„Folyadék szabad felszínének vizsgálata” változatai közötti eltérés
Posa (vitalap | szerkesztései) |
|||
| 48. sor: | 48. sor: | ||
{{eq|0{{=}}\int_0^R \left(\frac{\omega^2}{2g}x^2+C\right)\,\mathrm{d}x{{=}}\frac{\omega^2}{6g}R^3+CR,|eq:1|(1)}} | {{eq|0{{=}}\int_0^R \left(\frac{\omega^2}{2g}x^2+C\right)\,\mathrm{d}x{{=}}\frac{\omega^2}{6g}R^3+CR,|eq:1|(1)}} | ||
ahonnét | ahonnét | ||
| − | $$C=-\frac{\omega R}{6g}.$$ | + | $$C=-\frac{\omega^2 R^2}{6g}.$$ |
Így a folyadékfelszín egyenlete: | Így a folyadékfelszín egyenlete: | ||
$$y=\frac{\omega^2}{2g}\left(x^2-\frac{R^2}{3}\right).$$ | $$y=\frac{\omega^2}{2g}\left(x^2-\frac{R^2}{3}\right).$$ | ||
A lap 2013. szeptember 18., 11:16-kori változata
A szabad folyadékfelszín viselkedését egyenletes körmozgás esetén vizsgáljuk. A problémát alkalmas koordináta rendszer választásával visszavezetjük a szabad, nyugvó folyadékfelszín viselkedésére.
Tartalomjegyzék |
Elméleti összefoglaló
A nyugvó folyadék szabad (az edénnyel nem érintkező) felszíne mindenütt merőleges a külső erők eredőjére. Ha ugyanis a felszín valahol nem lenne merőleges az eredő erőre, akkor az utóbbi felszínnel párhuzamos összetevőjének hatására a felszín közelében áramlás jönne létre, vagyis a folyadékot nem tekinthetnénk nyugvónak.
Ha egy folyadékot tartalmazó hengeres edényt függőleges tengelye körül 
szögsebességgel forgatunk, akkor a folyadék felszíne felülről nézve homorú forgásfelület lesz. A folyadék az azonos tengely körül szögsebességgel forgó koordinátarendszerben nyugalomban van. Ebben a rendszerben a felszínen lévő 
tömegű folyadékrészre kétféle erő hat: az 
nagyságú, függőleges 
irányú nehézségi erő, valamint a forgó rendszerben fellépő tehetetlenségi erők. Esetünkben az utóbbiak közül csak az 
nagyságú, a forgástengelyre merőleges, és attól sugárirányban elfelé mutató centrifugális erő játszik szerepet (
a folyadékrésznek a forgástengelytől mért távolsága). A folyadékfelszín mindenhol a két erő eredőjére merőleges helyzetet vesz fel (1. ábra). A kialakuló felület egy forgási paraboloid. A kísérletben ennek a forgási paraboloidnak egy, a forgástengelyen átmenő metszetét határozzuk meg.
Kísérleti berendezés
 |
A folyadékot két egymáshoz közeli párhuzamos síklap által alkotott (téglatest alakú) edényben helyeztük el (2. ábra). (Továbbiakban a síklapokat egymáshoz végtelen közelinek tekintjük.) A forgástengely a téglatest egyik szimmetriatengelye. A forgó edényben kialakuló folyadékfelszín vizsgálatát egy olyan koordináta rendszerben végezzük, melynek tengelye az 
szögsebességhez tartozó (vízszintes) folyadékfelszínnel esik egybe, 
tengelye pedig a függőleges forgástengely.
Az 1. ábráról leolvasható, hogy
![\[\mathrm{tg}\alpha=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{mx\omega^2}{mg}=\frac{\omega^2}{g}x,\]](/images/math/4/a/1/4a1695bf1774149a7c89b26f533572f1.png)
azaz
![\[\mathrm{d}y=\frac{\omega^2}{g}x\mathrm{d}x,\]](/images/math/a/9/7/a97adf140a3c86b9c945442508556639.png)
ahonnan integrálással az
![\[y=\frac{\omega^2}{2g}x^2+C\]](/images/math/2/d/1/2d1dea864bf53b6d28fe195b9900ebd0.png)
összefüggés adódik. A kifejezés egy parabola egyenlete, ahol a 
integrálási állandó értéke a parabola csúcspontjának ordinátája. -t abból a feltételből kaphatjuk meg, hogy az állandó folyadéktérfogat miatt a 
határozott integrálnak nullát kell adnia, azaz
![\[0=\int_0^R \left(\frac{\omega^2}{2g}x^2+C\right)\,\mathrm{d}x=\frac{\omega^2}{6g}R^3+CR,\]](/images/math/7/8/0/780a6b5712c02b46fd5bf3ece9e31457.png)
ahonnét
![\[C=-\frac{\omega^2 R^2}{6g}.\]](/images/math/7/d/6/7d6834f19f6ae80d941d682a7417cbaf.png)
Így a folyadékfelszín egyenlete:
![\[y=\frac{\omega^2}{2g}\left(x^2-\frac{R^2}{3}\right).\]](/images/math/f/c/6/fc60a7151f61e5f466d3fc57d92aa14b.png)
A (1) kifejezésből az alábbi következtetések vonhatók le:
- A parabola csúcspontjának ordinátája
arányos 
-tel, ami alapján fordulatszámmérő készíthető.
- A különböző szögsebességekhez tartozó parabolák átmennek a
pontokon. [Az utóbbi állítás könnyen belátható, ha (1)-be 
-t helyettesítünk és 
-vel egyszerűsítünk.]
Mérési feladatok
A méréshez rendelkezésre álló eszközök
- A mérés elvégzéséhez és a mérési napló elkészítéséhez a dőlt betűs részekben adunk segítséget.
1. Igazolja kísérletileg, hogy a forgó folyadék felszíne által kialakított parabola csúcspontjának süllyedése a szögsebesség négyzetével arányos!
Vegye fel a 
függvényt és a grafikon segítségével állapítsa meg kitevőjét!
2. Határozza meg a nehézségi gyorsulás értékét!
Rajzolja fel a 
függvényt, majd határozza meg a mérési pontokon át fektetett egyenes meredekségét, ami 
értékét adja meg. Ennek ismeretében számítsa ki a nehézségi gyorsulást!
- A folyadékedény forgási sebességét a tápegység segítségével lehet változtatni. Bekapcsolás: MAINS és DC ON , forgási sebesség beállítása a durva és finom feszültségállító gombokkal.
- A mérésnél a folyadékfelszínt az edényen levő parabolára (parabolákra) igyekezzen illeszteni. A parabolák geometriai adatai vonalzóval utólag lemérhetők.
- A forgó rendszer frekvenciáját a beállított frekvenciamérővel lehet mérni. A műszer azonban a néhány Hz-es frekvenciákat nagy hibával méri, ezért a pontosabb mérés érdekében a mellékelt stopper segítségével mérje le több (10-20) fordulat idejét, és ebből határozza meg a frekvenciát!
- A mérést a pontosabb észlelés érdekében lesötétített térben végezze, ekkor a folyadékfelszín beállítást megkönnyíti a stroboszkóp alkalmazása.
