„Kvantumpöttyök” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
51. sor: 51. sor:
 
==Kvantumpöttyök leírása elektrosztatikus képben==
 
==Kvantumpöttyök leírása elektrosztatikus képben==
  
−
Kvantumpöttybe zárt elektronok eneregiája az elektronok kinetikus energiájából és a bezáró potenciál és az elektronok között fellépő elektron-elektron kölcsönhatásból adódik össze. Az elektronok közötti taszításból származó többletenergiát egyszerűen közelíhetjük elektrosztatikus képben a kvantumpötty és a környezete közötti kapacitások figyelembevételével. Az előző részben kapott becslések alapján láttuk, hogy egy  átlagos méretű kvantumpötty esetén a kinetikus energiát és a bezáró potenciált együttesen jellemző szinttávolság lényegesen kisebb, mint a kapacitások alapján becsült elektrosztatikus energia, így a következőkben kizárólag az elektrosztatikus energiatagot megtartva adunk leírást a kvantumpöttyök viselékedésére. Látni fogjuk, hogy a kvantumpöttyök alapvető jelenségei (mint például a Coulomb-blokád, Coulomb-gyémánt szerkezet, egy elektron tranzisztor viselkedés ...) már ebben az egyszerű képben is megérthetőek.
+
Kvantumpöttybe zárt elektronok eneregiája az elektronok kinetikus energiájából, és az elektronok között fellépő elektron-elektron kölcsönhatásból adódik össze. Az elektronok közötti taszításból származó többletenergiát egyszerűen közelíhetjük elektrosztatikus képben a kvantumpötty és a környezete közötti kapacitások figyelembevételével. Az előző részben kapott becslések alapján láttuk, hogy egy  átlagos méretű kvantumpötty esetén a kinetikus energiát és a bezáró potenciált együttesen jellemző szinttávolság lényegesen kisebb, mint a kapacitások alapján becsült elektrosztatikus energia, így a következőkben kizárólag az elektrosztatikus energiatagot megtartva adunk leírást a kvantumpöttyök viselékedésére. Látni fogjuk, hogy a kvantumpöttyök alapvető jelenségei (mint például a Coulomb-blokád, Coulomb-gyémánt szerkezet, egy elektron tranzisztor viselkedés ...) már ebben az egyszerű képben is megérthetőek.
  
−
Az 1. ábrán látható áramkörbe épített kvantum pöttyöt elektrosztatikus képben a 4. ábrán látható módon helyettesíthetjük. A pötty területe (kék) két alagútátmeneten keresztül kapcsolődik a forrás és a nyelő oldal közé kapcsolt $V_{SD}$ feszültség forráshoz. Az alagútátmeneteket párhuzamosan kapcsolt kapacitással ($C$) és ellenállással modellezhetjük ($R$). A kapacitás fegyverzeteit az alagútátmenet által elválasztott két közeli felület adja, a tipikusan nagy ellennállás érték pedig az alagútátmeneten történő átjutást jellemzi. A kvantum pötty közelében található kapuelektródát (zöld) a sziget és az elektróda közötti kapacitással irhatjuk le ($C_G$). A kapu elektródára kapcsolt $V_G$ feszültség segítségével lehet majd a pötty betöltöttségét hangolni.
+
Az 1. ábrán látható áramkörbe épített kvantumpöttyöt elektrosztatikus képben a 4. ábrán látható módon helyettesíthetjük. A pötty területe (kék) két alagútátmeneten keresztül kapcsolődik a forrás és a nyelő oldal közé kapcsolt $V_{SD}$ feszültségforráshoz. Az alagútátmeneteket párhuzamosan kapcsolt kapacitással ($C$) és ellenállással modellezhetjük ($R$). A kapacitás fegyverzeteit az alagútátmenet által elválasztott két közeli felület adja, a tipikusan nagy ellennállás érték pedig az alagútátmeneten történő átjutást jellemzi. A kvantumpötty közelében található kapuelektródát (zöld) a sziget és az elektróda közötti kapacitással irhatjuk le ($C_G$). A kapuelektródára kapcsolt $V_G$ feszültség segítségével lehet majd a pötty betöltöttségét hangolni.
  
 
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
 
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
60. sor: 60. sor:
 
| [[Fájl:QD_CoulombEnergia_02.png|közép|220px|]]
 
| [[Fájl:QD_CoulombEnergia_02.png|közép|220px|]]
 
|-
 
|-
−
| align="center"|4a. ábra Kvantum pötty elektrosztatikus helyettestő képe
+
| align="center"|4a. ábra. ''Kvantumpötty elektrosztatikus helyettestő képe''
−
| align="center"|4b. ábra Az elektródákat elválasztó alagútátmenetek helyettesítő képe
+
| align="center"|4b. ábra. ''Az elektródákat elválasztó alagútátmenetek helyettesítő képe''
 
|}
 
|}
  
−
Elektrosztatikus közelítésben a kvantum pötty energiája a pöttyöt körbehatároló kapacitások segítségével a következőképpen irhatjuk fel:
+
Elektrosztatikus közelítésben a kvantumpötty energiáját a pöttyöt körbehatároló kapacitások segítségével a következőképpen irhatjuk fel:
−
 
+
 
$$E_C (N, V_{SD}=0, V_G = 0) = (Ne)^2/2C_{\Sigma}$$,
 
$$E_C (N, V_{SD}=0, V_G = 0) = (Ne)^2/2C_{\Sigma}$$,
−
ahol $N$ a kvantum pöttyön lévő elektronok száma, $C_{\Sigma}$ pedig a pötty és a környezete közötti összkapacitás: $C_{\Sigma}=C_{S}+C_{D}+C_{G}$.
+
ahol $N$ a kvantumpöttyön lévő elektronok száma, $C_{\Sigma}$ pedig a pötty és a környezete közötti összkapacitás: $C_{\Sigma}=C_{S}+C_{D}+C_{G}$.
  
