„Kvantumpöttyök” változatai közötti eltérés

A lap 2013. szeptember 13., 13:22-kori változata

Korábban láttunk páldákat olyan nanoszerkezetekre, ahol az elektronok mozgása csak két illetve egy dimenzióban megengedett (GaAs/AlGaAs határfelületen létrejövő 2 dimenziós elektrongázok ill. pontkontaktusok). Ezen alacsony dimenziós szerkezetek olyan érdekes jelenségek megfigyelését teszik lehetővé, mint a kvantált Hall-effektus vagy a vezetőképesség kvantálás (linkek). Ebben a fejezetben egy további alacsony dimenziós nanoszerkezet családdal fogunk foglalkozni, az un. kvantum pöttyökkel (kvantum dotokkal), ahol az elektronok mozgását mind a három dimenzió mentén megszorítjuk. Ezen nulla dimenziós szerkezetek egy mesterséges szigetet jelentenek az elektronok számára, amik tipikus sugara mm (lásd 1. ábra). Kvantum pöttyöket gyakran a térvezérelt tranzisztorokhoz hasonló áramkörökbe építik (link): két elektródát kapcsolnak a szigethez (forrás/source és nyelő/drain), amikből elektronok juthatnak a szigetre és távozhatnak onnet. Ezt egy harmadik, un. kapu/gate elektróda egészíti ki, ami a sziget elektromos potenciájának változtatását teszi lehetővé. A továbbiakban ilyen térvezérelt geometriájú kvantum pöttyöket fogunk tárgyalni.

1. ábra Kvantum pötty/dot áramkörbe építve. Egy sugarú sziget, forrás/source és nyelő/drain elektródág között (fekete) illetve egy kapu/gate elektródához csatolva (zöld).

Megvalósítás

Kvantum pöttyöket különböző módszerekkel lehet létrehozni. Ezekre lássunk néhány példát:

• Egy kétdimenziós elektron gázra kapuelektródákat téve, az elektródákra adott negatív feszültséggel a kapu elektródák alól az elektronok kiszorulnak. A kapukat megfelelően elrendezve létre lehet hozni szigeteket az elektron gázból, amik kvantum pöttyként viselkednek (lásd. 2a ábra). A kapukra adott feszültség változtatásával a pötty potenciálja hangolható.
• Kvantum pöttyök készíthetőek változatos nanoszerkezetekből: szén nanocsövekből, félvezető nanopálcákból, grafénból. 2b. ábra mutat egy példát grafén kvantum pöttyre. Plazma marással egy szigetet vágunk ki a szén síkból, ami elvékonyított részekkel kapcsolódhat az elektródákhoz.
• Elektródák közé juttatott nagyobb molekula (pl. fullerén) is mutathat kvantum pötty viselkedést (lásd. 2c ábra). A molekulák kis méretéből adódóan (nm)a három elektróda elhelyezése problémás.
• Kvantum pöttyként működnek kis fémes szemcsék is. Ha ezeket szigetelő rétegbe ágyazzuk és fém elekródákat hozunk létre mellettük, a szokásos forrást, nyelőt és kapu elektródát tartalmazó geometria létrehozható (lásd. 2d ábra).

2a. ábra 2DEG-ban kapuelektródákkal létrehozott kvantum pötty. A fekete körvonalú szürke területek a kapu elektródák, a rájuk kapcsolt negatív feszültség hozza létre az elektronok csapdázó potenciálját. A zölddel jelölt elektródára adott feszültség szolgál a potenciálgödör hangolására. Elektronok a sárga tartományban vannak. [1]	2b. ábra Grafénből kimart szerkezet két kvantum pöttyel (QD1 és QD2)	2c. ábra Molekulán alapuló kvantum pötty [2]	2d. ábra Oxidba ágyazott fém nanoszemcsén alapuló kvantum pötty [2]

