„Harmonikus rezgések vizsgálata” változatai közötti eltérés
| 133. sor: | 133. sor: | ||
azaz a kondenzátor feszültsége 90°-kal késik az áramhoz képest. | azaz a kondenzátor feszültsége 90°-kal késik az áramhoz képest. | ||
| − | ===Soros rezgőkör=== | + | ====Soros rezgőkör - azaz mechanikai kényszerrezgés elektromos megfelelője==== |
Kondenzátor és tekercs soros kapcsolását (a veszteségeket soros ellenállással figyelembe véve) soros rezgőkörnek nevezik (1. ábra). Az alábbiakban láthatjuk, hogy ez az áramkör a korábban ismertetett kényszerrezgés elektromos megfelelője, amennyiben a tömegpont kitérését megfeleltetjük a kondenzátor töltésének, a rugóállandót a kondenzátor kapacitásának, a tömegpont tömegét a tekercs induktivitásának és a csillapítást az ellenállásnak. Ha az RLC körben a kondenzátort feltöltenénk, majd a bemenetet rövidre zárnánk, akkor egy csillapodó rezgést figyelhetnénk meg. A nagy frekvencia és a gyors csillapodás miatt azonban ezt nehezebb megfigyelni, mint egy kitérített, és magára hagyott mechanikai rezgő rendszert. Ha a bemenetre szinuszos gerjesztő feszültséget kapcsolunk, akkor viszont a kényszerrezgéssel teljesen analóg viselkedést figyelhetünk meg. | Kondenzátor és tekercs soros kapcsolását (a veszteségeket soros ellenállással figyelembe véve) soros rezgőkörnek nevezik (1. ábra). Az alábbiakban láthatjuk, hogy ez az áramkör a korábban ismertetett kényszerrezgés elektromos megfelelője, amennyiben a tömegpont kitérését megfeleltetjük a kondenzátor töltésének, a rugóállandót a kondenzátor kapacitásának, a tömegpont tömegét a tekercs induktivitásának és a csillapítást az ellenállásnak. Ha az RLC körben a kondenzátort feltöltenénk, majd a bemenetet rövidre zárnánk, akkor egy csillapodó rezgést figyelhetnénk meg. A nagy frekvencia és a gyors csillapodás miatt azonban ezt nehezebb megfigyelni, mint egy kitérített, és magára hagyott mechanikai rezgő rendszert. Ha a bemenetre szinuszos gerjesztő feszültséget kapcsolunk, akkor viszont a kényszerrezgéssel teljesen analóg viselkedést figyelhetünk meg. | ||
| 163. sor: | 163. sor: | ||
''Megjegyzés:'' A kondenzátoron és a tekercsen eső feszültségnek nem pontosan az $\omega_0$ rezonanciafrekvencián van maximuma - hasonlóan a mechanikai kényszerrezgés amplitúdórezonanciájához. | ''Megjegyzés:'' A kondenzátoron és a tekercsen eső feszültségnek nem pontosan az $\omega_0$ rezonanciafrekvencián van maximuma - hasonlóan a mechanikai kényszerrezgés amplitúdórezonanciájához. | ||
| − | ===Komplex jelölés=== | + | ====Komplex jelölés==== |
[[Fájl:Fazor.png|bélyegkép|150px|2. ábra]] | [[Fájl:Fazor.png|bélyegkép|150px|2. ábra]] | ||
| 213. sor: | 213. sor: | ||
A komplex ellenállás abszolút értéke a skalár ellenállás értéket adja, míg arkusza azt mutatja meg, hogy az adott áramköri elem mennyivel tolja el a fázist. | A komplex ellenállás abszolút értéke a skalár ellenállás értéket adja, míg arkusza azt mutatja meg, hogy az adott áramköri elem mennyivel tolja el a fázist. | ||
| − | ===Egyszerű áramkörök leírása komplex jelöléssel=== | + | ====Egyszerű áramkörök leírása komplex jelöléssel==== |
A komplex leírásmód előnyének szemléltetése céljából az alábbiakban megvizsgálunk néhány negyszerű áramkört. | A komplex leírásmód előnyének szemléltetése céljából az alábbiakban megvizsgálunk néhány negyszerű áramkört. | ||
| − | + | '''Szűrő áramkörök''' | |
Szűrők segítségével egy különböző frekvenciájú rezgésekből álló elektromos jelből ki lehet szűrni bizonyos frekvenciatartományokat. A legegyszerűbb elsőrendű szűrők egy ellenállást és egy kondenzátort/tekercset tartalmaznak és a feszültségosztás elvén működnek, melyet a komplex jelölést felhasználva egyszerűen az egyenáramú áramkörökben jól ismert $U_1=UR_1/(R_1+R_2)$ feszültségosztó képlettel leírhatunk komplex ellenállások használatával. Ilyen szűrőkre láthatunk példát az 5/a és 5/b ábrákon. A kapcsolások feszültségviszonyai pedig az alábbi képletekkel írhatók le (A vastag betűs mennyiségek komplex változók, $j$ a képzetes egység. Ugyanakkor mérni csak valós mennyiségeket lehet, azaz a komplex mennyiségek abszolút értékét!): | Szűrők segítségével egy különböző frekvenciájú rezgésekből álló elektromos jelből ki lehet szűrni bizonyos frekvenciatartományokat. A legegyszerűbb elsőrendű szűrők egy ellenállást és egy kondenzátort/tekercset tartalmaznak és a feszültségosztás elvén működnek, melyet a komplex jelölést felhasználva egyszerűen az egyenáramú áramkörökben jól ismert $U_1=UR_1/(R_1+R_2)$ feszültségosztó képlettel leírhatunk komplex ellenállások használatával. Ilyen szűrőkre láthatunk példát az 5/a és 5/b ábrákon. A kapcsolások feszültségviszonyai pedig az alábbi képletekkel írhatók le (A vastag betűs mennyiségek komplex változók, $j$ a képzetes egység. Ugyanakkor mérni csak valós mennyiségeket lehet, azaz a komplex mennyiségek abszolút értékét!): | ||
