A lap 2013. június 24., 09:54-kori változata

Bevezetés

Az ²³⁵U atommag egy neutron befogását követő hasadása során keletkező instabil közbenső mag két hasadványmagra hasad, ezenkívül hasadásonként néhány (²³⁵U esetében átlagosan 2,47) neutron szabadul fel. A hasadás pillanatában (azaz 10^-14 s-on belül) keletkező atommagokat hasadványoknak nevezzük. Ezek később elektronokat szednek fel, majd radioaktív bomlások révén új atomokká alakulnak át. Ez utóbbiakat hasadási termékeknek nevezzük. A keletkező neutronok több mint 99%-a a hasadást követő 10^-12 s-on belül emittálódik. Ezeket a neutronokat prompt neutronok-nak nevezzük. Az ezt követően - akár néhány perccel később - kibocsátott neutronok az ún. késő neutronok. Bár ezek mennyisége a prompt neutronokéhoz viszonyítva kicsi (²³⁵U esetében az össz-neutronszámnak csupán 0,64%-a), jelentőségük igen nagy a reaktorok szabályozhatósága szempontjából.

Elméleti összefoglalás

Az ²³⁵U termikus befogását követően létrejött közbenső mag sokféle (több 100) különböző módon hasadhat szét. Egy ilyen lehetőség például a következő:

²³⁵U+n ⇒ ²³⁶U* ⇒ ⁹⁰Kr+¹⁴³Ba+3n

A hasadási termékek száma igen nagy. A hasadványok relatív gyakoriságának tömegszám szerinti eloszlását az 1. ábrán láthatjuk. Megállapítható, hogy a görbének a 95 és a 140 tömegszám közelében egy-egy maximuma van. A hasadásban közvetlenül keletkező primer hasadási termékek nagy neutronfelesleggel rendelkeznek az azonos tömegszámú stabil atommagokhoz képest. A hasadási termékek az esetek döntő többségében sorozatos izobár magátalakulással, bomlással szabadulnak meg neutronfeleslegüktől, és így közelítik meg a stabil N-Z görbét. A fent bemutatott hasadványpár esetében a következő két bomlássorozat megy végbe:

A vonalak alatti idők a -bomlások felezési idejét jelentik.

1.ábra: Az 235U hasadási termékeinek tömegszám szerinti eloszlása

A prompt és késő neutronok keletkezése a hasadás során

Amint a bevezetőben említettük, a hasadás során keletkező neutronok csaknem mindegyike - több mint 99%-a - a hasadást követően szinte azonnal, számottevő késés nélkül keletkezik. Ezek a prompt neutronok, amelyeket a hasadványok bocsátják ki. Gerjesztési energiájuk ugyanis általában sokkal nagyobb mint egy neutron szeparációs energiája. Az ilyen gerjesztett állapotok neutronemisszióval történő bomlásának az ideje 10^-15 s (10^-14 s - 10^-12 s) vagy kisebb. Nem minden hasadvány emittál neutronokat, néhányuk esetében a legerjesztődés történhet emisszióval is.

Ezt követően a hasadási termékek -bomlással szabadulnak meg neutronfeleslegüktől, és további neutron-kibocsátás általában már nem történik. Némelyikük izobár átalakulása azonban olyan leányelem képződéséhez vezet, amelyikben a gerjesztési energia nagyobb, mint a neutron szeparációs energiája. Ekkor a rendszámú, illetve neutronszámú hasadási termék magjából magasan gerjesztett állapotú mag keletkezik, amely azonnal kibocsát egy neutront, és átalakul a maggá. Így keletkeznek az ún. késő neutronok. A magot későneutron-anyamagnak, a magot pedig későneutron-emitternek nevezzük. Az ily módon keletkező késő neutronok esetében a maghasadás pillanatától számított teljes késési idő várható értékét az anyamag -bomlásának felezési ideje szabja meg. Megállapíthatjuk továbbá, hogy az anyamagok -bomlását követően létrejött emitter magok esetében a gerjesztési energia kisebb, mint a közvetlen hasadási termékek esetében, emiatt a késő neutronok átlagos energiája számottevően kisebb (300÷600 keV), mint a prompt neutronoké (átlagosan 2 MeV).

A hasadásban keletkező neutronok teljes hozama (száma, ) a prompt neutronok és a késő neutronok hozamából (_p, illetve _k) tevődik össze.

