható, hogy az "" tömeg esetén megtartottuk az "eredeti", newtoni fogalmat. A Newton-féle nem- relativisztikus dinamikában megtanultuk, hogy az "" (az ún. "tehetetlen tömeg") az erő és az gyorsulás hányadosaként mérhető meg. Ez a Newton2 axiómából következik. Ugyanakkor a "" impulzust ennek az ""-nek a felhasználásával definiáltuk (). Így aztán nem csodálkozhatunk azon, hogy ugyanazt az "" tehetetlen tömeget kapjuk akár az erőt, akár az impulzust használjuk kiindulásul, azaz

A speciális relativitás elméletben azonban a két hányados különbözik egymástól.

és

Mindezek a sebesség és a gyorsulás transzformációs tulajdonságaiból adódnak. Ezért a relativisztikus mechanikában ezeknek a hányadosoknak nincsen olyan fizikai tartalmuk, amely a "tehetetlen tömeg" egyértelmű mérési utasításaként szolgálhatnának.

Tömegpont (relativisztikus) mozgása állandó erő hatására

Alkalmazzuk a kapott relativisztikus egyenleteinket abban a speciális esetben, ha az "" állandó. Mint láttuk, ezen az egyszerű feladaton mutattuk be azt, hogy szükség van a klasszikus mozgásegyenlet relativisztikus általánosítására. A newtoni modellben ugyanis a tömegpont sebessége véges idő múlva átlépi a ” fénysebességet.

A relativisztikus tárgyalás matematikailag kissé bonyolultabb. Az impulzusra vonatkozó relativisztikus mozgásegyenletből kell kiindulnunk.

(3.4.1)

Használva a jelölést, kapjuk, hogy

(3.4.2)

Mind a két oldal az idő szerint könnyen integrálható. Mivel az állandó, ezért kapjuk, hogy

(3.4.3)

Felhasználva a határfeltételeket, az átrendezés után adódik, hogy:

(3.4.4)

ahol bevezettük a nem-relativisztikus gyorsulásra már használt jelölést.

Négyzetre emelés után, azt írhatjuk, hogy

(3.4.5)

Innen a sebesség keresett időfüggvénye megkapható, azaz

(3.4.6)

Látható, hogy () esetén, amikor még kicsi a sebesség, a newtoni eredmény adódik. A () határérték pedig a fénysebességhez tart. Azaz

	(3.4.7)

Ez eleget tesz a speciális relativitáselmélet Einstein féle axiómáinak. Az függvényt a mellékelt ábrán láthatjuk

3.4.1 ábra

A sebesség ismeretében (integrálással) megkaphatjuk az elmozdulás függvényét is.

(3.4.8)

A határfeltétel ismeretében adódik a végeredmény

(3.4.9)

3.4.2 ábra

Az az időnek hiperbolikus függvénye. Ennek a hiperbolának az aszimptotája egy "" meredekségű egyenes. Mint tudjuk, a klasszikus esetben az függvény egy parabola, amely nem rendelkezik ezzel az aszimptotikus tulajdonsággal. (3.4.2 ábra)

A munkatétel és a kinetikus energia

Mozogjon továbbra is az "" tömegpont az "" tengely mentén az állandó "" erő hatására . A tömegpont nyugalomból indul

3.5.1 ábra

Számítsuk ki az "" erő "" munkáját mialatt a pont az álló helyzetéből "" sebességűre gyorsul! Legyen ekkor az az "" helyen. A munkavégzés definíciója szerint

(3.5.1)

A tömegpont mindvégig a relativisztikus mozgásegyenletnek megfelelően viselkedik, azaz

(3.5.2)

Ahol (mint azt láttuk)

(3.5.3)

Ezt felhasználva a definíciós kifejezésében kapjuk, hogy

(3.5.4)

A ""impulzus szerinti integrálásról áttérhetünk a "" sebesség szerintire. Ezt a változó cserét legegyszerűbben az infinitezimális "" –vel való "bővítéssel" érhetjük el, azaz:

(3.5.5)

Ezután egy parciális integrálással léphetünk tovább. Tehát

(3.5.6)

A relativisztikus impulzus a "" sebesség jól ismert függvénye, ezért írhatjuk, hogy

(3.5.7)

Az első tagba beírható a relativisztikus impulzus. A második tagban szereplő integrálás könnyen elvégezhető, mert az integrálandó függvény primitív függvénye ismert

(3.5.8)

A kijelölt műveletek egy része elvégezhető. A jobb áttekinthetőség végett célszerű bevezetni a szokásos jelölést:

(3.5.9)

A nyilvánvalóan adódó kiemelés után kapjuk, hogy

(3.5.10)

Elvégezve a zárójelben lévő műveletet a következő kifejezésre jutunk

(3.5.11)

Mint az jól ismert, a munkatétel szerint:

"Egy tömegpont kinetikus energiájának a megváltozása egyenlő a ponton ható erő munkájával"

Ha a tömegpont nyugalomból indul, akkor . Ezért a . Azaz ebben az esetben a "" munka magát az kinetikus energiát adja meg. Alkalmazzuk a munkatételt a mostani esetben is! Ekkor (3.5.11) alapján írhatjuk, hogy

(3.5.12)

A kinetikus energia tehát egy kéttagú kifejezés alakjában adódott. Az első tag (jelöljük -vel) függ a tömegpont "" sebességétől

(3.5.13)

A második tag (legyen ) sebesség független.