| 234. sor: | 234. sor: | ||
Könnyen belátható továbbá az is, hogy ugyanezeket az elrendezéseket használva ''felüláteresztő szűrő''ket is megvalósíthatunk, amennyiben a kondenzátoron (5/a) vagy ellenálláson (5/b) eső feszültség helyett a kapcsolás másik áramköri elemén (ellenállás/tekercs) eső feszültséget tekintjük kimeneti feszültségnek. | Könnyen belátható továbbá az is, hogy ugyanezeket az elrendezéseket használva ''felüláteresztő szűrő''ket is megvalósíthatunk, amennyiben a kondenzátoron (5/a) vagy ellenálláson (5/b) eső feszültség helyett a kapcsolás másik áramköri elemén (ellenállás/tekercs) eső feszültséget tekintjük kimeneti feszültségnek. | ||
| − | + | '''Rezgőkörök''' | |
| − | + | A '''Komplex jelölés'''t bemutató fejezetben egy soros rezgőkör állandósult állapotát írtuk fel a komplex jelölés használatával (fontos megjegyezni, hogy a tranzienseket ebben a leírásban nem lehet vizsgálni), ahol a hálózat eredő impedanciájára: | |
| + | $$\mathbf{Z}(\omega) = j\omega L + 1/j\omega C + R,$$ | ||
| − | + | az impedancia abszolút értékére és fázisszögére pedig: | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
$$Z(\omega) = \sqrt{(\omega L-1/\omega C)^2+R^2}$$ | $$Z(\omega) = \sqrt{(\omega L-1/\omega C)^2+R^2}$$ | ||
| − | $$\varphi = \arccos\frac{R}{Z}$$ | + | $$\varphi = \arccos\frac{R}{Z},$$ |
| − | [[Fájl:Z_I.jpg|bélyegkép|350px|4. ábra]] | + | összefüggéseket kaptuk. |
| − | + | ||
| + | <!--[[Fájl:Z_I.jpg|bélyegkép|350px|4. ábra]]--> | ||
| + | Így a körben folyó áram (azaz az ellenálláson eső feszültség és az ellenállás hányadosa): | ||
$$I(\omega)= \frac{U_R}{R}= \frac{U_0}{Z}=\frac{U_0}{\sqrt{(\omega L-1/\omega C)^2+R^2}}$$ | $$I(\omega)= \frac{U_R}{R}= \frac{U_0}{Z}=\frac{U_0}{\sqrt{(\omega L-1/\omega C)^2+R^2}}$$ | ||
| − | A $Z(\omega)$ és $I(\omega)$ függvényeket ábrázolva a kapcsolás jellegzetes tulajdonságaira derül fény (4. ábra). | + | <!--A $Z(\omega)$ és $I(\omega)$ függvényeket ábrázolva a kapcsolás jellegzetes tulajdonságaira derül fény (4. ábra).--> |
| + | |||
| + | A komplex felírásmód alkalmazásával hasonlóan egyszerűen megkaphatjuk egy párhuzamos LC rezgőkör jellemzőit is, melyek az alábbiak: | ||
| + | |||
| + | $$\mathbf{Z}(\omega) = \frac{j\omega L}{ 1 - \omega^{2} L C} + R,$$ | ||
| + | |||
| + | $$Z(\omega) = \sqrt{\frac{\omega^{2} L^{2}}{(1 - \omega^{2} L C)^2} + R^{2}}$$ | ||
| + | |||
| + | $$I(\omega)= \frac{U_0}{Z}=\frac{U_0}{\sqrt{R^2 + \omega^{2} L^{2} / (1 - \omega^{2} L C)^2}}$$ | ||
| − | A | + | A körben folyó áramot leíró képlet elemzéséből megállapítható, hogy a párhuzamos RLC kör esetén kis és nagy $\omega$ értékeknél kapunk maximális áramot és az áramnak mimimuma van $\omega$ függvényében az $\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ helyen. |
<!--==A mechanikai rezgések vizsgálatához használt kísérleti berendezés leírása== | <!--==A mechanikai rezgések vizsgálatához használt kísérleti berendezés leírása== | ||
A lap 2022. október 3., 20:52-kori változata
A mérés célja:
- elmélyíteni a hallgatók harmonikus rezgésekről szóló ismereteit,
- megtapasztalni a mechanikai és az elektromos rezgések közötti analógiát,
- megismerkedni a váltóáramú mérésekkel és a komplex jelöléssel,
- valamint egyszerű szűrőkapcsolások tulajdonságaival
Ennek érdekében:
- a mechanikai rezgések leírásán keresztül áttekintjük a harmonikus rezgések elméletét,
- megismerjük a különböző áramköri elemek váltóáramú viselkedését,
- áttekintjük a komlex jelölést
- megismerkedünk néhány egyszerű szűrőelrendezéssel,
- megvizsgáljuk a mechanikai rezgéseket,
- méréseket végzünk alul- és felüláteresztő szűrőkkel,
- megvizsgáljuk a feszültségviszonyokat soros RLC körökben,
- megfigyeljük az analógiát a soros RLC és a mechanikai rezgések között.
Tartalomjegyzék |
Elméleti összefoglaló
A harmonikus rezgés alapvető fizikai jelenség. Vibrációk, oszcillációk harmonikus rezgéssel modellezhetők, ha az amplitúdók elég kicsinyek. A harmonikus mozgás differenciálegyenlete nem csupán a klasszikus fizikában (mechanika, villamosságtan), de a kvantumfizikában, a szilárdtestfizikában és az optikában is gyakran előfordul. A harmonikus rezgés tulajdonságait a mechanikai rezgések példáján keresztül tárgyaljuk, majd megmutatjuk a soros RLC körökben megfigyelhető elektromos rezgések és a mechanikai rezgések közötti analógiát. Végül pedig bevezetjük a komplex jelölést és megvizsgálunk néhány egyszerű szűrőelrendezést.
Harmonikus mechanikai rezgések leírása
Csillapítatlan mechanikai rezgések
Ha egy 
tömegű anyagi pontra a kitéréssel arányos, rugalmas erő hat, akkor a mozgásegyenlet
![\[ma=-Dx\]](/images/math/f/b/3/fb30b4da9009aab1cbabab9dff6513fa.png)
alakú, ahol 
a rugóállandó, 
a tömegpont kitérése az egyensúlyi helyzetből, a tömeg, és 
a gyorsulás.
