„Mozgó töltések és áramok által keltett tér” változatai közötti eltérés
Papp (vitalap | szerkesztései) |
Papp (vitalap | szerkesztései) |
||
| 55. sor: | 55. sor: | ||
|} | |} | ||
| − | ahol kihasználtuk, hogy a körvezető mágneses momentuma $\vec {\ | + | ahol kihasználtuk, hogy a körvezető mágneses momentuma $\vec {\ mu} = I\vec A$. Ebből az eredményből egyrészt következik, hogy a körvezető középpontjában az indukciós tér nagysága: |
A lap 2011. szeptember 14., 15:24-kori változata
Tartalomjegyzék |
Az elektromos áram mágneses tere
A válasszal, hogy mi is az indukciós tér forrása, még adósak vagyunk. Néhány egyszerű kísérlettel könnyű bemutatni, hogy az elektromos áram mágneses teret kelt maga körül. Egy kis vasreszelék vagy egy iránytű alkalmazásával szemléletesen láthatóvá lehet tenni egy áramjárta vezető mágneses terét.
1.1. a. b. c. és d ábra
A jelenség vizsgálatához tekintsük az elképzelhető legegyszerűbb modellt, vagyis vizsgáljuk meg egy igen kisméretű, áramjárta vezetékdarab által keltett mágneses indukciós teret (1.2 ábra) és adjuk meg ennek matematikai alakját!
1.2 ábra
A mérések azt mutatják, hogy a 
áramjárta kis vezetékdarab indukciós terét az 
helyvektorral megadott pontban a Biot-Savart törvény segítségével adhatjuk meg:
![\[d\vec B = \frac {\mu_o}{4\pi} I \frac{d\vec s \times \vec n}{r^2} \]](/images/math/8/9/e/89ef1468568844f12b21b181312740c3.png) |
(1.1) |
ahol is 
az -el párhuzamos egységvektor és 
a vákuum permeabilitása, melynek értéke: 
Tm/A.
Jó példa a Biot-Savart törvény egyszerű alkalmazására a körvezető terének meghatározása a szimmetriatengelyen. (Természetesen jó példa a végtelen hosszú, áramjárta vezető is, de ezt a problémát majd az előadáson vagy a gyakorlaton oldjuk meg.) Ehhez tekintsük az ábrán látható a sugarú körvezetőt, melynek indukciós terét a szimmetriatengelyen a kör középpontjától x távolságban szeretnénk meghatározni.
1.3 ábra
A körvezető egy kis, az 
pontot is tartalmazó, 
darabkáján átfolyó áram hatásaként kialakul a – felfelé mutató – 
tér, mint ez az 1.3 ábrán is látszik, és amelynek nagysága a Biot-Savart törvény alapján:
![\[dB = \frac {\mu_o}{4\pi} I \frac{ds}{r^2}= \frac {\mu_o}{4\pi} I \frac{ds}{a^2+x^2} \]](/images/math/6/3/7/6374a089e889774a7a573e978fd3f738.png) |
(1.2) |
mivel a 
pontba mutató 
vektor merőleges a vezető síkjára, így a vezető darabra is. Jól látszik az ábrán az is, hogy az átellenes, azaz a 
pontot is tartalmazó, ugyanolyan hosszú szakasz által keltett 
tér a tengelyre szimmetrikusan helyezkedik el az pontot magába foglaló szakasz teréhez képest. A két vektor tengelyre merőleges komponense összeadásnál kiejti egymást. Ez azt jelenti, hogy mindössze a tengely-menti komponensekkel kell számolnunk, azaz:
![\[dB = \frac {\mu_o}{4\pi} I \frac{ds}{a^2+x^2}sin(\phi)= \frac {\mu_o}{4\pi} I \frac{ds}{a^2+x^2} \frac {a}{\sqrt {a^2+x^2}}= \frac {\mu_o}{4\pi} I \frac {ds} {\left[a^2+x^2 \right]^{\frac32}}a \]](/images/math/7/3/d/73d9d1ac59e7b4b1bceaeaccd34a3797.png) |
(1.3) |
A P pontban megkapjuk az indukciós tér nagyságát, ha kiintegrálunk az egész körre, azaz helyett 
– t helyettesítünk be:
![\[B = \frac {\mu_o}{2} \frac {Ia^2} {\left[a^2+x^2 \right]^{\frac32}} \qquad {\rm illetve} \qquad \vec B = \frac {\mu_o}{2\pi} \frac {\vec {\mu}} {\left[a^2+x^2 \right]^{\frac32}} \]](/images/math/0/7/0/0705f2dcb4cc3cf726c7f4fba34656d6.png) |
(1.4) |
ahol kihasználtuk, hogy a körvezető mágneses momentuma 
. Ebből az eredményből egyrészt következik, hogy a körvezető középpontjában az indukciós tér nagysága:
