„Tehetetlenségi nyomaték vizsgálata” változatai közötti eltérés
195. sor: | 195. sor: | ||
'''3.''' Határozza meg a torziós asztal tehetetlenségi nyomatékát! | '''3.''' Határozza meg a torziós asztal tehetetlenségi nyomatékát! | ||
− | '''a)''' A $\theta=\frac{1}{2}mR^2$ összefüggés alapján. Számítsa ki a tárcsa tehetetlenségi nyomatékát! A tárcsa anyaga alumínium ($\rho=2700\, | + | '''a)''' A $\theta=\frac{1}{2}mR^2$ összefüggés alapján. Számítsa ki a tárcsa tehetetlenségi nyomatékát! A tárcsa anyaga alumínium ($\rho=2700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3$). Méreteit méréssel határozza meg! |
'''b)''' A rúgó direkciós nyomatékának, a rendszer lengésidejének és csillapítási tényezőjének ismeretében. A korábbi mérési eredményei felhasználásával a [[#eq:8|(8)]] vagy [[#eq:9|(9)]] összefüggés alapján számítsa ki a torziós asztal tehetetlenségi nyomatékát! | '''b)''' A rúgó direkciós nyomatékának, a rendszer lengésidejének és csillapítási tényezőjének ismeretében. A korábbi mérési eredményei felhasználásával a [[#eq:8|(8)]] vagy [[#eq:9|(9)]] összefüggés alapján számítsa ki a torziós asztal tehetetlenségi nyomatékát! |
A lap 2012. október 3., 10:39-kori változata
A mérés célja:
- elmélyíteni a tehetetlenségi nyomatékkal kapcsolatos ismereteket,
- megismertetni a hallgatókat egy a tehetetlenségi nyomaték mérésére alkalmas módszerrel.
Ennek érdekében:
- összefoglaljuk a tehetetlenségi nyomatékkal kapcsolatos ismereteket, majd megvizsgáljuk egy olyan rendszer viselkedését, amelynek segítségével tehetetlenségi nyomatékot tudunk mérni,
- a mérések során meghatározzuk a méréséhez használandó rendszer paramétereit, majd a megismert rendszer segítségével tehetetlenségi nyomatékot mérünk, és kísérletileg igazoljuk a Steiner-tételt.
Elméleti ismeretek
A tehetetlenségi nyomaték
A tömegpontokból álló rendszer z-tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékát az alábbi kifejezés adja meg:
ahol az sorszámú, tömegű pont -tengelytől való távolsága, és ugyanennek a pontnak az , illetve koordinátája. Folytonos tömegeloszlású testek esetén a tehetetlenségi nyomaték:
ahol a test sűrűsége. A tehetetlenségi nyomaték értéke egyszerűbb esetekben számítással határozható meg, egyébként mérésekkel állapítható meg. Ha ismerjük egy test tehetetlenségi nyomatékát a súlypontján átmenő tengelyre vonatkozóan (), akkor egy ezzel a tengellyel párhuzamos tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka () a Steiner-tétel segítségével adható meg:
Itt a test tömege, a két tengely egymástól mért távolsága.
Forgási rezgések
A tehetetlenségi nyomatékkal kapcsolatos vizsgálatainkat egy forgási rezgéseket végző torziós asztal segítségével hajtjuk végre, ezért az alábbiakban egy ilyen rendszer viselkedését vizsgáljuk (1. ábra). A rendszer egyensúlyi helyzetét egyik végén a tengelyhez, a másik végén a kerethez rögzített spirálrugó biztosítja. A rendszer egyensúlyi helyzetéhez képest, a tengely körül (rad) szöggel való elforgatásához szükséges forgatónyomaték, nem nagy szögek esetén:
ahol (Nm/rad) a rugó direkciós nyomatéka.