A mozgásegyenlet megoldása
![\[x(t)=A\sin(\omega_0 t+\alpha)\]](/images/math/6/9/8/698d670dcace95562a59318f4bc511f6.png)
ahol 
a (kitérési) amplitúdó, 
a 
időpillanathoz tartozó fázis (mindkettőt a kezdeti feltételek határozzák meg),
![\[\omega_0=\sqrt{\frac{D}{m}}\]](/images/math/6/2/b/62b794d7c5bd9b0793952f4288745739.png)
a csillapítatlan rezgő rendszer körfrekvenciája. (
, ahol 
a megfelelő frekvencia.)
A harmonikus rezgőmozgás sebessége
![\[v(t)=\frac{\text{d} x}{\text{d} t}=A\omega_0\cos(\omega_0 t+\alpha)\]](/images/math/9/d/c/9dcad6f28870846c89ba112d12dd1f58.png)
ahol 
a maximális sebesség, az ún. sebességamplitúdó.
Csillapodó rezgések
A csillapodást okozó erők gyakran (jó közelítéssel) a sebességgel arányosak: 
, ahol 
a csillapítás erősségére jellemző mennyiség. Ekkor a tömegpont mozgásegyenlete:
![\[ma=-Dx-kv\]](/images/math/b/7/0/b70cad48363b12ebe7c00c8de056d4b1.png)
ami a 
csillapítási tényező bevezetésével és 
definíciójának felhasználásával az alábbi alakra hozható:
![\[\frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2}+2\beta\frac{\text{d}x}{\text{d}t}+\omega_0^2 x=0\]](/images/math/3/3/f/33fca78ee06fe71af4452fd72c08965a.png)
A differenciálegyenlet megoldása 
esetén időben csökkenő amplitúdójú lengéseket eredményez:
![\[x(t)=Ae^{-\beta t}\sin(\omega' t+\alpha)\]](/images/math/1/6/a/16aac187848ca1c99ebe5aaba1c45d99.png)
A rezgés körfrekvenciája
![\[\omega'=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}\]](/images/math/c/6/3/c630d6c795ef05121257c9d49adecb90.png)
Az amplitúdóváltozás jellemzésére különböző mennyiségeket használnak. A csillapodási hányados két, azonos irányban egymás után következő amplitúdó hányadosa
![\[K=\frac{x_n}{x_{n+1} }=e^{\beta T}\]](/images/math/d/7/5/d75e89c8fe55114bbb46e0c7a217c899.png)
ahol 
. Használatos még a K csillapodási hányados logaritmusa, az ún. logaritmikus dekrementum is:
![\[\Lambda=\ln K=\beta T\]](/images/math/f/5/5/f55922b2e6f73cf0584aa6742023ae9d.png)
Kényszerrezgések
Egy tömegre pl. motor és excenter segítségével időben periodikusan változó erőt alkalmazva egy átmeneti időszak után időben állandósult rezgés alakul ki, melynek frekvenciája megegyezik a kényszerítő erő frekvenciájával, míg amplitúdója függ az erőtől, a rugóállandótól, a tömegtől, a csillapítástól valamint a gerjesztő frekvenciától. Az anyagi pont mozgásegyenlete ekkor:
![\[ma=-Dx-kv+F_0\sin(\omega t)\]](/images/math/d/7/0/d700dd523f6789794008013701d4127e.png)
A korábban bevezetett jelöléseket alkalmazva másodrendű lineáris, inhomogén differenciálegyenletet kapunk:
![\[\frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2}+2\beta\frac{\text{d}x}{\text{d}t}+\omega_0^2 x=\frac{F_0}{m}\sin(\omega t)\]](/images/math/a/3/6/a365b484e2e8bca8da1b9e33b1dc9748.png)
ahol 
a kényszererő maximális értéke. Az egyenlet megoldása:
![\[x(t)=A_0e^{-\beta t}\sin(\omega' t+\alpha)+\frac{F_0}{m\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2} }\sin(\omega t+\varphi),\]](/images/math/0/0/9/00954c33ce0f7e021cd0b585b36be497.png)
melynek második tagja írja le az állandósult állapotot. Az állandósult állapot amplitúdója:
![\[A(\omega)=\frac{F_0}{m\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2} },\]](/images/math/7/7/2/7720f8a65b3abb6e065f1f3b8160c243.png)
melynek maximuma van az
![\[\omega_{max}=\sqrt{\omega_0^2-2\beta^2}\]](/images/math/9/1/5/915a5a394448e94f7f6df72c7607febb.png)
körfrekvenciánál. A 
fázisállandó nem az időmérés kezdetétől függ, hanem a kényszerítő erő fázisától való eltérés, ennek tangense:
![\[\text{tg}\varphi=\frac{2\beta\omega}{\omega_0^2-\omega^2}.\]](/images/math/6/d/b/6dbbdd1f06cca90c8f59865a19ee8340.png)
Az amplitúdóhoz hasonlóan megadhatjuk a sebességamplitúdó kifejezését is:
![\[A\omega=\frac{F_0\omega}{m\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2}}\]](/images/math/a/c/4/ac40d1467d7453e71cd74c80e41715d4.png)
melynek maximuma – ellentétben a kitérési amplitúdó maximumával – éppen -nál van, ahol
![\[A\omega_0=\frac{F_0}{2m\beta}.\]](/images/math/3/c/3/3c369dfa228035d26cc0c23371ffe361.png)
A kényszerrezgés energiaviszonyainak jellemezésére az egy periódus alatt disszipált energia 
és a rendszerben tárolt átlagos energia 
hányadosával arányos jósági tényezőt használjuk
![\[Q=2\pi\frac{\langle W\rangle}{T\langle P\rangle}\approx\frac{\omega_0}{2\beta}\]](/images/math/0/0/b/00b44b97ac127fd01604257e56fe2fc0.png)
Váltakozó áramú kapcsolások
Áramköri elemek áram- és feszültségviszonyai
Ohmos ellenállás
Az ellenálláson eső feszültséget az
![\[u(t)=R i(t)\]](/images/math/5/b/3/5b3eacca33f2f21f61fce5be60d9610c.png)
összefüggés írja le. Szinuszos gerjesztés [
] esetén
![\[u(t) = R I \cos\omega t,\]](/images/math/5/6/0/56086c4fb6b9c471180784a7e7cc0c98.png)
azaz az ohmos ellenálláson a feszültség és az áram azonos fázisban van.