−
$E_C$ kifejezése alapján, ha az elektronok számát növelni akarjuk eggyel, az a következő többlet energiába kerül: $\Delta E_C = E_C(N+1)-E_C(N) \approx N e^2/C_{\Sigma}$.
+
$E_C$ kifejezése alapján ha az elektronok számát növelni akarjuk eggyel, az a következő többlet energiába kerül: $\Delta E_C = E_C(N+1)-E_C(N) \approx N e^2/C_{\Sigma}$.
  
 
Véges kapufeszültség esetén vigyázni kell az energia felírásakor, hiszen az elektronok pöttyre helyezése során a kapu telepe is munkát végez, ami csökkenti a feltöltéshez szükséges energiát. Ha a pöttyre helyezett töltés $-eN$, akkor a párhuzamosan kapcsolt kapacitások miatt  a kapu elektróda fegyverzetén $Q_{G}=-eN C_G/ C_{\Sigma}$ töltés lesz. A pötty energiáját a telep  
 
Véges kapufeszültség esetén vigyázni kell az energia felírásakor, hiszen az elektronok pöttyre helyezése során a kapu telepe is munkát végez, ami csökkenti a feltöltéshez szükséges energiát. Ha a pöttyre helyezett töltés $-eN$, akkor a párhuzamosan kapcsolt kapacitások miatt  a kapu elektróda fegyverzetén $Q_{G}=-eN C_G/ C_{\Sigma}$ töltés lesz. A pötty energiáját a telep  
 
$W_{GTelep}=\int_{felt\ddot{o}lt \acute{e}s}{I_{G \acute{a}gban} V_G dt}= -Q_G V_G$ munkavégzésével korrigálva kapjuk: $E_C= E_C(V_G=0)-W_{Gtelep}$. Mindezek alapján:
 
$W_{GTelep}=\int_{felt\ddot{o}lt \acute{e}s}{I_{G \acute{a}gban} V_G dt}= -Q_G V_G$ munkavégzésével korrigálva kapjuk: $E_C= E_C(V_G=0)-W_{Gtelep}$. Mindezek alapján:
−
 
 
$$E_C (N, V_{SD}=0, V_G) = 1/2C_{\Sigma}(Ne-V_G C_G)^2 + \alpha$$,
 
$$E_C (N, V_{SD}=0, V_G) = 1/2C_{\Sigma}(Ne-V_G C_G)^2 + \alpha$$,
−
ahol $\alpha$ egy $N$ független szám. A fentiek alapján a kapufeszültség hatása egy $Q_0=V_G C_G$ un. offset töltéssel azonos.
+
ahol $\alpha$ egy $N$-től független mennyiség. A fentiek alapján a kapufeszültség hatása egy $Q_0=V_G C_G$ ún. offset-töltéssel azonos.
  
