„Kvantált Hall-jelenség” változatai közötti eltérés
(→Kétdimenziós elektrongáz mágneses térben, Landau-nívók) |
(→Kétdimenziós elektrongáz mágneses térben, Landau-nívók) |
||
128. sor: | 128. sor: | ||
|} | |} | ||
− | Ahogy a 6. ábra mutatja, a mágneses tér bekapcsolása alapvetően megváltoztatja az elektronok állapotsűrűségének energia szerinti eloszlását. Mágneses tér nélkül az elektronok állapotsűrűsége konstans (energiafüggetlen), $g(\epsilon)= | + | Ahogy a 6. ábra mutatja, a mágneses tér bekapcsolása alapvetően megváltoztatja az elektronok állapotsűrűségének energia szerinti eloszlását. Mágneses tér nélkül az elektronok állapotsűrűsége konstans (energiafüggetlen), $g(\epsilon)=2A m/2 \pi \hbar^2$. Nagy mágneses térben csak a kvantált Landau-szinteken helyezkedhetnek el elektronok, ezek a diszkrét energiaszintek viszont szükségszerűen sokszorosan degenerált állapotok. D-szeres degenerációt feltételezve az állapotsűrűség: $g(\epsilon)=D \delta(\epsilon-\hbar \omega_c(n+\frac{1}{2}))$. Mivel az elektronok száma a mágneses tér bekapcsolásával nem változik, így feltételezhető hogy egy Landau-szinten levő állapotok zérus térben $\hbar \omega_c$ szélességű energiatartományban helyezkednek el. Így egy Landau-szint degenerációja (a spin szerinti degenerációt is figyelembe véve): |
− | $$D=\hbar \omega_c 2 \frac{A m}{2 \pi \hbar^2}=\frac{2 e B A}{h} \;\; \Longrightarrow \;\; D=\frac{2 \Phi}{\Phi_0}, \Phi_0= | + | $$D=\hbar \omega_c 2 \frac{A m}{2 \pi \hbar^2}=\frac{2 e B A}{h} \;\; \Longrightarrow \;\; D=\frac{2 \Phi}{\Phi_0},$$ |
− | + | ahol $\Phi_0=h/e$ a fluxuskvantum. Egy teljesen betöltött Landau szinten a fentiek alapján az elektronsűrűség: $n=\frac{2 e B}{h}$. | |
− | + | ||
A Landau szintek magasfokó degenerációja mögött szemléletesen az áll, hogy egy ciklotronsugárnak megfelelő tipikus kiterjedésű elektronállapotot a minta $A$ felületén összesen$N\approx 2A/r_c^2\pi$ különböző helyre tehetünk le (a spin szerinti degenerációt is figyelembe véve). Ez alapján kis átalakítással $N=4\Phi/\Phi_0$ adódik, ahol $\Phi=B A$, a teljes fluxus, $\Phi_0=h/e$ pedig a fluxuskvantum, azaz naív számolásunkkal egy egy kettes szorzó eltéréssel visszakaptuk a Landau nívók fent kiszámolt degenerációs fokát. | A Landau szintek magasfokó degenerációja mögött szemléletesen az áll, hogy egy ciklotronsugárnak megfelelő tipikus kiterjedésű elektronállapotot a minta $A$ felületén összesen$N\approx 2A/r_c^2\pi$ különböző helyre tehetünk le (a spin szerinti degenerációt is figyelembe véve). Ez alapján kis átalakítással $N=4\Phi/\Phi_0$ adódik, ahol $\Phi=B A$, a teljes fluxus, $\Phi_0=h/e$ pedig a fluxuskvantum, azaz naív számolásunkkal egy egy kettes szorzó eltéréssel visszakaptuk a Landau nívók fent kiszámolt degenerációs fokát. |
A lap 2013. július 10., 05:21-kori változata
Klasszikus Hall-effektus
A Hall-effektust 1879-ben Edwin Hall fedezte fel. A jelenség lényege, hogy ha egy síkszerű elektromos vezetőben a síkra merőleges mágneses tér jelenlétében áram folyik, akkor a vezető két oldala között az elektronokra ható Lorentz-erő miatt feszültség jelenik meg.