A késő neutronok mennyiségét szokás még az ún. későneutron-hányadformájában is kifejezni:

(1)

A 2. ábrán a későneutron-hozamnak a hasadást kiváltó neutron energiájától való függését mutatjuk be ²³⁵U és ²³⁹Pu esetére.

2.ábra: A hasadást kiváltó neutron energiája

A görbékből megállapítható, hogy a későneutron-hozam a 0 ≤ E_n ≤ 4 MeV intervallumban gyakorlatilag független a hasadást kiváltó neutronok energiájától. A tejes későneutron-hozamok értékei jelentősen függnek a hasadóképes izotóptól. Az 1. táblázatban bemutatott értékekből azonban kétféle szabályt mégis megfigyelhetünk:

• Egy adott elemre vonatkozóan a későneutron-hozam növekszik a tömegszámmal .
• A későneutron-hozam csökken a protonszámmal .

hasadóképes mag	k (neutron/100 hasadás)
233U	0,667 0,0029
235U	1,621 0,0500
238U*	4,390 0,1000
239Pu	0,628 0,0380
240Pu*	0,950 0,0800
241Pu	1,520 0,1100
242Pu*	2,210 0,2600

^* Gyors neutron által kiváltott hasadásokra vonatkozó adat

A későneutron-csoportok

A magfizikusok eddig 66 különböző későneutron-anyamagot azonosítottak. Ezek a Ga, As, Se, Br, Kr, Rb, Sr, Y, In, Sn, Sb, Te, I, Xe, Cs, Ba, La és Tl egyes izotópjai. Felezési időik 0,12 s és 78 s között változik, emiatt az általuk keltett késő neutronok jelentősen különböző késleltetési időkkel jelennek meg. Reaktorkinetikai számításokban a késő neutronok korrekt kezelése ennek megfelelően az lenne, ha valamennyi anyamagot a saját felezési idejével és hozamával vennénk figyelembe. Ezzel kapcsolatban két fő probléma merül fel:

• Az anyamagok nagy száma miatt a feladat nagyon elbonyolódna.
• Az egyes anyamagok bomlási sémája, felezési ideje, részaránya nem kellő pontossággal ismert.

G. R. Keepin dolgozta ki kísérleti úton a számítások számára kielégítő közelítést a későneutron-adatok kondenzált kezelésével, azaz a későneutron-csoportok létrehozásával. Hasonlóan a mai gyakorlaton elvégzendő méréshez, hasadóanyagból készített mintát rövid ideig tartó neutron-besugárzásnak tett ki. A besugárzott mintában bekövetkezett hasadások révén nagy számú anyamag keletkezett, amelyek a besugárzást követően felezési idejük szerint lecsengő későneutron-forrásként működtek - . Ha a mintában a besugárzás során bekövetkezett hasadási reakciók száma _f volt, akkor a keltett anyamagok száma . Az függvény ezen anyamagok lebomlását, és ennélfogva a késő neutronok keletkezésének időbeli alakulását írja le. A 3. ábrán egy ilyen görbe látható a ⁸⁷Br izotópnak, egy tipikus anyamagnak a bomlási-görbéjével együtt.

3.ábra: A későneutron-forráserősség csökkenése az idő függvényében

Az bomlási görbe az összes anyamag járulékos bomlásgörbéinek bonyolult szuperpoziciója. Keepin szerint az jól közelíthető hat exponenciális függvény összegével:

(2)

ahol

	- az i-edik későneutron-csoport hozama
	- az i-edik későneutron-csoport bomlási állandója

Az függvény a fenti közelítésben olyan későneutron-forrásfüggvényt reprezentál, amelyben mindegyik csoport saját későneutron-hozammal, átlagos bomlási állandóval, ill. az ennek megfelelő átlagos felezési idővel rendelkezik. Három különböző hasadóképes izotópra (²³⁵U, ²³⁹Pu, ²³³U) a későneutron-csoportok főbb adatait a 2. táblázatban foglaltuk össze. Ez a hatcsoportos későneutron-struktúra általánosan használatos a reaktorkinetikában.

A késő neutronok hatása a neutronfluxus időbeni változására

Ez a fejezet azoknak szóló összefoglalás, akik nem hallgatták a Reaktorfizika előadást, a többieknek könnyű olvasmány.