−
Az elektrosztatikus energiára kapott $E_C$ kifejezés  az 5.a ábrán látható az offset töltés függvényében különböző $N$ elektron számok mellett. Az ábra alapján minden egyes $Q_0$ értékre könnyen meghatározható, hogy milyen elektron szám fogja minimalizálnia a kvantum pötty energiáját. A piros tengelyen a pötty  alapállapotához tartozó elektron szám van feltüntetve.  Az ábrán jelölt zöld pontokban a kvantum pötty alapállapota degenerált. Például a $Q_0/e=1/2$ helyen az $N=0$ és $N=1$ állapotok energiája azonos. Ezekben a speciális pontokban az egyik elektródáról egy elektron be tud ugrani a kvantum pöttyre energia költség nélkül és az elektron ki tud ugrani a másik elektródára. Ezen szekvenciális elektron alagutazási folyamaton keresztül áram tud folyni a kvantum pöttyön keresztül ha kis $V_{SD}$ feszültséget kapcsolunk a két elektróda közé. 5.b ábra mutatja a kvantum pöttyön átfolyó áramot az offset töltéssel arányos kapufeszültség függvényében (kis $V_{SD}$ mellett). Az áram a $V_G$ paramétertér nagyrészében nulla leszámítva egymástól egyenlő távolságban található pontokat, ahol az áram csúcsszerűen megnő. Ezeket hívjuk ún. Coulomb-csúcsoknak.  Véges áramot csak ezen degenerációs pontokban kapunk közöttük az elektronok átjutás a pöttyön blokkolva van. Ezt a jelenséget hívják ún. Coulomb-blokádnak, ami a kvantum pöttyök egyik fontos tulajdonsága. A Coulomb-blokád az elektronok közötti taszító Coulomb-kölcsönhatás és az elektromos töltés kvantáltságának a következménye. A kvantum pöttyön az elektron szám jól meghatározott és ennek következtében áram nem tud a pöttyön keresztül folyni egészen addig, amíg az offset töltés változtatásával degenerációs pontba nem hangoljuk az elektron szigetet. (A degenerációs pontok távolsága $\Delta Q_0/e=1$).
+
Az elektrosztatikus energiára kapott $E_C$ kifejezés  az 5a- ábrán látható az offset-töltés függvényében különböző $N$ elektronszámok mellett. Az ábra alapján minden egyes $Q_0$ értékre könnyen meghatározható, hogy milyen elektronszám fogja minimalizálnia a kvantum pötty energiáját. A piros tengelyen a pötty  alapállapotához tartozó elektronszám van feltüntetve.  Az ábrán jelölt zöld pontokban a kvantum pötty alapállapota degenerált. Például a $Q_0/e=1/2$ helyen az $N=0$ és $N=1$ állapotok energiája azonos. Ezekben a speciális pontokban az egyik elektródáról egy elektron be tud ugrani a kvantumpöttyre energiaköltség nélkül és az elektron ki tud ugrani a másik elektródára. Ezen szekvenciális elektron alagutazási folyamaton keresztül áram tud folyni a kvantumpöttyön keresztül ha kis $V_{SD}$ feszültséget kapcsolunk a két elektróda közé. Az 5b. ábra mutatja a kvantumpöttyön átfolyó áramot az offset-töltéssel arányos kapufeszültség függvényében (kis $V_{SD}$ mellett). Az áram a $V_G$ paramétertér nagyrészében nulla leszámítva egymástól egyenlő távolságban található pontokat, ahol az áram csúcsszerűen megnő. Ezeket hívjuk ún. Coulomb-csúcsoknak.  Véges áramot csak ezen degenerációs pontokban kapunk, közöttük az elektronok átjutása a pöttyön blokkolva van. Ezt a jelenséget hívják ún. Coulomb-blokádnak, ami a kvantumpöttyök egyik fontos tulajdonsága. A Coulomb-blokád az elektronok közötti taszító Coulomb-kölcsönhatás és az elektromos töltés kvantáltságának a következménye. A kvantumpöttyön az elektronszám jól meghatározott, és ennek következtében áram nem tud a pöttyön keresztül folyni egészen addig, amíg az offset-töltés változtatásával degenerációs pontba nem hangoljuk az elektron szigetet. (A degenerációs pontok távolsága $\Delta Q_0/e=1$).
  
  
85. sor: 83. sor:
 
| [[Fájl:QD_CoulombEnergia_04.png|közép|350px|]]
 
| [[Fájl:QD_CoulombEnergia_04.png|közép|350px|]]
 
|-
 
|-
−
| align="center"|5a. ábra Kvantum pötty elektrosztatikus energiája különböző elektronszámnál (n). A zöld pontokban az alapállapot degenerált és ezzel a pöttyön az elektron szám nem jól meghatározott. Az alapállapoti elektron számok pirossal vannak feltüntetve.
+
| align="center"|5a. ábra. ''Kvantumpötty elektrosztatikus energiája különböző elektronszámnál (N). A zöld pontokban az alapállapot degenerált, és ezzel a pöttyön az elektronszám nem jól meghatározott. Az alapállapoti elektronszámok pirossal vannak feltüntetve.''
−
| align="center"|5b. ábra Coulomb-blokád jelensége: a kvantum pöttyön keresztül csak $\Delta V_G = e/C_G$ távolságra eső kapufeszültségek mellett folyik áram, mikor a pöttyön az elektron szám nem meghatározott.  
+
| align="center"|5b. ábra. ''Coulomb-blokád jelensége: a kvantumpöttyön keresztül csak $\Delta V_G = e/C_G$ távolságra eső kapufeszültségek mellett folyik áram, mikor a pöttyön az elektronszám nem meghatározott.''
 
|}
 
|}
  
−
A kapott elméleti várakozásokat vessük össze kvantum pöttyökön mért tipikus kísérleti eredményekkel. A 6. ábrán láthatóak vezetőképesség ($G=I/V_{SD}$) mérések  a kapufeszültség függvényében (kis $V_{SD}$ mellett). Alacsony hőmérsékleten éles csúcsok jelentkeznek, amiket nulla vezetőképességű tartományok határolnak el a Coulomb-blokádnak megfelelően. A 6.a ábrán a csúcsok egyenletesen helyezkednek el a $V_G$ tengely mentén az elektrosztatikus képben kapott eredményekkel összhangban.  A hőmérséklet növelésével a csúcsok elmosódnak és a köztes völgyekben az áram egyre nagyobbra nő. Ez a termikus elmosódás akkor válik jelentőssé, ha a pötty hőmérséklete összemérhetővé válik az elektrosztatikus energiaskálával: $k_B T \approx E_C$. A 6.b ábrán is egy hasonló mérés látható. A Coulomb-csúcsok itt is megjelennek, ugyanakkor a csúcsok távolsága nem egyenletes, ahogyan az egyszerű modellünkből várnánk. Ennek megértéséhez már az elektrosztatikus képen túl kell lépni és  figyelembe kell venni a pötty bezáró potenciáljában kialakuló  diszkrét elektron állapotokat is. Az egyenletlen csúcstávolság egészen kis méretű kvantum pöttyök esetén jelentkezik, ahol  ahol $\Delta \approx E_C$ (lásd energia skáláknál).  
+
A kapott elméleti várakozásokat vessük össze kvantumpöttyökön mért tipikus kísérleti eredményekkel. A 6. ábrán láthatóak vezetőképesség-mérések  ($G=I/V_{SD}$) a kapufeszültség függvényében (kis $V_{SD}$ mellett). Alacsony hőmérsékleten éles csúcsok jelentkeznek, amiket nulla vezetőképességű tartományok határolnak el a Coulomb-blokádnak megfelelően. A 6a. ábrán a csúcsok egyenletesen helyezkednek el a $V_G$ tengely mentén az elektrosztatikus képben kapott eredményekkel összhangban.  A hőmérséklet növelésével a csúcsok elmosódnak, és a köztes völgyekben az áram egyre nagyobbra nő. Ez a termikus elmosódás akkor válik jelentőssé, ha a pötty hőmérséklete összemérhetővé válik az elektrosztatikus energiaskálával: $k_B T \approx E_C$. A 6b. ábrán is egy hasonló mérés látható. A Coulomb-csúcsok itt is megjelennek, ugyanakkor a csúcsok távolsága nem egyenletes, ahogyan az egyszerű modellünkből várnánk. Ennek megértéséhez már az elektrosztatikus képen túl kell lépni, és  figyelembe kell venni a pötty bezáró potenciáljában kialakuló  diszkrét elektronállapotokat is. Az egyenletlen csúcstávolság egészen kis méretű kvantum pöttyök esetén jelentkezik, ahol  ahol $\Delta \approx E_C$ (lásd energiaskáláknál).  
  