Energiaskálák

Kvantum pöttyre helyezett elektronok viselkedését a sziget bezáró potenciálja, az elektronok közötti taszitó kölcsönhatás illetve a szigeten töltött átlagos idő jelentősen befolyásolja. Tekintsük át az ezekhez kapcsolódó energiaskálákat:

• Szint távolság (Level spacing, ): Ha a kvantum pötty mérete nem sokkal nagyobb, mint a Fermi-hullámhossz, azaz , az elektronok hullám természetét figyelembe kell venni. Az elektronok a sziget bezáró potenciája által meghatározott hullámfüggvényeket tölthetik be, melyekhez a folytonos energia spektrum helyett diszkrét energiaszintek tartoznak, ha a pötty mérete elegendően kicsi (lásd 3a ábra). A diszkrét energiaszintek átlagos távolságát hívjuk szinttávolságanak, . A szint távolság például két dimenziós kvantum pötty esetén . Tipikus értéke m esetén eV.
• Elektrosztatikus energia (Charging energy, ): Az elektronok között fellépő Coulomb-taszítás miatt energia költséggel jár ha újabb és újabb elektronokat akarunk helyezni a kvantum pöttyre. Egyszerű elektrosztatikus képben (lásd. 3b. ábra) ezt a többlet energiát, a pötty és a környezete közötti kapacitás határozza meg, (ahol az elektron töltés). A szigetet sugarú gömbbel közelítve, alapján, függést kapunk. Maradva a két dimenziós elektron gázból kialakított pötty példájánál, egy m sugaru pötty esetében: eV.
• Kvantum fluktuációk energia bizonytalansága: Mivel a kvantum pötty alagút átmeneteken keresztül csatolva van az elektródákhoz, a pöttyre helyezett elektronok véges valószínűséggel távozhatnak a pöttyről, ami a sziget eneriaszintjeinek a kiszélesedéséhez vezet. A Heisenberg-féle határozatlansági reláció alapján a kiszélesedés mértéke: , ahol h a Plank-állandó pedig az átlagos idő, amit az elektron a pöttyön tartózkodik. Az utóbbit megbecsülhetjük az alagútátmenet ellenállása () és kapacitása () alapján: . Ahhoz hogy a kvantum pötty viselkedést a fluktuációk ne mossák el, megköveteljük, hogy . -t kihasználva az alagútátmenet ellenállására a következő megszorítást kapjuk: . Az ellenállás kvatumot bevezetve , ahol a korábban definiált vezetőképesség kvantum (link) , a feltételt átírhatjuk: . Azaz az alagútátmenet ellenállását nagyobbra kell választani az ellenállás kvantumnál, hogy a kvantum pötty viselkedés megfigyelhető legyen.

A kapott számok alapján látható, hogy egy m körüli kvantum pöttynél az elektrosztatikus energia lényegesen nagyobb, mint a szint távolság. Ugyanakkor ha a kvantum pötty méretét csökkentjük, a szinttávolság erősebb méretfüggéséből adódóan, a két skála azonos nagyságúvá válhat. Ha tekintjük a legkisebb kvantum pöttyöket, egyetlen atomot vagy molekulát, ott már a szinttávolság a domináns energia skála. Az atomok elektronszerkezetét (azaz a periódusos rendszert) elsődlegesen a mag vonzó potenciáljában kialakuló hullámfüggvényekhez tartozó diszkrét energiaszintek határozzák meg és az elektronok közötti Coulomb-kölcsönhatás csak korrekciót ad ehhez.

3a. ábra Kvantum bezártságból adódó energia szintek [1]	3b. ábra Kvatum pöttyre helyezett elektron elektrosztatikus energiája [1]