Csillapítatlan forgási rezgések
Ha a torziós asztal tárcsájának a tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka és emellett a rendszer többi elemének tehetetlenségi nyomatéka, valamint a súrlódási veszteségek figyelmen kívül hagyhatók, akkor a rendszer mozgásegyenlete:
Ezen mozgásegyenlet megoldása a
egyenlettel leírható harmonikus forgási rezgés, ahol és értékét a kezdeti feltételek határozzák meg és a megoldás során adódik, hogy a körfrekvencia:
amiből a rezgés periódusideje:
Csillapodó forgási rezgések
A fentiekben szereplő csillapítatlan forgási rezgés amplitúdója állandó. A gyakorlatban megvalósítható rezgéseknél a mindig jelen lévő súrlódás miatt az amplitúdó folyamatosan csökken. Az ilyen mozgásoknál a rugó által létrehozott nyomatékon kívül megjelenő súrlódási erő hatását a szögsebességgel arányosnak feltételezve, (az arányosságot a állandóval véve figyelembe) a rezgés mozgásegyenlete:
A (4) egyenlet megoldása az és jelölésekkel
ahol a csillapítási tényező, és a kezdeti feltételektől függő állandók. A esetben:
A (5) egyenlettel leírt mozgás függvénye a 2. ábrán látható. A rezgés amplitúdója exponenciálisan csökken: . A rendszer az egyensúlyi helyzeten a időpontokban halad át, a szélső helyzeteket azonban nem a időpontokban éri el, de a szélső helyzetek között eltelt idő .
A torziós asztal és jellemzőinek meghatározása
Ahhoz, hogy egy rezgőmozgást végző rendszert felhasználhassunk ismeretlen minta tehetetlenségi nyomatékának meghatározásához, vagy a Steiner-tétel igazolásához, ismernünk kell rendszerünket és annak fizikai jellemzőit. Az alábbiakban a további vizsgálatokhoz felhasználandó eszközt, a torziós asztalt mutatjuk be, és ismertetünk néhány módszert, amely alkalmas a rendszer jellemzőinek meghatározására.
A torziós asztal
A további vizsgálatokhoz használt eszköz, a forgási rezgéseket végző torziós asztal fényképe és vázlata a 3. ábrán látható.
A torziós asztalban alkalmazott spirálrúgó direkciós nyomatékának () meghatározása
A direkciós nyomaték meghatározásánál a (2) egyenletből indulhatunk ki. Megmérve a rugóra ható nyomatékot és a nyomaték által létrehozott szögelfordulást, a direkciós nyomaték:
A mérés pontosságának növelése érdekében célszerű meghatározni a függvényt. A mérési pontokra egyenest illesztve az meredekségéből megkapható a rugó jellemzője.
A csillapítási tényező () meghatározása
A csillapítási tényező meghatározása a (5) egyenlet felhasználásával lehetséges. A lengő torziós asztal kitérése egy tetszőleges időpontban, illetve ez után egészszámú periódusidővel később a időpontban:
Mivel a két kifejezésben a szinuszos tagok értéke megegyezik, a szögkitérések hányadosának természetes alapú logaritmusa:
ahonnan
A csillapítási tényező gyakorlati meghatározásánál célszerű a szélső helyzetek figyelembevétele, a 2. ábra jelöléseihez igazodva:
ahol és pozitív egész szám. A csillapítási tényező ismeretében dönthető el, hogy a rendszer csillapítatlan vagy csillapított mozgást végzőnek tekinthető-e. Ha , akkor a (6) összefüggés alapján a torziós asztal mozgása csillapítatlan mozgásnak tekinthető. (A periódusidő mérhető.)
A torziós asztal tehetetlenségi nyomatékának meghatározása
Az asztal tehetetlenségi nyomatékának meghatározása tömegének és sugarának ismeretében
Az (1) egyenletből levezethetően sugarú és tömegű homogén korong tehetetlenségi nyomatéka forgástengelyére vonatkozóan:
Így az asztal tömegének és sugarának megmérése után tehetetlenségi nyomatéka számolható.