Tekercs
A tekercsben indukálódó feszültséget az
![\[u(t) = L \frac{{\rm d}i(t)}{{\rm d}t}\]](/images/math/7/0/d/70d81694316981734d9306478ac2b228.png)
egyenlet írja le. Szinuszos gerjesztés [] esetén
![\[u(t) = -L \omega I \sin\omega t = L \omega I \cos( \omega t + 90^\circ),\]](/images/math/2/7/8/27847fbdff5ee243ad40e044038bd4ab.png)
tehát a tekercsben fellépő feszültség 90°-ot siet az átfolyó áramhoz képest.
Kondenzátor
A kondenzátoron átfolyó áram időfüggését az alábbi egyenlet írja le:
![\[i(t) = C \frac{{\rm d}u(t)}{{\rm d}t}.\]](/images/math/2/a/d/2ad4b9dbaa6debb8b51c07b374b84fdf.png)
Szinuszos gerjesztés [] esetén:
![\[u(t) = \frac{I}{C\omega}\sin\omega t = \frac{I}{C\omega}\cos(\omega t - 90^\circ),\]](/images/math/c/4/8/c482906f41df3b5cf8a9c151f6eb53ff.png)
azaz a kondenzátor feszültsége 90°-kal késik az áramhoz képest.
Soros rezgőkör - azaz mechanikai kényszerrezgés elektromos megfelelője
Kondenzátor és tekercs soros kapcsolását (a veszteségeket soros ellenállással figyelembe véve) soros rezgőkörnek nevezik (1. ábra). Az alábbiakban láthatjuk, hogy ez az áramkör a korábban ismertetett kényszerrezgés elektromos megfelelője, amennyiben a tömegpont kitérését megfeleltetjük a kondenzátor töltésének, a rugóállandót a kondenzátor kapacitásának, a tömegpont tömegét a tekercs induktivitásának és a csillapítást az ellenállásnak. Ha az RLC körben a kondenzátort feltöltenénk, majd a bemenetet rövidre zárnánk, akkor egy csillapodó rezgést figyelhetnénk meg. A nagy frekvencia és a gyors csillapodás miatt azonban ezt nehezebb megfigyelni, mint egy kitérített, és magára hagyott mechanikai rezgő rendszert. Ha a bemenetre szinuszos gerjesztő feszültséget kapcsolunk, akkor viszont a kényszerrezgéssel teljesen analóg viselkedést figyelhetünk meg.
Viszgáljuk meg a rezgőkör differenciálegyenletét a kondenzátor időfüggő töltésére (
) felírva, amikor a rezgőkörre 
feszültséget kapcsolunk:
![\[u_{\rm C}=q(t)/C\]](/images/math/6/e/5/6e557c5a7c02f41f9e8b70185a9b0687.png)
![\[i(t)=\dot{q}(t)\]](/images/math/3/4/5/345f04f2a83cf0399cf9dc740f7a3cc0.png)
![\[u_{\rm R}=Ri(t)=R\dot{q}(t)\]](/images/math/0/f/9/0f98abcde80a186b296ccde6f3a37145.png)
![\[u_{\rm L}=L\dot{i}(t)=L\ddot{q}(t)\]](/images/math/4/1/1/41175632a87ec6b612a0336e39d0926c.png)
![\[L\ddot{q}(t)+R\dot{q}(t)+q(t)/C=U_0\sin\omega t\]](/images/math/8/f/e/8fe0fb39e34df6fdeb9a07c794faa834.png)
![\[\ddot{q}(t)+\frac{R}{L}\dot{q}(t)+\frac{1}{LC}q(t)=\frac{U_0}{L}\sin\omega t.\]](/images/math/d/3/c/d3ce0c79341d4c23d3824118773ab42e.png)
Vegyük észre, hogy ez a differenciálegyenlet 
és 
jelöléssel a kényszerrezgést leíró differenciálegyenlettel teljesen analóg egyenletet eredményez. Ennek következtében az általános megoldás is teljesen analóg: traniens és állandósult tagokat tartalmaz.
Esetünkben a tranziens tag hamar elhal, és az állandósult tagot tanulmányozhatjuk. Az amplitúdó itt a kondenzátor töltése, de számunkra sokkal érdekesebb ennek deriváltja, a körben folyó áramerősség. Ez tehát az analógia alapján a mechanikai rezgés sebességrezonanciájával egyezik meg:
![\[I(\omega)=\frac{U_0}{L\sqrt{\left(\omega^2-\omega_0^2\right)^2+4\beta^2\omega^2}}.\]](/images/math/4/3/a/43a8a3f9f64b2cde816dccbf4d03ee63.png)
Ha behelyettesítjük 
és értékét, akkor
![\[I(\omega)=\frac{U_0}{\sqrt{(\omega L-1/\omega C)^2+R^2}}.\]](/images/math/b/7/f/b7f728d8b68397856b7e50ba9f6cea9a.png)
Látható, hogy a rezgőkörben folyó áramnak 
esetén az
![\[\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\]](/images/math/a/d/4/ad4a43ecaf657200d72e8c141af15534.png)
körfrekvencián maximuma van. A jelenséget rezonanciának, -t rezonancia-körfrekvenciának hívják. Ezen a körfrekvencián áramrezonancia alakul ki.
Ez az áram – kis veszteségi ellenállást feltételezve – igen nagy feszültségeket hozhat létre a kondenzátoron és a tekercsen. Azonban ezek a feszültségek egymáshoz viszonyítva 180°-os fázisban vannak, abszolút értékük pedig megegyezik (hiszen azonos áram folyik át rajtuk), így egymást kiegyenlítik.
