„Mozgás és megjelenítése” változatai közötti eltérés

A lap 2011. február 9., 08:40-kori változata (lapforrás) FiziSysop (vitalap | szerkesztései) (Új oldal, tartalma: „<wlatex> Történelmünk során a helymeghatározás (navigáció) mindvégig a sikeres kereskedés és a felfedezések egyik fontos kelléke volt. A fejlődést jól pél…”)		A lap 2011. február 9., 08:48-kori változata (lapforrás) FiziSysop (vitalap | szerkesztései) Újabb szerkesztés →
1. sor:		1. sor:
	<wlatex>		<wlatex>
−	Történelmünk során a helymeghatározás (navigáció) mindvégig a sikeres kereskedés és a felfedezések egyik fontos kelléke volt. A fejlődést jól példázza, hogy míg Kolumbusz Kristóf egy hosszas és bizonytalan út során India helyett egy új földrészre jutott el, addig napjainkban bárki vásárolhat GPS készüléket, amellyel néhány méteres pontossággal meghatározhatja a helyét bárhol a Földön. A GPS rendszer jól példázza, hogy hogyan lehet széleskörű természettudományos ismeretek felhasználásával egy informatikai csúcsteljesítményt létrehozni, hiszen e hétköznapi eszköz működéséhez az idő ns-os pontosságú mérésétől, relativisztikus korrekciók figyelembevételén keresztül a koordináták bonyolult geometriai meghatározásáig számos fizikai és matematikai ismeretre van szükség. Az idő és távolság fogalma és mérési módszerei, illetve a különböző koordinátarendszerek a természettudományos ismereteik kiindulópontjai, melyek ismerete a mindennapi mérnöki gyakorlatban is elengedhetetlen fontosságú.	+	Minden mozog körülöttünk. Vajon mi lehet a mozgások oka, milyen természettörvények írják le a mozgásokat? „Már a régi görögök is” sokat gondolkoztak ezen, mégis mintegy 2000 évnek kellett eltelnie, mire – Newton munkásságának köszönhetően – pontos választ kaphattunk ezekre a kérdésekre. Newton törvényeinek ismerete elengedhetetlen a környező világ mozgásainak megértéséhez a bolygómozgásoktól kezdve a biliárdgolyókon keresztül egészen az atomi felbontású alagútmikroszkóp piezo mozgatójáig. A mozgásegyenletek megoldásában sokat segíthet a számítógép. Ugyanakkor a számítógépes animációk is csak akkor élethűek, ha tükrözik ezeket a szabályszerűségeket.
	__TOC__		__TOC__
−	==Időmérés==	+	==Az erő==
−	===Természetes periódusok===	+	===Deformáció és mozgásállapot-változás===
−	Az ember érzékeli az idő múlását, és meg tudja becsülni az eltelt időt. De az idő egészen másképp telik, ha unatkozunk, várunk valakit, vagy ha jól érezzük magunkat.	+	A hétköznapi tapasztalat alapján könnyen arra a téves megállapításra juthatunk, amit az ókori gondolkodók is vallottak, hogy egy test mozgásának a fenntartásához külső hatás szükséges: ahhoz, hogy vízszintes talajon egyenletes sebességgel biciklizzünk, folyamatosan tekerni kell, különben a bicikli előbb-utóbb megáll. A jelenség részletesebb vizsgálatával azonban rájöhetünk, hogy a biciklire rajtunk kívül más is hat (például a légellenállás vagy a gördülési ellenállás) és nekünk éppen azért kell tekernünk, hogy ezeket a hatásokat kiegyenlítsük. Ha egy testet minden más test hatásától mentesen (például a világűrben, az égitestektől távol) magára hagyunk, akkor a kezdeti sebességét megtartva egyenes vonalú egyenletes mozgással fog mozogni.
−	Az idő objektív mérését az őskor óta különböző természetes periódusok segítették. Ilyen elsősorban a nap (a nappalok és éjszakák változása), a hónap (a Hold fázisainak változása) és az év (az évszakok változása). De ezen kívül is rengeteg periodikus jelenség használható időmérésre: az atomi rezgések 10<math>^{-10}</math> másodperces periódusidejétől a Föld tengelyének ~ 25-ezer éves periódusáig.	+
−	A hétköznapi életben és a tudományban is használt időegység, a [http://en.wikipedia.org/wiki/Second másodperc] (ami körülbelül két szívverés közt eltelt időtartam) ókori eredetű: a napot kétszer 12 részre osztott része az óra, ennek 60-ad része a perc, és a perc 60-ad része a másodperc. (A 12-részre osztás az év 12 hónapra való osztásának analógiájára történt, a 60-as szám a babilóniai számrendszerből ered.)	+	A [http://en.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton newtoni] dinamika alapvető állítása, hogy nem a mozgás fenntartásához, hanem a mozgásállapot megváltoztatásához van szükség külső hatásra. Ez a külső hatás az [http://en.wikipedia.org/wiki/Force erő]. A testet érő hatásnak a nagysága és az iránya is fontos: az erő vektoriális mennyiség.
−	De a másodperc pontos meghatározásához tudnunk kell, hogy pontosan milyen hosszú egy nap.	+	A testre ható erő azonban nem csak a test mozgásállapotát változtatja meg, hanem a testet kisebb-nagyobb mértékben deformálja is. A test alakváltozása (deformációja) lehetőséget ad az erő egyszerű mérésére.
−	===Milyen hosszú egy nap?===	+	===Erőmérés===
−	[[Fájl:1001_Nap-nap.jpg|bélyegkép|200px|1. ábra]]	+	A testre ható erő és a test deformációja között általában nagyon bonyolult a kapcsolat. Az erő méréséhez leginkább rugalmas testek aránylag kismértékű alakváltozása alkalmas. Rugalmas testet azért célszerű választani, mert az az erőhatás megszűntével újra felveszi eredeti alakját. Ezen kívül legtöbb rugalmas test deformációja a tapasztalat szerint aránylag kis alakváltozás esetén lineárisan változik az erőhatással.
−	Egy nap hossza a Nap delelésétől a következő delelésig eltelt idő. Ez az idő viszont az év során szabályosan változik, tehát a Nap két delelése között nem mindig ugyanannyi idő telik el!	+	Ilyen erőmérő eszköz az egyszerű rúgós erőmérő is, de a mérni kívánt erő nagyságától, a mérés pontosságától függően sokféle ilyen elven működő eszköz készíthető.
−	A Föld – első közelítésben – egyenletesen forog az állócsillagokhoz képest. Ennek periódusa 23<math>^h</math> 56' 4" (csillag-nap). Ugyanakkor a Nap két delelése között ennél hosszabb idő telik el, mert 1 nap alatt a Föld átlagosan majdnem 1°-ot elmozdul a Nap körül, ezért ennyivel többet is kell forognia, hogy a Nap újra deleljen (1. ábra).  Ebből adódik átlagosan az a 3' 56", ami a csillagnapot 24 órára (átlagos Nap-nap) kiegészíti. Azért csak átlagosan, mert a Föld ellipszis pályája és tengelyferdesége miatt ez az idő, és így a napok valódi hossza néhány másodperccel ingadozik. Az óráink persze egyenletesen járnak, a néhány másodperces napi eltérések összeadódnak, és így a Nap delelése egy adott helyen az év folyamán kb. ±15 perccel ingadozik. Ezt az ingadozást adja meg az úgynevezett [http://en.wikipedia.org/wiki/Equation_of_time időegyenlet] – ami valójában egy függvény.	+	===Newton III. törvénye===
		+	Az erő mindig két test közötti kölcsönhatás. Ha egy A test hat egy másik, B testre, akkor a B test is hatni fog az A testre. A tapasztalat szerint a két erő azonos nagyságú, de ellentétes irányú. Ezt a tapasztalatot fogalmazza meg Newton III. törvénye (hatás-ellenhatás törvénye): $$\vec{F}_{\rm AB}=-\vec{F}_{\rm BA}$$
		+	[[#Tehetetlenségi erő| Később]] (a jelenségek egyszerűbb leírása érdekében) be fogunk vezetni fiktív (nem valóságos) erőket, melyek nem kölcsönhatások. Egy testre ható valódi erő esetében azonban mindig meg lehet találni azt a másik testet, amely hat rá.
−	Az ellipszis pálya hatása: Az ellipszis pályán a Föld napközelben nagyobb szögsebességgel halad, mint naptávolban, ezért napközelben többet kell forognia a Földnek, és így hosszabb a Nap-nap, mint naptávolban.	+	==Newton II. törvénye==
		+	===A tehetetlen tömeg===
		+	Egy test a rá ható erő hatására megváltoztatja mozgásállapotát, azaz meg fog változni a sebessége (a sebesség nagysága, iránya vagy nagysága és iránya). A tapasztalat szerint a test gyorsulása arányos a testre ható erő nagyságával: $$a \sim F\qquad{\rm vagy}\qquad\frac{F}{a}={\rm const.}$$
		+	Az arányossági tényező a testre jellemző állandó. Minél nagyobb ez az állandó, annál kevésbé változtatja meg a mozgásállapotát egy adott erő hatására a test, annál nehezebb elindítani (vagy megállítani), annál „tehetetlenebb”. A testre ható erő és a hatására létrejövő gyorsulás hányadosa a test tehetetlen [http://en.wikipedia.org/wiki/Mass tömege]. $$\frac{F}{a}=m$$
		+	A tapasztalat szerint a gyorsulás iránya megegyezik az erő irányával. Ezt is figyelembe véve felírható a testre ható erő, a test tömege és gyorsulás közötti kapcsolat. Ez Newton II. törvénye (a dinamika alapegyenlete): $$\vec{F}=m\vec{a}$$
		+	Egy testre általában nem csak egy erő hat. A testre ható $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \dots$ erők külön-külön $\vec{a}_1, \vec{a}_2, \dots$ gyorsulásokat okoznának. Ha az erők egyszerre hatnak a testre, akkor a test gyorsulása ezeknek a gyorsulásoknak az összege lesz, tehát az erők egymástól függetlenül hatnak (erőhatások függetlenségének elve, szokás Newton IV. törvényének is nevezni): $$\vec{a}=\vec{a}_1+\vec{a}_2+\dots=\frac{\vec{F}_1}{m}+\frac{\vec{F}_2}{m}+\dots=\frac{\Sigma\vec{F}}{m}$$
−	A tengelyferdeség hatása: Ha a Föld körpályán mozogna a Nap körül, akkor se lennének egyforma hosszúak a napok a tengelyferdeség miatt. A Nap az ekliptikán mozogna csak egyenletesen, ennek vetülete az egyenlítő síkjára viszont már nem egyenletes.	+	===A tömeg és az erő mértékegysége===
		+	A tömeg SI mértékegysége a [http://en.wikipedia.org/wiki/Kilogram kilogramm] (kg). Ezt a mértékegységet még nem vezették vissza alapvető természeti állandókra. Eredeti meghatározása szerint 1 dm<math>^3</math> 4°C-os víz tömege, 1889 óta pedig 1 kg a kilogramm etalon (egy Párizs közelében őrzött platina-irídium henger) tömege. A mértékegység másik zavaró furcsasága, hogy az SI alapegység történeti okokból kilo- [http://en.wikipedia.org/wiki/SI_prefix előtagot] tartalmaz.
−	===A másodperc-etalon===	+	Az erő SI mértékegysége a [http://en.wikipedia.org/wiki/Newton_(unit) newton] (N). 1 N az az erő, ami egy 1 kg tömegű testet 1 m/s<math>^2</math> gyorsulással gyorsít. Az erő régebbi mértékegysége a kilopond (kp) volt, ami egy 1 kg tömegű test [[#Súly és súlytalanság|súlya]] (a 45° szélességen, tengerszinten).
−	A másodpercet tehát eredetileg az átlagos Nap-nap segítségével lehetett meghatározni, annak 1/86400-ad része. A Föld forgása azonban a távoli csillagokhoz képest se egyenletes: a Hold és a Nap árapály keltő hatása miatt folyamatosan lassul, különböző okokból pedig kisebb szabálytalan változásokat szenved. (Emiatt az óráink túl gyorsan járnak, a Föld forgását figyelő nemzetközi szervezet ([http://www.iers.org/ IERS]) ezt néhány évente [http://en.wikipedia.org/wiki/Leap_second szökőmásodperc] beiktatásával korrigálja.)	+
−	A méréstechnika fejlődése és a tudományos igények növekedése szükségessé tette a másodperc nagyobb pontosságú és a Föld forgásától független meghatározását. Erre atomi rezgések periódusidejének mérése ad lehetőséget. 1967 óta a másodperc definiálása a cézium [http://en.wikipedia.org/wiki/Atomic_clock atomóra] segítségével történik:	+	==Mechanikai erőhatások==
		+	===Nehézségi erő===
		+	A Földön minden testre hat a nehézségi erő, ami lényegében a Föld gravitációs vonzásából származik (de attól kicsit [[#Gravitációs erő és nehézségi erő|eltér]] a Föld forgása miatt). A nehézségi erő un. térfogati erő: a kiterjedt test minden pontjára hat. Feladatok megoldásánál azonban a testre ható nehézségi erőt egyetlen, a [http://en.wikipedia.org/wiki/Center_of_mass tömegközéppontban] ható erővel vesszük figyelembe. A nehézségi erő arányos a test tömegével: $\vec{F}_g=m\vec{g}$, ahol $g\approx$ 9,81 m/s<math>^2</math>, a Föld felszínének közelében csak kis mértékben változó nagyságú nehézségi gyorsulás. A nehézségi erő iránya definíciószerűen a függőleges irány (ami a forgás miatt nem pontosan a Föld középpontja felé mutat).
−	A másodperc az alapállapotú cézium-133 atom két hiperfinom energiaszintje közötti átmenetnek megfelelő sugárzás 9192631770 periódusának időtartama.	+	===Kényszererők===
		+	A testek mozgásuk során nem mozoghatnak szabadon: más testek kényszerfeltételeket szabhatnak a test mozgására. Ezek a kényszerek is erők formájában hatnak a testre, ezeket a különböző erőket nevezzük kényszererőknek.
−	==Távolságmérés==	+	Kiterjedt testek nem hatolhatnak akadálytalanul egymásba, ezért egy másik (merev) test felülete kényszerként megakadályozza a test szabad mozgását. A két test felülete közt ható erő a nyomóerő ($\vec{F}_n$). A nyomóerő mindig merőleges a felületre, nagyságát azonban a testre ható más erők és a test mozgása határozza meg.
−	===Természetes hosszegységek===	+
−	Kezdetben a kisebb hosszúságokat az emberi test részeihez hasonlították. Így alakult ki pl. a hüvelyk (inch, Zoll), a láb (foot), a yard (kb. egy lépés hossza). Nagyobb távolságokra a földmérés, hajózás gyakorlatából születtek távolságegységek (pl. mérföld). Ezek pontos értéke más-más volt különböző országokban, városokban, megnehezítve ezzel a hosszúságok egyértelmű megadását.	+
−	Érdekes megemlíteni, hogy már régebben is használtak olyan távolságegységeket, amelyek a távolságot idővel fejezik ki: ilyen a „napi járóföld” és később a fényév. Erre [[#Távolságmérés idővel|később]] visszatérünk.	+	Egy másik, gyakran előforduló kényszererő a fonálerő (kötélerő). Egy fonálra rögzített test mozgását korlátozza a fonál: a testre a többi erő és a test mozgásától függő nagyságú fonálirányú húzó erő hat.
−	===A méter eredeti definíciója===	+	===Súrlódás, közegellenállás===
−	A [http://en.wikipedia.org/wiki/Metre méter], a metrikus mértékegységrendszer névadója, ennek az összevisszaságnak a megszüntetésére született. A másodperchez hasonlóan a métert is először a Föld adataihoz kötötték: 1 méter a Föld kerületének (a Párizson átmenő délkörnek) 1/40000000-od része. Az ez alapján platina-irídium ötvözetből elkészített méter etalont Párizsban őrzik.	+	Két test érintkezésekor a felületre merőleges nyomóerőn kívül a felülettel párhuzamos erő is felléphet, ez a súrlódási erő ($\vec{F}_s$). Megkülönböztetünk nyugalmi (tapadási) és mozgási (csúszási) súrlódást.
−	A Föld kerületének mérése azonban nem a modern időkben kezdődött: [http://en.wikipedia.org/wiki/Eratosthenes Eratosthenes] már az időszámítás előtti III. században meglepősen pontos [http://en.wikipedia.org/wiki/Eratosthenes#Eratosthenes.27_measurement_of_the_earth.27s_circumference méréseket] végzett Egyiptomban.	+	A tapadási súrlódási erő két egymáshoz képest álló felület közt lép fel. Nagysága és iránya mindig olyan, hogy akadályozza a testek egymáshoz képesti elmozdulását. Nagysága azonban nem lehet tetszőlegesen nagy: $\vec{F}_s\leq\mu_0\vec{F}_n$, ahol $\vec{F}_n$ a felületen ható nyomóerő, $\mu_0$ pedig a felületek anyagától és minőségétől függő tapadási súrlódási együttható.
−	==A kinematika alapjai==	+	A csúszási súrlódási erő két egymáshoz képest mozgó felület között hat. Iránya mindig a relatív elmozdulással ellentétes irányú. Nagysága arányos a felületek közt ható nyomóerővel: $\vec{F}_s=\mu\vec{F}_n$, ahol $\mu$ a (szintén a felületek anyagától és minőségétől függő) csúszási súrlódási együttható. Általában $\mu\leq\mu_0$.
−	===A tömegpont helyének megadása az idő függvényében===	+
−	A kinematika a mozgás leírásával foglalkozik, a mozgás okainak vizsgálata nélkül. Egy valóságos test, például egy ember vagy a Föld légköre mozgásának leírása azonban így is nagyon bonyolult. A fogalmak, módszerek, összefüggések megismeréséhez egyszerűbb modelleket kell választanunk.	+
−	A legegyszerűbb modell a pontszerű test, vagy tömegpont. Ebben a modellben nem foglalkozunk a test alakjával, esetleges alakváltozásával, forgásával, hanem csak a pontszerűnek tekintett test haladó mozgásával. Ez a modell jól alkalmazható olyan mozgásokra, ahol a test mérete sokkal kisebb, mint az elmozdulások. Ez nem jelenti azt, hogy a test „kicsi”: például a Föld pontszerű testként kezelhető, ha a Nap körüli mozgását írjuk le.	+	A levegőben (gázokban) vagy folyadékban mozgó testekre ható fékező erő a [http://en.wikipedia.org/wiki/Drag_(physics) közegellenállás] ($\vec{F}_k$). Kis sebességeknél a fékező erőt a gáz (folyadék) és a test közti viszkózus súrlódás okozza, ilyenkor $F_k\sim v$. Nagyobb sebességeknél viszont a mozgó test mögött kialakuló örvények fékezik a testet, ekkor $F_k\sim v^2$. A légellenállás vizsgálatára egy konkrét feladat kapcsán [[#Szabadesés légellenállással|visszatérünk]].
−	Egy tömegpont mozgását egyértelműen leírjuk, ha megadjuk a helyét – egy kiválasztott kezdőpontból (origó) a tömegponthoz mutató $\vec{r}$ vektort – az idő ($t$) függvényében: $\vec{r}(t)$. A függvény általános esetben nagyon bonyolult lehet.	+	A relatív sebességgel ellentétes irányú fékező erőn kívül felléphetnek oldalirányú erők is, például a repülésben alapvetően fontos [http://en.wikipedia.org/wiki/Lift-induced_drag aerodinamikai felhajtóerő], vagy a forgó tárgyaknál fellépő [http://en.wikipedia.org/wiki/Magnus_effect Magnus-hatás].
−	A mozgás során a test által befutott pontok összessége a ''pálya''. Ez az a görbe, ami a test halad. Ha a pálya egy síkban van, akkor síkmozgásról beszélünk. Ezek közül a gyakorlatban kiemelkedően fontos a körmozgás, a bolygómozgás (ellipszis pálya) és a hajítások (parabola pálya). A legegyszerűbb pálya az egyenes: ilyen mozgás az egyenes vonalú egyenletes mozgás és az egyenes vonalú gyorsuló mozgás, de egyenes vonalú mozgások lehetnek a rezgések is.	+	==Newton II. törvénye a nanotechnológiában==
		+	===A tehetetlenségi piezo mozgató===
		+	[[Fájl:2001_piezo.jpg|bélyegkép|200px|1. ábra]]
		+	Látványos kísérlet, amit egy kis gyakorlással bárki megcsinálhat: úgy lehet kirántani egy abroszt a teríték alól, hogy a poharak, tányérok éppen csak megmozdulnak.
−	Az ''elmozdulás'' vektoriális mennyiség, a helyvektor megváltozása: $\Delta\vec{r}=\vec{r_2}-\vec{r_1}$.	+	A kísérlet alapja a testek tehetetlensége. Ha egy vízszintes tálcára poharakat állítunk, és a tálcát lassan (kis gyorsulással) mozgatni kezdjük, akkor a tapadási súrlódás miatt a poharak a tálcával együtt fognak mozogni. Ha viszont a tálcát hirtelen (nagy gyorsulással) mozgatjuk, akkor a poharak megcsúsznak, és tehetetlenségük miatt nem követik a tálca mozgását. Ha a tálcát kis kitéréssel, de aszimmetrikusan, az egyik irányban kis gyorsulással, a másik irányba nagy gyorsulással mozgatjuk, akkor elérhetjük, hogy a poharak a tálcán lassan vándoroljanak: egyik irányban a tálcával együtt mindig elmozdulnak egy kicsit, a másik irányban viszont megcsúsznak, és lényegében helyben maradnak.
−	Ezzel szemben az út ($s$) skaláris mennyiség, a test által a vizsgált idő alatt befutott pályadarab hossza. Nagyon kis elmozdulásoknál $\Delta s\approx|\Delta\vec{r}|$, infinitezimálisan ${\rm d}s=|{\rm d}\vec{r}|$, így a teljes utat az elemi utak összegzésével lehet meghatározni: $s\approx\sum |\Delta\vec{r}|\quad {\rm vagy}\quad s =\int\limits_1^2 |{\rm d} \vec{r}|$.	+	Ilyen elven működnek a gyárakban anyagok mozgatására használt rázócsúszdák (ahol megfelelő rezgetéssel akár gyengén felfelé is csúszhatnak a tárgyak), és ugyanezen az elven alapul a tehetetlenségi piezo mozgató, amivel apró tárgyakat akár több cm távolságra el lehet juttatni atomi (tized nm) pontossággal.