 
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
 
{|  cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
96. sor: 94. sor:
 
| [[Fájl:QD CoulombBlokad 02.png|közép|300px|]]
 
| [[Fájl:QD CoulombBlokad 02.png|közép|300px|]]
 
|-
 
|-
−
| align="center"|6a. ábra Kvantum pöttyök Coulomb-csúcsai kísérletben.
+
| align="center"|6a. ábra. ''Kvantumpöttyök Coulomb-csúcsai kísérletben.''<sup>[http://prl.aps.org/abstract/PRL/v66/i23/p3048_1 3]</sup>
−
| align="center"|6b. ábra Coulomb-csúcsok nem ekvidisztans poziciókban.  
+
| align="center"|6b. ábra. ''Coulomb-csúcsok nem ekvidisztans poziciókban.''<sup>[http://prl.aps.org/abstract/PRL/v77/i17/p3613_1 4]</sup>
−
|-
+
−
| Y. Meir et al., Phys. Rev. Lett. 66, 3048 (1991).
+
−
|S. Tarucha et al., Phys. Rev. Lett. 77, 3613 (1996).
+
 
|}
 
|}
  
145. sor: 140. sor:
 
[2] [http://www.sciencedirect.com/science/journal/03701573/345/2-3 Jan von Delft and D. C. Ralph: ''Spectroscopy of Discrete Energy Levels in Ultrasmall Metallic Grains'', '''Physics Reports 345''', p61 (2001)]
 
[2] [http://www.sciencedirect.com/science/journal/03701573/345/2-3 Jan von Delft and D. C. Ralph: ''Spectroscopy of Discrete Energy Levels in Ultrasmall Metallic Grains'', '''Physics Reports 345''', p61 (2001)]
  
−
[3] S. Tarucha et al., Phys. Rev. Lett. 77, 3613 (1996).
+
[3] [http://prl.aps.org/abstract/PRL/v66/i23/p3048_1 Y. Meir et al., ''Transport through a strongly interacting electron system: Theory of periodic conductance oscillations'', '''Phys. Rev. Lett. 66''', 3048 (1991)]
 +
 
 +
[4] [http://prl.aps.org/abstract/PRL/v77/i17/p3613_1 S. Tarucha et al., ''Shell Filling and Spin Effects in a Few Electron Quantum Dot'', '''Phys. Rev. Lett. 77''', 3613 (1996)]
  
 
===Ajánlott könyvek és összefoglaló cikkek===
 
===Ajánlott könyvek és összefoglaló cikkek===

A lap 2013. szeptember 15., 05:32-kori változata


Korábban láttunk páldákat olyan nanoszerkezetekre, ahol az elektronok mozgása csak két illetve egy dimenzióban megengedett (GaAs/AlGaAs határfelületen létrejövő kétdimenziós elektrongázok ill. pontkontaktusok). Ezen alacsony dimenziós szerkezetek olyan érdekes jelenségek megfigyelését teszik lehetővé, mint a kvantált Hall-effektus vagy a vezetőképesség-kvantálás. Ebben a fejezetben egy további alacsony dimenziós nanoszerkezet-családdal fogunk foglalkozni, az ún. kvantumpöttyökkel (kvantum-dotokkal), ahol az elektronok mozgását mind a három dimenzió mentén megszorítjuk. Ezen nulla dimenziós szerkezetek egy mesterséges szigetet jelentenek az elektronok számára, amik tipikus sugara \setbox0\hbox{$R \approx 1\mu m - 1nm$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% (lásd 1. ábra). Kvantumpöttyöket gyakran a térvezérelt tranzisztorokhoz hasonló áramkörökbe építik: két elektródát kapcsolnak a szigethez (forrás/source és nyelő/drain), amikből elektronok juthatnak a szigetre és távozhatnak onnét. Ezt egy harmadik, ún. kapu/gate elektróda egészíti ki, ami a sziget elektromos potenciájának változtatását teszi lehetővé. A továbbiakban ilyen térvezérelt geometriájú kvantumpöttyöket fogunk tárgyalni.