Kvantum pöttyök leírása elektrosztatikus képben

Kvantum pöttybe zárt elektronok eneregiája az elektronok kinetikus energiájából, a bezáró potenciál és az elektronok között fellépő elektron-elektron kölcsönhatásból adódik össze. Az elektronok közötti taszításból származó többlet energiát egyszerűen közelíhetjük elektrosztatikus képben a kvantum pötty és a környezete közötti kapacitások figyelembevételével. Az előző részben kapott becslések alapján láttuk, hogy egy átlagos méretű kvantum pötty esetén a kinetikus energiát és a bezáró potenciált együttesen jellemző szinttávolság lényegesen kisebb, mint a kapacitások alapján becsült elektrosztatikus energia; így a következőkben kizárólag az elektrosztatikus energia tagot megtartva adunk leírást a kvantum pöttyök viselékedésére. Látni fogjuk, hogy a kvantum pöttyök alapvető jelenségei (mint például a Coulomb-blokád, Coulomb-gyémánt szerkezet, egy elektron tranzisztor viselkedés ...) már ebben az egyszerű képben is megérthetőek.

Az 1. ábrán látható áramkörbe épített kvantum pöttyöt elektrosztatikus képben a 4. ábrán látható módon helyettesíthetjük. A pötty területe (kék) két alagútátmeneten keresztül kapcsolődik a forrás és a nyelő oldal közé kapcsolt feszültség forráshoz. Az alagútátmeneteket párhuzamosan kapcsolt kapacitással () és ellenállással modellezhetjük (). A kapacitás fegyverzeteit az alagútátmenet által elválasztott két közeli felület adja, a tipikusan nagy ellennállás érték pedig az alagútátmeneten történő átjutást jellemzi. A kvantum pötty közelében található kapuelektródát (zöld) a sziget és az elektróda közötti kapacitással irhatjuk le (). A kapu elektródára kapcsolt feszültség segítségével lehet majd a pötty betöltöttségét hangolni.

4a. ábra Kvantum pötty elektrosztatikus helyettestő képe	4b. ábra Az elektródákat elválasztó alagútátmenetek helyettesítő képe

Elektrosztatikus közelítésben a kvantum pötty energiája a pöttyöt körbehatároló kapacitások segítségével a következőképpen irhatjuk fel:

ahol a kvantum pöttyön lévő elektronok száma, pedig a pötty és a környezete közötti összkapacitás: .

kifejezése alapján, ha az elektronok számát növelni akarjuk eggyel, az a következő többlet energiába kerül: .

Véges kapufeszültség esetén vigyázni kell az energia felírásakor, hiszen az elektronok pöttyre helyezése során a kapu telepe is munkát végez, ami csökkenti a feltöltéshez szükséges energiát. Ha a pöttyre helyezett töltés , akkor a párhuzamosan kapcsolt kapacitások miatt a kapu elektróda fegyverzetén töltés lesz. A pötty energiáját a telep munkavégzésével korrigálva kapjuk: . Mindezek alapján:

ahol egy független szám. A fentiek alapján a kapufeszültség hatása egy un. offset töltéssel azonos.

Az elektrosztatikus energiára kapott kifejezés az 5.a ábrán látható az offset töltés függvényében különböző elektron számok mellett. Az ábra alapján minden egyes értékre könnyen meghatározható, hogy milyen elektron szám fogja minimalizálnia a kvantum pötty energiáját. A piros tengelyen a pötty alapállapotához tartozó elektron szám van feltüntetve. Az ábrán jelölt zöld pontokban a kvantum pötty alapállapota degenerált. Például a helyen az és állapotok energiája azonos. Ezekben a speciális pontokban az egyik elektródáról egy elektron be tud ugrani a kvantum pöttyre energia költség nélkül és az elektron ki tud ugrani a másik elektródára. Ezen szekvenciális elektron alagutazási folyamaton keresztül áram tud folyni a kvantum pöttyön keresztül ha kis feszültséget kapcsolunk a két elektróda közé. 5.b ábra mutatja a kvantum pöttyön átfolyó áramot az offset töltéssel arányos kapufeszültség függvényében (kis mellett). Az áram a paramétertér nagyrészében nulla leszámítva egymástól egyenlő távolságban található pontokat, ahol az áram csúcsszerűen megnő. Ezeket hívjuk ún. Coulomb-csúcsoknak. Véges áramot csak ezen degenerációs pontokban kapunk közöttük az elektronok átjutás a pöttyön blokkolva van. Ezt a jelenséget hívják ún. Coulomb-blokádnak, ami a kvantum pöttyök egyik fontos tulajdonsága. A Coulomb-blokád az elektronok közötti taszító Coulomb-kölcsönhatás és az elektromos töltés kvantáltságának a következménye. A kvantum pöttyön az elektron szám jól meghatározott és ennek következtében áram nem tud a pöttyön keresztül folyni egészen addig, amíg az offset töltés változtatásával degenerációs pontba nem hangoljuk az elektron szigetet. (A degenerációs pontok távolsága ).