(3.5.14)

Ha a tömegpont nyugalomban van (), akkor

(3.5.15)

Ezért a kinetikus energia zérus:

(3.5.16)

Az ""-t az tömeg energiájának nevezzük. Az "" neve "nyugalmi energia". Az elnevezés oka az elmondottak miatt nyilvánvaló. Mindezek felhasználásával (3.5.13) átrendezése után kapjuk, hogy

(3.5.17)

Tehát a tömegpont "" energiája az "" nyugalmi energia és az "" kinetikus energia összege. Ennek az átrendezésnek csak akkor van fizikailag értelme, ha az "" nyugalmi energiának önálló, azaz az ()-tól független fizikai jelentése is van. Ez azonban egyáltalán nem nyilvánvaló! Albert Einstein egyik nagy érdeme (1946), hogy felismerte az ""-nak az univerzális, a Mechanikától független és azon túlmutató fizikai tartalmát.

A tömeg-energia ekvivalencia

Talán nincsen még egy olyan matematikai formula, amely annyit szerepelne a nyilvánosság előtt, mint az . Található pólókra festve és a vicclapok karikatúráiban is. A híres képlet neve: "tömeg energia ekvivalencia".

3.6.1.a ábra	3.6.1.b ábra

Az előzőekből kiderül, hogy ez a felírás félrevezető. Ennek oka a következő. Mint azt láttuk egy mozgó tömeg energiája

(3.6.1)

Ha most ezt alakba írnánk, akkor ez azt jelentené, hogy létezik egy sebességfüggő tömeg. Ahol a fentiek szerint

(3.6.2)

De, mint azt láttuk, ilyen fizikai tömeg nem létezik. Hiszen a sebességfüggő faktor nem a tömeghez (a dinamikához) kötődik, hanem a tér-idő transzformációs tulajdonságának a következtében lép fel. Tehát az "anyag mennyiségéhez" semmi köze.

Ugyanakkor van egy másik fontos dolog, amit tisztázni kell. A newtoni mechanikához képest megjelent egy érdekes újdonság és ez az nyugalmi energia. Ez joggal veti fel az fizikai értelmezésének az igényét. Azaz: "Van- e reális fizikai jelentése az nyugalmi energiának? Vagy csupán csak a kinetikus energia kiszámításában megjelenő matematikai kifejezésről van szó?" Ha az fizikai realitás, akkor (az elmondottak szerint) ezzel minden nyugalomban lévő tömegnek rendelkeznie kell.

Albert Einsteint ez a kérdés már a kezdetektől fogva izgatta.

Einstein szinte a végletekig hitt abban, hogy a "matematikai formulák" alapvetőek a Fizikában. Egyhelyütt ezt írta

"Meggyőződésem szerint tiszta matematikai konstrukcióval megtalálhatjuk azokat a fogalmakat és a köztük fennálló azon törvényi kapcsolatokat, amelyek a természeti jelenségek megértésének kulcsát szolgáltatják." (A.E.)

Ezért aztán elengedhetetlen a matematikai kifejezések fizikai értelmezése. A törvényeknek reális modellt kell szolgáltatniuk. Azaz a fizikai jelenségek közötti (valódi) kauzális kapcsolatokat kell leírniuk. Ezért a "méréssel" nem ellenőrizhető, öncélú matematikai formákat kiveti a Fizika magából. Érthető, hogy Einstein miért kereste olyan kitartóan az fizikai értelmezését. 1906-1946 időszakban három cikkében is szerepelnek idevonatkozó megjegyzései. A végső, legszemléletesebb, máig is elfogadott, legegyszerűbb származtatást 1946-ban adta meg. A következőkben ezzel fogunk megismerkedni.

Az elektromágneses hullámok impulzusa

Ahhoz, hogy a nyugalmi energia "univerzális" voltát belássuk, ki kell lépnünk a mechanika korlátozott világából és vizsgálódásunkba be kell vonni az Elektrodinamikát is. Már volt róla szó, hogy a speciális relativitáselmélet éppen a Maxwell egyenletek tanulmányozásának az eredményeként alakult ki. Lorentz és Poincare voltak ennek az úttörői. Éppen ezen tudományos gyökerek miatt nyilvánvaló, hogy a klasszikus elektrodinamika eleget tesz a speciális relativitás elmélet Einstein-féle posztulátumainak. Tehát az elektrodinamikai jelenségek és a relativisztikus mechanika együtt (is) vizsgálható.

Az elektromágneses mező energiája a vákuumban elektromágneses hullámok formájában terjed. Bármilyen körfrekvenciájú hullám sebessége ugyanaz a . Ezek a hullámok szuperponálódhatnak (összeadódhatnak) és tetszőleges, lokalizált (a térben véges méretű) stabil "hullámcsomagokká" állhatnak össze. Egy fényfelvillanás (fényimpulzus) egy ilyen hullámcsomaggal írható le.

Már Maxwell is rájött arra, hogy a fény (mechanikai) nyomást gyakorol arra a felületre amelyikkel kölcsönhatásba lép (elnyelődik vagy visszaverődik). Kézenfekvőnek adódott a feltevés, hogy az elektromágneses hullám nem csak energiát, de impulzust is szállít. Ennek igazolása igen egyszerű:

3.7.1 ábra

Adott egy fémfelület, amelyre merőlegesen elektromágneses hullám (EMH) esik. A fémnek véges vezetőképessége van, ezért a beeső EMH-t elnyeli. A kölcsönhatási mechanizmus a hullám szerkezetének az ismeretében könnyen értelmezhető.

