„Optikai heterodin detektálás” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
a
 
(egy szerkesztő 258 közbeeső változata nincs mutatva)
20. sor: 20. sor:
  
 
__TOC__
 
__TOC__
−
 
−
Szerkesztés alatt!
 
  
 
==Elméleti összefoglaló==
 
==Elméleti összefoglaló==
28. sor: 26. sor:
 
A fény, mint ismeretes, az elektromágneses tér hullámjelensége. Jellemző rezgési frekvenciája a 10<sup>14</sup> Hz körüli tartományba esik. Az a fizikai mennyiség, amelynek terjedését egyszerűen fénynek nevezzük, az elektromos és mágneses térerősség. Tehát a fényben az elektromos és a mágneses tér változásai terjednek. Tekintsünk egy, a tárgyalás szempontjából egyszerű, lineárisan polarizált harmonikus síkhullámot. A síkhullám elnevezés onnan ered, hogy az azonos térerősségű pontok egy adott pillanatban egy síkon helyezkednek el. A
 
A fény, mint ismeretes, az elektromágneses tér hullámjelensége. Jellemző rezgési frekvenciája a 10<sup>14</sup> Hz körüli tartományba esik. Az a fizikai mennyiség, amelynek terjedését egyszerűen fénynek nevezzük, az elektromos és mágneses térerősség. Tehát a fényben az elektromos és a mágneses tér változásai terjednek. Tekintsünk egy, a tárgyalás szempontjából egyszerű, lineárisan polarizált harmonikus síkhullámot. A síkhullám elnevezés onnan ered, hogy az azonos térerősségű pontok egy adott pillanatban egy síkon helyezkednek el. A
 
síkhullám kifejezése:
 
síkhullám kifejezése:
−
$$E\left( {{\bf{r}},t} \right) {{=}} {E_0}\cos \left( {\omega t - {\bf{kr}}} \right)$$
+
{{eq|{{E\left( \mathbf{r},t \right) {{=}} {E_0}\cos \left( \omega t - \mathbf{kr} \right)}}|eq:1|(1)}}
−
{{eq|{E\left ( r,t} \right ) {{=}} {E_0}\cos \left ( \omega t - kr \right )}|eq:1|(1)}}
+
 
ahol E<sub>0</sub> az elektromos hullám amplitúdója, '''k''' a hullámszám vektor, $\omega {{=}} 2\pi \cdot f$ az elektro-mágneses hullám körfrekvenciája, „f” pedig a frekvenciája. Egyszerű megfontolásokból a hullám terjedési sebessége k-val és $\omega $-val kifejezhető:
 
