„Mechanikai alapmérések” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
 
(2 szerkesztő 16 közbeeső változata nincs mutatva)
1. sor: 1. sor:
−
Készül!
 
−
 
 
<wlatex>
 
<wlatex>
  
21. sor: 19. sor:
  
 
''A mérés célja:''
 
''A mérés célja:''
−
* megismerkedni mechanikai jellemzők mérésének néhány egyszerű módszerével.
+
* megismerkedni mechanikai jellemzők mérésének néhány egyszerű módszerével és az eszközök használatával,
 +
* elmélyíteni a tehetetlenségi nyomatékkal kapcsolatos ismereteket,
 +
* megismertetni a hallgatókat egy a tehetetlenségi nyomaték mérésére alkalmas módszerrel.
  
 
''Ennek érdekében:''
 
''Ennek érdekében:''
 
* áttekintjük a rugalmas alakváltozással kapcsolatos összefüggéseket,
 
* áttekintjük a rugalmas alakváltozással kapcsolatos összefüggéseket,
 +
* összefoglaljuk a tehetetlenségi nyomatékkal kapcsolatos ismereteket,
 
* megmérjük néhány mintadarab rugalmas alakváltozását,
 
* megmérjük néhány mintadarab rugalmas alakváltozását,
−
* méréseket végzünk fonálingával.
+
* méréseket végzünk fonálingával,
 +
* megvizsgáljuk egy olyan rendszer viselkedését, amelynek segítségével tehetetlenségi nyomatékot tudunk mérni,
 +
* a mérések során meghatározzuk a méréséhez használandó rendszer paramétereit, majd a megismert rendszer segítségével tehetetlenségi nyomatékot mérünk, és kísérletileg igazoljuk a Steiner-tételt.
  
 
__TOC__
 
__TOC__
  
−
==Elméleti összefoglaló==
+
==Elméleti összefoglaló: rugalmas alakváltozások==
 
Külső erő hatására a testekben alakváltozás lép fel. Ha az erő megszűnte után a test teljesen visszanyeri eredeti alakját, akkor az alakváltozást rugalmasnak nevezzük. (A gyakorlatban rugalmas alakváltozásról beszélünk, ha a maradandó alakváltozás kisebb, mint 2 ‰.)
 
Külső erő hatására a testekben alakváltozás lép fel. Ha az erő megszűnte után a test teljesen visszanyeri eredeti alakját, akkor az alakváltozást rugalmasnak nevezzük. (A gyakorlatban rugalmas alakváltozásról beszélünk, ha a maradandó alakváltozás kisebb, mint 2 ‰.)
 
A külső erő által létrehozott rugalmas alakváltozás függ az erő nagyságától, az igénybevétel fajtájától (pl. húzás, hajlítás), az alakváltozásnak kitett test geometriai adataitól, anyagi összetételétől, illetve minőségétől. Az igénybevételek bizonyos fajtáinál, valamint meghatározott geometriájú testek esetében az alakváltozást létrehozó erő és a deformáció közötti összefüggés ismert. Ezek az ismert összefüggések tartalmazzák az anyagi összetételt, illetve minőséget figyelembevevő tényezőt, amelyet így meghatározott fajtájú igénybevétel esetén az erőnek, az erő által létrehozott deformációnak valamint a geometriai adatoknak az ismeretében az összefüggésből meg tudunk határozni.
 
A külső erő által létrehozott rugalmas alakváltozás függ az erő nagyságától, az igénybevétel fajtájától (pl. húzás, hajlítás), az alakváltozásnak kitett test geometriai adataitól, anyagi összetételétől, illetve minőségétől. Az igénybevételek bizonyos fajtáinál, valamint meghatározott geometriájú testek esetében az alakváltozást létrehozó erő és a deformáció közötti összefüggés ismert. Ezek az ismert összefüggések tartalmazzák az anyagi összetételt, illetve minőséget figyelembevevő tényezőt, amelyet így meghatározott fajtájú igénybevétel esetén az erőnek, az erő által létrehozott deformációnak valamint a geometriai adatoknak az ismeretében az összefüggésből meg tudunk határozni.
 
Nagyobb erő hatására a testben maradandó alakváltozás keletkezhet (képlékeny alakváltozás), illetve a test eltörhet, elszakadhat.
 
Nagyobb erő hatására a testben maradandó alakváltozás keletkezhet (képlékeny alakváltozás), illetve a test eltörhet, elszakadhat.
−
 
−
==Testek húzás és nyomás hatására történő alakváltozása==
 
  
 
===Húzás hatására történő rugalmas alakváltozás===
 
===Húzás hatására történő rugalmas alakváltozás===
57. sor: 58. sor:
 
Néhány fémnél (például az acélnál) megfigyelhető, hogy a test elszakadása előtt "felkeményedik", azaz jelentősen növekvő erő hatására is csak csekély mértékben nyúlik tovább.
 
Néhány fémnél (például az acélnál) megfigyelhető, hogy a test elszakadása előtt "felkeményedik", azaz jelentősen növekvő erő hatására is csak csekély mértékben nyúlik tovább.
 
Végül az erő további növelésekor a test elszakad. Az ehhez szükséges húzófeszültség (egységnyi felületre eső húzóerő) az anyagra jellemző szakítószilárdság.
 
Végül az erő további növelésekor a test elszakad. Az ehhez szükséges húzófeszültség (egységnyi felületre eső húzóerő) az anyagra jellemző szakítószilárdság.
−
 
−
==Alakváltozás hajlítás esetén==
 
  
 
===Egyik végén befogott, másik végén terhelt rúd lehajlása===
 
===Egyik végén befogott, másik végén terhelt rúd lehajlása===
110. sor: 109. sor:
 
Összefoglalva, valamely anyag rugalmassági állandója a megfelelően kialakított próbatestre ható erő által létrehozott deformáció ($h$), továbbá a geometriai jellemzők mérése alapján meghatározható.
 
Összefoglalva, valamely anyag rugalmassági állandója a megfelelően kialakított próbatestre ható erő által létrehozott deformáció ($h$), továbbá a geometriai jellemzők mérése alapján meghatározható.
  
 +
==Elméleti összefoglaló: fonálinga lengésideje==
 +
Matematikai ingának nevezzük az egy súlytalan kötélből és egy tömegpontból álló rendszert. Ha egy fonálingát vizsgálunk, kellő hosszúságú fonál esetén a ráakasztott tömeg tömegpontként kezelhető, valamint a fonál tömege elhanyagolható, így ez jó közelítése a matematikai ingának. Ennek az ideális rendszernek a gerjesztés nélküli mozgásegyenlete polárkoordinátákban:
 +
 +
[[Fájl:Inga.jpg|bélyegkép|300px|7.ábra]]
 +
 +
$$ml^2\frac{d^2\theta}{dt^2}+k\frac{d\theta}{dt}+mgl\sin\theta=0,$$
 +
 +
ahol:
 +
* $l$ – a fonál hossza,
 +
* $g$ – nehézségi gyorsulás,
 +
* $m$ – a test tömege,
 +
* $\theta$ – A fonál függőlegessel bezárt szöge
 +
* $k$ – közegellenállásból eredő csillapítási együttható
 +
 +
Ennek megoldását általában ''kis kitérésekre'' végezzük el ($sin \theta \approx \theta$), valamint a csillapítástól eltekintünk, így a fonálinga harmonikus oszcillátorként közelíthető és differenciálegyenlete könnyen megoldható:
 +
 +
$$\frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{g}{l}\theta=0.$$
 +
 +
Lengésideje pedig a jól ismert összefüggés:
 +
 +
$$T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}},$$
 +
 +
ahol $l$ a fonálinga hossza, $g$ pedig a nehézségi gyorsulás.
 +
 +
Nagyobb kitéréseknél a differenciálegyenlet nemlineáris, kitérés-idő függvény zárt alakban nem adható meg, a lengésidő kifejezése pedig szintén zárt alakban nem kifejezhető elliptikus integrált tartalmaz. Közelítő formulák találhatók például [http://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum_(mathematics)#Arbitrary-amplitude_period itt].
 +
 +
==Elméleti összefoglaló: tehetetlenségi nyomaték==
 +
 +
===A tehetetlenségi nyomaték===
 +
A tömegpontokból álló rendszer z-tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékát az alábbi kifejezés adja meg:
 +
$$\theta=\sum_{i=1}^n m_i\cdot l_i^2=\sum_{i=1}^n m_i\cdot (x_i^2+y_i^2),$$
 +
ahol $l_i$ az $i$ sorszámú, $m_i$ tömegű pont $z$-tengelytől való távolsága, $x_i$ és $y_i$ ugyanennek a pontnak az $x$, illetve $y$ koordinátája.
 +
Folytonos tömegeloszlású testek esetén a tehetetlenségi nyomaték:
 +
{{eq|\theta{{=}}\int_V \rho\cdot l^2 \,\mathrm{d}V{{=}}\int_V \rho\cdot (x^2+y^2)\,\mathrm{d}V,|eq:1|(1)}}
 +
ahol $\rho$ a test sűrűsége. A tehetetlenségi nyomaték értéke egyszerűbb esetekben számítással határozható meg, egyébként mérésekkel állapítható meg.
 +
Ha ismerjük egy test tehetetlenségi nyomatékát a súlypontján átmenő tengelyre vonatkozóan ($\theta_\mathrm{s}$), akkor egy ezzel a tengellyel párhuzamos tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka ($\theta$) a Steiner-tétel segítségével adható meg:
 +
$$\theta=\theta_\mathrm{s}+m\cdot r^2.$$
 +
Itt $m$ a test tömege, $r$ a két tengely egymástól mért távolsága.
 +
 +
===Forgási rezgések===
 +
A tehetetlenségi nyomatékkal kapcsolatos vizsgálatainkat egy forgási rezgéseket végző torziós asztal ([[#fig:2|2. ábra]]) segítségével hajtjuk végre, ezért az alábbiakban egy ilyen rendszer viselkedését vizsgáljuk.
 +
A rendszer egyensúlyi helyzetét egyik végén a tengelyhez, a másik végén a kerethez rögzített spirálrugó biztosítja. A rendszer egyensúlyi helyzetéhez képest, a tengely körül $\varphi$ (rad) szöggel való elforgatásához szükséges forgatónyomaték, nem nagy szögek esetén:
 +
{{eq|M{{=}}-D^*\cdot\varphi,|eq:2|(2)}}
 +
ahol $D^*$ (Nm/rad) a rugó direkciós nyomatéka.
 +
 +
====Csillapítatlan forgási rezgések====
 +
Ha a torziós asztal tárcsájának a tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka $\theta$ és emellett a rendszer többi elemének tehetetlenségi nyomatéka, valamint a súrlódási veszteségek figyelmen kívül hagyhatók, akkor a rendszer mozgásegyenlete:
 +
$$\theta\cdot\frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}t^2}=-D^*\cdot\varphi.$$
 +
Ezen mozgásegyenlet megoldása a
 +
$$\varphi=\phi\cdot\sin(\omega\cdot t+\alpha)$$
 +
egyenlettel leírható harmonikus forgási rezgés, ahol $\phi$ és $\alpha$ értékét a kezdeti feltételek határozzák meg és a megoldás során adódik, hogy a körfrekvencia:
 +
$$\omega=\sqrt{\frac{D^*}{\theta} }$$
 +
amiből a rezgés periódusideje:
 +
{{eq|T{{=}}2\pi\sqrt{\frac{\theta}{D^*} }.|eq:3|(3)}}
 +
 +
====Csillapodó forgási rezgések====
 +
 +
{{fig|Tehetetlenségi_nyomaték_1.jpg|fig:1|1. ábra}}
 +
 +
A fentiekben szereplő csillapítatlan forgási rezgés $\phi$ amplitúdója állandó. A gyakorlatban megvalósítható rezgéseknél a mindig jelen lévő súrlódás miatt az amplitúdó folyamatosan csökken. Az ilyen mozgásoknál a rugó által létrehozott nyomatékon kívül megjelenő súrlódási erő hatását a szögsebességgel arányosnak feltételezve, (az arányosságot a $k$ állandóval véve figyelembe) a rezgés mozgásegyenlete:
 +
{{eq|\theta\cdot\frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}t^2}{{=}}-D^*\cdot\varphi-k\cdot\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}.|eq4|(4)}}
 +
A [[#eq:4|(4)]] egyenlet megoldása az $\omega_0^2=\frac{D^*}{\theta}$ és $\beta=\frac{k}{2\theta}$ jelölésekkel
 +
{{eq|\varphi{{=}}\phi_0\cdot e^{-\beta\cdot t}\cdot\sin(\omega\cdot t+\alpha),|eq:5|(5)}}
 +
ahol $\beta$ a csillapítási tényező, $\phi_0$ és $\alpha$ a kezdeti feltételektől függő állandók. A $\beta<\omega_0$ esetben:
 +
{{eq|\omega^2{{=}}\omega_0^2-\beta^2.|eq:6|(6)}}
 +
A [[#eq:5|(5)]] egyenlettel leírt mozgás $\varphi=f(t)$ függvénye a [[#fig:1|1. ábrán]] látható. A rezgés amplitúdója exponenciálisan csökken: $\varphi=\varphi_0\cdot e^{-\beta\cdot t}$. A rendszer az egyensúlyi helyzeten a $t=0,\, T/2,\, T$ időpontokban halad át, a szélső $\phi_0,\, \phi_2,\,\dots$ helyzeteket azonban nem a $T/4,\, 3T/4,\,\dots$ időpontokban éri el, de a szélső helyzetek között eltelt idő $T/2$.
 +
 +
===A torziós asztal és jellemzőinek meghatározása===
 +
 +
Ahhoz, hogy egy rezgőmozgást végző rendszert felhasználhassunk ismeretlen minta tehetetlenségi nyomatékának meghatározásához, vagy a Steiner-tétel igazolásához, ismernünk kell rendszerünket és annak fizikai jellemzőit. Az alábbiakban a további vizsgálatokhoz felhasználandó eszközt, a torziós asztalt mutatjuk be, és ismertetünk néhány módszert, amely alkalmas a rendszer jellemzőinek meghatározására.
 +
 +
====A torziós asztal====
 +
 +
A további vizsgálatokhoz használt eszköz, a forgási rezgéseket végző torziós asztal fényképe a [[#fig:2|2. ábrán]] látható.
  
 
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
 
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
 
|-
 
|-
−
| {{figN|Rugalmas1.png|figN:6|6. ábra|600}}
+
|{{fig2|Tehetetlenseg.png|fig:2|2. ábra: Mérési elrendezés}}
 
|-
 
|-
 
|}
 
|}
−
<!--==Alakváltozás mérése nyúlásmérő bélyeggel==
 
  
−
[[Fájl:rug_6_abra.jpg|bélyegkép|200px|7.ábra]]
+
====A torziós asztalban alkalmazott spirálrúgó direkciós nyomatékának ($D^*$) meghatározása====
−
A nyúlásmérő bélyeg olyan mérőátalakító, amely mechanikai deformáció hatására elektromos ellenállás-változást hoz létre. A bélyeg legegyszerűbb kialakítási formája a 6. ábrán látható.
+
−
Néhány mikron átmérőjű ellenállás huzalt ragasztanak fel vékony papírlapra vagy ágyaznak műanyag filmbe. Az alakváltozás hatására megváltoznak a bélyeg anyagának geometriai méretei (átmérője és hossza), valamint anyagának fajlagos ellenállása. Ezek a változások a deformációval arányos ellenállás-változást eredményeznek. Annál érzékenyebb a bélyeg, minél nagyobb ellenállás-változást hoz létre egy adott deformáció. A bélyeg jellemzőjét, átalakítási tényezőjét – a bélyegállandót – a következőképpen definiáljuk:
+
  
−
$$g=\frac{\delta}{\varepsilon}$$
+
A direkciós nyomaték meghatározásánál a [[#eq:2|(2)]] egyenletből indulhatunk ki. Megmérve a rugóra ható nyomatékot és a nyomaték által létrehozott szögelfordulást, a direkciós nyomaték:
 +
$$D^*=\frac{M}{\varphi}.$$
 +
A mérés pontosságának növelése érdekében célszerű meghatározni a $\varphi=f(M)$ függvényt. A mérési pontokra egyenest illesztve az meredekségéből megkapható a rugó jellemzője.
  
−
ahol $\delta = \Delta R / R$ a bélyeg relatív ellenállás-változása és $\varepsilon = \Delta l / l$ a relatív deformáció. A gyakorlatban alkalmazott huzalos mérőátalakítók bélyegállandója kb. 2.
+
====A csillapítási tényező ($\beta$) meghatározása====
−
A bélyeget a vizsgálandó testre úgy ragasztják fel, hogy annak alakváltozását hűen kövesse. A felragasztáshoz olyan helyet kell keresni, ahol a mérés segítségével a vizsgált szerkezetre jellemző eredményeket kapunk.
+
−
A ragasztásnál jó minőségű, a bélyeggyártó által ajánlott ragasztót célszerű alkalmazni. A ragasztással kapcsolatos utasításokat (felület előkészítése, kötési idő) be kell tartani. Csak így követi a bélyeg helyesen a vizsgált test alakváltozásait.
+
−
A nyúlásmérő bélyegekkel történő mérés esetén az egyik fő hibaforrás a hőmérsékletváltozás. A mérés közben bekövetkező hőmérsékletváltozás a következők miatt okoz mérési hibát:
+
  
−
* a bélyeg anyagának ellenállása hőmérsékletfüggő,
+
A csillapítási tényező meghatározása a [[#eq:5|(5)]] egyenlet felhasználásával lehetséges. A lengő torziós asztal kitérése egy tetszőleges $t_1$ időpontban, illetve ez után $n$ egészszámú periódusidővel később a $t_1+n\cdot T$ időpontban:
−
* a vizsgált test és a bélyeg is deformálódik hőmérséklet-változás hatására és az különböző mértékű,
+
$$\varphi_1=\phi_0\cdot e^{-\beta\cdot t_1}\cdot\sin(\omega\cdot t_1+\alpha),$$
−
* a hőmérsékletváltozás hatására változtatja méretét a bélyegágy anyaga valamint a ragasztó is.
+
$$\varphi_{n+1}=\phi_0\cdot e^{-\beta(t_1+n\cdot T)}\cdot\sin[\omega(t_1+n\cdot T)+\alpha].$$
 +
Mivel a két kifejezésben a szinuszos tagok értéke megegyezik, a szögkitérések hányadosának természetes alapú logaritmusa:
 +
$$\ln\frac{\varphi_1}{\varphi_{n+1}}=n\cdot T\cdot\beta,$$
 +
ahonnan
 +
{{eq|\beta{{=}}\frac{1}{n\cdot T}\cdot\ln\frac{\varphi_1}{\varphi_{n+1} }.|eq:7|(7)}}
 +
A csillapítási tényező gyakorlati meghatározásánál célszerű a szélső helyzetek figyelembevétele, a [[#fig:1|1. ábra]] jelöléseihez igazodva:
 +
$$\frac{\varphi_1}{\varphi_{n+1} }{{=}}\frac{\phi_i}{\phi_{n+i} },$$
 +
ahol $i$ és $n$ pozitív egész szám.
 +
A csillapítási tényező ismeretében dönthető el, hogy a rendszer csillapítatlan vagy csillapított mozgást végzőnek tekinthető-e. Ha $\frac{2\pi}{T}\gg \beta$, akkor a [[#eq:6|(6)]] összefüggés alapján a torziós asztal mozgása csillapítatlan mozgásnak tekinthető. (A $T$ periódusidő mérhető.)
  
−
A hőmérsékletváltozás okozta mérési hibák:
+
====A torziós asztal tehetetlenségi nyomatékának meghatározása====
−
* kiküszöbölhetők, ha a mérés időtartama alatt a környezeti hőmérséklet nem változik,
+
−
* csökkenthetők kompenzációs kapcsolások: kettő vagy négy aktív bélyeg alkalmazásával.
+
  
−
A mérési módszerrel a hétköznapokban is gyakran találkozunk, hiszen a legtöbb elektromos mérleg nyúlásmérő bélyeggel működik.
+
=====Az asztal tehetetlenségi nyomatékának meghatározása tömegének és sugarának ismeretében=====
  
−
==Erő mérése induktív mérőátalakítóval==
+
Az [[#eq:1|(1)]] egyenletből levezethetően $R$ sugarú és $m$ tömegű homogén korong tehetetlenségi nyomatéka forgástengelyére vonatkozóan:
 +
$$\theta=\frac{1}{2}mR^2.$$
 +
Így az asztal tömegének és sugarának megmérése után tehetetlenségi nyomatéka számolható.
  