5a. ábra Kvantum pötty elektrosztatikus energiája különböző elektronszámnál (n). A zöld pontokban az alapállapot degenerált és ezzel a pöttyön az elektron szám nem jól meghatározott. Az alapállapoti elektron számok pirossal vannak feltüntetve.	5b. ábra Coulomb-blokád jelensége: a kvantum pöttyön keresztül csak távolságra eső kapufeszültségek mellett folyik áram, mikor a pöttyön az elektron szám nem meghatározott.

A kapott elméleti várakozásokat vessük össze kvantum pöttyökön mért tipikus kísérleti eredményekkel. A 6. ábrán láthatóak vezetőképesség () mérések a kapufeszültség függvényében (kis mellett). Alacsony hőmérsékleten éles csúcsok jelentkeznek, amiket nulla vezetőképességű tartományok határolnak el a Coulomb-blokádnak megfelelően. A 6.a ábrán a csúcsok egyenletesen helyezkednek el a tengely mentén az elektrosztatikus képben kapott eredményekkel összhangban. A hőmérséklet növelésével a csúcsok elmosódnak és a köztes völgyekben az áram egyre nagyobbra nő. Ez a termikus elmosódás akkor válik jelentőssé, ha a pötty hőmérséklete összemérhetővé válik az elektrosztatikus energiaskálával: . A 6.b ábrán is egy hasonló mérés látható. A Coulomb-csúcsok itt is megjelennek, ugyanakkor a csúcsok távolsága nem egyenletes, ahogyan az egyszerű modellünkből várnánk. Ennek megértéséhez már az elektrosztatikus képen túl kell lépni és figyelembe kell venni a pötty bezáró potenciáljában kialakuló diszkrét elektron állapotokat is. Az egyenletlen csúcstávolság egészen kis méretű kvantum pöttyök esetén jelentkezik, ahol ahol (lásd energia skáláknál).

6a. ábra Kvantum pöttyök Coulomb-csúcsai kísérletben.	6b. ábra Coulomb-csúcsok nem ekvidisztans poziciókban.
Y. Meir et al., Phys. Rev. Lett. 66, 3048 (1991).	S. Tarucha et al., Phys. Rev. Lett. 77, 3613 (1996).

Coulomb-energiaszintek

Állítsuk a kvantum pötty kapufeszültségét értékre. Ilyenkor az -ik elektoron számára éppen energetikailag kedvező, hogy bekerüljön a pöttyre. Ezt modellezhetjük, úgy, hogy egy diszkrét energia nívót feltételezünk a pöttyön az elektródák Fermi-energiáival azonos energián, amire egyetlen elektron helyezhető. Az egyik elektródából elektron ugorhat erre a diszkrét energiaszintre, majd a másik elektródára kiugorva áram tud folyni a pöttyön keresztül (lásd. 7. ábra bal panel). Továbbra is kapufeszültség értéknél maradva a következő (-ik) elektron pöttyre helyezéséhez további energiára van szükség (lásd 5.a ábra), ami megadja a következő diszkrét energianívó távolságát a Fermi-energiától. Az előzőeket ismételve egy kvantum pötty energiaszerkezetét leírhatjuk egymástól távolságra elhelyezett diszkrét energiaszintekkel, amikre egy-egy elektront lehet ráhelyezni. Ezeket az energia szinteket szokás Coulomb-energiaszinteknek is nevezni. Az így kialakuló létra jellegű energiaszerkezet helyzetét a forrás () és a nyelő () Fermi-energiájához képest a kapufeszültség segítségével lehet hangolni. A 7. ábra bal paneljéhez képest a jobb panelen növeltük a kapufeszültséget. Ezáltal az energia szintek lejjebb tolódtak és a kvantum pötty Coulomb-blokádba került.

