„Termoelektromos jelenségek” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
(Termofeszültség számolása (Seebeck-effektus))
(Termofeszültség számolása (Seebeck-effektus))
26. sor: 26. sor:
 
Ezen Sommerfeld-sorfejtés alapját az képezi, hogy az $f(\varepsilon,\mu,T)$ függvényt $f(\varepsilon,\mu,T=0)+\Delta f$ alakban közelítjük, ahol a $\Delta f=f(\varepsilon,\mu,T)-f(\varepsilon,\mu,T=0)$ függvényt a 2. ábra szemlélteti. A Sommerfeld-sorfejtés első tagja a zérus hőmérsékletű Fermi-függvénnyel, azaz $\varepsilon=\mu$-nél zérussá váló lépcsőfügvénnyel vett integrál. A második tag  $(\int H(\varepsilon)\Delta f)$ energiafüggetlen $H$ esetén értelemszerűen zérust ad (lásd 2. ábra), így ezen integrál első rendben $H'(\mu)$-vel arányos. A 2. ábra alpján a $(kT)^2$ függés is indokolható.     
 
Ezen Sommerfeld-sorfejtés alapját az képezi, hogy az $f(\varepsilon,\mu,T)$ függvényt $f(\varepsilon,\mu,T=0)+\Delta f$ alakban közelítjük, ahol a $\Delta f=f(\varepsilon,\mu,T)-f(\varepsilon,\mu,T=0)$ függvényt a 2. ábra szemlélteti. A Sommerfeld-sorfejtés első tagja a zérus hőmérsékletű Fermi-függvénnyel, azaz $\varepsilon=\mu$-nél zérussá váló lépcsőfügvénnyel vett integrál. A második tag  $(\int H(\varepsilon)\Delta f)$ energiafüggetlen $H$ esetén értelemszerűen zérust ad (lásd 2. ábra), így ezen integrál első rendben $H'(\mu)$-vel arányos. A 2. ábra alpján a $(kT)^2$ függés is indokolható.     
  
A Sommerfelf-sorfejtés alapján:  
+
A Sommerfeld-sorfejtés alapján:  
 
$$I=\frac{2 e}{h} \cdot \int \mathcal{T(\varepsilon)}\cdot \left[f_1(\varepsilon,\mu_1,T_1)-f_2(\varepsilon,\mu_2,T_2)\right]\mathrm{d}\varepsilon\approx\frac{2 e}{h} \cdot \int_{\mu_2}^{\mu_1} \mathcal{T}(\varepsilon)\,\mathrm{d}\varepsilon +\frac{2 e}{h}\frac{\pi^2}{6}(kT_1)^2 \mathcal{T}^\prime(\mu_1)-\frac{2 e}{h}\frac{\pi^2}{6}(kT_2)^2 \mathcal{T}^\prime(\mu_2).$$
 
$$I=\frac{2 e}{h} \cdot \int \mathcal{T(\varepsilon)}\cdot \left[f_1(\varepsilon,\mu_1,T_1)-f_2(\varepsilon,\mu_2,T_2)\right]\mathrm{d}\varepsilon\approx\frac{2 e}{h} \cdot \int_{\mu_2}^{\mu_1} \mathcal{T}(\varepsilon)\,\mathrm{d}\varepsilon +\frac{2 e}{h}\frac{\pi^2}{6}(kT_1)^2 \mathcal{T}^\prime(\mu_1)-\frac{2 e}{h}\frac{\pi^2}{6}(kT_2)^2 \mathcal{T}^\prime(\mu_2).$$
Ha $\mathcal{T}$ energiafüggését csak lineáris renben tekintjük, $\mathcal{T}^\prime(\mu_2)=\mathcal{T}^\prime(\mu_1)$, így  
+
Ha $\mathcal{T}$ energiafüggését csak lineáris rendben tekintjük, $\mathcal{T}^\prime(\mu_2)=\mathcal{T}^\prime(\mu_1)$, így  
$$I\approx \frac{2 e}{h} \cdot eV \cdot\bar{\mathcal{T}}(\varepsilon)+\frac{2 e}{h}\frac{\pi^2 k^2}{3}\cdot\Delta T\cdot T \cdot\mathcal{T}^\prime(\mu)$$, ahol $\Delta T=T_1-T_2$, T=(T_1+T_2)/2$, $mu=(\mu_1+\mu_2)/2$, $\bar{\mathcal{T}}$ pedig a transzmissziós valószínűség átlaga $\mu_1$ és \\mu_2$ között.
+
$$I\approx \frac{2 e}{h} \cdot eV \cdot\bar{\mathcal{T}}(\varepsilon)+\frac{2 e}{h}\frac{\pi^2 k^2}{3}\cdot\Delta T\cdot T \cdot\mathcal{T}^\prime(\mu),$$
 +
ahol $\Delta T=T_1-T_2$, $T=(T_1+T_2)/2$, $mu=(\mu_1+\mu_2)/2$, $\bar{\mathcal{T}}$ pedig a transzmissziós valószínűség átlaga $\mu_1$ és $mu_2$ között.
  