−
[[Fájl:rug_7_abra.jpg|bélyegkép|200px|8.ábra]]
+
=====Az asztal tehetetlenségi nyomatékának meghatározása a rugó direkciós nyomatékának, a lengésidőnek és a csillapítási tényezőnek az ismeretében=====
−
[[Fájl:rug_8_abra.jpg|bélyegkép|200px|9.ábra]]
+
−
Az induktív mérőátalakító elmozdulás detektálására alkalmas, így felhasználható minden olyan mennyiség mérésére, melynek változása elmozdulást eredményez. Így például deformáció, és ezen keresztül erő mérésére is.
+
−
+
−
Az induktív mérőátalakító a mérendő fizikai mennyiség változásának hatására induktivitásváltozást hoz létre. A mérendő fizikai mennyiség nagysága és a mérőátalakító induktivitása között egyértelmű kapcsolat van. Így induktivitás méréssel vagy az induktivitásváltozás egyéb módon való detektálásával a mérendő fizikai mennyiség nagysága meghatározható.
+
−
A legegyszerűbb, nyitott mágneses körű átalakító lényegében egy vasmagos tekercs. Vázlata a 8. ábrán látható. Ha a vasmag nélküli tekercs $L_0$ induktivitásából indulunk ki, könnyen belátható, hogy a vasmagnak a tekercsbe való bevitele az önindukciós együttható növekedését eredményezi. Az önindukciós együttható maximuma ott lesz, ahol a mágneses ellenállás a legkisebb, azaz ahol a vasmag teljes egészében a tekercsben helyezkedik el. A magot tovább mozgatva (a másik oldalon kihúzva a tekercsből) induktivitás az előzőekkel szimmetrikusan csökken.
+
  
−
A nyitott mágneses körű mérőátalakító karakterisztikája a 9. ábrán látható. Önindukciós együtthatója a vasmag helyzetének függvénye, tehát az átalakító elmozdulás hatására induktivitás-változást hoz létre. A karakterisztika viszonylag hosszú lineáris szakasszal rendelkezik, ami nagy (néhány cm) elmozdulások mérésére teszi alkalmassá. A tekercs hossztengelye mentén a menetsűrűség megfelelő változtatásával a linearitási tartomány növelhető.
+
A [[#eq:6|(6)]] egyenletből kiindulva felírható, hogy:
−
A mérőátalakító induktivitása sokféleképp mérhető. Gyakran alkalmazzák az úgynevezett differenciál kialakítást. A differenciál kialakítású induktív adó két teljesen azonos induktív adó, úgy elhelyezve, hogy bemenőjel (vasmag elmozdulás) hatására az egyik átalakító induktivitása nő, a másiké csökken. A differenciál kialakítású induktív adó alkalmazása azzal az előnnyel jár, hogy a hídkapcsolás érzékenysége kétszerese lesz az egy adót tartalmazó híd érzékenységének, megnő a kapcsolás linearitási tartománya, míg a külső zavaró tényezők a híd két ágára egyszerre hatnak, így csökkentve fejtik ki hatásukat.-->
+
$$\omega^2=\left(\frac{2\pi}{T} \right )^2=\frac{D^*}{\theta}-\beta^2,$$
 +
ahonnan
 +
{{eq|\theta{{=}}\frac{D^*}{\left(\frac{2\pi}{T} \right )^2+\beta^2}.|eq:8|(8)}}
 +
Ha a mozgás csillapítatlannak tekinthető
 +
{{eq|\theta{{=}}\left(\frac{T}{2\pi} \right )^2\cdot D^*.|eq:9|(9)}}
 +
 
 +
=====Az asztal tehetetlenségi nyomatékának meghatározása ismert tehetetlenségi nyomatékú tárcsa felhasználásával=====
 +
 
 +
Ha a torziós asztal önmagában végez lengéseket [[#eq:6|(6)]] alapján
 +
{{eq|\omega^2{{=}}\left(\frac{2\pi}{T} \right )^2{{=}}\frac{D^*}{\theta}-\beta^2.|eq:10|(10)}}
 +
Ha a torziós asztal közepére ismert ($\theta_0$) tehetetlenségi nyomatékú korongot szerelünk (a korong tengelye egybeesik az asztal tengelyével) a rendszer tehetetlenségi nyomatéka: $\theta'=\theta+\theta_0$-ra módosul és a lengés körfrekvenciája:
 +
{{eq|\omega'^2{{=}}\left(\frac{2\pi}{T'} \right )^2{{=}}\frac{D^*}{\theta+\theta_0}-\beta^2.|eq:11|(11)}}
 +
Feltételeztük, hogy a csillapítás nem változott. [[#eq:10|(10)]] és [[#eq:11|(11)]] hányadosából az asztal tehetetlenségi nyomatéka kiszámítható:
 +
$$\left(\frac{4\pi^2}{T^2}+\beta^2\right )\left/\left(\frac{4\pi^2}{T'^2}+\beta^2\right )\right.=\frac{\theta+\theta_0}{\theta},$$
 +
ahonnan
 +
{{eq|\theta{{=}}\theta_0\frac{T^2\cdot T'^2}{T'^2-T^2}\cdot\left(\frac{1}{T'^2}+\frac{\beta^2}{4\pi^2}\right).|eq:12|(12)}}
 +
Ha a zárójelben lévő kifejezés második tagja nem éri el az első tag 0,01-ad részét, úgy az elhanyagolható és a lengés csillapítatlannak tekinthető. A $\theta$ értéke csillapítatlan lengés esetén
 +
{{eq|\theta{{=}}\theta_0\frac{T^2}{T'^2-T^2}.|eq:13|(13)}}
 +
 
 +
===Mintadarab súlypontján átmenő tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékának meghatározása===
 +
 
 +
{{fig|Tehetetlenségi_nyomaték_3.jpg|fig:3|3. ábra}}
 +
Ha a torziós asztal mozgása csillapítatlan rezgésnek tekinthető, a mozgás periódusidejét a [[#eq:3|(3)]] összefüggés adja meg.
 +
Helyezzünk a torziós asztalra a [[#fig:3|3. ábra]] szerint egy mintát, mely az asztal egy pontja körül (P) körbe forgatható. Az ábrán látható jelölésekkel a Steiner-tétel és a koszinusz tétel alkalmazásával a minta tehetetlenségi nyomatéka az O ponton átmenő tengelyre vonatkozóan.  
 +
$$\theta_x+mr^2=\theta_x+m(r_0^2+r_1^2+2r_0r_1\cos\gamma),$$
 +
ahol $\theta_x$ a minta súlypontján (S) átmenő, a rendszer forgástengelyével párhuzamos tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka, $m$ a tömege és $r_1$ a minta súlypontjának távolsága a P ponttól. Ha a torziós asztal tehetetlenségi nyomatéka $\theta$, a rendszer periódusideje (8)-ból:
 +
{{eq|T'^2{{=}}\frac{4\pi^2}{D^*}\left[\theta+\theta_x+m(r_0^2+r_1^2)\right]+\frac{4\pi^2}{D^*}2mr_0r_1\cos\gamma,|eq:14|(14)}}
 +
vagyis a periódusidő négyzete $T^2=A+B\cos\gamma$ függvény szerint változik.
 +
Ha a mintát körbeforgatva mérjük a rezgésidőket [[#eq:14|(14)]] alakú függvényt kapunk. A mérési pontokra görbét illesztve $A$ és $B$ értéke meghatározható, melyek ismeretében a [[#eq:14|(14)]]-ben szereplő két ismeretlen ($\theta_x$ és $r_1$) is kiértékelhető. Belátható, hogy a minta forgatása közben a legnagyobb lengésidőt akkor kapjuk, amikor a súlypont a legmesszebb van az O forgástengelytől és a lengésidő akkor a legkisebb mikor a minta súlypontja a legközelebb van O-hoz. Ebben a két esetben a lengésidőket a
 +
{{eq|{T'}^2_\mathrm{max}{{=}}\frac{4\pi^2}{D^*}\left[\theta+\theta_x+m(r_0+r_1)^2) \right ],|eq:15|(15)}}
 +
illetve
 +
{{eq|{T'}^2_\mathrm{min}{{=}}\frac{4\pi^2}{D^*}\left[\theta+\theta_x+m(r_0-r_1)^2) \right ],|eq:16|(16)}}
 +
összefüggések adják meg, melyekből $\theta_x$ és $r_1$ szintén meghatározhatóak. (A $T'^2_\mathrm{max}-T'^2_\mathrm{min}=\frac{4\pi^2}{D^*}\cdot4mr_0r_1$ egyenletből megkaphatjuk $r_1$-et, majd ezen eredmény felhasználásával [[#eq:15|(15)]]-ből vagy [[#eq:16|(16)]]-ból számítható $\theta_x$).
 +
A fenti eljárást a minta egy másik pontja körüli forgatásra megismételve, meghatározható a súlypont távolsága ettől a ponttól is. A súlypont két ismert ponttól való
 +
távolsága egyértelműen megadja a súlypont helyét.
 +
 
 +
===A Steiner-tétel igazolása===
 +
 
 +
Ha az ismert $\theta_0$ tehetetlenségi nyomatékú tárcsát úgy helyezünk el torziós asztalon, hogy súlypontja az asztal forgástengelyétől ismert $r$ távolságra legyen, a rendszer tehetetlenségi nyomatéka a Steiner-tétel szerint
 +
$$\theta'=\theta+mr^2.$$
 +
Csillapítatlan rezgéseket feltételezve [[#eq:3|(3)]] szerint a mozgás periódusidejének négyzete
 +
$$T^2=\frac{4\pi^2}{D^*}(\theta_0+\theta)+\frac{4\pi^2}{D^*}m\cdot r^2,$$
 +
azaz a $T^2=f(r^2)$ függvény egyenest ad.
 +
Ha mérjük a rendszer lengésidejét ($T$) a tárcsa súlypontjának az asztal forgástengelyétől való távolságának ($r$) függvényében, és ábrázoljuk a periódusidő négyzetét az $r^2$ függvényében, a mérési pontokra egyenes illeszthető.
 +
Megjegyezzük, hogy a most kapott egyenes meredekségének és tengelymetszetének meghatározása az adott tehetetlenségi nyomatékú tárcsa tömegének ismeretében újabb lehetőséget ad a rendszer $D^*$ direkciós nyomatékának és $\theta$ tehetetlenségi nyomatékának meghatározására.
  
