„Folyadék szabad felszínének vizsgálata” változatai közötti eltérés
| 19. sor: | 19. sor: | ||
A szabad folyadékfelszín viselkedését egyenletes körmozgás esetén vizsgáljuk. A problémát alkalmas koordináta rendszer választásával visszavezetjük a szabad, nyugvó folyadékfelszín viselkedésére. | A szabad folyadékfelszín viselkedését egyenletes körmozgás esetén vizsgáljuk. A problémát alkalmas koordináta rendszer választásával visszavezetjük a szabad, nyugvó folyadékfelszín viselkedésére. | ||
| + | |||
__TOC__ | __TOC__ | ||
==Elméleti összefoglaló== | ==Elméleti összefoglaló== | ||
| − | |||
{{fig|Folyadék_szabad_felszínének_vizsgálata_1.png|fig:1|1. ábra}} | {{fig|Folyadék_szabad_felszínének_vizsgálata_1.png|fig:1|1. ábra}} | ||
| − | |||
A nyugvó folyadék szabad (az edénnyel nem érintkező) felszíne mindenütt merőleges a külső erők eredőjére. Ha ugyanis a felszín valahol nem lenne merőleges az eredő erőre, akkor az utóbbi felszínnel párhuzamos összetevőjének hatására a felszín közelében áramlás jönne létre, vagyis a folyadékot nem tekinthetnénk nyugvónak. | A nyugvó folyadék szabad (az edénnyel nem érintkező) felszíne mindenütt merőleges a külső erők eredőjére. Ha ugyanis a felszín valahol nem lenne merőleges az eredő erőre, akkor az utóbbi felszínnel párhuzamos összetevőjének hatására a felszín közelében áramlás jönne létre, vagyis a folyadékot nem tekinthetnénk nyugvónak. | ||
| − | Ha egy folyadékot tartalmazó hengeres edényt függőleges tengelye körül $\omega$ szögsebességgel forgatunk, akkor a folyadék felszíne felülről nézve homorú forgásfelület lesz. A folyadék az azonos tengely körül $\omega$ szögsebességgel forgó koordinátarendszerben nyugalomban van. Ebben a rendszerben a felszínen lévő $m$ tömegű folyadékrészre kétféle erő hat: az $mg$ nagyságú, függőleges $(y)$ irányú nehézségi erő, valamint a forgó rendszerben fellépő tehetetlenségi erők. Esetünkben az utóbbiak közül csak az $m\omega^2x$ nagyságú, a forgástengelyre merőleges és attól sugárirányban elfelé mutató centrifugális erő játszik szerepet ($x$ a folyadékrésznek a forgástengelytől mért távolsága). A folyadékfelszín mindenhol a két erő eredőjére merőleges helyzetet vesz fel ([[fig:1|1. ábra]]). A kialakuló felület egy forgási paraboloid. A kísérletben ennek a forgási paraboloidnak egy, a forgástengelyen átmenő metszetét határozzuk meg. | + | Ha egy folyadékot tartalmazó hengeres edényt függőleges tengelye körül $\omega$ szögsebességgel forgatunk, akkor a folyadék felszíne felülről nézve homorú forgásfelület lesz. A folyadék az azonos tengely körül $\omega$ szögsebességgel forgó koordinátarendszerben nyugalomban van. Ebben a rendszerben a felszínen lévő $m$ tömegű folyadékrészre kétféle erő hat: az $mg$ nagyságú, függőleges $(y)$ irányú nehézségi erő, valamint a forgó rendszerben fellépő tehetetlenségi erők. Esetünkben az utóbbiak közül csak az $m\omega^2x$ nagyságú, a forgástengelyre merőleges és attól sugárirányban elfelé mutató centrifugális erő játszik szerepet ($x$ a folyadékrésznek a forgástengelytől mért távolsága). A folyadékfelszín mindenhol a két erő eredőjére merőleges helyzetet vesz fel ([[#fig:1|1. ábra]]). A kialakuló felület egy forgási paraboloid. A kísérletben ennek a forgási paraboloidnak egy, a forgástengelyen átmenő metszetét határozzuk meg. |
==Kísérleti berendezés== | ==Kísérleti berendezés== | ||
A lap 2012. szeptember 4., 16:52-kori változata
A szabad folyadékfelszín viselkedését egyenletes körmozgás esetén vizsgáljuk. A problémát alkalmas koordináta rendszer választásával visszavezetjük a szabad, nyugvó folyadékfelszín viselkedésére.
