„Optikai heterodin detektálás” változatai közötti eltérés
Lenk (vitalap | szerkesztései) |
Lenk (vitalap | szerkesztései) a |
||
| 133. sor: | 133. sor: | ||
{{eq|f_H {{=}} \frac{2v}{\lambda} {{=}} -\frac{2x_0\omega_r\sin(\omega_rt+\varphi_r)}{\lambda}|eq:31|(31)}} | {{eq|f_H {{=}} \frac{2v}{\lambda} {{=}} -\frac{2x_0\omega_r\sin(\omega_rt+\varphi_r)}{\lambda}|eq:31|(31)}} | ||
Itt „v” a tükör #2 sebessége az interferométerben, $\lambda$ az alkalmazott fény hullámhossza. A heterodin jel alakja a harmonikusan rezgő tükör esetén ([[#eq:27|27]]) és ([[#eq:30|30]]) alapján: | Itt „v” a tükör #2 sebessége az interferométerben, $\lambda$ az alkalmazott fény hullámhossza. A heterodin jel alakja a harmonikusan rezgő tükör esetén ([[#eq:27|27]]) és ([[#eq:30|30]]) alapján: | ||
| − | {{eq|i_H \equiv \sqrt{I_1I_2}\cos \left [\int\limits_0^{t-x/c}k_1\cdot 2v(\tau)d\tau - \varphi \right ] {{=}} \sqrt{I_1I_2}\cos \left [k_1\cdot 2x_0\cdot \cos (\omega_rt + \varphi_r) - \varphi \right ]|eq:32|(32)}} | + | {{eq|i_H \equiv \sqrt{I_1I_2}\cos \left [\int\limits_0^{t-x/c}k_1\cdot 2v(\tau)d\tau - \varphi \right ] {{=}} \sqrt{I_1I_2}\cos \left [k_1\cdot 2x_0\cdot \cos \left (\omega_rt \cdot (t-x/c)+ \varphi_r\right ) - \varphi \right ]|eq:32|(32)}} |
ahol $\varphi$-be a t = 0 miatt újonnan keletkezett konstans fázistolást is belevettük. Ha $\varphi_r$-be szintén beleértjük az x/c-ből eredő konstans fázistolást, akkor a heterodin jel alakja a következő: | ahol $\varphi$-be a t = 0 miatt újonnan keletkezett konstans fázistolást is belevettük. Ha $\varphi_r$-be szintén beleértjük az x/c-ből eredő konstans fázistolást, akkor a heterodin jel alakja a következő: | ||
{{eq|i_H \equiv \sqrt{I_1I_2}\cos \left [k_1\cdot 2x_0\cdot \cos(\omega_rt + \varphi_r)\right ]|eq:33|(33)}} | {{eq|i_H \equiv \sqrt{I_1I_2}\cos \left [k_1\cdot 2x_0\cdot \cos(\omega_rt + \varphi_r)\right ]|eq:33|(33)}} | ||
A lap 2012. november 22., 14:45-kori változata
Tartalomjegyzék |
Szerkesztés alatt!
Elméleti összefoglaló
A hullám fogalma – a fény mint hullám
A fény, mint ismeretes, az elektromágneses tér hullámjelensége. Jellemző rezgési frekvenciája a 1014 Hz körüli tartományba esik. Az a fizikai mennyiség, amelynek terjedését egyszerűen fénynek nevezzük, az elektromos és mágneses térerősség. Tehát a fényben az elektromos és a mágneses tér változásai terjednek. Tekintsünk egy, a tárgyalás szempontjából egyszerű, lineárisan polarizált harmonikus síkhullámot. A síkhullám elnevezés onnan ered, hogy az azonos térerősségű pontok egy adott pillanatban egy síkon helyezkednek el. A síkhullám kifejezése:
![\[{{E\left( \mathbf{r},t \right) = {E_0}\cos \left( \omega t - \mathbf{kr} \right)}}\]](/images/math/f/6/d/f6dbdb46476464b9d6662507a6419707.png)
ahol E0 az elektromos hullám amplitúdója, k a hullámszám vektor, 
az elektro-mágneses hullám körfrekvenciája, „f” pedig a frekvenciája. Egyszerű megfontolásokból a hullám terjedési sebessége k-val és 
-val kifejezhető:
![\[{{c = \frac{\omega }{\left| \mathbf{k} \right|}}}\]](/images/math/4/9/8/498df15b96825a8a3056b81993690aaa.png)
A „k” helyett a gyakorlatban 
-t szokás használni, amelyet hullámhossznak nevezünk. Így az egyenlet ismertebb alakjában 
. Az (1) egyenletből látszik 
szemléletes jelentése is: azt a k vektor irányában mért legkisebb távolságot jelenti, amely szerint a térerősség periodikusan változik.