 
==Mérési feladatok==
 
==Mérési feladatok==
156. sor: 272. sor:
  
 
*''A mérés elvégzéséhez és a mérési napló elkészítéséhez a dőlt betűs részekben adunk segítséget.''
 
*''A mérés elvégzéséhez és a mérési napló elkészítéséhez a dőlt betűs részekben adunk segítséget.''
 +
 +
'''FELADATOK ELSŐ ALKALOMMAL'''
  
 
'''1.''' Négypontosan terhelt rúd lehajlásának vizsgálata
 
'''1.''' Négypontosan terhelt rúd lehajlásának vizsgálata
211. sor: 329. sor:
  
 
A mért megnyúlás és a huzal elvékonyodása alapján ellenőrizze a térfogatállandóságot!-->
 
A mért megnyúlás és a huzal elvékonyodása alapján ellenőrizze a térfogatállandóságot!-->
−
'''2.''' Inga lengésidejének mérése  
+
'''2.''' Inga lengésidejének mérése
 +
 
 +
'''a)''' Mérje meg különböző hosszúságú fonálingák lengésidejét kis kitérés esetén!
 +
*''10 cm-től 1,5 m-ig legalább 6 hosszúságnál mérjen! Adja meg a fonálhossz mérés hibáját is (indoklással együtt) a mérési naplóban.''
 +
*''A kitérést úgy válassza meg, hogy az valóban kis kitérésnek legyen tekinthető, ugyanakkor jól megfigyelhető, mérhető legyen! Használjon egy kis tömeget.''
 +
*''Több lengés idejét mérje, és figyeljen a minél pontosabb stopperóra indításra és megállításra! Becsülje meg a közvetlenül mért időadat hibáját, és ezt (az indoklással együtt) írja le a mérési naplóba is!''
 +
*''Ismételjék meg többször is a mérést, és ne mindig ugyanaz mérjen. Hasonlítsák össze az eredményeket: ebből is következtethetnek a közvetlen hibára.''
 +
 
 +
'''b)''' Ábrázolja a mért adatokat! Készítsen olyan grafikont, ahol az összetartozó értékekre lineáris függvény illeszthető! Készítse el az illesztést, és határozza meg a nehézségi gyorsulás értékét!''
 +
*''Ne feledkezzen el a részletes hibaszámításról!''
 +
 
 +
'''c)''' Az ''a)'' feladat utolsó (leghosszabb) fonálhosszánál mérje meg a lengésidőt kis kitérés, de kétszeres és háromszoros tömeg esetében is! Vizsgálja meg, hogy a lengésidő ''hibahatáron belül'' valóban független-e az inga tömegétől.
 +
*''Ügyeljen arra, hogy a tömegek egymás mellett legyenek, ne egymás alatt, hiszen akkor az inga hossza is változna.''
 +
 
 +
'''d)''' ''Fakultatív feladat! (Ennek a feladatnak a megoldása nem kötelező, csak akkor foglalkozzon vele, ha marad elég idő rá.)''
 +
 
 +
Az ''a)'' feladat utolsó (leghosszabb) fonálhosszánál végezze el a mérést nagyobb kitérések esetén is, és ábrázolja a lengésidőt a kitérés függvényében. Vizsgálja meg, hogy milyen kitérésig tekinthető a lengés ''hibahatáron belül'' kiskitérésűnek.
 +
*''Nagy kitérés esetén az inga gyorsabban csillapodik, így lehet, hogy csak kevesebb lengés idejét tudja mérni, ami növeli a mérési hibát.''
 +
*''Nagy kitérések esetén fokozottan figyeljen a balesetek elkerülésére!
 +
 
 +
'''FIGYELEM!''' A második alkalomra az eddigi feladatok előzetes kiértékelését el kell végezni és meg kell mutatni a mérésvezetőnek.
 +
 
 +
'''FELADATOK MÁSODIK ALKALOMMAL'''
 +
 
 +
''' Ha az első mérési alkalommal elvégzett feladatok kiértékelése során probléma adódott a mért adatok helytelensége miatt, akkor elsőként ezeket a mérési feladatokat végezze el újra.'''
 +
 
 +
[[A méréshez rendelkezésre álló eszközök: Tehetetlenségi nyomaték vizsgálata|A méréshez rendelkezésre álló eszközök]]
 +
 
 +
* ''A mérések megkezdése előtt a torziós asztal talpán található csavarok és a mérőhelyen található libella segítségével az asztal síkját állítsa vízszintesre!''
 +
 
 +
'''3.''' Határozza meg a spirálrugó D* direkciós nyomatékát!
 +
 
 +
A feladatot a [[#eq:2|(2)]] összefüggés felhasználásával oldja meg! Az elfordulást létrehozó forgatónyomatékot csigán átvetett fonál végén lévő edénykébe helyezett csapágygolyók segítségével hozza létre!
 +
* ''A fonal befűzéséhez használjon tűbefűzőt!
 +
* Adatok:
 +
** golyók tömege: 4,07 g
 +
** mérlegedény tömege: 4,6 g
 +
** A tárcsa sugarát mérje meg!''
 +
A szögelfordulás az asztalon található fokbeosztás segítségével határozható meg. A mérés közben fellépő súrlódás hatásának csökkentése érdekében minden egyes nyomaték alkalmazásánál mérje meg a nyomatékhoz tartozó maximális és minimális szögkitérés értékét és a kettő számtani közepét vegye figyelembe.
 +
* ''A minimális és maximális szögkitérést a tárcsa kocogtatásával keresheti meg.''
 +
10-12 mérési pontot vegyen fel, ábrázolja a $\varphi=f(M)$ függvényt, mérési pontjaira illesszen egyenest, majd a kapott egyenes meredekségéből határozza meg a direkciós nyomatékot!
 +
 
 +
'''4.''' Határozza meg a rendszer csillapítási tényezőjét!
 +
 
 +
<!--'''a)''' -->Határozza meg a csillapítási tényező értékét<!-- először--> a [[#eq:7|(7)]] összefüggés segítségével! A lengésidőt – itt, és a továbbiakban is – legalább 5-5 lengés idejét mérve maximum 180°-os amplitúdóval indulva legalább ötször mérje meg! Az így kapott lengésidők átlagát használja a továbbiakban! A lengési amplitúdó csökkenésének vizsgálatánál 90°-os kitérésből induljon és 20 lengés után mérje meg a lecsökkent amplitúdót! A kapott eredmények ismeretében hasonlítsa össze a körfrekvencia és a csillapítási állandó értékét!
 +
* ''Csillapítatlan rezgésnek tekintheti-e a torziós asztal mozgását?''
 +
<!--
 +
'''b)''' Vizsgálja a rendszer csillapodását V-scope-pal!
 +
* ''Ezt a mérést a legvégén, a többi mérés után végezze! Csak egy mérőhely van, egyeztessen a másik mérőpárral!
 +
* Emlékeztetőül a V-scope-hoz:
 +
** Indítsa el a V-scope programot!
 +
** Nyissa meg a Sablonok mappában lévő torziosa.vsw fájlt!
 +
** Tegye a gombocskát az asztal közepére és állítsa be az origót! (Define/Origin, sárga gombocska kijelölése, AutoOrigin parancs, kis várakozás, a távolságok megjelenése után OK.)
 +
** A kész méréseket a Save as paranccsal a D:\hallgato mappában lévő saját mappába mentse!
 +
** A mérés végén az összes fájlt ( .vsw és .ves kiterjesztés) másolja át pendrive-ra!''
 +
A V-scope előkészítése után helyezzen az asztalra egy gombocskát, térítse ki az asztalt kb. 90°-kal, indítsa el a V-scope-ot és engedje el az asztalt! A mérési eredmények alapján ábrázolja az asztal szögelfordulását az idő függvényében és határozza meg a csillapítási tényezőt!
 +
* ''Vizsgálja meg a csillapodás jellegét! Valóban exponenciálisan csökken az amplitúdó? Mi lehet a különbség oka?
 +
* Figyelem! A V-scope-os mérés '''nem''' alkalmas a periódusidő – és így az asztal tehetetlenségi nyomatékának – pontos mérésére, mert a gombocska megváltoztatja a rendszer tehetetlenségi nyomatékát!''-->
 +
 
 +
'''5.''' Határozza meg a torziós asztal tehetetlenségi nyomatékát!
 +
 
 +
'''a)''' A $\theta=\frac{1}{2}mR^2$ összefüggés alapján. Számítsa ki a tárcsa tehetetlenségi nyomatékát! A tárcsa anyaga alumínium ($\rho$ = 2700 kgm<sup>&minus;3</sup>). Méreteit méréssel határozza meg!
 +
 
 +
'''b)''' A rúgó direkciós nyomatékának, a rendszer lengésidejének és csillapítási tényezőjének ismeretében. A korábbi mérési eredményei felhasználásával a [[#eq:8|(8)]] vagy [[#eq:9|(9)]] összefüggés alapján számítsa ki a torziós asztal tehetetlenségi nyomatékát!
 +
* ''Végezzen gyors számítást, és ellenőrizze, hogy a két módszerrel kiszámított eredmények nagyságrendileg egyeznek-e!''
 +
 
 +
'''c)''' Ismert tehetetlenségi nyomatékú minta felhasználásával. Az ismert tehetetlenségi nyomatékú minta egy középen kis furattal ellátott korong. A korong tömege ismert (rá van írva), sugarát mérje meg és számítsa ki $\theta_0$ tehetetlenségi nyomatékát! Az ismert tehetetlenségi nyomatékú mintát a közepén lévő furat és egy csavar segítségével rögzítse az asztal közepére! A torziós asztal lengésidejét és csillapítási tényezőjét korábbról ismeri. Most mérje meg a megnövelt tehetetlenségi nyomatékú rendszer lengésidejét ($T'$) és a [[#eq:12|(12)]] vagy [[#eq:13|(13)]] összefüggés alkalmazásával határozza meg a torziós asztal tehetetlenségi nyomatékát!
 +
* ''A számítás során két egymáshoz közeli mennyiséget fog egymásból kivonni, ami nagyon megnöveli a hibát. Ezért mérje a periódusidőt minél gondosabban és pontosabban!''
 +
 