Tartalomjegyzék |
Elméleti összefoglaló
A nyugvó folyadék szabad (az edénnyel nem érintkező) felszíne mindenütt merőleges a külső erők eredőjére. Ha ugyanis a felszín valahol nem lenne merőleges az eredő erőre, akkor az utóbbi felszínnel párhuzamos összetevőjének hatására a felszín közelében áramlás jönne létre, vagyis a folyadékot nem tekinthetnénk nyugvónak.
Ha egy folyadékot tartalmazó hengeres edényt függőleges tengelye körül 
szögsebességgel forgatunk, akkor a folyadék felszíne felülről nézve homorú forgásfelület lesz. A folyadék az azonos tengely körül szögsebességgel forgó koordinátarendszerben nyugalomban van. Ebben a rendszerben a felszínen lévő 
tömegű folyadékrészre kétféle erő hat: az 
nagyságú, függőleges 
irányú nehézségi erő, valamint a forgó rendszerben fellépő tehetetlenségi erők. Esetünkben az utóbbiak közül csak az 
nagyságú, a forgástengelyre merőleges és attól sugárirányban elfelé mutató centrifugális erő játszik szerepet (
a folyadékrésznek a forgástengelytől mért távolsága). A folyadékfelszín mindenhol a két erő eredőjére merőleges helyzetet vesz fel (1. ábra). A kialakuló felület egy forgási paraboloid. A kísérletben ennek a forgási paraboloidnak egy, a forgástengelyen átmenő metszetét határozzuk meg.
Kísérleti berendezés
A folyadékot két egymáshoz közeli párhuzamos síklap által alkotott (téglatest alakú) edényben helyeztük el. (Továbbiakban a síklapokat egymáshoz végtelen közelinek tekintjük.) A forgástengely a téglatest egyik szimmetriatengelye. A forgó edényben kialakuló folyadékfelszín vizsgálatát egy olyan koordináta rendszerben végezzük, melynek tengelye az 
szögsebességhez tartozó (vízszintes) folyadékfelszínnel esik egybe, 
tengelye pedig a függőleges forgástengely.
Az 1. ábráról leolvasható, hogy
![\[\tan\alpha=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{mx\omega^2}{mg}=\frac{\omega^2}{g}x,\]](/images/math/a/9/9/a99dec45bde449ca3da93b49c9e7862b.png)
azaz
![\[\mathrm{d}y=\frac{\omega^2}{g}x\mathrm{d}x,\]](/images/math/a/9/7/a97adf140a3c86b9c945442508556639.png)
ahonnan integrálással az
![\[y=\frac{\omega^2}{2g}x^2+C\]](/images/math/2/d/1/2d1dea864bf53b6d28fe195b9900ebd0.png)
összefüggés adódik. A kifejezés egy parabola egyenlete, ahol a 
integrálási állandó értéke a parabola csúcspontjának ordinátája. -t abból a feltételből kaphatjuk meg, hogy az állandó folyadéktérfogat miatt a 
határozott integrálnak nullát kell adnia, azaz
![\[0=\int_0^R \left(\frac{\omega^2}{2g}x^2+C\right)\,\mathrm{d}x=\frac{\omega^2}{6g}R^3+CR,\]](/images/math/7/8/0/780a6b5712c02b46fd5bf3ece9e31457.png)
ahonnét
![\[C=-\frac{\omega R}{6g}.\]](/images/math/9/0/c/90c9cd7a3b444497d06a4715d538f6fc.png)
Így a folyadékfelszín egyenlete:
![\[y=\frac{\omega^2}{2g}\left(x^2-\frac{R^2}{3}\right).\]](/images/math/f/c/6/fc60a7151f61e5f466d3fc57d92aa14b.png)
A (1) kifejezésből az alábbi következtetések vonhatók le:
- A parabola csúcspontjának ordinátája
arányos 
-tel, ami alapján fordulatszámmérő készíthető.
- A különböző szögsebességekhez tartozó parabolák átmennek a
pontokon. [Az utóbbi állítás könnyen belátható, ha (1)-be 
-t helyettesítünk és 
-vel egyszerűsítünk.]
Mérési feladatok
- A mérés elvégzéséhez és a mérési napló elkészítéséhez a dőlt betűs részekben adunk segítséget.
1. Igazolja kísérletileg, hogy a forgó folyadék felszíne által kialakított parabola csúcspontjának süllyedése a szögsebesség négyzetével arányos!
Vegye fel a 
függvényt és a grafikon segítségével állapítsa meg kitevőjét! (Használja a 
összefüggést! A szögsebességet fordulatszámméréssel határozza meg!)
2. Határozza meg a nehézségi gyorsulás értékét!
Rajzolja fel a 
függvényt, majd határozza meg a mérési pontokon át fektetett egyenes meredekségét, ami 
értékét adja meg. Ennek ismeretében számítsa ki a nehézségi gyorsulást!
