Későneutron-paraméterek vizsgálata, uránkoncentráció meghatározása

Bevezetés

Az ²³⁵U atommag egy neutron befogását követő hasadása során keletkező instabil közbenső mag két hasadványmagra hasad, ezenkívül hasadásonként néhány (²³⁵U esetében átlagosan 2,47) neutron szabadul fel. A hasadás pillanatában (azaz 10^-14 s-on belül) keletkező atommagokat hasadványoknak nevezzük. Ezek később elektronokat szednek fel, majd radioaktív bomlások révén új atomokká alakulnak át. Ez utóbbiakat hasadási termékeknek nevezzük. A keletkező neutronok több mint 99%-a a hasadást követő 10^-12 s-on belül emittálódik. Ezeket a neutronokat prompt neutronoknak nevezzük. Az ezt követően - akár néhány perccel később - kibocsátott neutronok az ún. késő neutronok. Bár ezek mennyisége a prompt neutronokéhoz viszonyítva kicsi (²³⁵U esetében az össz-neutronszámnak csupán 0,64%-a), jelentőségük igen nagy a reaktorok szabályozhatósága szempontjából.

Elméleti összefoglalás

Az ²³⁵U termikus befogását követően létrejött közbenső mag sokféle (több 100) különböző módon hasadhat szét. Egy ilyen lehetőség például a következő:

²³⁵U+n ⇒ ²³⁶U* ⇒ ⁹⁰Kr+¹⁴³Ba+3n

A hasadási termékek száma igen nagy. A hasadványok relatív gyakoriságának tömegszám szerinti eloszlását az 1. ábrán láthatjuk. Megállapítható, hogy a görbének a 95 és a 140 tömegszám közelében egy-egy maximuma van. A hasadásban közvetlenül keletkező primer hasadási termékek nagy neutronfelesleggel rendelkeznek az azonos tömegszámú stabil atommagokhoz képest. A hasadási termékek az esetek döntő többségében sorozatos izobár magátalakulással, $\setbox0\hbox{${\beta}^-$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ bomlással szabadulnak meg neutronfeleslegüktől, és így közelítik meg a stabil N-Z görbét. A fent bemutatott hasadványpár esetében a következő két bomlássorozat megy végbe:

$\[ {^{90}\textrm{Kr}\frac{\beta^-}{33s}} \to {^{90}\textrm {Rb}\frac{\beta^-}{2.7min}} \to {^{90}\textrm{Sr}\frac{\beta^-}{28y}} \to {^{90}\textrm{Y}\frac{\beta^-}{64h}} \to ^{90}\textrm{Zr} (stabil) \]$

$\[ {^{143}\textrm{Ba}\frac{\beta^-}{0.5min}} \to {^{143}\textrm{La}\frac{\beta^-}{12min}} \to {^{143}\textrm{Ce}\frac{\beta^-}{33h}} \to {^{143}\textrm{Pr}\frac{\beta^-}{13.7d}} \to {^{143}\textrm{Nd}} (stabil) \]$

A vonalak alatti idők a $\setbox0\hbox{${\beta}^-$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-bomlások felezési idejét jelentik.

1.ábra: Az 235U hasadási termékeinek tömegszám szerinti eloszlása

A prompt és késő neutronok keletkezése a hasadás során

Amint a bevezetőben említettük, a hasadás során keletkező neutronok csaknem mindegyike - több mint 99%-a - a hasadást követően szinte azonnal, számottevő késés nélkül keletkezik. Ezek a prompt neutronok, amelyeket a hasadványok bocsátják ki. Gerjesztési energiájuk ugyanis általában sokkal nagyobb mint egy neutron szeparációs energiája. Az ilyen gerjesztett állapotok neutronemisszióval történő bomlásának az ideje 10^-15 s (10^-14 s - 10^-12 s) vagy kisebb. Nem minden hasadvány emittál neutronokat, néhányuk esetében a legerjesztődés történhet $\setbox0\hbox{${\gamma}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ emisszióval is.

Ezt követően a hasadási termékek $\setbox0\hbox{${\beta}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-bomlással szabadulnak meg neutronfeleslegüktől, és további neutron-kibocsátás általában már nem történik. Némelyikük izobár átalakulása azonban olyan leányelem képződéséhez vezet, amelyikben a gerjesztési energia nagyobb, mint a neutron szeparációs energiája. Ekkor a (Z, N) rendszámú, illetve neutronszámú hasadási termék magjából magasan gerjesztett állapotú (Z+1, N-1) mag keletkezik, amely azonnal kibocsát egy neutront, és átalakul a (Z+1, N-2) maggá. Így keletkeznek az ún. késő neutronok. A (Z, N) magot későneutron-anyamagnak, a (Z+1, N-1) magot pedig későneutron-emitternek nevezzük. Az ily módon keletkező késő neutronok esetében a maghasadás pillanatától számított teljes késési idő várható értékét az anyamag $\setbox0\hbox{${\beta}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-bomlásának felezési ideje szabja meg. Megállapíthatjuk továbbá, hogy az anyamagok $\setbox0\hbox{${\beta}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-bomlását követően létrejött emitter magok esetében a gerjesztési energia kisebb, mint a közvetlen hasadási termékek esetében, emiatt a késő neutronok átlagos energiája számottevően kisebb (300÷600 keV), mint a prompt neutronoké (átlagosan 2 MeV).

A hasadásban keletkező neutronok teljes hozama (száma, $\setbox0\hbox{${\nu}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) a prompt neutronok és a késő neutronok hozamából ($\setbox0\hbox{${\nu}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$_p, illetve $\setbox0\hbox{${\nu}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$_k) tevődik össze.

$\[ \nu =\nu_{p}+\nu_{k} \]$

A késő neutronok mennyiségét szokás még az ún. későneutron-hányad formájában is kifejezni:

$\[ \beta=\frac{\nu_{k}}{\nu}. \]$

(1)

A 2. ábrán a későneutron-hozamnak a hasadást kiváltó neutron energiájától való függését mutatjuk be ²³⁵U és ²³⁹Pu esetére.