−	A vektorokkal való számításokra vissza fogunk térni a [[#Koordinátarendszerek|koordinátarendszereknél]].	+	A [http://en.wikipedia.org/wiki/Piezoelectricity piezo kristályok] a kristálylapokra kapcsolt feszültség hatására deformálódnak (deformáció hatására pedig feszültség keletkezik rajtuk). A feszültség finom szabályozásával a kristály szabad vége akár tized nm-es pontossággal mozgatható. Az ilyen elven működő különböző [http://en.wikipedia.org/wiki/Scanning_probe_microscopy pásztázó mikroszkópok] segítségével egy anyag felülete atomi felbontással letapogatható.
−	[[Fájl:1002_x-t_grafikon.jpg|bélyegkép|200px|2. ábra]]	+	A piezo kristály szabad vége azonban csak kis elmozdulásokra képes. Nagyobb (cm-es) távolságokra úgy lehet eljuttatni egy apró tárgyat, hogy a kristályra aszimmetrikus (fűrészfog alakú) feszültségjelet kapcsolnak. Így a tárgy az egyik irányban (kis gyorsulással) a súrlódás miatt a kristály végével együtt mozog, a másik irányban viszont megcsúszik a nagy gyorsulással mozgó kristályon, és lényegében helyben marad. Így a kristály (aszimmetrikus) rezgése hatására apró lépésekben egy irányba halad.
−	Egyenes vonalú (egydimenziós) mozgásoknál az elmozdulás is skalár függvény: $x(t)$. Ezt az elmozdulás-idő grafikonon szemléltethetjük (2. ábra).	+	==Valóságos mozgások modellezése==
		+	===Milyen hatásokat fontos figyelembe venni?===
		+	Feladatgyűjteményekben gyakran olvasható egy-egy feladat végén, hogy valamilyen hatás (pl. a súrlódás vagy a légellenállás) „elhanyagolható”.
−	A grafikonokról nem csak az egyes testek helye olvasható le az idő függvényében, hanem a mozgások egyéb jellemzői is. Ha a függvény nő, akkor a test a [[#Koordinátarendszerek|koordinátarendszerben]] pozitív irányban, „előre” mozog (1), ha csökken, akkor negatív irányban, „hátra” (2), ha pedig a függvény konstans, akkor a test áll (3).	+	A valóságban azonban egy fizikai folyamatot ''végtelen'' sok hatás befolyásol kisebb-nagyobb mértékben. (A hőmérséklet- és nyomásváltozásoktól az elektromos és mágneses hatásokon keresztül távoli testek gravitációs hatásáig.) Egy valódi probléma esetében ezért célszerűbb azt vizsgálni, hogy mi az a ''néhány'' hatás, amit a megoldáshoz mindenképp figyelembe kell venni. A súrlódás vagy a légellenállás nagyon sok mozgás esetében meghatározó, és a helyes megoldás érdekében annak ellenére figyelembe kell venni, hogy a megoldást bonyolultabbá teszi. (Mint [[#Szabadesés_légellenállással|látni fogjuk]] a numerikus módszereknek köszönhetően így sem válnak a feladatok megoldhatatlanná.)
−	A görbe meredeksége azt mutatja, hogy egységnyi idő alatt mekkora a test elmozdulása. Tehát a meredekebb görbe a gyorsabb test mozgását ábrázolja. Ha a függvény lineáris (a görbe egyenes), akkor a test egyenletesen mozog, ellenkező esetben a mozgás nem egyenletes, a test gyorsul vagy lassul (4).	+	Egy-egy konkrét feladat esetében nem mindig könnyű eldönteni, hogy melyek azok a hatások, amelyek semmiképp nem elhanyagolhatók. Ebben egyrészt a gyakorlat, másrészt – szükség esetén – próbaszámítások vagy kísérletek segíthetnek.
−	A függvények vizsgálatával a [http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_analysis matematikai analízis] foglalkozik, amelyet a XVII. században [http://en.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton Newton] és [http://en.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibniz Leibnitz] többek közt éppen mechanikai problémák megoldására fejlesztett ki. Ennek segítségével a hétköznapi életben is használt ''sebesség'' és ''gyorsulás'' fogalmaknak pontosabb meghatározását adhatjuk.	+	Példaképp vizsgáljuk egy kanyarban haladó autó mozgását. Az egyenletes sebességgel haladó járműnek valamilyen okból hirtelen fékeznie kell. Legfeljebb mekkora lehet a fékezés megkezdésekor a lassulása? Ha állandó erővel fékez, mekkora úton áll meg? Hogyan változik a kerekekre ható súrlódási erő az idő függvényében?
−	===Sebesség és gyorsulás===	+	Milyen hatásokat kell figyelembe venni? A járműre hat a nehézségi erő és a talaj nyomóereje. Az út és a kerekek közti tapadási súrlódás semmiképp nem elhanyagolható, hiszen nélküle se kanyarodni, se fékezni nem lehet. Ennek a problémának a megoldásánál ezeket az erőkkel számolunk.
−	A ''sebesség'' a hétköznapi életben is jól ismert fogalom. Aki közlekedik, biciklizik, autót vezet, többé-kevésbé meg tudja becsülni pillanatnyi sebességét, de ebben segíti a sebességmérő is.	+
−	Hosszabb úton fontos információ az átlagsebesség is. Ezt az összes megtett út és a mozgáshoz szükséges teljes idő hányadosaként kapjuk: $$v_{{\rm atl}} =\frac{s_{{\rm ossz}}}{t_{{\rm ossz}}}$$	+	A légellenállás általában szintén nem elhanyagolható hatás egy jármű mozgására (hiszen vízszintes úton nagyobb sebességeknél elsősorban emiatt kell egyenletes sebességgel való haladáshoz is nyomni a gázpedált), de a hirtelen fékezéskor fellépő nagy erők mellett ebben az esetben szerepe másodlagos. (Ráadásul nincs információnk a szélről, ami a légellenállást szintén erősen befolyásolja.)
−	A pillanatnyi sebességhez úgy közelíthetünk, ha olyan rövid időtartamra számolunk átlagsebességet, amely alatt a sebesség közel állandónak tekinthető. Így működik például a bicikli sebességmérője is: a műszerben lévő óra megméri, mennyi idő kell a kerék egy fordulatához. A kerék kerületének ismeretében ebből már számolható a sebesség: $$v\approx\frac{\Delta s}{\Delta t}$$	+
−	Minél rövidebb a megtett út és a hozzá tartozó idő, annál inkább „pillanatnyi” a sebesség. Ha $\Delta t$ tart 0-hoz, megkapjuk a pillanatnyi sebességet: $$v=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{{\rm d}s}{{\rm d}t}$$	+
−	A fizikában azonban a sebességet az elmozdulásvektor segítségével vektoriális mennyiségként definiáljuk, amely nem csak a sebesség nagyságát, hanem a mozgás irányát is megadja: $$\vec{v}=\frac{{\rm d}\vec{r}}{{\rm d}t}$$	+
−	Mivel ${\rm d}\vec{r}={\rm d}s\vec{u}_t$, ahol $\vec{u}_t$ az érintő irányú (tangenciális) egységvektor, a sebességvektor $$\vec{v}=\frac{{\rm d}s}{{\rm d}t}\vec{u}_t=v\vec{u}_t$$ alakban is felírható. Ebből látható, hogy a pillanatnyi sebesség a pálya érintőjének irányába mutat.	+	===A mozgásegyenletek felírása===
		+	[[Fájl:2002_vektorabra.jpg|bélyegkép|200px|2. ábra]]
		+	A mozgásegyenlet felírásához érdemes vázlatot készíteni a testre ható erőkről, ahol a test sebességét, gyorsulását, és a választott koordinátarendszer tengelyeit is feltüntetjük.
−	A $\vec{v}(t)$ sebesség-idő függvény ismeretében meghatározható a test helye az idő függvényében: $$\vec{r}(t)=\int_0^t\vec{v}(\tau){\rm d}\tau+\vec{r}(0)$$ ahol $\vec{r}(0)$ a test helyvektora a $t=0$ időpillanatban.	+	A mi esetünkben a rajzon a vízszintes erőket és irányokat rajzoljuk be (2. ábra), ezen kívül a testre függőleges irányban lefelé az $mg$ nehézségi erő, felfelé pedig az $F_n$ nyomóerő hat. Vízszintes irányban csak a talaj és a kerekek közt fellépő $F_s$ tapadási súrlódási erő hat. A koordinátatengelyeket a jármű haladási irányában előre és erre merőlegesen, a kör középpontja irányában vesszük fel. A test a kanyarodás miatt gyorsul a kör középpontja felé ($a_{cp}$ centripetális gyorsulás) és a fékezés miatt a pálya érintőjének irányában is ($a_t$ tangenciális gyorsulás).
−	A test által megtett út pedig az $$s(t)=\int_0^t v(\tau){\rm d}\tau$$ integrállal számítható.	+	Függőleges irányban a test nem gyorsul (feltesszük, hogy az út vízszintes), így a függőleges irányú erők eredője nulla: $$F_n-mg=0$$ Vízszintes irányban a test gyorsulásvektora a centripetális gyorsulás és a tangenciális gyorsulás erdője: $$\vec{a}=\vec{a}_{cp}+\vec{a}_t$$ A két gyorsulás egymásra merőleges, így $$a=\sqrt{a_{cp}^2+a_t^2}$$ $$a_{cp}=\frac{v^2}{r}$$ ahol $r$ a pálya sugara. Vízszintes irányban csak a súrlódási erő hat, így Newton II. törvénye alapján: $$F_s=ma$$ A tapadási súrlódási erő nem lehet akármilyen nagy: $$F_s\leq\mu F_n$$
		+	Ezeket az egyenleteket és egyenlőtlenségeket kell megoldanunk.
−	A gyorsulást a sebességhez hasonlóan vektorként definiáljuk: $$\vec{a}=\frac{{\rm d}\vec{v}}{{\rm d}t}=\frac{{\rm d^2}\vec{r}}{{\rm d}t^2}$$	+	===Kezdeti feltételek megadása===
		+	A probléma egyértelmű megoldásához a mozgásegyenleteken kívül szükség van a kezdeti feltételek megadására. Ugyanolyan mozgásegyenleteknek egész más megoldása lehet, ha mások a kezdeti feltételek. Például, ha a testre csak a nehézségi erő hat ($m\vec{a}=m\vec{g}$, $\vec{a}=\vec{g}$), akkor a kezdeti feltételektől függően lehet a mozgás szabadesés ($v(0)=0$), függőleges, vízszintes vagy ferde hajítás is.
−	[[Fájl:1003_normalis_gyorsulas.jpg|bélyegkép|200px|3. ábra]]	+	Esetünkben a kezdeti sebesség ($v(0)$) értékére van szükségünk. (Látni fogjuk, hogy ettől függően lehet, vagy nem lehet fékezni.)
−	A sebességvektorra kapott eredményünket beírva a kifejezésbe, és felhasználva a szorzatra vonatkozó deriválási szabályt, a gyorsulásvektort $$\vec{a}=\frac{{\rm d}v}{{\rm d}t}\vec{u}_t+v\frac{{\rm d}\vec{u}_t}{{\rm d}t}$$ alakban kapjuk meg. Az első tag érintő irányú (tangenciális), nagysága a sebesség nagyságának idő szerinti deriváltja: $$a_t=\frac{{\rm d}v}{{\rm d}t}$$	+	===A mozgásegyenlet megoldása===
		+	Az egyenletrendszer könnyen megoldható: $$F_n=mg$$ $$ma=F_s\leq\mu F_n=\mu mg$$ $$a\leq\mu g$$ $$\left|a_t\right|=\sqrt{a^2-a_{cp}^2}\leq\sqrt{(\mu g)^2-\frac{v^4}{r^2}}$$
−	A második tag viszont a pálya görbületével függ össze: ha a mozgás nem egyenes vonalú, akkor az érintőirányú egységvektor iránya változik, megváltozása a pályára merőleges (normális) irányú (3. ábra). Az ábráról leolvasható, hogy ${\rm d}\vec{u}_t={\rm d}\varphi\vec{u}_n$, ahol $\vec{u}_n$ a pályára merőleges (normális), befelé mutató egységvektor, ${\rm d}\varphi$ pedig a pálya ${\rm d}t$ idő alatti elfordulása, ami szintén az ábráról leolvashatóan $${\rm d}\varphi=\frac{v{\rm d}t}{r}$$ ahol r a pálya görbületi sugara az adott helyen. Behelyettesítve azt kapjuk, hogy a gyorsulás pályára merőleges (normális) komponensének nagysága $$a_n=\frac{v^2}{r}$$ Ezt a gyorsulástagot – különösen körmozgás esetén – szokás centripetális gyorsulásnak is nevezni.	+	A fékezés kezdetekor a lassulás maximális értéke: $$|a_t|_{max}=\sqrt{(\mu g)^2-\frac{\left[v(0)\right]^4}{r^2}}$$
−	A gyorsulásvektor tehát $\vec{a}=a_t\vec{u}_t+a_n\vec{u}_n$ alakban írható, ahol $a_t$ a gyorsulás érintőirányú (tangenciális), $a_n$ az erre merőleges (normális) komponensének nagysága, $\vec{u}_t$ és $\vec{u}_n$ pedig a megfelelő egységvektorok.	+	Látható, hogy a feladatnak csak akkor van megoldása, ha $$\mu g\geq\frac{\left[v(0)\right]^2}{r}$$ $$v\leq\sqrt{\mu rg}$$
		+	[[Fájl:2003_fekut-kezdetisebesseg2.jpg|bélyegkép|200px|3. ábra]]
		+	[[Fájl:2004_surlodasi_ero-ido.jpg|bélyegkép|200px|4. ábra]]
−	Az $\vec{a}(t)$ gyorsulás-idő függvény ismeretében meghatározható a test sebessége, abból pedig a helye az idő függvényében: $$\vec{v}(t)=\int_0^t\vec{a}(\tau){\rm d}\tau+\vec{v}(0)$$ $$\vec{r}(t)=\int_0^t\vec{v}(\tau){\rm d}\tau+\vec{r}(0)=\int\!\!\!\int_0^t\vec{a}(\tau){\rm d}\tau+\int_0^t\vec{v}(0){\rm d}\tau+\vec{r}(0)=\int\!\!\!\int_0^t\vec{a}(\tau){\rm d}\tau+\vec{v}(0)t+\vec{r}(0)$$ ahol $\vec{v}(0)$ a test sebessége, $\vec{r}(0)$ pedig a helyvektora a $t=0$ időpillanatban.	+	Ha $v>\mu rg$, akkor a jármű már a fékezés előtt, kanyarodás közben megcsúszik, ha $v=\mu rg$ akkor a kanyart még éppen be lehet venni, de fékezni már egyáltalán nem lehet.
−	[[Fájl:1004_x-t_v-t_a-t_grafikon.jpg|bélyegkép|200px|4. ábra]]	+	Az állandó fékező erővel elérhető minimális fékút a maximális lassulásból már könnyen kiszámolható: $$v(t)=v(0)+a_t t=v(0)-\left|a_t\right|_{max}t$$ $$v(t)=0\quad\Leftrightarrow\quad t=\frac{v(0)}{\left|a_t\right|_{max}}$$ $$s=v(0)t-\frac{1}{2}\left|a_t\right|_{max}t^2=\frac{\left[v(0)\right]^2}{2\left|a_t\right|_{max}}$$
		+	(A fékerő fokozatos változtatásával a fékút lehet rövidebb: a sebesség csökkenésével csökken a centripetális gyorsulás, és így egyre nagyobb lehet a jármű lassulása.)
−	Egyenes vonalú mozgás esetén az elmozdulás, a sebesség és a gyorsulás is leírható skalár függvényekkel. Ekkor $$v(t)=\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}$$ $$a(t)=\frac{{\rm d}v}{{\rm d}t}=\frac{{\rm d^2}x}{{\rm d}t^2}$$ illetve $$v(t)=\int_0^t a(\tau){\rm d}\tau+v(0)$$ $$x(t)=\int_0^t v(\tau){\rm d}\tau+x(0)=\int\!\!\!\int_0^t a(\tau){\rm d}\tau+\int_0^t v(0){\rm d}\tau+x(0)=\int\!\!\!\int_0^t a(\tau){\rm d}\tau+v(0)t+x(0)$$	+	A súrlódási erő időfüggése: $$F_s=ma=m\sqrt{a_{cp}^2+a_t^2}=m\sqrt{\frac{\left[v(t)\right]^4}{r^2}+|a_t|_{max}^2}$$
−		+
−	A sebesség SI mértékegysége a m/s, de a hétköznapi életben gyakran használjuk a km/h-t is. 1 km/h = 1000 m / 3600 s = 1/3,6 m/s.	+	===A megoldás ábrázolása grafikonokkal===
		+	A megoldás grafikonokkal (elmozdulás-idő, sebesség-idő, sebesség-elmozdulás, stb.) vagy animációval tehető szemléletessé.
−	A gyorsulás SI mértékegysége a m/s<math>^2</math>. Más mértékegység nem használatos.	+	A 3. ábra a fékút függését ábrázolja a $v$(0) sebességtől (adatok: $\mu$ = 0,7, $r$ = 40 m). A 4. ábrán a súrlódási erő időfüggése látható (adatok: $v$(0) = 55 km/h, $m$ = 1000 kg).
−	==Koordinátarendszerek==	+	==Szabadesés légellenállással==
−	===Descartes-, henger-, gömbi- és általános koordináták===	+	===A feladat megoldása egyszerű numerikus módszerekkel===
−	Koordinátarendszerek segítségével a tér (vagy a sík) pontjait, illetve az oda mutató vektorokat rendezett számhármasokkal (számpárokkal) lehet megadni. Így vektorok helyett skalár mennyiségekkel dolgozhatunk.	+	A Földön a szabadon eső testekre a nehézségi erőn kívül (különleges, vákuumban végzett kísérletektől eltekintve) a levegő közegellenállása is hat. A tapasztalat szerint a közegellenállási erő a sebesség növekedésével egyre nagyobb lesz, a test egyre kisebb gyorsulással gyorsul, míg végül – elegendően hosszú esési idő után – állandósult sebességgel, egyenes vonalú egyenletes mozgással esik tovább. Az, hogy a testre ható közegellenállási erő mennyi idő után válik meghatározó hatássá, függ az eső test méretétől, sűrűségétől és alakjától, valamint a közeg (a levegő vagy esetleg más gáz, folyadék) tulajdonságaitól is. Például egy porszem vagy egy ejtőernyős már viszonylag hamar egyenletes sebességgel esik, egy nagyobb kő viszont aránylag sokáig gyorsul.
−	[[Fájl:1005_Descartes-koordinatak.jpg|bélyegkép|200px|5. ábra]]	+	Az eső testre a nehézségi erő és a közegellenállás hat, a mozgásegyenlet könnyen felírható. (A mozgás egyenes vonalú, így nincs szükség vektoregyenletre. A pozitív irányt függőlegesen lefelé választottuk.) $$ma=mg-F_k$$
		+	Az $F_k$ közegellenállási erő nagysága függ a test méretétől, alakjától, sebességétől, valamint a közeg tulajdonságaitól is. Aránylag kis sebességeknél a testre ható fékező erőt a közeg viszkozitása (belső súrlódása) okozza. Ilyen eset például egy apró porszem esése levegőben, vagy egy kanál süllyedése mézben Ekkor az erő a test sebességével arányos, gömb alakú test estében például $F_k=6\pi\eta rv$, ahol $r$ a gömb sugara, $\eta$ pedig a közeg viszkozitása ([http://en.wikipedia.org/wiki/Stokes%27_law Stokes-törvény]).
−	A legalapvetőbb, és legismertebb koordinátarendszer a [http://en.wikipedia.org/wiki/Cartesian_coordinate_system Descartes-féle koordinátarendszer]. A három (síkban kettő), egymásra kölcsönösen merőleges koordinátatengely ($x$, $y$ és $z$) az origóban ($O$), a koordinátarendszer kiindulópontjában metszi egymást. Egy $P$ pont $x$, $y$ illetve $z$ koordinátáját a pont $yz$, $zx$, illetve $xy$ síktól való előjeles távolsága határozza meg (5. ábra). A $P$ pontot így egyértelműen meghatározza az $(x,y,z)$ rendezett számhármas.	+	Nagyobb sebesség esetén a testet a mögötte kialakuló örvények fékezik. Ez a meghatározó effektus, ha porszemnél nagyobb tárgyak esnek levegőben vagy vízben. Ilyenkor a fékező erő a sebesség négyzetével arányos: $$F_k=\frac{1}{2}\rho v^2cA$$ ahol $\rho$ a közeg sűrűsége, $A$ a test keresztmetszete, $c$ pedig a dimenziótlan formatényező.
−	A [http://en.wikipedia.org/wiki/Coordinate_system#Coordinate_curves_and_surfaces koordinátavonalak] (azon pontok halmaza, melyeknek koordinátáit egy kivételével rögzítjük) a tengelyekkel párhuzamos egyenesek, a [http://en.wikipedia.org/wiki/Coordinate_system#Coordinate_curves_and_surfaces koordinátafelületek] (azon pontok halmaza, melyeknek csak egy koordinátáját rögzítettük) az $yz$, $zx$, illetve $xy$ síkokkal párhuzamos síkok.	+	Ha az utóbbi modellt használjuk, és a közegellenállási erőt röviden $F_k=kv^2$ alakban írjuk (ahol $k$ egy állandó, amely csak a test méretétől és alakjától, valamint a közeg sűrűségétől függ), akkor a mozgásegyenlet: $$ma=mg-kv^2$$
−	Az origóból a $P$ pontba mutató $\vec{r}$ helyvektor a koordinátarendszer $x$, $y$, illetve $z$ tengelyével párhuzamos $\vec{i}$, $\vec{j}$ és $\vec{k}$ [http://en.wikipedia.org/wiki/Unit_vector egységvektorok] (más néven [http://en.wikipedia.org/wiki/Basis_(linear_algebra) bázisvektorok]) [http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_combination lineáris kombinációjaként] adható meg: $$\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$$	+	[[Fájl:2005_v-t_grafikon.jpg|bélyegkép|200px|5. ábra]]
		+	[[Fájl:2006_a-t_grafikon.jpg|bélyegkép|200px|6. ábra]]
		+	[[Fájl:2007_numerikus_pontossag.jpg|bélyegkép|200px|7. ábra]]
		+
		+	Itt azonban $a$ és $v$ nem ismeretlen (időben állandó) mennyiségek, hanem ismeretlen függvények: $a(t)$ és $v(t)$. A mozgásegyenlet, amit felírtunk, egy függvényegyenlet: $$ma(t)=mg-k\left[v(t)\right]^2$$ $a(t)$ és $v(t)$ azonban nem függetlenek egymástól: $$a(t)=\frac{{\rm d}v(t)}{{\rm d}t}$$ $$\frac{{\rm d}v(t)}{{\rm d}t}=g-\frac{k}{m}\left[v(t)\right]^2$$ Ez az egyenlet egy differenciálegyenlet, amely az ismeretlen függvényen kívül annak deriváltját (deriváltjait) is tartalmazza. A differenciálegyenletek egyes esetekben analitikusan megoldhatók, más esetekben viszont a megoldást csak numerikus módszerekkel lehet meghatározni. Bár a fenti differenciálegyenletnek létezik analitikus [http://en.wikipedia.org/wiki/Drag_(physics)#Velocity_of_a_falling_object megoldása] is, most oldjuk meg numerikus módszerekkel!
−	A mozgások leírásánál az $\vec{r}(t)$ vektorfüggvény helyett így három skalárfüggvény: $x(t)$, $y(t)$ és $z(t)$ használható. Ehhez hasonlóan a $\vec{v}(t)$ vektorfüggvény helyett a $v_x(t)$, $v_y(t)$ és $v_z(t)$ skalárfüggvényekkel, az $\vec{a}(t)$ vektorfüggvény helyett az $a_x(t)$, $a_y(t)$ és $a_z(t)$ skalárfüggvényekkel írható le a test sebessége és gyorsulása.	+	Differenciálegyenletek numerikus megoldására [http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_numerical_analysis_topics#Numerical_ordinary_differential_equations nagyon sok] módszer van, itt most egy nagyon egyszerű, fizikai szempontból szemléletes megoldást mutatunk be.