 
$$V \big|_{I=0}=\underbrace{-\frac{\pi^2 k^2 T}{3e}\cdot \frac{1}{\mathcal{T}}\frac{\partial \mathcal{T}(\varepsilon )}{\partial \varepsilon} \bigg|_{\mu}}_{S} \cdot \Delta T$$
 
$$V \big|_{I=0}=\underbrace{-\frac{\pi^2 k^2 T}{3e}\cdot \frac{1}{\mathcal{T}}\frac{\partial \mathcal{T}(\varepsilon )}{\partial \varepsilon} \bigg|_{\mu}}_{S} \cdot \Delta T$$
 
</wlatex>
 
</wlatex>
 +
 
==Hővezetőképesség, Wiedemann-Franz törvény==
 
==Hővezetőképesség, Wiedemann-Franz törvény==
 
<wlatex>
 
<wlatex>

A lap 2018. február 22., 22:46-kori változata


A Landauer-formula tárgyalásakor láttuk, hogy egy elektródából egy egycsatornás nanovezetékbe folyó áram az elektróda Fermi-függvényének energia szerinti integrálja szerint származtatható:

\[\frac{2}{L} \sum (-e) \cdot v_k \cdot f(\varepsilon_k) =  -\frac{2}{h}\int e\cdot f(\varepsilon)\,\mathrm{d} \varepsilon \rightarrow I.\]

Ha egy \setbox0\hbox{$\mathcal{T}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% transzmissziós valószínűségű szórócentrumot tartalmazó egycsatornás nanovezeték elektródái közé \setbox0\hbox{$V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% feszültséget kapcsolunk, a nanovezetékben

\[I=\frac{2 e}{h} \cdot \int \mathcal{T}\cdot [f_1(\varepsilon)-f_2(\varepsilon)]\mathrm{d}\varepsilon\]
áram folyik, mely alapján \setbox0\hbox{$G=(2e^2/h)\cdot\mathcal{T}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% vezetőképességet kapunk. A következőkben azt vizsgáljuk meg, hogy mi történik, ha elektródáknak nem csak a kémiai potenciálja tér el, hanem a hőmérsékletük is különböző lehet (1. ábra).
Termoelectric1.png
1. ábra. Különböző kémiai potenciálú és hőmérsékletű elektródák közötti \setbox0\hbox{$\mathcal{T}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% átmeneti valószínűségű szórócentrummal rendelkező egycsatornás nanovezeték elektromos és hőtranszport tulajdonságaira vagyunk kíváncsiak

Az elektromos áramot hasonlóan számíthatjuk az elektródák kémiai potenciál és hőmérsékletfüggő Fermi-függvényei segítségével:

\[I=\frac{2 e}{h} \cdot \int \mathcal{T(\varepsilon)}\cdot \left[f_1(\varepsilon,\mu_1,T_1)-f_2(\varepsilon,\mu_2,T_2)\right]\mathrm{d}\varepsilon\]

A termodinamikából ismert \setbox0\hbox{$dQ=dE-\mu dN$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% összefüggés alapján hasonlóan származtatható az elektródából a nanovezetékbe folyó \setbox0\hbox{$I_Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hőáram is:

\[\frac{2}{L} \sum (\varepsilon_k-\mu) \cdot v_k \cdot f(\varepsilon_k) =  \frac{2}{h}\int (\varepsilon-\mu) \cdot f(\varepsilon)\,\mathrm{d} \varepsilon \rightarrow I_Q,\]

illetve ennek megfelelően a két elektróda között folyó hőáram \setbox0\hbox{$\mathcal{T}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% transzmissziós valószínűség esetén:

\[I_Q=\frac{2}{h} \cdot \int \mathcal{T(\varepsilon)}\cdot (\varepsilon-\mu_1)\cdot \left[f_1(\varepsilon,\mu_1,T_1)-f_2(\varepsilon,\mu_2,T_2)\right]\mathrm{d}\varepsilon.\]