Ha egy termikus reaktor időben állandósult állapotban üzemel, akkor az egymást követő neutrongenerációk neutronszámának hányadosát jelentő effektív sokszorozási tényező, éppen egységnyi. A reaktor teljesítményének növelésekor vagy csökkenésekor a sokszorozási tényező 1-től eltér:

A reaktivitás definíció szerint a következő:

(3)

Időben állandósult állapotban = 0. A szokásos körülmények közötti teljesítményváltoztatások az állandósult állapothoz közeli állapotokon keresztül mennek végbe, és ekkor jó közelítéssel . Minthogy jelenti a neutronszám növekedési arányát az egyik generáció és a soron következő generáció között, a teljes neutronszámnak egy generáció élete során bekövetkező növekedése -fel egyenlő, ahol a neutronszám az induló neutronpopulációban. Ha a neutronok átlagos élettartama , akkor a neutronszám időegység alatti változását a következő differenciálegyenlet adja meg:

(4)

Feltételezve azt, hogy nem függ az időtől, integrálással kapjuk:

(5)

Az oktatóreaktorban = 7 10^-5 sec. Definiáljuk a reaktor periódusidejét : az az idő, amely alatt a neutronszám az -szeresére változik ( = 2,7172...), tehát (5) alapján:

(6)

A neutronszámra felírt összefüggés átvihető közelítőleg (egycsoportos elmélet) a neutronsűrűségre és ezen keresztül a neutronfluxusra és a reaktorteljesítményre is:

(5a)

Az időben állandó, stacioner üzemű reaktorban = konst., tehát végtelen. A reaktor periódusideje rendkívül fontos mennyiség a változó teljesítményű reaktor biztonsága szempontjából. Minden reaktorba beépítenek olyan biztonságvédelmi rendszert, amely azonnal leállítja a reaktort, ha a periódusidő a szabályozhatóság lehetőségeit tekintve túlságosan kicsiny. Ha nem üzemelne periódusidő-védelem, a 7÷10 s-nál rövidebb periódusidő már kifejezetten veszélyes állapotot jelentene.

A késő neutronok fontosságának a kidomborítása érdekében határozzuk meg a periódusidőt abban az esetben, amikor a reaktivitás = 0,25%, de csak a prompt neutronokat figyelembe véve. A reaktivitást (amely dimenzió nélküli szám) gyakran fejezzük ki %-ban. Például = 0,25% azt jelenti, hogy = 0,0025 (vagyis (3) alapján 1,0025). Mivel = 0,0025, (6) alapján a periódusidőre a következő adódik:

Ezt azt jelenti, hogy 1 s alatt a neutronszám

szeresére nő. Semmilyen szabályozórendszer (amely mechanikus elemeket is tartalmaz) nem tudja követni ezt a gyors felfutást. Szerencsére a késő neutronok bizonyos feltételek között jelentősen lelassítják a növekedési ütemet, és ezzel lehetővé teszik a reaktorok szabályozását.

A késő neutronok hatásának a megvilágítása érdekében leegyszerűsítjük a tárgyalást: csak egyetlen, átlagos későneutron-csoportot veszünk figyelembe - részletest tárgyalását lásd az [5] jegyzetben. Ha a 2. táblázatban az ²³⁵U-ra adott felezési időket átlagoljuk, 9 s-t kapunk, vagyis a (2) alatti hat bomlási állandót az átlagos

bomlási állandóval helyettesítjük. Ha --vel jelöljük a t időpillanatban a reaktorban levő későneutron-anyamagok számát, akkor 1 s alatt késő neutron keletkezik. Ennek megfelelően a (4) egyenlet az alábbi alakba megy át:

(7a)

amelynek a jobb oldalán az első tag a prompt, a második tag pedig a késő neutronok által képviselt neutronsokszorozást fejezi ki. Ezt az egyenletet ki kell egészítenünk a későneutron-anyamagok számát megszabó egyenlettel:

(7b)

A jobboldal első tagja az 1 s alatt elbomló, a második tag pedig az 1 s alatt a hasadásokban keletkező anyamagok számát adja meg. Vegyük észre, hogy éppen ezzel az utóbbi taggal csökkent (7a) jobb oldalának első tagja a (4) egyenlethez képest. Nézzük meg ezután, mennyiben növelik a késő neutronok a reaktorperiódust!

(5a) mintájára a (7) egyenletrendszer megoldását az alábbi alakban keressük:

Ha ezt (7)-be helyettesítjük, elemi számolás után -re a következő egyenletet kapjuk:

(8)

ahol felhasználtuk a (3) alatt definiált reaktivitást. Amikor ennek az egyenletnek a megfelelőjét 6 későneutron-csoport figyelembe vételével vezetjük le, akkor a kapott egyenletet reciprokóra egyenletnek nevezzük.