Mint tudjuk, a hullám és összetevői egymásra merőlegesek. Az elektromos tér felgyorsítja a fémben lévő töltéseket (elektronokat) és azok az -vel párhuzamos sebességgel kezdenek mozogni. Ugyanakkor ezekre a mozgó töltésekre a mágneses komponensből származó Lorentz erő is hat. Ez az erő éppen a hullám haladási irányába, azaz a fémfelületre merőlegesen (befelé) fog hatni. Ezen erőhatásból adódik a fénynyomás.

Mindez precíz számítással is követhető.

A fémben nagyon sok szabad elektron van. Ezeket célszerű térbeli töltéssűrűséggel jellemezni. Mivel az elmondott effektus a tér minden pontjában teljesül, ezért célszerű "térfogati sűrűségekkel" dolgoznunk.

A beeső elektromágneses hullám a fém belsejében "elnyelődik". Azaz mind az impulzusát, mind pedig az energiáját átadja a fémelektronoknak. A bejövő "fény" (EMH) feltételezett (térfogati) impulzussűrűsége legyen a fémelektronok (mechanikai) impulzussűrűsége pedig . Alkalmazzuk az impulzus megmaradás általános törvényét:

(3.7.1)

Ezért az időderiváltakra azt kapjuk, hogy

(3.7.2)

Az elektronok impulzus(sűrűség)ét az elektronokra ható Lorentz erő(sűrűség) változtatja meg. A Newton axióma szerint tehát

(3.7.3)

A Lorentz erősűrűség az EMH elektromos komponense által gerjesztett áramsűrűségből adódik:

(3.7.4)

Mivel a és az vektorok merőlegesek egymásra, ezért írható, hogy:

(3.7.5)

Ugyanakkor elektromágneses hullámok esetén és így

(3.7.6)

A folyamatosan beeső fény () energiáját a ( áramsűrűségű) vezetési elektronok folyamatosan elnyelik. Ezt az energiát aztán a véges vezetőképesség miatt az elektronok folyamatosan átadják a kristályrácsnak. Azaz a felvett energia () Joule-hővé alakul át (Ohm törvény). Tehát a teljesítménysűrűségre kapjuk, hogy:

	(3.7.7)

Azaz a (3.7.6) alapján:

(3.7.8)

Mivel az impulzus tétel miatt , ezért kapjuk, hogy

(3.7.9)

Tehát az EMH energiasűrűsége és az impulzussűrűsége közötti kapcsolat:

(3.7.10)

Ha most egy adott véges térfogatú fényimpulzust (véges fényjelet) tekintünk, akkor annak van egy energiája és valamekkora impulzusa, azaz

	(3.7.11)

Az előzőek miatt nyilvánvalóan fennáll közöttük a következő kapcsolat:

(3.7.12)

Ez az összefüggés minden fényjelre (rádió jelre, EMH-ra) korlátozás nélkül igaz. A levezetésekor csak az elektrodinamika és az impulzus megmaradás törvényét használtuk.

A nyugalmi energia fizikai jelentése

Ezek után rátérhetünk az fizikai tartalmának az Einstein-féle felderítéséhez! Einstein egy igen szemléletes gondolatkísérlettel jutott a helyes fizikai értelmezéshez! Az álló rendszer origójában nyugszik egy tömegű (pontszerű) test. Mozog az tengely mentén, egymással ellentétes irányban két egyforma fény impulzus (lokalizált hullámcsomag).

Az egyik a - a másik a + tengely felől közelíti meg a testet. A fényjelek elérik a testet és elnyelődnek. Az tömegű test tehát energiát és impulzust abszorbeál.

Einstein azt vizsgálta, hogy miként írja le ezt az eseményt a és egy hozzá képest mozgó (inercia) rendszerben lévő megfigyelő.

3.8.1 ábra

3.8.2 ábra

Az álló megfigyelő szerint az origóban nyugvó részecske a fényjelek elnyelése után is nyugalomban marad. A rendszer összimpulzusa ugyanis (az impulzus megmaradás tétele miatt) mindvégig zérus kell, hogy maradjon. Az irányban:

Az irányban

Az állandó sebességgel mozgó megfigyelő szerint az tömeg sebességgel mozog az tengely mentén. A két fényjel sebességének a nagysága továbbra is lesz, de az tengellyel bezárt szögük már nem lesz nulla. A beli sebességek a relativisztikus sebesség-összeadás alapján kiszámíthatók és ebből meghatározható a szög is.

3.8.3 ábra

Mint azt már (a csillagászati szögeltérésnél) láttuk, erre a szögre az adódik, hogy

(3.8.1)

Nyilvánvaló, hogy a fényjelek impulzusa a sebességükkel egyirányú. Így az elnyelődő fény impulzusának az iránya is a szöggel jellemezhető. A folyamat során az impulzus-megmaradás tételének a rendszerben is igaznak kell lennie.

Az irányban az eredmény triviális.

(3.8.2)

Legyen az irányú impulzusok összege a fényjelek beérkezése előtt:

(3.8.3)

Az elnyelés után pedig:

(3.8.4)

Ahol a tömegpont tömege a fényabszorpció után . Beírva ide a -szög értékét, kapjuk, hogy

(3.8.5)

Az impulzus megmaradás tétele miatt

	(3.8.6)

Ezért tehát:

(3.8.7)

Átrendezéssel

(3.8.8)

Tehát a fényelnyelés során a test tömege megnövekedett. Beírva ide a fényjelre érvényes energia-impulzus kapcsolatot, azt kapjuk, hogy:

(3.8.9)

A fényelnyelés során tehát a tömegpont nyugalmi energiája megnövekedett. Mivel a fényjel intenzitása (az elnyelt energia) akármilyen kicsi lehet (a fotonokból adódó kvantáltságtól most eltekintünk), ezért a test nyugalmi energiája tetszőlegesen megnövelhető. Ekkor viszont a nyugalmi energiának reális fizikai tartalommal kell bírnia. Adott tehát három, jól értelmezett fizikai mennyiség . Ezek mindegyike külön-külön, egymástól függetlenül megmérhető. Albert Einstein ezen három fizikai mennyiség között egy alapvető törvényt fedezett fel:

	(3.8.10)

Ennek a neve:"Tömeg-energia ekvivalencia".