Doppler-effektus
Tegyük fel, hogy az (1) szerinti monokromatikus síkhullámot egy „K” koordináta-rendszerben írtuk fel. Ha ezt a síkhullámot a K-hoz képest v(t) pillanatnyi sebességgel mozgó K' rendszerből figyeljük, akkor a hullám K-beli frekvenciájától különböző frekvenciájú hullámot fogunk észlelni. Válasszuk úgy a K és K' rendszert, hogy -ban az origók egybe essenek. Ekkor a K-beli koordinátát K'-beli koordinátákkal kifejezhetjük:
![\[\mathbf{r} = \int\limits_0^t \mathbf{v}(\tau) d\tau + \mathbf{r'}\]](/images/math/7/2/9/7297839bfebf68cf6ad7ead6ea975e9d.png)
Ezt beírva az (1) egyenletbe, a hullám K'-beli alakját nyerjük:
![\[E\left( \mathbf{r'},t \right) = {E_0}\cos \left( \varphi (\mathbf{r'},t) \right)= {E_0}\cos \left( \omega t - \mathbf{k} \cdot \int\limits_0^t \mathbf{v}(\tau)d\tau - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r'} \right)\]](/images/math/6/8/c/68c978c3caf0f4c63617e75ef88e46a4.png)
Definíció szerint a körfrekvencia a fázis (
) idő szerinti parciális deriváltja:
![\[\omega '(t) \equiv \frac{\partial \varphi }{\partial t} = \omega - \mathbf{k} \cdot \mathbf{v}(t)\]](/images/math/6/6/d/66d73041d0097047380b492c5705ee09.png)
tehát a két rendszer relatív sebességétől függően a körfrekvencia megváltozik, mégpedig a két vonatkoztatási rendszer relatív sebességének pillanatnyi értéke szerint. (Az egyszerűség kedvéért v és ω időfüggését a továbbiakban nem jelöljük.) Ezt a jelenséget felfedezőjéről Doppler-effektusnak nevezik. A jelenség az akusztikában már XIX században ismert és igazolt volt. (A fenti eredmény csak közelítő jellegű, mivel a Galilei-féle relativitás elvének megfelelő transzformáció, amellyel az egyik koordináta rendszerből áttérünk a másikba, csak a fénysebességhez képest kis v sebességek esetében igaz. A pontos tárgyalásnál a Galilei-féle relativitást fel kell cserélni az Einstein-féle relativitás elvével és ennek megfelelően a két rendszer transzformációját Lorentz-transzformációval kell leírni, ld. a függeléket. A gyakorlatban szinte mindig teljesül az a feltétel, hogy v << c, ahol „c” a fénysebesség, ezért a kapott eredmények nagyon nagy pontossággal érvényben maradnak.) Felhasználva a
![\[k = \frac{2\pi }{\lambda } \qquad \omega = 2\pi f\]](/images/math/0/e/c/0ec87fbd72b4b725646ee7c79bcd9797.png)