1. ábra. Hall-jelenség méréséhez használt elrendezés |
A Hall-jelenséget általában az 1. ábrán bemutatott Hall-elrendezésben szokták mérni. Az irányú áram az 1. és 2. kontaktus között folyik. Ha a mérést zérus mágneses térben végezzük, akkor a 4. és 5. kontaktus között ( irányban) nem mérünk feszültséget. A 3. és 4. kontaktus között mért longitudinális feszültség és az áram arányából pedig a minta négypont ellenállását kapjuk meg. A minta síkjára merőleges ( irányú) mágneses teret kapcsolva a 4. és 5. kontaktus között Hall-feszültség jelenik meg, melynek az értéke a mágneses tér nagyságával lineárisan változik (2. ábra, piros görbe). A 3. és 4. kontaktus között (kismértékű mágneses ellenállástól eltekintve) továbbra is a zérus térben tapasztalt longitudinális ellenállást mérjük (2. ábra, kék görbe).
2. ábra. Hall-feszültség és longitudinális feszültség változása a mágneses térrel |
A Hall-jelenség jól leírható klasszikus, Drude-közelítésben. Az egyszerűség kedvéért számoljunk két dimenzióban. Az elektronok impulzusának idő szerinti deriváltját az elektronokra ható erők összegeként kapjuk meg. A elektromos, illetve Lorentz erő mellett figyelembe vesszük azt is, hogy a a kristályban történő szóródások következtében az elektronok átlagosan momentumrelaxációs idő alatt elveszítik impulzusukat:
A sebesség helyett vezessük be a áramsűrűséget, ahol az elektronok (kétdimenziós) sűrűsége. Az egyenletet átrendezve az alábbi mátrixegyenletet kapjuk az elektromos tér és az áramsűrűség komponensei között:
Az áramot irányba folyatva és irányú feszültséget mérve a minta longitudinális ellenállását a fajlagos ellenállásból kaphatjuk meg a geometriai faktorokkal történő skálázás után.
A fenti számolásból jól látszik, hogy véges mágneses térben irányú áram esetén irányú feszültség is megjelenik. A Hall-ellenállást a 4. és 5. kontaktusok között megjelenő Hall-feszültség és az áram hányadosaként definiáljuk. Két dimenzióban ez megegyezik az irányú elektromos tér és az irányú áramsűrűség arányával:
Egyszerű számolásunkból jól látszik, hogy a Hall-ellenállás a mágneses térrel egyenesen arányos, és ezen kívül csak az elektronok sűrűségétől függ, azaz az relaxációs idő a longitudinális ellenállástól eltérően a Hall-ellenállásban nem jelenik meg. Ennek köszönhetően a Hall-ellenállás mérése általánosan bevett módszer félvezetők elektronsűrűségének meghatározására. Érdemes megjegyezni, hogy -típusú félvezetőkben, azaz amikor az áramot nem elektronok, hanem lyukak vezetik, a Hall-ellenállás előjelet vált. A Hall-jelenséget -amellett hogy a szilárdtestfizika alapvető mérési módszerei közé tartozik- a hétköznapokban is gyakran használjuk különböző elektronikai eszközökben elhelyezett mágneses tér szenzorok formájában.
Hall-jelenséget elsősorban félvezetőkben szoktak tanulmányozni, hiszen az alacsony elektronsűrűség miatt a Hall-ellenállás viszonylag könnyen mérhető. Fémekben a nagy elektronsűrűség miatt a Hall-ellenállás értéke sokkal kisebb, de precíziós műszerekkel fémekben is vizsgálható a Hall-jelenség. Mindezekről a fizikushallgatók maguk is meggyőződhetnek a Hall-effektus c. hallgatói mérés során.