ahol E<sub>0</sub> az elektromos hullám amplitúdója, '''k''' a hullámszám vektor, $\omega {{=}} 2\pi \cdot f$ az elektro-mágneses hullám körfrekvenciája, „f” pedig a frekvenciája. Egyszerű megfontolásokból a hullám terjedési sebessége k-val és $\omega $-val kifejezhető:
 +
{{eq|{{c {{=}} \frac{\omega }{\left| \mathbf{k} \right|}}}|eq:2|(2)}}
 +
A „k” helyett a gyakorlatban $\lambda {{=}} \frac{2\pi}{k}$-t szokás használni, amelyet hullámhossznak nevezünk. Így az egyenlet ismertebb alakjában $c {{=}} \lambda \cdot f$. Az ([[#eq:1|1]]) egyenletből látszik $\lambda$ szemléletes jelentése is: azt a '''k''' vektor irányában mért legkisebb távolságot jelenti, amely szerint a térerősség periodikusan változik.
 +
 +
===Doppler-effektus===
 +
Tegyük fel, hogy az ([[#eq:1|1]]) szerinti monokromatikus síkhullámot egy „K” koordináta-rendszerben írtuk fel. Ha ezt a síkhullámot a K-hoz képest '''v'''(t) pillanatnyi sebességgel mozgó K' rendszerből figyeljük, akkor a hullám K-beli frekvenciájától különböző frekvenciájú hullámot fogunk észlelni. Válasszuk úgy a K és K' rendszert, hogy t=0-ban az origók egybe essenek. Ekkor a K-beli koordinátát K'-beli koordinátákkal kifejezhetjük:
 +
{{eq|\mathbf{r} {{=}} \int\limits_0^t \mathbf{v}(\tau) d\tau  + \mathbf{r'}|eq:3|(3)}}
 +
 +
Ezt beírva az ([[#eq:1|1]]) egyenletbe, a hullám K'-beli alakját nyerjük:
 +
{{eq|E\left( \mathbf{r'},t \right) {{=}} {E_0}\cos \left( \phi (\mathbf{r'},t) \right){{=}} {E_0}\cos \left( \omega t - \mathbf{k} \cdot \int\limits_0^t \mathbf{v}(\tau)d\tau - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r'} \right)|eq:4|(4)}}
 +
 +
Definíció szerint a körfrekvencia a fázis ($\phi$) idő szerinti parciális deriváltja:
 +
{{eq|\omega '(t) \equiv \frac{\partial \phi }{\partial t} {{=}} \omega  - \mathbf{k} \cdot \mathbf{v}(t)|eq:5|(5)}}
 +
 +
tehát a két rendszer relatív sebességétől függően a körfrekvencia megváltozik, mégpedig a két vonatkoztatási rendszer relatív sebességének ''pillanatnyi értéke'' szerint. (Az egyszerűség kedvéért '''v''' és ω időfüggését a továbbiakban nem jelöljük.) Ezt a jelenséget felfedezőjéről Doppler-effektusnak nevezik. A jelenség az akusztikában már XIX században ismert és igazolt volt. (A fenti eredmény csak közelítő jellegű, mivel a Galilei-féle relativitás elvének megfelelő transzformáció, amellyel az egyik koordináta rendszerből áttérünk a másikba, csak a fénysebességhez képest kis '''v''' sebességek esetében igaz. A pontos tárgyalásnál a Galilei-féle relativitást fel kell cserélni az Einstein-féle relativitás elvével és ennek megfelelően a két rendszer transzformációját Lorentz-transzformációval kell leírni, ld. a függeléket. A gyakorlatban szinte mindig teljesül az a feltétel, hogy v << c, ahol „c” a fénysebesség, ezért a kapott eredmények nagyon nagy pontossággal érvényben maradnak.) Felhasználva a
 +
{{eq|k {{=}} \frac{2\pi }{\lambda }    \qquad  \acute{e}s  \qquad    \omega {{=}} 2\pi f|eq:6|(6)}}
 +
egyenleteket, a körfrekvenciáról áttérve frekvenciára kapjuk:
 +
{{eq|{{f' = f - \frac{\left| \mathbf{v} \right|}{\lambda }\cos \vartheta}}|eq:7|(7)}}
 +
 +
ahol $\cos \vartheta$ a '''k''' és '''v''' vektor által bezárt szög koszinusza. Speciálisan, ha '''k''' és '''v''' azonos irányú, akkor $\cos \vartheta {{=}} 1$ , így:
 +
{{eq|{{f' = f - \frac{\left| \mathbf{v} \right|}{\lambda }}}|eq:8|(8)}}
 +
 +
és ha ellentétes irányúak, akkor $\cos \vartheta {{=}} -1$ , melyből:
 +
{{eq|{{f' = f + \frac{\left| \mathbf{v} \right|}{\lambda }}}|eq:9|(9)}}
 +
 +
===Optikai keverés===
 +
Tekintsünk két különböző frekvenciájú ($\omega_1$ és $\omega_2$), és azonos terjedési irányú (x) elektromágneses síkhullámot, ahol az egyik körfrekvencia időfüggő: $\omega_2(t)$. Ebben az esetben az elektromos térerősségek a következőképp írhatók fel:
 +
{{eq|{{{E_1} = {E_{10}}\cos \left( {{\omega _1}t - {k_1}x} \right)}}|eq:10|(10)}}
 +
{{eq|{E_2} {{=}} E_{20}\cos \left( \int\limits_0^t \omega _2(\tau )d\tau - \int\limits_t^{t - x/c} \omega _2(\tau )d\tau + \varphi \right){{=}}E_{20}\cos \left( \int\limits_0^{t - x/c} \omega _2(\tau )d\tau + \varphi\right)|eq:11|(11)}}
 +
 +
ahol „c” a fénysebesség, $\varphi$ pedig egy konstans fázistolás. Az eredő elektromágneses tér a kettő összege:
 +
{{eq|E {{=}} E_1 + E_2 {{=}} E_{10}\cos \left(\omega_1t - k_1x\right) + E_{20}\cos\left(\int\limits_0^{t - x/c} \omega _2(\tau )d\tau + \varphi\right)|eq:12|(12)}}
 +
 +
Helyezzünk az eredő tér egy adott pontjába (x) fényérzékelőt. Az érzékelő által szolgáltatott áram ${i_D}\sim P$, ahol „P” a detektorra eső fényteljesítmény. A fényteljesítmény viszont az elektromos térerősség négyzetével arányos:
 +
 +
{{eq|P\sim E^2 {{=}} E_{10}^2 \cos^2\left(\omega_1t - k_1x\right) + E_{20}\cos^2\left(\int\limits_0^{t-x/c}\omega_2(\tau)d\tau + \varphi \right)+2E_{10}E_{20}\cos\left(\omega_1t - k_1x\right)\cos\left(\int\limits_{0}^{t-x/c}\omega_2(\tau)d\tau + \varphi\right)|eq:13|(13)}}
 +
 +
Ha ω<sub>2</sub>-t ω<sub>1</sub>-ből Doppler-eltolással állítjuk elő, és az alkalmazott sebességek nem relativisztikusak akkor ω<sub>2</sub> csak nagyon kicsit tér el a konstans ω<sub>1</sub>-től. A továbbiakban egyszerűbb, ha az ω<sub>2</sub> időfüggését egy külön $\Delta \omega (t)$ taggal kezeljük, amely jóval kisebb ω<sub>1</sub>-nél.
 +
{{eq|\omega_2(t) {{=}} \omega_1 + \Delta\omega(t)|eq:14|(14)}}
 +
 +
Δω függését a koordinátarendszerek sebességétől lásd a következő fejezetben. Ekkor
 +
 +
{{eq|\int\limits_0^{t-x/c}\omega_2(\tau)d\tau {{=}} \omega_1(t-x/c) + \int\limits_0^{t-x/c}\Delta\omega(\tau)d\tau|eq:15|(15)}}
 +
 +
Behelyettesítve ([[#eq:13|13]])-ba a fenti összefüggést, és felhasználva, hogy
 +
{{eq|{{\cos \alpha  \cdot \cos \beta  = \frac{1}{2}\left( {\cos \left( {\alpha  + \beta
 +
} \right) + \cos \left( {\alpha  - \beta } \right)} \right)}}|eq:16|(16)}}
 +
 +
i<sub>D</sub> alakja a következő:
 +
{{eq|i_D \sim E_{10}^2\cos^2\left(\omega_1t - k_1x\right)+ E_{20}^2cos^2\left(\omega_1t - k_1x + \int\limits_0^{t-x/c}\Delta\omega(\tau)d\tau + \varphi\right) + E_{10}E_{20}\cos\left[2\omega_1t - 2k_1x + \int\limits_0^{t-x/c}\Delta\omega(\tau)d\tau + \varphi\right] + |eq:17|(17)}}
 +
$$E_{10}E_{20}\cos\left[-\int\limits_0^{t-x/c}\Delta\omega(\tau)d\tau - \varphi\right]$$
 +
 +
A detektor a ráeső teljesítmény időátlagát méri. Mivel fény esetén $\omega_1$ és $\omega_2$ ~10<sup>15</sup> nagyságrendű, és ezt a frekvenciát a fényérzékelő nem képes követni, az első három tag i<sub>D</sub> kifejezésében kiátlagolódik. Felhasználva, hogy:
 +
 +
$$\left<\cos(x)\right> {{=}} 0$$
 +
{{eq|\left<\cos^2(x)\right> {{=}} \frac{1}{2}|eq:18|(18)}}
 +
$$\cos(-x) {{=}} \cos(x)$$
 +
 +
ahol < > az időátlagot jelenti. A detektor jelére azt kapjuk, hogy:
 +
{{eq|\left<i_D\right> \sim \frac{E_{10}^2}{2} + \frac{E_{20}^2}{2} + E_{10}E_{20}\cdot\cos\left(\int\limits_0^{t-x/c}\Delta\omega(\tau)d\tau + \varphi\right)|eq:19|(19)}}
 +
 +
Az időátlagolást a fenti kifejezésben a fényhullám periódusidejének néhányszorosára végeztük el (ahogy a detektor is teszi), ezért ha $\omega_1$ és $\omega_2$ elég közel esik egymáshoz, a ([[#eq:17|17]]) kifejezés negyedik tagja átlagolás után is megmarad, ugyanis az $\omega_1 - \omega_2$ jóval nagyobb magánál $\omega_1$ és $\omega_2$-nél. Amennyiben a különbségi körfrekvencia olyan kicsi, hogy az ebből eredő változást már a fényérzékelő is képes követni, a detektor kimenő jelében megjelenik egy, a két fény körfrekvencia-különbségével változó jel, melynek amplitúdója a két térerősség amplitúdójának szorzata. Bevezetve az intenzitásokra az $E_{10}^2 = {I_1}$ és $E_{20}^2 = {I_2}$  jelölést:
 +
{{eq|\left<i_D\right> \sim \frac{I_1}{2} + \frac{I_2}{2} + \sqrt{I_1 I_2}\cdot\cos\left(\int\limits_0^{t-x/c}\Delta\omega(\tau)d\tau + \varphi\right)|eq:20|(20)}}
 +
 +
Az így kapott jel egyenáramú komponense a két fényhullám intenzitásának összegével arányos, ami e mérésben nem informatív, ezért elektronikus úton leszűrjük. A mért jel váltóáramú komponensét (i<sub>H</sub>) heterodin jelnek, az eljárást pedig heterodin keverésnek nevezzük:
 +
{{eq|i_H \equiv \sqrt{I_1 I_2}\cdot\cos\left(\int\limits_0^{t-x/c}\Delta\omega(\tau)d\tau + \varphi\right)|eq:21|(21)}}
 +
 +
Az optikai keverésnél az intenzitások közül az egyiket elektromos analógia alapján lokáloszcillátornak nevezik (I<sub>1</sub>), a másikat pedig jelintenzitásnak (I<sub>2</sub>). Fénydetektálás szempontjából az optikai keverésnek azért van nagy jelentősége, mert a keletkező heterodin jel frekvenciája jól meghatározott értékű, valamint megfelelő nagyságú lokáloszcillátor-intenzitás segítségével a $\sqrt {{I_1}{I_2}} $ szorzat még kis I<sub>2</sub> mellett is megnövelhető. Így az optikai keverés kis fényintenzitások mérésének egyik alkalmas módszereként kínálkozik. Ha például egy detektor érzékenysége 1 mW, és ennél kisebb jelet, mondjuk 10 μW-ot akarunk vele mérni, akkor a 10 μW-os jelet összekeverve egy 1 W-os lokál-oszcillátor jelével, akkor kb. 3 mW-os kevert jel keletkezik, amely már mérhető az adott detektorral. A dolog szépséghibája, hogy a detektoron megjelenik egy nagy, jelen esetben 1 W-os egyenáramú jel is, ami az érzékelőt, vagy az elekronikus erősítőt telítésbe viheti.
 +
 +
===Optikai keverés megvalósítása Doppler-effektus felhasználásával===
 +
Az optikai keverés megvalósításához egy interferométerre van szükség. Az [[#fig:1|1. ábrán]] látható Michelson-interferométerben a két nyaláb a karokból a féligáteresztő lemezen egyesül úgy, hogy a detektort azonos ponton találja el, és irányuk is pontosan megegyezik (azaz '''k<sub>1</sub>''' és '''k<sub>2</sub>''' párhuzamos).
 +
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
 +
|-
 +
| {{fig|Heterodin_01.png|fig:1|1. ábra. Optikai keverés megvalósítása Michelson-interferométerrel}}
 +
|}
 +