egyenleteket, a körfrekvenciáról áttérve frekvenciára kapjuk:
![\[{{f' = f - \frac{\left| \mathbf{v} \right|}{\lambda }\cos \vartheta}}\]](/images/math/1/8/7/187e21043c83a83d4601cc0e608bd933.png)
ahol 
a k és v vektor által bezárt szög koszinusza. Speciálisan, ha k és v azonos irányú, akkor , így:
![\[{{f' = f - \frac{\left| \mathbf{v} \right|}{\lambda }}}\]](/images/math/2/9/1/291d690bfda0bad1dc4b297e4ae14de7.png)
és ha ellentétes irányúak, akkor 
, melyből:
![\[{{f' = f + \frac{\left| \mathbf{v} \right|}{\lambda }}}\]](/images/math/6/b/9/6b9a4002dacd0e2a8f87f4767d843bff.png)
Optikai keverés
Tekintsünk két különböző frekvenciájú (
és 
), és azonos terjedési irányú (x) elektromágneses síkhullámot, ahol az egyik körfrekvencia időfüggő: 
. Ebben az esetben az elektromos térerősségek a következőképp írhatók fel:
![\[{{{E_1} = {E_{10}}\cos \left( {{\omega _1}t - {k_1}x} \right)}}\]](/images/math/a/7/7/a7709a1c3886877b1eb5600faa6e9ef2.png)
![\[{E_2} = E_{20}\cos \left( \int\limits_0^t \omega _2(\tau )d\tau - \int\limits_t^{t - x/c} \omega _2(\tau )d\tau + \varphi \right)=E_{20}\cos \left( \int\limits_t^{t - x/c} \omega _2(\tau )d\tau + \varphi\right)\]](/images/math/5/7/f/57f8c6e3341e643188bc0c321c13db14.png)
ahol „c” a fénysebesség, 
pedig egy konstans fázistolás. Az eredő elektromágneses tér a kettő összege:
![\[E = E_1 + E_2 = E_{10}\cos \left(\omega_1t - k_1x\right) + E_{20}\cos\left(\int\limits_t^{t - x/c} \omega _2(\tau )d\tau + \varphi\right)\]](/images/math/d/e/0/de09a912c6b9ab90ae0abbb5c2dd4e5c.png)
Helyezzünk az eredő tér egy adott pontjába (x) fényérzékelőt. Az érzékelő által szolgáltatott áram 
, ahol „P” a detektorra eső fényteljesítmény. A fényteljesítmény viszont az elektromos térerősség négyzetével arányos:
![\[P\sim E^2 = E_{10}^2 \cos^2\left(\omega_1t - k_1x\right) + E_{20}\cos^2\left(\int\limits_0^{t-x/c}\omega_2(\tau)d\tau + \varphi \right)+2E_{10}E_{20}\cos\left(\omega_1t - k_1x\right)\cos\left(\int\limits_{0}^{t-x/c}\omega_2(\tau)d\tau + \varphi\right)\]](/images/math/4/5/d/45d15020a51f96be9845137f137e1e15.png)
Ha ω2-t ω1-ből Doppler-eltolással állítjuk elő, és az alkalmazott sebességek nem relativisztikusak akkor ω2 csak nagyon kicsit tér el a konstans ω1-től. A továbbiakban egyszerűbb, ha az ω2 időfüggését egy külön 
taggal kezeljük, amely jóval kisebb ω1-nél.