Adott reaktivitás mellett a (8) egyenlet a periódusidőre vonatkozóan másodfokú egyenlet:

(9)

Jelöljük a két gyököt ₁-gyel és ₂-vel. Ezek felhasználásával a neutronszám időfüggése

(10)

alakban adódik, ahol az ₁ és ₂ állandók a kezdeti feltételektől függnek. Ha a reaktivitás negatív (vagyis < 1, tehát a reaktor szubkritikus), a (9) egyenlet mindhárom együtthatója negatív, tehát mindkét gyök negatív, vagyis a neutronszám (10) szerint a kezdeti feltételektől függetlenül időben csökken. Emlékeztetünk arra az elemi algebrai szabályra, hogy két egymást követő együttható azonos előjele negatív, különböző előjele pedig pozitív gyököt jelent. Ha azonban a reaktivitás pozitív (vagyis > 1, tehát a reaktor szuperkritikus), a (9) egyenlet első együtthatója pozitív, a harmadik pedig továbbra is negatív. A reaktivitástól függően a második együttható lehet negatív is, pozitív is. Mindkét esetben azonban van egy előjelváltás és egy előjelkövetés, vagyis a két gyök közül az egyik negatív, a másik pozitív. Legyen az utóbbi ₁. Ekkor elegendően nagy idő elteltével (10) átmegy az

(11)

alakba. A késő neutronok jelenlétében is igaz marad tehát, hogy egy magára hagyott szuperkritikus reaktorban a neutronszám exponenciálisan nő. Döntő viszont az időállandó nagysága. Vegyük fel a következő számértékeket:

Ezeket (9)-be helyettesítve ₁ = 20,31 s adódik, ami lényegesen nagyobb idő, mint a késő neutronok nélkül kapott 0,028 s. Ez a számpélda jól mutatja a lényeget: a késő neutronok hatására a periódusidő olyan mértékben megnő, hogy a neutronszám növekedését külső eszközökkel biztonságosan befolyásolni lehet.

Ez az állítás azonban csak addig érvényes, amíg a reaktivitás nem túlságosan nagy, pontosabban, amíg < 1. Amíg ez fennáll, a (9) egyenletben az -et tartalmazó tagok elhanyagolhatók, vagyis a pozitív periódus közelítőleg így írható:

(12a)

A fenti számpéldában ez a közelítés ₁ = 20,26 s-t ad, tehát a közelítő képlet elég pontos. Minőségileg megváltozik azonban a helyzet, amikor > 1. Ekkor ugyanis (9)-ben a második tag együtthatója pozitívra vált, és az egyenlet pozitív gyökét más képlettel kell közelíteni:Az Olvasó számára hasznos gyakorlat a közelítő képlet levezetése, így ugyanis ellenőrizheti, mennyire sikerült az eddigieket megértenie.

(12b)

Például, =1,1 esetén (=1,0071) a (12b) képlet szerint ₁=0,109 s, azaz a reaktor ismét szabályozhatatlanná válik. A pontos érték _₁ = 0,099 s) Azt találtuk tehát, a reaktor csak addig szabályozható, amíg < 1, vagyis < 1+ (közelítőleg). Más szavakkal a szabályozhatóság szükséges feltételét úgy szoktuk kifejezni, hogy a reaktor a késő neutronok nélkül legyen szubkritikus. Ha azonban a reaktor már a késő neutronok nélkül is szuperkritikus (vagyis ha > 1), a reaktor szabályozhatatlanná válik, megszalad. Az ilyen reaktorállapotot prompt szuperkritikus állapotnak nevezzük, amelynek a fellépte súlyos reaktorbalesetnek minősül.

Az elmondottakból következik, hogy a későneutron-hányadnak a reaktorszabályozás szempontjából döntő jelentősége van. Erre való tekintettel ezt választjuk a reaktivitás egységének is. Ennek az egységnek a neve: dollár, egy reaktor reaktivitása 1 dollár, ha =1. Mint láttuk, a gyakorlatban ezt a reaktorállapotot kerülni kell, ezért a gyakorlatban ennek az egységnek a 100-ad részét, a centet ( ˘ ) használjuk, egy reaktor reaktivitása 1˘, ha = 0,01.