Ha ugyanis '''k<sub>1</sub>−k<sub>2</sub>'''-nek van a terjedési irányra merőleges komponense (α ≠ 0, ld. [[#fig:2|2. ábra]]), a detektor síkjában egy interferencia csíkrendszer alakul ki, ami miatt a heterodin jel kiátlagolódhat. Azért, hogy ezt elkerüljük, a detektor méretének (d) kisebbnek kell lennie a kialakuló interferencia kép fél periódusánál:
 +
{{eq|d < \frac{2\pi}{4\cdot k_1\cdot \sin\left (\alpha/2\right )}\qquad \to \qquad \alpha < \frac{\lambda}{2d}\left [ rad \right ]|eq:22|(22)}}
 +
ahol felhasználtuk, hogy $k_1\approx k_2$. Mivel a detektor mérete általában adott, az előző kifejezés a nyalábok egymáshoz viszonyított irányának beállítására ad egy erős kényszert: ha a detektor mérete d = 1 mm, λ = 633 nm, akkor α < 0,0003°, ami 3 m-en 1 mm távolságnak felel meg!
 +
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
 +
|-
 +
| {{fig|Heterodin_02.png|fig:2|2. ábra. Az optikai keverésnél fellépő interferencia kép és a detektor méretének (d) viszonya, abban az esetben, ha a két nyaláb ('''k<sub>1</sub>''' és '''k<sub>2</sub>''') nem párhuzamos (α ≠ 0).}}
 +
|}
 +
Az optikai keveréshez szükséges kismértékű frekvencia eltérést a Doppler-effektus révén érhetjük el: az interferométer egyik karjában lévő tükör#2, ld. ([[#fig:1|1. ábra]]) önmagával párhuzamos, nyalábra merőleges, „v” sebességgel történő mozgatása esetén a tükörre eső fény frekvenciája a Doppler-effektus miatt megváltozik. A mozgó tükör az álló forrásból érkező „f” frekvenciájú lézernyalábot f'-nek érzékeli:
 +
{{eq|f' {{=}} f - \frac{v}{\lambda}|eq:23|(23)}}
 +
ahol a sebesség előjeles mennyiség (v > 0, ha a tükör a forrástól távolodik). A tükör ilyen frekvenciájú fényt ver vissza, azonban a detektor egy másik frekvenciát (f") érzékel, ugyanis a tükör hozzá képest egy mozgó forrás. A mozgó tükör karjából érkező fény frekvenciája a detektornál tehát:
 +
{{eq|f" {{=}} f' - \frac{v}{\lambda} {{=}} f - \frac{2v}{\lambda} \qquad \Leftrightarrow \qquad \omega_2 {{=}} \omega_1 - k_1 \cdot 2v|eq:24|(24)}}
 +
A frekvenciák közötti különbség tehát:
 +
{{eq|\Delta \omega {{=}} -2\cdot k_1\cdot v|eq:25|(25)}}
 +
ahol $\omega_1 {{=}} 2\cdot \pi f$ és $\omega_2 {{=}} 2\cdot \pi \cdot f"$. Ebből a heterodin frekvencia:
 +
{{eq|f_H \equiv f' - f" {{=}} \frac{2\cdot v(t)}{\lambda}|eq:26|(26)}}
 +
A másik nyalábnak a frekvenciája változatlan, így a keletkező heterodin jel ([[#eq:21|21]]) szerint:
 +
{{eq|i_H \equiv \sqrt{I_1I_2}\cdot \cos\left [\int\limits_0^{t-x/c}k_1\cdot 2v(\tau)d\tau - \varphi \right ]|eq:27|(27)}}
 +
A sebesség időfüggése szempontjából két speciális esetet érdemes megvizsgálni. Az egyik az egyenes vonalú egyenletes sebességű mozgás. Ekkor v(t) = v = const., azaz ([[#eq:27|27]]) egyenletből az integrálás elvégzése után a következő marad:
 +
{{eq|i_H \equiv \sqrt{I_1I_2}\cdot \cos \left [k_1\cdot 2v\cdot \left (t-\frac{x}{c}\right ) - \varphi \right ] {{=}} \sqrt{I_1I_2}\cdot \cos \left [(\omega_1 -\omega_2)\cdot t -(k_1 - k_2)\cdot x - \varphi\right ]|eq:28|(28)}}
 +
ahol felhasználtuk ([[#eq:24|24]])-et. Egy lebegésszerű jelenséget tapasztalunk: a heterodin jel a körfek-venciák különbségének megfelelő frekvenciával harmonikusan változik. A másik jellemző sebességfüggést, a szinuszos rezgőmozgást végző tükröt, a következő alfejezetben tárgyaljuk.
 +
 +
===Amplitúdó mérés heterodin méréstechnikával===
 +
Az előző fejezetben tárgyaltuk, hogy az interferométer egyik tükrének állandó, a tükörre merőleges sebességgel történő mozgatásának hatására milyen heterodin jel keletkezik és ez hogyan használható a sebesség nagyságának meghatározására. Ebben a fejezetben azt vizsgáljuk milyen a heterodin jel alakja, ha mozgás ugyan merőleges a tükörre, de a sebesség nagysága időben változó: a példa kedvéért harmonikus rezgőmozgás. A rezgés kitérése:
 +
{{eq|x_r {{=}} x_0\cos (\omega_rt + \varphi_r)|eq:29|(29)}}
 +
ahol $x_0$ az amplitúdó $\omega_r$ a rezgés körfrekvenciája $\varphi_r$ pedig a kezdőfázis. Ez alapján a pillanatnyi sebesség:
 +
{{eq|v(t) {{=}} \dot{x} {{=}} -x_0\omega_r \sin (\omega_rt + \varphi_r)|eq:30|(30)}}
 +
A heterodin frekvencia pedig:
 +
{{eq|f_H {{=}} \frac{2v}{\lambda} {{=}} -\frac{2x_0\omega_r\sin(\omega_rt+\varphi_r)}{\lambda}|eq:31|(31)}}
 +
Itt „v” a tükör #2 sebessége az interferométerben, $\lambda$ az alkalmazott fény hullámhossza. A heterodin jel alakja a harmonikusan rezgő tükör esetén ([[#eq:27|27]]) és ([[#eq:30|30]]) alapján:
 +
{{eq|i_H \equiv \sqrt{I_1I_2}\cos \left [\int\limits_0^{t-x/c}k_1\cdot 2v(\tau)d\tau - \varphi \right ] {{=}} \sqrt{I_1I_2}\cos \left [k_1\cdot 2x_0\cdot \cos \left (\omega_r \cdot (t-x/c)+ \varphi_r\right ) - \varphi \right ]|eq:32|(32)}}
 +
ahol $\varphi$-be a t = 0 miatt újonnan keletkezett konstans fázistolást is belevettük. Ha $\varphi_r$-be szintén beleértjük az x/c-ből eredő konstans fázistolást, akkor a heterodin jel alakja a következő:
 +
{{eq|i_H \equiv \sqrt{I_1I_2}\cos \left [k_1\cdot 2x_0\cdot \cos(\omega_rt + \varphi_r) -\varphi \right ]|eq:33|(33)}}
 +
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
 +
|-
 +
| {{fig|Heterodin_03.png|fig:3|3. ábra. A heterodin jel (vékony kék vonal) és a tükör sebessége (vastag fekete vonal) az idő függvényében. A heterodin jel egy frekvenciamodulált jel: amikor nagy a sebesség akkor sűrűbb, 0 körüli sebességnél a frekvencia is 0 körüli. $\varphi_r$ határozza meg a görbék együttes mozgását az időskálán, $\varphi$ pedig a heterodin jel (kék görbe) kezdőfázisát adja meg a tükör sebességét leíró (fekete) görbéhez képest.}}
 +
|}
 +
A [[#fig:3|3. ábrán]] jól láthatóak a heterodin jel nullhelyei. Célunk az, hogy összefüggést találjunk az adott idő alatt mérhető nullátmenetek és a rezgés amplitúdója között. Vizsgáljuk meg mi a feltétele annak, hogy a heterodin jel értéke 0 legyen. Ha bevezetjük a heterodin jel fázisára a:
 +
{{eq|\Phi \equiv k_1\cdot 2x_0\cdot \cos(\omega_rt + \varphi_r) - \varphi|eq:34|(34)}}
 +
jelölést, akkor a zérus helyek feltétele:
 +
{{eq|\cos(\Phi) {{=}} 0  \quad \to \quad \Phi {{=}} (2n+1)\frac{\pi}{2} \quad n \in Z|eq:35|(35)}}
 +
Ebből a következő adódik:
 +
{{eq|\Phi {{=}} \frac{4\pi x_0}{\lambda}\cos (\omega_rt + \varphi_r) - \varphi {{=}} (2n+1)\frac{\pi }{2}|eq:36|(36)}}
 +
Vegyük a $\varphi_r {{=}} 0$ és $\varphi {{=}} 0$ esetet, és vizsgáljuk meg hány nullahelye van a heterodin jelnek a rezgés egy félperiódusa alatt, azaz $\omega_rt \in [0;\pi]$ intervallumon? A 4. ábra mutatja a $\pi$-vel normált fázist az idő függvényében; azt keressük, ez a görbe hol veszi fel a [[#eq:36|(36)]]-ban meghatározott értékeket (ld. vízszintes rácsozat).
 +
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
 +
|-
 +
| {{fig|Heterodin_04.png|fig:4|4. ábra. A fenti görbe a $\pi$-vel normált fázist mutatja az idő függvényében. A vízszintes rácsozat a 0,5 1,5; 2,5; 3,5 stb. értékeket mutatják, azt ahol a heterodin jel értéke zérus lesz.}}
 +
|}
 +
Az [[#fig:4|4. ábra]] vízszintes rácsozata és a görbe metszéspontjai határozzák meg a heterodin jel nullátmeneteinek időpontjait. Egy fél periódus alatt a [[#eq:36|(36)]] függvény $\pm 4\pi x_0/\lambda$ közötti értékeket vehet föl, a nullahelyek száma tehát:
 +
{{eq|N {{=}} 2\cdot Round\left ( \frac{4x_0}{\lambda}\right )|eq:37|(37)}}
 +
ahol Round(E) az „E” értékének matematikai szabályok szerinti kerekítése. Hogyha a $\varphi_r \neq 0$ vagy $\varphi \neq 0$, akkor ezek és x<sub>0</sub> pontos értékétől függően a nullhelyek értéke eltérhet a képlettől ± 2-vel. Általános esetben tehát, ha a kezdőfázisok ismeretlenek:
 +
{{eq|N {{=}} 2\cdot Round\left ( \frac{4x_0}{\lambda}\right )\pm 2|eq:38|(38)}}
 +
A fázisok hatásának megértéséhez a nullhelyeket meghatározó ([[#eq:36|36]]) képletet átrendezzük:
 +
{{eq|\frac{4\pi x_0}{\lambda}\cos (\omega_rt + \varphi_r) {{=}} (2n+1)\frac{\pi}{2} - \varphi|eq:39|(39)}}
 +
Ez alapján úgy lehet képzelni, mintha $\varphi$ a [[#fig:4|4. ábrán]] szereplő rácsozatot függőlegesen, $\varphi_r$ pedig az egész görbét vízszintesen tologatná. A kísérlet során a harmonikus rezgést egy hangfrekvenciás elektromos generátorral hozzuk létre és a nullahelyeket ezen gerjesztő jel félperiódusa alatt számoljuk meg, azonban a valódi rezgés ehhez képest $\varphi_r$ fázissal el van tolódva, ami az elektromos (kábelhossz, eszközök frekvencia átvitele) és a mechanikai fáziseltolódás összege. A mechanikai fázistolás a teljes heterodin jel időfüggő eltolódását okozza, az elektronikai rendszer fázistolása pedig a gerjesztő feszültséghez képest tolja el a rezgő tükör sebesség-idő függvényét. A $\varphi$ az optikai elemek fázistolásának, és mechanikai pozíciójának eredménye (hatására a heterodin jel kezdőfázisa változik meg a sebesség-időfüggvényhez képest), így az optikai elemek nagyon kicsi elmozdulásaira is igen nagyot változik: a rendszer a mechanikai rezgésekre igen érzékeny lesz.
 +
 +
A mérést az [[#fig:1|1. ábra]] szerinti interferométerrel végezzük el, amelyben természetesen csak akkor kapunk eredményt, ha x<sub>0</sub> elég nagy. Amennyiben $x_0 < \lambda/8$, akkor nullahelyek nem lépnek fel, így ez az eljárás nem alkalmazható. (Ekkor csak a heterodin jel spektrális vizsgálata adhat információt az amplitudóról.) Ezért a heterodin jel nullátmeneteinek számlálásával az alkalmazott lézerfény hullámhosszánál ($\lambda_{He-Ne} {{=}} 633 nm$) nagyobb amplitúdójú rezgéseket lehet csupán vizsgálni. Ha a nullátmenetek között eltelt idők reciprokát képezzük, akkor ezek úgy tekinthetők, mint a t<sub>i</sub> és t<sub>i+1</sub> időpontok közötti pillanatnyi frekvencia, így ezen időközök $\Delta \tau_{i} {{=}} t_{i+1}-t_i$
 +
mérésével a pillanatnyi sebesség abszolút értéke is meghatározható az alábbi összefüggés alapján (de az előjele nem):
 +
{{eq|\frac{1}{2\Delta \tau_i} {{=}} \mid f_i \mid \sim \frac{2\mid v\mid}{\lambda }|eq:40|(40)}}
  