−	Descartes-koordináták esetén a vektorok összeadása, kivonása, deriválása, integrálása komponensenként elvégezhető, más koordinátarendszerek esetében azonban ez bonyolultabb. Erre [[#Távolságok, sebességek meghatározása különböző koordinátarendszerekben|később]] visszatérünk.	+	Ha ismerjük a test $x(t)$ helyét és $v(t)$ sebességét egy $t$ időpontban, akkor a mozgásegyenlet alapján ki tudjuk számítani a gyorsulását is: $$a(t)=g-\frac{k}{m}\left[v(t)\right]^2$$ A gyorsulás egy elegendően kicsi $\Delta t$ időtartam alatt keveset változik, ezért a test sebességét és helyét a $t\!\!+\!\!\Delta t$ időpontban jó közelítéssel ki tudjuk számolni úgy, mintha egyenletesen gyorsuló mozgás lenne: $$v(t\!\!+\!\!\Delta t)\approx v(t)+a(t)\Delta t$$ $$x(t\!\!+\!\!\Delta t)\approx x(t)+v(t)\Delta t+\frac{1}{2}a(t)(\Delta t)^2$$ $x(t\!\!+\!\!\Delta t)$ és $v(t\!\!+\!\!\Delta t)$ ismeretében már meghatározható $a(t\!\!+\!\!\Delta t)$, és az eljárás megismételhető.
−	Bár sok szempontból a Descartes-koordináták legegyszerűbbek, bizonyos esetekben célszerű más koordinátarendszerek használata. Hengerszimmetrikus problémák leírására célszerű hengerkoordinátákat (síkban polárkoordinátákat), gömbszimmetrikus esetben pedig gömbi koordinátákat használni. Ezeken a nevezetes koordinátarendszereken kívül azonban további koordinátarendszerek is megadhatók, így röviden kitérünk ilyen, általános koordinátarendszerek tárgyalására is.	+	A számítás elvégzéséhez szükség van a kezdeti feltételek ($x(0)$ és $v(0)$), valamint a befejezés feltételének megadására (például a vizsgált időtartam, vagy a földetérés távolságának a megadására). Ezen kívül meg kell választani $\Delta t$ értékét. Túl nagy $\Delta t$ választása esetén a számítás pontatlan, túl kicsi érték viszont feleslegesen hosszú számítási időt eredményez.
−	[[Fájl:1006_polarkoordinatak.jpg|bélyegkép|200px|6. ábra]]	+	A számítás az algoritmus alapján bármely programnyelvvel (akár excel táblázatkezelővel is) elvégezhető, a mozgás grafikonokkal vagy animációval szemléltethető.
−	A síkban sok feladat (például a bolygómozgás vizsgálata) könnyebben megoldható [http://en.wikipedia.org/wiki/Polar_coordinate_system polárkoordináták] segítségével (6. ábra). A $P$ pont helyét az $O$ origótól mért $\rho\geq 0$ távolság, és egy megadott, origóból kiinduló félegyenestől mért $0\leq\varphi<2\pi$ vagy $-\pi<\varphi\leq\pi$ szöggel lehet megadni. A koordinátavonalak egyrészt az origóból kiinduló félegyenesek ($\varphi$ állandó), másrészt origó középpontú koncentrikus körök ($\rho$ állandó). Az $\rho=0$ pontban $\varphi$ értéke tetszőleges lehet.	+	Az 5. és 6. ábrán látható grafikonok egy 100 m magasról leeső focilabda sebességét és gyorsulását ábrázolják az idő föggvényében (adatok: $m$ = 0,435 kg, $d$ = 0,22 m, $\rho$ = 1,2 kg/m<math>^3</math>, c = 0,47). Jól látható, hogy a gyorsulás a kezdeti $g$ értékről indulva nullához, a sebesség pedig egy határértékhez (az állandósult sebességhez) tart. A határsebesség a mozgásegyenletből kifejezhető: $$v_\infty=\sqrt{\frac{mg}{k}}$$
−	Hengerszimmetrikus térbeli feladatoknál (például egyenes vezetők körül kialakuló terek számításánál) jól használhatók a [http://en.wikipedia.org/wiki/Cylindrical_coordinate_system hengerkoordináták]. Egy $P$ pontot a $(\rho, \varphi, z)$ koordinátahármas ad meg, ahol $\rho\geq 0$ a $P$ pont tengelytől mért távolsága, a $0\leq\varphi<2\pi$ vagy $-\pi<\varphi\leq\pi$ szög a tengelyre illeszkedő kiinduló félsík és a $P$ ponton átmenő félsík által bezárt szög, $z$ pedig a $P$ pont tengelyre merőleges, origón átmenő síktól mért előjeles távolsága.	+	Az adatokat behelyettesítve ez esetünkben kb. 20 m/s (72 km/h).
−	Ebben a koordinátarendszerben a koordinátavonalak a tengelyből induló, arra merőleges félegyenesek ($\varphi$ és $z$ állandó), a tengellyel párhuzamos egyenesek ($\rho$ és $\varphi$ állandó), valamint a tengelyre merőleges, koncentrikus körök ($\rho$ és $z$ állandó). A koordinátafelületek a tengely körüli hengerfelületek ($\rho$ állandó), a tengelyre illeszkedő félsíkok ($\varphi$ állandó) és a tengelyre merőleges síkok ($z$ állandó). A $\rho=0$ koordinátájú pontokban $\varphi$ itt is tetszőleges értéket vehet fel.	+	===A numerikus megoldás veszélyei===
		+	A numerikus megoldás minden lépése közelítő, a kicsiny hibák idővel felhalmozódnak, a számítás eredménye egyre távolabb kerülhet az egzakt megoldás eredményétől. [[Rezgések#A kaotikus viselkedés jellemzői és feltételei|Kaotikus]] rendszerek különösen érzékenyek erre. A lépésköz csökkentésével a hiba csökkenthető (7. ábra) – ez viszont bonyolultabb számításoknál a program futási idejét növelheti meg túlságosan.
−	[[Fájl:1007_gombi_koordinatak.jpg|bélyegkép|200px|7. ábra]]	+	Bizonyos esetekben lehetőség van a felhalmozódó hibák részleges kijavítására is. Például ha a rendszerben a [[Megmaradási törvények a mechanikában#A mechanikai energia megmaradásának tétele|teljes mechanikai energia]] állandó, akkor ezt a feltételt is figyelembe lehet venni a számításban, és ezzel el lehet kerülni, hogy a numerikus megoldásban az összenergia folyamatosan növekedjen vagy csökkenjen.
−	[http://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_coordinate_system Gömbi koordinátákat] gömbszimmetrikus tereknél (például ponttöltés, tömegpont körül) érdemes használni, de lényegében gömbi koordináták a [http://en.wikipedia.org/wiki/Geographic_coordinate_system földrajzi koordináták] is (csak a radiális távolságot nem a Föld középpontjától, hanem a tengerszinttől mérik).	+	==Newton gravitációs törvénye==
−	A $P$ pontot megadó $(\rho,\theta,\varphi)$ koordinátahármasban $\rho\geq 0$ a pont távolsága az origótól, a $0\leq\theta<\pi$ vagy $-\pi/2\leq\theta\leq\pi/2$ szög (inklináció, földrajzi koordinátáknál a szélesség) a középpontból a ponthoz húzott $OP$ egyenes és a koordinátarendszer egyik kiválasztott iránya, a zenit közti szög (vagy az $OP$ és a zenitre merőleges sík – a földrajzban az egyenlítő síkja – közti szög), a $0\leq\varphi<2\pi$ vagy $-\pi<\varphi\leq\pi$ szög (azimut, földrajzi koordinátáknál a hosszúság) pedig az $OP$ egyenes zenitre merőleges síkra való vetületének és a koordinátarendszer másik kiválasztott (a zenitre merőleges) irányának a szöge.	+	===A törvény „ellenőrzése”===
		+	[http://en.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton Newton] nevéhez kötődik a róla elnevezett törvényeken kívül a [http://en.wikipedia.org/wiki/Gravitation gravitációs kölcsönhatás] leírása is. Az általános tömegvonzás törvényének megalkotásához Newtont két fontos tapasztalat segítette: [http://en.wikipedia.org/wiki/Galileo_Galilei Galilei] kísérletekkel igazolt állítása, miszerint a szabadon eső testek gyorsulása (ha a légellenállást elhanyagolható) nem függ a testek tömegétől, és [http://en.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler Kepler] [http://en.wikipedia.org/wiki/Kepler%27s_laws_of_planetary_motion#Third_law III. törvénye], amely az égitestek keringési ideje és a pályájuk fél nagytengelye között teremt kapcsolatot.
−	A gömbi koordinátarendszerben a koordinátavonalak a középpontból kiinduló félegyenesek ($\theta$ és $\varphi$ állandó), a zenitre merőleges körök ($\rho$ és $\theta$ állandó, szélességi körök), valamint a középpont körüli, a zenittel egy síkban fekvő félkörök ($\rho$ és $\varphi$ állandó, hosszúsági körök). A koordinátafelületek gömbök ($\rho$ állandó), kúppalástok ($\theta$ állandó) és félsíkok ($\varphi$ állandó). Az $\rho=0$ koordinátájú pontokban $\theta$ és $\varphi$ is tetszőleges értéket vehet fel. A $\theta=0$ és $\theta=\pi$ (vagy a $\theta=\pm \pi/2$) koordinátájú pontoknál (a Földön a sarkokon) $\varphi$ szintén tetszőleges értéket vehet fel.	+	Ezekből a tapasztalatokból, figyelembe véve [[##Newton II. törvénye|Newton II. törvényét]] következik, hogy a tömegvonzás egyenesen arányos a kölcsönhatásban résztvevő testek tömegével és fordítva arányos a testek távolságának négyzetével. Így a gravitációs erő nagysága $$F_g=\gamma\frac{m_1 m_2}{r^2}$$ ahol $m_1$ és $m_2$ a testek tömege,$r$ a két tömegpont távolsága (kiterjedt testeknél, ha a testek gömbszimmetrikusak, a gömbök középpontjának távolsága), $\gamma$ pedig egy egyelőre ismeretlen állandó. Az erő mindig vonzóerő, iránya a két testet összekötő egyenes.
−	Az általános, [http://en.wikipedia.org/wiki/Curvilinear_coordinates görbevonalú koordinátarendszerhez] legegyszerűbben úgy juthatunk el, ha egy Descartes koordinátarendszert (két dimenzióban) rugalmas felületre rajzolunk, majd a felületet deformáljuk. Az eredetileg egymással párhuzamos, illetve merőleges koordinátavonalak görbékké torzulnak. Három dimenzióban ehhez hasonlóan a koordinátafelületek is görbültek lesznek. A görbült koordinátarendszerekben a [http://en.wikipedia.org/wiki/Basis_(linear_algebra) bázis] lokális, a hely függvényében változik. A henger és gömbi koordinátarendszerek speciális görbevonalú koordinátarendszerek.	+	Newton a törvény ellenőrzésére a Föld felszínének közelében szabadon eső test és a Föld körül első közelítésben körpályán keringő Hold mozgását hasonlította össze. Végezzük el mi is ezt az ellenőrzést!
−	===Távolságok, sebességek meghatározása különböző koordinátarendszerekben===	+	A szabadon eső testre (elhanyagolva a légellenállást) csak a Föld gravitációs ereje hat: $$F=\gamma\frac{m m_F}{r_F^2}$$ ahol $m_F$ a Föld tömege, $r_F$ pedig a Föld sugara (hiszen a Föld felszínén lévő test ilyen távolságra van a Föld középpontjától). A testre felírt mozgásegyenlet (elhanyagolva, hogy a Föld forog): $$F=mg$$ A két egyenletből $$\gamma\frac{m m_F}{r_F^2}=mg$$ $$\gamma m_F=g r_F^2$$
−	Két pont közötti távolságot a legegyszerűbb a Descartes-féle koordinátarendszerben meghatározni, a távolság a (térbeli) Pitagorasz-tétellel a pontok ($x_1,y_1,z_1$) és ($x_2,y_2,z_2$)koordinátáiból közvetlenül adódik: $$s=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$$	+	A Hold és a Föld között fellépő gravitációs erő: $$F_H=\gamma\frac{m_H m_F}{r_H^2}$$ ahol $m_H$ a Hold tömege, $r_H$ pedig a Föld-Hold távolság (a középpontjaik közti távolság). A Hold első közelítésben körpályán mozog a Föld körül, így a mozgásegyenlet: $$F_H=m_H a_cp$$ ahol $a_cp$ a Hold centripetális gyorsulása. A két egyenletből $$\gamma\frac{m_H m_F}{r_H^2}=m_H a_cp$$ $$\gamma m_F=a_cp r_H^2$$ A centripetális gyorsulás $$a_cp=r_H \omega_H^2=r_H\frac{4\pi^2}{T_H^2}$$ ahol $\omega_H$ a Hold keringésének szögsebessége,$T_H$ pedig a Hold keringési ideje. Ezt behelyettesítve $$\gamma m_F=\frac{4\pi^2}{T_H^2}r_H^3$$
−	Más koordinátarendszerekben két tetszőleges pont távolságának meghatározása bonyolultabb, sokszor legegyszerűbb [[#Koordináta-transzformációk|átszámolni]] a koordinátákat Descartes-koordinátákba, és a távolságot abból meghatározni.	+	A képletekben szereplő $g$, $r_F$, $r_H$ és $T_H$ értékeket már Newton is ismerhette. A Föld-Hold távolságot a [[Tér_és_idő#A_méter_eredeti_definíciója|Föld sugarához]] hasonlóan már az ókorban megmérték [http://en.wikipedia.org/wiki/Parallax#Lunar_parallax parallaxis] módszerrel (a Hold a Föld különböző pontjairól más irányban látszik), közepes értéke a Föld sugarának kb. 60-szorosa. A Hold keringési ideje, az un. [http://en.wikipedia.org/wiki/Month#Sidereal_month sziderikus hónap], az az idő, ami alatt a Hold az állócsillagokhoz képest egyszer megkerüli a Földet. (Ez az idő – 27,32 nap – eltér a két azonos holdfázis, pl. két telihold közti [http://en.wikipedia.org/wiki/Month#Synodic_month szinodikus hónaptól] – 29,53 nap –, hiszen miközben a Hold megkerüli a Földet, a Föld is elmozdul a Nap körül.)
−	Polárkoordinátáknál az ($\rho_1, \varphi_1$) és a ($\rho_2, \varphi_2$) pontok távolsága a cosinus-tétel segítségével adódik: $$s=\sqrt{\rho_1^2+\rho_2^2-2\rho_1\rho_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)}$$	+	Behelyettesítve a $g=9,81\,{\rm m/s^2}$, az $r_F=6,37\cdot 10^6\,{\rm m}$, az $r_H=3,84\cdot 10^8\,{\rm m}$ és a $T_H=27,52\,{\rm nap}=2,36\cdot 10^6\,{\rm s}$ értékeket $\gamma m_F$ két kifejezésébe. a $$\gamma m_F=g r_F^2=3,98\cdot 10^{14}\,{\rm m^3/s^2}$$ illetve a $$\gamma m_F=\frac{4\pi^2}{T_H^2}r_H^3=4.01\cdot 10^{14}\,{\rm m^3/s^2}$$ értékek adódnak, amelyek kevesebb, mint 1 %-kal térnek el egymástól. Figyelembe véve a számítás közben végzett elhanyagolásokat, ez valóban meggyőző eredmény.
−		+
−	Hengerkoordináták estében ebből kiindulva a Pitagorasz-tétel segítségével számolható a távolság: $$s=\sqrt{\rho_1^2+\rho_2^2-2\rho_1\rho_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)+(z_2-z_1)^2}$$	+
		+	===Súly és súlytalanság===
		+	A [http://en.wikipedia.org/wiki/Weight súly] és a tömeg fogalma a hétköznapi szóhasználatban gyakran keveredik, egymás szinonimájaként használják. Pedig a két fogalom között (azon kívül, hogy a súly egy erő, tehát mértékegységét tekintve is különbözik a tömegtől) jelentős különbségek vannak. A test súlya a tömegén kívül függ a test helyétől és mozgásállapotától is.
−	Két tetszőleges pont távolsága gömbi koordinátákkal kifejezve bonyolult, ugyanakkor egy $P$ pont távolsága az origótól, azaz a $P$ pontba mutató $\vec{r}$ helyvektor hossza Descartes-koordinátákkal $$r=|\vec{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$ henger koordinátákkal $$r=|\vec{r}|=\sqrt{\rho^2+z^2}$$ gömbi koordinátáknál viszont egyszerűen $$r=|\vec{r}|=\rho$$	+	A súly [http://en.wikipedia.org/wiki/Weight#Definitions meghatározása] a nemzetközi irodalomban nem egységes. A Magyarországon szokásos meghatározás szerint egy test súlya az az erő, amelyet a test az alátámasztására vagy a felfüggesztésére kifejt. Azt, hogy egy testnek súlya van, a rá ható gravitációs erő okozza, így az függ a test helyén mérhető nehézségi gyorsulástól. Ezért lesz egy test súlya kisebb a Holdon, mint a Földön (körülbelül egy hatoda a földi súlyának). A test súlya azonban csak akkor egyezik meg a rá ható gravitációs erővel, ha a test nyugalomban van (vagy egyenes vonalú egyenletes mozgást végez). Ha a test gyorsul, akkor a rá ható erők eredője nem nulla, és a test súlya különbözni fog a gravitációs erőtől.
		+	Egyszerű méréseket lehet végezni egy liftben. Ha a nyugalomban lévő (vagy egyenletesen haladó) liftben ráállunk egy fürdőszobamérlegre, akkor az az „igazi”, nyugalmi súlyunkat fogja mutatni, $F_n=mg$. Ha viszont a lift felfelé gyorsuló mozgást végez (felfelé gyorsít, vagy lefelé fékez), akkor a testünket a mérleg által kifejtett nyomóerő és a gravitációs erő különbsége fogja gyorsítani ($ma=F_n-mg$), tehát a súlyunk (az az erő, amit a testünk kifejt az alátámasztásra – az alátámasztás által kifejtett nyomóerő ellenereje) nagyobb lesz a nyugalomban mért súlynál: $F_n=m(g+a)$. Ehhez hasonlóan lefelé gyorsuló liftben (ha a lift lefelé gyorsít, vagy felfelé fékez) a súlyunk kisebb lesz: $F_n=m(g-a)$.
−	Ahhoz, hogy különböző koordinátarendszerekben felírhassuk a test helyzetét, sebességét és a gyorsulását, szükség van a helyvektor megadására, és hasznos felírnunk az elemi elmozdulásvektort is. A Descartes-féle koordinátarendszerben az $\vec{r}$ helyvektor és a ${\rm d}\vec{r}$ elemi elmozdulásvektor az $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ egységvektorok segítségével azonnal adódik: $$\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\qquad {\rm d}\vec{r}={\rm d}x\vec{i}+{\rm d}y\vec{j}+{\rm d}z\vec{k}$$	+	Ha egy test szabadon esik, vagy más olyan mozgást végez, ahol a gravitáción kívül nem hat rá más erő (például kering a Föld körül), akkor a súlya nulla lesz. Ez a [http://en.wikipedia.org/wiki/Weightlessness súlytalanság] állapota. Természetesen a gravitáció a súlytalanság állapotában is hat a testre: a Föld körül keringő testet például éppen a gravitáció tartja körpályán (a gravitációs erő okozza a test centripetális gyorsulását).
−	Görbe vonalú koordinátarendszereknél azonban a bázis [http://en.wikipedia.org/wiki/Curvilinear_coordinates#Basis_vectors_in_curvilinear_coordinates lokális], azaz az egységvektorok a hely függvényében változnak, így érdemes megadnunk a bázisvektorok elemi megváltozásait is.	+	===Mekkora a Föld tömege? A gravitációs állandó mérése===
		+	Mekkora a Föld tömege? Ha tudnánk, akkor abból a $\gamma$ gravitációs állandót is ki lehetne számítani, hiszen [[#Newton gravitációs törvénye|korábban]] kiszámítottuk a két mennyiség szorzatát. A Föld tömegét azonban nem tudjuk másképp meghatározni, csak éppen a gravitációs hatásán keresztül. Így először a $\gamma$ állandót kell valahogy megmérni, és a Föld tömegét majd az alapján meghatározni. (A gravitációs állandó meghatározásához hasonlóan alkalmatlan a bolygók Nap körüli keringésének vizsgálata, hiszen a Nap tömegét se ismerjük független mérésből.)
−	Polárkoordinátáknál (síkban) a bázis az $\vec{u}_\rho$ sugár irányú és az $\vec{u}_\varphi$ érintő irányú (a kör alakú koordinátavonalat érintő) lokális egységvektorokból áll. Az $\vec{r}$ helyvektor és a ${\rm d}\vec{r}$ elemi elmozdulásvektor (azaz a $(\rho, \varphi)$ pontból a $(\rho+{\rm d}\rho, \varphi+{\rm d}\varphi)$ pontba mutató vektor) a bázis segítségével: $$\vec{r}=\rho\vec{u}_\rho\qquad {\rm d}\vec{r}={\rm d}\rho\vec{u}_\rho+\rho{\rm d}\varphi\vec{u}_\varphi$$ $${\rm d}\vec{u}_\rho={\rm d}\varphi\vec{u}_\varphi\qquad {\rm d}\vec{u}_\varphi=-{\rm d}\varphi\vec{u}_\rho$$	+	A $\gamma$ gravitációs állandó értékét két ismert tömegű és ismert távolságú test közt fellépő erőhatás alapján lehet megmérni. Mivel hétköznapi méretű testek között ez az erőhatás más erőkhöz képest nagyon kicsi, a mérés elvégzése nem könnyű. A XVIII. század legvégén elvégzett [http://en.wikipedia.org/wiki/Cavendish_experiment Cavendish-kísérlet] lényege, hogy a kicsiny erőt egy torziós szál elcsavarodásából lehet meghatározni. [http://en.wikipedia.org/wiki/Henry_Cavendish Cavendish] egy vízszintes rúd végeire két egyforma, néhány kg tömegű ólomgolyót rögzített, a rudat pedig egy vékony, rugalmas szálra függesztette ([http://en.wikipedia.org/wiki/Torsion_spring#Torsion_balance torziós inga]). A felfüggesztett testek mellé helyezett másik két ólomgömb vonzásának hatására a szál kis mértékben elcsavarodott, amiből a szál [http://en.wikipedia.org/wiki/Torsion_spring#Torsion_coefficient torziós együtthatójának] és a mérés geometriai elrendezésének ismeretében a fellépő gravitációs erő és a [http://en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_constant gravitációs állandó] értéke kiszámítható: $\gamma=6,67\cdot 10^{-11}\,{\rm Nm^2/kg^2}$.
−	Hengerkoordinátáknál a bázis az $\vec{u}_\rho$ sugár irányú, az $\vec{u}_\varphi$ érintő irányú (a kör alakú koordinátavonalat érintő) és az $\vec{u}_z$ tengellyel párhuzamos irányú egységvektorokból áll (ahol az első kettő pontról pontra változik, az utolsó viszont mindenhol ugyanaz). Az $\vec{r}$ helyvektor és a ${\rm d}\vec{r}$ elemi elmozdulásvektor (azaz a $(\rho, \varphi, z)$ pontból a $(\rho+{\rm d}\rho, \varphi+{\rm d}\varphi, z+{\rm d}z)$ pontba mutató vektor) a bázis segítségével: $$\vec{r}=\rho\vec{u}_\rho+z\vec{u}_z\qquad {\rm d}\vec{r}={\rm d}\rho\vec{u}_\rho+\rho{\rm d}\varphi\vec{u}_\varphi+{\rm d}z\vec{u}_z$$ $${\rm d}\vec{u}_\rho={\rm d}\varphi\vec{u}_\varphi\qquad {\rm d}\vec{u}_\varphi=-{\rm d}\varphi\vec{u}_\rho \qquad {\rm d}\vec{u}_z=0$$	+	A gravitációs állandó alapján már kiszámítható a Föld tömege és átlagos sűrűsége: $$m_F=\frac{g r_F^2}{\gamma}=5,97\cdot10^{24}\,{\rm kg}$$ $$\rho_F=\frac{m_F}{V_F}=5510\,{\rm kg/m^3}$$