Megjegyzés: A kondenzátoron és a tekercsen eső feszültségnek nem pontosan az rezonanciafrekvencián van maximuma - hasonlóan a mechanikai kényszerrezgés amplitúdórezonanciájához.
Komplex jelölés
Szinuszos gerjesztés esetén, állandósult állapotban minden áram- és feszültségfüggvény azonos 
körfrekvenciával változik. Az egymáshoz képesti fáziskülönbségeket ilyenkor fazorábrával szemléltethetjük. Az 2. ábrán egy soros RLC-kör (részletesen lásd később) fazorábrája látható. Az áram - a soros kapcsolás miatt - mindhárom elemen ugyanakkora, a feszültségek pedig ehhez viszonyítva sietnek, fázisban vannak, illetve késnek.
Az áramkörre kapcsolt feszültség a három, sorbakapcsolt feszültséget jelölő fazor vektori eredője.
A fazorokat felfoghatjuk komlex számokként is. Így az egyes áram és feszültségjeleket egy-egy komplex szám jelöli. A fazorokhoz hasonlóan a komplex szám abszolút értéke a jel nagyságát (csúcsértékét), a komplex szám arkusza pedig a jel (a kiválasztott fázishelyzethez viszonyított) fázisát adja meg.
Figyelem! Mivel a villamos hálózatoknál 
az áram pillanatértékét jelöli, a komplex egység szokásos jelölése itt 
!
Az 2. ábrán látható fazorábrán szereplő jeleknek megfelelő komplex mennyiségek:
![\[\mathbf{I}=I\]](/images/math/d/b/3/db3b10836f663e18d0b2457c4f381161.png)
![\[\mathbf{U_{\rm R}}=U_{\rm R}=RI\]](/images/math/6/d/e/6dea4cee9d301924a744b4a8c84a41ec.png)
![\[\mathbf{U_{\rm L}}=jU_{\rm L}=j\omega LI\]](/images/math/4/0/4/404442f2e57583da99a06b8decbb04df.png)
![\[\mathbf{U_{\rm C}}=-jU_{\rm C}=I/j\omega C\]](/images/math/5/0/2/502eb5b1ee2c68e4c415bc5288d65148.png)
Ekkor az eredő (komplex) feszültséget nem csak megszerkeszthetjük, hanem egyszerű komplex algebrával ki is számolhatjuk:
![\[\mathbf{U} = \mathbf{U_{\rm R}}+\mathbf{U_{\rm L}}+\mathbf{U_{\rm C}}= RI + j\omega LI + I/j\omega C\]](/images/math/6/6/4/6641a34eef0fb3219e31270b1ff325ca.png)
Az eredő feszültség nagysága (csúcsértéke) a komplex érték abszolút értéke:
![\[U=|\mathbf{U}|=\sqrt{R^2+(\omega L-1/\omega C)^2}I=ZI,\]](/images/math/a/4/c/a4cd1a16c71b0e334e88ba1acfcabfd1.png)
ahol 
az eredő ellenállás.
Az eredő feszültség fázisa a komplex feszültség arkusza:
![\[\varphi=\arccos\frac{R}{Z}.\]](/images/math/7/3/d/73dfbd65becf4c14d17054046e02c2d1.png)
A komplex áram és feszültség alapján azonban közvetlenül is fel tudjuk írni az áram és a feszültség időfüggvényét:
![\[i(t)=\rm{Re}\left(\mathbf{I}e^{j\omega t}\right)=I\cos \omega t\]](/images/math/b/6/8/b68fbcf4e38afed4b745c41ad35ae592.png)
![\[u(t)=\rm{Re}\left(\mathbf{U}e^{j\omega t}\right)=U\cos(\omega t+\varphi)=ZI\cos(\omega t+\varphi)\]](/images/math/d/7/b/d7bced5d7c0296acffc3b72671e50b2e.png)
Ha az 2. ábrán látható fazorokat leíró komplex feszültségeket elosztjuk az áramerősség nagyságával, akkor ellenállás dimenziójú komplex mennyiségeket kapunk:
![\[\frac{\mathbf{U_{\rm R}}}{I}=\mathbf{R}=R\]](/images/math/2/0/d/20d4bff2b98a0110a9592b1262724367.png)
![\[\frac{\mathbf{U_{\rm L}}}{I}=\mathbf{X_{\rm L}}=j\omega L\]](/images/math/9/0/9/909749c3b65f94d726bfe561cccd17ed.png)
![\[\frac{\mathbf{U_{\rm C}}}{I}=\mathbf{X_{\rm C}}=1/j\omega C\]](/images/math/4/b/6/4b6488db0f72daa07f669e9634fad5ac.png)
![\[\frac{\mathbf{U}}{I}=\mathbf{Z}\]](/images/math/7/5/4/754bfd62ff79474ca4fe652ca9bf87df.png)
A komplex ellenállásokkal ugyanúgy számolhatunk egy váltóáramú körben, mint az ohmos ellenállásokkal egyenáramú hálózatok esetében.
A mi esetünkben a soros kapcsolás miatt az eredő (komplex) ellenállás az egyes (komplex) ellenállások összege:
![\[\mathbf{Z}=\mathbf{R}+\mathbf{X_{\rm L}}+\mathbf{X_{\rm C}}.\]](/images/math/3/4/8/348ecc64ebd75571a424645a09bb1775.png)
A komplex jelölésmóddal bármely áramköri elem leírása olyan, mintha egy ohmos ellenállás lenne:
![\[\mathbf{U_{\rm R}}=\mathbf{R}\mathbf{I}\]](/images/math/6/f/9/6f983d04136f9b37d69e64e469e822a4.png)
![\[\mathbf{U_{\rm L}}=\mathbf{X_{\rm L}}\mathbf{I}\]](/images/math/a/9/5/a95ad0be1fe4306378c8ec89f23f6bbf.png)
![\[\mathbf{U_{\rm C}}=\mathbf{X_{\rm C}}\mathbf{I}\]](/images/math/5/e/3/5e3f95af623562cd52e17a7ce9d424ae.png)
![\[\mathbf{U}=\mathbf{Z}\mathbf{I}\]](/images/math/9/d/8/9d836ab019d68fc534654b71bb9da238.png)
A komplex ellenállás abszolút értéke a skalár ellenállás értéket adja, míg arkusza azt mutatja meg, hogy az adott áramköri elem mennyivel tolja el a fázist.