 
==Mérési feladatok==
 
==Mérési feladatok==
 +
===1. feladat===
 +
Egy kis hangszóró membránjára erősített sík üveglap mozgását vizsgáljuk. Szinuszos jellel meghajtva a hangszórót határozzuk meg a lapka sebességét az idő függvényében. Az [[#fig:1|1. ábra]] szerinti interferométer elrendezést használjuk, ahol a tükör #2 szerepét a sík üveglap játssza. A hangszórót úgy kell beállítani, hogy a ráragasztott sík üveglap merőleges legyen a megvilágító lézernyaláb irányára. A hangszórót meghajtó generátor jele amplitúdóban és frekvenciában változtatható, így különböző meghajtási körülmények mellett vizsgálható a mozgás. A membránon levő üveglap sebességét a detektor kimenetén levő frekvencia modulált jel pillanatnyi frekvenciájából határozzuk meg. Ezt egy adott időpillanat utáni, a jel két egymást követő nullátmenete közötti idő mérésére vezetjük vissza. A mérés oszcilloszkóppal hajtjuk végre. A jelet a hangfrekvenciás generátorról triggereljük, kimerevítjük és a markerek segítségével megmérjük egy periódus alatt a nullhelyek időbeli távolságát. A ([[#eq:40|40]]) egyenlőségből f(t), és $\lambda {{=}} 632,8\ nm$  ismeretében a pillanatnyi sebesség v(t) is kiszámítható.
  
−
*[[Media:heterodin.pdf|Optikai heterodin detektálás és alkalmazásai]]
+
A mérés menete:
 +
* Kapcsoljuk be a lézer tápegységet, az oszcilloszkópot, a jelgenerátort, és a detektort!
 +
* A jelgenerátort állítsuk harmonikus jelalakra, frekvenciáját állítsuk be 100 Hz-re a FREQUENCY gombbal. A triggereléshez a jelet osszuk meg egy T dugóval és ezt csatla-koztassuk az oszcilloszkóp 1-es bemenetére. A másik BNC kábelt kössük a hangszóró bemenetére. Amplitúdóját az AMPLITUDE. gombbal állítsuk 30 mV peak to peak értékre.
 +
* A hangszórót és tükör #1-et úgy állítsuk be, hogy a visszavert fénynyalábok a távoltérben (azaz a falon), és a detektoron is fedjék egymást ([[#fig:1|1. ábra]]). Így biztosítjuk az irányok párhuzamosságát és az azonos térbeli pozíciót. Ügyeljünk rá, hogy a lézerbe ne lőjünk vissza, mert a rezonátor veszteségeinek elhangolásával a kimenő teljesítmény zajos lesz.
 +
* A detektor kimeneti jelét bevezetjük az oszcilloszkóp 2 csatornájára. Az oszcilloszkópon megjelenő jelet figyelve a tükör #1, a detektor és a hangszórótartó finombeállító csavarjaival maximalizáljuk a detektorjelet. Ez legalább 1 V csúcsérték legyen.
 +
* Merevítsük ki a jelet a run/stop gombbal és határozzuk meg a szomszédos nullahelyek távolságát a rezgés egy periódusa alatt (cursors funkció), és ezeket használjuk a pillanatnyi frekvencia és a sebesség időfüggésénbek meghatározására.
 +
* A nulla sebességű időkhöz rendeljünk extrapolációval a nulla sebességet! A mérésből a sebesség előjele nem határozható meg, csak annak abszolút értéke.
 +
 
 +
===2. mérés===
 +
Mérjük meg a hangszóró membránjának amplitúdóját a frekvencia függvényében 100 Hz és 2000 Hz között, az előző feladatban beállított amplitúdót használva:
 +
* 100 és 200 Hz között 20 Hz-ként,
 +
* 200 és 500 Hz között 50 Hz-ként,
 +
* 500 és 2000 Hz között 100 Hz-ként.
 +
A detektor jelében a nullátmenetek száma alapján meghatározható egy rezgő rendszer amplitúdója. Ábrázoljuk a membrán amplitúdóját a frekvencia függvényében! Használjuk ismét az oszcilloszkóp run/stop és cursors funkcióját, ha szükséges! Milyen jellegzetességet mutat a kapott görbe?
 +
 
 +
===3. mérés===
 +
Határozzuk meg egy lassú, egyenletesen mozgó tükör sebességét. A mozgási sebesség itt már olyan kicsi, hogy a heterodin frekvencia a hangfrekvenciás tartományba esik. Erről meg is lehet győződni, ha a detektor kimenetét a hangszóróra csatlakoztatjuk, így az úgynevezett Doppler-fütty hallhatóvá tehető. A tükör lassú, egyenletes mozgását egy motorral meghajtott lineáris mozgatóval hozzuk létre. A motor táplálásával különböző sebességeket lehet beállítani, és ennek megfelelően más-más heterodin frekvencia áll elő. Mivel a mozgás „egyenletes”, ezért a heterodin jel frekvenciája állandó, a mozgás folyamán nem változik. Ezért itt nem pillanatnyi frekvenciát kell meghatározni, hanem egy meghatározott frekvenciát, melynek mérését oszcilloszkóppal végezzük amiből kiszámolható a sebesség.
 +
 
 +
A mérés menete:
 +
* Helyezzük be a lineáris mozgatót a hangszórót tartó mechanika helyére úgy, hogy a beeső és a tükörről visszaverődő nyaláb párhuzamos legyen! Ezt a tükörtartón levő állító mechanikával lehet elérni. A tükörmozgató síneket tegyük minél közelebb az osztótükörhoz, hogy az úthosszkülönbséget minimalizájuk.
 +
* Kapcsoljuk be a motor tápegységét, és addig növeljük a feszültséget, amíg a motor egyenletesen nem forog. A motor feszültsége ne legyen nagyobb 3V-nál! Véghelyzethez közeledve változtassuk meg a polaritást és ezzel a sebesség irányát.
 +
* A detektor kimenetét az oszcilloszkóp 1 bemenetére csatlakoztatva a tükörállítókkal maximalizáljuk a jelet.
 +
* Mérjük meg az oszcilloszkóppal a heterodin jel frekvenciáját! A mérési eredményt 10 frekvencia értékéből átlagolja (mivel a sebesség kissé ingadozik).
 +
* Ismételjük meg a mérést három másik motor meghajtásnál, azaz másik feszültségnél is! Minden motor feszültség esetén határozza meg a sebességet a vonalzó és óra segítségével.
 +
* A detektor kimenetét csatlakoztassa a hangszóróra és állítson elő Doppler-füttyöt!
 +
* Számítsa ki a két sebességértéket a ([[#eq:26|26]]) egyenlet segítségével!
 +
==Függelék - a Doppler effektus relativisztikus tárgyalása==
 +
Az elektromágneses sugárzás esetén is tapasztalható a doppler effektus, ami azt jelenti, hogy ha a forrás és a megfigyelő egymáshoz képest mozog, akkor az érzékelt frekvencia eltér a kibocsátott sugárzás frekvenciájától. Tekintsük K és K’ koordináta rendszereket, amelyek „x” tengelyük irányában egymáshoz képest v sebességgel mozognak; y és z tengely iránya egyezzen meg, valamint $t {{=}} t’{{=}} 0$ időpillanatban origójuk essen egybe. Ezen feltételek érvényessége mellett a két rendszer közti koordináta-transzformáció a következő alakú:
 +
$$\begin{cases}
 +
x' &= \gamma (x - vt) \\
 +
y' &= y \\
 +
z' &= z \\
 +
t' &= \gamma (t - \frac{vx}{c^2})
 +
\end{cases}$$
 +
ahol
 +
$$\gamma {{=}} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$
 +
és „c” a fénysebesség, „v” a két koordináta rendszer közti sebesség. Haladjon az „x” tengely mentén egy fénynyaláb. Ennek körfrekvenciája és hullámszáma a K rendszerben $\omega$ és $k$, a K’ rendszerben $\omega'$ és $k'$ . A fázis egy invariáns skalár, mindkét rendszerből nézve állandó:
 +
$$\varphi {{=}} \omega t - kx {{=}} \omega 't' - k'x'$$
 +
Ez egy $x^+$ irányba haladó elektromágneses hullám fázisa. Az egyenlet jobb oldalába behelyettesítve a koordináta-transzformációt, a következőt kapjuk:
 +
$$\varphi {{=}} \omega '\gamma \cdot t + k'\gamma v\cdot t -k'\gamma \cdot x - \omega '\gamma \frac{v}{c^2}\cdot x$$
 +
A körfrekvencia definíció szerint a fázis idő szerinti parciális deriváltja így:
 +
$$\omega \equiv \frac{\partial \varphi }{\partial t} {{=}} \omega '\gamma + k' \gamma v$$
 +
Felhasználva, hogy
 +
$k' {{=}} \frac{2\pi }{\lambda '}$ és $\omega ' {{=}} 2\pi f'$,
 +
a frekvenciákra a következő összefüggés teljesül:
 +
$$f {{=}} \gamma \cdot f' + \gamma \cdot \frac{v}{\lambda '}$$
 +
Mivel azonban a relatív sebesség igen kicsi $\left ( \frac{v}{c} \ll 1\right )$ ezért $\gamma \cong 1$ és így jó közelítéssel:
 +
$$f {{=}} f' + \frac{v}{\lambda}$$
 +
A képletből leolvasható, hogy távolodó forrás és megfigyelő esetén a frekvencia csökken közeledő forrás és megfigyelő esetén a frekvencia nő.
 +
 
