„Termoelektromos jelenségek” változatai közötti eltérés
(→Termofeszültség számolása (Seebeck-effektus)) |
(→Termofeszültség számolása (Seebeck-effektus)) |
||
26. sor: | 26. sor: | ||
Ezen Sommerfeld-sorfejtés alapját az képezi, hogy az $f(\varepsilon,\mu,T)$ függvényt $f(\varepsilon,\mu,T=0)+\Delta f$ alakban közelítjük, ahol a $\Delta f=f(\varepsilon,\mu,T)-f(\varepsilon,\mu,T=0)$ függvényt a 2. ábra szemlélteti. A Sommerfeld-sorfejtés első tagja a zérus hőmérsékletű Fermi-függvénnyel, azaz $\varepsilon=\mu$-nél zérussá váló lépcsőfügvénnyel vett integrál. A második tag $(\int H(\varepsilon)\Delta f)$ energiafüggetlen $H$ esetén értelemszerűen zérust ad (lásd 2. ábra), így ezen integrál első rendben $H'(\mu)$-vel arányos. A 2. ábra alpján a $(kT)^2$ függés is indokolható. | Ezen Sommerfeld-sorfejtés alapját az képezi, hogy az $f(\varepsilon,\mu,T)$ függvényt $f(\varepsilon,\mu,T=0)+\Delta f$ alakban közelítjük, ahol a $\Delta f=f(\varepsilon,\mu,T)-f(\varepsilon,\mu,T=0)$ függvényt a 2. ábra szemlélteti. A Sommerfeld-sorfejtés első tagja a zérus hőmérsékletű Fermi-függvénnyel, azaz $\varepsilon=\mu$-nél zérussá váló lépcsőfügvénnyel vett integrál. A második tag $(\int H(\varepsilon)\Delta f)$ energiafüggetlen $H$ esetén értelemszerűen zérust ad (lásd 2. ábra), így ezen integrál első rendben $H'(\mu)$-vel arányos. A 2. ábra alpján a $(kT)^2$ függés is indokolható. | ||
− | A | + | A Sommerfeld-sorfejtés alapján: |
$$I=\frac{2 e}{h} \cdot \int \mathcal{T(\varepsilon)}\cdot \left[f_1(\varepsilon,\mu_1,T_1)-f_2(\varepsilon,\mu_2,T_2)\right]\mathrm{d}\varepsilon\approx\frac{2 e}{h} \cdot \int_{\mu_2}^{\mu_1} \mathcal{T}(\varepsilon)\,\mathrm{d}\varepsilon +\frac{2 e}{h}\frac{\pi^2}{6}(kT_1)^2 \mathcal{T}^\prime(\mu_1)-\frac{2 e}{h}\frac{\pi^2}{6}(kT_2)^2 \mathcal{T}^\prime(\mu_2).$$ | $$I=\frac{2 e}{h} \cdot \int \mathcal{T(\varepsilon)}\cdot \left[f_1(\varepsilon,\mu_1,T_1)-f_2(\varepsilon,\mu_2,T_2)\right]\mathrm{d}\varepsilon\approx\frac{2 e}{h} \cdot \int_{\mu_2}^{\mu_1} \mathcal{T}(\varepsilon)\,\mathrm{d}\varepsilon +\frac{2 e}{h}\frac{\pi^2}{6}(kT_1)^2 \mathcal{T}^\prime(\mu_1)-\frac{2 e}{h}\frac{\pi^2}{6}(kT_2)^2 \mathcal{T}^\prime(\mu_2).$$ | ||
− | Ha $\mathcal{T}$ energiafüggését csak lineáris | + | Ha $\mathcal{T}$ energiafüggését csak lineáris rendben tekintjük, $\mathcal{T}^\prime(\mu_2)=\mathcal{T}^\prime(\mu_1)$, így |
− | $$I\approx \frac{2 e}{h} \cdot eV \cdot\bar{\mathcal{T}}(\varepsilon)+\frac{2 e}{h}\frac{\pi^2 k^2}{3}\cdot\Delta T\cdot T \cdot\mathcal{T}^\prime(\mu)$$ | + | $$I\approx \frac{2 e}{h} \cdot eV \cdot\bar{\mathcal{T}}(\varepsilon)+\frac{2 e}{h}\frac{\pi^2 k^2}{3}\cdot\Delta T\cdot T \cdot\mathcal{T}^\prime(\mu),$$ |
+ | ahol $\Delta T=T_1-T_2$, $T=(T_1+T_2)/2$, $mu=(\mu_1+\mu_2)/2$, $\bar{\mathcal{T}}$ pedig a transzmissziós valószínűség átlaga $\mu_1$ és $mu_2$ között. | ||
