„Termoelektromos jelenségek” változatai közötti eltérés
(→Termofeszültség számolása (Seebeck-effektus)) |
(→Kapcsolat a makroszkopikus skálán tapasztalható termoelektromos jelenségekkel) |
||
(egy szerkesztő 23 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
1. sor: | 1. sor: | ||
+ | __TOC__ | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
A [[Transzport nanovezetékekben: Landauer-formula, vezetőképesség-kvantálás|Landauer-formula]] tárgyalásakor láttuk, hogy egy elektródából egy egycsatornás nanovezetékbe folyó áram az elektróda Fermi-függvényének energia szerinti integrálja szerint származtatható: | A [[Transzport nanovezetékekben: Landauer-formula, vezetőképesség-kvantálás|Landauer-formula]] tárgyalásakor láttuk, hogy egy elektródából egy egycsatornás nanovezetékbe folyó áram az elektróda Fermi-függvényének energia szerinti integrálja szerint származtatható: | ||
8. sor: | 9. sor: | ||
| align="center"|[[Fájl:Termoelectric1.png|közép|200px]] | | align="center"|[[Fájl:Termoelectric1.png|közép|200px]] | ||
|- | |- | ||
− | | align="center"|1. ábra. ''Különböző kémiai potenciálú és hőmérsékletű elektródák közötti $\mathcal{T}$ átmeneti valószínűségű szórócentrummal rendelkező egycsatornás nanovezeték elektromos és hőtranszport tulajdonságaira vagyunk kíváncsiak'' | + | | align="center"|1. ábra. ''Különböző kémiai potenciálú és hőmérsékletű elektródák közötti $\mathcal{T}$ átmeneti valószínűségű szórócentrummal rendelkező egycsatornás nanovezeték elektromos és hőtranszport tulajdonságaira vagyunk kíváncsiak.'' |
|} | |} | ||
− | Az elektromos | + | Az elektromos áram továbbra is a fenti képlettel számítható figyelembe véve, hogy az elektródák Fermi-függvényeiben nem csak a kémiai potenciál, hanem a hőmérséklet is eltérő: |
− | $$I=\frac{2 e}{h} \cdot \int \mathcal{T(\varepsilon)}\cdot \left[f_1(\varepsilon,\mu_1,T_1)-f_2(\varepsilon,\mu_2,T_2)\right]\mathrm{d}\varepsilon$$ | + | $$I=\frac{2 e}{h} \cdot \int \mathcal{T(\varepsilon)}\cdot \left[f_1(\varepsilon,\mu_1,T_1)-f_2(\varepsilon,\mu_2,T_2)\right]\mathrm{d}\varepsilon.$$ |
A termodinamikából ismert $dQ=dE-\mu dN$ összefüggés alapján hasonlóan származtatható az elektródából a nanovezetékbe folyó $I_Q$ hőáram is: | A termodinamikából ismert $dQ=dE-\mu dN$ összefüggés alapján hasonlóan származtatható az elektródából a nanovezetékbe folyó $I_Q$ hőáram is: | ||
$$\frac{2}{L} \sum (\varepsilon_k-\mu) \cdot v_k \cdot f(\varepsilon_k) = \frac{2}{h}\int (\varepsilon-\mu) \cdot f(\varepsilon)\,\mathrm{d} \varepsilon \rightarrow I_Q,$$ | $$\frac{2}{L} \sum (\varepsilon_k-\mu) \cdot v_k \cdot f(\varepsilon_k) = \frac{2}{h}\int (\varepsilon-\mu) \cdot f(\varepsilon)\,\mathrm{d} \varepsilon \rightarrow I_Q,$$ | ||
25. sor: | 26. sor: | ||