MEGJEGYZÉS: Szerkezet nélküli tömegpontok EMH-t elnyelni nem tudnak (magyarázat: később). Erre csak "összetett", részecskék képesek. Ezek azonban (mivel pontrendszernek tekinthetők) rendelkeznek ún. belső energiával. Mint azt a pontrendszerek tárgyalásakor láttuk, ez kinetikus és potenciális energiák összegéből áll. Tehát pl. az elnyelt fény energiája az belső energiát növeli meg.. Azaz Ha egy összetett részecske belső energiát megváltoztatjuk (valamilyen külső kölcsönhatással) akkor megváltozik az (összetett) részecske tömege is. Írhatjuk tehát, hogy

Ez a "tömeg energia ekvivalencia" fizikai tartalma. 

3.8.4 ábra

"A Speciális Relativitáselméletből következik, hogy a tömeg és az energia ugyanannak a valaminek a megnyilvánulása ami nagyon szokatlan elképzelés a hétköznapi gondolkodás számára... Az azt mutatja, hogy nagyon kicsiny tömeg nagyon nagy energiává alakulhat át és fordítva. " Albert Einstein (1932)

A tömegdefektus

A fenti eredmények igen szépen igazolódnak az ún. "tömegdefektus" jelenségében. Ennek szerepe a nukleáris technikában alapvető. Mint tudjuk, a Hélium atommagja két protonból és két neutronból áll. A tapasztalat szerint azonban két proton () és két neutron () tömegének az összege nagyobb, mint a Hélium atom magjáé. Vajon Miért? A megoldás a tömeg-energia ekvivalencia ténye. Ha a négy db. részecske egymástól végtelen (mikroszkopikus skálán nagyon nagy) távolságra van egymástól, akkor az így tekintett rendszer tömege, a részecskék tömegének az összege lesz. Ha azonban a részecskék egy Hélium atommá állnak össze, akkor közöttük egy vonzó kölcsönhatásnak kell fellépni. Ez sokkal nagyobb kell, hogy legyen, mint a protonok közötti taszító Coulomb erő. Ez kis távolságokban már igen nagy. Ezt az újfajta kölcsönhatást "magerőnek" hívjuk. Ez a nukleonok (neutronok és protonok) között hat. Mivel vonzó erőhatásról van szó, ez negatív potenciális energiát jelent. Azaz lecsökken a () rendszer (azaz a He atommag) belső energiája. Ez azt jelenti, hogy a He atommag nyugalmi energiája kisebb, mint négy db. részecske nyugalmi energiájának az összege.

3.9.1 ábra

Ez a tömegkülönbség () kb. 28 MeV energiakülönbséget jelent. Egy mol ( db ) He atom esetén ez Joule energiát ad. Makroszkopikus skálán ez hatalmas mennyiség. Ezt az effektust használjuk fel a jövendő fúziós reaktoroknál.

A rugalmatlan ütközés és annak relativisztikus tárgyalása

A Newton féle axióma rendszer "működését" igen szemléletesen tanulmányozhatjuk két test ütközésének a vizsgálatakor. A testek mozgását a TKP-juk mozgásával azonosíthatjuk, ha az ütközési folyamat során csak transzlációs mozgás végeznek. Azaz nem forognak. Ekkor a testek ütközése tömegpontok ütközésével modellezhető. Teljesen rugalmas esetben (a fellépő belső erők miatt) a rendszer összimpulzusa állandó marad (impulzus tétel). De változatlan marad a rendszer kinetikus energiájának az összege is (mechanikai energia megmaradás tétele).

Tökéletesen rugalmatlan ütközéskor az impulzus tétel továbbra is érvényes marad. A testek összetapadnak és a transzlációs kinetikus energia nem lesz állandó a folyamat során, de a rendszer összenergiája (transzlációs és a belső energiák összege) igen. Az összetapadás során megváltozik a testek belső (kinetikus és potenciális) energiája. Ez "kívülről" abban nyilvánul meg, hogy az összetapadt test felmelegszik (belső kinetikus energia megnő) és maradandó alakváltozást szenved. Ekkor a test pontjainak egymáshoz viszonyított helyzete, azaz a belső potenciális energia megváltozik.

Vizsgáljuk meg a rugalmatlan ütközést a speciális relativitáselméletben érvényes dinamikának az alkalmazásával.

Az álló rendszer "" tengelye mentén két, azonos nagyságú, "" tömegű, pontszerű test + és - sebességgel egymással szembe halad. Összeütköznek, és összetapadnak. Az ütközés tökéletesen rugalmatlan.

3.10.1 ábra

Az ütközés előtt a rendszer összimpulzusa zérus és ezért (az impulzus megmaradás tétele miatt) az ütközés után továbbra is nulla marad. Ezért az összetapadt tömeg nyugalomban lesz.

	(3.10.1)

Alkalmazhatjuk az energia megmaradás elvét:

	(3.10.2)

Sokszor úgy is szokt(á)uk ezt mondani, hogy a tömegpontok mozgási energiája "tömeggé alakult át".