Az asztal tehetetlenségi nyomatékának meghatározása a rugó direkciós nyomatékának, a lengésidőnek és a csillapítási tényezőnek az ismeretében
A (6) egyenletből kiindulva felírható, hogy:
ahonnan
Ha a mozgás csillapítatlannak tekinthető
Az asztal tehetetlenségi nyomatékának meghatározása ismert tehetetlenségi nyomatékú tárcsa felhasználásával
Ha a torziós asztal önmagában végez lengéseket (6) alapján
Ha a torziós asztal közepére ismert () tehetetlenségi nyomatékú korongot szerelünk (a korong tengelye egybeesik az asztal tengelyével) a rendszer tehetetlenségi nyomatéka: -ra módosul és a lengés körfrekvenciája:
Feltételeztük, hogy a csillapítás nem változott. (10) és (11) hányadosából az asztal tehetetlenségi nyomatéka kiszámítható:
ahonnan
Ha a zárójelben lévő kifejezés második tagja nem éri el az első tag 0,01-ad részét, úgy az elhanyagolható és a lengés csillapítatlannak tekinthető. A értéke csillapítatlan lengés esetén
Mintadarab súlypontján átmenő tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékának meghatározása
Ha a torziós asztal mozgása csillapítatlan rezgésnek tekinthető, a mozgás periódusidejét a (3) összefüggés adja meg. Helyezzünk a torziós asztalra a 4. ábra szerint egy mintát, mely az asztal egy pontja körül () körbe forgatható. Az ábrán látható jelölésekkel a Steiner-tétel és a koszinusz tétel alkalmazásával a minta tehetetlenségi nyomatéka az ponton átmenő tengelyre vonatkozóan.
ahol a minta súlypontján () átmenő, a rendszer forgástengelyével párhuzamos tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka, a tömege és a minta súlypontjának távolsága a ponttól. Ha a torziós asztal tehetetlenségi nyomatéka , a rendszer periódusideje (8)-ból:
vagyis a periódusidő négyzete függvény szerint változik. Ha a mintát körbeforgatva mérjük a rezgésidőket (14) alakú függvényt kapunk. A mérési pontokra görbét illesztve és értéke meghatározható, melyek ismeretében a (14)-ben szereplő két ismeretlen ( és ) is kiértékelhető. Belátható, hogy a minta forgatása közben a legnagyobb lengésidőt akkor kapjuk, amikor a súlypont a legmesszebb van az forgástengelytől és a lengésidő akkor a legkisebb mikor a minta súlypontja a legközelebb van -hoz. Ebben a két esetben a lengésidőket a
illetve
összefüggések adják meg, melyekből és szintén meghatározhatóak. (A egyenletből megkaphatjuk -et, majd ezen eredmény felhasználásával (15)-ből vagy (16)-ból számítható ). A fenti eljárást a minta egy másik pontja körüli forgatásra megismételve, meghatározható a súlypont távolsága ettől a ponttól. A súlypont két ismert ponttól való távolsága egyértelműen megadja a súlypont helyét.
A Steiner-tétel igazolása
Ha az ismert tehetetlenségi nyomatékú tárcsát úgy helyezünk el torziós asztalon, hogy súlypontja az asztal forgástengelyétől ismert távolságra legyen, a rendszer tehetetlenségi nyomatéka a Steiner-tétel szerint
Csillapítatlan rezgéseket feltételezve (3) szerint a mozgás periódusidejének négyzete
azaz a függvény egyenest ad. Ha mérjük a rendszer lengésidejét () a tárcsa súlypontjának az asztal forgástengelyétől való távolságának függvényében és ábrázoljuk a periódusidő négyzetét az függvényében, a mérési pontokra egyenes illeszthető. Megjegyezzük, hogy a most kapott egyenes meredekségének és tengelymetszetének meghatározása az adott tehetetlenségi nyomatékú tárcsa tömegének ismeretében újabb lehetőséget ad a rendszer direkciós nyomatékának és tehetetlenségi nyomatékának meghatározására.