Későneutron paraméterek meghatározása

A méréshez szükséges eszközök, anyagok

• Reaktor és besugárzó csőposta
• besugárzandó urán fólia csőposta-tokban
• moderátorral töltött mérőedény
• neutrondetektor-gyűrű 6 db detektorból (³He)
• mérő elektronika (tápegység, diszkriminátor)
• PC sokcsatornás analizátorkártyával (multiscaler - időanalizátor)

A mérés menete

A reaktor aktív zónájában besugárzott természetes urán fólia a csőposta segítségével (kb. 3 s-os szállítási idő után) a mérőhelyre kerül. A besugárzást követően a mérőedényben elhelyezett neutrondetektorok mérik a fólia időben csökkenő későneutron-intenzitását. Az intenzitás időbeli változásának rögzítése az analizátorkártyával történik, amely a detektorok diszkriminált jeleit összegzi a megadott léptetési időtartam alatt (1 s). A léptetési időtartam alatt gyűjtött impulzusok időbeli sorrendjüknek megfelelően egymás utáni csatornákban tárolódnak. Amint azt az elméleti összefoglalóban láttuk, a későneutron-intenzitásnak ez a változása nem más, mint különböző felezési idejű exponenciális bomlási görbék lineáris szuperpozíciója. A későneutron-intenzitás mért értékeiből a kiértékeléskor lépésről-lépésre meghatározzuk és levonjuk a leghosszabb felezési idejű exponenciális komponenseket.

A reaktor 1 kW-os teljesítményénél az urán fóliát tartalmazó tok a csőposta segítségével az aktív zónába kerül. A meghatározott besugárzási idő elteltével a minta automatikusan kerül a mérő pozícióba. A minta mozgását érzékelő, és a csőpostát vezérlő fotocella jele a méréshez startjelként használható. (Figyelem: a mozgásérzékelő befelé menet is jelez!)

A paraffin moderátorral töltött mérőedényben 6 db, párhuzamosan kapcsolt ³He töltésű neutron-számlálócső van elhelyezve. A termikus neutronenergiák tartományában érzékeny detektorok miatt a detektálandó késő neutronokat le kell lassítani. Éppen erre szolgál a mérőedényben levő moderátor. A neutronok lelassulási ideje elhanyagolhatóan kicsi (kb. 1s.), még a gyakorlatilag mérhető legrövidebb felezési idejű késő neutronok késleltetési idejéhez képest is.

A neutrondetektorok esetében fordítsunk gondot a jelamplitúdó diszkriminációs szint helyes megválasztására! Mint ismeretes, az említett detektortípusnál az amplitúdódiszkriminációval jelentősen csökkenthető a és zajháttér. A diszkriminációs szint beállításhoz először keressük meg azt a maximális diszkriminációs értéket, amelynél még jelentős a számlálási sebesség, és válasszuk ennek kb. 1/8-át. A mérést maximum 300 s-ig érdemes folytatni. A kapott eredmény a PC-ben elhelyezett analizátor memóriájában hozzáférhető, elmenthető és kinyomtatható.

Kiértékelés

A későneutron-intenzitás időbeli csökkenését leíró függvény közelítőleg 6 db exponenciális összegének tekinthető. A kiértékelés célja a felezési idők és a relatív intenzitások meghatározása az adott körülmények között mérhető későneutron-csoportokra. Az eljárás első lépéseként a leghosszabb felezési idejű komponens paramétereit határozzuk meg abban az időtartományban, ahol a rövidebb felezési idejű komponensek már nem észlelhetők, de a mért intenzitások még kiemelkednek a háttérből. Az intenzitások logaritmikus transzformációja után egyenest illesztünk a kiválasztott időintervallum pontjaira. Meredekségének abszolút értéke a leghosszabb felezési idejű csoport bomlási állandóját adja, míg a tengelymetszet a relatív intenzitás logaritmusa.

A meghatározott paraméterekkel megadott exponenciális komponenst levonjuk az eredeti intenzitásokból, ahol így már csak a maradék csoportoktól származó intenzitás időbeli függvénye marad, majd megismételjük az eljárást. A kiértékelésre szánt időintervallumok között célszerű pontokat kihagyni, hogy a levonást követően a véletlen zaj miatt megjelenő esetleges negatív értékek ne zavarjanak (például a logaritmusképzés miatt). Megjegyezzük, hogy az eljárás csak közelítő pontosságú, mivel az illesztés előtti logaritmikus transzformálás az eltéréseket is transzformálja. A számításoknál referencia időpontnak azt az időpontot kell venni, amikor a minta az aktív zónát elhagyja. (Ennek az időpontnak felel meg a startjel.)

