„Mechanikai alapmérések” változatai közötti eltérés
| 147. sor: | 147. sor: | ||
==Fonálinga lengésideje== | ==Fonálinga lengésideje== | ||
Matematikai ingának nevezzük az egy súlytalan kötélből és egy tömegpontból álló rendszert. Ha egy fonálingát vizsgálunk, kellő hosszúságú fonál esetén a ráakasztott tömeg tömegpontként kezelhető, valamint a fonál tömege elhanyagolható, így ez jó közelítése a matematikai ingának. Ennek az ideális rendszernek a gerjesztés nélküli mozgásegyenlete polárkoordinátákban: | Matematikai ingának nevezzük az egy súlytalan kötélből és egy tömegpontból álló rendszert. Ha egy fonálingát vizsgálunk, kellő hosszúságú fonál esetén a ráakasztott tömeg tömegpontként kezelhető, valamint a fonál tömege elhanyagolható, így ez jó közelítése a matematikai ingának. Ennek az ideális rendszernek a gerjesztés nélküli mozgásegyenlete polárkoordinátákban: | ||
| + | |||
| + | [[Fájl:Inga.jpg|bélyegkép|300px|7.ábra]] | ||
$$ml^2\frac{d^2\theta}{dt^2}+k\frac{d\theta}{dt}+mgl\sin\theta=0,$$ | $$ml^2\frac{d^2\theta}{dt^2}+k\frac{d\theta}{dt}+mgl\sin\theta=0,$$ | ||
A lap 2015. február 15., 18:53-kori változata
A mérés célja:
- megismerkedni mechanikai jellemzők mérésének néhány egyszerű módszerével.
Ennek érdekében:
- áttekintjük a rugalmas alakváltozással kapcsolatos összefüggéseket,
- megmérjük néhány mintadarab rugalmas alakváltozását,
- méréseket végzünk fonálingával.
Tartalomjegyzék |
Elméleti összefoglaló: rugalmas alakváltozások
Külső erő hatására a testekben alakváltozás lép fel. Ha az erő megszűnte után a test teljesen visszanyeri eredeti alakját, akkor az alakváltozást rugalmasnak nevezzük. (A gyakorlatban rugalmas alakváltozásról beszélünk, ha a maradandó alakváltozás kisebb, mint 2 ‰.) A külső erő által létrehozott rugalmas alakváltozás függ az erő nagyságától, az igénybevétel fajtájától (pl. húzás, hajlítás), az alakváltozásnak kitett test geometriai adataitól, anyagi összetételétől, illetve minőségétől. Az igénybevételek bizonyos fajtáinál, valamint meghatározott geometriájú testek esetében az alakváltozást létrehozó erő és a deformáció közötti összefüggés ismert. Ezek az ismert összefüggések tartalmazzák az anyagi összetételt, illetve minőséget figyelembevevő tényezőt, amelyet így meghatározott fajtájú igénybevétel esetén az erőnek, az erő által létrehozott deformációnak valamint a geometriai adatoknak az ismeretében az összefüggésből meg tudunk határozni. Nagyobb erő hatására a testben maradandó alakváltozás keletkezhet (képlékeny alakváltozás), illetve a test eltörhet, elszakadhat.