$$\int_{-\infty}^\infty H(\varepsilon)\cdot f(\varepsilon,\mu,T)\,\mathrm{d}\varepsilon = \int_{-\infty}^\mu H(\varepsilon)\,\mathrm{d}\varepsilon + \frac{\pi^2}{6}(kT)^2 H^\prime(\mu) + \mathrm{O} \left(\frac{kT}{\mu}\right)^4.$$ | $$\int_{-\infty}^\infty H(\varepsilon)\cdot f(\varepsilon,\mu,T)\,\mathrm{d}\varepsilon = \int_{-\infty}^\mu H(\varepsilon)\,\mathrm{d}\varepsilon + \frac{\pi^2}{6}(kT)^2 H^\prime(\mu) + \mathrm{O} \left(\frac{kT}{\mu}\right)^4.$$ | ||
Ezen Sommerfeld-sorfejtés alapját az képezi, hogy az $f(\varepsilon,\mu,T)$ függvényt $f(\varepsilon,\mu,T=0)+\Delta f$ alakban közelítjük, ahol a $\Delta f=f(\varepsilon,\mu,T)-f(\varepsilon,\mu,T=0)$ függvényt a 2. ábra szemlélteti. A Sommerfeld-sorfejtés első tagja a zérus hőmérsékletű Fermi-függvénnyel, azaz $\varepsilon=\mu$-nél zérussá váló lépcsőfügvénnyel vett integrál. A második tag $(\int H(\varepsilon)\Delta f)$ energiafüggetlen $H$ esetén értelemszerűen zérust ad (lásd 2. ábra), így ezen integrál első rendben $H'(\mu)$-vel arányos. A 2. ábra alpján a $(kT)^2$ függés is indokolható. | Ezen Sommerfeld-sorfejtés alapját az képezi, hogy az $f(\varepsilon,\mu,T)$ függvényt $f(\varepsilon,\mu,T=0)+\Delta f$ alakban közelítjük, ahol a $\Delta f=f(\varepsilon,\mu,T)-f(\varepsilon,\mu,T=0)$ függvényt a 2. ábra szemlélteti. A Sommerfeld-sorfejtés első tagja a zérus hőmérsékletű Fermi-függvénnyel, azaz $\varepsilon=\mu$-nél zérussá váló lépcsőfügvénnyel vett integrál. A második tag $(\int H(\varepsilon)\Delta f)$ energiafüggetlen $H$ esetén értelemszerűen zérust ad (lásd 2. ábra), így ezen integrál első rendben $H'(\mu)$-vel arányos. A 2. ábra alpján a $(kT)^2$ függés is indokolható. | ||
+ | {| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | ||
+ | |- | ||
+ | | align="center"|[[Fájl:Termoelektromos2.png|közép|200px]] | ||
+ | |- | ||
+ | | align="center"|2. ábra. ''A Sommerfeld-sorfejtés szemléltetése. A $\Delta f$ függvényen látható negatív és pozitív csúcs alatti (egyenlő) terület $kT$ nagyságrendbe esik, így $\int H(\varepsilon)\Delta f\mathrm{d}\varepsilon \sim kT\cdot H(\mu+kT/2) - kT\cdot H(\mu-kT/2)\approx (kT)^2\cdot H'(\mu)$.'' | ||
+ | |} | ||
A Sommerfeld-sorfejtés alapján: | A Sommerfeld-sorfejtés alapján: | ||
30. sor: | 37. sor: | ||
Ha $\mathcal{T}$ energiafüggését csak lineáris rendben tekintjük, $\mathcal{T}^\prime(\mu_2)=\mathcal{T}^\prime(\mu_1)$, így | Ha $\mathcal{T}$ energiafüggését csak lineáris rendben tekintjük, $\mathcal{T}^\prime(\mu_2)=\mathcal{T}^\prime(\mu_1)$, így | ||
$$I\approx \frac{2 e}{h} \cdot eV \cdot\bar{\mathcal{T}}(\varepsilon)+\frac{2 e}{h}\frac{\pi^2 k^2}{3}\cdot\Delta T\cdot T \cdot\mathcal{T}^\prime(\mu),$$ | $$I\approx \frac{2 e}{h} \cdot eV \cdot\bar{\mathcal{T}}(\varepsilon)+\frac{2 e}{h}\frac{\pi^2 k^2}{3}\cdot\Delta T\cdot T \cdot\mathcal{T}^\prime(\mu),$$ | ||