Pontosabb eredmény kapható a teljes adatsoron végrehajtott súlyozott legkisebb négyzetes illesztéssel.

Urántartalom meghatározása

A mérés során egy olyan mintában, amelyik ismeretlen mennyiségben tartalmaz természetes izotóp-összetételű urániumot, meg kívánjuk határozni a tömeg százalékában mért uránkoncentrációt. Az ismeretlen összetételű minta teljes tömege 105,5 mg.

A méréshez szükséges eszközök, anyagok

• A későneutron-paraméterek meghatározásánál használt berendezés (lásd 3.1. rész)
• analitikai mérleg
• polietilén csőposta besugárzó tokok
• reaktor és besugárzó csőposta
• két darab, a Nemzetközi Atomenergia Ügynökségtől (NAÜ) származó uránstandard

A mérés menete

A mérés a relatív későneutron-intenzitás mérésén alapul, amely az urántartalom gyors, pontos, roncsolásmentes meghatározását teszi lehetővé. A módszer gyorsasága és egyszerű kivitelezhetősége miatt ércminták sorozatelemzésére, érzékenysége folytán pedig az érckutatásban az urán dúsulásainak nyomozására szolgálhat. A mérés célja ismeretlen koncentrációjú minta urántartalmának meghatározása a NAÜ két uránstandardjával történő összehasonlítás alapján, továbbá a mérési hibának, valamint a kimutatási határnak a számítása. Ismeretlen mintaként uránszurokérc tartalmú kőzetet használunk.

A polietilén csőpostatokban az ismeretlen mintából, a standardokéhoz hasonló mennyiséget, kb. 100 mg-ot helyezünk el. A besugárzást 10 kW reaktorteljesítményen végezzük. Az analizátor beállítása megegyezik a korábbival (vö. A mérés menete rész). A mérés alapgondolata: a standardokban és az ismeretlen mintában a besugárzott urán bomlásgörbéjét ugyanaz a (2) szerinti függvény írja le, legfeljebb az egyes görbék együtthatója térhet el. Ebből következik, hogy a lecsengő későneutron-intenzitási görbe bármelyik szakaszának összevetése alkalmas a minták összehasonlítására. Elvileg egy adott időpontbeli intenzitás - akár egy csatorna - is elegendő lenne, de több csatorna összegzésével a kiértékelés alapjául szolgáló impulzusszám relatív szórását csökkenthetjük. Az összegzett csatornák kiválasztásában az alábbi szempontokat vesszük figyelembe.

Mind a standardok, mind az ismeretlen minta tartalmaz oxigént, amelyben a besugárzás során az ¹⁷O(n,p)¹⁷N magreakció eredményeként 4,1 s felezési idejű neutronemitter mag, ¹⁷N keletkezik. Mivel az oxigén mennyisége mintánként változik (továbbá nem is ismert), a besugárzás után, a mérés megkezdése előtt célszerű 20 s ún. hűtési időt várni, mialatt az ¹⁷N-től származó neutronok gyakorlatilag eltűnnek, és így a minta és a standardok oxigéntartalmának különbsége nem zavaró. Ebből következik, hogy a 2. táblázat szerinti 3÷6 későneutron-csoportok a mérés kezdetére szintén eltűnnek, tehát az urántartalom meghatározását a 22,72 s felezési idejű, elegendően nagy hozamú későneutron-csoportra érdemes alapozni. A hűtési idő növelése egyébként más szempontból is hasznos lehet, mivel rövid hűtési idők esetében az időmérés bizonytalansága (1 s-os felbontás) is nagyobb. A mérési időt úgy kell megválasztani, hogy a mérési idő végén a csökkenő későneutron-intenzitás még mindig jelentősen kiemelkedjék a háttérből. (A javasolt mérési időintervallum 20÷80 s.)

A szórás és a kimutatási határ számításához a háttér mérése is szükséges: üres tok besugárzásával a kiértékelésre szánt intervallumra vegyük fel a háttér-intenzitás értékeit.