7. ábra Kvantum pötty leírása Coulomb-energiaszintekkel: A függöleges az energia tengely, a forrás és a nyelő oldalon a Fermi-szintig betöltött elektron állapotok vannak jelölve sárgával. Az alagút átmenetek (kék) között a Coulomb-energiaszintek láthatóak távolságokra egymástól. A bal oldali ábrán az az eset látható, mikor az betöltés éppen megengedetté válik, az energiaszint rezonanciája miatt áram tud folyni a kvantum pöttyön keresztül. A jobb oldali ábra egy Coulomb-blokádolt esetet mutat, ahol az alsó két Coulomb-energiaszint betöltött, de a harmadik nívó még energetikailag nem érhető el.

Coulomb-gyémántok

A Coulomb-energiaszintek bevezetése segít az és oldal közé kapcsolt véges hatásának megértésében.

8. ábra Coulomb gyémánt mintázat. A kvantum pötty energiaszintjei a gyémánt mintázat különböző részein

thumbtime=0:00

2. ábra. Qdot

Szöveg egyelektron-tranzisztorrol

Összefoglalva az alfejezetet, a kvantum pöttyök viselkedését egy leegyszerűsített model keretében tárgyaltuk, ami a kvantum pöttyön az elektronok között fellépő Coulomb-taszítást vette figyelembe, ezt is egyszerű elektrosztatikus közelítésen keresztül a pötty és a környezetében található elektródák közötti kapacitások figyelembevételével. Már ebben az egyszerű elektrosztatikuis képben a kvantum pöttyök alapvető elektromos vezetési tulajdonságai, úgy mint a Coulomb-blokád jelenség vagy a Coulomb-gyémánt mintázatok megérthetőek.

Hivatkozások

Fent hivatkozott szakcikkek

[0 (minta)] B. J. van Wees, H. van Houten, C. W. J. Beenakker, J. G. Williamson, L. P. Kouwenhoven, D. van der Marel, C. T. Foxon: Quantized conductance of point contacts in a two-dimensional electron gas, 'Phys. Rev. Lett. 60 p848–850 (1988)

[1] Jonathan P Bird, Electron transport in quantum dots, Kluwer Academic Publishers, (2003).

[2] Jan von Delft and D. C. Ralph, Spectroscopy of Discrete Energy Levels in Ultrasmall Metallic Grains, Physics Reports 345, 61 (2001).

[3] S. Tarucha et al., Phys. Rev. Lett. 77, 3613 (1996).

Ajánlott könyvek és összefoglaló cikkek

• S. Datta: Electronic Transport in Mesoscopic Systems, Cambridge University Press (1997)
• Thomas Ihn: Semiconducting nanosctructures, OUP Oxford (2010)
• Yuli V. Nazarov, Yaroslav M. Blanter: Quantum Transport: Introduction to Nanoscience, Cambridge University Press (2009)

Ajánlott kurzusok

• Új kísérletek a nanofizikában, Halbritter András és Csonka Szabolcs, BME Fizika Tanszék
• Transzport komplex nanoszerkezetekben, Halbritter András, Csonka Szabolcs, Csontos Miklós, Makk Péter, BME Fizika Tanszék
• Alkalmazott szilárdtestfizika, Mihály György, BME Fizika Tanszék
• Fizika 3, Mihály György, BME Fizika Tanszék (mérnök hallgatóknak)
• Mezoszkopikus rendszerek fizikája, Zaránd Gergely, BME Elméleti Fizika Tanszék
• Mezoszkopikus rendszerek fizikája, Cserti József, ELTE Komplex Rendszerek Fizikája Tanszék