− | ahol $\Delta T=T_1-T_2$, $\ \ T=(T_1+T_2)/2$, $\ \ \mu=(\mu_1+\mu_2)/2$,$\ \ \bar{\mathcal{T}}$ pedig a transzmissziós valószínűség átlaga $\mu_1$ és $\mu_2$ között. | + | ahol $\Delta T=T_1-T_2$, $\ \ T=(T_1+T_2)/2$, $\ \ \mu=(\mu_1+\mu_2)/2$,$\ \ \bar{\mathcal{T}}$ pedig a transzmissziós valószínűség átlaga $\mu_1$ és $\mu_2$ között. Tegyük fel, hogy csak egy végtelen belső ellenállású feszültségmérőt kapcsolunk a két elektróda közé. Ekkor a nanovezetéken értelemszerűen zérus áram folyik. Ha a két elektróda hőmérséklete megegyezik, akkor a Landauer-formulává egyszerűsödő fenti képlet szerint zérus áramnál zérus feszültséget mérünk. Ha viszont a két elektróda hőmérséklete eltér, akkor zérus áram mellett |
+ | $$V \big|_{I=0}=\underbrace{-\frac{\pi^2 k^2 T}{3e}\cdot \frac{1}{\mathcal{T}}\frac{\partial \mathcal{T}(\varepsilon )}{\partial \varepsilon} \bigg|_{\mu}}_{S} \cdot \Delta T$$ | ||
+ | termofeszültség jelentkezik, ahol $S$ a nanovezeték Seebeck-együtthatója. Látszik, hogy nagy termofeszültséget erősen energifaüggő transzmisszió esetén kapunk. Ezt szemléletesen is megérthetjük a 3. ábra segítségével. Először tételezzük fel, hogy a két elektróda kémiai potenciálja még megegyezik. Ekkor a közös kémiai potenciál fölött a melegebb oldalon több betöltött elektronállapot található, így onnan elektronok indulnak el a hidegebb oldal felé. A közös kémiai potenciál alatt viszont a hidegebb oldalon található több betöltött, míg a melegebb oldalon több betöltetlen állapot, így itt a melegebb elektróda felé indulnak meg elektronok. Ha a transzmisszió energiafüggetlen, akkor a kémiai potenciál fölötti és alatti energiáknál elinduló ellentétes előjelű áramkomponensek kiegyenlítik egymást, így összességében nem történik töltésátrendeződés. Ha viszont a transzmisszió erősen energiafüggő, akkor ezen két áramkomponens eltér, és így töltések rendeződnek át az egyik elektródáról a másikra. Ennek köszönhetően felépül egy véges (termo)feszültség a két elektróda között, melynél a nanovezetéken folyó áram zérussá válik. | ||
+ | {| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | ||
+ | |- | ||
+ | | align="center"|[[Fájl:Termoelektromos3.png|közép|100px]] | ||
+ | |- | ||
+ | | align="center"|3. ábra. ''Seebeck-effektus fizikai alapjának szemléltetése.'' | ||
+ | |} | ||
− | |||
</wlatex> | </wlatex> | ||
==Hővezetőképesség, Wiedemann-Franz törvény== | ==Hővezetőképesség, Wiedemann-Franz törvény== | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
− | + | Következő lépésként számoljuk ki a két elektróda között folyó hőáramot zérus feszültségkülönbség ($\mu_1=\mu_2=\mu$) és véges hőmérsékletkülönbség $T_1\neq T_2$ esetén. A hőáramra korábban felírt képletre egyszerűen alkalmazható a Sommerfeld-sorfejtés, hiszen a nulladrendű tag a megegyező kémiai potenciálok miatt kiesik: | |
− | + | $$I_Q=\frac{2}{h} \cdot \int \mathcal{T(\varepsilon)}\cdot (\varepsilon-\mu)\cdot \left[f_1(\varepsilon,\mu,T_1)-f_2(\varepsilon,\mu,T_2)\right]\mathrm{d}\varepsilon\approx\frac{2}{h}\frac{\pi^2}{6}(kT_1)^2\cdot\left[\mathcal{T(\varepsilon)}\cdot (\varepsilon-\mu)\right]'_\mu -\frac{2}{h}\frac{\pi^2}{6}(kT_2)^2\cdot \left[\mathcal{T(\varepsilon)}\cdot (\varepsilon-\mu)\right]'_\mu =\frac{2}{h}\frac{\pi^2 k^2}{3}\cdot\Delta T\cdot T \cdot \mathcal{T}(\mu).$$ | |