A mérés kiértékelése

Egy standard mérése

A kiértékelés célja az ismeretlen minta uránkoncentrációjának meghatározása. Jelölje a mintára, illetve a standardra vonatkozó impulzusszámok összegét rendre N_x és N_std:

(15)

ahol és az i-edik csatorna tartalma az ismeretlen mintára, illetve a standardra vonatkozóan. Hasonló módon kapjuk az ezekből levonandó hátteret:

(16)

ahol az i-edik csatorna tartalma az ismeretlen mintához tartozó háttér mérésekor. Ha a standardot és az ismeretlen mintát időben egymáshoz közel mérjük, fel lehet tételezni, hogy ez a háttér érvényes a standardra is. Az általánosság kedvéért azonban megengedjük, hogy az utóbbihoz külön háttér, tartozzon. Az ismeretlen koncentrációt azzal a feltételezéssel határozzuk meg, hogy a minta fajlagos (egységnyi tömegre vonatkozó) beütésszáma a C uránkoncentrációval arányos:

(17)

ahol a minta tömege, és valamilyen (ismeretlen) arányossági tényező. Természetesen a (17) összefüggés nem a mért adatokra, hanem csak azok várható értékére érvényes. Viszont a (17) összefüggés lehetővé teszi, hogy az egyik standardra kapott mérési adatok alapján becslést adjunk az ismeretlen a paraméterre:

(18)

ahol az "std" index a standardra vonatkozóan mért adatokra utal. a kiválasztott standard bizonylati koncentrációja (tömeg%, vö. 3. táblázat). Ennek alapján az ismeretlen minta uránkoncentrációját a

(19)

képlettel becsüljük. Ha csak egy standardot mérünk, ez a képlet jelenti a kiértékelés végét. Mielőtt a két standard esetét tárgyalnánk, adjuk meg a (19)-hez tartozó hibaszámítási képleteket.

Tekintve, hogy tömeget (az egyéb hibaforrásokhoz képest) nagy pontossággal tudunk mérni, és mérési hibáját elhanyagoljuk. A háttérrel csökkentett beütésszámok szórásnégyzetét a Poisson-eloszlás alapján becsüljük:

(20)

Az paraméter (18) szerint becsült értékének a szórásnégyzete:

\[ \sigma^{2}_{a} = {\tilde{a}}^2 \Bigg(\frac{N_{std}+H_{std}}{(N_{std}-H_{std})^2}+\frac{\sigma^2_{C_{std}}}{C^2_{std}})\Bigg \]

(21a)

A (21) képletek levezetése a matematikai statisztikai elemeiből következik, ezért nem is részletezzük. Két standard mérése Amikor mindkét standardot mérjük, több kiértékelési módszer kínálkozik. A legegyszerűbb az a paraméternek mindkét standard alapján való független becslése: ~a N H i m C i i i i = − , (i = 1, 2) (22) ahol az “i” index az egyes standard mintákra mért adatokat jelöli. Az így kapott értékek szórásnégyzetét (21a) mintájára becsülhetjük: ( ) σ σ ai i i i i i Ci i a N H N H C 2 2 2 2 2 = + − +       ~ . (i = 1, 2) (23) Az a paraméter végső értékét ezek súlyozott átlagolásával becsülhetjük: ~ ~ a ai ai i ai i