Az "E" energia és a korrespondencia elv teljesülése

Végezetül megmutatjuk, hogy a relativisztikus kinetikus energia kis sebességeknél visszaadja a klasszikus (nem relativisztikus) pontmechanikában használt összefüggéseket. Azaz a korrespondencia elv teljesül.

Ismeretes, hogy a klasszikus mechanikában az tömegpont kinetikus energia definíció szerint és/vagy , ahol . Érdemes megkeresni ugyanezek megfelelőit a relativisztikus mechanikában!

Az -vel már az előbbiekben megismerkedtünk. Könnyen belátható, hogy kis sebességeknél, visszakapjuk klasszikus definíciót. Kihasználva ugyanis relációt adódik, hogy

(3.11.1)

Azaz

(3.11.2)

3.11.1.a ábra	3.11.1.b ábra

Az kiszámítása már bonyolultabb. Ezért itt először közöljük a végeredményt és utána bebizonyítjuk, hogy ez ekvivalens az -vel A részletes számítások szerint az és a kapcsolata a következő

(3.11.3)

Ennek igazolása a következő. Írjuk be a formulába a "p" relativisztikus alakját

(3.11.4)

A további számítások könnyítése végett, bevezetjük a már használt jelölést

(3.11.5)

A két tagból az első kiemelhető, azaz

(3.11.6)

Mindkét oldalból gyököt vonva adódik a jól ismert kifejezés:

(3.11.7)

Ezzel állításunkat igazoltuk.

Könnyen belátható, hogy teljesíti a korrespondencia elvet. Azaz "kis" impulzusok () esetén az visszaadja a klasszikus eredményt. A kinetikus energia ugyanis

(3.11.8)

Mivel pedig ( miatt) , ezért kapjuk, hogy:

(3.11.9)

A kinetikus energia függvényeket a mellékelt MIK szemléltetik. Mint azt vártuk, a sebesség (kinetika) mindig kisebb mint , de az impulzus (dinamika) tetszőlegesen nagy lehet.

Kitekintés: Néhány szó a fotonról.

A foton fogalmának a bevezetése szintén Einstein nevéhez fűződik (1905). Ennek a kísérleti hátteréről (fényelektromos jelenség = "fotoeffektus") már a középiskolai tanulmányainkban volt szó. További fontos részletek ezen kurzusnak a Kvantummechanika részében találhatók . Ezek szerint egy frekvenciájú elektromágneses hullám (fény) energiája csak egy energiaadag egész számú többszöröse lehet. Itt [Js] az ún. "Planck állandó", a Fizika egyik univerzális (természeti) állandója. Egy ilyen energiaadag ("energiakvantum") neve a "foton". Egyéb kísérletekből (Compton effektus) az is kiderült, hogyha egy foton egy részecskével kölcsönhatásba lép, akkor impulzust is képes neki átadni. Tehát a "foton" a kölcsönhatásaiban (energia és impulzus csere) úgy viselkedik, mintha egy "részecske" volna. A speciális relativitáselméletben láttuk, hogy egy tömegű részecske összenergiája és impulzusa közötti kapcsolat a következő.

(3.12.1)

Ennek akkor is van értelme, ha az tömeg zérus, hiszen

(3.12.2)

Ugyanakkor az összenergia a részecske sebességével is kifejezhető:

(3.12.3)

Mint látható, esetén ez eredményt ad feltéve, hogy . Ahhoz, hogy a két energia kifejezés összhangban legyen az kell, hogy

(3.12.4)

Ez csak úgy lehet, ha feltesszük, hogy létezik olyan "határérték", amelyre igaz, hogy

Ha , akkor véges

Azaz léteznie kell egy olyan "részecskének", amelynek az energiája véges, miközben a tömege zérus és fénysebességgel halad. Ez pontosan ráillik a "fotonra". A fotont tehát energiájával és a impulzusával jellemezhetjük, ahol (a fentiek értelmében) teljesülnie kell annak, hogy

(3.12.5)

Ha térben a fotonok térfogati sűrűsége , akkor az impulzussűrűségre és az energia sűrűségre az adódik, hogy

	(3.12.6)

és ezért

(3.12.7)

Ez pedig a Maxwell egyenletek által kapott elektromágneses energia-impulzus (sűrűség) kapcsolat. Az elmondottak ismét a korrespondencia elv teljesülésének a szép példáját mutatják

Zárszó : Tudománytörténeti és filozófiai pihentető

Ennek a résznek a kihagyása nem akadályozza a speciális relativitáselmélet megértését!)

Einstein 1905-ben megjelent cikke előtt Hendrik Abraham Lorentz és Jule Henri .Poincare már megtalálták azt a transzformációt, amelyik a Maxwell egyenleteket és így a "" fénysebességet változatlanul hagyja. Ez az oka annak, hogy az álló rendszerből a mozgóra való áttérés neve "Lorentz transzformáció" lett.

Észrevették, hogy az "időt is transzformálni kell" és hogy a hossz kontrakció jelensége is fellép. Mindketten találtak egy formális (matematikai) kapcsolatot az "elektromágneses energia és a tehetetlen tömeg között" ()

Lorentz és Poincare munkásságát tekintve joggal merülhet fel a kérdés : "No és akkor mit csinált Albert Einstein? A fizikusok miért az Einstein-féle speciális relativitáselméletről beszélnek? Ha van Lorentz-transzformáció, akkor miért nincsen Poincare-féle relativitáselmélet?"

Azért is fontos ezekre a kérdésekre válaszolnunk, mert a bulvár "szakirodalomban" és az igen nagyszámú, önmagukat "tudományosnak beállító" művekben "határozott" de alapjaiban hamis válaszokat olvashatunk. Ezen könyvek és cikkek mindegyikét a fizikához valójában nem értő "lelkes" amatőrök írták (legyen az filozófus, matematikus, mérnök, informatikus, közgazdász, operaénekes, orvos vagy újságíró). Ezért van az, hogy zömükben a formális felszín kapargatásánál mélyebbre nem jutottak. A csapda ugyanis nyilvánvaló. Ha valaki csak a képletek hasonlóságát, vagy azonosságát nézi, akkor valóban az a benyomása támad, hogy Einstein előtt a speciális relativitáselmélet már "ki volt találva".

De mint tudjuk, a Fizika nem matematika, jóllehet nem nélkülözheti a matematikát!

Egy matematikailag helyes módon megkapott képlet a Fizikában még nem minden. A formulát "értelmezni" kell! Azaz meg kell mondani, hogy mi az a fizikai modell amelynek a matematikai formája a megadott "képlet". Egy "jó" matematikai formulához társíthatunk helytelen fizikai képet és akkor a Természetről alkotott elképzelésünk helytelen lesz. A helyes interpretációhoz jól fejlett intuíció és kellő szakismeret is szükségeltetik. Csak akkor vehetjük észre a "fizikai lényeget" ha kellő alapossággal ismerjük a megadott problémakör összes nehézségét és csapdáját.

Természetesen amikor a (fizikai) jelenségeknek egy új, eleddig ismeretlen körét kezdjük vizsgálni nem vagyunk a részletes tudás birtokában, hiszen éppen ezt akarjuk megszerezni. Ekkor a felismert törvényszerűségeket néha hamisan értelmezzük. Ennek legfőbb oka az, hogy az "új jelenségről" is a régi szemlélettel gondolkozunk. Ezért, ha a vizsgált jelenség "minőségében más", akkor ez óhatatlanul hamis fizikai képekhez vezethet.

Ismert példa erre az elektromágneses mezőnek a "mechanikus szemlélete". Maxwell még egymáson gördülő testecskék sokaságával "magyarázta" az elektrodinamika egyenleteit. A "rotáció", a "divergencia" és a "gradiens" elnevezések ennek a mechanikai képnek a nyomait őrzik. Ma már tudjuk, hogy semmiféle mechanikai modell nem adhatja vissza az elektrodinamika lényegét. El kell fogadnunk, hogy az elektrodinamikát csak a saját (a mechanikától független) fogalmi rendszerével és az ezen a rendszeren belüli törvényekkel érthetjük csak meg. Hiába használjuk ugyanazok a matematikai formulákat pl. egy áramló folyadék és az elektromágneses mező viselkedésének a leírására; a matematika ugyanaz, de e fizikai értelmezés teljesen más lesz.

Nem az elektrodinamika az egyetlen példa egy adott természeti jelenség "értelmezésének" a fejlődésére. Hasonló volt a helyzet a "Termodinamikában", amikor az ún. "hőfolyadék elmélettel" magyaráztuk a hőtani jelenségeket. A "calory" (azaz a hőfolyadék) ma már eltűnt a Fizika nyelvéből. Azonban némely szóhasználatunk és mondatunk még őrzi a Termodinamikában ennek a régvolt szemléletnek az emlékét. Például a második főtétel Clausius féle verbális megfogalmazásakor azt szoktuk mondani, hogy: "A hő önként mindig a magasabb hőmérsékletű testből az alacsonyabb hőmérsékletű test felé áramlik". A mikroszkopikus ismereteink birtokában tudjuk, hogy itt szó sincsen semmiféle "közegszerű áramlásról". A gyorsabban mozgó részecskék, ütközés révén a kinetikus energiájuk egy részét átadják a lassabban mozgó részecskéknek. Ennek az ütközési effektusnak a statisztikus átlag a jelenti a "hőátadást". Ugyanakkor "calory"-ból képzett "kalória" szót még nagyon sokszor használjuk a mindennapi életben.

Hasonlóan kihalt fogalom pl. a "flogiszton" is. A XVIII század kémikusai az égés folyamatát ezzel magyarázták. Eszerint minden éghető anyag flogisztont tartalmaz és minél hevesebben tud égni annál többet. Az 1800-as évek elejéig a vegyészek azt hitték, hogy a szerves anyagokat nem lehet kémiai reakciókkal előállítani. Erre csak az élő szervezet képes a "vis vitális" (azaz az "életerő") segítségével. Ma már a Kémia nem használja az egyik fogalmat sem. Kihaltak, mert rossz interpretációk voltak. A természettudományok története egyben a "hamis interpretációk kihalásának" a története is. Ez a folyamat a jelenben sem állt meg. Manapság az "információ" fogalma körül zajlanak hasonló "csatározások". Ma még nem ismerünk egy olyan, mindent átfogó, általános "információ elméletet" amelyik egyaránt alkalmazható lenne a Fizika, a Kémia, a Biológiai és a társadalmi jelenségek tárgyalásánál. "Megérzéseink" és analógiáink vannak ugyan, de ez még messze nem minden. Ezért aztán vigyáznunk kell a nehogy a hamis általánosítások szakadékába zuhanjunk. "Elrettentő" példa erre az "Intelligens Tervezettség" (ID) hívei, akik szerint az Univerzumba Valakinek bele kellett tennie valamikor az "Információt" is!