− | + | A hővezetőképességet $$G_Q=I_Q/ \Delta T$$ | |
− | + | képlettel definiálva | |
− | + | $$G_Q=\frac{2}{h}\frac{\pi^2 k^2}{3}\cdot T \cdot \mathcal{T}(\mu)$$ | |
− | + | adódik. Ezt összehasonlítva a Landauer-formulából adódó $G=(2e^2/h)\cdot\mathcal{T}$ elektromos vezetőképsséggel | |
− | + | $$\frac{G_Q}{G}=\mathcal{L}\cdot T;\ \ \ \mathcal{L}=\frac{\pi^2k^2}{3e^2}=2.44\times 10^{-8}\,\mathrm{W\,\Omega\,K^{-2}}$$, | |
− | $$I_Q=\frac{2}{h} \cdot \int \mathcal{T(\varepsilon)}\cdot (\varepsilon-\ | + | ahol $\mathcal{L}$ a csupán természeti állandókat tartalmazó, ún. Lorentz-szám. Azaz látjuk, hogy az elektromos vezetőképesség arányos az elektronok által közvetített hővezetőképességgel, ezt nevezzük Wiedemann-Franz törvénynek. Fontos azonban megjegyezni, hogy hővezetést a fononok is megvalósíthatnak, amit a fentiekben nem vettünk figyelembe. |
− | + | </wlatex> | |
− | + | ||
− | + | ||
− | $$ | + | |
− | + | ||
− | $$\frac{G_Q}{G}=\mathcal{L}\cdot T;\ \ \ \mathcal{L}=\frac{\pi^2k^2}{3e^2}=2.44\times 10^{-8}\,\mathrm{W\,\Omega\,K^{-2}}$$ | + | |
− | + | ||
− | $ | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
+ | ==Peltier-effektus== | ||
+ | <wlatex> | ||
+ | Végezetül vizsgáljuk meg az inverz Seebeck-effektust, azaz a Peltier effektust, melynél a nanovezetéken keresztül folyatott elektromos áram hatására hőáram indul el zérus hőmérsékletkülönbségnél ($T_1=T_2=T$). Az utóbbi azért fontos, mert véges hőmérsékletkülönbségnél a Peltier-effektusból adódó hőáram mellett a hővezetésből adódó hőáram is megjelenik. A hőáramot ismét a fentiekben megismert formula Sommerfeld-sorfejtésével számoljuk: | ||
+ | $$I_Q=\frac{2}{h} \cdot \int \mathcal{T(\varepsilon)}\cdot (\varepsilon-\mu_1)\cdot \left[f_1(\varepsilon,\mu_1,T)-f_2(\varepsilon,\mu_2,T)\right]\mathrm{d}\varepsilon\approx\frac{2}{h} \cdot \underbrace{\int_{\mu_2}^{\mu_1} \mathcal{T}(\varepsilon)(\varepsilon-\mu_1)\,\mathrm{d}\varepsilon}_{\sim (eV)^2} +\frac{2}{h}\frac{\pi^2}{6}(kT)^2\left[\overbrace{\underbrace{\left(\mathcal{T}(\varepsilon)(\varepsilon-\mu_1)\right)^\prime |_{\mu_1}}_{\mathcal{T}(\mu_1)}- \underbrace{\left(\mathcal{T}(\varepsilon)(\varepsilon-\mu_1)\right)^\prime|_{\mu_2}}_{\mathcal{T}^\prime (\mu_2)(\mu_2-\mu_1)+\mathcal{T}(\mu_2)}}^{2\mathcal{T}^\prime (\mu)\cdot eV}\right].$$ | ||
+ | A Sommerfeld-sorfejtés első tagja a feszültségben másodrendű járulékot ad, így ezt elhanyaguljuk. A fennmaradó tagok további átrendezésével | ||
$$I_Q\approx \frac{2e}{h}\frac{\pi^2 k^2 T^2}{3}\cdot \frac{\partial \mathcal{T}(\varepsilon)}{\partial \varepsilon}\bigg|_\mu \cdot V$$ | $$I_Q\approx \frac{2e}{h}\frac{\pi^2 k^2 T^2}{3}\cdot \frac{\partial \mathcal{T}(\varepsilon)}{\partial \varepsilon}\bigg|_\mu \cdot V$$ | ||
− | + | adódik. A Peltier-együtthatót a hőáram és az $I= -(2e^2/h)\cdot\mathcal{T}\cdot V$ elektromos áram hányadosaként definiáljuk: | |