−	Gömbi koordinátáknál a bázis az $\vec{u}_\rho$ sugár irányú, az $\vec{u}_\theta$ és az $\vec{u}_\varphi$ érintő irányú (a zenittel egy síkban lévő félkörök, illetve a zenitre merőleges körök érintői) egységvektorokból áll. Most mind a három egységvektor pontról pontra változik. Az $\vec{r}$ helyvektor és a ${\rm d}\vec{r}$ elemi elmozdulásvektor (azaz a $(\rho, \theta, \varphi)$ pontból a $(\rho+{\rm d}\rho, \theta+{\rm d}\theta \varphi+{\rm d}\varphi)$ pontba mutató vektor) a lokális bázissal kifejezve: $$\vec{r}=\rho\vec{u}_\rho\qquad {\rm d}\vec{r}={\rm d}\rho\vec{u}_\rho+\rho{\rm d}\theta\vec{u}_\theta+\rho\sin\theta{\rm d}\varphi\vec{u}_\varphi$$ $${\rm d}\vec{u}_\rho={\rm d}\theta\vec{u}_\theta+\sin\theta{\rm d}\varphi\vec{u}_\varphi \qquad {\rm d}\vec{u}_\theta=-{\rm d}\theta\vec{u}_\rho+\cos\theta{\rm d}\varphi\vec{u}_\varphi \qquad {\rm d}\vec{u}_\varphi=-\sin\theta{\rm d}\varphi\vec{u}_\rho-\cos\theta{\rm d}\varphi\vec{u}_\theta$$	+	A gravitációs állandó ismeretében a Föld (vagy más bolygók) pályaadataiból ehhez hasonlóan meghatározható a Nap tömege és sűrűsége is.
−		+
−	A sebességvektor a ${\rm d}\vec{r}$ elemi elmozdulásvektorból ${\rm d}t$-vel való osztással, vagy az $\vec{r}$ helyvektorból deriválással (ekkor azonban figyelnünk kell arra, hogy az egységvektorok nem állandók!) a különböző koordinátarendszerekben már meghatározhatók. A Descartes-féle koordinátarendszerben a komponensek egymástól függetlenek, a sebesség: $$\vec{v}=\frac{{\rm d}\vec{r}}{{\rm d}t}=\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}\vec{i}+\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t}\vec{j}+\frac{{\rm d}z}{{\rm d}t}\vec{k}=v_x\vec{i}+v_y\vec{j}+v_z\vec{k}$$	+
−	Polárkoordinátákkal $$\vec{v}=\frac{{\rm d}\vec{r}}{{\rm d}t}=\frac{{\rm d}\rho}{{\rm d}t}\vec{u}_\rho+\rho\frac{{\rm d}\varphi}{{\rm d}t}\vec{u}_\varphi$$	+
−	Hengerkoordinátákkal $$\vec{v}=\frac{{\rm d}\vec{r}}{{\rm d}t}=\frac{{\rm d}\rho}{{\rm d}t}\vec{u}_\rho+\rho\frac{{\rm d}\varphi}{{\rm d}t}\vec{u}_\varphi+\frac{{\rm d}z}{{\rm d}t}\vec{u}_z$$	+
−	Gömbi koordinátákkal $$\vec{v}=\frac{{\rm d}\vec{r}}{{\rm d}t}=\frac{{\rm d}\rho}{{\rm d}t}\vec{u}_\rho+\rho\frac{{\rm d}\theta}{{\rm d}t}\vec{u}_\theta+\rho\sin\theta\frac{{\rm d}\varphi}{{\rm d}t}\vec{u}_\varphi$$	+
		+	==Newton I. törvénye==
		+	===Az inerciarendszer fogalma===
		+	Newton I. törvénye kimondja, hogy ha egy testre nem hat erő, vagy a rá ható erők eredője 0, akkor a test nyugalomban van, vagy egyenes vonalú egyenletes mozgást végez. $$\Sigma \vec{F}=0\quad\Leftrightarrow\quad\vec{v}={\rm const.}$$ Newton I. törvénye a II. törvény speciális esetének is tekinthető, hiszen $$\Sigma\vec{F}=0\quad\Leftrightarrow\quad\vec{a}=\frac{\Sigma\vec{F}}{m}=0\quad\Leftrightarrow\quad\vec{v}={\rm const}$$
		+	A törvény állításával („nyugalomban van”, „egyenes vonalú egyenletes mozgást végez”) kapcsolatban azonban fel kell tennünk egy kérdést: Mihez képest? Milyen koordinátarendszerhez képest van a test nyugalomban? Milyen koordinátarendszerhez képest végez egyenes vonalú egyenletes mozgást?
−	A gyorsulásvektor a sebességvektor deriválásával határozható meg. Görbült koordinátarendszerekben figyelni kell arra, hogy a bázisvektorok nem állandók! A Descartes-féle koordinátarendszerben azonban a kifejezés azonnal adódik: $$\vec{a}=\frac{{\rm d}\vec{v}}{{\rm d}t}=\frac{{\rm d^2}\vec{r}}{{\rm d}t^2}=\frac{{\rm d^2}x}{{\rm d}t^2}\vec{i}+\frac{{\rm d^2}y}{{\rm d}t^2}\vec{j}+\frac{{\rm d^2}z}{{\rm d}t^2}\vec{k}=a_x\vec{i}+a_y\vec{j}+a_z\vec{k}$$	+	Hétköznapi tapasztalat, hogy egy hirtelen fékező járműben a járműhöz képest korábban nyugalomban lévő test látszólag minden ok nélkül gyorsulni kezd. A járműhöz rögzített koordinátarendszerben ez ellentmond Newton I. törvényének: a test ebből a koordinátarendszerből nézve annak ellenére gyorsul, hogy a rá ható erők eredője nulla. Ugyanakkor, ha a Földhöz rögzített koordinátarendszerben írjuk le a mozgást, akkor azt látjuk, hogy a jármű fékez (lassul, negatív gyorsulása van), a test viszont egyenes vonalú egyenletes mozgással halad tovább, összhangban Newton I. törvényével.
−	Polárkoordinátákkal $$\vec{a}=\frac{{\rm d}\vec{v}}{{\rm d}t}=\frac{{\rm d^2}\vec{r}}{{\rm d}t^2}=\left[\frac{{\rm d^2}\rho}{{\rm d}t^2}-\rho\left(\frac{{\rm d}\varphi}{{\rm d}t}\right)^2\right]\vec{u}_\rho+\left(\rho\frac{{\rm d^2}\varphi}{{\rm d}t^2}+2\frac{{\rm d}\rho}{{\rm d}t}\frac{{\rm d}\varphi}{{\rm d}t}\right)\vec{u}_\varphi$$	+
−	Látható, hogy $\rho$ állandó értéke mellett is lehet sugárirányú gyorsulás (pl. körmozgásnál a centripetális gyorsulás).	+
−	Hengerkoordinátákkal $$\vec{a}=\frac{{\rm d}\vec{v}}{{\rm d}t}=\frac{{\rm d^2}\vec{r}}{{\rm d}t^2}=\left[\frac{{\rm d^2}\rho}{{\rm d}t^2}-\rho\left(\frac{{\rm d}\varphi}{{\rm d}t}\right)^2\right]\vec{u}_\rho+\left(\rho\frac{{\rm d^2}\varphi}{{\rm d}t^2}+2\frac{{\rm d}\rho}{{\rm d}t}\frac{{\rm d}\varphi}{{\rm d}t}\right)\vec{u}_\varphi+\frac{{\rm d^2}z}{{\rm d}t^2}\vec{u}_z$$	+	Hasonló a helyzet egy kanyarodó járműben. A járműhöz rögzített koordinátarendszerből vizsgálva a járműben lévő testek annak ellenére kifelé (a kanyarodással ellentétes irányban) gyorsulnak, hogy nem hat rájuk vízszintes erő – ismét ellentmondva Newton I. törvényének. A Földhöz rögzített koordinátarendszerből nézve viszont azt látjuk, hogy a járművön lévő testek – összhangban Newton I. törvényével – egyenes vonalú egyenletes mozgással haladnak tovább, miközben a jármű „elkanyarodik alóluk”. Eszerint vannak olyan koordinátarendszerek, amelyekből leírva a jelenségeket Newton I. törvénye teljesül, és vannak olyanok, [[#Gyorsuló_és_forgó_koordinátarendszerek|amelyekben nem]].
−	Gömbi koordinátákkal $$\vec{a}=\frac{{\rm d}\vec{v}}{{\rm d}t}=\frac{{\rm d^2}\vec{r}}{{\rm d}t^2}=\left[\frac{{\rm d^2}\rho}{{\rm d}t^2}-\rho\left(\frac{{\rm d}\theta}{{\rm d}t}\right)^2-\rho\sin^2\theta\left(\frac{{\rm d}\varphi}{{\rm d}t}\right)^2\right]\vec{u}_\rho+$$ $$+\left[\rho\frac{{\rm d^2}\theta}{{\rm d}t^2}+2\frac{{\rm d}\rho}{{\rm d}t}\frac{{\rm d}\theta}{{\rm d}t}-\rho\sin\theta\cos\theta\left(\frac{{\rm d}\varphi}{{\rm d}t}\right)^2\right]\vec{u}_\theta+$$ $$+\left(\rho\sin\theta\frac{{\rm d^2}\varphi}{{\rm d}t^2}+2\sin\theta\frac{{\rm d}\rho}{{\rm d}t}\frac{{\rm d}\varphi}{{\rm d}t}+2\rho\cos\theta\frac{{\rm d}\theta}{{\rm d}t}\frac{{\rm d}\varphi}{{\rm d}t}\right)\vec{u}_\varphi$$	+	Azokat a koordinátarendszereket, melyekben teljesül Newton I. törvénye (azaz ha egy testre nem hat erő, vagy a rá ható erők eredője nulla, akkor a test ebben a koordinátarendszerben nyugalomban van, vagy egyenes vonalú egyenletes mozgást végez), ''inerciarendszer''nek nevezzük. Newton I. törvénye így nem más, mint az [http://en.wikipedia.org/wiki/Inertial_frame inerciarendszer] definíciója. A Newton-törvények – eredeti formájukban – csak inerciarendszerekben igazak.
−	===Koordináta-transzformációk===	+	A definíció alapján látszólag könnyű eldönteni, hogy egy koordinátarendszer inerciarendszer-e. Azonban azt, hogy egy testre valóban semmilyen erő ne hasson, nehéz biztosítani. Sok feladat megoldásakor a Földhöz rögzített koordinátarendszer inerciarendszernek tekinthető. A Föld azonban forog, így a Földhöz képest nyugalomban lévő testek valójában körmozgást végeznek a Föld tengelye körül, és így gyorsulnak. Tehát a Földhöz rögzített koordinátarendszer [[#Tehetetlenségi erők a forgó Földön|nem inerciarendszer]]. (A forgás lassú, ezért lehet sok esetben mégis annak tekinteni.) Jobb közelítés a Föld középpontjához rögzített, de nem forgó rendszer. Ez azonban a Föld Nap körüli keringése miatt – sokkal kisebb mértékben – szintén gyorsul. A Nap középpontjához (pontosabban a Naprendszer tömegközéppontjához) rögzített koordinátarendszer már gyakorlatilag minden esetben inerciarendszerként használható.
−	Ha egy pont koordinátáit ismerjük egy koordinátarendszerben, akkor transzformációs összefüggések segítségével kiszámíthatók egy másik koordinátarendszerben is a koordináták.	+
−	Koordináta-transzformációkkal áttérhetünk egy ugyanolyan típusú, de az eredetitől különböző kezdőpontú vagy irányítottságú másik koordinátarendszerre, például egy Descartes-koordinátarendszerből egy másik Descartes-koordinátarendszerbe. Ha az eredeti K koordinátarendszerben a $P$ pont koordinátái $(x, y, z)$, akkor a K-hoz képest a $\vec{t}=(t_x, t_y, t_z)$ vektorral eltolt K' koordinátarendszerben a pont koordinátái $$x'=x-t_x$$ $$y'=y-t_y$$ $$z'=z-t_z$$	+	A [http://en.wikipedia.org/wiki/Galilean_invariance Galilei-féle relativitás elve] alapján az egymáshoz képest nyugalomban lévő vagy egyenes vonalú egyenletes mozgást végző rendszereket mechanikai jelenségek alapján nem lehet megkülönböztetni. Így ha egy koordinátarendszer inerciarendszer, akkor a hozzá képest egyenes vonalú egyenletes mozgást végző test is inerciarendszer. Az inerciarendszerek közötti transzformáció a [http://en.wikipedia.org/wiki/Galilean_transformation Galilei-transzformáció].
−	A koordinátarendszer forgatása (azonos kezdőpont körül) kétdimenziós koordinátarendszer esetén könnyen vizsgálható. Ha a K' koordinátarendszer a K koordinátarendszerhez képest a $\theta$ szöggel van elforgatva, akkor egy $P$ pont K'-beli $(x', y')$ koordinátáit a K-beli $(x, y)$ koordinátákból a következő transzformációs összefüggésekkel számíthatjuk: $$x'=x\cos\theta+y\sin\theta$$ $$y'=-x\sin\theta+y\cos\theta$$	+
−	Általános háromdimenziós elforgatás számítása bonyolultabb. Az [http://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_(mathematics) elforgatás] megadására több lehetőség van: meg lehet adni a forgatás szögét és a forgástengely irányába mutató egységvektort, vagy a kettő szorzataként előálló [http://en.wikipedia.org/wiki/Axis_angle forgásvektort], vagy az [http://en.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler Euler] által bevezetett [http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_angles Euler-szögeket]. Az új koordináták ebben az esetben is az eredeti koordináták [http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_combination lineáris kombinációjaként] írhatók fel.	+
−	Különböző típusú koordinátarendszerek közötti [http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_canonical_coordinate_transformations transzformációk] közül néhány fontosabb:
−	Hengerkoordinátákból Descartes-koordinátákba ($z=0$ esetén polárkoordinátákból kétdimenziós Descartes-koordinátákba), azonos origó, közös $z$-tengely esetében $$x=\rho\cos\varphi$$ $$y=\rho\sin\varphi$$ $$z=z$$	+	==Gyorsuló és forgó koordinátarendszerek==
−	Gömbi koordinátákból Descartes-koordinátákba (azonos kezdőponttal, $z$ a zenittel egy irányba mutat) $$x=\rho\sin\theta\cos\varphi$$ $$y=\rho\sin\theta\sin\varphi$$ $$z=\rho\cos\theta$$	+	===Tehetetlenségi erő===
−	Descartes-koordinátákból hengerkoordinátákba $$\rho=\sqrt{x^2+y^2}$$ $$\varphi=\arctan{\frac{y}{x}}\qquad{\rm (ha}\quad x>0, y\geq0{\rm )}$$ $$z=z$$	+	A Newton-törvények eredeti formájukban csak inerciarendszerekben igazak. A [[#Az inerciarendszer fogalma|korábban elemzett példákban]] a fékező vagy kanyarodó járművön lévő testek annak ellenére gyorsuló mozgást végeznek a járműhöz képest, hogy a rá ható erők eredője nulla. A járműhöz képest a fékező (menetiránnyal ellentétes irányban gyorsuló) járműben előrefelé, a kanyarodó (az ív középpontja felé gyorsuló) járműben pedig kifelé gyorsulnak. A járműhöz viszonyított, gyorsuló koordinátarendszerben vizsgálva a testek tehát úgy mozognak, ''mintha'' fékezéskor előrefelé, kanyarodáskor kifelé (általában pedig a jármű gyorsulásával ellentétes irányba) ható erők is hatnának rájuk.
−	Descartes-koordinátákból gömbi koordinátákba $$\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$ $$\theta=\arctan{\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}}\qquad{\rm (ha}\quad z>0{\rm )}$$ $$\varphi=\arctan{\frac{y}{x}}\qquad{\rm (ha}\quad x>0, y\geq0{\rm )}$$	+
−	Általános esetben ha egy K rendszerben a pont koordinátái $(x_1, x_2, x_3)$, akkor a K'-beli $(y_1, y_2, y_3)$ koordinátákat $$y_1=y_1(x_1, x_2, x_3)$$ $$y_2=y_2(x_1, x_2, x_3)$$ $$y_3=y_3(x_1, x_2, x_3)$$ alakú háromváltozós függvények adják meg. A transzformáció jellemzésére a parciális deriváltakból képzett [http://en.wikipedia.org/wiki/Jacobian_matrix_and_determinant Jacobi-mátrix] használatos.	+	Ezeket a fiktív (nem valóságos) erőket [http://en.wikipedia.org/wiki/Fictitious_force tehetetlenségi erőknek] nevezzük. Bevezetésükkel a Newton-törvények gyorsuló koordinátarendszerekben is használhatóvá válnak:
−		+
−	$$\mathbf{J}(x_1,x_2,x_3)=\frac{\partial(y_1,y_2,y_3)}{\partial(x_1,x_2,x_3)}=	+
−	\begin{bmatrix}	+
−	\frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \frac{\partial y_1}{\partial x_2} & \frac{\partial y_1}{\partial x_3} \\	+
−	\frac{\partial y_2}{\partial x_1} & \frac{\partial y_2}{\partial x_2} & \frac{\partial y_2}{\partial x_3} \\	+
−	\frac{\partial y_3}{\partial x_1} & \frac{\partial y_3}{\partial x_2} & \frac{\partial y_3}{\partial x_3}	+
−	\end{bmatrix}$$	+
−	A mátrix determinánsa (a [http://en.wikipedia.org/wiki/Jacobian_matrix_and_determinant Jacobi-determináns]) fontos információkat ad a transzformációról. Ha a determináns egy adott pontban nem nulla, akkor a pont környezetében a mátrix invertálható, és így a transzformáció kölcsönösen egyértelmű. Ezen kívül a Jacobi-determináns nagysága megadja, hogy a ${\rm d}V={\rm d}x_1{\rm d}x_2{\rm d}x_3$ elemi térfogat hányszorosára nő (vagy hányad részére csökken) a transzformáció hatására, pozitív vagy negatív előjele pedig azt mutatja meg, hogy a transzformáció megtartja vagy megfordítja-e a bázis irányítottságát.	+	Ha egy K inerciarendszerben egy pont helyét az $\vec{r}(t)$ helyvektor adja meg, a hozzá képest egyenes vonalú gyorsuló mozgást végző K' rendszerben pedig az $\vec{r}\,'(t)$, akkor a két vektor között az $$\vec{r}(t)=\vec{r}\,'(t)+\vec{r}_{K'}(t)$$ összefüggés teremt kapcsolatot, ahol $\vec{r}_{K'}(t)$ a K' rendszer origójának a helye a K rendszerhez viszonyítva. Ha a kifejezést kétszer deriváljuk idő szerint, akkor az $$\vec{a}(t)=\vec{a}\,'(t)+\vec{a}_0$$ összefüggést kapjuk, ahol $\vec{a}_0$ a K' rendszer gyorsulása a K rendszerhez képest. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozva a tömegpont $m$ tömegével, és kihasználva, hogy a tömegpontra ható erők eredője a K inerciarendszerben $\vec{F}_e=m\vec{a}$, az $$\vec{F}_e=m\vec{a}\,'+m\vec{a}_0$$
		+	egyenletet kapjuk. Ez azt mutatja, hogy a gyorsuló K' rendszerben nem teljesül Newton II. törvénye.
−	Példaképpen a gömbi koordinátákat Descartes-koordinátákba átvivő transzformáció Jacobi-mátrixa:	+	Ha azonban bevezetjük az $\vec{F}_t=-m\vec{a}_0$ tehetetlenségi erőt, akkor $$\vec{F}_e=m\vec{a}\,'-\vec{F}_t$$ $$\vec{F}_e'=\vec{F}_e
−	$$\mathbf{J}(\rho,\theta,\varphi)=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\theta,\varphi)}=	+	+\vec{F}_t=m\vec{a}\,'$$ azaz ha a valódi erők mellett a fiktív (nem valóságos) tehetetlenségi erőt is beleszámítjuk az eredő erőbe ($\vec{F}_e'$), akkor a Newton II. törvény ebben a koordinátarendszerben is használhatóvá válik.
−	\begin{bmatrix}	+
−	\frac{\partial x}{\partial\rho} & \frac{\partial x}{\partial\theta} & \frac{\partial x}{\partial\varphi} \\	+
−	\frac{\partial y}{\partial\rho} & \frac{\partial y}{\partial\theta} & \frac{\partial y}{\partial\varphi} \\	+
−	\frac{\partial z}{\partial\rho} & \frac{\partial z}{\partial\theta} & \frac{\partial z}{\partial\varphi}	+
−	\end{bmatrix}=	+
−	\begin{bmatrix}	+
−	\sin\theta\cos\varphi & \rho\cos\theta\cos\varphi & -\rho\sin\theta\sin\varphi \\	+
−	\sin\theta\sin\varphi & \rho\cos\theta\sin\varphi & \rho\sin\theta\cos\varphi \\	+
−	\cos\theta & -\rho\sin\theta & 0	+
−	\end{bmatrix}$$	+
−	Jacobi-determinánsa a zenit tengelyen kívül mindenütt pozitív: $${\rm det}({\bf J})=\rho^2\sin\theta\geq 0,\qquad{\rm ha}\quad \rho\neq0,\quad\theta\neq0,\quad\theta\neq\pi$$	+	===Centrifugális erő és Coriolis-erő===
−	Eszerint a transzformáció ezeken a pontokon kívül kölcsönösen egyértelmű, megfordítható. A transzformáció a bázis irányítottságát sehol nem változtatja meg, viszont az elemi térfogatot általában csökkenti vagy növeli.	+	Forgó koordinátarendszer esetében a gyorsuló koordinátarendszerhez hasonlóan fiktív tehetetlenségi erők bevezetésével érhetjük el, hogy a Newton-törvények használhatók legyenek.
−	==Távolságmérés idővel==	+	Ha a K' rendszer $\vec{\omega}$ szögsebességgel forog a K inerciarendszerhez képest, akkor a K' rendszerben a valódi erőkön kívül általános esetben három fiktív erőt kell felvenni:
−	===A fénysebesség kitüntetett szerepe===	+
−	A [[Speciális relativitáselmélet|speciális relativitáselmélet]] szerint egyetlen test se mozoghat gyorsabban, mint a vákuumbeli [http://en.wikipedia.org/wiki/Speed_of_light fénysebesség]. A fény (vákuumban) viszont bármely – egymáshoz képest akár nagy sebességgel mozgó – koordinátarendszerből megfigyelve ezzel a sebességgel halad. A fénysebességnek így kitüntetett szerepe van, egyike az alapvető természeti állandóknak.	+
−	A fénysebesség [http://en.wikipedia.org/wiki/Speed_of_light#Measurement mérése] nem könnyű. A fénysebesség a hétköznapi életben megszokott sebességekhez képest olyan nagy, hogy sokáig azt hitték, hogy a fény terjedéséhez egyáltalán nem kell idő. Az első nagyságrendileg helyes eredményt adó méréseket [http://en.wikipedia.org/wiki/R%C3%B8mer%27s_determination_of_the_speed_of_light Rømer] végezte a XVII. században a Jupiter holdjainak megfigyelésével. A későbbiekben különböző technikákkal a fénysebességet egyre pontosabban sikerült meghatározni.	+	Az $\vec{F}_{cf}=-m\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})$ [http://en.wikipedia.org/wiki/Centrifugal_force_(rotating_reference_frame) centrifugális erő] minden testre „hat”, az $\vec{F}_{cor}=-2m\vec{\omega}\times\vec{v}$ [http://en.wikipedia.org/wiki/Coriolis_force Coriolis-erő] viszont csak a K' rendszerhez képest mozgó testekre. Az [http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_force Euler-erő] bevezetésére csak gyorsulva forgó koordinátarendszer esetén van szükség, ezzel nem foglalkozunk.
−	A fénysebesség ismeretében lehetőség van arra, hogy távolságok mérését időmérésre vezessük vissza. Az idő az egyik legpontosabban mérhető mennyiség, így ezzel a módszerrel a távolságokat is nagy pontossággal lehet mérni. Ezt az elvet használja a [[#A GPS|GPS]] is: a távolságokat a fénysebességgel haladó rádióhullámok futási idejéből számolja.	+	A kifejezésekben az $\vec{\omega}$ a [http://en.wikipedia.org/wiki/Angular_velocity szögsebesség-vektor] (ennek nagysága a szögsebesség, iránya pedig a forgás tengelye), a $\times$ jel pedig a [http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_cross_product vektoriális szorzat] jele. Ezeknek a tehetetlenségi erőknek a használatát a [[#Tehetetlenségi erők a forgó Földön|forgó Földhöz]] rögzített koordinátarendszer esetében mutatjuk meg.
−	===SI méter-etalon a fénysebesség értékének rögzítésével===	+	A [http://www.csodakpalotaja.hu Csodák palotájában] a Coriolis-erő közvetlenül is megtapasztalható a [http://videosmart.hu/video/csodak-palotaja-coriolis-szoba Coriolis-szobában]. A centrifugális erő élményéről pedig Truffaut Négyszáz csapás című filmjében van egy szép [http://v.youku.com/v_show/id_XMTcxMDY2NTQ0.html jelenet].