 +
'''6.''' Határozza meg egy inhomogén tömegeloszlású lemezből készült minta tehetetlenségi nyomatékát a súlypontján átmenő és a lemez síkjára merőleges tengelyre vonatkozóan!
 +
 
 +
A mérőhelyen található mintát - amelynek tömegét ismeri (rá van írva) - rögzítse a torziós asztalra a mintán található furat és egy csavar segítségével! Az asztalon található rögzítési pontok közül ismeretei alapján válassza ki az optimálisnak tűnő rögzítési pontot!
 +
* ''Melyik rögzítési pontot választja? Indokolja választását!''
 +
Mérje meg a rendszer lengésidejét a mintának a rögzítési pont körüli elforgatása és 30°-onkénti rögzítése mellett. (Ilyen módon 12 különböző lengésidőt mérhet. Minden lehetséges rögzítési pont körül 30°-os szögbeosztás található.) Ábrázolja a mért lengési idők négyzetét az elforgatási szög függvényében! Illesszen a mért adatokra megfelelő függvényt, és az illesztett függvény adataiból határozza meg $T'_\mathrm{max}$ és $T'_\mathrm{min}$ vagy $A$ és $B$ értékét, majd határozza meg a minta $\theta_x$ tehetetlenségi nyomatékát és a minta súlypontjának $r_1$ távolságát a mintán található furattól! ($D^*$-ot, $\theta$-t és $m$-et ismeri.)
 +
 
 +
Ismételje meg a feladat első részét a mintán található másik furat felhasználásával! Ennek a mérésnek az elvégzése után megadhatja a súlypont helyét a mintán található furatoktól mérhető távolsága segítségével. Rajzolja le a mintát, jelölje be a furatokat és a tömegközéppont helyét!
 +
* ''Adatok:
 +
** Sárgaréz csap tömege: 2,2 g
 +
** Piros fejű csap tömege: 2,08 g''
 +
 
 +
'''7.''' Igazolja a Steiner-tételt!
 +
 
 +
''Fakultatív feladat! (Ennek a feladatnak a megoldása nem kötelező, csak akkor foglalkozzon vele, ha marad elég idő rá.)''
 +
 
 +
Az ismert tehetetlenségi nyomatékú kis korongot rögzítse a torziós asztal tengelyétől különböző távolságban lévő rögzítési pontokhoz, és mérje meg a rögzítési pontokhoz tartozó lengési időket! Mérési eredményei alapján ábrázolja a $T^2=f(r^2)$ függvényt! Mérési pontjaira illesszen egyenest! Az egyenes paramétereiből határozza meg a rendszer  $D^*$ direkciós nyomatékát és $\theta$ tehetetlenségi nyomatékát! Hasonlítsa össze eredményeit a korábban kapott értékekkel!
 +
 
 +
[[Fizika laboratórium 1.|Vissza a Fizika laboratórium 1. tárgyoldalára.]]
  
 
</wlatex>
 
</wlatex>

A lap jelenlegi, 2022. március 23., 10:27-kori változata


A mérés célja:

  • megismerkedni mechanikai jellemzők mérésének néhány egyszerű módszerével és az eszközök használatával,
  • elmélyíteni a tehetetlenségi nyomatékkal kapcsolatos ismereteket,
  • megismertetni a hallgatókat egy a tehetetlenségi nyomaték mérésére alkalmas módszerrel.

Ennek érdekében:

  • áttekintjük a rugalmas alakváltozással kapcsolatos összefüggéseket,
  • összefoglaljuk a tehetetlenségi nyomatékkal kapcsolatos ismereteket,
  • megmérjük néhány mintadarab rugalmas alakváltozását,
  • méréseket végzünk fonálingával,
  • megvizsgáljuk egy olyan rendszer viselkedését, amelynek segítségével tehetetlenségi nyomatékot tudunk mérni,
  • a mérések során meghatározzuk a méréséhez használandó rendszer paramétereit, majd a megismert rendszer segítségével tehetetlenségi nyomatékot mérünk, és kísérletileg igazoljuk a Steiner-tételt.

Tartalomjegyzék


Elméleti összefoglaló: rugalmas alakváltozások

Külső erő hatására a testekben alakváltozás lép fel. Ha az erő megszűnte után a test teljesen visszanyeri eredeti alakját, akkor az alakváltozást rugalmasnak nevezzük. (A gyakorlatban rugalmas alakváltozásról beszélünk, ha a maradandó alakváltozás kisebb, mint 2 ‰.) A külső erő által létrehozott rugalmas alakváltozás függ az erő nagyságától, az igénybevétel fajtájától (pl. húzás, hajlítás), az alakváltozásnak kitett test geometriai adataitól, anyagi összetételétől, illetve minőségétől. Az igénybevételek bizonyos fajtáinál, valamint meghatározott geometriájú testek esetében az alakváltozást létrehozó erő és a deformáció közötti összefüggés ismert. Ezek az ismert összefüggések tartalmazzák az anyagi összetételt, illetve minőséget figyelembevevő tényezőt, amelyet így meghatározott fajtájú igénybevétel esetén az erőnek, az erő által létrehozott deformációnak valamint a geometriai adatoknak az ismeretében az összefüggésből meg tudunk határozni. Nagyobb erő hatására a testben maradandó alakváltozás keletkezhet (képlékeny alakváltozás), illetve a test eltörhet, elszakadhat.

Húzás hatására történő rugalmas alakváltozás

Egy \setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszúságú és mindenütt \setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% keresztmetszetű egyenes rúd egyik végét rögzítjük. Másik végét a rúd tengelyének irányába eső \setbox0\hbox{$F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% erővel meghúzzuk. Az ilyen körülmények közötti terhelést nyújtásnak vagy húzásnak nevezzük. Különböző \setbox0\hbox{$F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% húzóerőkhöz tartozó \setbox0\hbox{$\Delta l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% megnyúlásokat azonos anyagból készült különböző hosszúságú és keresztmetszetű próbatesteken megmérve azt tapasztaljuk, hogy a rugalmassági határon belüli megnyúlás egyenesen arányos a húzóerővel, a próbatest hosszával és fordítottan arányos a keresztmetszettel,

\[\Delta l = \alpha\frac{l F}{A}\]

A kísérleteket különböző anyagból készült mintadarabok sorozatán megismételve azt találjuk, hogy az arányossági tényező az anyagra jellemző állandó. Az arányossági tényező helyett rendszerint annak reciprokát, az ún. rugalmassági- , nyújtási-, vagy Young-moduluszt (\setbox0\hbox{$E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) használják. A megnyúlás ezzel kifejezve

\[\Delta l =\frac{l F}{E A}\]

Ha megmérjük az \setbox0\hbox{$F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% erőt, az általa létrehozott \setbox0\hbox{$\Delta l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% megnyúlást, valamint a geometriai adatokat (\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-t és \setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-et) akkor az utóbbi kifejezés segítségével a próbatestek anyagára jellemző \setbox0\hbox{$E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% rugalmassági együttható meghatározható.

A fenti kifejezések nyomás esetében is érvényesek, ami azt jelenti, hogy a testek húzási illetve nyomási rugalmassági állandója (Young-modulusza) egyforma.

Húzás hatására történő képlékeny alakváltozás

Ha az egyik végén rögzített \setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszúságú és mindenütt \setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% keresztmetszetű egyenes rúd (vagy huzal) másik végét fokozatosan egyre nagyobb erővel húzzuk, akkor kezdetben a test rugalmas alakváltozást szenved. Ebben a tartományban a megnyúlás (\setbox0\hbox{$\Delta l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) közelítőleg egyenesen arányos az alkalmazott erővel. A rugalmassági határ elérése után a test képlékeny alakváltozást szenved. Legtöbb fémnél a rugalmas tartományt a képlékeny folyás követi. Ekkor a test kis erőnövekedés hatására is jelentősen (és maradandóan) megnyúlik. A (jó közelítéssel) állandó térfogat miatt a test (huzal) jól megfigyelhetően elvékonyodik. Néhány fémnél (például az acélnál) megfigyelhető, hogy a test elszakadása előtt "felkeményedik", azaz jelentősen növekvő erő hatására is csak csekély mértékben nyúlik tovább. Végül az erő további növelésekor a test elszakad. Az ehhez szükséges húzófeszültség (egységnyi felületre eső húzóerő) az anyagra jellemző szakítószilárdság.

Egyik végén befogott, másik végén terhelt rúd lehajlása

1. ábra
2. ábra
3.ábra

Az egyik végén befogott és a szabad végén a rúdra merőlegesen \setbox0\hbox{$F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% erővel terhelt, tetszőleges alakú állandó keresztmetszetű rúd végének \setbox0\hbox{$h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% lehajlása:

\[h = \frac{1}{3E} \cdot \frac{Fl^3}{I}\]

Itt \setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% az egyenes rúd hossza, \setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a keresztmetszetnek a lehajlás síkjára merőleges tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatéka. Például az \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatékot az alábbi, a rúd teljes keresztmetszetére elvégzett integrál definiálja (1. ábra):

\[I = \int y^2 {\rm d} A\]

\setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a keresztmetszet \setbox0\hbox{${\rm d}A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% felületelemének a keresztmetszet súlypontján átmenő \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% irányú tengelytől mért távolsága. A különböző alakú keresztmetszetekhez tartozó másodrendű nyomaték a fenti integrál segítségével kiszámítható. (A gyakran elforduló keresztmetszet típusok másodrendű nyomatékait a keresztmetszet alakjának paramétereivel kifejező formulákat a rugalmassági adatokat közlő táblázatok általában tartalmazzák.)