Itt fontos megjegyezni, hogy ha az első elektródából/elektródába folyó hőáramot számítjuk, akkor a fenti képletben \setbox0\hbox{$(\varepsilon-\mu_1)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szerepel. Ugyanígy számíthatnánk a 2. elektródából/elektródába folyó hőáramot, ekkor az energia szerinti integrálban \setbox0\hbox{$(\varepsilon-\mu_2)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szorzófaktor szerepelne. Mivel ez a két számolás ugyanakkora hőáramot kell hogy adjon, így a kétféle számolás szükségszerűen ugyanarra az eredményre vezet.

A fentiek alapján az elektromos vezetőképesség számolását (Landauer-formula) kiegészítve kiszámolhatjuk az 1. ábrán látható rendszer hővezetőképsségét, illettve Seebeck- és Peltier-együtthatóját is.

Termofeszültség számolása (Seebeck-effektus)


Számoljuk ki az 1. ábrán szereplő rendszerre az elektromos áramot a két elektróda eltérő hőmérséklete esetén! Ehhez hívjuk segítségül a szilárdtestfizika alapjai tárgyban már megismert Sommerfeld-sorfejtést, melynek segítségével egy tetszőleges energiafüggő mennyiség Fermi-fügvénnyel vett szorzatának integrálja közelíthető:

\[\int_{-\infty}^\infty H(\varepsilon)\cdot f(\varepsilon,\mu,T)\,\mathrm{d}\varepsilon = \int_{-\infty}^\mu H(\varepsilon)\,\mathrm{d}\varepsilon + \frac{\pi^2}{6}(kT)^2 H^\prime(\mu) + \mathrm{O} \left(\frac{kT}{\mu}\right)^4.\]

Ezen Sommerfeld-sorfejtés alapját az képezi, hogy az \setbox0\hbox{$f(\varepsilon,\mu,T)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvényt \setbox0\hbox{$f(\varepsilon,\mu,T=0)+\Delta f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% alakban közelítjük, ahol a \setbox0\hbox{$\Delta f=f(\varepsilon,\mu,T)-f(\varepsilon,\mu,T=0)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvényt a 2. ábra szemlélteti. A Sommerfeld-sorfejtés első tagja a zérus hőmérsékletű Fermi-függvénnyel, azaz \setbox0\hbox{$\varepsilon=\mu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-nél zérussá váló lépcsőfügvénnyel vett integrál. A második tag \setbox0\hbox{$(\int H(\varepsilon)\Delta f)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% energiafüggetlen \setbox0\hbox{$H$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% esetén értelemszerűen zérust ad (lásd 2. ábra), így ezen integrál első rendben \setbox0\hbox{$H'(\mu)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-vel arányos. A 2. ábra alpján a \setbox0\hbox{$(kT)^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függés is indokolható.

A Sommerfeld-sorfejtés alapján:

\[I=\frac{2 e}{h} \cdot \int \mathcal{T(\varepsilon)}\cdot \left[f_1(\varepsilon,\mu_1,T_1)-f_2(\varepsilon,\mu_2,T_2)\right]\mathrm{d}\varepsilon\approx\frac{2 e}{h} \cdot \int_{\mu_2}^{\mu_1} \mathcal{T}(\varepsilon)\,\mathrm{d}\varepsilon +\frac{2 e}{h}\frac{\pi^2}{6}(kT_1)^2 \mathcal{T}^\prime(\mu_1)-\frac{2 e}{h}\frac{\pi^2}{6}(kT_2)^2 \mathcal{T}^\prime(\mu_2).\]

Ha \setbox0\hbox{$\mathcal{T}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% energiafüggését csak lineáris rendben tekintjük, \setbox0\hbox{$\mathcal{T}^\prime(\mu_2)=\mathcal{T}^\prime(\mu_1)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, így

\[I\approx \frac{2 e}{h} \cdot eV \cdot\bar{\mathcal{T}}(\varepsilon)+\frac{2 e}{h}\frac{\pi^2 k^2}{3}\cdot\Delta T\cdot T \cdot\mathcal{T}^\prime(\mu),\]

ahol \setbox0\hbox{$\Delta T=T_1-T_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$T=(T_1+T_2)/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$mu=(\mu_1+\mu_2)/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$\bar{\mathcal{T}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pedig a transzmissziós valószínűség átlaga \setbox0\hbox{$\mu_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$mu_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% között.