Ahhoz, hogy megértsük Einsteinnek a Speciális Relativitáselmélet megalkotásában játszott alapvető és egyedülálló szerepét vissza kell idézni a kialakulásának a történetét is. Az előzőekben ezzel nem foglakoztunk, mert csak a már kiforrott Einstein-féle "axiómatizált" elméletet mutattuk be.

Már beszéltünk az "Éter" fogalmáról.

A XIX század végéig a fizikusok azt gondolták, hogy az elektrodinamika egyenletei tulajdonképpen egy anyagi közegnek az "éternek" a fizikai tulajdonságait írják le. A Newton által feltételezett abszolút nyugvó vonatkoztatási rendszer pontosan ez az "éteri közeg" lesz.. Az EMH nem más, mint ebben a közegben terjedő hullám. Ha az éterhez képest mozgunk, akkor az EMH sebessége hozzánk képest változni fog. Tehát fénysebesség méréssel meg tudjuk állapítani, hogy az éterhez képest "mozgunk-e vagy állunk". A Földünk a Napkörüli keringése során ebben az álló éterben (kb. 30 km/sec sebességgel) mozog. Tehát optikai eszközökkel megmérve a fény sebességét, ki kell tudnunk mutatni a Föld mozgását az abszolút nyugvó éterhez képest. Ezen mérések első megvalósítói Albert Abraham Michelson és Edward Williams Morley amerikai (USA) fizikusok voltak. 1887-ben az Ohio állambeli Cleveland város "Case Western Reserve University" egyetemén állították össze a berendezésüket. Ez egy ún. "interferométer" volt, amelyik a fény interferenciája révén detektálja annak "c" sebességét. A részletek most számunkra nem fontosak, de az eredmény igen! A "c" fénysebességre (iránytól függetlenül) ugyanazt az értéket kapták, mint amit a Maxwell egyenletek adnak az "álló éterhez képest"! Úgy tűnt, hogy valamilyen ok miatt a fény sebességére mindig ugyanazt a "c" értéket mérjük, bárhogyan is mozogjunk a fényhez (az "éterhez") képest.

		Fizikai Nobel Díj (1907) Albert Abraham Michelson (az első amerikai) Indokolás: "...pontos optikai berendezéséért és az ezzel végzett spektroszkópiai és meteorológiai kutatásaiért"
Edward Williams Morley 1838 –1923	Albert Abraham Michelson 1852 –1931	Akik meg akarták mérni az étert

Ezt, a klasszikus hullámtannak ellentmondó mérési eredményt először 1889-ben George FitzGerald brit fizikus próbálta értelmezni. Szerinte az interferométer hossza a mozgás irányában megrövidült. Ez a megrövidülés éppen akkora, hogy az eszköz változatlan "c" értéket detektáljon. Ezt az ötletet átvette H.A. Lorentz is. Attól kezdve ezt "jelenséget" "Lorentz-FitzGerald féle hossz-kontrakciónak" nevezték.

Hendrik Abraham Lorentz (1892) kidolgozott egy "elektronelméletet", amely szerint a rudak összehúzódását a szilárdtesteket összetartó molekuláris erők módosulása okozza. Mindez annak a következménye, hogy az elektromos töltések a nyugvó éterben mozognak. Lorentz rájött, hogy az éterhez képest mozgó rendszerre való áttérést matematikailag megkönnyíti ha bevezeti az ún. "lokális idő" fogalmát. (Ez a "mai" idődilatációnak felel meg). Ez az az idő, amit egy éterben mozgó óra mér. Az éterhez képest álló órák az ún. "univerzális" időt mérik. Mindez azonban nagyon idegen volt a maxwelli éter- és a newtoni idő szemléletétől. Ezért Lorentz pusztán egy olyan "matematikai trükknek" tekintette, amely egyszerűsítette a Maxwell egyenletek kezelését az éterhez képest mozgó rendszerekben. Érdekes tény, hogy meg sem kísérelte a fizikai értelmezését.

	A kísérleti berendezés és működésének a vázlata
Emlék-szökőkút hirdeti a híres "Michelson-Morley" kísérlet helyszínét

Jules Henri Poincare korának (XIX –XX. sz fordulója) egyik zseniális matematikusa volt. Ő is foglalkozott a Maxwell egyenletek rendszerével (1895). A következmények matematikai kimunkálásában ő jutott a legmesszebbre. A Lorentz-féle "lokális idő" fogalmát "szellemes ötletnek" találta és megpróbálta fizikailag értelmezni. Szerinte ez annak a következménye, hogy a mozgó órákat olyan fényjelekkel szinkronizáljuk, amelyek sebessége konvenció szerint minden irányban "c". Tehát a mozgó óráknak az éterhez képesti "aszinkronitása" pusztán egy "kényelmi szempont" következménye. Ahogyan Poicare mondta (nem szó szerint idézve) "… nem kell túlzottan meglepődni, hiszen csak egy matematikai képződményről ("fikcióról") van szó."

Láthatjuk tehát, hogy mind Lorentz, mind pedig Poincare a végletekig ragaszkodtak a "nyugvó éter" realitásához. Ha a kísérleti tények az éter létének ellentmondtak, akkor a számszerűen korrekt magyarázatot inkább "matematikai" fikciónak tekintették, de az Éter fogalmát nem adták fel. Ezen azonban nem szabad csodálkoznunk. A klasszikus hullámjelenségek mindig egy közeghez kötődtek. A szilárd testben, folyadékban vagy gázban terjedő hullámok puszta léte valamilyen közeget feltételez. A hullámjelenség mindig az adott közegben terjedő "zavar". A közeg nélküli hullám olyan lenne, mint a szervezet nélküli élet.