= Σ Σ σ σ 2 1 2 2 1 2 1 , (24a) amelynek a szórásnégyzete: 15 σ σ a ai i 2 2 1 2 1 1 = = Σ . (24b) Kevésbé heurisztikus becslést kapunk, ha a (17) képletre alapozva az a paramétert lineáris regresszióval becsüljük. Ez azt jelenti, hogy az a paraméter függvényében kereszsük a Q w N H m i aC i i i i i = − −       = Σ 2 1 2 (25a) négyzetösszeg minimumát, amelyben a súlyok a mért mennyiségek szórásnégyzeteivel fejezhetők ki: w N H m i a i i i Ci − = + 1 + 2 2σ2 . (25b) Ennek a minimumproblémának a megoldása könnyen levezethető: ~a w CN H m w C i i i i i i i i i = − = = Σ Σ 1 2 2 1 2 , (26a) amelynek a szórásnégyzete: σa i i i w C 2 2 1 2 = 1 = Σ . (26b) Tekintve, hogy a wi súlyok a (25b) képlet szerint függnek az a paramétertől, a (26a) képlet alkalmazása a-ra nézve iterációt igényel.9 A (24a) szerinti módszer ilyen iterációt nem tesz szükségessé. Akár a (22)÷(24) formulákat, akár a (25)÷(26) formulákat használjuk, az ismeretlen uránkoncentráció meghatározására a (19) és (21b) képleteket kell alkalmaznunk. A két kiértékelési mód egymással egyenértékű. Ajánlatos, hogy az Olvasó ezt bizonyítsa be. Útmutatás: a (23) képletben (de csak ott!) írjunk ~ai 2 helyébe ~a 2 -t; ezután egyszerű algebrai átalakításokkal beláthatjuk, hogy (24a) és (24b) pontosan ugyanazt adja, mint (26a), illetve (26b). Kérdés: miért elég ennek bizonyítása a két becslés egyenértékűségének a belátásához? 9 Ennek az iterációnak a tulajdonságai erősen függnek az egyes szórások értékeitől. Ajánlatos, hogy az Olvasó a konkrét mérés esetében közelebbről ismerkedjen meg vele. Általános tendencia, hogy a (25b) szerinti súlyozás csökkenteni igyekszik a becsült értékét. 16 Kimutatási határ A kimutatási határ definíciójánál az urán mennyiség meghatározás alapjául szolgáló nettó impulzusszám háttérből való szignifikáns kiemelkedését kell biztosítani statisztikai kritériumok alapján, másként megfogalmazva azt kell eldöntenünk, hogy van-e effektus vagy nincs, és ennek a döntésnek a mennyiségi megalapozását kell megadnunk. A döntés során alapvetően kétféle hibát követhetünk el. Az első az úgynevezett elsőfajú hiba melynél azt feltételezzük, hogy a mért összegzett intenzitás egy része a minta urán tartalmától származik, pedig csak a háttér pozitív fluktuációjáról van szó. Másodfajú hibát akkor követünk el, ha mért impulzusszám egy része urántól származik, de úgy gondoljuk hogy ez csak a háttér véletlen fluktuációja. Az elsőfajú hiba ellen bizonyos megbízhatósági szinten - centrált normális zaj feltételezéssel - , úgy védhetjük magunkat, hogy a hasznos jel komponenstől elvárjuk, hogy a háttér szórását a konfidencia szinttől függő mértékben haladja meg. Lc1 = k1σh = k1 Nh Ahol k1 az elsőfajú hibára vonatkozó szignifikancia szinttől függő egyoldali kvantilis. A másodfajú hiba valószínűsége általában valamilyen konkrét ellenhipotézis formájában fogalmazható meg. Itt ésszerű kiindulás az, hogy feltételezünk egy Lc2 nagyságú nettó effektust, melynek meg kell haladnia az előbb definiált Lc1 szintet olyan mértékben, hogy az alá Lc2 bizonyos szintű negatív fluktuációi révén se kerülhessen. Azaz Lc2 legyen Lc1 plusz Lc2 szórásának megfelelő kvantilissel vett szorzata: Lc2 Lc1 k2 Lc h 2 2 2 = + σ + σ Ahol k2 a másodfajú hibára vonatkozó szignifikancia szinthez tartozó kvantilis. Ha k2 = k1 feltételből indulunk ki (ettől való eltérés a kétféle hibából eredő kockázat alapján lehetséges), akkor a háttérből még szignifikánsan kiemelkedő impulzusszám: Lc2 k c k k Nh 2 1 = + 2L = 2 + 2 E mennyiséget kell a standardnál mérhető impulzusszámhoz hasonlítani, hogy a urán mennyiségre vonatkozó kimutatási határ értéket megkapjuk.

Ellenőrző kérdések

1. Mik a késő neutronok?
2. Ismertesse a késő neutronok keletkezési mechanizmusát!
3. Mik az anyamagok?
4. Mik a prompt neutronok?
5. Ismertesse a prompt neutronok keletkezési mechanizmusát!
6. Mi a különbség a prompt és a későneutronok energia eloszlása között?
7. Mi a periódus idő?
8. Mi a szerepe a késő neutronoknak a reaktor szabályzásban?
9. Ismertesse a késő neutronok mérésénél alkalmazott módszert
10. Milyen csoportokba sorolhatjuk a késő neutronokat és minek alapján?
11. Ismertesse az uránkoncentráció meghatározás elvét!

Irodalom

1. G. R. Keepin: Physics of Nuclear Reactors, Addison-Wesley Publishing Co., Massachusetts (1965)
2. G. R. Keepin: Interpretation of Delayed Neutron Phenomena, J. Nucl. Energy, 7, 13 (1958)
3. G. R. Keepin, T. F. Wimmet, R. K. Zeigler: Delayed Neutron from Fissionable Isotopes of Uranium, Plutonium and Thorium, Phys. Rev., 107, 1044 (1957)
4. Kiss D., Quittner P., Neutronfizika, Akadémiai Kiadó, Budapest 1971.
5. Szatmáry Z., Bevezetés a reaktorfizikába, Egyetemi jegyzet (ELTE), 1991.