QD 1.png
1. ábra. Kvantum pötty/dot áramkörbe építve. Egy \setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú sziget, forrás/source és nyelő/drain elektródák között (fekete) illetve egy kapu/gate elektródához csatolva (zöld).

Megvalósítás

Kvantumpöttyöket különböző módszerekkel lehet létrehozni. Ezekre lássunk néhány példát:

  • Egy kétdimenziós elektrongázra kapuelektródákat téve, az elektródákra adott negatív feszültséggel a kapuelektródák alól az elektronok kiszorulnak. A kapukat megfelelően elrendezve létre lehet hozni szigeteket az elektrongázból, amik kvantumpöttyként viselkednek (lásd. 2a ábra). A kapukra adott \setbox0\hbox{$V_G$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% feszültség változtatásával a pötty potenciálja hangolható.
  • Kvantumpöttyök készíthetőek változatos nanoszerkezetekből: szén nanocsövekből, félvezető nanopálcákból, grafénból. A 2b. ábra mutat egy példát grafén kvantumpöttyre. Plazmamarással egy szigetet vágunk ki a szén síkból, ami elvékonyított részekkel kapcsolódhat az elektródákhoz.
  • Elektródák közé juttatott nagyobb molekula (pl. fullerén) is mutathat kvantumpötty viselkedést (lásd. 2c ábra). A molekulák kis méretéből adódóan (\setbox0\hbox{$R \approx 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%nm) a három elektróda elhelyezése problémás.
  • Kvantumpöttyként működnek kis fémes szemcsék is. Ha ezeket szigetelő rétegbe ágyazzuk, és fém elekródákat hozunk létre mellettük, a szokásos forrást, nyelőt és kapu elektródát tartalmazó geometria létrehozható (lásd. 2d ábra).
QD Peldak 02.png
QD Peldak 03.png
QD Peldak 04.png
QD Peldak 01.png
2a. ábra. 2DEG-ban kapuelektródákkal létrehozott kvantumpötty. A fekete körvonalú szürke területek a kapuelektródák, a rájuk kapcsolt negatív feszültség hozza létre az elektronok csapdázó potenciálját. A zölddel jelölt elektródára adott feszültség szolgál a potenciálgödör hangolására. Elektronok a sárga tartományban vannak.1 2b. ábra. Grafénből kimart szerkezet két kvantumpöttyel (QD1 és QD2). 2c. ábra. Molekulán alapuló kvantum pötty.2 2d. ábra. Oxidba ágyazott fém nanoszemcsén alapuló kvantumpötty.2

Energiaskálák

Kvantumpöttyre helyezett elektronok viselkedését a sziget bezáró potenciálja, az elektronok közötti taszitó kölcsönhatás, illetve a szigeten töltött átlagos idő jelentősen befolyásolja. Tekintsük át az ezekhez kapcsolódó energiaskálákat:

  • Szinttávolság (level spacing, \setbox0\hbox{$\Delta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%): Ha a kvantumpötty mérete nem sokkal nagyobb, mint a Fermi-hullámhossz, azaz \setbox0\hbox{$R \sim \lambda_F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, az elektronok hullámtermészetét figyelembe kell venni. Az elektronok a sziget bezáró potenciálja által meghatározott hullámfüggvényeket tölthetik be, melyekhez a folytonos energiaspektrum helyett diszkrét energiaszintek tartoznak, ha a pötty mérete elegendően kicsi (lásd 3a. ábra). A diszkrét energiaszintek átlagos távolságát hívjuk szinttávolságanak, \setbox0\hbox{$\Delta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. A szinttávolság például kétdimenziós kvantumpötty esetén \setbox0\hbox{$\Delta \sim 1/R^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Tipikus értéke \setbox0\hbox{$R \approx 1\mu m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% esetén \setbox0\hbox{$\Delta \approx 10 \mu eV$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.
  • Elektrosztatikus energia (charging energy, \setbox0\hbox{$E_C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%): Az elektronok között fellépő Coulomb-taszítás miatt energiaköltséggel jár, ha újabb és újabb elektronokat akarunk helyezni a kvantumpöttyre. Egyszerű elektrosztatikus képben (lásd 3b. ábra) ezt a többletenergiát a pötty és a környezete közötti kapacitás, \setbox0\hbox{$(C_\Sigma)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% határozza meg: \setbox0\hbox{$E_C = e^2/2C_\Sigma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% (ahol \setbox0\hbox{$e$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% az elektrontöltés). A szigetet \setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú gömbbel közelítve \setbox0\hbox{$C_\Sigma \approx 4 \pi \epsilon_0 \epsilon_r R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% alapján \setbox0\hbox{$E_C \sim 1/R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függést kapunk. Maradva a kétdimenziós elektrongázból kialakított pötty példájánál, egy \setbox0\hbox{$R \approx 1\mu m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú pötty esetében: \setbox0\hbox{$E_C \approx 300u$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%eV.
  • Kvantum-fluktuációk energia-bizonytalansága: Mivel a kvantumpötty alagútátmeneteken keresztül csatolva van az elektródákhoz, a pöttyre helyezett elektronok véges valószínűséggel távozhatnak a pöttyről, ami a sziget eneriaszintjeinek a kiszélesedéséhez vezet. A kiszélesedés mértéke: \setbox0\hbox{$\delta E \approx h/ \delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, ahol \setbox0\hbox{$h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a Plank-állandó \setbox0\hbox{$\delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pedig az átlagos idő, amit az elektron a pöttyön tartózkodik. Az utóbbit megbecsülhetjük az alagútátmenet ellenállása (\setbox0\hbox{$R_T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) és kapacitása (\setbox0\hbox{$C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) alapján: \setbox0\hbox{$\delta t \approx R_T C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Ahhoz, hogy a kvantumpötty-viselkedést a fluktuációk ne mossák el, megköveteljük, hogy \setbox0\hbox{$\delta E \ll E_C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% legyen. \setbox0\hbox{$E_C \approx e^2/2C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-t kihasználva az alagútátmenet ellenállására a következő megszorítást kapjuk: \setbox0\hbox{$2h/e^2 \ll R_T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Az \setbox0\hbox{$R_0 = 1/G_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% ellenálláskvantumot bevezetve, ahol \setbox0\hbox{$G_0 = 2 e^2/h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a korábban definiált vezetőképesség kvantum, a feltételt átírhatjuk \setbox0\hbox{$R_0 \ll R_T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% alakra. Azaz az alagútátmenet ellenállását nagyobbra kell választani az ellenálláskvantumnál, hogy a kvantumpötty-viselkedés megfigyelhető legyen.