−	[http://hu.wikipedia.org/wiki/Bay_Zolt%C3%A1n Bay_Zoltán] vetette fel, hogy a fénysebesség egyre pontosabb meghatározása helyett legyen a fénysebesség értéke rögzített érték, és a métert éppen ennek segítségével definiáljuk.	+
−	1983 óta a fénysebesség értéke definíciószerűen ''c''=299792458 m/s (az akkor elfogadott mért fénysebesség egész m/s-okra kerekített érétke). A [http://en.wikipedia.org/wiki/Metre méter] definíciója azóta: 1 méter a fény által a vákuumban a [[#A másodperc-etalon|másodperc]] 1/299792458-ad része alatt megtett út hossza.	+	===Valódi erők és tehetetlenségi erők===
		+	A valódi erők és a gyorsuló koordinátarendszereknél bevezetett fiktív tehetetlenségi erők között lényeges különbségek vannak.
−	==Helymeghatározás csillagászati módszerekkel==	+	A valódi erők mindig két test közötti kölcsönhatás kifejezői. Mindig megtalálható az a másik test, amivel a vizsgált test kölcsönhat, és mindig teljesül Newton III. törvénye (hatás-ellenhatás).
−	===A nyílt-tengeri hajózás és az időmérés===	+
−	A Nap, a Hold és a csillagok, bolygók látszólagos helyzetéből sokféle következtetés levonható. Ha ismerjük a helyet, ahol vagyunk, akkor az égitestek pozíciójából következtethetünk az időre. Így működik a [http://en.wikipedia.org/wiki/Sundial napóra], az egyik legősibb időmérő eszköz. A napóra leolvasása azonban nem olyan egyszerű, mint ahogy elsőre gondolni lehet. Először is a Nap csak az [http://en.wikipedia.org/wiki/Time_zone időzóna] közepén delel (átlagosan) délben, a többi helyen ehhez képest hosszúsági fokonként 4 perccel eltolódva (hiszen a Föld átlagosan 24 óra alatt fordul 360°-ot). Azonban az időzóna közepén is csak átlagosan delel délben, hiszen ahogy [[#Milyen_hosszú_egy_nap?|korábban]] láttuk a delelés időpontja az [http://en.wikipedia.org/wiki/Equation_of_time időegyenlet] szerint kb. ±15 perccel ingadozik. A nyári időszámítás során ehhez adódik hozzá még egy további óra eltolódás.	+
−	A nyílt tengeri hajózással (amikor a hajósok már hosszabb ideig olyan messzire távolodtak a partoktól, hogy azokat nem láthatták) szükségessé vált a pillanatnyi helyzet csillagászati módszerekkel való meghatározása.	+	A tehetetlenségi erők fiktív, nem valóságos erők. Gyorsuló koordinátarendszerekben azért vezetjük be, hogy Newton II. törvénye használható legyen. Ezek nem kölcsönhatást fejeznek ki, nem lehet megtalálni a kölcsönható másik testet. Ugyanakkor a gyorsuló koordinátarendszerben leírva a mozgást ezek az erők ugyanúgy hatnak a testekre, mint a valóságos erők.
−	A szélesség (észak-déli irányban mért helyzet) meghatározása éjszaka aránylag egyszerű: a [http://en.wikipedia.org/wiki/Polaris Sarkcsillag] (a déli féltekén kevésbé pontosan a [http://en.wikipedia.org/wiki/Crux Dél_keresztje]) adott helyen jó közelítéssel mindig ugyanott látható (mert körülbelül a Föld forgástengelyének meghosszabbításán helyezkednek el). Így a Sarkcsillag magasságának mérésével az északi szélesség azonnal adódik. Nappal a Nap delelési magasságát kell megmérni, és a dátum ismeretében (hiszen a delelés magassága egy adott helyen is változik az év során) a szélesség táblázatok segítségével meghatározható. A hullámzó tengeren nem könnyű szöget mérni: erre a célra fejlesztették ki a [http://en.wikipedia.org/wiki/Sextant szextánst].	+	==Tehetetlenségi erők a forgó Földön==
		+	===Gravitációs erő és nehézségi erő===
		+	[[Fájl:2008_nehezsegi_ero.jpg|bélyegkép|200px|8. ábra]]
		+	A forgó Föld nem inerciarendszer, azonban a földi jelenségeket mégis legtöbbször a Földhöz rögzített koordinátarendszerben érdemes leírni. Ahhoz, hogy a Newton-törvények használhatók legyenek, a testekre ható valódi erőkön kívül a forgás miatt fellépő fiktív, tehetetlenségi erőket: a centrifugális erőt és Coriolis-erőt is figyelembe kell venni. (A Föld forgása jó közelítéssel egyenletes, így Euler-erő nem lép fel. A Föld Nap körüli keringésének hatása pedig legtöbbször elhanyagolható.)
−	A hosszúság (kelet-nyugati irányban mért helyzet) meghatározásához azonban már szükség van a pontos idő ismeretére is. A Nap, a Hold, a csillagok és a bolygók delelésének, keltének vagy nyugtának időpontja függ a megfigyelő kelet-nyugati helyzetétől (és az [http://en.wikipedia.org/wiki/Equation_of_time időegyenlet] miatt a dátumtól is). Így az égitest delelésének, keltének vagy nyugtának az időpontjának a méréséből táblázatok segítségével következtetni lehet a pillanatnyi helyzetre. Azonban 1 perc mérési hiba is negyed fok eltérést (az egyenlítő közelében több mint 25 km hibát) okoz. Egy több hónapos út során az idő ilyen pontos mérése komoly nehézségeket jelentett az újkor elején. Olyan [http://en.wikipedia.org/wiki/Clock#Later_developments mechanikus_órákat] kellett készíteni, amelyek a tengeri út viszontagságai (hullámzás, változó hőmérséklet) mellett is minél pontosabban működtek.	+	A két erő közül a centrifugális erő okoz kevesebb problémát: ennek az erőnek a nagysága nem függ a test mozgásállapotától. A centrifugális erő sok szempontból hasonlóan viselkedik, mint a gravitációs erő, hiszen arányos a test tömegével, és ezen kívül csak a test helyétől függ: $F_{cp}=mr\omega_F^2$, ahol $\omega_F$ a Föld szögsebessége, $r$ pedig a test távolsága a Föld forgástengelyétől.
−	==A GPS==	+	A forgó koordinátarendszerből megfigyelve nem lehet szétválasztani a két erőt, minden testre a két erő eredője hat. A gravitációs erő ($\vec{F}_g$) a Föld középpontja felé, a centrifugális erő ($\vec{F}_{cp}$) pedig a forgástengelyre merőleges irányban, kifelé mutat. A két erő eredője az $m\vec{g}$ nehézségi erő (8. ábra). A nehézségi erő és a gravitációs erő tehát (a sarkokat kivéve) kis mértékben eltér egymástól, a legnagyobb (kb. 0,3 %) eltérés az egyenlítőnél van. A két erőnek általában az iránya is eltér egymástól: a nehézségi erő a sarkokat és az egyenlítőt kivéve nem a Föld középpontjába mutat. A nehézségi erő iránya definíció szerint az adott helyen a függőleges irány, az erre merőleges sík pedig a vízszintes. A tengerszint – amihez a földrajzi magasságokat mérik – emiatt nem gömbfelület, hanem egy lapult forgási ellipszoid.
−	===A rendszer alapelve===	+
−	A [http://en.wikipedia.org/wiki/Global_Positioning_System GPS] (Global Positioning System, globális helymeghatározó rendszer) az Egyesült Államok által eredetileg katonai célokra létrehozott és működtetett navigációs rendszer. 2000 óta a jelek kódolását megszüntették, és így a szolgáltatást bárki használhatja (korábban dekóder nélkül csak egy mesterségesen bevitt hibával torzított jel volt elérhető). Az amerikaiaktól való függés csökkentése érdekében tervezés, ill. kiépítés alatt van a – hagyományos GPS szolgáltatások mellett más információt is nyújtó – európai [http://en.wikipedia.org/wiki/Galileo_(satellite_navigation) Galileo] rendszer.	+
−	A GPS rendszernek három alapvető eleme van:	+	===Súlyos és tehetetlen tömeg, az Eötvös-kísérlet===
		+	A tömeg két alapvető fizikai összefüggésben is szerepel: [[#Newton_II._törvénye|Newton II. törvényében]] és az [[#Newton_gravitációs_törvénye|általános tömegvonzás törvényében]] is.
−	Legalább 24 pontosan meghatározott pályán keringő [http://en.wikipedia.org/wiki/Global_Positioning_System#Space_segment műhold],	+	A tömeg fogalmát Newton II. törvénye kapcsán vezettük be: az $\vec{F}=m\vec{a}$ összefüggés megadja, hogy mekkora erő kell egy test gyorsításához. Az összefüggés alapján a tömeget definiálhatjuk a következőképpen: egységnyi tömeg az, amit egységnyi erő egységnyi gyorsulással gyorsít. Ebben a definícióban a tömeg a test „tehetetlenségét” fejezi ki, ezért szokás [http://en.wikipedia.org/wiki/Mass#Inertial_mass tehetetlen tömegnek] nevezni.
−	3 [http://en.wikipedia.org/wiki/Global_Positioning_System#Control_segment földi állomás], melyek a műholdak pályáját ellenőrzik,	+	A Newton-féle gravitációs törvény két tetszőleges test közötti vonzóerőt adja meg. Ez az erő a tapasztalat szerint a testek távolságán kívül a testek tömegétől függ. A törvény alapján a tömeget definiálhatjuk a következőképpen is: egységnyi tömeg az, ami egy másik ugyanekkora tömeget egységnyi távolságból megadott erővel (az SI rendszerben 6,67∙10<math>^{-11}</math> N) vonz. Ebben a definícióban a tömeg a test „gravitálóképességét” fejezi ki, ami a gyakorlatban a test súlyát okozza, ezért szokás [http://en.wikipedia.org/wiki/Mass#Newtonian_Gravitational_mass_2 súlyos tömegnek] nevezni.
−	és a GPS [http://en.wikipedia.org/wiki/Global_Positioning_System#User_segment vevőkészülékek].	+	Elméleti és gyakorlati szempontból is fontos, hogy a két, egymástól független definícióval meghatározott tömeg ekvivalens-e. Az a kísérleti tapasztalat, hogy vákuumban minden test ugyanakkora gyorsulással esik, azt mutatja, igen: a testre ható gravitációs erő a test $m_s$ súlyos tömegével arányos, a Newton törvényben viszont a test $m_t$ tehetetlen tömege szerepel. A szabadon eső test gyorsulása tehát $$a=\frac{m_s g}{m_t}=\frac{m_s}{m_t}g$$ ami csak akkor lesz minden testre ugyanakkora, ha a kétféle tömeg aránya minden testnél ugyanakkora (megfelelő mértékegység választással 1).
−	A műholdak a Föld felszíne felett kb. 20 ezer km magasan, az egyenlítővel 55°-os szöget bezáró pályán keringenek. Naponta kétszer kerülik meg a Földet. A műholdakon két nagyon pontos atomóra, a GPS-jeleket kisugárzó antenna, a földi állomásokkal kapcsolatot tartó antenna, a pályajavítást elvégző hajtóművek és az energiaellátást biztosító napelemek találhatóak. A műholdak pontosan meghatározott frekvenciákon jelsorozatokat sugároznak a Föld felé.	+	A szabadon eső testek gyorsulása azonban nem mérhető kellő pontossággal. [http://hu.wikipedia.org/wiki/E%C3%B6tv%C3%B6s_Lor%C3%A1nd Eötvös Loránd] a XX. század elején a róla elnevezett [http://hu.wikipedia.org/wiki/E%C3%B6tv%C3%B6s_Lor%C3%A1nd#E.C3.B6tv.C3.B6s-inga_.28torzi.C3.B3s_inga.29 Eötvös-inga] segítségével a kétféle tömeg ekvivalenciáját közel három nagyságrenddel pontosabban igazolta, mint a korábbi mérések. Az [http://en.wikipedia.org/wiki/E%C3%B6tv%C3%B6s_experiment Eötvös-kísérlet] alapja, hogy a forgó Földön a vékony torziós szálra erősített tömegekre a súlyos tömegekkel arányos gravitációs erő és a tehetetlen tömegekkel arányos centrifugális erő is hat. Eötvösnek sikerült kimutatnia, hogy a kétféle tömeg aránya különböző anyagok esetén legfeljebb 1:10<math>^{-9}</math> arányban tér el egymástól.
−	A földi állomások radarok és nagy pontosságú GPS-vevők, melyek mérik a műholdak megadott és tényleges helyzetének különbségét, és ez alapján naponta kijavítják a műholdak pályáját. Ezen kívül ellenőrzik, és szükség esetén javítják a műholdakon lévő atomórák idejét is.	+	Az Eötvös-ingával mérni lehet a gravitációs erő nagyon kicsiny változásait is, amiből a földalatti tömegeloszlásra lehet következtetni, és így földgáz- és kőolajlelőhelyeket lehet megtalálni.
−	A GPS vevőben egy érzékeny, a műholdak frekvenciájára hangolt antenna veszi a műholdak jelét. A jel alapján a vevőkészülék azonosítja a műholdat, a jel kibocsátásának és beérkezésének különbségéből pedig -– a rádióhullámok fénysebességgel azonos terjedési sebessége alapján -– kiszámolja a műhold és a vevő közti távolságot. A vevőkészülék az összes műhold pályáját ismeri (ezeket az adatokat a műholdakról érkező adatok frissítik), így három műholdtól való távolság ismeretében a GPS-vevő helyzete már meghatározható. A pontos távolságméréshez azonban a vevőkészülékben is nagypontosságú (és nagyon drága) órára lenne szükség. (A rádióhullámok fénysebességgel, 3∙10<math>^8</math> m/s sebességgel terjednek. Néhány méteres pontossághoz az időt 10<math>^{-8}</math> s pontossággal kell mérni!) A drága óra helyett az idő megállapításához egy negyedik műhold jelét is felhasználja a vevőkészülék.	+	===Coriolis-erő: szelek, tengeráramlatok, folyók===
		+	A Coriolis-erő csak a forgó koordinátarendszerhez képest mozgó testekre hat. Nagysága és iránya függ a test sebességétől, így nem lehet a centrifugális erőhöz hasonlóan kezelni.
−	A GPS-vevő működéséhez tehát legalább négy műhold egyidejű „látására” van szükség. Ekkor a vevőkészülék meg tudja határozni a helyzetét megadó három koordinátát (pl. a fokokban és szögpercekben megadott szélességet és hosszúságot, valamint a tengerszint feletti magasságot) és a pontos időt. A hely és az idő folyamatos mérése alapján már könnyen számolható a vevőkészülék sebessége, haladási iránya, emelkedése, a megtett út, átlagsebességek stb.	+	A Coriolis-erő vektoriális kifejezéséből ($\vec{F}_{cor}=-2m\vec{\omega_F}\times\vec{v}$) látszik, hogy az erő merőleges a Föld forgástengelyére és a test Földhöz viszonyított sebességére is, és minden olyan testnél fellép, amely nem a forgástengellyel párhuzamosan mozog. A Coriolis-erőnek számtalan hétköznapi életben megfigyelhető hatására van: a gyorsan mozgó lövedékek a kilövés irányától függően vízszintes és függőleges irányban is eltérülhetnek, a keleti és nyugati irányban mozgó testek súlya kis mértékben eltér egymástól, a szabadon eső testek pedig nem pontosan függőlegesen esnek.
−	===Technikai nehézségek, pontosság, hibajavítás===	+	A gyakorlati szempontból legfontosabb jelenség azonban a mozgó levegő- és víztömegekre ható Coriolis-erő. A nyomáskülönbségek miatt mozgó légtömegek a Coriolis-erő hatására eltérülnek, és hatalmas forgó rendszerek, úgynevezett [http://en.wikipedia.org/wiki/Cyclone ciklonok] alakulnak ki. Az északi féltekén a forgás mindig óramutató járásával ellentétes, a délin pedig megegyező irányú. A Coriolis-erőnek fontos szerepe van a trópusokon a felszín közelében kelet felől fújó [http://en.wikipedia.org/wiki/Trade_wind passzát szelek] és a nagy magasságban a Földet körülérő nyugati irányú [http://en.wikipedia.org/wiki/Jet_stream futóáramlások (jetek)] kialakulásában is.
−	A helymeghatározás pontosságát csökkentik a műholdak pályahibái (az elvi pályától való kicsiny eltérés), a légkör (elsősorban az elektromosan töltött [http://en.wikipedia.org/wiki/Ionosphere ionoszféra]) zavaró hatásai, földi tárgyak (hegyek, növényzet, épületek) árnyékolása és az ezekről visszaverődő jelek.	+
−	A légkörben a rádióhullámok kicsit lassabban terjednek, mint vákuumban, ezért a jel egy kicsit később érkezik a vevőhöz (úgy, mintha távolabbról érkezne). A légkör és a rádióhullámok terjedésének elméleti modellezésével ez a hatás számításokkal részben figyelembe vehető. A légkör állapota, az ionoszféra vastagsága azonban változó. Az ebből származó hiba kiküszöbölésére több lehetőség is van.	+	A Coriolis-erő a légtömegekhez hasonlóan a hőmérséklet- és a sókoncentráció-különbségek, a szél és az árapály hatására létrejövő [http://en.wikipedia.org/wiki/Ocean_currents tengeráramlatok] mozgását is befolyásolja. A tengeráramlásokhoz hasonlóan a folyókra is hat a Coriolis-erő: az északi féltekén a folyók erősebben alámossák a jobb partjukat. A Visegrádnál a hegyeket áttörő Duna például folyamatosan vándorol nyugatra: ezt mutatják a folyó vándorlása után visszamaradt kiskunsági homokdombok és a jobb parton végig megtalálható leszakadó löszfalak (pl. Dunaújváros, Dunaföldvár).
−	A műholdak nem csak egy, hanem két különböző frekvencián is sugároznak. A különböző frekvenciájú jelek a [http://en.wikipedia.org/wiki/Dispersion_relation diszperzió] miatt más sebességgel haladnak át a légkörön, kicsiny időkülönbséggel érnek a vevőhöz. Az időkülönbségből következtetni lehet a légkör állapotára, és így a hiba jelentősen csökkenthető.	+	===Foucault-inga===
		+	A Föld forgását sok kísérleti tapasztalat mutatja. A csillagászati megfigyelések mellett éppen a forgás miatt fellépő tehetetlenségi erők adják a legközvetlenebb bizonyítékokat. Történetileg leghíresebb kísérlet az 1851-ben a párizsi Panthéonban bemutatott [http://en.wikipedia.org/wiki/Foucault_pendulum Foucault-inga]. A mozgó ingára a Földhöz rögzített koordinátarendszerben hat a Coriolis-erő, és emiatt az inga lengési síkja lassan elfordul. Inerciarendszerből nézve az inga lengési síkja változatlan marad, és a Föld fordul el alatta. Az elfordulás sebessége függ a földrajzi helytől: a sarkokon egy [[Tér_és_idő#Milyen_hosszú_egy_nap?|csillag-nap]] alatt teljesen körbefordul, más helyeken viszont lassabban (az egyenlítőn pedig egyáltalán nem) fordul el.
−	A másik fontos hibacsökkentő eljárás alapja, hogy a hiba adott időpillanatban a hely függvényében csak lassan változik. A műholdak jelét pontosan meghatározott helyen telepített vevők is veszik, és összehasonlítják a GPS-jel alapján mért pozíciót a valódival. Az így kapott javító jeleket visszajuttatják a műholdakra, amelyek azt a többi jellel együtt sugározzák ([http://de.wikipedia.org/wiki/European_Geostationary_Navigation_Overlay_Service EGNOS], [http://en.wikipedia.org/wiki/Wide_Area_Augmentation_System WAAS]). Így amatőr készülékekkel a tereptől és a pillanatnyi műholdállástól függően 3-10 m pontosság érhető el. Ahol ennél nagyobb pontosságra van szükség, ott földi rádiójeleket is felhasználó, komolyabb készülékekre van szükség ([http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_GPS differenciális GPS]).	+	----
		+	Vissza a [[Fizika 1i]] nyitóoldalára
−	===A GPS a hétköznapokban===	+	1. [[Tér és idő]]
−	A hajózásban és a repülésben a GPS szinte teljesen átvette a helyét a hagyományos navigációs eszközöknek. A közúti közlekedésben pedig szintén rohamos a térnyerése a papíralapú térképekkel való tájékozódás rovására. A fuvarozó cégek GPS segítségével követik nyomon a szállítmányaikat, és az ellopott járművek megtalálásában is nagy segítség a járműben elrejtett GPS-készülék. A GPS üzemzavara vagy kikapcsolása beláthatatlan következményekkel járna, ezért is fontos a független [http://en.wikipedia.org/wiki/Galileo_(satellite_navigation) Galileo] minél hamarabbi kiépítése.	+
−		+
−	Rádióadóval kiegészített kisméretű GPS vevők segítségével tanulmányozni lehet a vándormadarak és más állatok mozgását. Ugyan ennek a technikának a segítségével a tájfutó világversenyeken az erdőben futó versenyzők mozgását lehet a célban kivetített térképen élőben nyomon követni. Precíziós, földi segédállomást használó készülékekkel pedig akár néhány cm-es elmozdulások is mérhetők, ami lehetővé teszi a GPS használatát a geológiában is.	+
−		+
−	Az árak rohamos csökkenésével egyre többen használnak hobbi GPS készülékeket. Kirándulás, hegymászás közben nagy segítség, hogy sötétben, ködben is lehet tájékozódni. A készülék memóriájában rögzített nyomvonal (track) lehetővé teszi a futás, kirándulás, biciklizés vagy utazás utólagos elemzését (távok, sebességek, helyek, időpontok) és az útvonal megjelenítését térképen vagy űrfotón. A kezdetekben a készülékek elterjedésének gyorsítására kitalált GPS-es kincskereső játék (a [http://en.wikipedia.org/wiki/Geocaching geocaching], Magyarországon a [http://geocaching.hu geocaching.hu]) mára több mint 1 millió ember szórakozása világszerte.	+
−		+
−	----	+
−	Vissza a [[Fizika I.]] nyitóoldalára	+
−	2. [[Mozgás és megjelenítése]]	+	2. '''Mozgás és megjelenítése'''
	3. [[Megmaradási törvények a mechanikában]]		3. [[Megmaradási törvények a mechanikában]]