2.ábra: A későneutron-hozam a hasadást kiváltó neutronenergiájának a függvényében

A görbékből megállapítható, hogy a későneutron-hozam a 0 ≤ E_n ≤ 4 MeV intervallumban gyakorlatilag független a hasadást kiváltó neutronok energiájától.

A tejes későneutron-hozamok értékei jelentősen függnek a hasadóképes izotóptól. Az 1. táblázatban bemutatott értékekből azonban kétféle szabályt mégis megfigyelhetünk:

• Egy adott elemre vonatkozóan a későneutron-hozam növekszik a tömegszámmal (A).
• A későneutron-hozam csökken a protonszámmal (Z).

1. táblázat

Teljes későneutron-hozamok (későneutron-szám per 100 hasadás) különböző

izotópoknak termikus neutronok által kiváltott hasadásaira

hasadóképes mag	$\setbox0\hbox{${\nu}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$k (neutron/100 hasadás)
233U	0,667 $\setbox0\hbox{$\pm$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ 0,0029
235U	1,621 $\setbox0\hbox{$\pm$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ 0,0500
238U*	4,390 $\setbox0\hbox{$\pm$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ 0,1000
239Pu	0,628 $\setbox0\hbox{$\pm$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ 0,0380
240Pu*	0,950 $\setbox0\hbox{$\pm$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ 0,0800
241Pu	1,520 $\setbox0\hbox{$\pm$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ 0,1100
242Pu*	2,210 $\setbox0\hbox{$\pm$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ 0,2600

^* Gyors neutron által kiváltott hasadásokra vonatkozó adat

A későneutron-csoportok

A magfizikusok eddig 66 különböző későneutron-anyamagot azonosítottak. Ezek a Ga, As, Se, Br, Kr, Rb, Sr, Y, In, Sn, Sb, Te, I, Xe, Cs, Ba, La és Tl egyes izotópjai. Felezési időik 0,12 s és 78 s között változik, emiatt az általuk keltett késő neutronok jelentősen különböző késleltetési időkkel jelennek meg. Reaktorkinetikai számításokban a késő neutronok korrekt kezelése ennek megfelelően az lenne, ha valamennyi anyamagot a saját felezési idejével és hozamával vennénk figyelembe. Ezzel kapcsolatban két fő probléma merül fel:

• Az anyamagok nagy száma miatt a feladat nagyon elbonyolódna.
• Az egyes anyamagok bomlási sémája, felezési ideje, részaránya nem kellő pontossággal ismert.

G. R. Keepin dolgozta ki kísérleti úton a számítások számára kielégítő közelítést a későneutron-adatok kondenzált kezelésével, azaz a későneutron-csoportok létrehozásával. Hasonlóan a mai gyakorlaton elvégzendő méréshez, hasadóanyagból készített mintát rövid ideig tartó neutron-besugárzásnak tett ki. A besugárzott mintában bekövetkezett hasadások révén nagy számú anyamag keletkezett, amelyek a besugárzást követően felezési idejük szerint lecsengő későneutron-forrásként működtek - $\setbox0\hbox{${S_\textrm{k}(t)}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ha a mintában a besugárzás során bekövetkezett hasadási reakciók száma $\setbox0\hbox{${n_{f}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ volt, akkor a keltett anyamagok száma $\setbox0\hbox{${\nu_\textrm{k}}n_\textrm{f}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Az $\setbox0\hbox{${S_\textrm{k}(t)}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvény ezen anyamagok lebomlását, és ennélfogva a késő neutronok keletkezésének időbeli alakulását írja le. A 3. ábrán egy ilyen görbe látható a ⁸⁷Br izotópnak, egy tipikus anyamagnak a bomlási-görbéjével együtt.

3.ábra: A későneutron-forráserősség csökkenése az idő függvényében

Az $\setbox0\hbox{${S_\textrm{k}}(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ bomlási görbe az összes anyamag járulékos bomlásgörbéinek bonyolult szuperpoziciója. Keepin szerint az $\setbox0\hbox{${S_\textrm{k}}(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ jól közelíthető hat exponenciális függvény összegével:

$\[ S_\textrm{k}(t) = n_\textrm{f}\sum_{i=1}^6\nu_\textrm{ki}\lambda_\textrm{ki}e^{{-\lambda_\textrm{ki}}t}, \]$

(2)

ahol

$\setbox0\hbox{$\nu_\textrm{ki}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	- az i-edik későneutron-csoport hozama
$\setbox0\hbox{$\lambda_\textrm{ki}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	- az i-edik későneutron-csoport bomlási állandója

Az $\setbox0\hbox{${S_\textrm{k}}(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvény a fenti közelítésben olyan későneutron-forrásfüggvényt reprezentál, amelyben mindegyik csoport saját $\setbox0\hbox{$\nu_\textrm{ki}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ későneutron-hozammal, átlagos $\setbox0\hbox{$\lambda_\textrm{ki}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ bomlási állandóval, ill. az ennek megfelelő átlagos felezési idővel rendelkezik. Három különböző hasadóképes izotópra (²³⁵U, ²³⁹Pu, ²³³U) a későneutron-csoportok főbb adatait a 2. táblázatban foglaltuk össze. Ez a hatcsoportos későneutron-struktúra általánosan használatos a reaktorkinetikában.