Mérési feladatok
- A mérés elvégzéséhez és a mérési napló elkészítéséhez a dőlt betűs részekben adunk segítséget.
- A mérések megkezdése előtt a torziós asztal talpán található csavarok és a mérőhelyen található libella segítségével az asztal síkját állítsa vízszintesre!
1. Határozza meg a spirálrugó D* direkciós nyomatékát!
A feladatot a (2) összefüggés felhasználásával oldja meg! Az elfordulást létrehozó forgatónyomatékot csigán átvetett fonál végén lévő edénykébe helyezett csapágygolyók segítségével hozza létre!
- A fonal befűzéséhez használjon tűbefűzőt!
- Adatok:
- golyók tömege: 4,07 g
- mérlegedény tömege: 4,6 g
- A tárcsa sugarát mérje meg!
A szögelfordulás az asztalon található fokbeosztás segítségével határozható meg. A mérés közben fellépő súrlódás hatásának csökkentése érdekében minden egyes nyomaték alkalmazásánál mérje meg a nyomatékhoz tartozó maximális és minimális szögkitérés értékét és a kettő számtani közepét vegye figyelembe.
- A minimális és maximális szögkitérést a tárcsa kocogtatásával keresheti meg.
10-12 mérési pontot vegyen fel, ábrázolja a függvényt, mérési pontjaira illesszen egyenest, majd a kapott egyenes meredekségéből határozza meg a direkciós nyomatékot!
2. Határozza meg a rendszer csillapítási tényezőjét!
a) Határozza meg a csillapítási tényező értékét először a (7) összefüggés segítségével! A lengésidőt – itt, és a továbbiakban is – legalább 5-5 lengés idejét mérve maximum 180°-os amplitúdóval indulva legalább ötször mérje meg! Az így kapott lengésidők átlagát használja a továbbiakban! A lengési amplitúdó csökkenésének vizsgálatánál 90°-os kitérésből induljon és 20 lengés után mérje meg a lecsökkent amplitúdót! A kapott eredmények ismeretében hasonlítsa össze a körfrekvencia és a csillapítási állandó értékét!
- Csillapítatlan rezgésnek tekintheti-e a torziós asztal mozgását?
b) Vizsgálja a rendszer csillapodását V-scope-pal!
- Ezt a mérést a legvégén, a többi mérés után végezze! Csak egy mérőhely van, egyeztessen a másik mérőpárral!
- Emlékeztetőül a V-scope-hoz:
- Indítsa el a V-scope programot!
- Nyissa meg a Sablonok mappában lévő torziosa.vsw fájlt!
- Tegye a gombocskát az asztal közepére és állítsa be az origót! (Define/Origin, sárga gombocska kijelölése, AutoOrigin parancs, kis várakozás, a távolságok megjelenése után OK.)
- A kész méréseket a Save as paranccsal a D:\hallgato mappában lévő saját mappába mentse!
- A mérés végén az összes fájlt ( .vsw és .ves kiterjesztés) másolja át pendrive-ra!
A V-scope előkészítése után helyezzen az asztalra egy gombocskát, térítse ki az asztalt kb. 90°-kal, indítsa el a V-scope-ot és engedje el az asztalt! A mérési eredmények alapján ábrázolja az asztal szögelfordulását az idő függvényében és határozza meg a csillapítási tényezőt!
- Vizsgálja meg a csillapodás jellegét! Valóban exponenciálisan csökken az amplitúdó? Mi lehet a különbség oka?
- Figyelem! A V-scope-os mérés nem alkalmas a periódusidő – és így az asztal tehetetlenségi nyomatékának – pontos mérésére, mert a gombocska megváltoztatja a rendszer tehetetlenségi nyomatékát!