---

A lap 2011. február 9., 08:48-kori változata

Minden mozog körülöttünk. Vajon mi lehet a mozgások oka, milyen természettörvények írják le a mozgásokat? „Már a régi görögök is” sokat gondolkoztak ezen, mégis mintegy 2000 évnek kellett eltelnie, mire – Newton munkásságának köszönhetően – pontos választ kaphattunk ezekre a kérdésekre. Newton törvényeinek ismerete elengedhetetlen a környező világ mozgásainak megértéséhez a bolygómozgásoktól kezdve a biliárdgolyókon keresztül egészen az atomi felbontású alagútmikroszkóp piezo mozgatójáig. A mozgásegyenletek megoldásában sokat segíthet a számítógép. Ugyanakkor a számítógépes animációk is csak akkor élethűek, ha tükrözik ezeket a szabályszerűségeket.

Tartalomjegyzék 1 Az erő 1.1 Deformáció és mozgásállapot-változás 1.2 Erőmérés 1.3 Newton III. törvénye 2 Newton II. törvénye 2.1 A tehetetlen tömeg 2.2 A tömeg és az erő mértékegysége 3 Mechanikai erőhatások 3.1 Nehézségi erő 3.2 Kényszererők 3.3 Súrlódás, közegellenállás 4 Newton II. törvénye a nanotechnológiában 4.1 A tehetetlenségi piezo mozgató 5 Valóságos mozgások modellezése 5.1 Milyen hatásokat fontos figyelembe venni? 5.2 A mozgásegyenletek felírása 5.3 Kezdeti feltételek megadása 5.4 A mozgásegyenlet megoldása 5.5 A megoldás ábrázolása grafikonokkal 6 Szabadesés légellenállással 6.1 A feladat megoldása egyszerű numerikus módszerekkel 6.2 A numerikus megoldás veszélyei 7 Newton gravitációs törvénye 7.1 A törvény „ellenőrzése” 7.2 Súly és súlytalanság 7.3 Mekkora a Föld tömege? A gravitációs állandó mérése 8 Newton I. törvénye 8.1 Az inerciarendszer fogalma 9 Gyorsuló és forgó koordinátarendszerek 9.1 Tehetetlenségi erő 9.2 Centrifugális erő és Coriolis-erő 9.3 Valódi erők és tehetetlenségi erők 10 Tehetetlenségi erők a forgó Földön 10.1 Gravitációs erő és nehézségi erő 10.2 Súlyos és tehetetlen tömeg, az Eötvös-kísérlet 10.3 Coriolis-erő: szelek, tengeráramlatok, folyók 10.4 Foucault-inga

Az erő

Deformáció és mozgásállapot-változás

A hétköznapi tapasztalat alapján könnyen arra a téves megállapításra juthatunk, amit az ókori gondolkodók is vallottak, hogy egy test mozgásának a fenntartásához külső hatás szükséges: ahhoz, hogy vízszintes talajon egyenletes sebességgel biciklizzünk, folyamatosan tekerni kell, különben a bicikli előbb-utóbb megáll. A jelenség részletesebb vizsgálatával azonban rájöhetünk, hogy a biciklire rajtunk kívül más is hat (például a légellenállás vagy a gördülési ellenállás) és nekünk éppen azért kell tekernünk, hogy ezeket a hatásokat kiegyenlítsük. Ha egy testet minden más test hatásától mentesen (például a világűrben, az égitestektől távol) magára hagyunk, akkor a kezdeti sebességét megtartva egyenes vonalú egyenletes mozgással fog mozogni.

A newtoni dinamika alapvető állítása, hogy nem a mozgás fenntartásához, hanem a mozgásállapot megváltoztatásához van szükség külső hatásra. Ez a külső hatás az erő. A testet érő hatásnak a nagysága és az iránya is fontos: az erő vektoriális mennyiség.

A testre ható erő azonban nem csak a test mozgásállapotát változtatja meg, hanem a testet kisebb-nagyobb mértékben deformálja is. A test alakváltozása (deformációja) lehetőséget ad az erő egyszerű mérésére.

Erőmérés

A testre ható erő és a test deformációja között általában nagyon bonyolult a kapcsolat. Az erő méréséhez leginkább rugalmas testek aránylag kismértékű alakváltozása alkalmas. Rugalmas testet azért célszerű választani, mert az az erőhatás megszűntével újra felveszi eredeti alakját. Ezen kívül legtöbb rugalmas test deformációja a tapasztalat szerint aránylag kis alakváltozás esetén lineárisan változik az erőhatással.

Ilyen erőmérő eszköz az egyszerű rúgós erőmérő is, de a mérni kívánt erő nagyságától, a mérés pontosságától függően sokféle ilyen elven működő eszköz készíthető.

Newton III. törvénye

Az erő mindig két test közötti kölcsönhatás. Ha egy A test hat egy másik, B testre, akkor a B test is hatni fog az A testre. A tapasztalat szerint a két erő azonos nagyságú, de ellentétes irányú. Ezt a tapasztalatot fogalmazza meg Newton III. törvénye (hatás-ellenhatás törvénye):

Később (a jelenségek egyszerűbb leírása érdekében) be fogunk vezetni fiktív (nem valóságos) erőket, melyek nem kölcsönhatások. Egy testre ható valódi erő esetében azonban mindig meg lehet találni azt a másik testet, amely hat rá.