2. táblázat

A későneutron-csoportok adatai három hasadóképes izotópra

	késő neutronok lehetséges anyamagjai	közepes energia (MeV)	anyamagok átlagos felezési ideje (s)			késő neutronok részaránya az összes hasadási neutronhoz viszonyítva (%)
			235U	239Pu	233U	235U	239Pu	233U
1	87Br, 142Cs	0,25	55,72	54,28	55,0	0,021	0,0072	0,0226
2	137I, 88Br	0,56	22,72	23,04	20,57	0,140	0,0626	0,0786
3	138I, 89Br, (93, 94)Rb	0,43	6,22	5,60	5,00	0,126	0,0444	0,0658
4	139I, (93, 94)Kr, 143Xe, (90, 92)Br	0,62	2,3	2,13	2,13	0,252	0,0685	0,0730
5	140I, 145Cs	0,42	0,61	0,618	0,615	0,074	0,018	0,0135
6	(Br, Rb, As stb.)	-	0,23	0,257	0,277	0,027	0,0093	0,0087
összesen:						0,64	0,21	0,26

A késő neutronok hatása a neutronfluxus időbeni változására

Ez a fejezet azoknak szóló összefoglalás, akik nem hallgatták a Reaktorfizika előadást, a többieknek könnyű olvasmány.

Ha egy termikus reaktor időben állandósult állapotban üzemel, akkor az egymást követő neutrongenerációk neutronszámának hányadosát jelentő effektív sokszorozási tényező, $\setbox0\hbox{${k_\textrm{eff}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ éppen egységnyi. A reaktor teljesítményének növelésekor vagy csökkenésekor a sokszorozási tényező 1-től eltér:

$\[ \Delta{k}_{\textrm{eff}} = k_{\textrm{eff}}-1. \]$

A $\setbox0\hbox{$\rho$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ reaktivitás definíció szerint a következő:

$\[ \rho = \frac{\Delta{k}_{\textrm{eff}}}{k_\textrm{eff}} = \frac{k_\textrm{eff}-1}{k_\textrm{eff}}. \]$

(3)

Időben állandósult állapotban $\setbox0\hbox{$\rho$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ = 0. A szokásos körülmények közötti teljesítményváltoztatások az állandósult állapothoz közeli állapotokon keresztül mennek végbe, és ekkor jó közelítéssel $\setbox0\hbox{${\rho \approx \Delta{k}_\textrm{eff}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Minthogy $\setbox0\hbox{${ \Delta{k}_\textrm{eff} }$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ jelenti a neutronszám növekedési arányát az egyik generáció és a soron következő generáció között, a teljes neutronszámnak egy generáció élete során bekövetkező növekedése $\setbox0\hbox{${n \Delta{k}_\textrm{eff} }$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-fel egyenlő, ahol $\setbox0\hbox{${n}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a neutronszám az induló neutronpopulációban. Ha a neutronok átlagos élettartama $\setbox0\hbox{${\ell}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, akkor a neutronszám időegység alatti változását a következő differenciálegyenlet adja meg:

$\[ \frac{dn}{dt} = \frac{n\Delta{k_\textrm{eff}}}{\ell}. \]$

(4)

Feltételezve azt, hogy $\setbox0\hbox{${ \Delta k_\textrm{eff} }$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nem függ az időtől, integrálással kapjuk:

$\[ n(t) = n(t_0) \exp \Big( \dfrac{\Delta k_\textrm{eff}}{\ell}t \Big) \]$

(5)

Az oktatóreaktorban $\setbox0\hbox{${ \ell}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ = 7 $\setbox0\hbox{${\times}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ 10^-5 sec. Definiáljuk a reaktor periódusidejét (T): az az idő, amely alatt a neutronszám az $\setbox0\hbox{${e}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-szeresére változik ($\setbox0\hbox{${e}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ = 2,7172...), (5) alapján tehát:

$\[ T = \frac{\ell}{\Delta{k}_\textrm{eff}}. \]$

(6)

A neutronszámra felírt összefüggés átvihető közelítőleg (egycsoportos elmélet) a neutronsűrűségre és ezen keresztül a neutronfluxusra és a reaktorteljesítményre is:

$\[ n(t)=n(t_{0})\mathrm{e}^{\dfrac{t}{T}} \]$

(5a)

Az időben állandó, stacioner üzemű reaktorban $\setbox0\hbox{${ n(t) = n(t_{0}) }$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ = konst., tehát $\setbox0\hbox{${T}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ végtelen. A reaktor periódusideje rendkívül fontos mennyiség a változó teljesítményű reaktor biztonsága szempontjából. Minden reaktorba beépítenek olyan biztonságvédelmi rendszert, amely azonnal leállítja a reaktort, ha a periódusidő a szabályozhatóság lehetőségeit tekintve túlságosan kicsiny. Ha nem üzemelne periódusidő-védelem, a 7÷10 s-nál rövidebb periódusidő már kifejezetten veszélyes állapotot jelentene.

A késő neutronok fontosságának a kidomborítása érdekében határozzuk meg a periódusidőt abban az esetben, amikor a reaktivitás $\setbox0\hbox{${\rho}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ = 0,25%, de csak a prompt neutronokat figyelembe véve. A reaktivitást (amely dimenzió nélküli szám) gyakran fejezzük ki %-ban. Például $\setbox0\hbox{${\rho}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ = 0,25% azt jelenti, hogy $\setbox0\hbox{${\rho}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ = 0,0025 (vagyis (3) alapján $\setbox0\hbox{${k_\textrm{eff} \approx}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ 1,0025). Mivel $\setbox0\hbox{${\Delta k_\textrm{eff} \approx \rho}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ = 0,0025, (6) alapján a periódusidőre a következő adódik:

$\[ T = \frac{\ell}{\Delta{k}_\textrm{eff}} = \frac{0,00007}{0,0025} = 0,028 s \]$

Ezt azt jelenti, hogy 1 s alatt a neutronszám

$\[ \frac{n(1s)}{n(0)} = \textrm{e}^{\frac{1s}{0,028s}}=\textrm{e}^{35,7}=3\times 10^{15} \]$

szeresére nő. Semmilyen szabályozórendszer (amely mechanikus elemeket is tartalmaz) nem tudja követni ezt a gyors felfutást. Szerencsére a késő neutronok bizonyos feltételek között jelentősen lelassítják a növekedési ütemet, és ezzel lehetővé teszik a reaktorok szabályozását.