 +
==PDF formátum==
 +
*[[Media:HeterodinL.pdf|Optikai heterodin detektálás és alkalmazásai]]
  
 
</wlatex>
 
</wlatex>
 +
 +
<!--Utolso szerkesztes: 2013.09.25-->

A lap jelenlegi, 2013. szeptember 27., 09:12-kori változata


Tartalomjegyzék


Elméleti összefoglaló

A hullám fogalma – a fény mint hullám

A fény, mint ismeretes, az elektromágneses tér hullámjelensége. Jellemző rezgési frekvenciája a 1014 Hz körüli tartományba esik. Az a fizikai mennyiség, amelynek terjedését egyszerűen fénynek nevezzük, az elektromos és mágneses térerősség. Tehát a fényben az elektromos és a mágneses tér változásai terjednek. Tekintsünk egy, a tárgyalás szempontjából egyszerű, lineárisan polarizált harmonikus síkhullámot. A síkhullám elnevezés onnan ered, hogy az azonos térerősségű pontok egy adott pillanatban egy síkon helyezkednek el. A síkhullám kifejezése:

 
\[{{E\left( \mathbf{r},t \right) = {E_0}\cos \left( \omega t - \mathbf{kr} \right)}}\]
(1)

ahol E0 az elektromos hullám amplitúdója, k a hullámszám vektor, \setbox0\hbox{$\omega {{=}} 2\pi \cdot f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% az elektro-mágneses hullám körfrekvenciája, „f” pedig a frekvenciája. Egyszerű megfontolásokból a hullám terjedési sebessége k-val és \setbox0\hbox{$\omega $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-val kifejezhető:

 
\[{{c = \frac{\omega }{\left| \mathbf{k} \right|}}}\]
(2)

A „k” helyett a gyakorlatban \setbox0\hbox{$\lambda {{=}} \frac{2\pi}{k}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-t szokás használni, amelyet hullámhossznak nevezünk. Így az egyenlet ismertebb alakjában \setbox0\hbox{$c {{=}} \lambda \cdot f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Az (1) egyenletből látszik \setbox0\hbox{$\lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szemléletes jelentése is: azt a k vektor irányában mért legkisebb távolságot jelenti, amely szerint a térerősség periodikusan változik.

Doppler-effektus

Tegyük fel, hogy az (1) szerinti monokromatikus síkhullámot egy „K” koordináta-rendszerben írtuk fel. Ha ezt a síkhullámot a K-hoz képest v(t) pillanatnyi sebességgel mozgó K' rendszerből figyeljük, akkor a hullám K-beli frekvenciájától különböző frekvenciájú hullámot fogunk észlelni. Válasszuk úgy a K és K' rendszert, hogy t=0-ban az origók egybe essenek. Ekkor a K-beli koordinátát K'-beli koordinátákkal kifejezhetjük:

 
\[\mathbf{r} = \int\limits_0^t \mathbf{v}(\tau) d\tau + \mathbf{r'}\]
(3)

Ezt beírva az (1) egyenletbe, a hullám K'-beli alakját nyerjük:

 
\[E\left( \mathbf{r'},t \right) = {E_0}\cos \left( \phi (\mathbf{r'},t) \right)= {E_0}\cos \left( \omega t - \mathbf{k} \cdot \int\limits_0^t \mathbf{v}(\tau)d\tau - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r'} \right)\]
(4)

Definíció szerint a körfrekvencia a fázis (\setbox0\hbox{$\phi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) idő szerinti parciális deriváltja:

 
\[\omega '(t) \equiv \frac{\partial \phi }{\partial t} = \omega - \mathbf{k} \cdot \mathbf{v}(t)\]
(5)

tehát a két rendszer relatív sebességétől függően a körfrekvencia megváltozik, mégpedig a két vonatkoztatási rendszer relatív sebességének pillanatnyi értéke szerint. (Az egyszerűség kedvéért v és ω időfüggését a továbbiakban nem jelöljük.) Ezt a jelenséget felfedezőjéről Doppler-effektusnak nevezik. A jelenség az akusztikában már XIX században ismert és igazolt volt. (A fenti eredmény csak közelítő jellegű, mivel a Galilei-féle relativitás elvének megfelelő transzformáció, amellyel az egyik koordináta rendszerből áttérünk a másikba, csak a fénysebességhez képest kis v sebességek esetében igaz. A pontos tárgyalásnál a Galilei-féle relativitást fel kell cserélni az Einstein-féle relativitás elvével és ennek megfelelően a két rendszer transzformációját Lorentz-transzformációval kell leírni, ld. a függeléket. A gyakorlatban szinte mindig teljesül az a feltétel, hogy v << c, ahol „c” a fénysebesség, ezért a kapott eredmények nagyon nagy pontossággal érvényben maradnak.) Felhasználva a

 
\[k = \frac{2\pi }{\lambda } \qquad \acute{e}s \qquad \omega = 2\pi f\]
(6)

egyenleteket, a körfrekvenciáról áttérve frekvenciára kapjuk:

 
\[{{f' = f - \frac{\left| \mathbf{v} \right|}{\lambda }\cos \vartheta}}\]
(7)

ahol \setbox0\hbox{$\cos \vartheta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a k és v vektor által bezárt szög koszinusza. Speciálisan, ha k és v azonos irányú, akkor \setbox0\hbox{$\cos \vartheta {{=}} 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% , így:

 
\[{{f' = f - \frac{\left| \mathbf{v} \right|}{\lambda }}}\]
(8)

és ha ellentétes irányúak, akkor \setbox0\hbox{$\cos \vartheta {{=}} -1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% , melyből:

 
\[{{f' = f + \frac{\left| \mathbf{v} \right|}{\lambda }}}\]
(9)

Optikai keverés

Tekintsünk két különböző frekvenciájú (\setbox0\hbox{$\omega_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\omega_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%), és azonos terjedési irányú (x) elektromágneses síkhullámot, ahol az egyik körfrekvencia időfüggő: \setbox0\hbox{$\omega_2(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Ebben az esetben az elektromos térerősségek a következőképp írhatók fel:

 
\[{{{E_1} = {E_{10}}\cos \left( {{\omega _1}t - {k_1}x} \right)}}\]
(10)
 
\[{E_2} = E_{20}\cos \left( \int\limits_0^t \omega _2(\tau )d\tau - \int\limits_t^{t - x/c} \omega _2(\tau )d\tau + \varphi \right)=E_{20}\cos \left( \int\limits_0^{t - x/c} \omega _2(\tau )d\tau + \varphi\right)\]
(11)

ahol „c” a fénysebesség, \setbox0\hbox{$\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pedig egy konstans fázistolás. Az eredő elektromágneses tér a kettő összege:

 
\[E = E_1 + E_2 = E_{10}\cos \left(\omega_1t - k_1x\right) + E_{20}\cos\left(\int\limits_0^{t - x/c} \omega _2(\tau )d\tau + \varphi\right)\]
(12)