Newton II. törvénye

A tehetetlen tömeg

Egy test a rá ható erő hatására megváltoztatja mozgásállapotát, azaz meg fog változni a sebessége (a sebesség nagysága, iránya vagy nagysága és iránya). A tapasztalat szerint a test gyorsulása arányos a testre ható erő nagyságával: Az arányossági tényező a testre jellemző állandó. Minél nagyobb ez az állandó, annál kevésbé változtatja meg a mozgásállapotát egy adott erő hatására a test, annál nehezebb elindítani (vagy megállítani), annál „tehetetlenebb”. A testre ható erő és a hatására létrejövő gyorsulás hányadosa a test tehetetlen tömege. A tapasztalat szerint a gyorsulás iránya megegyezik az erő irányával. Ezt is figyelembe véve felírható a testre ható erő, a test tömege és gyorsulás közötti kapcsolat. Ez Newton II. törvénye (a dinamika alapegyenlete): Egy testre általában nem csak egy erő hat. A testre ható erők külön-külön gyorsulásokat okoznának. Ha az erők egyszerre hatnak a testre, akkor a test gyorsulása ezeknek a gyorsulásoknak az összege lesz, tehát az erők egymástól függetlenül hatnak (erőhatások függetlenségének elve, szokás Newton IV. törvényének is nevezni):

A tömeg és az erő mértékegysége

A tömeg SI mértékegysége a kilogramm (kg). Ezt a mértékegységet még nem vezették vissza alapvető természeti állandókra. Eredeti meghatározása szerint 1 dm 4°C-os víz tömege, 1889 óta pedig 1 kg a kilogramm etalon (egy Párizs közelében őrzött platina-irídium henger) tömege. A mértékegység másik zavaró furcsasága, hogy az SI alapegység történeti okokból kilo- előtagot tartalmaz.

Az erő SI mértékegysége a newton (N). 1 N az az erő, ami egy 1 kg tömegű testet 1 m/s gyorsulással gyorsít. Az erő régebbi mértékegysége a kilopond (kp) volt, ami egy 1 kg tömegű test súlya (a 45° szélességen, tengerszinten).

Mechanikai erőhatások

Nehézségi erő

A Földön minden testre hat a nehézségi erő, ami lényegében a Föld gravitációs vonzásából származik (de attól kicsit eltér a Föld forgása miatt). A nehézségi erő un. térfogati erő: a kiterjedt test minden pontjára hat. Feladatok megoldásánál azonban a testre ható nehézségi erőt egyetlen, a tömegközéppontban ható erővel vesszük figyelembe. A nehézségi erő arányos a test tömegével: , ahol 9,81 m/s, a Föld felszínének közelében csak kis mértékben változó nagyságú nehézségi gyorsulás. A nehézségi erő iránya definíciószerűen a függőleges irány (ami a forgás miatt nem pontosan a Föld középpontja felé mutat).

Kényszererők

A testek mozgásuk során nem mozoghatnak szabadon: más testek kényszerfeltételeket szabhatnak a test mozgására. Ezek a kényszerek is erők formájában hatnak a testre, ezeket a különböző erőket nevezzük kényszererőknek.

Kiterjedt testek nem hatolhatnak akadálytalanul egymásba, ezért egy másik (merev) test felülete kényszerként megakadályozza a test szabad mozgását. A két test felülete közt ható erő a nyomóerő (). A nyomóerő mindig merőleges a felületre, nagyságát azonban a testre ható más erők és a test mozgása határozza meg.

Egy másik, gyakran előforduló kényszererő a fonálerő (kötélerő). Egy fonálra rögzített test mozgását korlátozza a fonál: a testre a többi erő és a test mozgásától függő nagyságú fonálirányú húzó erő hat.

Súrlódás, közegellenállás

Két test érintkezésekor a felületre merőleges nyomóerőn kívül a felülettel párhuzamos erő is felléphet, ez a súrlódási erő (). Megkülönböztetünk nyugalmi (tapadási) és mozgási (csúszási) súrlódást.

A tapadási súrlódási erő két egymáshoz képest álló felület közt lép fel. Nagysága és iránya mindig olyan, hogy akadályozza a testek egymáshoz képesti elmozdulását. Nagysága azonban nem lehet tetszőlegesen nagy: , ahol a felületen ható nyomóerő, pedig a felületek anyagától és minőségétől függő tapadási súrlódási együttható.

A csúszási súrlódási erő két egymáshoz képest mozgó felület között hat. Iránya mindig a relatív elmozdulással ellentétes irányú. Nagysága arányos a felületek közt ható nyomóerővel: , ahol a (szintén a felületek anyagától és minőségétől függő) csúszási súrlódási együttható. Általában .

A levegőben (gázokban) vagy folyadékban mozgó testekre ható fékező erő a közegellenállás (). Kis sebességeknél a fékező erőt a gáz (folyadék) és a test közti viszkózus súrlódás okozza, ilyenkor . Nagyobb sebességeknél viszont a mozgó test mögött kialakuló örvények fékezik a testet, ekkor . A légellenállás vizsgálatára egy konkrét feladat kapcsán visszatérünk.

A relatív sebességgel ellentétes irányú fékező erőn kívül felléphetnek oldalirányú erők is, például a repülésben alapvetően fontos aerodinamikai felhajtóerő, vagy a forgó tárgyaknál fellépő Magnus-hatás.

Newton II. törvénye a nanotechnológiában

A tehetetlenségi piezo mozgató

Látványos kísérlet, amit egy kis gyakorlással bárki megcsinálhat: úgy lehet kirántani egy abroszt a teríték alól, hogy a poharak, tányérok éppen csak megmozdulnak.

A kísérlet alapja a testek tehetetlensége. Ha egy vízszintes tálcára poharakat állítunk, és a tálcát lassan (kis gyorsulással) mozgatni kezdjük, akkor a tapadási súrlódás miatt a poharak a tálcával együtt fognak mozogni. Ha viszont a tálcát hirtelen (nagy gyorsulással) mozgatjuk, akkor a poharak megcsúsznak, és tehetetlenségük miatt nem követik a tálca mozgását. Ha a tálcát kis kitéréssel, de aszimmetrikusan, az egyik irányban kis gyorsulással, a másik irányba nagy gyorsulással mozgatjuk, akkor elérhetjük, hogy a poharak a tálcán lassan vándoroljanak: egyik irányban a tálcával együtt mindig elmozdulnak egy kicsit, a másik irányban viszont megcsúsznak, és lényegében helyben maradnak.

Ilyen elven működnek a gyárakban anyagok mozgatására használt rázócsúszdák (ahol megfelelő rezgetéssel akár gyengén felfelé is csúszhatnak a tárgyak), és ugyanezen az elven alapul a tehetetlenségi piezo mozgató, amivel apró tárgyakat akár több cm távolságra el lehet juttatni atomi (tized nm) pontossággal.

A piezo kristályok a kristálylapokra kapcsolt feszültség hatására deformálódnak (deformáció hatására pedig feszültség keletkezik rajtuk). A feszültség finom szabályozásával a kristály szabad vége akár tized nm-es pontossággal mozgatható. Az ilyen elven működő különböző pásztázó mikroszkópok segítségével egy anyag felülete atomi felbontással letapogatható.

A piezo kristály szabad vége azonban csak kis elmozdulásokra képes. Nagyobb (cm-es) távolságokra úgy lehet eljuttatni egy apró tárgyat, hogy a kristályra aszimmetrikus (fűrészfog alakú) feszültségjelet kapcsolnak. Így a tárgy az egyik irányban (kis gyorsulással) a súrlódás miatt a kristály végével együtt mozog, a másik irányban viszont megcsúszik a nagy gyorsulással mozgó kristályon, és lényegében helyben marad. Így a kristály (aszimmetrikus) rezgése hatására apró lépésekben egy irányba halad.

Valóságos mozgások modellezése

Milyen hatásokat fontos figyelembe venni?

Feladatgyűjteményekben gyakran olvasható egy-egy feladat végén, hogy valamilyen hatás (pl. a súrlódás vagy a légellenállás) „elhanyagolható”.

A valóságban azonban egy fizikai folyamatot végtelen sok hatás befolyásol kisebb-nagyobb mértékben. (A hőmérséklet- és nyomásváltozásoktól az elektromos és mágneses hatásokon keresztül távoli testek gravitációs hatásáig.) Egy valódi probléma esetében ezért célszerűbb azt vizsgálni, hogy mi az a néhány hatás, amit a megoldáshoz mindenképp figyelembe kell venni. A súrlódás vagy a légellenállás nagyon sok mozgás esetében meghatározó, és a helyes megoldás érdekében annak ellenére figyelembe kell venni, hogy a megoldást bonyolultabbá teszi. (Mint látni fogjuk a numerikus módszereknek köszönhetően így sem válnak a feladatok megoldhatatlanná.)

Egy-egy konkrét feladat esetében nem mindig könnyű eldönteni, hogy melyek azok a hatások, amelyek semmiképp nem elhanyagolhatók. Ebben egyrészt a gyakorlat, másrészt – szükség esetén – próbaszámítások vagy kísérletek segíthetnek.

Példaképp vizsgáljuk egy kanyarban haladó autó mozgását. Az egyenletes sebességgel haladó járműnek valamilyen okból hirtelen fékeznie kell. Legfeljebb mekkora lehet a fékezés megkezdésekor a lassulása? Ha állandó erővel fékez, mekkora úton áll meg? Hogyan változik a kerekekre ható súrlódási erő az idő függvényében?

Milyen hatásokat kell figyelembe venni? A járműre hat a nehézségi erő és a talaj nyomóereje. Az út és a kerekek közti tapadási súrlódás semmiképp nem elhanyagolható, hiszen nélküle se kanyarodni, se fékezni nem lehet. Ennek a problémának a megoldásánál ezeket az erőkkel számolunk.

A légellenállás általában szintén nem elhanyagolható hatás egy jármű mozgására (hiszen vízszintes úton nagyobb sebességeknél elsősorban emiatt kell egyenletes sebességgel való haladáshoz is nyomni a gázpedált), de a hirtelen fékezéskor fellépő nagy erők mellett ebben az esetben szerepe másodlagos. (Ráadásul nincs információnk a szélről, ami a légellenállást szintén erősen befolyásolja.)

A mozgásegyenletek felírása

A mozgásegyenlet felírásához érdemes vázlatot készíteni a testre ható erőkről, ahol a test sebességét, gyorsulását, és a választott koordinátarendszer tengelyeit is feltüntetjük.

A mi esetünkben a rajzon a vízszintes erőket és irányokat rajzoljuk be (2. ábra), ezen kívül a testre függőleges irányban lefelé az nehézségi erő, felfelé pedig az nyomóerő hat. Vízszintes irányban csak a talaj és a kerekek közt fellépő tapadási súrlódási erő hat. A koordinátatengelyeket a jármű haladási irányában előre és erre merőlegesen, a kör középpontja irányában vesszük fel. A test a kanyarodás miatt gyorsul a kör középpontja felé ( centripetális gyorsulás) és a fékezés miatt a pálya érintőjének irányában is ( tangenciális gyorsulás).

Függőleges irányban a test nem gyorsul (feltesszük, hogy az út vízszintes), így a függőleges irányú erők eredője nulla: Vízszintes irányban a test gyorsulásvektora a centripetális gyorsulás és a tangenciális gyorsulás erdője: A két gyorsulás egymásra merőleges, így ahol a pálya sugara. Vízszintes irányban csak a súrlódási erő hat, így Newton II. törvénye alapján: A tapadási súrlódási erő nem lehet akármilyen nagy:

Ezeket az egyenleteket és egyenlőtlenségeket kell megoldanunk.

Kezdeti feltételek megadása

A probléma egyértelmű megoldásához a mozgásegyenleteken kívül szükség van a kezdeti feltételek megadására. Ugyanolyan mozgásegyenleteknek egész más megoldása lehet, ha mások a kezdeti feltételek. Például, ha a testre csak a nehézségi erő hat (, ), akkor a kezdeti feltételektől függően lehet a mozgás szabadesés (), függőleges, vízszintes vagy ferde hajítás is.

Esetünkben a kezdeti sebesség () értékére van szükségünk. (Látni fogjuk, hogy ettől függően lehet, vagy nem lehet fékezni.)

A mozgásegyenlet megoldása

Az egyenletrendszer könnyen megoldható: A fékezés kezdetekor a lassulás maximális értéke: Látható, hogy a feladatnak csak akkor van megoldása, ha

Ha , akkor a jármű már a fékezés előtt, kanyarodás közben megcsúszik, ha akkor a kanyart még éppen be lehet venni, de fékezni már egyáltalán nem lehet.

Az állandó fékező erővel elérhető minimális fékút a maximális lassulásból már könnyen kiszámolható:

(A fékerő fokozatos változtatásával a fékút lehet rövidebb: a sebesség csökkenésével csökken a centripetális gyorsulás, és így egyre nagyobb lehet a jármű lassulása.)

A súrlódási erő időfüggése:

A megoldás ábrázolása grafikonokkal

A megoldás grafikonokkal (elmozdulás-idő, sebesség-idő, sebesség-elmozdulás, stb.) vagy animációval tehető szemléletessé.

A 3. ábra a fékút függését ábrázolja a (0) sebességtől (adatok: = 0,7, = 40 m). A 4. ábrán a súrlódási erő időfüggése látható (adatok: (0) = 55 km/h, = 1000 kg).

Szabadesés légellenállással

A feladat megoldása egyszerű numerikus módszerekkel

A Földön a szabadon eső testekre a nehézségi erőn kívül (különleges, vákuumban végzett kísérletektől eltekintve) a levegő közegellenállása is hat. A tapasztalat szerint a közegellenállási erő a sebesség növekedésével egyre nagyobb lesz, a test egyre kisebb gyorsulással gyorsul, míg végül – elegendően hosszú esési idő után – állandósult sebességgel, egyenes vonalú egyenletes mozgással esik tovább. Az, hogy a testre ható közegellenállási erő mennyi idő után válik meghatározó hatássá, függ az eső test méretétől, sűrűségétől és alakjától, valamint a közeg (a levegő vagy esetleg más gáz, folyadék) tulajdonságaitól is. Például egy porszem vagy egy ejtőernyős már viszonylag hamar egyenletes sebességgel esik, egy nagyobb kő viszont aránylag sokáig gyorsul.

Az eső testre a nehézségi erő és a közegellenállás hat, a mozgásegyenlet könnyen felírható. (A mozgás egyenes vonalú, így nincs szükség vektoregyenletre. A pozitív irányt függőlegesen lefelé választottuk.)

Az közegellenállási erő nagysága függ a test méretétől, alakjától, sebességétől, valamint a közeg tulajdonságaitól is. Aránylag kis sebességeknél a testre ható fékező erőt a közeg viszkozitása (belső súrlódása) okozza. Ilyen eset például egy apró porszem esése levegőben, vagy egy kanál süllyedése mézben Ekkor az erő a test sebességével arányos, gömb alakú test estében például , ahol a gömb sugara, pedig a közeg viszkozitása (Stokes-törvény).

Nagyobb sebesség esetén a testet a mögötte kialakuló örvények fékezik. Ez a meghatározó effektus, ha porszemnél nagyobb tárgyak esnek levegőben vagy vízben. Ilyenkor a fékező erő a sebesség négyzetével arányos: ahol a közeg sűrűsége, a test keresztmetszete, pedig a dimenziótlan formatényező. Ha az utóbbi modellt használjuk, és a közegellenállási erőt röviden alakban írjuk (ahol egy állandó, amely csak a test méretétől és alakjától, valamint a közeg sűrűségétől függ), akkor a mozgásegyenlet: Itt azonban és nem ismeretlen (időben állandó) mennyiségek, hanem ismeretlen függvények: és . A mozgásegyenlet, amit felírtunk, egy függvényegyenlet: és azonban nem függetlenek egymástól: Ez az egyenlet egy differenciálegyenlet, amely az ismeretlen függvényen kívül annak deriváltját (deriváltjait) is tartalmazza. A differenciálegyenletek egyes esetekben analitikusan megoldhatók, más esetekben viszont a megoldást csak numerikus módszerekkel lehet meghatározni. Bár a fenti differenciálegyenletnek létezik analitikus megoldása is, most oldjuk meg numerikus módszerekkel!

Differenciálegyenletek numerikus megoldására nagyon sok módszer van, itt most egy nagyon egyszerű, fizikai szempontból szemléletes megoldást mutatunk be.

Ha ismerjük a test helyét és sebességét egy időpontban, akkor a mozgásegyenlet alapján ki tudjuk számítani a gyorsulását is: A gyorsulás egy elegendően kicsi időtartam alatt keveset változik, ezért a test sebességét és helyét a időpontban jó közelítéssel ki tudjuk számolni úgy, mintha egyenletesen gyorsuló mozgás lenne: és ismeretében már meghatározható , és az eljárás megismételhető.

A számítás elvégzéséhez szükség van a kezdeti feltételek ( és ), valamint a befejezés feltételének megadására (például a vizsgált időtartam, vagy a földetérés távolságának a megadására). Ezen kívül meg kell választani értékét. Túl nagy választása esetén a számítás pontatlan, túl kicsi érték viszont feleslegesen hosszú számítási időt eredményez.

A számítás az algoritmus alapján bármely programnyelvvel (akár excel táblázatkezelővel is) elvégezhető, a mozgás grafikonokkal vagy animációval szemléltethető.

Az 5. és 6. ábrán látható grafikonok egy 100 m magasról leeső focilabda sebességét és gyorsulását ábrázolják az idő föggvényében (adatok: = 0,435 kg, = 0,22 m, = 1,2 kg/m, c = 0,47). Jól látható, hogy a gyorsulás a kezdeti értékről indulva nullához, a sebesség pedig egy határértékhez (az állandósult sebességhez) tart. A határsebesség a mozgásegyenletből kifejezhető:

Az adatokat behelyettesítve ez esetünkben kb. 20 m/s (72 km/h).

A numerikus megoldás veszélyei

A numerikus megoldás minden lépése közelítő, a kicsiny hibák idővel felhalmozódnak, a számítás eredménye egyre távolabb kerülhet az egzakt megoldás eredményétől. Kaotikus rendszerek különösen érzékenyek erre. A lépésköz csökkentésével a hiba csökkenthető (7. ábra) – ez viszont bonyolultabb számításoknál a program futási idejét növelheti meg túlságosan.

Bizonyos esetekben lehetőség van a felhalmozódó hibák részleges kijavítására is. Például ha a rendszerben a teljes mechanikai energia állandó, akkor ezt a feltételt is figyelembe lehet venni a számításban, és ezzel el lehet kerülni, hogy a numerikus megoldásban az összenergia folyamatosan növekedjen vagy csökkenjen.

Newton gravitációs törvénye

A törvény „ellenőrzése”

Newton nevéhez kötődik a róla elnevezett törvényeken kívül a gravitációs kölcsönhatás leírása is. Az általános tömegvonzás törvényének megalkotásához Newtont két fontos tapasztalat segítette: Galilei kísérletekkel igazolt állítása, miszerint a szabadon eső testek gyorsulása (ha a légellenállást elhanyagolható) nem függ a testek tömegétől, és Kepler III. törvénye, amely az égitestek keringési ideje és a pályájuk fél nagytengelye között teremt kapcsolatot.

Ezekből a tapasztalatokból, figyelembe véve Newton II. törvényét következik, hogy a tömegvonzás egyenesen arányos a kölcsönhatásban résztvevő testek tömegével és fordítva arányos a testek távolságának négyzetével. Így a gravitációs erő nagysága ahol és a testek tömege, a két tömegpont távolsága (kiterjedt testeknél, ha a testek gömbszimmetrikusak, a gömbök középpontjának távolsága), pedig egy egyelőre ismeretlen állandó. Az erő mindig vonzóerő, iránya a két testet összekötő egyenes.

Newton a törvény ellenőrzésére a Föld felszínének közelében szabadon eső test és a Föld körül első közelítésben körpályán keringő Hold mozgását hasonlította össze. Végezzük el mi is ezt az ellenőrzést!

A szabadon eső testre (elhanyagolva a légellenállást) csak a Föld gravitációs ereje hat: ahol a Föld tömege, pedig a Föld sugara (hiszen a Föld felszínén lévő test ilyen távolságra van a Föld középpontjától). A testre felírt mozgásegyenlet (elhanyagolva, hogy a Föld forog): A két egyenletből A Hold és a Föld között fellépő gravitációs erő: ahol a Hold tömege, pedig a Föld-Hold távolság (a középpontjaik közti távolság). A Hold első közelítésben körpályán mozog a Föld körül, így a mozgásegyenlet: ahol a Hold centripetális gyorsulása. A két egyenletből A centripetális gyorsulás ahol a Hold keringésének szögsebessége, pedig a Hold keringési ideje. Ezt behelyettesítve

A képletekben szereplő , , és értékeket már Newton is ismerhette. A Föld-Hold távolságot a Föld sugarához hasonlóan már az ókorban megmérték parallaxis módszerrel (a Hold a Föld különböző pontjairól más irányban látszik), közepes értéke a Föld sugarának kb. 60-szorosa. A Hold keringési ideje, az un. sziderikus hónap, az az idő, ami alatt a Hold az állócsillagokhoz képest egyszer megkerüli a Földet. (Ez az idő – 27,32 nap – eltér a két azonos holdfázis, pl. két telihold közti szinodikus hónaptól – 29,53 nap –, hiszen miközben a Hold megkerüli a Földet, a Föld is elmozdul a Nap körül.)