A késő neutronok hatásának a megvilágítása érdekében leegyszerűsítjük a tárgyalást: csak egyetlen, átlagos későneutron-csoportot veszünk figyelembe - részletest tárgyalását lásd az [5] jegyzetben. Ha a 2. táblázatban az ²³⁵U-ra adott felezési időket átlagoljuk, 9 s-t kapunk, vagyis a (2) alatti hat bomlási állandót az átlagos

$\[ \bar{\lambda}=\frac{\log 2}{9s}=0,077s^{-1} \]$

bomlási állandóval helyettesítjük. Ha $\setbox0\hbox{${C(t)}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$--vel jelöljük a t időpillanatban a reaktorban levő későneutron-anyamagok számát, akkor 1 s alatt $\setbox0\hbox{${\bar{\lambda}C(t)}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ késő neutron keletkezik. Ennek megfelelően a (4) egyenlet az alábbi alakba megy át:

$\[ \frac{dn}{dt}=\frac{nk_{\textrm{eff}}(1-\beta)-n}{\ell}+\bar{\lambda}\textit{C(t)} \]$

(7a)

amelynek a jobb oldalán az első tag a prompt, a második tag pedig a késő neutronok által képviselt neutronsokszorozást fejezi ki. Ezt az egyenletet ki kell egészítenünk a későneutron-anyamagok számát megszabó egyenlettel:

$\[ \frac{dC}{dt}=-\bar{{\lambda}}\textit{C(t)}+\frac{nk_{\textrm{eff}}{\beta}}{\ell} \]$

(7b)

A jobboldal első tagja az 1 s alatt elbomló, a második tag pedig az 1 s alatt a hasadásokban keletkező anyamagok számát adja meg. Vegyük észre, hogy éppen ezzel az utóbbi taggal csökkent (7a) jobb oldalának első tagja a (4) egyenlethez képest. Nézzük meg ezután, mennyiben növelik a késő neutronok a reaktorperiódust!

(5a) mintájára a (7) egyenletrendszer megoldását az alábbi alakban keressük:

$\[ n(t) = n_{0}\textrm{e}^{t/T} \quad \quad \textrm{és} \quad \quad C(t)=C_{0}\mathrm{e}^{t/T} \]$

Ha ezt (7)-be helyettesítjük, elemi számolás után $\setbox0\hbox{${T}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-re a következő egyenletet kapjuk:

$\[ \frac{\rho}{\beta}=\frac{\ell/(\mathrm{k}_{\textrm{eff}}\beta)}{T}+\frac{1}{1+\bar{\lambda}T} \]$

(8)

ahol felhasználtuk a (3) alatt definiált reaktivitást. Amikor ennek az egyenletnek a megfelelőjét 6 későneutron-csoport figyelembe vételével vezetjük le, akkor a kapott egyenletet reciprokóra egyenletnek nevezzük.

Adott reaktivitás mellett a (8) egyenlet a $\setbox0\hbox{${T}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ periódusidőre vonatkozóan másodfokú egyenlet:

$\[ \frac{\rho}{\beta}\bar{\lambda}T^{2}+\Big(\frac{\rho}{\beta}-\frac{\ell\bar{\lambda}}{c\beta}-1\Big)T-\frac{\ell}{\mathrm{k}_{e\mathit{ff}}\beta}=0 \]$

(9)

Jelöljük a két gyököt $\setbox0\hbox{${T}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$₁-gyel és $\setbox0\hbox{${T}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$₂-vel. Ezek felhasználásával a neutronszám időfüggése

$\[ n(t)=n_{1}\mathrm{e}^{t/T_{1}}+n_{2}\mathrm{e}^{t/T_{2}} \]$

(10)

alakban adódik, ahol az $\setbox0\hbox{${n}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$₁ és $\setbox0\hbox{${n}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$₂ állandók a kezdeti feltételektől függnek. Ha a $\setbox0\hbox{${\rho}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ reaktivitás negatív (vagyis $\setbox0\hbox{${k_\textrm{eff}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ < 1, tehát a reaktor szubkritikus), a (9) egyenlet mindhárom együtthatója negatív, tehát mindkét gyök negatív, vagyis a neutronszám (10) szerint a kezdeti feltételektől függetlenül időben csökken. Emlékeztetünk arra az elemi algebrai szabályra, hogy két egymást követő együttható azonos előjele negatív, különböző előjele pedig pozitív gyököt jelent. Ha azonban a $\setbox0\hbox{${\rho}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ reaktivitás pozitív (vagyis $\setbox0\hbox{${k_\textrm{eff}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ > 1, tehát a reaktor szuperkritikus), a (9) egyenlet első együtthatója pozitív, a harmadik pedig továbbra is negatív. A reaktivitástól függően a második együttható lehet negatív is, pozitív is. Mindkét esetben azonban van egy előjelváltás és egy előjelkövetés, vagyis a két gyök közül az egyik negatív, a másik pozitív. Legyen az utóbbi $\setbox0\hbox{${T}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$₁. Ekkor elegendően nagy $\setbox0\hbox{${t}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ idő elteltével (10) átmegy az

$\[ n(t)=n_{1}\mathrm{e}^{t/T_{1}} \hspace{20mm} (\textit{t}\gg\textit{T}_{2}) \]$

(11)

alakba. A késő neutronok jelenlétében is igaz marad tehát, hogy egy magára hagyott szuperkritikus reaktorban a neutronszám exponenciálisan nő. Döntő viszont az időállandó nagysága. Vegyük fel a következő számértékeket:

$\[ \beta=0,0064 \hspace{10mm} \ell=7 \times 10^{-5} \hspace{10mm} \rho=0,0025 \hspace{10mm} \bar\lambda=0,077s^{-1} \hspace{10mm} k_{\textrm{eff}} = 1,0025 \]$

Ezeket (9)-be helyettesítve $\setbox0\hbox{${T}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$₁ = 20,31 s adódik, ami lényegesen nagyobb idő, mint a késő neutronok nélkül kapott 0,028 s. Ez a számpélda jól mutatja a lényeget: a késő neutronok hatására a periódusidő olyan mértékben megnő, hogy a neutronszám növekedését külső eszközökkel biztonságosan befolyásolni lehet.

