„Spektrumanalízis szerkesztőlap” változatai közötti eltérés

A lap 2018. május 16., 19:29-kori változata

Fourier-transzformáció

Egy időben változó jel spektrumát a Fourier-transzformáció segítségével ismerhetjük meg.

Azonban mivel a mérést véges időintervallumban végezzük a spektrum felbontása nem tökéletes. A véges ideig mért jel spektrumára gyakorlatilag úgy tekinthetünk, mintha az a T ideig mért jel periodikus kiterjesztésének a spektruma lenne. Ha a mért jelünk a T időablakban nem periodikus, akkor a periodikusan kiterjesztett jel az időablak határain ugrásokat mutathat, melyek miatt fals nagyfrekvenciás komponensek jelennek meg a spektrumban. Ezen probléma kiküszöbölésére olyan ablakfüggvények használatára van szükség, amelyek a mérési intervallum szélén eltűnnek. A Fourier-transzformációt tehát a vizsgált jel és az ablakfüggvény szorzatán végezzük

ahol súlyfüggvény egy T időablakon kívül zérus.

Két függvény szorzata a Fourier-térben a függvények Fourier-transzfor-máltjának konvolúciójával egyezik meg:

azaz a spektrum frekvenciájához az ablakfüggvény bekever jelet az frekvenciából is. Ezt a jelenséget spektrális szivárgásnak nevezzük.

&DFT, FFT&

A gyakorlati spektrumanalizáláshoz nem csak a véges időintervallumban végzett mérést kell figyelembe venni, hanem azt is, hogy a mért jelet nem folytonosan, hanem diszkrét pontokon mintavételezzük. Az ablakfüggvénnyel szorzott jel integrálját ennek megfelelően egy diszkrét összeggel közelítjük:

ahol a két diszkrét mintavételezés között eltelt idő (a mérési idő ). A diszkrét Fourier-transzformáció (DFT) tehát a diszkrét pontokon felvett függvény spektrumát adja meg.A Nyquist-Shannon mintavételezési törvény értelmében mintavételezési idővel legfeljebb maximális frekvenciáig lehetséges a jel rekonstrukciója.

A fenti mennyiség abszolútérték négyzete pedig nem más, mint a mért jel teljesítményspektruma (Power Spectrum):

\[PS=\abs{f_W(\omega)}^2=\sum_{n=0}^{N-1}F(n\Delta t)W(n\Delta t)e^{-i\omega n\Delta t}\Delta t,\]

Nem csak a mintavételezés történik diszkrét időnként, hanem a DFT kiszámítása is diszkrét értéken valósul meg. A diszkrét Fourier-transzformáció műveletigénye egyszerű "brute force" eljárással N frekvencia pont esetén műveletet igényel. Ez rendkívül időigényes, ezért egy más számítási algoritmust használnak a szoftverek a jel feldolgozásához. Ez a gyors Fourier-transzformáció (FFT), amelynek működési alapelve, hogy a mintát kettéválasztja páros és páratlan pontokra, így az N pontos DFT két N/2 pontos DFT-re bomlik. Ezt követően ezeket tovább felezi, és azokat is tovább, stb. Ehhez természetesen szükséges, hogy a mérési pontok száma kettő hatványa legyen. Könnyen belátható, hogy ennek az algoritmusnak a műveletigénye nagyságrendű. Az FFT algoritmus az adatpontból álló jel Fourier-spektrumát diszkrét körfrekvenciapontokon adja meg.

Most a DFT definiálását követően megvizsgálhatjuk az ablakfüggvények különböző tulajdonságát. Tételezzük fel, hogy egy egykomponensű jelet vizsgálunk. Könnyen belátható, hogy ha bármelyik értékére, akkor a spektrális szivárgás nulla lesz. Ez pontosan annak felel meg, amikor a jelünk a T időablakban periodikus. Azonban az esetek többségében értelemszerűen ez nem teljesül. Ekkor a spektrális szivárgáson kívül romlik a jel frekvenciafelbontása és amplitúdópontossága is. Ez előbbi a centrális csúcs keskenységével jellemezhető, míg az utóbbinál éppen ellenkezőleg arra van szükség, hogy megfelelően lapos legyen az jelünk környékén.