Kvantált Hall-effektus
Klaus von Klitzing meglepő felfedezése
A Hall-jelenséget megfelelően nagy tisztaságú kétdimenziós elektrongázban (2DEG) és elegendően nagy mágneses térben vizsgálva nagyon meglepő viselkedést tapasztalunk. A Hall-ellenállás a lineáris térfüggés helyett lépcsőszerűen változik, a longitudinális ellenállás pedig zérus értéket vesz fel () azokban a mágneses tér tartományokban, ahol a Hall-ellenállás vízszintes platót mutat (lásd 1. ábra).
3. ábra. Kvantált Hall-jelenség, forrás: Wikipedia |
A kvantált Hall-ellenállás értékeket egy univerzális állandó és egy egész szám hányadosaként kapjuk meg:
ami a spindegeneráció miatti 2-es szorzótól eltekintve a vezetőképesség kvantálás képletének felel meg. A tapasztalatok szerint a kvantált értékek függetlenek a minta alakjától, méretétől, anyagától, és kísérletileg meghatározott értékei akár pontossággal leírhatók a fenti egyszerű képlettel, azaz a kvantált Hall platók ellenállás-standardként is jól használhatók.
A kvantált Hall jelenséget Klaus von Klitzing fedezte fel 1980-ban.1 Pár évvel később (1985-ben) felfedezését Nobel díjjal jutalmazták.
A következő Nobel díj: tört számú kvantált Hall-effektus
A kvantált Hall-jelenség felfedezése óriási érdeklődést váltott ki, és nem kellett sokat várni újabb meglepő kísérleti eredményekre. Daniel Tsui és Horst Störmer kísérletei 1982-ben megmutatták,2,3 hogy még tisztább kétdimenziós elektrongázban és még nagyobb mágneses térben a Hall-ellenállás
értékeket vehet fel, ahol már nem egész szám, hanem bizonyos egész számok hányadosa. A Hall-platók tartományában a longitudinális feszültség továbbra is zérus, .
A későbbiekben látni fogjuk, hogy Klaus von Klitzing felfedezése, az egész számú kvantált Hall-effektus (IQHE, integer quantum Hall effect) egy viszonylag egyszerű modellel magyarázható, melyben az elektronok kölcsönhatását nem kell figyelembe venni. Ezzel szemben Tsui és Störmer méréseiben tapasztalt tört számú kvantált Hall-effektus (FQHE, fractional quantum Hall effect) magyarázatában az elektronok kölcsönhatása fontos szerepet kap, a jelenség úgynevezett kompozit fermion részecskék bevezetésével írható le, mely Robert Laughlin nevéhez kötődik.4
Tsui és Störmer kísérleti felfedezését, illetve Laughlin kísérletekre adott elméleti magyarázatát 1998-ban Nobel-díjjal jutalmazták.
A harmadik Nobel-díj: anomális kvantált Hall-effektus grafénban
A kvantált Hall-effektus egy közelmúltban kiosztott Nobel-díjjal kapcsolatban is előtérbe került. 2010-ben Andre Geim és Konstantin Novoselov grafénon, azaz egyetlen grafit síkon végzett kísérleteit jutalmazták Nobel-díjjal, melynek keretében alapvető jelentőségű volt a grafénon tapasztalható anomális kvantált Hall-jelenség megmutatása. Grafénon a Hall-ellenállás az elektrosztatikus potenciáltól függően egyaránt lehet pozitív és negatív, a kvantált értékek pedig
képlet segítségével írhatók le. A kétdimenziós elektrongáz rendszerekkel ellentétben grafénban a kvantált Hall-effektus szobahőmérsékleten is megfigyelhető.
4. ábra. Anomális kvantált Hall-jelenség grafénban, forrás: Tóvári Endre diplomamunka, BME Fizika Tanszék, 2011. |
A továbbiakban az egész számú kvantált Hall jelenség leírását szemléltetjük. A grafén fizikájáról egy külön fejezet keretében adunk leírást.