Ez az állítás azonban csak addig érvényes, amíg a reaktivitás nem túlságosan nagy, pontosabban, amíg $\setbox0\hbox{${\rho/\beta}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ < 1. Amíg ez fennáll, a (9) egyenletben az $\setbox0\hbox{${\ell}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-et tartalmazó tagok elhanyagolhatók, vagyis a pozitív periódus közelítőleg így írható:

$\[ T_{1} \approx \frac{\beta-\rho}{\rho\bar{\lambda}} \hspace{30mm} (\rho/\beta<1) \]$

(12a)

A fenti számpéldában ez a közelítés $\setbox0\hbox{${T}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$₁ = 20,26 s-t ad, tehát a közelítő képlet elég pontos. Minőségileg megváltozik azonban a helyzet, amikor $\setbox0\hbox{${\rho/\beta}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ > 1. Ekkor ugyanis (9)-ben a második tag együtthatója pozitívra vált, és az egyenlet pozitív gyökét más képlettel kell közelíteni:Az Olvasó számára hasznos gyakorlat a közelítő képlet levezetése, így ugyanis ellenőrizheti, mennyire sikerült az eddigieket megértenie.

$\[ T_{1} \approx \frac{\ell}{k_{\textrm{eff}}(\rho-\beta)} \hspace{20mm} (\rho/\beta>1) \]$

(12b)

Például, $\setbox0\hbox{${\rho/\beta}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$=1,1 esetén ($\setbox0\hbox{${ k_\textrm{eff} }$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$=1,0071) a (12b) képlet szerint $\setbox0\hbox{${T}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$₁=0,109 s, azaz a reaktor ismét szabályozhatatlanná válik. A pontos érték $\setbox0\hbox{${T}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$_₁ = 0,099 s) Azt találtuk tehát, a reaktor csak addig szabályozható, amíg $\setbox0\hbox{${\rho/\beta}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ < 1, vagyis $\setbox0\hbox{${k_\textrm{eff}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ < 1+$\setbox0\hbox{${\beta}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ (közelítőleg). Más szavakkal a szabályozhatóság szükséges feltételét úgy szoktuk kifejezni, hogy a reaktor a késő neutronok nélkül legyen szubkritikus. Ha azonban a reaktor már a késő neutronok nélkül is szuperkritikus (vagyis ha $\setbox0\hbox{${\rho/\beta}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ > 1), a reaktor szabályozhatatlanná válik, megszalad. Az ilyen reaktorállapotot prompt szuperkritikus állapotnak nevezzük, amelynek a fellépte súlyos reaktorbalesetnek minősül.

Az elmondottakból következik, hogy a $\setbox0\hbox{$\beta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ későneutron-hányadnak a reaktorszabályozás szempontjából döntő jelentősége van. Erre való tekintettel ezt választjuk a reaktivitás egységének is. Ennek az egységnek a neve: dollár, egy reaktor reaktivitása 1 dollár, ha $\setbox0\hbox{${\rho/\beta}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$=1. Mint láttuk, a gyakorlatban ezt a reaktorállapotot kerülni kell, ezért a gyakorlatban ennek az egységnek a 100-ad részét, a centet ( ˘ ) használjuk, egy reaktor reaktivitása 1˘, ha $\setbox0\hbox{${\rho/\beta}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ = 0,01.

Későneutron paraméterek meghatározása

A méréshez szükséges eszközök, anyagok

• Reaktor és besugárzó csőposta
• besugárzandó urán fólia csőposta-tokban
• moderátorral töltött mérőedény
• neutrondetektor-gyűrű 6 db detektorból (³He)
• mérő elektronika (tápegység, diszkriminátor)
• PC sokcsatornás analizátorkártyával (multiscaler - időanalizátor)

A mérés menete

A reaktor aktív zónájában besugárzott természetes urán fólia a csőposta segítségével (kb. 3 s-os szállítási idő után) a mérőhelyre kerül. A besugárzást követően a mérőedényben elhelyezett neutrondetektorok mérik a fólia időben csökkenő későneutron-intenzitását. Az intenzitás időbeli változásának rögzítése az analizátorkártyával történik, amely a detektorok diszkriminált jeleit összegzi a megadott léptetési időtartam alatt (1 s). A léptetési időtartam alatt gyűjtött impulzusok időbeli sorrendjüknek megfelelően egymás utáni csatornákban tárolódnak. Amint azt az elméleti összefoglalóban láttuk, a későneutron-intenzitásnak ez a változása nem más, mint különböző felezési idejű exponenciális bomlási görbék lineáris szuperpozíciója. A későneutron-intenzitás mért értékeiből a kiértékeléskor lépésről-lépésre meghatározzuk és levonjuk a leghosszabb felezési idejű exponenciális komponenseket.

A reaktor 1 kW-os teljesítményénél az urán fóliát tartalmazó tok a csőposta segítségével az aktív zónába kerül. A meghatározott besugárzási idő elteltével a minta automatikusan kerül a mérő pozícióba. A minta mozgását érzékelő, és a csőpostát vezérlő fotocella jele a méréshez startjelként használható. (Figyelem: a mozgásérzékelő befelé menet is jelez!)

A paraffin moderátorral töltött mérőedényben 6 db, párhuzamosan kapcsolt ³He töltésű neutron-számlálócső van elhelyezve. A termikus neutronenergiák tartományában érzékeny detektorok miatt a detektálandó késő neutronokat le kell lassítani. Éppen erre szolgál a mérőedényben levő moderátor. A neutronok lelassulási ideje elhanyagolhatóan kicsi (kb. 1$\setbox0\hbox{${\mu}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$s.), még a gyakorlatilag mérhető legrövidebb felezési idejű késő neutronok késleltetési idejéhez képest is.