3. Határozza meg a torziós asztal tehetetlenségi nyomatékát!
a) A összefüggés alapján. Számítsa ki a tárcsa tehetetlenségi nyomatékát! A tárcsa anyaga alumínium (). Méreteit méréssel határozza meg!
b) A rúgó direkciós nyomatékának, a rendszer lengésidejének és csillapítási tényezőjének ismeretében. A korábbi mérési eredményei felhasználásával a (8) vagy (9) összefüggés alapján számítsa ki a torziós asztal tehetetlenségi nyomatékát!
- Végezzen gyors számítást, és ellenőrizze, hogy a két módszerrel kiszámított eredmények nagyságrendileg egyeznek-e!
c) Ismert tehetetlenségi nyomatékú minta felhasználásával. Az ismert tehetetlenségi nyomatékú minta egy középen kis furattal ellátott korong. A korong tömege ismert (rá van írva), sugarát mérje meg és számítsa ki tehetetlenségi nyomatékát! Az ismert tehetetlenségi nyomatékú mintát a közepén lévő furat és egy csavar segítségével rögzítse az asztal közepére! A torziós asztal lengésidejét és csillapítási tényezőjét korábbról ismeri. Most mérje meg a megnövelt tehetetlenségi nyomatékú rendszer lengésidejét () és a (12) vagy (13) összefüggés alkalmazásával határozza meg a torziós asztal tehetetlenségi nyomatékát!
- A számítás során két egymáshoz közeli mennyiséget fog egymásból kivonni, ami nagyon megnöveli a hibát. Ezért mérje a periódusidőt minél gondosabban és pontosabban!
4. Határozza meg egy inhomogén tömegeloszlású lemezből készült minta tehetetlenségi nyomatékát a súlypontján átmenő és a lemez síkjára merőleges tengelyre vonatkozóan!
A mérőhelyen található mintát - amelynek tömegét ismeri (rá van írva) - rögzítse a torziós asztalra a mintán található furat és egy csavar segítségével! Az asztalon található rögzítési pontok közül ismeretei alapján válassza ki az optimálisnak tűnő rögzítési pontot!
- Melyik rögzítési pontot választja? Indokolja választását!
Mérje meg a rendszer lengésidejét a mintának a rögzítési pont körüli elforgatása és 30°-onkénti rögzítése mellett. (Ilyen módon 12 különböző lengésidőt mérhet. Minden lehetséges rögzítési pont körül 30°-os szögbeosztás található.) Ábrázolja a mért lengési idők négyzetét az elforgatási szög függvényében! Illesszen a mért adatokra megfelelő függvényt, és az illesztett függvény adataiból határozza meg és vagy és értékét, majd határozza meg a minta tehetetlenségi nyomatékát és a minta súlypontjának távolságát a mintán található furattól! (-ot, -t és -et ismeri.)
Ismételje meg a feladat első részét a mintán található másik furat felhasználásával! Ennek a mérésnek az elvégzése után megadhatja a súlypont helyét a mintán található furatoktól mérhető távolsága segítségével. Rajzolja le a mintát, jelölje be a furatokat és a tömegközéppont helyét!
- Adatok:
- Sárgaréz csap tömege: 2,2 g
- Piros fejű csap tömege: 2,08 g
5. Igazolja a Steiner-tételt!
Az ismert tehetetlenségi nyomatékú kis korongot rögzítse a torziós asztal tengelyétől különböző távolságban lévő rögzítési pontokhoz, és mérje meg a rögzítési pontokhoz tartozó lengési időket! Mérési eredményei alapján ábrázolja a függvényt! Mérési pontjaira illesszen egyenest! Az egyenes paramétereiből határozza meg a rendszer direkciós nyomatékát és tehetetlenségi nyomatékát! Hasonlítsa össze eredményeit a korábban kapott értékekkel!