Húzás hatására történő rugalmas alakváltozás
Egy 
hosszúságú és mindenütt 
keresztmetszetű egyenes rúd egyik végét rögzítjük. Másik végét a rúd tengelyének irányába eső 
erővel meghúzzuk. Az ilyen körülmények közötti terhelést nyújtásnak vagy húzásnak nevezzük. Különböző húzóerőkhöz tartozó 
megnyúlásokat azonos anyagból készült különböző hosszúságú és keresztmetszetű próbatesteken megmérve azt tapasztaljuk, hogy a rugalmassági határon belüli megnyúlás egyenesen arányos a húzóerővel, a próbatest hosszával és fordítottan arányos a keresztmetszettel,
![\[\Delta l = \alpha\frac{l F}{A}\]](/images/math/1/c/0/1c0e19cc3dd8ddee04c8e9a3e7fae63a.png)
A kísérleteket különböző anyagból készült mintadarabok sorozatán megismételve azt találjuk, hogy az arányossági tényező az anyagra jellemző állandó. Az arányossági tényező helyett rendszerint annak reciprokát, az ún. rugalmassági- , nyújtási-, vagy Young-moduluszt (
) használják. A megnyúlás ezzel kifejezve
![\[\Delta l =\frac{l F}{E A}\]](/images/math/8/d/3/8d366208088316ddc68588ce1bfcff7f.png)
Ha megmérjük az erőt, az általa létrehozott megnyúlást, valamint a geometriai adatokat (-t és -et) akkor az utóbbi kifejezés segítségével a próbatestek anyagára jellemző rugalmassági együttható meghatározható.
A fenti kifejezések nyomás esetében is érvényesek, ami azt jelenti, hogy a testek húzási illetve nyomási rugalmassági állandója (Young-modulusza) egyforma.
Húzás hatására történő képlékeny alakváltozás
Ha az egyik végén rögzített hosszúságú és mindenütt keresztmetszetű egyenes rúd (vagy huzal) másik végét fokozatosan egyre nagyobb erővel húzzuk, akkor kezdetben a test rugalmas alakváltozást szenved. Ebben a tartományban a megnyúlás () közelítőleg egyenesen arányos az alkalmazott erővel.
A rugalmassági határ elérése után a test képlékeny alakváltozást szenved. Legtöbb fémnél a rugalmas tartományt a képlékeny folyás követi. Ekkor a test kis erőnövekedés hatására is jelentősen (és maradandóan) megnyúlik. A (jó közelítéssel) állandó térfogat miatt a test (huzal) jól megfigyelhetően elvékonyodik.
Néhány fémnél (például az acélnál) megfigyelhető, hogy a test elszakadása előtt "felkeményedik", azaz jelentősen növekvő erő hatására is csak csekély mértékben nyúlik tovább.
Végül az erő további növelésekor a test elszakad. Az ehhez szükséges húzófeszültség (egységnyi felületre eső húzóerő) az anyagra jellemző szakítószilárdság.
Egyik végén befogott, másik végén terhelt rúd lehajlása
Az egyik végén befogott és a szabad végén a rúdra merőlegesen erővel terhelt, tetszőleges alakú állandó keresztmetszetű rúd végének 
lehajlása:
![\[h = \frac{1}{3E} \cdot \frac{Fl^3}{I}\]](/images/math/5/c/a/5ca388d514fd745e391779d1b6cd5284.png)
Itt az egyenes rúd hossza, 
a keresztmetszetnek a lehajlás síkjára merőleges tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatéka.
Például az 
tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatékot az alábbi, a rúd teljes keresztmetszetére elvégzett integrál definiálja (1. ábra):
![\[I = \int y^2 {\rm d} A\]](/images/math/4/a/0/4a0205175d826454817a43781ec21a2d.png)
a keresztmetszet 
felületelemének a keresztmetszet súlypontján átmenő irányú tengelytől mért távolsága. A különböző alakú keresztmetszetekhez tartozó másodrendű nyomaték a fenti integrál segítségével kiszámítható. (A gyakran elforduló keresztmetszet típusok másodrendű nyomatékait a keresztmetszet alakjának paramétereivel kifejező formulákat a rugalmassági adatokat közlő táblázatok általában tartalmazzák.)