− | + | $$\frac{I_Q}{I}\bigg|_{T_1=T_2}\approx -\frac{\pi^2 k^2 T^2}{3e}\cdot \frac{1}{\mathcal{T}}\frac{\partial \mathcal{T}(\varepsilon)}{\partial \varepsilon}\bigg|_\mu =\Pi=T\cdot S.$$ | |
− | + | Ezt az eredményt a Seebeck-együtthatóval összehasonlítva $\Pi=T\cdot S$ adódik, amit Kelvin-féle összefüggésnek nevezünk. | |
− | $$\frac{I_Q}{I}\bigg|_{T_1=T_2}\approx -\frac{\pi^2 k^2 T^2}{3e}\cdot \frac{1}{\mathcal{T}}\frac{\partial \mathcal{T}(\varepsilon)}{\partial \varepsilon}\bigg|_\mu =\Pi=T\cdot S$$ | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
</wlatex> | </wlatex> |
A lap jelenlegi, 2018. május 18., 13:58-kori változata
Tartalomjegyzék |
A Landauer-formula tárgyalásakor láttuk, hogy egy elektródából egy egycsatornás nanovezetékbe folyó áram az elektróda Fermi-függvényének energia szerinti integrálja szerint származtatható:
![\[\frac{2}{L} \sum (-e) \cdot v_k \cdot f(\varepsilon_k) = -\frac{2}{h}\int e\cdot f(\varepsilon)\,\mathrm{d} \varepsilon \rightarrow I.\]](/images/math/0/1/f/01ff36396dc5d21d21e83053358e9837.png)
Ha egy transzmissziós valószínűségű szórócentrumot tartalmazó egycsatornás nanovezeték elektródái közé
feszültséget kapcsolunk, a nanovezetékben
![\[I=\frac{2 e}{h} \cdot \int \mathcal{T}\cdot [f_1(\varepsilon)-f_2(\varepsilon)]\mathrm{d}\varepsilon\]](/images/math/5/4/8/548208365bb0880ce3cd0cb4ffd2ebc3.png)
![\setbox0\hbox{$G=(2e^2/h)\cdot\mathcal{T}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/8/b/1/8b1c9acd046a85b10e8a3e2d86ed0d8b.png)
1. ábra. Különböző kémiai potenciálú és hőmérsékletű elektródák közötti ![]() |
Az elektromos áram továbbra is a fenti képlettel számítható figyelembe véve, hogy az elektródák Fermi-függvényeiben nem csak a kémiai potenciál, hanem a hőmérséklet is eltérő:
![\[I=\frac{2 e}{h} \cdot \int \mathcal{T(\varepsilon)}\cdot \left[f_1(\varepsilon,\mu_1,T_1)-f_2(\varepsilon,\mu_2,T_2)\right]\mathrm{d}\varepsilon.\]](/images/math/1/1/a/11a7d30cf8ace5ca12ec3b660bc01091.png)
A termodinamikából ismert összefüggés alapján hasonlóan származtatható az elektródából a nanovezetékbe folyó
hőáram is:
![\[\frac{2}{L} \sum (\varepsilon_k-\mu) \cdot v_k \cdot f(\varepsilon_k) = \frac{2}{h}\int (\varepsilon-\mu) \cdot f(\varepsilon)\,\mathrm{d} \varepsilon \rightarrow I_Q,\]](/images/math/e/5/e/e5e2f1b89306ae0af61710e422983a02.png)
illetve ennek megfelelően a két elektróda között folyó hőáram transzmissziós valószínűség esetén:
![\[I_Q=\frac{2}{h} \cdot \int \mathcal{T(\varepsilon)}\cdot (\varepsilon-\mu_1)\cdot \left[f_1(\varepsilon,\mu_1,T_1)-f_2(\varepsilon,\mu_2,T_2)\right]\mathrm{d}\varepsilon.\]](/images/math/9/1/7/917f989f7ef7cf7ead4bbd7f1db12036.png)
Itt fontos megjegyezni, hogy ha az első elektródából/elektródába folyó hőáramot számítjuk, akkor a fenti képletben szerepel. Ugyanígy számíthatnánk a 2. elektródából/elektródába folyó hőáramot, ekkor az energia szerinti integrálban
szorzófaktor szerepelne. Mivel ez a két számolás ugyanakkora hőáramot kell hogy adjon, így a kétféle számolás szükségszerűen ugyanarra az eredményre vezet.