Kétdimenziós elektrongáz mágneses térben, Landau-nívók
Vizsgáljuk egy kétdimenziós szabad elektrongáz viselkedését a 2DEG síkjára merőleges mágneses térben!
5. ábra. Ciklotronpálya mágneses térbe helyezett 2DEG-ben |
Klasszikusan az elektronok ciklotronpályákon mozognak (5. ábra) körfrekvenciával, azaz a körfrekvencia nem függ az elektronok sebességétől, csak a mágneses tértől. A körpálya sugara klasszikusan tetszőleges lehet az elektron sebességétől függően, kvantummechanikai tárgyalásban viszont a körpálya sugarának (illetve a mozgás energiájának) kvantáltságát várjuk. A Bohr - Sommerfeld kvantálási feltétel alapján meghatározhatjuk a lehetséges legkisebb sugarat (ciklotronsugár):
A kvantummechanikai viselkedés részletesebb leírásához oldjuk meg a rendszer Schrödinger-egyenletét. A Hamilton-operátor:
ahol a sebességoperátor a képlettel származtatható a kanonikus impulzus operátorból, illetve a vektorpotenciálból. A minta síkjára (x,y) merőleges (z irányú) B térnél a vektorpotenciál az általánosság megszorítása nélkül vehető úgy, hogy csak x és y komponenssel rendelkezzen, azaz .
Számoljuk ki a sebességoperátor x és y komponensének a kommutátorát!
azaz:
Vezessünk be új operátorokat: . Az új operátorok segítségével a Hamilton operátor
formában írható fel, a két új operátor kommutátora pedig:
Látszik, hogy az új operátorok segítségével az egydimenziós harmonikus oszcillátor problémájára vezettük vissza a Schrödinger egyenletet, így további számolás nélkül megállapíthatjuk, hogy a mágneses térben mozgó elektronok lehetséges energiái a harmonikus oszcillátorhoz hasonlóan kvantáltak:
A kvantált energiaszinteket Landau nívóknak hívjuk.
6. ábra. 2DEG állapotsűrűségének energiafüggése zérus térben, illetve nagy mágneses térben kialakult Landau-nívók esetén |
Ahogy a 6. ábra mutatja, a mágneses tér bekapcsolása alapvetően megváltoztatja az elektronok állapotsűrűségének energia szerinti eloszlását. Mágneses tér nélkül az elektronok állapotsűrűsége konstans (energiafüggetlen), . Nagy mágneses térben csak a kvantált Landau-szinteken helyezkedhetnek el elektronok, ezek a diszkrét energiaszintek viszont szükségszerűen sokszorosan degenerált állapotok. D-szeres degenerációt feltételezve az állapotsűrűség: . Mivel az elektronok száma a mágneses tér bekapcsolásával nem változik, így feltételezhető hogy egy Landau-szinten levő állapotok zérus térben szélességű energiatartományban helyezkednek el. Így egy Landau-szint degenerációja (a spin szerinti degenerációt is figyelembe véve):
ahol a fluxuskvantum. Egy teljesen betöltött Landau szinten a fentiek alapján az elektronsűrűség: .
A Landau szintek magasfokó degenerációja mögött szemléletesen az áll, hogy egy ciklotronsugárnak megfelelő tipikus kiterjedésű elektronállapotot a minta felületén összesen különböző helyre tehetünk le (a spin szerinti degenerációt is figyelembe véve). Ez alapján kis átalakítással adódik, ahol , a teljes fluxus, pedig a fluxuskvantum, azaz naív számolásunkkal egy egy kettes szorzó eltéréssel visszakaptuk a Landau nívók fent kiszámolt degenerációs fokát.
Megjegyzés: a fenti állapotsűrűséges argumentum abból a feltételezésből indul ki, hogy az egyes Landau szintek egyformán degeneráltak. Az egyes landau szintek degenerációjának fokát pontosabban kiszámolhatjuk egy konkrét mértéket választva az ún. Landau mértékben. Ez a számolás is megerősíti a fenti, állapotsűrűségek összevetéséből kapott eredményt. Mivel kifejezetten tanulságos az itt ismertetett mértékinvariáns tárgyalásmódot összevetni a Landau mértékben elvégzett számolással, ezért az utóbbit vázlatosan a ?? függelékben ismertetjük.