Az alábbiakban két esetben (2. ábra) megadjuk az tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatékot szolgáltató formulákat. 
szélességű és 
magasságú téglalap keresztmetszet (2/a ábra) esetén
![\[I = \frac{ab^3}{12}\]](/images/math/c/3/b/c3b6cdb5333413d5a32bbfaa2f9de8f5.png)
sugarú kör keresztmetszet esetén (2/b ábra) pedig
![\[I = \frac{\pi}{4}R^4\]](/images/math/c/0/0/c0026e7191967e973e690124ac5fc42d.png)
Ez alapján a téglalap keresztmetszetű, egyik végén befogott és a másikon F erővel terhelt rúd lehajlása (3. ábra.):
![\[h = \frac{4}{E} \cdot \frac{Fl^3}{ab^3}\]](/images/math/d/c/2/dc20e9313fa457ebeee2fcac36850cb2.png)
Két ponton alátámasztott, középen terhelt rúd lehajlása
A két ponton alátámasztott, az alátámasztási pontok között középen erővel terhelt rúd lehajlását az alábbi összefüggés adja:
![\[h = \frac{1}{48E} \cdot \frac{Fl^3}{I}\]](/images/math/3/4/d/34d5cb9fd5e073475d23101752294e20.png)
Állandó nyomatékkal terhelt rúd lehajlása
Az állandó nyomatékkal terhelt rúd esetét az 5/a ábra szemlélteti. Az ábrán a vizsgált, deformációt szenvedő rúd az alsó. A felső az ún. négypontos hajlítás (két alátámasztási + két támadási pont) megvalósításához használt segédeszköz. A vizsgált tartót terhelő erőket az 5/b ábrán tüntettük fel. Ha a tartó bal oldalától elindulva jobb felé felrajzoljuk a keresztmetszeteket terhelő nyomatékokat, az 5/c ábrát kapjuk. A tartó középső részét állandó 
nyomaték terheli.
Elméletileg levezethető, hogy az állandó nyomatékkal terhelt tartó kör alakban deformálódik és deformációja (5/d ábra):
![\[h = \frac{Md^2}{8IE}\]](/images/math/3/e/4/3e4fe216e5360edc7668253fe4690707.png)
ahol 
. Téglalap keresztmetszetű rúdra behelyettesítve a téglalap másodrendű nyomatékát:
![\[h = \frac{3Md^2}{2ab^3E}\]](/images/math/d/7/7/d772e5b0748a122ba3c0f29bbde73352.png)
Összefoglalva, valamely anyag rugalmassági állandója a megfelelően kialakított próbatestre ható erő által létrehozott deformáció (), továbbá a geometriai jellemzők mérése alapján meghatározható.
 |
Fonálinga lengésideje
Matematikai ingának nevezzük az egy súlytalan kötélből és egy tömegpontból álló rendszert. Ha egy fonálingát vizsgálunk, kellő hosszúságú fonál esetén a ráakasztott tömeg tömegpontként kezelhető, valamint a fonál tömege elhanyagolható, így ez jó közelítése a matematikai ingának. Ennek az ideális rendszernek a gerjesztés nélküli mozgásegyenlete polárkoordinátákban:
![\[ml^2\frac{d^2\theta}{dt^2}+k\frac{d\theta}{dt}+mgl\sin\theta=0,\]](/images/math/1/f/c/1fc20e5b7201a4ec7931b1c2e348f3c6.png)
ahol:
- l – a fonál hossza,
- g – nehézségi gyorsulás,
- m – a test tömege,
-
– A fonál függőlegessel bezárt szöge
- k – közegellenállásból eredő csillapítási együttható
Ennek megoldását általában kis kitérésekre végezzük el (
), valamint a csillapítástól eltekintünk, így a fonálinga harmonikus oszcillátorként közelíthető és differenciálegyenlete könnyen megoldható:
![\[\frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{g}{l}\theta=0.\]](/images/math/f/8/9/f892ba762d5b2295aaebf2d2d600519f.png)
Lengésideje pedig a jól ismert összefüggés:
![\[T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}},\]](/images/math/4/e/5/4e5eb7900b447496022965b354176c32.png)
ahol a fonálinga hossza, 
pedig a nehézségi gyorsulás.