Albert Einstein "zseniális húzása" az volt, hogy száműzte az Étert a Fizikából. Ha semmilyen módszerrel nem tudjuk kimérni az éterhez képesti sebességünket, akkor ez azt jelenti, hogy ő "objektive" nem is létezik! Tehát az éter azért nem létezik, mert semmilyen módszerrel nem tudjuk detektálni a létezését. Ezért az "éter elmélet" nem falszifikálható. Azaz nem tudunk egy olyan kísérletet mondani, amelyiknek az elvégzése lehetőséget adna arra, hogy cáfolja az éter létezését. Einstein szakított az abszolút nyugvó inercia rendszer fogalmával. Ezzel együtt eldobta az "abszolút (newtoni) idő" szemléletet is és ez együtt járt azzal, hogy az "egyidejűség" koordinátarendszer függő lett.

A Z I D Ő
Ilyen volt!!	Einstein a forradalmár	Ilyen lett!!

Einstein meglátta a Lorentz transzformáció univerzális voltát! Alapfeltevése szerint a mérő rudak rövidülése, az órák járásának a lelassulása nem a rudak és az órák éterrel való kölcsönhatásának a következménye, hanem a "Térnek" és az "Időnek" a sajátossága. Ennek megfelelően a természeti törvények alapvetően fontos szimmetria tulajdonságára mutatott rá (lásd Einstein első posztulátumát).

A Lorentz transzformáció a Teret és az Időt együttesen transzformálja. Tehát a klasszikus fizikában függetlennek hitt két alapvető létező "dolgot" egyetlen objektive létező "téri-időbe" fonta össze. Erre a matematikai szimmetriára már Poincare is rájött. Felismerte, hogy a (Lorentz transzformációt is magába foglaló) transzformációk adott algebrai struktúrát (ún. "csoportot") alkotnak. Ebbéli munkásságát a "Poincare csoport" és a "Poincare transzformáció" elnevezés őrzi a Fizikában. Tehát végeredményében ő sem maradt ki a Fizika halhatatlanjainak a "panteonjából"!

A "tér-idő" geometriája	Hermann Minkowski 1864-1909

Minkowski (1907) szemléletes geometriai modellt dolgozott ki és így kialakult a "téridő" mint egységes 4 dimenziós geometriai tér fogalma. Ez "szemléletesen" is igazolta a tér és az idő "összefonódását". 1908. szeptemberében a következőket mondta: "Mostantól az önmagában vett tér és idő arra ítéltetett, hogy elenyésszen a homályban és csupán a kettejük egyesítése képes arra, hogy megőrizze a független valóságot."

Az "éter" fogalma mára már teljesen kihalt a Fizikából. Az Univerzum eseményei a "Nagy Bummtól" mostanáig a "téridő" színpadán zajlanak. Ez maga az objektív valóság!

Ahogy mondani szokás FitzGerald-Lorentz-Poincare voltak a nagy reformerek de a forradalmár Einstein volt! Lorentz és Poincare felismerték, hogy "mérőrudak" és az "órák" nem abszolút mérőeszközök. Ellentétben a Newton-féle elképzeléssel. Ők voltak azok a fizikusok, akik meg akarták reformálni a Fizikát de úgy, hogy megmentik az "Éter" fogalmát.

Einstein forradalmár volt, mert drasztikusan szakítani tudott régóta belénk ivódott tér-idő szemlélettel. Ennek az ára az "éter száműzése volt" a gondolkodásunkból. Poincare és Lorentz elméletei matematikai konstrukciók voltak Einstein alapvető elvi törvényeket mondott ki.

A NAGY REFORMEREK, AKIK MEG AKARTÁK MENTENI AZ ÉTERT
J. Henri Poincare 1854-1912	Hendrik A. Lorentz 1853-1928	George F. FitzGerald 1851-1901

Poincare és Lorentz a kísérleteket matematikailag igazoló elméleteket alkottak. Azaz minden relativisztikus effektust a nyugvó éterben való mozgás elektrodinamikájára vezettek vissza. Tehát az alaptörvény az Maxwell-féle elektrodinamika és ennek a következménye a relativisztikus viselkedés. Einstein szerint, azonban a dolog éppen fordítva van. A Maxwell egyenletek és minden természeti törvény a "relativitás elvéből" (azaz az inerciarendszerek egyenértékűségének az elvéből) következik. Einstein tehát az "elvek és törvények elméletét" adta meg.

Az elmondottakat támasztja alá az a tény is, hogy Einstein mit sem tudott a Michelson-Morley kísérlet negatív eredményéről. Cikkeiben egy szó említés sincsen erről. De erre nem is volt szüksége, hiszen ö nem a "fénysebesség" állandóságát mutató méréseket akarta megmagyarázni. Einstein tisztán logikai úton, az inercia rendszerek egyenértékűségének az elvéből kiindulva magyarázta a természeti (ezen belül a Fizikai) jelenségeket.

Albert Einstein a XX-ik század egyik legnagyobb (fizikusa) gondolkodója volt. Mély fizikai meglátásai fantasztikus intuícióra és a szellemi szabadságra vall. Munkássága a modern fizika "téridő" szemléletét alakította ki. Azóta is ezen a szemüvegen keseresztül nézzük a Világot. Kísérleti eredmények és jóslások ezrei igazolják azt, hogy ez az egyedüli és helyes szemüveg.

Akár tetszik, akár nem a "téridő" geometriája maga a Valóság!