A zaj definíciója

Egy $V(t)$ időben fluktuáló zaj jellegű (azaz széles frekvenciaspektrumú) jelet egy $f_0$ középfrekvencia körüli $\Delta f$ szélességű sávszűrűn keresztül vizsgálva azt találjuk, hogy a szűrt jel szórásnégyzete arányos a frekvenciatartomány $\Delta f$ szélességével, az arányossági tényező a feszültségzaj spektrális sűrűsége (spectral density of noise), azaz a teljesítmény spektrális sűrűsége (Power Spectrum Density - PSD):

$$\left\langle (\Delta V(t|f_0,\Delta f))^2 \right\rangle=s_V(f_0)\Delta f.$$

Ez a zaj kísérleti definíciója. A feszültség szórásnégyzete a zajsűrűség teljes frekvenciatartományra vett integráljával egyenlő.

$$\langle(\Delta V(t))^2 \rangle=\int_{0}^{\infty} df s_V(f).$$

Ez a képlet közvetlenül is használható a zajspektrum kísérleti meghatározásához, azonban emellett jó kiindulópontként szolgál más fizikai mennyiségekkel való kapcsolatának vizsgálatára is. Érdemes megvizsgálni a zajsűrűség és a feszültség korrelációs függvény kapcsolatát. Ez utóbbi a következőképpen definiálható:

$$C(\Delta t)=\langle\Delta V(t)\cdotp\Delta V(t+\Delta t) \rangle=\lim\limits_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}dt\Delta V(t)\cdotp\Delta V(t+\Delta t).$$

Könnyen belátható, hogy a korrelációs függvény $\Delta t=0$-ban megegyezik a feszültség szórásnégyzetével.

$$C(0)=\langle(\Delta V(t))^2 \rangle.$$ Most fejezzük ki a korrelációs függvényt a Fourier-transzformáltja segítségével: $$\C(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}d\omega e^{i\omega t}c(\omega).$$

Ez alapján a feszültség szórásnégyzete:

$$\langle(\Delta V(t))^2 \rangle=C(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}d\omega c(\omega)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}d\omega c(\omega),$$

mivel $c(\omega)=c(-\omega)$. Másrészt a (\ref{eq:zajdef2})-as egyenletből következik:

$$\langle(\Delta V(t))^2 \rangle=\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\infty} d\omega s_V(\omega).$$

Az utóbbi két egyenletből látható, hogy a zaj teljesítménysűrűsége a feszültség korrelációs függvény Fourier-transzformáltjának kétszerese.

Sikerült kapcsolatot teremteni a zajsűrűség és a feszültség korrelációs függvény között. Most vizsgáljuk meg a feszültség korrelációs függvény és a feszültség mint mérhető fizikai mennyiségek kapcsolatát. A feszültség átlagtól való eltérésének ($\Delta V(t)=V(t)-\langle V(t)\rangle $) a Fourier-transzformáltja szerint:

$$\Delta v(\omega)= \int_{-\infty}^{\infty} dt \Delta V(t)e^{-i\omega t}.$$

Vizsgáljuk ezen Fourier-transzformált abszolút érték négyzetének várható értékét:

$$\langle|(\Delta v(\omega))|^2 \rangle= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} dt' dt \langle\Delta V(t)\Delta V(t') \rangle e^{-i\omega t} e^{i\omega t'}.$$

Az egyenlet jobb oldalán látható korrelációs függvény kifejezhető a következőképpen:

$$ \langle\Delta V(t)\Delta V(t')\rangle=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}d\omega'c(\omega')e^{i\omega'(t-t')}.$$

Továbbá az exponenciális tagokat átcsoportosítva a következő tag integrálja egy Dirac-deltát ad:

$$\int_{-\infty}^{\infty}dt'\frac{e^{i(\omega+\omega')t'}}{2\pi}=\delta(\omega+\omega').$$

Így a feszültség Fourier-transzformált abszolút érték négyzetének várható értéke könnyen belátható, hogy arányos a korrelációs függvény Fourier-transzformáltjával, illetve az időablak szélességével:

$$\langle|(\Delta v(\omega))|^2 \rangle= c(\omega) \int_{-\infty}^{\infty} dt.$$

Innen könnyen kifejezhető a zaj teljesítménysűrűsége, felhasználva, hogy az a feszültség korrelációs függvény Fourier-transzformáltjának kétszerese.