A neutrondetektorok esetében fordítsunk gondot a jelamplitúdó diszkriminációs szint helyes megválasztására! Mint ismeretes, az említett detektortípusnál az amplitúdódiszkriminációval jelentősen csökkenthető a $\setbox0\hbox{${\gamma}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és zajháttér. A diszkriminációs szint beállításhoz először keressük meg azt a maximális diszkriminációs értéket, amelynél még jelentős a számlálási sebesség, és válasszuk ennek kb. 1/8-át. A mérést maximum 300 s-ig érdemes folytatni. A kapott eredmény a PC-ben elhelyezett analizátor memóriájában hozzáférhető, elmenthető és kinyomtatható.

Kiértékelés

A későneutron-intenzitás időbeli csökkenését leíró függvény közelítőleg 6 db exponenciális összegének tekinthető. A kiértékelés célja a felezési idők és a relatív intenzitások meghatározása az adott körülmények között mérhető későneutron-csoportokra. Az eljárás első lépéseként a leghosszabb felezési idejű komponens paramétereit határozzuk meg abban az időtartományban, ahol a rövidebb felezési idejű komponensek már nem észlelhetők, de a mért intenzitások még kiemelkednek a háttérből. Az intenzitások logaritmikus transzformációja után egyenest illesztünk a kiválasztott időintervallum pontjaira. Meredekségének abszolút értéke a leghosszabb felezési idejű csoport bomlási állandóját adja, míg a tengelymetszet a relatív intenzitás logaritmusa.

A meghatározott paraméterekkel megadott exponenciális komponenst levonjuk az eredeti intenzitásokból, ahol így már csak a maradék csoportoktól származó intenzitás időbeli függvénye marad, majd megismételjük az eljárást. A kiértékelésre szánt időintervallumok között célszerű pontokat kihagyni, hogy a levonást követően a véletlen zaj miatt megjelenő esetleges negatív értékek ne zavarjanak (például a logaritmusképzés miatt). Megjegyezzük, hogy az eljárás csak közelítő pontosságú, mivel az illesztés előtti logaritmikus transzformálás az eltéréseket is transzformálja. A számításoknál referencia időpontnak azt az időpontot kell venni, amikor a minta az aktív zónát elhagyja. (Ennek az időpontnak felel meg a startjel.)

Pontosabb eredmény kapható a teljes adatsoron végrehajtott súlyozott legkisebb négyzetes illesztéssel.

Urántartalom meghatározása

A mérés során egy olyan mintában, amelyik ismeretlen mennyiségben tartalmaz természetes izotóp-összetételű urániumot, meg kívánjuk határozni a tömeg százalékában mért uránkoncentrációt. Az ismeretlen összetételű minta teljes tömege 105,5 mg.

A méréshez szükséges eszközök, anyagok

• A későneutron-paraméterek meghatározásánál használt berendezés (lásd 3.1. rész)
• analitikai mérleg
• polietilén csőposta besugárzó tokok
• reaktor és besugárzó csőposta
• két darab, a Nemzetközi Atomenergia Ügynökségtől (NAÜ) származó uránstandard

3. táblázat

Az uránstandardok adatai

jel	természetes izotóp összetételű U-koncentráció a mintában		a minta teljes tömege (mg)
	bizonylati koncentrációk szélső értékei (tömeg%)	U-koncentráció: átlagérték±szórás (tömeg%)
S-7	0,475 ÷ 0,527	0,501±0,013	93,3
S-8	0,128 ÷ 0,142	0,135±0,0035	85,1

A mérés menete

A mérés a relatív későneutron-intenzitás mérésén alapul, amely az urántartalom gyors, pontos, roncsolásmentes meghatározását teszi lehetővé. A módszer gyorsasága és egyszerű kivitelezhetősége miatt ércminták sorozatelemzésére, érzékenysége folytán pedig az érckutatásban az urán dúsulásainak nyomozására szolgálhat. A mérés célja ismeretlen koncentrációjú minta urántartalmának meghatározása a NAÜ két uránstandardjával történő összehasonlítás alapján, továbbá a mérési hibának, valamint a kimutatási határnak a számítása. Ismeretlen mintaként uránszurokérc tartalmú kőzetet használunk.

A polietilén csőpostatokban az ismeretlen mintából, a standardokéhoz hasonló mennyiséget, kb. 100 mg-ot helyezünk el. A besugárzást 10 kW reaktorteljesítményen végezzük. Az analizátor beállítása megegyezik a korábbival (vö. A mérés menete rész). A mérés alapgondolata: a standardokban és az ismeretlen mintában a besugárzott urán bomlásgörbéjét ugyanaz a (2) szerinti függvény írja le, legfeljebb az egyes görbék $\setbox0\hbox{${n_\textrm{f}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ együtthatója térhet el. Ebből következik, hogy a lecsengő későneutron-intenzitási görbe bármelyik szakaszának összevetése alkalmas a minták összehasonlítására. Elvileg egy adott időpontbeli intenzitás - akár egy csatorna - is elegendő lenne, de több csatorna összegzésével a kiértékelés alapjául szolgáló impulzusszám relatív szórását csökkenthetjük. Az összegzett csatornák kiválasztásában az alábbi szempontokat vesszük figyelembe.

