„Folyadék szabad felszínének vizsgálata” változatai közötti eltérés
| (3 szerkesztő 16 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
| 1. sor: | 1. sor: | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
[[Kategória:Mechanika]] | [[Kategória:Mechanika]] | ||
<!--[[Kategória:Elektromosságtan]]--> | <!--[[Kategória:Elektromosságtan]]--> | ||
| 21. sor: | 13. sor: | ||
[[Kategória:Laborgyakorlat]] | [[Kategória:Laborgyakorlat]] | ||
<!--[[Kategória:Fizika laboratórium 1.]]--> | <!--[[Kategória:Fizika laboratórium 1.]]--> | ||
| − | [[Kategória:Fizika laboratórium 2.]] | + | <!--[[Kategória:Fizika laboratórium 2.]]--> |
<!--[[Kategória:Fizika laboratórium 3.]]--> | <!--[[Kategória:Fizika laboratórium 3.]]--> | ||
<!--[[Kategória:Fizika laboratórium 4.]]--> | <!--[[Kategória:Fizika laboratórium 4.]]--> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
[[Kategória:Szerkesztő:Vankó]] | [[Kategória:Szerkesztő:Vankó]] | ||
A szabad folyadékfelszín viselkedését egyenletes körmozgás esetén vizsgáljuk. A problémát alkalmas koordináta rendszer választásával visszavezetjük a szabad, nyugvó folyadékfelszín viselkedésére. | A szabad folyadékfelszín viselkedését egyenletes körmozgás esetén vizsgáljuk. A problémát alkalmas koordináta rendszer választásával visszavezetjük a szabad, nyugvó folyadékfelszín viselkedésére. | ||
| + | |||
__TOC__ | __TOC__ | ||
==Elméleti összefoglaló== | ==Elméleti összefoglaló== | ||
| − | |||
{{fig|Folyadék_szabad_felszínének_vizsgálata_1.png|fig:1|1. ábra}} | {{fig|Folyadék_szabad_felszínének_vizsgálata_1.png|fig:1|1. ábra}} | ||
| − | |||
A nyugvó folyadék szabad (az edénnyel nem érintkező) felszíne mindenütt merőleges a külső erők eredőjére. Ha ugyanis a felszín valahol nem lenne merőleges az eredő erőre, akkor az utóbbi felszínnel párhuzamos összetevőjének hatására a felszín közelében áramlás jönne létre, vagyis a folyadékot nem tekinthetnénk nyugvónak. | A nyugvó folyadék szabad (az edénnyel nem érintkező) felszíne mindenütt merőleges a külső erők eredőjére. Ha ugyanis a felszín valahol nem lenne merőleges az eredő erőre, akkor az utóbbi felszínnel párhuzamos összetevőjének hatására a felszín közelében áramlás jönne létre, vagyis a folyadékot nem tekinthetnénk nyugvónak. | ||
| − | Ha egy folyadékot tartalmazó hengeres edényt függőleges tengelye körül $\omega$ szögsebességgel forgatunk, akkor a folyadék felszíne felülről nézve homorú forgásfelület lesz. A folyadék az azonos tengely körül $\omega$ szögsebességgel forgó koordinátarendszerben nyugalomban van. Ebben a rendszerben a felszínen lévő $m$ tömegű folyadékrészre kétféle erő hat: az $mg$ nagyságú, függőleges $(y)$ irányú nehézségi erő, valamint a forgó rendszerben fellépő tehetetlenségi erők. Esetünkben az utóbbiak közül csak az $m\omega^2x$ nagyságú, a forgástengelyre merőleges és attól sugárirányban elfelé mutató centrifugális erő játszik szerepet ($x$ a folyadékrésznek a forgástengelytől mért távolsága). A folyadékfelszín mindenhol a két erő eredőjére merőleges helyzetet vesz fel ([[fig:1|1. ábra]]). A kialakuló felület egy forgási paraboloid. A kísérletben ennek a forgási paraboloidnak egy, a forgástengelyen átmenő metszetét határozzuk meg. | + | Ha egy folyadékot tartalmazó hengeres edényt függőleges tengelye körül $\omega$ szögsebességgel forgatunk, akkor a folyadék felszíne felülről nézve homorú forgásfelület lesz. A folyadék az azonos tengely körül $\omega$ szögsebességgel forgó koordinátarendszerben nyugalomban van. Ebben a rendszerben a felszínen lévő $m$ tömegű folyadékrészre kétféle erő hat: az $mg$ nagyságú, függőleges $(y)$ irányú nehézségi erő, valamint a forgó rendszerben fellépő tehetetlenségi erők. Esetünkben az utóbbiak közül csak az $m\omega^2x$ nagyságú, a forgástengelyre merőleges, és attól sugárirányban elfelé mutató centrifugális erő játszik szerepet ($x$ a folyadékrésznek a forgástengelytől mért távolsága). A folyadékfelszín mindenhol a két erő eredőjére merőleges helyzetet vesz fel ([[#fig:1|1. ábra]]). A kialakuló felület egy forgási paraboloid. A kísérletben ennek a forgási paraboloidnak egy, a forgástengelyen átmenő metszetét határozzuk meg. |
==Kísérleti berendezés== | ==Kísérleti berendezés== | ||
| − | A folyadékot két egymáshoz közeli párhuzamos síklap által alkotott (téglatest alakú) edényben helyeztük el. (Továbbiakban a síklapokat egymáshoz végtelen közelinek tekintjük.) A forgástengely a téglatest egyik szimmetriatengelye. A forgó edényben kialakuló folyadékfelszín vizsgálatát egy olyan koordináta rendszerben végezzük, melynek $x$ tengelye az $\omega=0$ szögsebességhez tartozó (vízszintes) folyadékfelszínnel esik egybe, $y$ tengelye pedig a függőleges forgástengely. | + | {| cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" |
| + | |- | ||
| + | |{{fig2|Folyfelsz.png|fig:2|2. ábra}} | ||
| + | |- | ||
| + | |} | ||
| + | |||
| + | A folyadékot két egymáshoz közeli párhuzamos síklap által alkotott (téglatest alakú) edényben helyeztük el ([[#fig:2|2. ábra]]). (Továbbiakban a síklapokat egymáshoz végtelen közelinek tekintjük.) A forgástengely a téglatest egyik szimmetriatengelye. A forgó edényben kialakuló folyadékfelszín vizsgálatát egy olyan koordináta rendszerben végezzük, melynek $x$ tengelye az $\omega=0$ szögsebességhez tartozó (vízszintes) folyadékfelszínnel esik egybe, $y$ tengelye pedig a függőleges forgástengely. | ||
Az [[#fig:1|1. ábráról]] leolvasható, hogy | Az [[#fig:1|1. ábráról]] leolvasható, hogy | ||
| − | $$\ | + | $$\mathrm{tg}\alpha=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{mx\omega^2}{mg}=\frac{\omega^2}{g}x,$$ |
azaz | azaz | ||
$$\mathrm{d}y=\frac{\omega^2}{g}x\mathrm{d}x,$$ | $$\mathrm{d}y=\frac{\omega^2}{g}x\mathrm{d}x,$$ | ||
| 56. sor: | 48. sor: | ||
{{eq|0{{=}}\int_0^R \left(\frac{\omega^2}{2g}x^2+C\right)\,\mathrm{d}x{{=}}\frac{\omega^2}{6g}R^3+CR,|eq:1|(1)}} | {{eq|0{{=}}\int_0^R \left(\frac{\omega^2}{2g}x^2+C\right)\,\mathrm{d}x{{=}}\frac{\omega^2}{6g}R^3+CR,|eq:1|(1)}} | ||
ahonnét | ahonnét | ||
| − | $$C=-\frac{\omega R}{6g}.$$ | + | $$C=-\frac{\omega^2 R^2}{6g}.$$ |
Így a folyadékfelszín egyenlete: | Így a folyadékfelszín egyenlete: | ||
$$y=\frac{\omega^2}{2g}\left(x^2-\frac{R^2}{3}\right).$$ | $$y=\frac{\omega^2}{2g}\left(x^2-\frac{R^2}{3}\right).$$ | ||
| + | |||
A [[#eq:1|(1)]] kifejezésből az alábbi következtetések vonhatók le: | A [[#eq:1|(1)]] kifejezésből az alábbi következtetések vonhatók le: | ||
* A parabola csúcspontjának ordinátája $(C)$ arányos $\omega^2$-tel, ami alapján fordulatszámmérő készíthető. | * A parabola csúcspontjának ordinátája $(C)$ arányos $\omega^2$-tel, ami alapján fordulatszámmérő készíthető. | ||
| − | * A különböző szögsebességekhez tartozó parabolák átmennek a $\pm\left( | + | * A különböző szögsebességekhez tartozó parabolák átmennek a $\pm\left(R/\sqrt{3}, 0\right)$ pontokon. [Az utóbbi állítás könnyen belátható, ha [[#eq:1|(1)]]-be $y=0$-t helyettesítünk és $\omega^2/(2g)$-vel egyszerűsítünk.] |
==Mérési feladatok== | ==Mérési feladatok== | ||
| + | |||
| + | [[A méréshez rendelkezésre álló eszközök: Folyadék szabad felszínének vizsgálata|A méréshez rendelkezésre álló eszközök]] | ||