Egyszerű áramkörök leírása komplex jelöléssel
A komplex leírásmód előnyének szemléltetése céljából az alábbiakban megvizsgálunk néhány negyszerű áramkört.
Szűrő áramkörök
Szűrők segítségével egy különböző frekvenciájú rezgésekből álló elektromos jelből ki lehet szűrni bizonyos frekvenciatartományokat. A legegyszerűbb elsőrendű szűrők egy ellenállást és egy kondenzátort/tekercset tartalmaznak és a feszültségosztás elvén működnek, melyet a komplex jelölést felhasználva egyszerűen az egyenáramú áramkörökben jól ismert 
feszültségosztó képlettel leírhatunk komplex ellenállások használatával. Ilyen szűrőkre láthatunk példát az 5/a és 5/b ábrákon. A kapcsolások feszültségviszonyai pedig az alábbi képletekkel írhatók le (A vastag betűs mennyiségek komplex változók, a képzetes egység. Ugyanakkor mérni csak valós mennyiségeket lehet, azaz a komplex mennyiségek abszolút értékét!):
 |
 |
![\[ \begin{array}{rcl} \mathbf{U}_{\rm ki} & = & \mathbf{U}_{\rm be} \frac{1/j\omega C}{R + 1/j\omega C} \\ \\ \frac{\mathbf{U}_{\rm ki}}{\mathbf{U}_{\rm be}} & = & \frac{1}{1 + j\omega RC} \\ \\ \frac{U_{\rm ki}}{U_{\rm be}} & = & \left|\frac{1}{1 + j\omega RC}\right|=\frac{1}{\sqrt{1+(\omega RC)^2}} \end{array} \]](/images/math/9/4/3/943854eb463ad63e4d67664743f7e96e.png) |
![\[ \begin{array}{rcl} \mathbf{U}_{\rm ki} & = & \mathbf{U}_{\rm be} \frac{R}{R + j\omega L} \\ \\ \frac{\mathbf{U}_{\rm ki}}{\mathbf{U}_{\rm be}} & = & \frac{1}{1 + j\omega L/R} \\ \\ \frac{U_{\rm ki}}{U_{\rm be}} & = & \left|\frac{1}{1 + j\omega L/R}\right|=\frac{1}{\sqrt{1+(\omega L/R)^2}} \end{array} \]](/images/math/5/f/1/5f1da1dd24d313e4abefdadb0d7af81c.png) |
A kimeneti és bemeneti feszültségek hányadosa, a hálózatra jellemző, frekvenciafüggő kifejezés, melyeket megvizsgálva látható, hogy formailag azonosak, tehát a két kapcsolás azonos jellegű viselkedést mutat. Ameddig 
vagy 
, a kifejezések értéke 1; ha 
vagy 
, a hányados értéke 
szerint csökken. Ez azt jelenti, hogy adott 
, 
és 
esetén az alacsony frekvenciájú jelek csillapítás nélkül jelennek meg a kimeneten, míg magasabb frekvenciákon a kimenő feszültség egyre kisebb. Ezeket a kapcsolásokat aluláteresztő szűrőknek nevezik.
Könnyen belátható továbbá az is, hogy ugyanezeket az elrendezéseket használva felüláteresztő szűrőket is megvalósíthatunk, amennyiben a kondenzátoron (5/a) vagy ellenálláson (5/b) eső feszültség helyett a kapcsolás másik áramköri elemén (ellenállás/tekercs) eső feszültséget tekintjük kimeneti feszültségnek.
Rezgőkörök
A Komplex jelölést bemutató fejezetben egy soros rezgőkör állandósult állapotát írtuk fel a komplex jelölés használatával (fontos megjegyezni, hogy a tranzienseket ebben a leírásban nem lehet vizsgálni), ahol a hálózat eredő impedanciájára:
![\[\mathbf{Z}(\omega) = j\omega L + 1/j\omega C + R,\]](/images/math/6/5/d/65dbf7d7077c874dad04faae24313177.png)
az impedancia abszolút értékére és fázisszögére pedig:
![\[Z(\omega) = \sqrt{(\omega L-1/\omega C)^2+R^2}\]](/images/math/a/f/b/afb8959afc8675cd549498ff967704b1.png)
![\[\varphi = \arccos\frac{R}{Z},\]](/images/math/8/2/2/82221f86e8309757526500d10336dd6b.png)
összefüggéseket kaptuk.
Így a körben folyó áram (azaz az ellenálláson eső feszültség és az ellenállás hányadosa):
![\[I(\omega)= \frac{U_R}{R}= \frac{U_0}{Z}=\frac{U_0}{\sqrt{(\omega L-1/\omega C)^2+R^2}}\]](/images/math/e/4/5/e45acdf928616e709a20c61d006c9342.png)
A komplex felírásmód alkalmazásával hasonlóan egyszerűen megkaphatjuk egy párhuzamos LC rezgőkör jellemzőit is, melyek az alábbiak:
![\[\mathbf{Z}(\omega) = \frac{j\omega L}{ 1 - \omega^{2} L C} + R,\]](/images/math/0/1/b/01b3e2b9cff9ccab092936c7257bdcb3.png)
![\[Z(\omega) = \sqrt{\frac{\omega^{2} L^{2}}{(1 - \omega^{2} L C)^2} + R^{2}}\]](/images/math/3/1/7/3175c1c4d456032ef19e4f36857da724.png)
![\[I(\omega)= \frac{U_0}{Z}=\frac{U_0}{\sqrt{R^2 + \omega^{2} L^{2} / (1 - \omega^{2} L C)^2}}\]](/images/math/e/9/0/e9047f438372cf732dfcb41615453220.png)
A körben folyó áramot leíró képlet elemzéséből megállapítható, hogy a párhuzamos RLC kör esetén kis és nagy értékeknél kapunk maximális áramot és az áramnak mimimuma van függvényében az 
helyen.