A kapott számok alapján látható, hogy egy \setbox0\hbox{$1 \mu m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% körüli átmérőjű kvantumpöttynél az elektrosztatikus energia lényegesen nagyobb, mint a szinttávolság. Ugyanakkor, ha a kvantumpötty méretét csökkentjük, a szinttávolság erősebb méretfüggéséből adódóan a két skála azonos nagyságúvá válhat. Ha tekintjük a legkisebb kvantumpöttyöket, egyetlen atomot vagy molekulát, ott már a szinttávolság a domináns energiaskála. Az atomok elektronszerkezetét (azaz a periódusos rendszert) elsődlegesen a mag vonzó potenciáljában kialakuló hullámfüggvényekhez tartozó diszkrét energiaszintek határozzák meg, és az elektronok közötti Coulomb-kölcsönhatás csak korrekciót ad ehhez.


QD EnergiaSkala 01.png
QD EnergiaSkala 02.png
3a. ábra Kvantumbezártságból adódó energiaszintek.1 3b. ábra Kvatumpöttyre helyezett elektron elektrosztatikus energiája.1


Kvantumpöttyök leírása elektrosztatikus képben

Kvantumpöttybe zárt elektronok eneregiája az elektronok kinetikus energiájából, és az elektronok között fellépő elektron-elektron kölcsönhatásból adódik össze. Az elektronok közötti taszításból származó többletenergiát egyszerűen közelíhetjük elektrosztatikus képben a kvantumpötty és a környezete közötti kapacitások figyelembevételével. Az előző részben kapott becslések alapján láttuk, hogy egy átlagos méretű kvantumpötty esetén a kinetikus energiát és a bezáró potenciált együttesen jellemző szinttávolság lényegesen kisebb, mint a kapacitások alapján becsült elektrosztatikus energia, így a következőkben kizárólag az elektrosztatikus energiatagot megtartva adunk leírást a kvantumpöttyök viselékedésére. Látni fogjuk, hogy a kvantumpöttyök alapvető jelenségei (mint például a Coulomb-blokád, Coulomb-gyémánt szerkezet, egy elektron tranzisztor viselkedés ...) már ebben az egyszerű képben is megérthetőek.

Az 1. ábrán látható áramkörbe épített kvantumpöttyöt elektrosztatikus képben a 4. ábrán látható módon helyettesíthetjük. A pötty területe (kék) két alagútátmeneten keresztül kapcsolődik a forrás és a nyelő oldal közé kapcsolt \setbox0\hbox{$V_{SD}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% feszültségforráshoz. Az alagútátmeneteket párhuzamosan kapcsolt kapacitással (\setbox0\hbox{$C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) és ellenállással modellezhetjük (\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%). A kapacitás fegyverzeteit az alagútátmenet által elválasztott két közeli felület adja, a tipikusan nagy ellennállás érték pedig az alagútátmeneten történő átjutást jellemzi. A kvantumpötty közelében található kapuelektródát (zöld) a sziget és az elektróda közötti kapacitással irhatjuk le (\setbox0\hbox{$C_G$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%). A kapuelektródára kapcsolt \setbox0\hbox{$V_G$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% feszültség segítségével lehet majd a pötty betöltöttségét hangolni.

QD CoulombEnergia 01.png
QD CoulombEnergia 02.png
4a. ábra. Kvantumpötty elektrosztatikus helyettestő képe 4b. ábra. Az elektródákat elválasztó alagútátmenetek helyettesítő képe

Elektrosztatikus közelítésben a kvantumpötty energiáját a pöttyöt körbehatároló kapacitások segítségével a következőképpen irhatjuk fel:

\[E_C (N, V_{SD}=0, V_G = 0) = (Ne)^2/2C_{\Sigma}\]
,

ahol \setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a kvantumpöttyön lévő elektronok száma, \setbox0\hbox{$C_{\Sigma}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pedig a pötty és a környezete közötti összkapacitás: \setbox0\hbox{$C_{\Sigma}=C_{S}+C_{D}+C_{G}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.

\setbox0\hbox{$E_C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kifejezése alapján ha az elektronok számát növelni akarjuk eggyel, az a következő többlet energiába kerül: \setbox0\hbox{$\Delta E_C = E_C(N+1)-E_C(N) \approx N e^2/C_{\Sigma}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.