Helyezzünk az eredő tér egy adott pontjába (x) fényérzékelőt. Az érzékelő által szolgáltatott áram \setbox0\hbox{${i_D}\sim P$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, ahol „P” a detektorra eső fényteljesítmény. A fényteljesítmény viszont az elektromos térerősség négyzetével arányos:

 
\[P\sim E^2 = E_{10}^2 \cos^2\left(\omega_1t - k_1x\right) + E_{20}\cos^2\left(\int\limits_0^{t-x/c}\omega_2(\tau)d\tau + \varphi \right)+2E_{10}E_{20}\cos\left(\omega_1t - k_1x\right)\cos\left(\int\limits_{0}^{t-x/c}\omega_2(\tau)d\tau + \varphi\right)\]
(13)

Ha ω2-t ω1-ből Doppler-eltolással állítjuk elő, és az alkalmazott sebességek nem relativisztikusak akkor ω2 csak nagyon kicsit tér el a konstans ω1-től. A továbbiakban egyszerűbb, ha az ω2 időfüggését egy külön \setbox0\hbox{$\Delta \omega (t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% taggal kezeljük, amely jóval kisebb ω1-nél.

 
\[\omega_2(t) = \omega_1 + \Delta\omega(t)\]
(14)

Δω függését a koordinátarendszerek sebességétől lásd a következő fejezetben. Ekkor

 
\[\int\limits_0^{t-x/c}\omega_2(\tau)d\tau = \omega_1(t-x/c) + \int\limits_0^{t-x/c}\Delta\omega(\tau)d\tau\]
(15)

Behelyettesítve (13)-ba a fenti összefüggést, és felhasználva, hogy

 
\[{{\cos \alpha \cdot \cos \beta = \frac{1}{2}\left( {\cos \left( {\alpha + \beta } \right) + \cos \left( {\alpha - \beta } \right)} \right)}}\]
(16)

iD alakja a következő:

 
\[i_D \sim E_{10}^2\cos^2\left(\omega_1t - k_1x\right)+ E_{20}^2cos^2\left(\omega_1t - k_1x + \int\limits_0^{t-x/c}\Delta\omega(\tau)d\tau + \varphi\right) + E_{10}E_{20}\cos\left[2\omega_1t - 2k_1x + \int\limits_0^{t-x/c}\Delta\omega(\tau)d\tau + \varphi\right] + \]
(17)
\[E_{10}E_{20}\cos\left[-\int\limits_0^{t-x/c}\Delta\omega(\tau)d\tau - \varphi\right]\]

A detektor a ráeső teljesítmény időátlagát méri. Mivel fény esetén \setbox0\hbox{$\omega_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\omega_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% ~1015 nagyságrendű, és ezt a frekvenciát a fényérzékelő nem képes követni, az első három tag iD kifejezésében kiátlagolódik. Felhasználva, hogy:

\[\left<\cos(x)\right> {{=}} 0\]
 
\[\left<\cos^2(x)\right> = \frac{1}{2}\]
(18)
\[\cos(-x) {{=}} \cos(x)\]

ahol < > az időátlagot jelenti. A detektor jelére azt kapjuk, hogy:

 
\[\left<i_D\right> \sim \frac{E_{10}^2}{2} + \frac{E_{20}^2}{2} + E_{10}E_{20}\cdot\cos\left(\int\limits_0^{t-x/c}\Delta\omega(\tau)d\tau + \varphi\right)\]
(19)

Az időátlagolást a fenti kifejezésben a fényhullám periódusidejének néhányszorosára végeztük el (ahogy a detektor is teszi), ezért ha \setbox0\hbox{$\omega_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\omega_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% elég közel esik egymáshoz, a (17) kifejezés negyedik tagja átlagolás után is megmarad, ugyanis az \setbox0\hbox{$\omega_1 - \omega_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% jóval nagyobb magánál \setbox0\hbox{$\omega_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\omega_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-nél. Amennyiben a különbségi körfrekvencia olyan kicsi, hogy az ebből eredő változást már a fényérzékelő is képes követni, a detektor kimenő jelében megjelenik egy, a két fény körfrekvencia-különbségével változó jel, melynek amplitúdója a két térerősség amplitúdójának szorzata. Bevezetve az intenzitásokra az \setbox0\hbox{$E_{10}^2 = {I_1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$E_{20}^2 = {I_2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% jelölést:

 
\[\left<i_D\right> \sim \frac{I_1}{2} + \frac{I_2}{2} + \sqrt{I_1 I_2}\cdot\cos\left(\int\limits_0^{t-x/c}\Delta\omega(\tau)d\tau + \varphi\right)\]
(20)

Az így kapott jel egyenáramú komponense a két fényhullám intenzitásának összegével arányos, ami e mérésben nem informatív, ezért elektronikus úton leszűrjük. A mért jel váltóáramú komponensét (iH) heterodin jelnek, az eljárást pedig heterodin keverésnek nevezzük:

 
\[i_H \equiv \sqrt{I_1 I_2}\cdot\cos\left(\int\limits_0^{t-x/c}\Delta\omega(\tau)d\tau + \varphi\right)\]
(21)

Az optikai keverésnél az intenzitások közül az egyiket elektromos analógia alapján lokáloszcillátornak nevezik (I1), a másikat pedig jelintenzitásnak (I2). Fénydetektálás szempontjából az optikai keverésnek azért van nagy jelentősége, mert a keletkező heterodin jel frekvenciája jól meghatározott értékű, valamint megfelelő nagyságú lokáloszcillátor-intenzitás segítségével a \setbox0\hbox{$\sqrt {{I_1}{I_2}} $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szorzat még kis I2 mellett is megnövelhető. Így az optikai keverés kis fényintenzitások mérésének egyik alkalmas módszereként kínálkozik. Ha például egy detektor érzékenysége 1 mW, és ennél kisebb jelet, mondjuk 10 μW-ot akarunk vele mérni, akkor a 10 μW-os jelet összekeverve egy 1 W-os lokál-oszcillátor jelével, akkor kb. 3 mW-os kevert jel keletkezik, amely már mérhető az adott detektorral. A dolog szépséghibája, hogy a detektoron megjelenik egy nagy, jelen esetben 1 W-os egyenáramú jel is, ami az érzékelőt, vagy az elekronikus erősítőt telítésbe viheti.

Optikai keverés megvalósítása Doppler-effektus felhasználásával

Az optikai keverés megvalósításához egy interferométerre van szükség. Az 1. ábrán látható Michelson-interferométerben a két nyaláb a karokból a féligáteresztő lemezen egyesül úgy, hogy a detektort azonos ponton találja el, és irányuk is pontosan megegyezik (azaz k1 és k2 párhuzamos).

1. ábra. Optikai keverés megvalósítása Michelson-interferométerrel

Ha ugyanis k1−k2-nek van a terjedési irányra merőleges komponense (α ≠ 0, ld. 2. ábra), a detektor síkjában egy interferencia csíkrendszer alakul ki, ami miatt a heterodin jel kiátlagolódhat. Azért, hogy ezt elkerüljük, a detektor méretének (d) kisebbnek kell lennie a kialakuló interferencia kép fél periódusánál:

 
\[d < \frac{2\pi}{4\cdot k_1\cdot \sin\left (\alpha/2\right )}\qquad \to \qquad \alpha < \frac{\lambda}{2d}\left [ rad \right ]\]
(22)

ahol felhasználtuk, hogy \setbox0\hbox{$k_1\approx k_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Mivel a detektor mérete általában adott, az előző kifejezés a nyalábok egymáshoz viszonyított irányának beállítására ad egy erős kényszert: ha a detektor mérete d = 1 mm, λ = 633 nm, akkor α < 0,0003°, ami 3 m-en 1 mm távolságnak felel meg!

2. ábra. Az optikai keverésnél fellépő interferencia kép és a detektor méretének (d) viszonya, abban az esetben, ha a két nyaláb (k1 és k2) nem párhuzamos (α ≠ 0).

Az optikai keveréshez szükséges kismértékű frekvencia eltérést a Doppler-effektus révén érhetjük el: az interferométer egyik karjában lévő tükör#2, ld. (1. ábra) önmagával párhuzamos, nyalábra merőleges, „v” sebességgel történő mozgatása esetén a tükörre eső fény frekvenciája a Doppler-effektus miatt megváltozik. A mozgó tükör az álló forrásból érkező „f” frekvenciájú lézernyalábot f'-nek érzékeli:

 
\[f' = f - \frac{v}{\lambda}\]
(23)

ahol a sebesség előjeles mennyiség (v > 0, ha a tükör a forrástól távolodik). A tükör ilyen frekvenciájú fényt ver vissza, azonban a detektor egy másik frekvenciát (f") érzékel, ugyanis a tükör hozzá képest egy mozgó forrás. A mozgó tükör karjából érkező fény frekvenciája a detektornál tehát:

 
\[f" = f' - \frac{v}{\lambda} = f - \frac{2v}{\lambda} \qquad \Leftrightarrow \qquad \omega_2 = \omega_1 - k_1 \cdot 2v\]
(24)

A frekvenciák közötti különbség tehát:

 
\[\Delta \omega = -2\cdot k_1\cdot v\]
(25)

ahol \setbox0\hbox{$\omega_1 {{=}} 2\cdot \pi f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\omega_2 {{=}} 2\cdot \pi \cdot f"$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Ebből a heterodin frekvencia:

 
\[f_H \equiv f' - f" = \frac{2\cdot v(t)}{\lambda}\]
(26)

A másik nyalábnak a frekvenciája változatlan, így a keletkező heterodin jel (21) szerint:

 
\[i_H \equiv \sqrt{I_1I_2}\cdot \cos\left [\int\limits_0^{t-x/c}k_1\cdot 2v(\tau)d\tau - \varphi \right ]\]
(27)

A sebesség időfüggése szempontjából két speciális esetet érdemes megvizsgálni. Az egyik az egyenes vonalú egyenletes sebességű mozgás. Ekkor v(t) = v = const., azaz (27) egyenletből az integrálás elvégzése után a következő marad:

 
\[i_H \equiv \sqrt{I_1I_2}\cdot \cos \left [k_1\cdot 2v\cdot \left (t-\frac{x}{c}\right ) - \varphi \right ] = \sqrt{I_1I_2}\cdot \cos \left [(\omega_1 -\omega_2)\cdot t -(k_1 - k_2)\cdot x - \varphi\right ]\]
(28)

ahol felhasználtuk (24)-et. Egy lebegésszerű jelenséget tapasztalunk: a heterodin jel a körfek-venciák különbségének megfelelő frekvenciával harmonikusan változik. A másik jellemző sebességfüggést, a szinuszos rezgőmozgást végző tükröt, a következő alfejezetben tárgyaljuk.