Landau szintek megfigyelésének feltételei:
- Az elektron sokszor végig tudja járja a cikl. pályát két szórás között:
nagy B tér, elegendően nagy tisztaság.
- alacsony hőmérséklet!)
- kevés Landau szint legyen betöltve, kis e sűrűség.
Ciklotron pályák középpontjának mozgása
7. ábra. |
Nagy mágneses térben azt várjuk, hogy az elektronok egy középponti kordináta körül nagyon kis, sugarú ciklotronmozgást végeznek. Klasszikusan az elektron éppen aktuális helyzetét alakban írhatjuk, ahol a középpontból az aktuális ponta mutató vektor. Körmozgás esetén az elektront körpályán tartó centripetális erőt alakban írhatunk, ami jelen esetben értelemszerűen a Lorentz erővel egyezik meg. Ez alapján a körpálya középpontját formálisan
alakban írhatjuk.
Játsszunk el a gondolattal, hogy az koordinátát kvantummechanikai tartalommal ruházzuk fel a ciklotronpályák középpontjának helyét leíró operátorként. Komponensenként kifejtve:
Vizsgáljuk meg, hogy a középponti koordináta várható értéke hogyan változik az idő függvényében:
és hasonlóan:azaz a várakozásoknak megfelelően a ciklotronpályák középpontja nem mozog.
Érdemes kiszámolni a középponti koordináták operátorainak kommutátorát is:
Tetszőleges két fizikai mennyiség operátorára fenn áll az általános Heisenberg féle határozatlansági reláció, azaz:
Ezt az összefüggést a középponti koordináta két komponensének operátorára vonatkoztatva
adódik, azaz a ciklotronpálya középpontjának x és y írányú kvantummechanikai bizonytalanságát összeszorozva pont az ciklotronsugár négyzete köszön vissza, egy elektron legalább helyet foglal. Ez alapján körszimmetrikus hullámfüggvényt feltételezve a ciklotron pályák x és y irányban is kiterjedésűek.
Megjegyzés: Landau mérték választása esetén x irányban végtelen kiterjedést, y irányban pedig kiterjedést kapunk, lásd függelék.
Bezáró és random potenciál
Az eddigiekben a Schrödinger egyenletben csak az elektronok kinetikus energiáját vettük figyelembe. Egy valós, véges méretű mintában a minta széleinél jelentkező bezáró potenciált, illetve a felületés töltések és szennyezők hatásaként a minta belsejében jelentkező potenciálfluktuációkat is figyelembe kell venni.
8. ábra. Landau-szintek módosulása a a minta szélénél a bezáró potenciál, illetve a minta közepében jelentkező fluktuáló potenciál miatt |
Az U potenciált perturbációként kezelve, és feltételezve hogy U lassan változik a hullámfüggvény tipikus kiterjedéséhez, -hez képest (azaz elegendően nagy a mágneses tér) az energiária egyszerűen
adódik, azaz a kvantált Landau szintek energiáit a hullámfüggvény középpontjánál vett potenciál értékével korrigáljuk.
A véges U esetén az ellektronok mozgását úgy képzeljük el, hogy a gyors ( körfrekvenciájú) és kis () területre koncentrált ciklotronmozgás mellett a ciklotronpályák középpontjának koordinátái a potenciál hatására haladó mozgást végeznek. Írjuk fel a mozgásegyenletet és -ra:
ahol megintcsak feltételeztük, hogy a hullámfüggvény kiterjedése kicsi U változásának skáláján. Hasonlóan:
A fentiek alapján számoljuk ki a potenciál változását a pálya mentén, azaz U idő szerinti teljes deriváltját:
Számolásunk alapján a ciklotronpályák középpontja ekvipotenciális felületek mentén mozog!