Mind a standardok, mind az ismeretlen minta tartalmaz oxigént, amelyben a besugárzás során az ¹⁷O(n,p)¹⁷N magreakció eredményeként 4,1 s felezési idejű neutronemitter mag, ¹⁷N keletkezik. Mivel az oxigén mennyisége mintánként változik (továbbá nem is ismert), a besugárzás után, a mérés megkezdése előtt célszerű 20 s ún. hűtési időt várni, mialatt az ¹⁷N-től származó neutronok gyakorlatilag eltűnnek, és így a minta és a standardok oxigéntartalmának különbsége nem zavaró. Ebből következik, hogy a 2. táblázat szerinti 3÷6 későneutron-csoportok a mérés kezdetére szintén eltűnnek, tehát az urántartalom meghatározását a 22,72 s felezési idejű, elegendően nagy hozamú későneutron-csoportra érdemes alapozni. A hűtési idő növelése egyébként más szempontból is hasznos lehet, mivel rövid hűtési idők esetében az időmérés bizonytalansága (1 s-os felbontás) is nagyobb. A mérési időt úgy kell megválasztani, hogy a mérési idő végén a csökkenő későneutron-intenzitás még mindig jelentősen kiemelkedjék a háttérből. (A javasolt mérési időintervallum 20÷80 s.)

A szórás és a kimutatási határ számításához a háttér mérése is szükséges: üres tok besugárzásával a kiértékelésre szánt intervallumra vegyük fel a háttér-intenzitás értékeit.

A mérés kiértékelése

Egy standard mérése

A kiértékelés célja az ismeretlen minta uránkoncentrációjának meghatározása. Jelölje a mintára, illetve a standardra vonatkozó impulzusszámok összegét rendre N_x és N_std:

$\[ N_{x} = \sum_{i=20}^{80}n_{i,x} \hspace{20mm} N_{std} = \sum_{i=20}^{80}n_{i,std} \]$

(15)

ahol $\setbox0\hbox{${n_\textrm{i,x}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{${n_\textrm{i,std}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az i-edik csatorna tartalma az ismeretlen mintára, illetve a standardra vonatkozóan. Hasonló módon kapjuk az ezekből levonandó hátteret:

$\[ H_{x} = \sum_{i=20}^{80}h_{i,x} \]$

(16)

ahol $\setbox0\hbox{${h_\textrm{i,x}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az i-edik csatorna tartalma az ismeretlen mintához tartozó háttér mérésekor. Ha a standardot és az ismeretlen mintát időben egymáshoz közel mérjük, fel lehet tételezni, hogy ez a háttér érvényes a standardra is. Az általánosság kedvéért azonban megengedjük, hogy az utóbbihoz külön háttér, $\setbox0\hbox{${n_\textrm{std}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tartozzon. Az ismeretlen koncentrációt azzal a feltételezéssel határozzuk meg, hogy a minta fajlagos (egységnyi tömegre vonatkozó) beütésszáma a C uránkoncentrációval arányos:

$\[ \frac{N-H}{m} = aC \]$

(17)

ahol $\setbox0\hbox{${m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a minta tömege, és $\setbox0\hbox{${a}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ valamilyen (ismeretlen) arányossági tényező. Természetesen a (17) összefüggés nem a mért adatokra, hanem csak azok várható értékére érvényes. Viszont a (17) összefüggés lehetővé teszi, hogy az egyik standardra kapott mérési adatok alapján becslést adjunk az ismeretlen a paraméterre:

$\[ \tilde{a} = \frac{N_{std}-H_{std}}{m_{std}-C_{std}} \]$

(18)

ahol az "std" index a standardra vonatkozóan mért adatokra utal. $\setbox0\hbox{${C_std}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a kiválasztott standard bizonylati koncentrációja (tömeg%, vö. 3. táblázat). Ennek alapján az ismeretlen minta uránkoncentrációját a

$\[ C_{x} = \frac{N_{x}-H_{x}}{m_{x}\tilde{a}} \]$

(19)

képlettel becsüljük. Ha csak egy standardot mérünk, ez a képlet jelenti a kiértékelés végét. Mielőtt a két standard esetét tárgyalnánk, adjuk meg a (19)-hez tartozó hibaszámítási képleteket.

Tekintve, hogy tömeget (az egyéb hibaforrásokhoz képest) nagy pontossággal tudunk mérni, $\setbox0\hbox{${m_{x}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{${m_{std}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mérési hibáját elhanyagoljuk. A háttérrel csökkentett beütésszámok szórásnégyzetét a Poisson-eloszlás alapján becsüljük:

$\[ \sigma^{2}_{std} \approx N_{std}+H_{std} \hspace{20mm} \acute{e}s \hspace{20mm} \sigma^{2}_{x} \approx N_{x}+H_{x} \]$

(20)

Az $\setbox0\hbox{${a}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ paraméter (18) szerint becsült értékének a szórásnégyzete:

$\[ \sigma^{2}_{a} = {\tilde{a}}^2 \Bigg(\frac{N_{std}+H_{std}}{(N_{std}-H_{std})^2}+\frac{\sigma^2_{C_{std}}}{C^2_{std}}\Bigg) \]$

(21a)

továbbá a (19) szerint számolt uránkoncentrációé:

$\[ \sigma^{2}_{C_{x}} = C^2_{x} \Bigg(\frac{N_{x}+H_{x}}{(N_{x}-H_{x})^2}+\frac{\sigma^2_{a}}{\tilde{a}^2}\Bigg) \]$

(21b)

A (21) képletek levezetése a matematikai statisztikai elemeiből következik, ezért nem is részletezzük.