*''A mérés elvégzéséhez és a mérési napló elkészítéséhez a dőlt betűs részekben adunk segítséget.'' | *''A mérés elvégzéséhez és a mérési napló elkészítéséhez a dőlt betűs részekben adunk segítséget.'' | ||
| 70. sor: | 65. sor: | ||
'''1.''' Igazolja kísérletileg, hogy a forgó folyadék felszíne által kialakított parabola csúcspontjának süllyedése a szögsebesség négyzetével arányos! | '''1.''' Igazolja kísérletileg, hogy a forgó folyadék felszíne által kialakított parabola csúcspontjának süllyedése a szögsebesség négyzetével arányos! | ||
| − | Vegye fel a $\log C-\log\omega$ függvényt és a grafikon segítségével állapítsa meg $\omega$ kitevőjét! | + | Vegye fel a $\log C-\log\omega$ függvényt és a grafikon segítségével állapítsa meg $\omega$ kitevőjét! |
'''2.''' Határozza meg a nehézségi gyorsulás értékét! | '''2.''' Határozza meg a nehézségi gyorsulás értékét! | ||
| − | Rajzolja fel a $C-\omega^2$ függvényt, majd határozza meg a mérési pontokon át fektetett egyenes meredekségét, ami $ | + | Rajzolja fel a $C-\omega^2$ függvényt, majd határozza meg a mérési pontokon át fektetett egyenes meredekségét, ami $R^2/(6g)$ értékét adja meg. Ennek ismeretében számítsa ki a nehézségi gyorsulást! |
| + | * ''A folyadékedény forgási sebességét a tápegység segítségével lehet változtatni. Bekapcsolás:'' '''MAINS''' ''és'' '''DC ON''' '', forgási sebesség beállítása a durva és finom feszültségállító gombokkal. | ||
| + | * A mérésnél a folyadékfelszínt az edényen levő parabolára (parabolákra) igyekezzen illeszteni. A parabolák geometriai adatai vonalzóval utólag lemérhetők. | ||
| + | * A forgó rendszer frekvenciáját a beállított frekvenciamérővel lehet mérni. A műszer azonban a néhány Hz-es frekvenciákat nagy hibával méri, ezért a pontosabb mérés érdekében a mellékelt stopper segítségével mérje le több (10-20) fordulat idejét, és ebből határozza meg a frekvenciát! | ||
| + | * A mérést a pontosabb észlelés érdekében lesötétített térben végezze, ekkor a folyadékfelszín beállítást megkönnyíti a stroboszkóp alkalmazása.'' | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
A lap jelenlegi, 2014. november 27., 15:54-kori változata
A szabad folyadékfelszín viselkedését egyenletes körmozgás esetén vizsgáljuk. A problémát alkalmas koordináta rendszer választásával visszavezetjük a szabad, nyugvó folyadékfelszín viselkedésére.
Tartalomjegyzék |
Elméleti összefoglaló
A nyugvó folyadék szabad (az edénnyel nem érintkező) felszíne mindenütt merőleges a külső erők eredőjére. Ha ugyanis a felszín valahol nem lenne merőleges az eredő erőre, akkor az utóbbi felszínnel párhuzamos összetevőjének hatására a felszín közelében áramlás jönne létre, vagyis a folyadékot nem tekinthetnénk nyugvónak.
Ha egy folyadékot tartalmazó hengeres edényt függőleges tengelye körül 
szögsebességgel forgatunk, akkor a folyadék felszíne felülről nézve homorú forgásfelület lesz. A folyadék az azonos tengely körül szögsebességgel forgó koordinátarendszerben nyugalomban van. Ebben a rendszerben a felszínen lévő 
tömegű folyadékrészre kétféle erő hat: az 
nagyságú, függőleges 
irányú nehézségi erő, valamint a forgó rendszerben fellépő tehetetlenségi erők. Esetünkben az utóbbiak közül csak az 
nagyságú, a forgástengelyre merőleges, és attól sugárirányban elfelé mutató centrifugális erő játszik szerepet (
a folyadékrésznek a forgástengelytől mért távolsága). A folyadékfelszín mindenhol a két erő eredőjére merőleges helyzetet vesz fel (1. ábra). A kialakuló felület egy forgási paraboloid. A kísérletben ennek a forgási paraboloidnak egy, a forgástengelyen átmenő metszetét határozzuk meg.