Elektron transzport egyetlen Landau nívó esetén
Tételezzük fel olyan mágneses teret, melynél a Fermi energia az első és második Landau szint között helyezkedik el, azaz az első Landau szint teljesen betöltött, a második pedig betöltetlen (lásd ?? ábra). Ebben az esetben a Fermi energiánál
a minta széelinél találunk állapotokat a bezáró potenciálnak köszönhetően, a minta belsejében egy tiltott sávot tapasztalunk a Fermi energia és a betöltött Landau szint között. Ebben az esetben elektrontranszport csak a minta szélei mentén megengedett, ahol az elektronok energiája metszi a Fermi energiát. Mivel a minta két szélét elválasztó makroszkópikus méretű tartományban az elektrontranszport nem megengedett, így a minta két széle között nem történhet átszóródás.
9. ábra. A tömbi Landau-szintektől távol áram csak az élállapotok mentén folyhat, a két él között nincs átszóródás |
Vizsgáljuk meg a minta felső széle mentén az elektronpályák középpontjának mozgását. Korábban kiszámolt képletünk alapján:
azaz, mivel a felső élnél a bezáró potenciál y szerinti deriváltja pozitív, így az elektronok pozitív x irányban mozognak. Y irányban a bezáró potenciál nem változik, így az elektronok középpontjának y irányú sebessége zérus. Hasonlóan megállapítható, hogy a minta alsó szélénél az elektronok negatív x irányú mozgást végeznek.
Az előbbi megállapítás önmagában elég ahhoz, hogy a kvantált Hall-effektus egyik meglepő tulajdonságát megértsük. Mivel a felső él mentén csak pozitív irányban haladhatnak az elektronok, és az alsó és felső élállapotok között nem megengedett az átszórás, így a felső él mentén mozgó elektronok mind a baloldali elektródából származnak, azaz kémiai potenciáljuk . Hasonlóképpen az alsó él mentén mozgó elektronok mind a jobb oldali elketródából származnak, azaz kémiai potenciállal rendelkeznek. Így érthető, hogy egy él mentén mért hosszirányú feszültség zérus, a két él között pedig a két elektróda kémiai potenciál különbségének megfelelő Hall feszültség jelentkezik,
A Hall-ellenállás meghatározásához az élállapotokon keresztül folyó áramot is meg kell határoznunk. Először számoljuk ki, hogy egy élállapot szélességű energiatartománya mekkora járulékot ad az áramhoz.
10. ábra. |
A energiatartomány szélességű térbeli tartománynak felel meg az él mentén, ahol a potenciál y szerinti deriváltja. Korábbi számolásaink alapján az elektronok sebessége , az elektronsűrűség pedig , így az áramra
adódik.
11. ábra. |
Mivel esetén a felső él mentén -vel magasabb energiáig vannak betöltve az állapotok mint az alsó él mentén, így a mintén folyó teljes áram
Ennek megfelelően a Hall ellenállás illetve a Hall vezetőképesség:
A Hall-vezetőképességre kapott eredmény megegyezik egy egycsatornás tökéletes kvantumvezeték ellenállásával, azaz a vezetőképesség kvantummal ??. Fontos azonban megemlíteni, hogy nanovezetékekben a vezetőképesség kvantálás csak a hullámhosszal összemérhető méreteknél és simán változó (visszaszórás mentes) potenciálban figyelhető meg, addig a kvantált Hall-effektus a jobbra és balra haladó állapotok térbeli szeparációjának köszönhetően egy makroszkopikus mintán megfigyelhető jelenség.
Több Landau nívó, Zeeman felhasadás
A korábbiakban a Landau nívókat spin szerint degeneráltnak tekintettük. Természetesen mágneses térben az energiák spin szerinti Zeeman-felhasadását is figyelembe kell venni:
ahol az elektronspin z irányú komponense.