$$V \big|_{I=0}=\underbrace{-\frac{\pi^2 k^2 T}{3e}\cdot \frac{1}{\mathcal{T}}\frac{\partial \mathcal{T}(\varepsilon )}{\partial \varepsilon} \bigg|_{\mu}}_{S} \cdot \Delta T$$ | $$V \big|_{I=0}=\underbrace{-\frac{\pi^2 k^2 T}{3e}\cdot \frac{1}{\mathcal{T}}\frac{\partial \mathcal{T}(\varepsilon )}{\partial \varepsilon} \bigg|_{\mu}}_{S} \cdot \Delta T$$ | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
+ | |||
==Hővezetőképesség, Wiedemann-Franz törvény== | ==Hővezetőképesség, Wiedemann-Franz törvény== | ||
<wlatex> | <wlatex> |
A lap 2018. február 22., 22:46-kori változata
A Landauer-formula tárgyalásakor láttuk, hogy egy elektródából egy egycsatornás nanovezetékbe folyó áram az elektróda Fermi-függvényének energia szerinti integrálja szerint származtatható:
Ha egy transzmissziós valószínűségű szórócentrumot tartalmazó egycsatornás nanovezeték elektródái közé feszültséget kapcsolunk, a nanovezetékben
áram folyik, mely alapján vezetőképességet kapunk. A következőkben azt vizsgáljuk meg, hogy mi történik, ha elektródáknak nem csak a kémiai potenciálja tér el, hanem a hőmérsékletük is különböző lehet (1. ábra).1. ábra. Különböző kémiai potenciálú és hőmérsékletű elektródák közötti átmeneti valószínűségű szórócentrummal rendelkező egycsatornás nanovezeték elektromos és hőtranszport tulajdonságaira vagyunk kíváncsiak |
Az elektromos áramot hasonlóan számíthatjuk az elektródák kémiai potenciál és hőmérsékletfüggő Fermi-függvényei segítségével:
A termodinamikából ismert összefüggés alapján hasonlóan származtatható az elektródából a nanovezetékbe folyó hőáram is:
illetve ennek megfelelően a két elektróda között folyó hőáram transzmissziós valószínűség esetén:
Itt fontos megjegyezni, hogy ha az első elektródából/elektródába folyó hőáramot számítjuk, akkor a fenti képletben szerepel. Ugyanígy számíthatnánk a 2. elektródából/elektródába folyó hőáramot, ekkor az energia szerinti integrálban szorzófaktor szerepelne. Mivel ez a két számolás ugyanakkora hőáramot kell hogy adjon, így a kétféle számolás szükségszerűen ugyanarra az eredményre vezet.
A fentiek alapján az elektromos vezetőképesség számolását (Landauer-formula) kiegészítve kiszámolhatjuk az 1. ábrán látható rendszer hővezetőképsségét, illettve Seebeck- és Peltier-együtthatóját is.
Termofeszültség számolása (Seebeck-effektus)
Számoljuk ki az 1. ábrán szereplő rendszerre az elektromos áramot a két elektróda eltérő hőmérséklete esetén! Ehhez hívjuk segítségül a szilárdtestfizika alapjai tárgyban már megismert Sommerfeld-sorfejtést, melynek segítségével egy tetszőleges energiafüggő mennyiség Fermi-fügvénnyel vett szorzatának integrálja közelíthető:
Ezen Sommerfeld-sorfejtés alapját az képezi, hogy az függvényt alakban közelítjük, ahol a függvényt a 2. ábra szemlélteti. A Sommerfeld-sorfejtés első tagja a zérus hőmérsékletű Fermi-függvénnyel, azaz -nél zérussá váló lépcsőfügvénnyel vett integrál. A második tag energiafüggetlen esetén értelemszerűen zérust ad (lásd 2. ábra), így ezen integrál első rendben -vel arányos. A 2. ábra alpján a függés is indokolható.
A Sommerfeld-sorfejtés alapján:
Ha energiafüggését csak lineáris rendben tekintjük, , így
ahol , , , pedig a transzmissziós valószínűség átlaga és között.
Hővezetőképesség, Wiedemann-Franz törvény