Amplitúdó mérés heterodin méréstechnikával

Az előző fejezetben tárgyaltuk, hogy az interferométer egyik tükrének állandó, a tükörre merőleges sebességgel történő mozgatásának hatására milyen heterodin jel keletkezik és ez hogyan használható a sebesség nagyságának meghatározására. Ebben a fejezetben azt vizsgáljuk milyen a heterodin jel alakja, ha mozgás ugyan merőleges a tükörre, de a sebesség nagysága időben változó: a példa kedvéért harmonikus rezgőmozgás. A rezgés kitérése:

 
\[x_r = x_0\cos (\omega_rt + \varphi_r)\]
(29)

ahol \setbox0\hbox{$x_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% az amplitúdó \setbox0\hbox{$\omega_r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a rezgés körfrekvenciája \setbox0\hbox{$\varphi_r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pedig a kezdőfázis. Ez alapján a pillanatnyi sebesség:

 
\[v(t) = \dot{x} = -x_0\omega_r \sin (\omega_rt + \varphi_r)\]
(30)

A heterodin frekvencia pedig:

 
\[f_H = \frac{2v}{\lambda} = -\frac{2x_0\omega_r\sin(\omega_rt+\varphi_r)}{\lambda}\]
(31)

Itt „v” a tükör #2 sebessége az interferométerben, \setbox0\hbox{$\lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% az alkalmazott fény hullámhossza. A heterodin jel alakja a harmonikusan rezgő tükör esetén (27) és (30) alapján:

 
\[i_H \equiv \sqrt{I_1I_2}\cos \left [\int\limits_0^{t-x/c}k_1\cdot 2v(\tau)d\tau - \varphi \right ] = \sqrt{I_1I_2}\cos \left [k_1\cdot 2x_0\cdot \cos \left (\omega_r \cdot (t-x/c)+ \varphi_r\right ) - \varphi \right ]\]
(32)

ahol \setbox0\hbox{$\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-be a t = 0 miatt újonnan keletkezett konstans fázistolást is belevettük. Ha \setbox0\hbox{$\varphi_r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-be szintén beleértjük az x/c-ből eredő konstans fázistolást, akkor a heterodin jel alakja a következő:

 
\[i_H \equiv \sqrt{I_1I_2}\cos \left [k_1\cdot 2x_0\cdot \cos(\omega_rt + \varphi_r) -\varphi \right ]\]
(33)
3. ábra. A heterodin jel (vékony kék vonal) és a tükör sebessége (vastag fekete vonal) az idő függvényében. A heterodin jel egy frekvenciamodulált jel: amikor nagy a sebesség akkor sűrűbb, 0 körüli sebességnél a frekvencia is 0 körüli. \setbox0\hbox{$\varphi_r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% határozza meg a görbék együttes mozgását az időskálán, \setbox0\hbox{$\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pedig a heterodin jel (kék görbe) kezdőfázisát adja meg a tükör sebességét leíró (fekete) görbéhez képest.

A 3. ábrán jól láthatóak a heterodin jel nullhelyei. Célunk az, hogy összefüggést találjunk az adott idő alatt mérhető nullátmenetek és a rezgés amplitúdója között. Vizsgáljuk meg mi a feltétele annak, hogy a heterodin jel értéke 0 legyen. Ha bevezetjük a heterodin jel fázisára a:

 
\[\Phi \equiv k_1\cdot 2x_0\cdot \cos(\omega_rt + \varphi_r) - \varphi\]
(34)

jelölést, akkor a zérus helyek feltétele:

 
\[\cos(\Phi) = 0 \quad \to \quad \Phi = (2n+1)\frac{\pi}{2} \quad n \in Z\]
(35)

Ebből a következő adódik:

 
\[\Phi = \frac{4\pi x_0}{\lambda}\cos (\omega_rt + \varphi_r) - \varphi = (2n+1)\frac{\pi }{2}\]
(36)

Vegyük a \setbox0\hbox{$\varphi_r {{=}} 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\varphi {{=}} 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% esetet, és vizsgáljuk meg hány nullahelye van a heterodin jelnek a rezgés egy félperiódusa alatt, azaz \setbox0\hbox{$\omega_rt \in [0;\pi]$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% intervallumon? A 4. ábra mutatja a \setbox0\hbox{$\pi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-vel normált fázist az idő függvényében; azt keressük, ez a görbe hol veszi fel a (36)-ban meghatározott értékeket (ld. vízszintes rácsozat).

4. ábra. A fenti görbe a \setbox0\hbox{$\pi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-vel normált fázist mutatja az idő függvényében. A vízszintes rácsozat a 0,5 1,5; 2,5; 3,5 stb. értékeket mutatják, azt ahol a heterodin jel értéke zérus lesz.

Az 4. ábra vízszintes rácsozata és a görbe metszéspontjai határozzák meg a heterodin jel nullátmeneteinek időpontjait. Egy fél periódus alatt a (36) függvény \setbox0\hbox{$\pm 4\pi x_0/\lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% közötti értékeket vehet föl, a nullahelyek száma tehát:

 
\[N = 2\cdot Round\left ( \frac{4x_0}{\lambda}\right )\]
(37)

ahol Round(E) az „E” értékének matematikai szabályok szerinti kerekítése. Hogyha a \setbox0\hbox{$\varphi_r \neq 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% vagy \setbox0\hbox{$\varphi \neq 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, akkor ezek és x0 pontos értékétől függően a nullhelyek értéke eltérhet a képlettől ± 2-vel. Általános esetben tehát, ha a kezdőfázisok ismeretlenek:

 
\[N = 2\cdot Round\left ( \frac{4x_0}{\lambda}\right )\pm 2\]
(38)

A fázisok hatásának megértéséhez a nullhelyeket meghatározó (36) képletet átrendezzük:

 
\[\frac{4\pi x_0}{\lambda}\cos (\omega_rt + \varphi_r) = (2n+1)\frac{\pi}{2} - \varphi\]
(39)

Ez alapján úgy lehet képzelni, mintha \setbox0\hbox{$\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a 4. ábrán szereplő rácsozatot függőlegesen, \setbox0\hbox{$\varphi_r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pedig az egész görbét vízszintesen tologatná. A kísérlet során a harmonikus rezgést egy hangfrekvenciás elektromos generátorral hozzuk létre és a nullahelyeket ezen gerjesztő jel félperiódusa alatt számoljuk meg, azonban a valódi rezgés ehhez képest \setbox0\hbox{$\varphi_r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% fázissal el van tolódva, ami az elektromos (kábelhossz, eszközök frekvencia átvitele) és a mechanikai fáziseltolódás összege. A mechanikai fázistolás a teljes heterodin jel időfüggő eltolódását okozza, az elektronikai rendszer fázistolása pedig a gerjesztő feszültséghez képest tolja el a rezgő tükör sebesség-idő függvényét. A \setbox0\hbox{$\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% az optikai elemek fázistolásának, és mechanikai pozíciójának eredménye (hatására a heterodin jel kezdőfázisa változik meg a sebesség-időfüggvényhez képest), így az optikai elemek nagyon kicsi elmozdulásaira is igen nagyot változik: a rendszer a mechanikai rezgésekre igen érzékeny lesz.