A fentiek alapján az elektromos vezetőképesség számolását (Landauer-formula) kiegészítve kiszámolhatjuk az 1. ábrán látható rendszer hővezetőképsségét, illettve Seebeck- és Peltier-együtthatóját is.
Termofeszültség számolása (Seebeck-effektus)
Számoljuk ki az 1. ábrán szereplő rendszerre az elektromos áramot a két elektróda eltérő hőmérséklete esetén! Ehhez hívjuk segítségül a szilárdtestfizika alapjai tárgyban már megismert Sommerfeld-sorfejtést, melynek segítségével egy tetszőleges energiafüggő mennyiség Fermi-fügvénnyel vett szorzatának integrálja közelíthető:
![\[\int_{-\infty}^\infty H(\varepsilon)\cdot f(\varepsilon,\mu,T)\,\mathrm{d}\varepsilon = \int_{-\infty}^\mu H(\varepsilon)\,\mathrm{d}\varepsilon + \frac{\pi^2}{6}(kT)^2 H^\prime(\mu) + \mathrm{O} \left(\frac{kT}{\mu}\right)^4.\]](/images/math/b/9/c/b9c065d10d8f8bd34d2112173f294c8e.png)
Ezen Sommerfeld-sorfejtés alapját az képezi, hogy az függvényt
alakban közelítjük, ahol a
függvényt a 2. ábra szemlélteti. A Sommerfeld-sorfejtés első tagja a zérus hőmérsékletű Fermi-függvénnyel, azaz
-nél zérussá váló lépcsőfügvénnyel vett integrál. A második tag
energiafüggetlen
esetén értelemszerűen zérust ad (lásd 2. ábra), így ezen integrál első rendben
-vel arányos. A 2. ábra alpján a
függés is indokolható.