Mérési feladatok
- A mérés elvégzéséhez és a mérési napló elkészítéséhez a dőlt betűs részekben adunk segítséget.
FELADATOK ELSŐ ALKALOMMAL
A méréshez rendelkezésre álló eszközök
1. A rugóállandó mérése
Állítsa be a zsinór hosszát úgy, hogy a mérőrúd 17 cm-es jele a rúdvezető alsó szélével egy vonalba essék! Erősítse az egyik 50 g-os rézsúlyt a mérőrúd és a csillapítórúd közé! Mérje le a rugó sztatikus megnyúlását! Ezután helyezze fel a második rézsúlyt is, és mérje meg az újabb megnyúlást! Számítsa ki a rugó rugóállandóját!
2. Csillapítatlan rendszer lengésideje
Szabályozza be a készüléket!
- Nagyon fontos, hogy a mérőrúd ne érjen a rúdvezető egyik falához se (lásd az előző pontban)!
Ehhez a méréshez szerelje le a csillapító mágnespofákat! A funkciókapcsolót állítsa periódusidőmérésre (PERIOD). Húzza a mérőrudat kb. 5 cm-rel az egyensúlyi helyzete alá, és engedje el! A digitális kijelző ekkor a rezgés periódusidejét (s) mutatja. A mérést üres mérőrúddal, majd 50 és 100 g-os terhelésekkel is végezze el!
- Az eredményeket foglalja táblázatba és vesse össze az elmélet alapján kiszámolt értékekkel!
3. Kényszerrezgés amplitúdójának és sebességamplitúdójának vizsgálata a kényszerítő frekvencia függvényében
A méréseket két különböző csillapítás esetén, mérőrúd + 50 g tömeggel végezze el! Szerelje vissza a csillapító mágnespofákat! A kis csillapításhoz a csillapító mágnespofákat egymástól a lehető legtávolabb állítsa be! A nagy csillapításhoz tekerje a mágnespofákat a lehető legközelebb, de csak annyira, hogy ne érjenek hozzá a csillapítórúdhoz! Ekkor mérje meg és jegyezze fel a mágnespofák távolságát!
Gondosan állítsa be a mérőrúd helyzetét úgy, hogy már egészen kis kitéréseknél villogjon a digitális kijelző (beállítás)! A funkciókapcsolót állítsa frekvenciamérésre (FREQ.) és a DRIVE kapcsolóval indítsa el a kényszerrezgést! A frekvenciaszabályozó gombbal lassan (fokozatosan) növelje a frekvenciát, és időről-időre váltson át az amplitúdómérésre (AMPL.)!
- Itt a kijelző mm-ben megadja a csúcstól-csúcsig amplitúdót – ez az amplitúdó kétszerese.
- Figyelje eközben a fázisállandót jelző LED értékét is! Amikor a kényszerítő frekvencia megegyezik az sajátfrekvenciával, a fázisszög 90°.
Keresse meg az 
rezonanciafrekvenciát, ahol az amplitúdó maximális!
- A rezonanciafrekvencia – különösen nagy csillapítás esetében – eltér a sajátfrekvenciától.
- Amennyiben a rezgések amplitúdója túl nagy vagy túl kicsi lenne, úgy kapcsolja ki a készüléket és csökkentse, illetve növelje a kényszererő amplitúdóját, majd ellenőrizze a kitérést a rezonanciafrekvenciánál!
Amennyiben mindent rendben talál, vegye fel táblázatosan a rezonanciafrekvenciánál 1 Hz-cel kisebb és 1 Hz-cel nagyobb frekvenciák közötti intervallumban 0,1 Hz-enként (és a rezonancia frekvencia közelében ennél sűrűbben is) a kitérési amplitúdókat! Ábrázolja a különböző csillapítással felvett görbéket közös diagrammon! Adja meg minden esetben értékét!
A korábban megmért görbék valamennyi pontjánál (a kitérési amplitúdó és frekvencia ismeretében) számítsa ki a sebeségamplitúdó 
értékeket! Foglalja táblázatba és ábrázolja diagrammon a sebességamplitúdó – körfrekvencia görbéket!
- A különböző csillapítással felvett görbéket most is közös diagrammon ábrázolja!
4. Csillapítási tényező és jósági tényező meghatározása
A csillapítási tényező kísérleti meghatározásának egyik lehetséges módszere a csillapodási hányados mérésén alapul. Ekkor egymás utáni lengések amplitúdócsökkenéseit mérjük. Ennek észlelése akkor pontos, ha a lengő rendszer periódusideje eléggé nagy (kb. 3-10 s). Az alkalmazott rugónál a lengésidő rövidebb, emiatt egy másik módszer alkalmazása előnyösebb: a csillapítási- és jósági tényezők a sebességamplitúdó frekvenciafüggéséből meghatározhatók.
Illesszen a 3. pontban mért sebességamplitúdó adatokra a sebességamplitúdó – körfrekvencia függvénynek megfelelő görbét! Az illesztett görbe illesztési paraméterei között szerepel a csillapítási tényező és az saját körfrekvencia (valamint az 
hányados). Az illesztés alapján határozza meg ezeket a paramétereket és hibájukat. Ezek alapján már meghatározható a jósági tényező is.
5. Lebegés vizsgálata
Két, kis mértékben különböző frekvenciájú, szinuszhullám szuperpozíciójakor „lebegés” alakul ki (12. ábra). Ha 
időpontban a rezgések éppen fázisban vannak, akkor a hullámok összeadódnak és az eredő rezgés maximális amplitúdójú lesz. Egy későbbi 
időpontban azonban a frekvencia különbség miatt a rezgések ellentétes fázisba kerülnek, és egymás hatását csökkentve minimális amplitúdót eredményeznek. Az amplitúdó változások burkológörbéje szintén szinuszos. A burkológörbe frekvenciája 
, ahol 
és 
a két összetevő rezgés frekvenciája.