Behelyettesítve a , az , az és a értékeket két kifejezésébe. a illetve a értékek adódnak, amelyek kevesebb, mint 1 %-kal térnek el egymástól. Figyelembe véve a számítás közben végzett elhanyagolásokat, ez valóban meggyőző eredmény.

Súly és súlytalanság

A súly és a tömeg fogalma a hétköznapi szóhasználatban gyakran keveredik, egymás szinonimájaként használják. Pedig a két fogalom között (azon kívül, hogy a súly egy erő, tehát mértékegységét tekintve is különbözik a tömegtől) jelentős különbségek vannak. A test súlya a tömegén kívül függ a test helyétől és mozgásállapotától is.

A súly meghatározása a nemzetközi irodalomban nem egységes. A Magyarországon szokásos meghatározás szerint egy test súlya az az erő, amelyet a test az alátámasztására vagy a felfüggesztésére kifejt. Azt, hogy egy testnek súlya van, a rá ható gravitációs erő okozza, így az függ a test helyén mérhető nehézségi gyorsulástól. Ezért lesz egy test súlya kisebb a Holdon, mint a Földön (körülbelül egy hatoda a földi súlyának). A test súlya azonban csak akkor egyezik meg a rá ható gravitációs erővel, ha a test nyugalomban van (vagy egyenes vonalú egyenletes mozgást végez). Ha a test gyorsul, akkor a rá ható erők eredője nem nulla, és a test súlya különbözni fog a gravitációs erőtől.

Egyszerű méréseket lehet végezni egy liftben. Ha a nyugalomban lévő (vagy egyenletesen haladó) liftben ráállunk egy fürdőszobamérlegre, akkor az az „igazi”, nyugalmi súlyunkat fogja mutatni, . Ha viszont a lift felfelé gyorsuló mozgást végez (felfelé gyorsít, vagy lefelé fékez), akkor a testünket a mérleg által kifejtett nyomóerő és a gravitációs erő különbsége fogja gyorsítani (), tehát a súlyunk (az az erő, amit a testünk kifejt az alátámasztásra – az alátámasztás által kifejtett nyomóerő ellenereje) nagyobb lesz a nyugalomban mért súlynál: . Ehhez hasonlóan lefelé gyorsuló liftben (ha a lift lefelé gyorsít, vagy felfelé fékez) a súlyunk kisebb lesz: .

Ha egy test szabadon esik, vagy más olyan mozgást végez, ahol a gravitáción kívül nem hat rá más erő (például kering a Föld körül), akkor a súlya nulla lesz. Ez a súlytalanság állapota. Természetesen a gravitáció a súlytalanság állapotában is hat a testre: a Föld körül keringő testet például éppen a gravitáció tartja körpályán (a gravitációs erő okozza a test centripetális gyorsulását).

Mekkora a Föld tömege? A gravitációs állandó mérése

Mekkora a Föld tömege? Ha tudnánk, akkor abból a gravitációs állandót is ki lehetne számítani, hiszen korábban kiszámítottuk a két mennyiség szorzatát. A Föld tömegét azonban nem tudjuk másképp meghatározni, csak éppen a gravitációs hatásán keresztül. Így először a állandót kell valahogy megmérni, és a Föld tömegét majd az alapján meghatározni. (A gravitációs állandó meghatározásához hasonlóan alkalmatlan a bolygók Nap körüli keringésének vizsgálata, hiszen a Nap tömegét se ismerjük független mérésből.)

A gravitációs állandó értékét két ismert tömegű és ismert távolságú test közt fellépő erőhatás alapján lehet megmérni. Mivel hétköznapi méretű testek között ez az erőhatás más erőkhöz képest nagyon kicsi, a mérés elvégzése nem könnyű. A XVIII. század legvégén elvégzett Cavendish-kísérlet lényege, hogy a kicsiny erőt egy torziós szál elcsavarodásából lehet meghatározni. Cavendish egy vízszintes rúd végeire két egyforma, néhány kg tömegű ólomgolyót rögzített, a rudat pedig egy vékony, rugalmas szálra függesztette (torziós inga). A felfüggesztett testek mellé helyezett másik két ólomgömb vonzásának hatására a szál kis mértékben elcsavarodott, amiből a szál torziós együtthatójának és a mérés geometriai elrendezésének ismeretében a fellépő gravitációs erő és a gravitációs állandó értéke kiszámítható: .

A gravitációs állandó alapján már kiszámítható a Föld tömege és átlagos sűrűsége:

A gravitációs állandó ismeretében a Föld (vagy más bolygók) pályaadataiból ehhez hasonlóan meghatározható a Nap tömege és sűrűsége is.

Newton I. törvénye

Az inerciarendszer fogalma

Newton I. törvénye kimondja, hogy ha egy testre nem hat erő, vagy a rá ható erők eredője 0, akkor a test nyugalomban van, vagy egyenes vonalú egyenletes mozgást végez. Newton I. törvénye a II. törvény speciális esetének is tekinthető, hiszen

A törvény állításával („nyugalomban van”, „egyenes vonalú egyenletes mozgást végez”) kapcsolatban azonban fel kell tennünk egy kérdést: Mihez képest? Milyen koordinátarendszerhez képest van a test nyugalomban? Milyen koordinátarendszerhez képest végez egyenes vonalú egyenletes mozgást?

Hétköznapi tapasztalat, hogy egy hirtelen fékező járműben a járműhöz képest korábban nyugalomban lévő test látszólag minden ok nélkül gyorsulni kezd. A járműhöz rögzített koordinátarendszerben ez ellentmond Newton I. törvényének: a test ebből a koordinátarendszerből nézve annak ellenére gyorsul, hogy a rá ható erők eredője nulla. Ugyanakkor, ha a Földhöz rögzített koordinátarendszerben írjuk le a mozgást, akkor azt látjuk, hogy a jármű fékez (lassul, negatív gyorsulása van), a test viszont egyenes vonalú egyenletes mozgással halad tovább, összhangban Newton I. törvényével.

Hasonló a helyzet egy kanyarodó járműben. A járműhöz rögzített koordinátarendszerből vizsgálva a járműben lévő testek annak ellenére kifelé (a kanyarodással ellentétes irányban) gyorsulnak, hogy nem hat rájuk vízszintes erő – ismét ellentmondva Newton I. törvényének. A Földhöz rögzített koordinátarendszerből nézve viszont azt látjuk, hogy a járművön lévő testek – összhangban Newton I. törvényével – egyenes vonalú egyenletes mozgással haladnak tovább, miközben a jármű „elkanyarodik alóluk”. Eszerint vannak olyan koordinátarendszerek, amelyekből leírva a jelenségeket Newton I. törvénye teljesül, és vannak olyanok, amelyekben nem.

Azokat a koordinátarendszereket, melyekben teljesül Newton I. törvénye (azaz ha egy testre nem hat erő, vagy a rá ható erők eredője nulla, akkor a test ebben a koordinátarendszerben nyugalomban van, vagy egyenes vonalú egyenletes mozgást végez), inerciarendszernek nevezzük. Newton I. törvénye így nem más, mint az inerciarendszer definíciója. A Newton-törvények – eredeti formájukban – csak inerciarendszerekben igazak.

A definíció alapján látszólag könnyű eldönteni, hogy egy koordinátarendszer inerciarendszer-e. Azonban azt, hogy egy testre valóban semmilyen erő ne hasson, nehéz biztosítani. Sok feladat megoldásakor a Földhöz rögzített koordinátarendszer inerciarendszernek tekinthető. A Föld azonban forog, így a Földhöz képest nyugalomban lévő testek valójában körmozgást végeznek a Föld tengelye körül, és így gyorsulnak. Tehát a Földhöz rögzített koordinátarendszer nem inerciarendszer. (A forgás lassú, ezért lehet sok esetben mégis annak tekinteni.) Jobb közelítés a Föld középpontjához rögzített, de nem forgó rendszer. Ez azonban a Föld Nap körüli keringése miatt – sokkal kisebb mértékben – szintén gyorsul. A Nap középpontjához (pontosabban a Naprendszer tömegközéppontjához) rögzített koordinátarendszer már gyakorlatilag minden esetben inerciarendszerként használható.

A Galilei-féle relativitás elve alapján az egymáshoz képest nyugalomban lévő vagy egyenes vonalú egyenletes mozgást végző rendszereket mechanikai jelenségek alapján nem lehet megkülönböztetni. Így ha egy koordinátarendszer inerciarendszer, akkor a hozzá képest egyenes vonalú egyenletes mozgást végző test is inerciarendszer. Az inerciarendszerek közötti transzformáció a Galilei-transzformáció.

Gyorsuló és forgó koordinátarendszerek

Tehetetlenségi erő

A Newton-törvények eredeti formájukban csak inerciarendszerekben igazak. A korábban elemzett példákban a fékező vagy kanyarodó járművön lévő testek annak ellenére gyorsuló mozgást végeznek a járműhöz képest, hogy a rá ható erők eredője nulla. A járműhöz képest a fékező (menetiránnyal ellentétes irányban gyorsuló) járműben előrefelé, a kanyarodó (az ív középpontja felé gyorsuló) járműben pedig kifelé gyorsulnak. A járműhöz viszonyított, gyorsuló koordinátarendszerben vizsgálva a testek tehát úgy mozognak, mintha fékezéskor előrefelé, kanyarodáskor kifelé (általában pedig a jármű gyorsulásával ellentétes irányba) ható erők is hatnának rájuk.

Ezeket a fiktív (nem valóságos) erőket tehetetlenségi erőknek nevezzük. Bevezetésükkel a Newton-törvények gyorsuló koordinátarendszerekben is használhatóvá válnak:

Ha egy K inerciarendszerben egy pont helyét az helyvektor adja meg, a hozzá képest egyenes vonalú gyorsuló mozgást végző K' rendszerben pedig az , akkor a két vektor között az összefüggés teremt kapcsolatot, ahol a K' rendszer origójának a helye a K rendszerhez viszonyítva. Ha a kifejezést kétszer deriváljuk idő szerint, akkor az összefüggést kapjuk, ahol a K' rendszer gyorsulása a K rendszerhez képest. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozva a tömegpont tömegével, és kihasználva, hogy a tömegpontra ható erők eredője a K inerciarendszerben , az

egyenletet kapjuk. Ez azt mutatja, hogy a gyorsuló K' rendszerben nem teljesül Newton II. törvénye.

Ha azonban bevezetjük az tehetetlenségi erőt, akkor azaz ha a valódi erők mellett a fiktív (nem valóságos) tehetetlenségi erőt is beleszámítjuk az eredő erőbe (), akkor a Newton II. törvény ebben a koordinátarendszerben is használhatóvá válik.

Centrifugális erő és Coriolis-erő

Forgó koordinátarendszer esetében a gyorsuló koordinátarendszerhez hasonlóan fiktív tehetetlenségi erők bevezetésével érhetjük el, hogy a Newton-törvények használhatók legyenek.

Ha a K' rendszer szögsebességgel forog a K inerciarendszerhez képest, akkor a K' rendszerben a valódi erőkön kívül általános esetben három fiktív erőt kell felvenni:

Az centrifugális erő minden testre „hat”, az Coriolis-erő viszont csak a K' rendszerhez képest mozgó testekre. Az Euler-erő bevezetésére csak gyorsulva forgó koordinátarendszer esetén van szükség, ezzel nem foglalkozunk.

A kifejezésekben az a szögsebesség-vektor (ennek nagysága a szögsebesség, iránya pedig a forgás tengelye), a jel pedig a vektoriális szorzat jele. Ezeknek a tehetetlenségi erőknek a használatát a forgó Földhöz rögzített koordinátarendszer esetében mutatjuk meg.

A Csodák palotájában a Coriolis-erő közvetlenül is megtapasztalható a Coriolis-szobában. A centrifugális erő élményéről pedig Truffaut Négyszáz csapás című filmjében van egy szép jelenet.

Valódi erők és tehetetlenségi erők

A valódi erők és a gyorsuló koordinátarendszereknél bevezetett fiktív tehetetlenségi erők között lényeges különbségek vannak.

A valódi erők mindig két test közötti kölcsönhatás kifejezői. Mindig megtalálható az a másik test, amivel a vizsgált test kölcsönhat, és mindig teljesül Newton III. törvénye (hatás-ellenhatás).

A tehetetlenségi erők fiktív, nem valóságos erők. Gyorsuló koordinátarendszerekben azért vezetjük be, hogy Newton II. törvénye használható legyen. Ezek nem kölcsönhatást fejeznek ki, nem lehet megtalálni a kölcsönható másik testet. Ugyanakkor a gyorsuló koordinátarendszerben leírva a mozgást ezek az erők ugyanúgy hatnak a testekre, mint a valóságos erők.

Tehetetlenségi erők a forgó Földön

Gravitációs erő és nehézségi erő

A forgó Föld nem inerciarendszer, azonban a földi jelenségeket mégis legtöbbször a Földhöz rögzített koordinátarendszerben érdemes leírni. Ahhoz, hogy a Newton-törvények használhatók legyenek, a testekre ható valódi erőkön kívül a forgás miatt fellépő fiktív, tehetetlenségi erőket: a centrifugális erőt és Coriolis-erőt is figyelembe kell venni. (A Föld forgása jó közelítéssel egyenletes, így Euler-erő nem lép fel. A Föld Nap körüli keringésének hatása pedig legtöbbször elhanyagolható.)

A két erő közül a centrifugális erő okoz kevesebb problémát: ennek az erőnek a nagysága nem függ a test mozgásállapotától. A centrifugális erő sok szempontból hasonlóan viselkedik, mint a gravitációs erő, hiszen arányos a test tömegével, és ezen kívül csak a test helyétől függ: , ahol a Föld szögsebessége, pedig a test távolsága a Föld forgástengelyétől.

A forgó koordinátarendszerből megfigyelve nem lehet szétválasztani a két erőt, minden testre a két erő eredője hat. A gravitációs erő () a Föld középpontja felé, a centrifugális erő () pedig a forgástengelyre merőleges irányban, kifelé mutat. A két erő eredője az nehézségi erő (8. ábra). A nehézségi erő és a gravitációs erő tehát (a sarkokat kivéve) kis mértékben eltér egymástól, a legnagyobb (kb. 0,3 %) eltérés az egyenlítőnél van. A két erőnek általában az iránya is eltér egymástól: a nehézségi erő a sarkokat és az egyenlítőt kivéve nem a Föld középpontjába mutat. A nehézségi erő iránya definíció szerint az adott helyen a függőleges irány, az erre merőleges sík pedig a vízszintes. A tengerszint – amihez a földrajzi magasságokat mérik – emiatt nem gömbfelület, hanem egy lapult forgási ellipszoid.

Súlyos és tehetetlen tömeg, az Eötvös-kísérlet

A tömeg két alapvető fizikai összefüggésben is szerepel: Newton II. törvényében és az általános tömegvonzás törvényében is.

A tömeg fogalmát Newton II. törvénye kapcsán vezettük be: az összefüggés megadja, hogy mekkora erő kell egy test gyorsításához. Az összefüggés alapján a tömeget definiálhatjuk a következőképpen: egységnyi tömeg az, amit egységnyi erő egységnyi gyorsulással gyorsít. Ebben a definícióban a tömeg a test „tehetetlenségét” fejezi ki, ezért szokás tehetetlen tömegnek nevezni.

A Newton-féle gravitációs törvény két tetszőleges test közötti vonzóerőt adja meg. Ez az erő a tapasztalat szerint a testek távolságán kívül a testek tömegétől függ. A törvény alapján a tömeget definiálhatjuk a következőképpen is: egységnyi tömeg az, ami egy másik ugyanekkora tömeget egységnyi távolságból megadott erővel (az SI rendszerben 6,67∙10 N) vonz. Ebben a definícióban a tömeg a test „gravitálóképességét” fejezi ki, ami a gyakorlatban a test súlyát okozza, ezért szokás súlyos tömegnek nevezni.

Elméleti és gyakorlati szempontból is fontos, hogy a két, egymástól független definícióval meghatározott tömeg ekvivalens-e. Az a kísérleti tapasztalat, hogy vákuumban minden test ugyanakkora gyorsulással esik, azt mutatja, igen: a testre ható gravitációs erő a test súlyos tömegével arányos, a Newton törvényben viszont a test tehetetlen tömege szerepel. A szabadon eső test gyorsulása tehát ami csak akkor lesz minden testre ugyanakkora, ha a kétféle tömeg aránya minden testnél ugyanakkora (megfelelő mértékegység választással 1).

A szabadon eső testek gyorsulása azonban nem mérhető kellő pontossággal. Eötvös Loránd a XX. század elején a róla elnevezett Eötvös-inga segítségével a kétféle tömeg ekvivalenciáját közel három nagyságrenddel pontosabban igazolta, mint a korábbi mérések. Az Eötvös-kísérlet alapja, hogy a forgó Földön a vékony torziós szálra erősített tömegekre a súlyos tömegekkel arányos gravitációs erő és a tehetetlen tömegekkel arányos centrifugális erő is hat. Eötvösnek sikerült kimutatnia, hogy a kétféle tömeg aránya különböző anyagok esetén legfeljebb 1:10 arányban tér el egymástól.

Az Eötvös-ingával mérni lehet a gravitációs erő nagyon kicsiny változásait is, amiből a földalatti tömegeloszlásra lehet következtetni, és így földgáz- és kőolajlelőhelyeket lehet megtalálni.

Coriolis-erő: szelek, tengeráramlatok, folyók

A Coriolis-erő csak a forgó koordinátarendszerhez képest mozgó testekre hat. Nagysága és iránya függ a test sebességétől, így nem lehet a centrifugális erőhöz hasonlóan kezelni.

A Coriolis-erő vektoriális kifejezéséből () látszik, hogy az erő merőleges a Föld forgástengelyére és a test Földhöz viszonyított sebességére is, és minden olyan testnél fellép, amely nem a forgástengellyel párhuzamosan mozog. A Coriolis-erőnek számtalan hétköznapi életben megfigyelhető hatására van: a gyorsan mozgó lövedékek a kilövés irányától függően vízszintes és függőleges irányban is eltérülhetnek, a keleti és nyugati irányban mozgó testek súlya kis mértékben eltér egymástól, a szabadon eső testek pedig nem pontosan függőlegesen esnek.

A gyakorlati szempontból legfontosabb jelenség azonban a mozgó levegő- és víztömegekre ható Coriolis-erő. A nyomáskülönbségek miatt mozgó légtömegek a Coriolis-erő hatására eltérülnek, és hatalmas forgó rendszerek, úgynevezett ciklonok alakulnak ki. Az északi féltekén a forgás mindig óramutató járásával ellentétes, a délin pedig megegyező irányú. A Coriolis-erőnek fontos szerepe van a trópusokon a felszín közelében kelet felől fújó passzát szelek és a nagy magasságban a Földet körülérő nyugati irányú futóáramlások (jetek) kialakulásában is.

A Coriolis-erő a légtömegekhez hasonlóan a hőmérséklet- és a sókoncentráció-különbségek, a szél és az árapály hatására létrejövő tengeráramlatok mozgását is befolyásolja. A tengeráramlásokhoz hasonlóan a folyókra is hat a Coriolis-erő: az északi féltekén a folyók erősebben alámossák a jobb partjukat. A Visegrádnál a hegyeket áttörő Duna például folyamatosan vándorol nyugatra: ezt mutatják a folyó vándorlása után visszamaradt kiskunsági homokdombok és a jobb parton végig megtalálható leszakadó löszfalak (pl. Dunaújváros, Dunaföldvár).

Foucault-inga

A Föld forgását sok kísérleti tapasztalat mutatja. A csillagászati megfigyelések mellett éppen a forgás miatt fellépő tehetetlenségi erők adják a legközvetlenebb bizonyítékokat. Történetileg leghíresebb kísérlet az 1851-ben a párizsi Panthéonban bemutatott Foucault-inga. A mozgó ingára a Földhöz rögzített koordinátarendszerben hat a Coriolis-erő, és emiatt az inga lengési síkja lassan elfordul. Inerciarendszerből nézve az inga lengési síkja változatlan marad, és a Föld fordul el alatta. Az elfordulás sebessége függ a földrajzi helytől: a sarkokon egy csillag-nap alatt teljesen körbefordul, más helyeken viszont lassabban (az egyenlítőn pedig egyáltalán nem) fordul el.

---

Vissza a Fizika 1i nyitóoldalára

1. Tér és idő

2. Mozgás és megjelenítése

3. Megmaradási törvények a mechanikában

4. Rezgések

5. Rend és rendetlenség

6. Hideg-meleg