Kísérleti berendezés
 |
A folyadékot két egymáshoz közeli párhuzamos síklap által alkotott (téglatest alakú) edényben helyeztük el (2. ábra). (Továbbiakban a síklapokat egymáshoz végtelen közelinek tekintjük.) A forgástengely a téglatest egyik szimmetriatengelye. A forgó edényben kialakuló folyadékfelszín vizsgálatát egy olyan koordináta rendszerben végezzük, melynek tengelye az 
szögsebességhez tartozó (vízszintes) folyadékfelszínnel esik egybe, 
tengelye pedig a függőleges forgástengely.
Az 1. ábráról leolvasható, hogy
![\[\mathrm{tg}\alpha=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{mx\omega^2}{mg}=\frac{\omega^2}{g}x,\]](/images/math/4/a/1/4a1695bf1774149a7c89b26f533572f1.png)
azaz
![\[\mathrm{d}y=\frac{\omega^2}{g}x\mathrm{d}x,\]](/images/math/a/9/7/a97adf140a3c86b9c945442508556639.png)
ahonnan integrálással az
![\[y=\frac{\omega^2}{2g}x^2+C\]](/images/math/2/d/1/2d1dea864bf53b6d28fe195b9900ebd0.png)
összefüggés adódik. A kifejezés egy parabola egyenlete, ahol a 
integrálási állandó értéke a parabola csúcspontjának ordinátája. -t abból a feltételből kaphatjuk meg, hogy az állandó folyadéktérfogat miatt a 
határozott integrálnak nullát kell adnia, azaz
![\[0=\int_0^R \left(\frac{\omega^2}{2g}x^2+C\right)\,\mathrm{d}x=\frac{\omega^2}{6g}R^3+CR,\]](/images/math/7/8/0/780a6b5712c02b46fd5bf3ece9e31457.png)
ahonnét
![\[C=-\frac{\omega^2 R^2}{6g}.\]](/images/math/7/d/6/7d6834f19f6ae80d941d682a7417cbaf.png)
Így a folyadékfelszín egyenlete:
![\[y=\frac{\omega^2}{2g}\left(x^2-\frac{R^2}{3}\right).\]](/images/math/f/c/6/fc60a7151f61e5f466d3fc57d92aa14b.png)
A (1) kifejezésből az alábbi következtetések vonhatók le:
- A parabola csúcspontjának ordinátája
arányos 
-tel, ami alapján fordulatszámmérő készíthető.
- A különböző szögsebességekhez tartozó parabolák átmennek a
pontokon. [Az utóbbi állítás könnyen belátható, ha (1)-be 
-t helyettesítünk és 
-vel egyszerűsítünk.]
Mérési feladatok
A méréshez rendelkezésre álló eszközök
- A mérés elvégzéséhez és a mérési napló elkészítéséhez a dőlt betűs részekben adunk segítséget.
1. Igazolja kísérletileg, hogy a forgó folyadék felszíne által kialakított parabola csúcspontjának süllyedése a szögsebesség négyzetével arányos!
Vegye fel a 
függvényt és a grafikon segítségével állapítsa meg kitevőjét!
2. Határozza meg a nehézségi gyorsulás értékét!
Rajzolja fel a 
függvényt, majd határozza meg a mérési pontokon át fektetett egyenes meredekségét, ami 
értékét adja meg. Ennek ismeretében számítsa ki a nehézségi gyorsulást!
- A folyadékedény forgási sebességét a tápegység segítségével lehet változtatni. Bekapcsolás: MAINS és DC ON , forgási sebesség beállítása a durva és finom feszültségállító gombokkal.
- A mérésnél a folyadékfelszínt az edényen levő parabolára (parabolákra) igyekezzen illeszteni. A parabolák geometriai adatai vonalzóval utólag lemérhetők.
- A forgó rendszer frekvenciáját a beállított frekvenciamérővel lehet mérni. A műszer azonban a néhány Hz-es frekvenciákat nagy hibával méri, ezért a pontosabb mérés érdekében a mellékelt stopper segítségével mérje le több (10-20) fordulat idejét, és ebből határozza meg a frekvenciát!
- A mérést a pontosabb észlelés érdekében lesötétített térben végezze, ekkor a folyadékfelszín beállítást megkönnyíti a stroboszkóp alkalmazása.