Az alábbiakban két esetben (2. ábra) megadjuk az \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatékot szolgáltató formulákat. \setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szélességű és \setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% magasságú téglalap keresztmetszet (2/a ábra) esetén

\[I = \frac{ab^3}{12}\]

\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú kör keresztmetszet esetén (2/b ábra) pedig

\[I = \frac{\pi}{4}R^4\]

Ez alapján a téglalap keresztmetszetű, egyik végén befogott és a másikon F erővel terhelt rúd lehajlása (3. ábra.):

\[h = \frac{4}{E} \cdot \frac{Fl^3}{ab^3}\]
4.ábra

Két ponton alátámasztott, középen terhelt rúd lehajlása

A két ponton alátámasztott, az alátámasztási pontok között középen \setbox0\hbox{$F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% erővel terhelt rúd lehajlását az alábbi összefüggés adja:

\[h = \frac{1}{48E} \cdot \frac{Fl^3}{I}\]

Állandó nyomatékkal terhelt rúd lehajlása

5.ábra

Az állandó nyomatékkal terhelt rúd esetét az 5/a ábra szemlélteti. Az ábrán a vizsgált, deformációt szenvedő rúd az alsó. A felső az ún. négypontos hajlítás (két alátámasztási + két támadási pont) megvalósításához használt segédeszköz. A vizsgált tartót terhelő erőket az 5/b ábrán tüntettük fel. Ha a tartó bal oldalától elindulva jobb felé felrajzoljuk a keresztmetszeteket terhelő nyomatékokat, az 5/c ábrát kapjuk. A tartó középső részét állandó \setbox0\hbox{$ M_{max} = kF/2 $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% nyomaték terheli.

Elméletileg levezethető, hogy az állandó nyomatékkal terhelt tartó kör alakban deformálódik és deformációja (5/d ábra):

\[h = \frac{Md^2}{8IE}\]

ahol \setbox0\hbox{$M = kF/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Téglalap keresztmetszetű rúdra behelyettesítve a téglalap másodrendű nyomatékát:

\[h = \frac{3Md^2}{2ab^3E}\]

Összefoglalva, valamely anyag rugalmassági állandója a megfelelően kialakított próbatestre ható erő által létrehozott deformáció (\setbox0\hbox{$h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%), továbbá a geometriai jellemzők mérése alapján meghatározható.

Elméleti összefoglaló: fonálinga lengésideje

Matematikai ingának nevezzük az egy súlytalan kötélből és egy tömegpontból álló rendszert. Ha egy fonálingát vizsgálunk, kellő hosszúságú fonál esetén a ráakasztott tömeg tömegpontként kezelhető, valamint a fonál tömege elhanyagolható, így ez jó közelítése a matematikai ingának. Ennek az ideális rendszernek a gerjesztés nélküli mozgásegyenlete polárkoordinátákban:

7.ábra
\[ml^2\frac{d^2\theta}{dt^2}+k\frac{d\theta}{dt}+mgl\sin\theta=0,\]

ahol:

  • \setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% – a fonál hossza,
  • \setbox0\hbox{$g$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% – nehézségi gyorsulás,
  • \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% – a test tömege,
  • \setbox0\hbox{$\theta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% – A fonál függőlegessel bezárt szöge
  • \setbox0\hbox{$k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% – közegellenállásból eredő csillapítási együttható

Ennek megoldását általában kis kitérésekre végezzük el (\setbox0\hbox{$sin \theta \approx \theta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%), valamint a csillapítástól eltekintünk, így a fonálinga harmonikus oszcillátorként közelíthető és differenciálegyenlete könnyen megoldható:

\[\frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{g}{l}\theta=0.\]

Lengésideje pedig a jól ismert összefüggés:

\[T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}},\]

ahol \setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a fonálinga hossza, \setbox0\hbox{$g$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pedig a nehézségi gyorsulás.

Nagyobb kitéréseknél a differenciálegyenlet nemlineáris, kitérés-idő függvény zárt alakban nem adható meg, a lengésidő kifejezése pedig szintén zárt alakban nem kifejezhető elliptikus integrált tartalmaz. Közelítő formulák találhatók például itt.

Elméleti összefoglaló: tehetetlenségi nyomaték

A tehetetlenségi nyomaték

A tömegpontokból álló rendszer z-tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékát az alábbi kifejezés adja meg:

\[\theta=\sum_{i=1}^n m_i\cdot l_i^2=\sum_{i=1}^n m_i\cdot (x_i^2+y_i^2),\]

ahol \setbox0\hbox{$l_i$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% az \setbox0\hbox{$i$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sorszámú, \setbox0\hbox{$m_i$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű pont \setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-tengelytől való távolsága, \setbox0\hbox{$x_i$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$y_i$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% ugyanennek a pontnak az \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, illetve \setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% koordinátája. Folytonos tömegeloszlású testek esetén a tehetetlenségi nyomaték:

 
\[\theta=\int_V \rho\cdot l^2 \,\mathrm{d}V=\int_V \rho\cdot (x^2+y^2)\,\mathrm{d}V,\]
(1)

ahol \setbox0\hbox{$\rho$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a test sűrűsége. A tehetetlenségi nyomaték értéke egyszerűbb esetekben számítással határozható meg, egyébként mérésekkel állapítható meg. Ha ismerjük egy test tehetetlenségi nyomatékát a súlypontján átmenő tengelyre vonatkozóan (\setbox0\hbox{$\theta_\mathrm{s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%), akkor egy ezzel a tengellyel párhuzamos tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka (\setbox0\hbox{$\theta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) a Steiner-tétel segítségével adható meg:

\[\theta=\theta_\mathrm{s}+m\cdot r^2.\]

Itt \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a test tömege, \setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a két tengely egymástól mért távolsága.

Forgási rezgések

A tehetetlenségi nyomatékkal kapcsolatos vizsgálatainkat egy forgási rezgéseket végző torziós asztal (2. ábra) segítségével hajtjuk végre, ezért az alábbiakban egy ilyen rendszer viselkedését vizsgáljuk. A rendszer egyensúlyi helyzetét egyik végén a tengelyhez, a másik végén a kerethez rögzített spirálrugó biztosítja. A rendszer egyensúlyi helyzetéhez képest, a tengely körül \setbox0\hbox{$\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% (rad) szöggel való elforgatásához szükséges forgatónyomaték, nem nagy szögek esetén:

 
\[M=-D^*\cdot\varphi,\]
(2)

ahol \setbox0\hbox{$D^*$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% (Nm/rad) a rugó direkciós nyomatéka.

Csillapítatlan forgási rezgések

Ha a torziós asztal tárcsájának a tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka \setbox0\hbox{$\theta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és emellett a rendszer többi elemének tehetetlenségi nyomatéka, valamint a súrlódási veszteségek figyelmen kívül hagyhatók, akkor a rendszer mozgásegyenlete:

\[\theta\cdot\frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}t^2}=-D^*\cdot\varphi.\]

Ezen mozgásegyenlet megoldása a

\[\varphi=\phi\cdot\sin(\omega\cdot t+\alpha)\]

egyenlettel leírható harmonikus forgási rezgés, ahol \setbox0\hbox{$\phi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értékét a kezdeti feltételek határozzák meg és a megoldás során adódik, hogy a körfrekvencia:

\[\omega=\sqrt{\frac{D^*}{\theta} }\]

amiből a rezgés periódusideje:

 
\[T=2\pi\sqrt{\frac{\theta}{D^*} }.\]
(3)

Csillapodó forgási rezgések

1. ábra

A fentiekben szereplő csillapítatlan forgási rezgés \setbox0\hbox{$\phi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% amplitúdója állandó. A gyakorlatban megvalósítható rezgéseknél a mindig jelen lévő súrlódás miatt az amplitúdó folyamatosan csökken. Az ilyen mozgásoknál a rugó által létrehozott nyomatékon kívül megjelenő súrlódási erő hatását a szögsebességgel arányosnak feltételezve, (az arányosságot a \setbox0\hbox{$k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% állandóval véve figyelembe) a rezgés mozgásegyenlete:

 
\[\theta\cdot\frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}t^2}=-D^*\cdot\varphi-k\cdot\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}.\]
(4)

A (4) egyenlet megoldása az \setbox0\hbox{$\omega_0^2=\frac{D^*}{\theta}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\beta=\frac{k}{2\theta}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% jelölésekkel

 
\[\varphi=\phi_0\cdot e^{-\beta\cdot t}\cdot\sin(\omega\cdot t+\alpha),\]
(5)

ahol \setbox0\hbox{$\beta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a csillapítási tényező, \setbox0\hbox{$\phi_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a kezdeti feltételektől függő állandók. A \setbox0\hbox{$\beta<\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% esetben:

 
\[\omega^2=\omega_0^2-\beta^2.\]
(6)

A (5) egyenlettel leírt mozgás \setbox0\hbox{$\varphi=f(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvénye a 1. ábrán látható. A rezgés amplitúdója exponenciálisan csökken: \setbox0\hbox{$\varphi=\varphi_0\cdot e^{-\beta\cdot t}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. A rendszer az egyensúlyi helyzeten a \setbox0\hbox{$t=0,\, T/2,\, T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% időpontokban halad át, a szélső \setbox0\hbox{$\phi_0,\, \phi_2,\,\dots$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% helyzeteket azonban nem a \setbox0\hbox{$T/4,\, 3T/4,\,\dots$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% időpontokban éri el, de a szélső helyzetek között eltelt idő \setbox0\hbox{$T/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.

A torziós asztal és jellemzőinek meghatározása

Ahhoz, hogy egy rezgőmozgást végző rendszert felhasználhassunk ismeretlen minta tehetetlenségi nyomatékának meghatározásához, vagy a Steiner-tétel igazolásához, ismernünk kell rendszerünket és annak fizikai jellemzőit. Az alábbiakban a további vizsgálatokhoz felhasználandó eszközt, a torziós asztalt mutatjuk be, és ismertetünk néhány módszert, amely alkalmas a rendszer jellemzőinek meghatározására.

A torziós asztal

A további vizsgálatokhoz használt eszköz, a forgási rezgéseket végző torziós asztal fényképe a 2. ábrán látható.

2. ábra: Mérési elrendezés

A torziós asztalban alkalmazott spirálrúgó direkciós nyomatékának (\setbox0\hbox{$D^*$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) meghatározása

A direkciós nyomaték meghatározásánál a (2) egyenletből indulhatunk ki. Megmérve a rugóra ható nyomatékot és a nyomaték által létrehozott szögelfordulást, a direkciós nyomaték:

\[D^*=\frac{M}{\varphi}.\]

A mérés pontosságának növelése érdekében célszerű meghatározni a \setbox0\hbox{$\varphi=f(M)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvényt. A mérési pontokra egyenest illesztve az meredekségéből megkapható a rugó jellemzője.