\[V \big|_{I=0}=\underbrace{-\frac{\pi^2 k^2 T}{3e}\cdot \frac{1}{\mathcal{T}}\frac{\partial \mathcal{T}(\varepsilon )}{\partial \varepsilon} \bigg|_{\mu}}_{S} \cdot \Delta T\]

Hővezetőképesség, Wiedemann-Franz törvény


\[\frac{2}{L} \sum (-e) \cdot v_k \cdot f(\varepsilon_k) =  -\frac{2}{h}\int e\cdot f(\varepsilon)\,\mathrm{d} \varepsilon \rightarrow I\]


\[\frac{2}{L} \sum \varepsilon_k \cdot v_k \cdot f(\varepsilon_k) =  \frac{2}{h}\int \varepsilon \cdot f(\varepsilon)\,\mathrm{d} \varepsilon \rightarrow I_\varepsilon\]
\[\frac{2}{L} \sum (\varepsilon_k-\mu) \cdot v_k \cdot f(\varepsilon_k) =  \frac{2}{h}\int (\varepsilon-\mu) \cdot f(\varepsilon)\,\mathrm{d} \varepsilon \rightarrow I_Q\]
\[I_Q=\frac{2}{h} \cdot \int \mathcal{T(\varepsilon)}\cdot (\varepsilon-\mu_1)\cdot \left[f_1(\varepsilon,\mu_1,T_1)-f_2(\varepsilon,\mu_2,T_2)\right]\mathrm{d}\varepsilon\]
\[I_Q\approx\frac{2}{h}\frac{\pi^2}{6}(kT_1)^2\cdot\mathcal{T}(\mu) -\frac{2}{h}\frac{\pi^2}{6}(kT_2)^2\cdot \mathcal{T}(\mu) =\frac{2}{h}\frac{\pi^2 k^2}{3}\cdot\Delta T\cdot T \cdot \mathcal{T}(\mu)\]
\[I=G\cdot V;\ \ \ I_Q=G_Q \cdot \Delta T\]
\[\frac{G_Q}{G}=\mathcal{L}\cdot T;\ \ \ \mathcal{L}=\frac{\pi^2k^2}{3e^2}=2.44\times 10^{-8}\,\mathrm{W\,\Omega\,K^{-2}}\]
\[\frac{\kappa}{\sigma}=\mathcal{L}\cdot T\]


\[I_Q=\frac{2}{h} \cdot \int \mathcal{T(\varepsilon)}\cdot (\varepsilon-\mu_1)\cdot \left[f_1(\varepsilon,\mu_1,T)-f_2(\varepsilon,\mu_2,T)\right]\mathrm{d}\varepsilon\]


\[I_Q\approx\frac{2}{h} \cdot \underbrace{\int_{\mu_2}^{\mu_1} \mathcal{T}(\varepsilon)(\varepsilon-\mu_1)\,\mathrm{d}\varepsilon}_{\sim (eV)^2} +\frac{2}{h}\frac{\pi^2}{6}(kT)^2\left[\overbrace{\underbrace{\left(\mathcal{T}(\varepsilon)(\varepsilon-\mu_1)\right)^\prime |_{\mu_1}}_{\mathcal{T}(\mu_1)}- \underbrace{\left(\mathcal{T}(\varepsilon)(\varepsilon-\mu_1)\right)^\prime|_{\mu_2}}_{\mathcal{T}^\prime (\mu_2)(\mu_2-\mu_1)+\mathcal{T}(\mu_2)}}^{2\mathcal{T}^\prime (\mu)\cdot eV}\right]\]
\[I_Q\approx \frac{2e}{h}\frac{\pi^2 k^2 T^2}{3}\cdot \frac{\partial \mathcal{T}(\varepsilon)}{\partial \varepsilon}\bigg|_\mu \cdot V\]
\[I= -\frac{2e^2}{h}\mathcal{T}\cdot V\]
\[\frac{I_Q}{I}\bigg|_{T_1=T_2}\approx -\frac{\pi^2 k^2 T^2}{3e}\cdot \frac{1}{\mathcal{T}}\frac{\partial \mathcal{T}(\varepsilon)}{\partial \varepsilon}\bigg|_\mu =\Pi=T\cdot S\]