Véges kapufeszültség esetén vigyázni kell az energia felírásakor, hiszen az elektronok pöttyre helyezése során a kapu telepe is munkát végez, ami csökkenti a feltöltéshez szükséges energiát. Ha a pöttyre helyezett töltés \setbox0\hbox{$-eN$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, akkor a párhuzamosan kapcsolt kapacitások miatt a kapu elektróda fegyverzetén \setbox0\hbox{$Q_{G}=-eN C_G/ C_{\Sigma}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% töltés lesz. A pötty energiáját a telep \setbox0\hbox{$W_{GTelep}=\int_{felt\ddot{o}lt \acute{e}s}{I_{G \acute{a}gban} V_G dt}= -Q_G V_G$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% munkavégzésével korrigálva kapjuk: \setbox0\hbox{$E_C= E_C(V_G=0)-W_{Gtelep}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Mindezek alapján:

\[E_C (N, V_{SD}=0, V_G) = 1/2C_{\Sigma}(Ne-V_G C_G)^2 + \alpha\]
,

ahol \setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% egy \setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-től független mennyiség. A fentiek alapján a kapufeszültség hatása egy \setbox0\hbox{$Q_0=V_G C_G$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% ún. offset-töltéssel azonos.

Az elektrosztatikus energiára kapott \setbox0\hbox{$E_C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kifejezés az 5a- ábrán látható az offset-töltés függvényében különböző \setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% elektronszámok mellett. Az ábra alapján minden egyes \setbox0\hbox{$Q_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értékre könnyen meghatározható, hogy milyen elektronszám fogja minimalizálnia a kvantum pötty energiáját. A piros tengelyen a pötty alapállapotához tartozó elektronszám van feltüntetve. Az ábrán jelölt zöld pontokban a kvantum pötty alapállapota degenerált. Például a \setbox0\hbox{$Q_0/e=1/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% helyen az \setbox0\hbox{$N=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$N=1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% állapotok energiája azonos. Ezekben a speciális pontokban az egyik elektródáról egy elektron be tud ugrani a kvantumpöttyre energiaköltség nélkül és az elektron ki tud ugrani a másik elektródára. Ezen szekvenciális elektron alagutazási folyamaton keresztül áram tud folyni a kvantumpöttyön keresztül ha kis \setbox0\hbox{$V_{SD}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% feszültséget kapcsolunk a két elektróda közé. Az 5b. ábra mutatja a kvantumpöttyön átfolyó áramot az offset-töltéssel arányos kapufeszültség függvényében (kis \setbox0\hbox{$V_{SD}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% mellett). Az áram a \setbox0\hbox{$V_G$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% paramétertér nagyrészében nulla leszámítva egymástól egyenlő távolságban található pontokat, ahol az áram csúcsszerűen megnő. Ezeket hívjuk ún. Coulomb-csúcsoknak. Véges áramot csak ezen degenerációs pontokban kapunk, közöttük az elektronok átjutása a pöttyön blokkolva van. Ezt a jelenséget hívják ún. Coulomb-blokádnak, ami a kvantumpöttyök egyik fontos tulajdonsága. A Coulomb-blokád az elektronok közötti taszító Coulomb-kölcsönhatás és az elektromos töltés kvantáltságának a következménye. A kvantumpöttyön az elektronszám jól meghatározott, és ennek következtében áram nem tud a pöttyön keresztül folyni egészen addig, amíg az offset-töltés változtatásával degenerációs pontba nem hangoljuk az elektron szigetet. (A degenerációs pontok távolsága \setbox0\hbox{$\Delta Q_0/e=1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%).


QD CoulombEnergia 03.png
QD CoulombEnergia 04.png
5a. ábra. Kvantumpötty elektrosztatikus energiája különböző elektronszámnál (N). A zöld pontokban az alapállapot degenerált, és ezzel a pöttyön az elektronszám nem jól meghatározott. Az alapállapoti elektronszámok pirossal vannak feltüntetve. 5b. ábra. Coulomb-blokád jelensége: a kvantumpöttyön keresztül csak \setbox0\hbox{$\Delta V_G = e/C_G$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolságra eső kapufeszültségek mellett folyik áram, mikor a pöttyön az elektronszám nem meghatározott.

A kapott elméleti várakozásokat vessük össze kvantumpöttyökön mért tipikus kísérleti eredményekkel. A 6. ábrán láthatóak vezetőképesség-mérések (\setbox0\hbox{$G=I/V_{SD}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) a kapufeszültség függvényében (kis \setbox0\hbox{$V_{SD}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% mellett). Alacsony hőmérsékleten éles csúcsok jelentkeznek, amiket nulla vezetőképességű tartományok határolnak el a Coulomb-blokádnak megfelelően. A 6a. ábrán a csúcsok egyenletesen helyezkednek el a \setbox0\hbox{$V_G$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tengely mentén az elektrosztatikus képben kapott eredményekkel összhangban. A hőmérséklet növelésével a csúcsok elmosódnak, és a köztes völgyekben az áram egyre nagyobbra nő. Ez a termikus elmosódás akkor válik jelentőssé, ha a pötty hőmérséklete összemérhetővé válik az elektrosztatikus energiaskálával: \setbox0\hbox{$k_B T \approx E_C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. A 6b. ábrán is egy hasonló mérés látható. A Coulomb-csúcsok itt is megjelennek, ugyanakkor a csúcsok távolsága nem egyenletes, ahogyan az egyszerű modellünkből várnánk. Ennek megértéséhez már az elektrosztatikus képen túl kell lépni, és figyelembe kell venni a pötty bezáró potenciáljában kialakuló diszkrét elektronállapotokat is. Az egyenletlen csúcstávolság egészen kis méretű kvantum pöttyök esetén jelentkezik, ahol ahol \setbox0\hbox{$\Delta \approx E_C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% (lásd energiaskáláknál).

QD CoulombBlokad 01.png
QD CoulombBlokad 02.png
6a. ábra. Kvantumpöttyök Coulomb-csúcsai kísérletben.3 6b. ábra. Coulomb-csúcsok nem ekvidisztans poziciókban.4

Coulomb-energiaszintek

Állítsuk a kvantum pötty kapufeszültségét \setbox0\hbox{$Q_0=1/2 + N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értékre. Ilyenkor az \setbox0\hbox{$N+1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ik elektoron számára éppen energetikailag kedvező, hogy bekerüljön a pöttyre. Ezt modellezhetjük, úgy, hogy egy diszkrét energia nívót feltételezünk a pöttyön az elektródák Fermi-energiáival azonos energián, amire egyetlen elektron helyezhető. Az egyik elektródából elektron ugorhat erre a diszkrét energiaszintre, majd a másik elektródára kiugorva áram tud folyni a pöttyön keresztül (lásd. 7. ábra bal panel). Továbbra is \setbox0\hbox{$Q_0=1/2 + N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kapufeszültség értéknél maradva a következő (\setbox0\hbox{$N+2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ik) elektron pöttyre helyezéséhez további \setbox0\hbox{$\epsilon _ C = e^2/C_{\Sigma}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% energiára van szükség (lásd 5.a ábra), ami megadja a következő diszkrét energianívó távolságát a Fermi-energiától. Az előzőeket ismételve egy kvantum pötty energiaszerkezetét leírhatjuk egymástól \setbox0\hbox{$\epsilon _ C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolságra elhelyezett diszkrét energiaszintekkel, amikre egy-egy elektront lehet ráhelyezni. Ezeket az energia szinteket szokás Coulomb-energiaszinteknek is nevezni. Az így kialakuló létra jellegű energiaszerkezet helyzetét a forrás (\setbox0\hbox{$S$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) és a nyelő (\setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) Fermi-energiájához képest a \setbox0\hbox{$V_G$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kapufeszültség segítségével lehet hangolni. A 7. ábra bal paneljéhez képest a jobb panelen növeltük a kapufeszültséget. Ezáltal az energia szintek lejjebb tolódtak és a kvantum pötty Coulomb-blokádba került.

QD Coulomb Energiaszint.png
7. ábra Kvantum pötty leírása Coulomb-energiaszintekkel: A függöleges az energia tengely, a forrás \setbox0\hbox{$S$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és a nyelő \setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% oldalon a Fermi-szintig betöltött elektron állapotok vannak jelölve sárgával. Az alagút átmenetek (kék) között a Coulomb-energiaszintek láthatóak \setbox0\hbox{$\epsilon_C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolságokra egymástól. A bal oldali ábrán az az eset látható, mikor az \setbox0\hbox{$N=2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% betöltés éppen megengedetté válik, az energiaszint rezonanciája miatt áram tud folyni a kvantum pöttyön keresztül. A jobb oldali ábra egy Coulomb-blokádolt esetet mutat, ahol az alsó két Coulomb-energiaszint betöltött, de a harmadik nívó még energetikailag nem érhető el.

Coulomb-gyémántok

A Coulomb-energiaszintek bevezetése segít az \setbox0\hbox{$S$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% oldal közé kapcsolt véges \setbox0\hbox{$V_{SD}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hatásának megértésében.



QD CoulombBlokad 04.png
8. ábra Coulomb gyémánt mintázat. A kvantum pötty energiaszintjei a gyémánt mintázat különböző részein
Qdot.ogv
9. ábra. Qdot

Szöveg egyelektron-tranzisztorrol

Összefoglalva az alfejezetet, a kvantum pöttyök viselkedését egy leegyszerűsített model keretében tárgyaltuk, ami a kvantum pöttyön az elektronok között fellépő Coulomb-taszítást vette figyelembe, ezt is egyszerű elektrosztatikus közelítésen keresztül a pötty és a környezetében található elektródák közötti kapacitások figyelembevételével. Már ebben az egyszerű elektrosztatikuis képben a kvantum pöttyök alapvető elektromos vezetési tulajdonságai, úgy mint a Coulomb-blokád jelenség vagy a Coulomb-gyémánt mintázatok megérthetőek.

Hivatkozások

Fent hivatkozott szakcikkek

[1] Jonathan P Bird: Electron transport in quantum dots, Kluwer Academic Publishers (2003)

[2] Jan von Delft and D. C. Ralph: Spectroscopy of Discrete Energy Levels in Ultrasmall Metallic Grains, Physics Reports 345, p61 (2001)

[3] Y. Meir et al., Transport through a strongly interacting electron system: Theory of periodic conductance oscillations, Phys. Rev. Lett. 66, 3048 (1991)

[4] S. Tarucha et al., Shell Filling and Spin Effects in a Few Electron Quantum Dot, Phys. Rev. Lett. 77, 3613 (1996)

Ajánlott könyvek és összefoglaló cikkek

Ajánlott kurzusok

A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Kvantumpöttyök&oldid=12321”