![\[\omega_2(t) = \omega_1 + \Delta\omega(t)\]](/images/math/d/a/8/da82eecfb18dc662befca584cf8ef16a.png)
Δω függését a koordinátarendszerek sebességétől lásd a következő fejezetben. Ekkor
![\[\int\limits_0^{t-x/c}\omega_2(\tau)d\tau = \omega_1(t-x/c) + \int\limits_0^{t-x/c}\Delta\omega(\tau)d\tau\]](/images/math/3/7/d/37de04fd89f1253286612bc22946fafe.png)
Behelyettesítve (13)-ba a fenti összefüggést, és felhasználva, hogy
![\[{{\cos \alpha \cdot \cos \beta = \frac{1}{2}\left( {\cos \left( {\alpha + \beta } \right) + \cos \left( {\alpha - \beta } \right)} \right)}}\]](/images/math/e/d/e/edeb7e191965d71c4d6b7f0ef74cc12d.png)
iD alakja a következő:
![\[i_D \sim E_{10}^2\cos^2\left(\omega_1t - k_1x\right)+ E_{20}^2cos^2\left(\omega_1t - k_1x + \int\limits_0^{t-x/c}\Delta\omega(\tau)d\tau - \varphi\right) + E_{10}E_{20}\cos\left[2\omega_1t - 2k_1x + \int\limits_0^{t-x/c}\Delta\omega(\tau)d\tau + \varphi\right] + \]](/images/math/8/0/d/80d7e61d3371106f198b45043afc21a4.png)
![\[E_{10}E_{20}\cos\left[-\int\limits_0^{t-x/c}\Delta\omega(\tau)d\tau - \varphi\right]\]](/images/math/1/3/6/1369728c41961da2c04d41d268e5f336.png)
A detektor a ráeső teljesítmény időátlagát méri. Mivel fény esetén és ~1015 nagyságrendű, és ezt a frekvenciát a fényérzékelő nem képes követni, az első három tag iD kifejezésében kiátlagolódik. Felhasználva, hogy:
![\[\left<\cos(x)\right> {{=}} 0\]](/images/math/d/0/2/d02ac06f22e163259bc590e80874612b.png)
![\[\left<\cos^2(x)\right> = \frac{1}{2}\]](/images/math/1/a/1/1a1ae1786360bfadec544cd7641c70a2.png)
![\[\cos(-x) {{=}} \cos(x)\]](/images/math/3/0/e/30e7fff53958b633533761ea8267c96d.png)
ahol < > az időátlagot jelenti. A detektor jelére azt kapjuk, hogy:
![\[\left<i_D\right> \sim \frac{E_{10}^2}{2} + \frac{E_{20}^2}{2} + E_{10}E_{20}\cdot\cos\left(\int\limits_0^{t-x/c}\Delta\omega(\tau)d\tau + \varphi\right)\]](/images/math/3/2/d/32dda468ce8a4f9981fec391c147c5dd.png)
Az időátlagolást a fenti kifejezésben a fényhullám periódusidejének néhányszorosára végeztük el (ahogy a detektor is teszi), ezért ha és elég közel esik egymáshoz, a (17) kifejezés negyedik tagja átlagolás után is megmarad, ugyanis az 
jóval nagyobb magánál és -nél. Amennyiben a különbségi körfrekvencia olyan kicsi, hogy az ebből eredő változást már a fényérzékelő is képes követni, a detektor kimenő jelében megjelenik egy, a két fény körfrekvencia-különbségével változó jel, melynek amplitúdója a két térerősség amplitúdójának szorzata. Bevezetve az intenzitásokra az 
és 
jelölést:
![\[\left<i_D\right> \sim \frac{I_1}{2} + \frac{I_2}{2} + \sqrt{I_1 I_2}\cdot\cos\left(\int\limits_0^{t-x/c}\Delta\omega(\tau)d\tau + \varphi\right)\]](/images/math/b/2/2/b22748fb804647cfe4c20b37c714a209.png)
Az így kapott jel egyenáramú komponense a két fényhullám intenzitásának összegével arányos, ami e mérésben nem informatív, ezért elektronikus úton leszűrjük. A mért jel váltóáramú komponensét (iH) heterodin jelnek, az eljárást pedig heterodin keverésnek nevezzük:
![\[i_H \equiv \sqrt{I_1 I_2}\cdot\cos\left(\int\limits_0^{t-x/c}\Delta\omega(\tau)d\tau + \varphi\right)\]](/images/math/9/5/a/95ab0f5d9374e083f3becaf77f5a1648.png)
Az optikai keverésnél az intenzitások közül az egyiket elektromos analógia alapján lokáloszcillátornak nevezik (I1), a másikat pedig jelintenzitásnak (I2). Fénydetektálás szempontjából az optikai keverésnek azért van nagy jelentősége, mert a keletkező heterodin jel frekvenciája jól meghatározott értékű, valamint megfelelő nagyságú lokáloszcillátor-intenzitás segítségével a 
szorzat még kis I2 mellett is megnövelhető. Így az optikai keverés kis fényintenzitások mérésének egyik alkalmas módszereként kínálkozik. Ha például egy detektor érzékenysége 1 mW, és ennél kisebb jelet, mondjuk 10 μW-ot akarunk vele mérni, akkor a 10 μW-os jelet összekeverve egy 1 W-os lokál-oszcillátor jelével, akkor kb. 3 mW-os kevert jel keletkezik, amely már mérhető az adott detektorral. A dolog szépséghibája, hogy a detektoron megjelenik egy nagy, jelen esetben 1 W-os egyenáramú jel is, ami az érzékelőt, vagy az elekronikus erősítőt telítésbe viheti.