Félvezetőkben a kis effektív tömeg miatt tipikusan (), de ha a tér elegendően nagy akkor a Landau-szintek és spinű elektronjai elkülönült energiaszinteket tudnak létrehozni, ezek a spin polarizált Landau-szintek.
Egyetlen teljesen betültött spinpolarizált Landau-szint esetén a minta két szélén kialakuló élállapot értelemszerűen vezetőképességet ad, hiszen csak a spindegenerációból adódó kettes faktort kell elhagyni az állapotsűrűségből.
Ha a Fermi energia alatt M db. spin polarizált Landau szint található, és az élektől távol a Fermi energia két Landau szint közé esik akkor a Hall-vezetőképesség és ellenállás:
Azaz visszakaptuk a kísérletekben megfigyelt értékeket. A mérések szerint relatív pontossága akár is lehet, ami a visszaszórás hiányának tökéletességét mutatja. Fontos megjegyezni hogy a minta egyik oldalán kölönböző Landau-szintek közötti átszórás nem változtat a vezetőképességen, hiszen csak az számít hogy egy adott élállapotban elinduló elektron - még ha át is szóródik másik élállapotba - biztosan nem jut vissza a kiinduló elektródába.
A jelenség megértését segíti a ?? ábrán bemutatott klasszikus kép is: az élek mentén hiába szóródik szennyezőkön egy elektron, az 1. elektródából induló elektron végül mindig a 2. elekródába érkezik!
A Fermi-energia helyzete
A fenti megfontolások alapján pontosan kijön a Hall-ellenállás kvantáltsága, azonban a számolások azon a feltételezésen alapulnak, hogy a Fermi energia két Landau-szint közé esik, ami nem feltétlenül igaz. Vizsgáljuk meg pontosabban, hogy mikor is esik a Fermi energia két Landau szint közé!
1/B növelésével egymás után töltjük be a spinpolarizált Landau szinteket. A Landau szintek óriási degenerációja miatt a Fermi energia szinte mindig az egyik Landau szintre esik, kivéve amikor éppen egy teljesen betöltött és egy betöltetlen Landau szint közötti élállapotokat töltünk fel. Az élállapotok száma azonban elhanyagolható a Landau-szintek belső állapotainak számához képest, egyszerű becslés e két allapotszám úgy aránylik egymáshoz mint a minta makroszkópikus szélessége az élállapot nanométeres skálájú y irányú kiterjedéséhez. Ennek megfelelően csak nagyon szűk mágneses tér tartományokban várjuk, hogy a Fermi energia két tömbi Landau szint energiája között legyen (?? ábra). Ha viszont a Fermi energia egy tömbi Landau szintnél helyezkedik el, akkor ezen a Landau szinten keresztül már átszóródhatnak az elektronok a két él között, azaz a korábbi érvelésünk érvénytelen. Azaz azt a lehangoló eredményt kaptuk, hogy a Hall-vezetőképesség csak nagyon szűk, szinte pontszerű mágneses-tér tartományokban veszi fel a várt kvantált értékeket, ráadásul ezek a pontok jól illeszkednek a klasszikus Hall-vezetőképesség 1/B-vel lineárisan arányos változására (?? ábra), azaz a kiterjedt Hall-platókra eddig nem kaptunk magyarázatot.
Eddig csak a zöld pontokat magyaráztuk meg! Ez alapján lineáris függés is lehetne, nem kellene kiterjedt kvantált platókat látni!
Mi stabilizálja -et a Landau szintek közé?