2. ábra. A Sommerfeld-sorfejtés szemléltetése. A ![]() ![]() ![]() |
A Sommerfeld-sorfejtés alapján:
![\[I=\frac{2 e}{h} \cdot \int \mathcal{T(\varepsilon)}\cdot \left[f_1(\varepsilon,\mu_1,T_1)-f_2(\varepsilon,\mu_2,T_2)\right]\mathrm{d}\varepsilon\approx\frac{2 e}{h} \cdot \int_{\mu_2}^{\mu_1} \mathcal{T}(\varepsilon)\,\mathrm{d}\varepsilon +\frac{2 e}{h}\frac{\pi^2}{6}(kT_1)^2 \mathcal{T}^\prime(\mu_1)-\frac{2 e}{h}\frac{\pi^2}{6}(kT_2)^2 \mathcal{T}^\prime(\mu_2).\]](/images/math/4/e/9/4e9ae7dfcf026a29b446e1529bd983c4.png)
Ha energiafüggését csak lineáris rendben tekintjük,
, így
![\[I\approx \frac{2 e}{h} \cdot eV \cdot\bar{\mathcal{T}}(\varepsilon)+\frac{2 e}{h}\frac{\pi^2 k^2}{3}\cdot\Delta T\cdot T \cdot\mathcal{T}^\prime(\mu),\]](/images/math/1/f/d/1fd3b23c04a789032940f9e00ea03fa8.png)
ahol ,
,
,
pedig a transzmissziós valószínűség átlaga
és
között. Tegyük fel, hogy csak egy végtelen belső ellenállású feszültségmérőt kapcsolunk a két elektróda közé. Ekkor a nanovezetéken értelemszerűen zérus áram folyik. Ha a két elektróda hőmérséklete megegyezik, akkor a Landauer-formulává egyszerűsödő fenti képlet szerint zérus áramnál zérus feszültséget mérünk. Ha viszont a két elektróda hőmérséklete eltér, akkor zérus áram mellett
![\[V \big|_{I=0}=\underbrace{-\frac{\pi^2 k^2 T}{3e}\cdot \frac{1}{\mathcal{T}}\frac{\partial \mathcal{T}(\varepsilon )}{\partial \varepsilon} \bigg|_{\mu}}_{S} \cdot \Delta T\]](/images/math/1/f/d/1fd92f9d3dbf2d94361fcda8c71cbd4b.png)
termofeszültség jelentkezik, ahol a nanovezeték Seebeck-együtthatója. Látszik, hogy nagy termofeszültséget erősen energifaüggő transzmisszió esetén kapunk. Ezt szemléletesen is megérthetjük a 3. ábra segítségével. Először tételezzük fel, hogy a két elektróda kémiai potenciálja még megegyezik. Ekkor a közös kémiai potenciál fölött a melegebb oldalon több betöltött elektronállapot található, így onnan elektronok indulnak el a hidegebb oldal felé. A közös kémiai potenciál alatt viszont a hidegebb oldalon található több betöltött, míg a melegebb oldalon több betöltetlen állapot, így itt a melegebb elektróda felé indulnak meg elektronok. Ha a transzmisszió energiafüggetlen, akkor a kémiai potenciál fölötti és alatti energiáknál elinduló ellentétes előjelű áramkomponensek kiegyenlítik egymást, így összességében nem történik töltésátrendeződés. Ha viszont a transzmisszió erősen energiafüggő, akkor ezen két áramkomponens eltér, és így töltések rendeződnek át az egyik elektródáról a másikra. Ennek köszönhetően felépül egy véges (termo)feszültség a két elektróda között, melynél a nanovezetéken folyó áram zérussá válik.
3. ábra. Seebeck-effektus fizikai alapjának szemléltetése. |
Hővezetőképesség, Wiedemann-Franz törvény
Következő lépésként számoljuk ki a két elektróda között folyó hőáramot zérus feszültségkülönbség () és véges hőmérsékletkülönbség
esetén. A hőáramra korábban felírt képletre egyszerűen alkalmazható a Sommerfeld-sorfejtés, hiszen a nulladrendű tag a megegyező kémiai potenciálok miatt kiesik:
![\[I_Q=\frac{2}{h} \cdot \int \mathcal{T(\varepsilon)}\cdot (\varepsilon-\mu)\cdot \left[f_1(\varepsilon,\mu,T_1)-f_2(\varepsilon,\mu,T_2)\right]\mathrm{d}\varepsilon\approx\frac{2}{h}\frac{\pi^2}{6}(kT_1)^2\cdot\left[\mathcal{T(\varepsilon)}\cdot (\varepsilon-\mu)\right]'_\mu -\frac{2}{h}\frac{\pi^2}{6}(kT_2)^2\cdot \left[\mathcal{T(\varepsilon)}\cdot (\varepsilon-\mu)\right]'_\mu =\frac{2}{h}\frac{\pi^2 k^2}{3}\cdot\Delta T\cdot T \cdot \mathcal{T}(\mu).\]](/images/math/3/a/9/3a98f2d375a7a1d85c238a5eac177d1d.png)
![\[G_Q=I_Q/ \Delta T\]](/images/math/7/0/5/7056b7f9b49a7eaf191393339894d6aa.png)
képlettel definiálva
![\[G_Q=\frac{2}{h}\frac{\pi^2 k^2}{3}\cdot T \cdot \mathcal{T}(\mu)\]](/images/math/0/5/2/0522328a9a8194983b04f4d85cd912f7.png)
adódik. Ezt összehasonlítva a Landauer-formulából adódó elektromos vezetőképsséggel
![\[\frac{G_Q}{G}=\mathcal{L}\cdot T;\ \ \ \mathcal{L}=\frac{\pi^2k^2}{3e^2}=2.44\times 10^{-8}\,\mathrm{W\,\Omega\,K^{-2}}\]](/images/math/f/f/3/ff3d6b12800ff710fdc4212c0c4da3ce.png)
ahol a csupán természeti állandókat tartalmazó, ún. Lorentz-szám. Azaz látjuk, hogy az elektromos vezetőképesség arányos az elektronok által közvetített hővezetőképességgel, ezt nevezzük Wiedemann-Franz törvénynek. Fontos azonban megjegyezni, hogy hővezetést a fononok is megvalósíthatnak, amit a fentiekben nem vettünk figyelembe.