Optikai keverés megvalósítása Doppler-effektus felhasználásával
Az optikai keverés megvalósításához egy interferométerre van szükség. Az 1. ábrán látható Michelson-interferométerben a két nyaláb a karokból a féligáteresztő lemezen egyesül úgy, hogy a detektort azonos ponton találja el, és irányuk is pontosan megegyezik (azaz k1 és k2 párhuzamos).
 |
Ha ugyanis k1−k2-nek van a terjedési irányra merőleges komponense (α ≠ 0, ld. 2. ábra), a detektor síkjában egy interferencia csíkrendszer alakul ki, ami miatt a heterodin jel kiátlagolódhat. Azért, hogy ezt elkerüljük, a detektor méretének (d) kisebbnek kell lennie a kialakuló interferencia kép fél periódusánál:
![\[d < \frac{1}{4\cdot k_1\cdot \sin\left (\alpha/2\right )}\]](/images/math/e/0/f/e0ffc8d51aa55972d9735ffdf6ca00fd.png)
ahol felhasználtuk, hogy 
. Mivel a detektor mérete általában adott, az előző kifejezés a nyalábok egymáshoz viszonyított irányának beállítására ad egy erős kényszert: ha a detektor mérete d = 1 mm, λ = 633 nm, akkor α < 0,003°, ami 20 m-en 1 mm távolságnak felel meg!
 |
Az optikai keveréshez szükséges kismértékű frekvencia eltérést a Doppler-effektus révén érhetjük el: az interferométer egyik karjában lévő tükör (#2, ld. 1. ábra) önmagával párhuzamos, nyalábra merőleges, „v” sebességgel történő mozgatása esetén a tükörre eső fény frekvenciája a doppler effektus miatt megváltozik. A mozgó tükör az álló forrásból érkező „f” frekvenciájú lézernyalábot f'-nek érzékeli:
![\[f' = f - \frac{v}{\lambda}\]](/images/math/6/2/0/620606eeed058d89cb1e3d786ae8d007.png)
ahol a sebesség előjeles mennyiség (v > 0, ha a tükör a forrástól távolodik). A tükör ilyen frekvenciájú fényt ver vissza, azonban a detektor egy másik frekvenciát (f ) érzékel, ugyanis a tükör hozzá képest egy mozgó forrás. A mozgó tükör karjából érkező fény frekvenciája a detektornál tehát:
![\[f" = f' - \frac{v}{\lambda} = f - \frac{2v}{\lambda} \qquad \Leftrightarrow \qquad \omega_2 = \omega_1 - k_1 \cdot 2v\]](/images/math/d/e/a/dea9ab6f82dc24fd5f13b4f6f2a6f07e.png)
A frekvenciák közötti különbség tehát:
![\[\Delta \omega = -2\cdot k_1\cdot v\]](/images/math/7/d/0/7d0750956592d16e99f10479d8a1082c.png)
ahol 
és 
. Ebből a heterodin frekvencia:
![\[f_H \equiv f' - f" = \frac{2\cdot v(t)}{\lambda}\]](/images/math/e/0/5/e057242996384012b08a6af6bd26199b.png)
A másik nyalábnak a frekvenciája változatlan, így a keletkező heterodin jel (21) szerint:
![\[i_H \equiv \sqrt{I_1I_2}\cdot \cos\left [\int\limits_0^{t-x/c}k_1\cdot 2v(\tau)d\tau - \varphi \right ]\]](/images/math/b/4/e/b4e086fd5131bc59b1d4eb3b876f85d1.png)