Nagyobb kitéréseknél a differenciálegyenlet nemlineáris, kitérés-idő függvény zárt alakban nem adható meg, a lengésidő kifejezése pedig szintén zárt alakban nem kifejezhető elliptikus integrált tartalmaz. Közelítő formulák találhatók például itt.
Mérési feladatok
A méréshez rendelkezésre álló eszközök
- A mérés elvégzéséhez és a mérési napló elkészítéséhez a dőlt betűs részekben adunk segítséget.
1. Négypontosan terhelt rúd lehajlásának vizsgálata
a) Négypontosan terhelt rúd lehajlásának mérésével ellenőrizze az állandó nyomatékkal terhelt, téglalap keresztmetszetű rúd lehajlására levezetett kifejezést! Határozza meg a 
, 
és 
összefüggéseket!
- Az egyik paramétert változtatva megmérjük a deformációt, miközben a többi paramétert rögzítjük.
A kapcsolat meghatározásánál egyetlen mintadarabot alkalmazunk, azaz rögzített geometria mellett változtatjuk a terhelő nyomtatékot, és mérjük a hozzá tartozó értékét.
A összefüggés ellenőrzésénél 
állandó értéke mellett különböző vastagságú, de azonos szélességű mintadarabok deformációját mérjük állandó terhelő nyomatékkal. Ekkor a 
– 
függvény ábrázolva egyenest kell kapnunk, melynek meredeksége kitevője.
Hasonló módon vizsgálható a összefüggés is.
- A méréseket alumínium mintákkal kell elvégezni. Jegyezze fel a vizsgált rudak méreteit!
b) Határozza meg az a) feladatban használt minták rugalmassági együtthatóját!
- A mérések alapján végezzen elsődleges becslést az alumínium Young-moduluszára vonatkozóan, majd hasonlítsa össze azt az elérhető irodalmi adatokkal!
2. Inga lengésidejének mérése
a) Mérje meg különböző hosszúságú fonálingák lengésidejét kis kitérés esetén!
- 10 cm-től 1,5 m-ig legalább 6 hosszúságnál mérjen! Adja meg a fonálhossz mérés hibáját is (indoklással együtt) a mérési naplóban.
- A kitérést úgy válassza meg, hogy az valóban kis kitérésnek legyen tekinthető, ugyanakkor jól megfigyelhető, mérhető legyen! Használjon egy kis tömeget.
- Több lengés idejét mérje, és figyeljen a minél pontosabb stopperóra indításra és megállításra! Becsülje meg a közvetlenül mért időadat hibáját, és ezt (az indoklással együtt) írja le a mérési naplóba is!
- Ismételjék meg többször is a mérést, és ne mindig ugyanaz mérjen. Hasonlítsák össze az eredményeket: ebből is következtethetnek a közvetlen hibára.
b) Ábrázolja a mért adatokat! Készítsen olyan grafikont, ahol az összetartozó értékekre lineáris függvény illeszthető! Készítse el az illesztést, és határozza meg a nehézségi gyorsulás értékét!
- Ne feledkezzen el a részletes hibaszámításról!
c) Az a) feladat utolsó (leghosszabb) fonálhosszánál végezze el a mérést nagyobb kitérések esetén is, és ábrázolja a lengésidőt a kitérés függvényében. Vizsgálja meg, hogy milyen kitérésig tekinthető a lengés hibahatáron belül kiskitérésűnek.
- Nagy kitérés esetén az inga gyorsabban csillapodik, így lehet, hogy csak kevesebb lengés idejét tudja mérni, ami növeli a mérési hibát.
- Nagy kitérések esetén fokozottan figyeljen a balesetek elkerülésére!
d) Az előző mérési beállításban (fonálhossznál) mérje meg a lengésidőt kis kitérés, de kétszeres és háromszoros tömeg esetében is! Vizsgálja meg, hogy a lengésidő hibahatáron belül valóban független-e az inga tömegétől.
- Ügyeljen arra, hogy a tömegek egymás mellett legyenek, ne egymás alatt, hiszen akkor az inga hossza is változna.