Rendezetlenség szerepe
Az eddigi számolásokban csak az élállapotok kialakulásáért felelős bezáró potenciált vettük figyelembe. A kiterjedt kvantált Hall-platók megértéséhez a minta belsejében kialakuló fluktuáló potenciált is figyelembe kell venni. Tökéletlen minta (azaz véges fluktuáló potenciál) esetén a tömbi Landau szintektől eltérő energiánál az elektronok nem csak az élállapot mentén mozoghatnak, hanem a minta belsejében a fluktuáló potenciál adott energiának megfelelő ekvipotenciális vonalai mentén is. Ha az energia kellőképpen eltér a tömbi Landau szintektől akkor az elektronok a fluktuáló potenciál hegyei vagy völgyei mentén zárt pályákra kényszerülnek (?? ábra), azaz a minta belsejében vannak a landau szintektől eltérő energiájú állapotok, de ezek lokalizált állapotok, a minta két széle közötti transzporthoz nem járulnak hozzá. A Landau szinteknek megfelelő energiáknál - azaz a fluktuáló potenciál átlagértékénél - az elektronok már találnak az ekvipotenciális vonalak mentén olyan trajektróriákat, melyek mentén átszóródhatnak a minta két széle között (?? ábra).
A fentiek gondolatmenet alapján megállapíthatjuk, hogy tökéletlen minta esetén a Landau szintek körüli véges energiatartományban véges állapotsűrűséget tapasztalunk (?? ábra), azonban a Landau szintektől távolabb ez a véges állapotsűrűség a tömbi tartomány potenciáljában lokalizált állapotoknak felel meg. Ennek megfelelően a Fermi-energia kiterjedt mágneses tér tartományokban eltér Landau szintek energiájától, de ezeknél az energiáknál továbbra is igaz a két oldalon kialakuló élállapotok közötti átszórás tilalma, azaz valóban véges szélességű kvantált Hall-platókat várunk.
A fentiek alapján látjuk, hogy a rendezetlenségnek kettős szerepe van a kvantált Hall-jelenség szempontjából. Egyrészt, túl nagy szennyező-koncentráció, melynél a szórások közötti átlagos idő összemérhető a ciklotronmozgás periódusidejével () lerombolja a kvantált Hall-jelenséget. Másrészt ha a minta túl tökéletes akkor szintén nem várunk kiterjedt kvantált Hall-platókat, azaz a minta tökéletlensége teszi lehetővé, hogy legyen a létező legpontosabb ellenállás standard. Ez utóbbi egyértelműen látszik a tört számű kvantált Hall-effektust bemutató kísérletekben. Ezekhez a mérésekhez nagyon jó minőségű (nagy szabad úthosszal rendelkező) kétdimenziós elektrongáz rendszerek kellettek (epitaxiálisan növesztett GaAs/AlGaAs 2DEG + delta dópolás + nagyon alacsony hőmérséklet), és ennek megfelelően az egész számú kvantált Hall platók sokkal csúnyábbak, kevésbé kiterjedtek mint Klaus von Klitzing IQHE mérései.
Mach-Zehnder interferométer Kvantum Hall élállapotokkal
A kvantált Hall effektus - azon túl, hogy önmagában is érdekes jelenség - a nanofizika eszköztárát is fontos kísérleti technikával bővítette. Az kvantált Hall élállapotok - a visszaszórás hiánya miatt - kifejezetten jól használhatók arra hogy kvantum elektronikai kísérleteket végezünk. Az alábbiakban a legalapvetőbb példát mutatjuk be: egy Mach Zehnder interferométer kialakítását élállapotokkal.
E
elektronokkal koherens közötti visszaszórás hiánya miatt 2DEG nagy mágneses térben, úgy hogy az elektronok csak a legalsó Landau szinten, egy élállapotban tudnak propagálni.
Kapu elektródákkal hangoljuk az alsó ág trajektóriáinak hosszát, azaz az alsó ág fázisát.
-re állított QPC 2 felé osztja az "élcsatornát" (edge channel), mint egy féligáteresztő tükör. A source elektródába visszaverődés nincs. Egy másik -re hangolt QPC-vel egyesítjük a két nyalábot. Az egyik kimenő nyalábon mérjük az interferenciajelet. A külső mágneses térrel hangoljuk az Aharonov-Bohm fázist.
Mind a mágneses tér, mind a kapu feszültség függvényében jó látszik az interferenciakép.
Forrás: J. Yang et el. Nature 422, 415 (2003)