A mérést az 1. ábra szerinti interferométerrel végezzük el, amelyben természetesen csak akkor kapunk eredményt, ha x0 elég nagy. Amennyiben \setbox0\hbox{$x_0 < \lambda/8$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, akkor nullahelyek nem lépnek fel, így ez az eljárás nem alkalmazható. (Ekkor csak a heterodin jel spektrális vizsgálata adhat információt az amplitudóról.) Ezért a heterodin jel nullátmeneteinek számlálásával az alkalmazott lézerfény hullámhosszánál (\setbox0\hbox{$\lambda_{He-Ne} {{=}} 633 nm$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) nagyobb amplitúdójú rezgéseket lehet csupán vizsgálni. Ha a nullátmenetek között eltelt idők reciprokát képezzük, akkor ezek úgy tekinthetők, mint a ti és ti+1 időpontok közötti pillanatnyi frekvencia, így ezen időközök \setbox0\hbox{$\Delta \tau_{i} {{=}} t_{i+1}-t_i$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% mérésével a pillanatnyi sebesség abszolút értéke is meghatározható az alábbi összefüggés alapján (de az előjele nem):

 
\[\frac{1}{2\Delta \tau_i} = \mid f_i \mid \sim \frac{2\mid v\mid}{\lambda }\]
(40)

Mérési feladatok

1. feladat

Egy kis hangszóró membránjára erősített sík üveglap mozgását vizsgáljuk. Szinuszos jellel meghajtva a hangszórót határozzuk meg a lapka sebességét az idő függvényében. Az 1. ábra szerinti interferométer elrendezést használjuk, ahol a tükör #2 szerepét a sík üveglap játssza. A hangszórót úgy kell beállítani, hogy a ráragasztott sík üveglap merőleges legyen a megvilágító lézernyaláb irányára. A hangszórót meghajtó generátor jele amplitúdóban és frekvenciában változtatható, így különböző meghajtási körülmények mellett vizsgálható a mozgás. A membránon levő üveglap sebességét a detektor kimenetén levő frekvencia modulált jel pillanatnyi frekvenciájából határozzuk meg. Ezt egy adott időpillanat utáni, a jel két egymást követő nullátmenete közötti idő mérésére vezetjük vissza. A mérés oszcilloszkóppal hajtjuk végre. A jelet a hangfrekvenciás generátorról triggereljük, kimerevítjük és a markerek segítségével megmérjük egy periódus alatt a nullhelyek időbeli távolságát. A (40) egyenlőségből f(t), és \setbox0\hbox{$\lambda {{=}} 632,8\ nm$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% ismeretében a pillanatnyi sebesség v(t) is kiszámítható.

A mérés menete:

  • Kapcsoljuk be a lézer tápegységet, az oszcilloszkópot, a jelgenerátort, és a detektort!
  • A jelgenerátort állítsuk harmonikus jelalakra, frekvenciáját állítsuk be 100 Hz-re a FREQUENCY gombbal. A triggereléshez a jelet osszuk meg egy T dugóval és ezt csatla-koztassuk az oszcilloszkóp 1-es bemenetére. A másik BNC kábelt kössük a hangszóró bemenetére. Amplitúdóját az AMPLITUDE. gombbal állítsuk 30 mV peak to peak értékre.
  • A hangszórót és tükör #1-et úgy állítsuk be, hogy a visszavert fénynyalábok a távoltérben (azaz a falon), és a detektoron is fedjék egymást (1. ábra). Így biztosítjuk az irányok párhuzamosságát és az azonos térbeli pozíciót. Ügyeljünk rá, hogy a lézerbe ne lőjünk vissza, mert a rezonátor veszteségeinek elhangolásával a kimenő teljesítmény zajos lesz.
  • A detektor kimeneti jelét bevezetjük az oszcilloszkóp 2 csatornájára. Az oszcilloszkópon megjelenő jelet figyelve a tükör #1, a detektor és a hangszórótartó finombeállító csavarjaival maximalizáljuk a detektorjelet. Ez legalább 1 V csúcsérték legyen.
  • Merevítsük ki a jelet a run/stop gombbal és határozzuk meg a szomszédos nullahelyek távolságát a rezgés egy periódusa alatt (cursors funkció), és ezeket használjuk a pillanatnyi frekvencia és a sebesség időfüggésénbek meghatározására.
  • A nulla sebességű időkhöz rendeljünk extrapolációval a nulla sebességet! A mérésből a sebesség előjele nem határozható meg, csak annak abszolút értéke.

2. mérés

Mérjük meg a hangszóró membránjának amplitúdóját a frekvencia függvényében 100 Hz és 2000 Hz között, az előző feladatban beállított amplitúdót használva:

  • 100 és 200 Hz között 20 Hz-ként,
  • 200 és 500 Hz között 50 Hz-ként,
  • 500 és 2000 Hz között 100 Hz-ként.

A detektor jelében a nullátmenetek száma alapján meghatározható egy rezgő rendszer amplitúdója. Ábrázoljuk a membrán amplitúdóját a frekvencia függvényében! Használjuk ismét az oszcilloszkóp run/stop és cursors funkcióját, ha szükséges! Milyen jellegzetességet mutat a kapott görbe?

3. mérés

Határozzuk meg egy lassú, egyenletesen mozgó tükör sebességét. A mozgási sebesség itt már olyan kicsi, hogy a heterodin frekvencia a hangfrekvenciás tartományba esik. Erről meg is lehet győződni, ha a detektor kimenetét a hangszóróra csatlakoztatjuk, így az úgynevezett Doppler-fütty hallhatóvá tehető. A tükör lassú, egyenletes mozgását egy motorral meghajtott lineáris mozgatóval hozzuk létre. A motor táplálásával különböző sebességeket lehet beállítani, és ennek megfelelően más-más heterodin frekvencia áll elő. Mivel a mozgás „egyenletes”, ezért a heterodin jel frekvenciája állandó, a mozgás folyamán nem változik. Ezért itt nem pillanatnyi frekvenciát kell meghatározni, hanem egy meghatározott frekvenciát, melynek mérését oszcilloszkóppal végezzük amiből kiszámolható a sebesség.

A mérés menete:

  • Helyezzük be a lineáris mozgatót a hangszórót tartó mechanika helyére úgy, hogy a beeső és a tükörről visszaverődő nyaláb párhuzamos legyen! Ezt a tükörtartón levő állító mechanikával lehet elérni. A tükörmozgató síneket tegyük minél közelebb az osztótükörhoz, hogy az úthosszkülönbséget minimalizájuk.
  • Kapcsoljuk be a motor tápegységét, és addig növeljük a feszültséget, amíg a motor egyenletesen nem forog. A motor feszültsége ne legyen nagyobb 3V-nál! Véghelyzethez közeledve változtassuk meg a polaritást és ezzel a sebesség irányát.
  • A detektor kimenetét az oszcilloszkóp 1 bemenetére csatlakoztatva a tükörállítókkal maximalizáljuk a jelet.
  • Mérjük meg az oszcilloszkóppal a heterodin jel frekvenciáját! A mérési eredményt 10 frekvencia értékéből átlagolja (mivel a sebesség kissé ingadozik).
  • Ismételjük meg a mérést három másik motor meghajtásnál, azaz másik feszültségnél is! Minden motor feszültség esetén határozza meg a sebességet a vonalzó és óra segítségével.
  • A detektor kimenetét csatlakoztassa a hangszóróra és állítson elő Doppler-füttyöt!
  • Számítsa ki a két sebességértéket a (26) egyenlet segítségével!

Függelék - a Doppler effektus relativisztikus tárgyalása

Az elektromágneses sugárzás esetén is tapasztalható a doppler effektus, ami azt jelenti, hogy ha a forrás és a megfigyelő egymáshoz képest mozog, akkor az érzékelt frekvencia eltér a kibocsátott sugárzás frekvenciájától. Tekintsük K és K’ koordináta rendszereket, amelyek „x” tengelyük irányában egymáshoz képest v sebességgel mozognak; y és z tengely iránya egyezzen meg, valamint \setbox0\hbox{$t {{=}} t’{{=}} 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% időpillanatban origójuk essen egybe. Ezen feltételek érvényessége mellett a két rendszer közti koordináta-transzformáció a következő alakú:

\[\begin{cases} x' &= \gamma (x - vt) \\ y' &= y \\ z' &= z \\ t' &= \gamma (t - \frac{vx}{c^2}) \end{cases}\]

ahol

\[\gamma {{=}} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\]

és „c” a fénysebesség, „v” a két koordináta rendszer közti sebesség. Haladjon az „x” tengely mentén egy fénynyaláb. Ennek körfrekvenciája és hullámszáma a K rendszerben \setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, a K’ rendszerben \setbox0\hbox{$\omega'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$k'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% . A fázis egy invariáns skalár, mindkét rendszerből nézve állandó:

\[\varphi {{=}} \omega t - kx {{=}} \omega 't' - k'x'\]

Ez egy \setbox0\hbox{$x^+$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% irányba haladó elektromágneses hullám fázisa. Az egyenlet jobb oldalába behelyettesítve a koordináta-transzformációt, a következőt kapjuk:

\[\varphi {{=}} \omega '\gamma \cdot t + k'\gamma v\cdot t -k'\gamma \cdot x - \omega '\gamma \frac{v}{c^2}\cdot x\]

A körfrekvencia definíció szerint a fázis idő szerinti parciális deriváltja így:

\[\omega \equiv \frac{\partial \varphi }{\partial t} {{=}} \omega '\gamma + k' \gamma v\]

Felhasználva, hogy \setbox0\hbox{$k' {{=}} \frac{2\pi }{\lambda '}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\omega ' {{=}} 2\pi f'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, a frekvenciákra a következő összefüggés teljesül:

\[f {{=}} \gamma \cdot f' + \gamma \cdot \frac{v}{\lambda '}\]

Mivel azonban a relatív sebesség igen kicsi \setbox0\hbox{$\left ( \frac{v}{c} \ll 1\right )$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% ezért \setbox0\hbox{$\gamma \cong 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és így jó közelítéssel:

\[f {{=}} f' + \frac{v}{\lambda}\]

A képletből leolvasható, hogy távolodó forrás és megfigyelő esetén a frekvencia csökken közeledő forrás és megfigyelő esetén a frekvencia nő.

PDF formátum



A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Optikai_heterodin_detektálás&oldid=12947”