Peltier-effektus
Végezetül vizsgáljuk meg az inverz Seebeck-effektust, azaz a Peltier effektust, melynél a nanovezetéken keresztül folyatott elektromos áram hatására hőáram indul el zérus hőmérsékletkülönbségnél (). Az utóbbi azért fontos, mert véges hőmérsékletkülönbségnél a Peltier-effektusból adódó hőáram mellett a hővezetésből adódó hőáram is megjelenik. A hőáramot ismét a fentiekben megismert formula Sommerfeld-sorfejtésével számoljuk:
![\[I_Q=\frac{2}{h} \cdot \int \mathcal{T(\varepsilon)}\cdot (\varepsilon-\mu_1)\cdot \left[f_1(\varepsilon,\mu_1,T)-f_2(\varepsilon,\mu_2,T)\right]\mathrm{d}\varepsilon\approx\frac{2}{h} \cdot \underbrace{\int_{\mu_2}^{\mu_1} \mathcal{T}(\varepsilon)(\varepsilon-\mu_1)\,\mathrm{d}\varepsilon}_{\sim (eV)^2} +\frac{2}{h}\frac{\pi^2}{6}(kT)^2\left[\overbrace{\underbrace{\left(\mathcal{T}(\varepsilon)(\varepsilon-\mu_1)\right)^\prime |_{\mu_1}}_{\mathcal{T}(\mu_1)}- \underbrace{\left(\mathcal{T}(\varepsilon)(\varepsilon-\mu_1)\right)^\prime|_{\mu_2}}_{\mathcal{T}^\prime (\mu_2)(\mu_2-\mu_1)+\mathcal{T}(\mu_2)}}^{2\mathcal{T}^\prime (\mu)\cdot eV}\right].\]](/images/math/6/c/9/6c9b71da34396b97bed9bf295652162a.png)
A Sommerfeld-sorfejtés első tagja a feszültségben másodrendű járulékot ad, így ezt elhanyaguljuk. A fennmaradó tagok további átrendezésével
![\[I_Q\approx \frac{2e}{h}\frac{\pi^2 k^2 T^2}{3}\cdot \frac{\partial \mathcal{T}(\varepsilon)}{\partial \varepsilon}\bigg|_\mu \cdot V\]](/images/math/7/8/5/7857b4e85fea81f4c9f6f67dc781942f.png)
adódik. A Peltier-együtthatót a hőáram és az elektromos áram hányadosaként definiáljuk:
![\[\frac{I_Q}{I}\bigg|_{T_1=T_2}\approx -\frac{\pi^2 k^2 T^2}{3e}\cdot \frac{1}{\mathcal{T}}\frac{\partial \mathcal{T}(\varepsilon)}{\partial \varepsilon}\bigg|_\mu =\Pi=T\cdot S.\]](/images/math/c/7/e/c7ef529f959bf50fca1ef364b8d09e74.png)
Ezt az eredményt a Seebeck-együtthatóval összehasonlítva adódik, amit Kelvin-féle összefüggésnek nevezünk.