A csillapítási tényező (\setbox0\hbox{$\beta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) meghatározása

A csillapítási tényező meghatározása a (5) egyenlet felhasználásával lehetséges. A lengő torziós asztal kitérése egy tetszőleges \setbox0\hbox{$t_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% időpontban, illetve ez után \setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% egészszámú periódusidővel később a \setbox0\hbox{$t_1+n\cdot T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% időpontban:

\[\varphi_1=\phi_0\cdot e^{-\beta\cdot t_1}\cdot\sin(\omega\cdot t_1+\alpha),\]
\[\varphi_{n+1}=\phi_0\cdot e^{-\beta(t_1+n\cdot T)}\cdot\sin[\omega(t_1+n\cdot T)+\alpha].\]

Mivel a két kifejezésben a szinuszos tagok értéke megegyezik, a szögkitérések hányadosának természetes alapú logaritmusa:

\[\ln\frac{\varphi_1}{\varphi_{n+1}}=n\cdot T\cdot\beta,\]

ahonnan

 
\[\beta=\frac{1}{n\cdot T}\cdot\ln\frac{\varphi_1}{\varphi_{n+1} }.\]
(7)

A csillapítási tényező gyakorlati meghatározásánál célszerű a szélső helyzetek figyelembevétele, a 1. ábra jelöléseihez igazodva:

\[\frac{\varphi_1}{\varphi_{n+1} }{{=}}\frac{\phi_i}{\phi_{n+i} },\]

ahol \setbox0\hbox{$i$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pozitív egész szám. A csillapítási tényező ismeretében dönthető el, hogy a rendszer csillapítatlan vagy csillapított mozgást végzőnek tekinthető-e. Ha \setbox0\hbox{$\frac{2\pi}{T}\gg \beta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, akkor a (6) összefüggés alapján a torziós asztal mozgása csillapítatlan mozgásnak tekinthető. (A \setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% periódusidő mérhető.)

A torziós asztal tehetetlenségi nyomatékának meghatározása

Az asztal tehetetlenségi nyomatékának meghatározása tömegének és sugarának ismeretében

Az (1) egyenletből levezethetően \setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú és \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű homogén korong tehetetlenségi nyomatéka forgástengelyére vonatkozóan:

\[\theta=\frac{1}{2}mR^2.\]

Így az asztal tömegének és sugarának megmérése után tehetetlenségi nyomatéka számolható.

Az asztal tehetetlenségi nyomatékának meghatározása a rugó direkciós nyomatékának, a lengésidőnek és a csillapítási tényezőnek az ismeretében

A (6) egyenletből kiindulva felírható, hogy:

\[\omega^2=\left(\frac{2\pi}{T} \right )^2=\frac{D^*}{\theta}-\beta^2,\]

ahonnan

 
\[\theta=\frac{D^*}{\left(\frac{2\pi}{T} \right )^2+\beta^2}.\]
(8)

Ha a mozgás csillapítatlannak tekinthető

 
\[\theta=\left(\frac{T}{2\pi} \right )^2\cdot D^*.\]
(9)
Az asztal tehetetlenségi nyomatékának meghatározása ismert tehetetlenségi nyomatékú tárcsa felhasználásával

Ha a torziós asztal önmagában végez lengéseket (6) alapján

 
\[\omega^2=\left(\frac{2\pi}{T} \right )^2=\frac{D^*}{\theta}-\beta^2.\]
(10)

Ha a torziós asztal közepére ismert (\setbox0\hbox{$\theta_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) tehetetlenségi nyomatékú korongot szerelünk (a korong tengelye egybeesik az asztal tengelyével) a rendszer tehetetlenségi nyomatéka: \setbox0\hbox{$\theta'=\theta+\theta_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ra módosul és a lengés körfrekvenciája:

 
\[\omega'^2=\left(\frac{2\pi}{T'} \right )^2=\frac{D^*}{\theta+\theta_0}-\beta^2.\]
(11)

Feltételeztük, hogy a csillapítás nem változott. (10) és (11) hányadosából az asztal tehetetlenségi nyomatéka kiszámítható:

\[\left(\frac{4\pi^2}{T^2}+\beta^2\right )\left/\left(\frac{4\pi^2}{T'^2}+\beta^2\right )\right.=\frac{\theta+\theta_0}{\theta},\]

ahonnan

 
\[\theta=\theta_0\frac{T^2\cdot T'^2}{T'^2-T^2}\cdot\left(\frac{1}{T'^2}+\frac{\beta^2}{4\pi^2}\right).\]
(12)

Ha a zárójelben lévő kifejezés második tagja nem éri el az első tag 0,01-ad részét, úgy az elhanyagolható és a lengés csillapítatlannak tekinthető. A \setbox0\hbox{$\theta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értéke csillapítatlan lengés esetén

 
\[\theta=\theta_0\frac{T^2}{T'^2-T^2}.\]
(13)

Mintadarab súlypontján átmenő tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékának meghatározása

3. ábra

Ha a torziós asztal mozgása csillapítatlan rezgésnek tekinthető, a mozgás periódusidejét a (3) összefüggés adja meg. Helyezzünk a torziós asztalra a 3. ábra szerint egy mintát, mely az asztal egy pontja körül (P) körbe forgatható. Az ábrán látható jelölésekkel a Steiner-tétel és a koszinusz tétel alkalmazásával a minta tehetetlenségi nyomatéka az O ponton átmenő tengelyre vonatkozóan.

\[\theta_x+mr^2=\theta_x+m(r_0^2+r_1^2+2r_0r_1\cos\gamma),\]

ahol \setbox0\hbox{$\theta_x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a minta súlypontján (S) átmenő, a rendszer forgástengelyével párhuzamos tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka, \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a tömege és \setbox0\hbox{$r_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a minta súlypontjának távolsága a P ponttól. Ha a torziós asztal tehetetlenségi nyomatéka \setbox0\hbox{$\theta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, a rendszer periódusideje (8)-ból:

 
\[T'^2=\frac{4\pi^2}{D^*}\left[\theta+\theta_x+m(r_0^2+r_1^2)\right]+\frac{4\pi^2}{D^*}2mr_0r_1\cos\gamma,\]
(14)

vagyis a periódusidő négyzete \setbox0\hbox{$T^2=A+B\cos\gamma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvény szerint változik. Ha a mintát körbeforgatva mérjük a rezgésidőket (14) alakú függvényt kapunk. A mérési pontokra görbét illesztve \setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értéke meghatározható, melyek ismeretében a (14)-ben szereplő két ismeretlen (\setbox0\hbox{$\theta_x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$r_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) is kiértékelhető. Belátható, hogy a minta forgatása közben a legnagyobb lengésidőt akkor kapjuk, amikor a súlypont a legmesszebb van az O forgástengelytől és a lengésidő akkor a legkisebb mikor a minta súlypontja a legközelebb van O-hoz. Ebben a két esetben a lengésidőket a

 
\[{T'}^2_\mathrm{max}=\frac{4\pi^2}{D^*}\left[\theta+\theta_x+m(r_0+r_1)^2) \right ],\]
(15)

illetve

 
\[{T'}^2_\mathrm{min}=\frac{4\pi^2}{D^*}\left[\theta+\theta_x+m(r_0-r_1)^2) \right ],\]
(16)

összefüggések adják meg, melyekből \setbox0\hbox{$\theta_x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$r_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szintén meghatározhatóak. (A \setbox0\hbox{$T'^2_\mathrm{max}-T'^2_\mathrm{min}=\frac{4\pi^2}{D^*}\cdot4mr_0r_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% egyenletből megkaphatjuk \setbox0\hbox{$r_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-et, majd ezen eredmény felhasználásával (15)-ből vagy (16)-ból számítható \setbox0\hbox{$\theta_x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%). A fenti eljárást a minta egy másik pontja körüli forgatásra megismételve, meghatározható a súlypont távolsága ettől a ponttól is. A súlypont két ismert ponttól való távolsága egyértelműen megadja a súlypont helyét.

A Steiner-tétel igazolása

Ha az ismert \setbox0\hbox{$\theta_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tehetetlenségi nyomatékú tárcsát úgy helyezünk el torziós asztalon, hogy súlypontja az asztal forgástengelyétől ismert \setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolságra legyen, a rendszer tehetetlenségi nyomatéka a Steiner-tétel szerint

\[\theta'=\theta+mr^2.\]

Csillapítatlan rezgéseket feltételezve (3) szerint a mozgás periódusidejének négyzete

\[T^2=\frac{4\pi^2}{D^*}(\theta_0+\theta)+\frac{4\pi^2}{D^*}m\cdot r^2,\]

azaz a \setbox0\hbox{$T^2=f(r^2)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvény egyenest ad. Ha mérjük a rendszer lengésidejét (\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) a tárcsa súlypontjának az asztal forgástengelyétől való távolságának (\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) függvényében, és ábrázoljuk a periódusidő négyzetét az \setbox0\hbox{$r^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvényében, a mérési pontokra egyenes illeszthető. Megjegyezzük, hogy a most kapott egyenes meredekségének és tengelymetszetének meghatározása az adott tehetetlenségi nyomatékú tárcsa tömegének ismeretében újabb lehetőséget ad a rendszer \setbox0\hbox{$D^*$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% direkciós nyomatékának és \setbox0\hbox{$\theta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tehetetlenségi nyomatékának meghatározására.

Mérési feladatok

A méréshez rendelkezésre álló eszközök

  • A mérés elvégzéséhez és a mérési napló elkészítéséhez a dőlt betűs részekben adunk segítséget.

FELADATOK ELSŐ ALKALOMMAL

1. Négypontosan terhelt rúd lehajlásának vizsgálata

a) Négypontosan terhelt rúd lehajlásának mérésével ellenőrizze az állandó nyomatékkal terhelt, téglalap keresztmetszetű rúd lehajlására levezetett kifejezést! Határozza meg a \setbox0\hbox{$h(M)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$h(b)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$h(a)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% összefüggéseket!

  • Az egyik paramétert változtatva megmérjük a deformációt, miközben a többi paramétert rögzítjük.

A \setbox0\hbox{$h(M)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kapcsolat meghatározásánál egyetlen mintadarabot alkalmazunk, azaz rögzített geometria mellett változtatjuk a terhelő nyomtatékot, és mérjük a hozzá tartozó \setbox0\hbox{$h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értékét.