$$s_V(\omega)=\lim\limits_{T->\infty} \frac{2}{T}\left\langle \abs{\int_{-T/2}^{T/2} dt \Delta V(t)e^{-i\omega t}}^2\right\rangle.$$

A mérésünk során diszkrét pontokon történik a mintavételezés, így ugyanez a számolás DFT segítségével a következő módon fejezhető ki:

$$s_V(\omega)\approx\frac{2}{N\Delta t}\abs{\sum_{n=0}^{N-1} \Delta V(n\Delta t)e^{-i\omega n\Delta t}\Delta t}^2=\frac{2\Delta t}{N}\abs{\sum_{n=0}^{N-1} \Delta V(n\Delta t)e^{-i\omega n\Delta t}}^2.$$

A fentiekben sikerült megállapítanunk, hogy a vizsgált $\Delta V(t)$ jel Fourier-transzformáltjából hogyan számolható a zaj spektrális sűrűsége. Azonban ennél a számolásnál nem vettünk figyelembe ablakfüggvényt, vagy fogalmazhatunk úgy is, hogy téglalap ablakkal számoltunk.

Nézzük meg, hogy egy tetszőleges ablakfüggvény esetén hogyan származtatható a zajsűrűség. Sajnos tetszőleges spektrumú zajra és tetszőleges ablakfüggvényre általános összefüggés nem adható, viszont ha $\Delta V(t)$ fehér zaj, akkor tetszőleges ablakfüggvényre egyszerűen számolható a konverziós faktor.

Az ablakfüggvénnyel szorzott jel Fourier-transzformáltja:

$$\Delta v_W(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}dt\Delta V(t)W(t)e^{-i\omega t}.$$

Vizsgáljuk meg ezen Fourier-transzformált abszolút érték négyzetének várható értékét, ekkor a következőt kapjuk:

$$\langle|\Delta v(\omega)|^2\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}dtdt'W(t)W(t')\langle\Delta V(t)\Delta V(t')\rangle e^{-i\omega t}e^{-i\omega t'}.$$

A fehér zaj jellegéből következik, hogy:

$$\langle\Delta V(t)\Delta V(t')\rangle=C(t-t')=\frac{s_0}{2}\delta(t-t').$$

Így a Fourier-transzformált abszolút érték négyzetének várható értéke a következőképpen egyszerűsödik:

$$\langle|\Delta v_W(\omega)|^2\rangle=\frac{s_0}{2}\int_{-\infty}^{\infty}W^2(t)dt.$$

Azaz a spektrális sűrűség számolása:

$$s_0=\frac{2\langle|v_W(\omega)|^2\rangle}{\int_{-\infty}^{\infty}W^2(t)dt}.$$

A feszültségzaj spektrális sűrűsége egy normálási faktor erejéig egyenlő a mért feszültségpontok diszkrét Fourier-transzformáltjának abszolútérték-négyzetének kétszeresével. A normálási faktor az ablakfüggvény négyzetének a mérési időablakra vett integrálja. Láttuk, hogy ez téglalap ablakkal számolva $T$. Most vizsgáljuk meg a zajméréshez leggyakrabban használt Hanning-ablakot, melynek ablakfüggvénye:

$$W(t)=2\sin^2\left(\frac{t\pi}{T}\right).$$

A zajsűrűség Hanning-ablakot használva:

$$s_0=\frac{3\langle|v_W(\omega)|^2\rangle}{4T}.$$

Diszkrét mérési pontok esetén a következőképpen módosul a kifejezés:

$$s_0\approx\dfrac{2}{\sum_{n=0}^{N-1}W^2(n\Delta t)\Delta t}\abs{\sum_{n=0}^{N-1}W(n\Delta t) V(N\Delta t)e^{-i\omega n\Delta t}\Delta t}^2.$$

Hanning-ablakkal számolva:

$$s_0\approx\frac{3\Delta t}{4N}\abs{\sum_{n=0}^{N-1}W(n\Delta t)\Delta V(n\Delta t)e^{-i\omega n\Delta t}}^2.$$

Így frekvenciafüggetlen zajsűrűségek esetén sikerült meghatározni, hogy a mérési pontokból miképpen számolható ki a zaj spektrális sűrűsége.