A sebesség időfüggése szempontjából két speciális esetet érdemes megvizsgálni. Az egyik az egyenes vonalú egyenletes sebességű mozgás. Ekkor v(t) = v = const., azaz (27) egyenletből az integrálás elvégzése után a következő marad:
![\[i_H \equiv \sqrt{I_1I_2}\cdot \cos \left [k_1\cdot 2v\cdot \left (t-\frac{x}{c}\right ) - \varphi \right ] = \sqrt{I_1I_2}\cdot \cos \left [(\omega_1 -\omega_2)\cdot t -(k_1 - k_2)\cdot x - \varphi\right ]\]](/images/math/0/f/e/0fee7e46857609dbfe48c66e85d53b21.png)
ahol felhasználtuk (24)-et. Egy lebegésszerű jelenséget tapasztalunk: a heterodin jel a körfek-venciák különbségének megfelelő frekvenciával harmonikusan változik. A másik jellemző sebességfüggést, a szinuszos rezgőmozgást végző tükröt, a következő alfejezetben tárgyaljuk.
Amplitúdó mérés heterodin méréstechnikával
Az előző fejezetben tárgyaltuk, hogy az interferométer egyik tükrének állandó, a tükörre merőleges sebességgel történő mozgatásának hatására milyen heterodin jel keletkezik és ez hogyan használható a sebesség nagyságának meghatározására. Ebben a fejezetben azt vizsgáljuk milyen a heterodin jel alakja, ha mozgás ugyan merőleges a tükörre, de a sebesség nagysága időben változó: a példa kedvéért harmonikus rezgőmozgás. A rezgés kitérése:
![\[x_r = x_0\cos (\omega_rt + \varphi_r)\]](/images/math/e/3/9/e395a30ab69fff47338f7f8d197c2770.png)
ahol 
az amplitúdó 
a rezgés körfrekvenciája 
pedig a kezdőfázis. Ez alapján a pillanatnyi sebesség:
![\[v(t) = \dot{x} = -x_0\omega_r \sin (\omega_rt + \varphi_r)\]](/images/math/d/1/1/d11e834ff1300794f4df08fdf5f218ab.png)
A heterodin frekvencia pedig:
![\[f_H = \frac{2v}{\lambda} = -\frac{2x_0\omega_r\sin(\omega_rt+\varphi_r)}{\lambda}\]](/images/math/4/b/0/4b06a4aac362d23d1116d9f5d8cdd28c.png)
Itt „v” a tükör #2 sebessége az interferométerben, az alkalmazott fény hullámhossza. A heterodin jel alakja a harmonikusan rezgő tükör esetén (27) és (30) alapján:
![\[i_H \equiv \sqrt{I_1I_2}\cos \left [\int\limits_0^{t-x/c}k_1\cdot 2v(\tau)d\tau - \varphi \right ] = \sqrt{I_1I_2}\cos \left [k_1\cdot 2x_0\cdot \cos \left (\omega_rt \cdot (t-x/c)+ \varphi_r\right ) - \varphi \right ]\]](/images/math/6/b/6/6b60c95de41e539dfc7d377c02772d87.png)
ahol -be a t = 0 miatt újonnan keletkezett konstans fázistolást is belevettük. Ha -be szintén beleértjük az x/c-ből eredő konstans fázistolást, akkor a heterodin jel alakja a következő:
![\[i_H \equiv \sqrt{I_1I_2}\cos \left [k_1\cdot 2x_0\cdot \cos(\omega_rt + \varphi_r)\right ]\]](/images/math/5/6/6/5668a4768dea93c353d408804f1765cc.png)
Mérési feladatok
PDF formátum