A \setbox0\hbox{$h(b)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% összefüggés ellenőrzésénél \setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% állandó értéke mellett különböző \setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% vastagságú, de azonos szélességű mintadarabok deformációját mérjük állandó terhelő nyomatékkal. Ekkor a \setbox0\hbox{$\lg h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% – \setbox0\hbox{$\lg b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvény ábrázolva egyenest kell kapnunk, melynek meredeksége \setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kitevője.

Hasonló módon vizsgálható a \setbox0\hbox{$h(a)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% összefüggés is.

  • A méréseket alumínium mintákkal kell elvégezni. Jegyezze fel a vizsgált rudak méreteit!

b) Határozza meg az a) feladatban használt minták rugalmassági együtthatóját!

  • A mérések alapján végezzen elsődleges becslést az alumínium Young-moduluszára vonatkozóan, majd hasonlítsa össze azt az elérhető irodalmi adatokkal!

2. Inga lengésidejének mérése

a) Mérje meg különböző hosszúságú fonálingák lengésidejét kis kitérés esetén!

  • 10 cm-től 1,5 m-ig legalább 6 hosszúságnál mérjen! Adja meg a fonálhossz mérés hibáját is (indoklással együtt) a mérési naplóban.
  • A kitérést úgy válassza meg, hogy az valóban kis kitérésnek legyen tekinthető, ugyanakkor jól megfigyelhető, mérhető legyen! Használjon egy kis tömeget.
  • Több lengés idejét mérje, és figyeljen a minél pontosabb stopperóra indításra és megállításra! Becsülje meg a közvetlenül mért időadat hibáját, és ezt (az indoklással együtt) írja le a mérési naplóba is!
  • Ismételjék meg többször is a mérést, és ne mindig ugyanaz mérjen. Hasonlítsák össze az eredményeket: ebből is következtethetnek a közvetlen hibára.

b) Ábrázolja a mért adatokat! Készítsen olyan grafikont, ahol az összetartozó értékekre lineáris függvény illeszthető! Készítse el az illesztést, és határozza meg a nehézségi gyorsulás értékét!

  • Ne feledkezzen el a részletes hibaszámításról!

c) Az a) feladat utolsó (leghosszabb) fonálhosszánál mérje meg a lengésidőt kis kitérés, de kétszeres és háromszoros tömeg esetében is! Vizsgálja meg, hogy a lengésidő hibahatáron belül valóban független-e az inga tömegétől.

  • Ügyeljen arra, hogy a tömegek egymás mellett legyenek, ne egymás alatt, hiszen akkor az inga hossza is változna.

d) Fakultatív feladat! (Ennek a feladatnak a megoldása nem kötelező, csak akkor foglalkozzon vele, ha marad elég idő rá.)

Az a) feladat utolsó (leghosszabb) fonálhosszánál végezze el a mérést nagyobb kitérések esetén is, és ábrázolja a lengésidőt a kitérés függvényében. Vizsgálja meg, hogy milyen kitérésig tekinthető a lengés hibahatáron belül kiskitérésűnek.

  • Nagy kitérés esetén az inga gyorsabban csillapodik, így lehet, hogy csak kevesebb lengés idejét tudja mérni, ami növeli a mérési hibát.
  • Nagy kitérések esetén fokozottan figyeljen a balesetek elkerülésére!

FIGYELEM! A második alkalomra az eddigi feladatok előzetes kiértékelését el kell végezni és meg kell mutatni a mérésvezetőnek.

FELADATOK MÁSODIK ALKALOMMAL

Ha az első mérési alkalommal elvégzett feladatok kiértékelése során probléma adódott a mért adatok helytelensége miatt, akkor elsőként ezeket a mérési feladatokat végezze el újra.

A méréshez rendelkezésre álló eszközök

  • A mérések megkezdése előtt a torziós asztal talpán található csavarok és a mérőhelyen található libella segítségével az asztal síkját állítsa vízszintesre!

3. Határozza meg a spirálrugó D* direkciós nyomatékát!

A feladatot a (2) összefüggés felhasználásával oldja meg! Az elfordulást létrehozó forgatónyomatékot csigán átvetett fonál végén lévő edénykébe helyezett csapágygolyók segítségével hozza létre!

  • A fonal befűzéséhez használjon tűbefűzőt!
  • Adatok:
    • golyók tömege: 4,07 g
    • mérlegedény tömege: 4,6 g
    • A tárcsa sugarát mérje meg!

A szögelfordulás az asztalon található fokbeosztás segítségével határozható meg. A mérés közben fellépő súrlódás hatásának csökkentése érdekében minden egyes nyomaték alkalmazásánál mérje meg a nyomatékhoz tartozó maximális és minimális szögkitérés értékét és a kettő számtani közepét vegye figyelembe.

  • A minimális és maximális szögkitérést a tárcsa kocogtatásával keresheti meg.

10-12 mérési pontot vegyen fel, ábrázolja a \setbox0\hbox{$\varphi=f(M)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvényt, mérési pontjaira illesszen egyenest, majd a kapott egyenes meredekségéből határozza meg a direkciós nyomatékot!

4. Határozza meg a rendszer csillapítási tényezőjét!

Határozza meg a csillapítási tényező értékét a (7) összefüggés segítségével! A lengésidőt – itt, és a továbbiakban is – legalább 5-5 lengés idejét mérve maximum 180°-os amplitúdóval indulva legalább ötször mérje meg! Az így kapott lengésidők átlagát használja a továbbiakban! A lengési amplitúdó csökkenésének vizsgálatánál 90°-os kitérésből induljon és 20 lengés után mérje meg a lecsökkent amplitúdót! A kapott eredmények ismeretében hasonlítsa össze a körfrekvencia és a csillapítási állandó értékét!

  • Csillapítatlan rezgésnek tekintheti-e a torziós asztal mozgását?

5. Határozza meg a torziós asztal tehetetlenségi nyomatékát!

a) A \setbox0\hbox{$\theta=\frac{1}{2}mR^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% összefüggés alapján. Számítsa ki a tárcsa tehetetlenségi nyomatékát! A tárcsa anyaga alumínium (\setbox0\hbox{$\rho$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% = 2700 kgm−3). Méreteit méréssel határozza meg!

b) A rúgó direkciós nyomatékának, a rendszer lengésidejének és csillapítási tényezőjének ismeretében. A korábbi mérési eredményei felhasználásával a (8) vagy (9) összefüggés alapján számítsa ki a torziós asztal tehetetlenségi nyomatékát!

  • Végezzen gyors számítást, és ellenőrizze, hogy a két módszerrel kiszámított eredmények nagyságrendileg egyeznek-e!

c) Ismert tehetetlenségi nyomatékú minta felhasználásával. Az ismert tehetetlenségi nyomatékú minta egy középen kis furattal ellátott korong. A korong tömege ismert (rá van írva), sugarát mérje meg és számítsa ki \setbox0\hbox{$\theta_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tehetetlenségi nyomatékát! Az ismert tehetetlenségi nyomatékú mintát a közepén lévő furat és egy csavar segítségével rögzítse az asztal közepére! A torziós asztal lengésidejét és csillapítási tényezőjét korábbról ismeri. Most mérje meg a megnövelt tehetetlenségi nyomatékú rendszer lengésidejét (\setbox0\hbox{$T'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) és a (12) vagy (13) összefüggés alkalmazásával határozza meg a torziós asztal tehetetlenségi nyomatékát!

  • A számítás során két egymáshoz közeli mennyiséget fog egymásból kivonni, ami nagyon megnöveli a hibát. Ezért mérje a periódusidőt minél gondosabban és pontosabban!

6. Határozza meg egy inhomogén tömegeloszlású lemezből készült minta tehetetlenségi nyomatékát a súlypontján átmenő és a lemez síkjára merőleges tengelyre vonatkozóan!

A mérőhelyen található mintát - amelynek tömegét ismeri (rá van írva) - rögzítse a torziós asztalra a mintán található furat és egy csavar segítségével! Az asztalon található rögzítési pontok közül ismeretei alapján válassza ki az optimálisnak tűnő rögzítési pontot!

  • Melyik rögzítési pontot választja? Indokolja választását!

Mérje meg a rendszer lengésidejét a mintának a rögzítési pont körüli elforgatása és 30°-onkénti rögzítése mellett. (Ilyen módon 12 különböző lengésidőt mérhet. Minden lehetséges rögzítési pont körül 30°-os szögbeosztás található.) Ábrázolja a mért lengési idők négyzetét az elforgatási szög függvényében! Illesszen a mért adatokra megfelelő függvényt, és az illesztett függvény adataiból határozza meg \setbox0\hbox{$T'_\mathrm{max}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$T'_\mathrm{min}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% vagy \setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értékét, majd határozza meg a minta \setbox0\hbox{$\theta_x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tehetetlenségi nyomatékát és a minta súlypontjának \setbox0\hbox{$r_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolságát a mintán található furattól! (\setbox0\hbox{$D^*$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ot, \setbox0\hbox{$\theta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-t és \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-et ismeri.)

Ismételje meg a feladat első részét a mintán található másik furat felhasználásával! Ennek a mérésnek az elvégzése után megadhatja a súlypont helyét a mintán található furatoktól mérhető távolsága segítségével. Rajzolja le a mintát, jelölje be a furatokat és a tömegközéppont helyét!

  • Adatok:
    • Sárgaréz csap tömege: 2,2 g
    • Piros fejű csap tömege: 2,08 g

7. Igazolja a Steiner-tételt!

Fakultatív feladat! (Ennek a feladatnak a megoldása nem kötelező, csak akkor foglalkozzon vele, ha marad elég idő rá.)

Az ismert tehetetlenségi nyomatékú kis korongot rögzítse a torziós asztal tengelyétől különböző távolságban lévő rögzítési pontokhoz, és mérje meg a rögzítési pontokhoz tartozó lengési időket! Mérési eredményei alapján ábrázolja a \setbox0\hbox{$T^2=f(r^2)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvényt! Mérési pontjaira illesszen egyenest! Az egyenes paramétereiből határozza meg a rendszer \setbox0\hbox{$D^*$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% direkciós nyomatékát és \setbox0\hbox{$\theta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tehetetlenségi nyomatékát! Hasonlítsa össze eredményeit a korábban kapott értékekkel!

Vissza a Fizika laboratórium 1. tárgyoldalára.


A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Mechanikai_alapmérések&oldid=28089”