A kényszerrezgés bekapcsolásakor az állandósult tag mellett egy darabig megfigyelhető a csillapított rendszer idővel elhaló saját rezgése is. A differenciálegyenlet megoldása tartalmazza a bekapcsolás után kialakuló mindkét frekvenciát. A tranziens rezgés körfrekvenciája 
, az állandósulté pedig . Lebegés akkor figyelhető meg, ha a kényszererő körfrekvenciája közelében van, és a csillapítás elég kicsi. Amint a tranziens elhal, a lebegés is megszűnik.
Szerelje le újra a csillapító mágnespofákat és állítsa be pontosan a mérőrúd helyzetét. Határozza meg a rendszer sajátfrekvenciáját! (A 2. méréshez hasonlóan használja a készülék kijelzőjén a PERIOD állást! 
) Állítsa a kényszerkeréken az amplitúdót 2 mm-re! Kapcsolja be a kényszermozgást és szabályozza annak frekvenciáját úgy, hogy 0,1 Hz-cel legyen alacsonyabb, mint ! Jegyezze fel mindét frekvencia értékét és kapcsolja ki a kényszert! Várjon, amíg a mérőrúd megáll! Állítsa a funkciókapcsolót AMPL. állásba.
Helyezze a mérőrúd alá az ultrahangos érzékelőt! Indítsa el a számítógépen a Logger Lite programot. A program felismeri a rákapcsolt szenzort. Végezze el a következő beállításokat: Experiment 
Data Collection Length: 120 s; Options Graph Options Axes Options Scaling: Autoscale (mindkét tengelyen).
Indítsa el az adatgyűjtést, majd kapcsolja be a kényszerrezgést! A lebegés megszűntéig mérjen! Utána a mérési adatok a File Export as paranccsal menthetők.
Ábrázolja az amplitúdót az idő függvényében! Határozza meg a burkoló szinuszgörbe periódusidejét és frekvenciáját!
- Vesse össze az elmélet alapján várható értékekkel!
- Akkor kap szép lebegést, ha kicsi a csillapítás (leszedett mágnespofák, jól beállított mérőrúd (nem súrlódik).
FIGYELEM! A második alkalomra az eddigi feladatok előzetes kiértékelését el kell végezni és meg kell mutatni a mérésvezetőnek.
FELADATOK MÁSODIK ALKALOMMAL
A méréshez rendelkezésre álló eszközök
- Általános megjegyzések:
- A méréshez szükséges alkatrészek egy átlátszó plexidobozban találhatók, banánhüvelyes kivezetésekkel. Az alkatrészek körülbelüli értékei a dobozról leolvashatók, illetve a mellékelt lapon is megtalálhatók.
- Az egyes mérési feladatok elvégzésekor azokban a frekvenciatartományokban, ahol jelentős a kimenő jel változása, sűrűbben vegyen fel mérési pontokat!
- Az oszcilloszkópot csak esetleges ellenőrzésre használja, a frekvenciákat és a feszültségeket a digitális műszerekkel kell mérni.
1. Mérje meg a dobozban (13. és 14. ábra) található 
ellenállások értékét valamint a tekercsek 
és 
ohmos ellenállását multiméterrel!
- Az ellenállásmérést csak hálózatba be nem kötött elemeken szabad végezni!
A kondenzátorok és tekercsek körülbelüli kapacitása és induktivitása (az áramkörök tervezéséhez): 
, 
, 
, 
.
2. Állítson össze aluláteresztő szűrőt kondenzátor felhasználásával! Mérje meg a kimenő feszültséget függvényében! Ábrázolja a 
– 
függvényt! Illesszen a mért adatokra az elméletnek megfelelő görbét! Az illesztésből határozza meg a szűrőre jellemző 
körfrekvenciát, majd ebből az ellenállás ismeretében a kondenzátor (mért) kapacitását! (
legyen!)
- A multiméterekkel mérhető frekvenciatartomány: 5 Hz – 100 kHz. Az és (névleges) értékeket úgy kell kiválasztani a panelen lévők közül, hogy lehetőleg ennek a tartománynak a közepe táján (0,5-1 kHz körül) legyen. Figyelem! A képletekből -t számolunk, de a műszerek
-et mérnek!
- A mérési naplóban írja le, hogy milyen elemeket használt fel a kapcsolás összeállításához! Válaszát számítással indokolja.
- Mivel az eredményeket logaritmikus skálán fogja ábrázolni, érdemes nagyjából logaritmikusan egyenletes sűrűséggel felvenni az adatokat. Pl.: 5 Hz, 10 Hz, 20 Hz, 50 Hz, 100 Hz, ...
3. Állítson össze felüláteresztő szűrőt kondenzátor felhasználásával! A feladatokat az 2. pont szerint végezze el!
- Vegye észre, hogy az alul- és felüláteresztő szűrő ugyanaz a kapcsolás, csak az egyiknél az ellenálláson, a másiknál a kondenzátoron mérjük a kimenő feszültséget. Mivel három műszer van, az egyikkel a bemenő feszültséget ellenőrizze, a másik kettővel pedig egyszerre lehet mérni az ellenálláson és kondenzátoron eső feszültséget, így a két karakterisztika egyszerre felvehető.
4. Állítson össze soros rezgőkört! külön elemként legyen bekötve, mert a kör áramát az ellenálláson eső feszültségből fogja meghatározni! A frekvencia függvényében mérje meg 
, 
, és 
értékeit! Számítsa ki és ábrázolja a körben folyó 
áramot és a eredő impedanciát függvényében. A mért adatokra illesszen megfelelő függvényeket, és az illesztésből határozza meg -t. Az eredmény (és a korábban megmért , 
és értékek) alapján határozza meg a tekercs induktivitását!
- Melyik ellenállást célszerű választani az RLC-kör összeállításához, ha azt szeretné, hogy a rezonanciagörbe minél élesebb legyen? Válaszát indokolja!
- Az illesztésnél vegye figyelembe a tekercs (korábban megmért) ohmos ellenállását is!
5. Végezze el az előző mérést egy nagyobb sorba kötött ellenállással is! Végezze el most is az illesztést! Ábrázolja a két mérésnél kapott 
rezonanciagörbéket közös grafikonban!
Vissza a Fizika laboratórium 1. tárgyoldalára.