Két standard mérése

Amikor mindkét standardot mérjük, több kiértékelési módszer kínálkozik. A legegyszerűbb az a paraméternek mindkét standard alapján való független becslése:

$\[ \tilde{a}_{i} = \frac{N_{i}-H_{i}}{m_{i}C_{i}} \hspace{20mm} (i = 1,2) \]$

(22)

ahol az "i" index az egyes standard mintákra mért adatokat jelöli. Az így kapott értékek szórásnégyzetét (21a) mintájára becsülhetjük:

$\[ \sigma^{2}_{a} = {\tilde{a}}^2 \Bigg(\frac{N_{i}+H_{i}}{(N_{i}-H_{i})^2}+\frac{\sigma^2_{Ci}}{C^2_{i}}\Bigg) \]$

(23)

Az $\setbox0\hbox{${a}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ paraméter végső értékét ezek súlyozott átlagolásával becsülhetjük:

$\[ \tilde{a} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{2}\tilde{a}_{i}/\sigma^2_{ai}}{\displaystyle\sum_{i=1}^{2}1/\sigma^2_{ai}} \]$

(24a)

amelynek a szórásnégyzete:

$\[ \sigma^2_{a} = \frac{1}{\displaystyle\sum_{i=1}^{2}1/\sigma^2_{ai}} \]$

(24b)

Kevésbé heurisztikus becslést kapunk, ha a (17) képletre alapozva az a paramétert lineáris regresszióval becsüljük. Ez azt jelenti, hogy az $\setbox0\hbox{${a}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ paraméter függvényében keressük a

$\[ Q=\sum_{i=1}^{2}w_{i}\Bigg(\frac{N_{i}+H_{i}}{m_{i}}-aC_{i}\Bigg)^2 \]$

(25a)

négyzetösszeg minimumát, amelyben a súlyok a mért mennyiségek szórásnégyzeteivel fejezhetők ki:

$\[ w^{-1}_{i} = \frac{N_{i}+H_{i}}{m^2_{i}}+a^2\sigma^2_{C_{i}} \]$

(25b)

Ennek a minimumproblémának a megoldása könnyen levezethető:

$\[ \tilde{a} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{2}w_{i}C_{i}\frac{N_{i}-H_{i}}{m_{i}}}{\displaystyle\sum_{i=1}^{2}w_{i}C^2_{i}} \]$

(26a)

amelynek a szórásnégyzete:

$\[ \sigma^2_{a} = \frac{1}{\displaystyle\sum_{i=1}^{2}w_{i}C^2_{i}} \]$

(26b)

Tekintve, hogy a $\setbox0\hbox{${w_{i}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ i súlyok a (25b) képlet szerint függnek az $\setbox0\hbox{${a}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ paramétertől, a (26a) képlet alkalmazása $\setbox0\hbox{${a}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ra nézve iterációt igényel. Ennek az iterációnak a tulajdonságai erősen függnek az egyes szórások értékeitől. Ajánlatos, hogy az Olvasó a konkrét mérés esetében közelebbről ismerkedjen meg vele. Általános tendencia, hogy a (25b) szerinti súlyozás csökkenteni igyekszik a becsült értékét. A (24a) szerinti módszer ilyen iterációt nem tesz szükségessé.

Akár a (22)÷(24) formulákat, akár a (25)÷(26) formulákat használjuk, az ismeretlen uránkoncentráció meghatározására a (19) és (21b) képleteket kell alkalmaznunk. A két kiértékelési mód egymással egyenértékű. Ajánlatos, hogy az Olvasó ezt bizonyítsa be. Útmutatás: a (23) képletben (de csak ott!) írjunk $\setbox0\hbox{${\tilde{a}^2_{i}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ helyébe $\setbox0\hbox{${\tilde{a}^2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ -t; ezután egyszerű algebrai átalakításokkal beláthatjuk, hogy (24a) és (24b) pontosan ugyanazt adja, mint (26a), illetve (26b). Kérdés: miért elég ennek bizonyítása a két becslés egyenértékűségének a belátásához?

Kimutatási határ

A kimutatási határ definíciójánál az urán mennyiség meghatározás alapjául szolgáló nettó impulzusszám háttérből való szignifikáns kiemelkedését kell biztosítani statisztikai kritériumok alapján, másként megfogalmazva azt kell eldöntenünk, hogy van-e effektus vagy nincs, és ennek a döntésnek a mennyiségi megalapozását kell megadnunk. A döntés során alapvetően kétféle hibát követhetünk el. Az első az úgynevezett elsőfajú hiba melynél azt feltételezzük, hogy a mért összegzett intenzitás egy része a minta urán tartalmától származik, pedig csak a háttér pozitív fluktuációjáról van szó. Másodfajú hibát akkor követünk el, ha mért impulzusszám egy része urántól származik, de úgy gondoljuk hogy ez csak a háttér véletlen fluktuációja.

Az elsőfajú hiba ellen bizonyos megbízhatósági szinten - centrált normális zaj feltételezéssel - , úgy védhetjük magunkat, hogy a hasznos jel komponenstől elvárjuk, hogy a háttér szórását a konfidencia szinttől függő mértékben haladja meg.

$\[ L_{c1} = k_{1}\sigma_{h} = k_{1}\sqrt{N_{h}} \]$

Ahol $\setbox0\hbox{${k_{1}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az elsőfajú hibára vonatkozó szignifikancia szinttől függő egyoldali kvantilis.

A másodfajú hiba valószínűsége általában valamilyen konkrét ellenhipotézis formájában fogalmazható meg. Itt ésszerű kiindulás az, hogy feltételezünk egy $\setbox0\hbox{${L_{c2}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nagyságú nettó effektust, melynek meg kell haladnia az előbb definiált $\setbox0\hbox{${L_{c1}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szintet olyan mértékben, hogy az alá $\setbox0\hbox{${L_{c2}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ bizonyos szintű negatív fluktuációi révén se kerülhessen. Azaz $\setbox0\hbox{${L_{c2}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ legyen $\setbox0\hbox{${L_{c1}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ plusz $\setbox0\hbox{${L_{c2}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szórásának megfelelő kvantilissel vett szorzata:

$\[ L_{c2} = L_{c1} + k_{2}\sqrt{\sigma^2_{L_{c2}}+\sigma^2_{h}} \]$

Ahol $\setbox0\hbox{${k_{2}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a másodfajú hibára vonatkozó szignifikancia szinthez tartozó kvantilis. Ha $\setbox0\hbox{${k_{2}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ = $\setbox0\hbox{${k_{1}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ feltételből indulunk ki (ettől való eltérés a kétféle hibából eredő kockázat alapján lehetséges), akkor a háttérből még szignifikánsan kiemelkedő impulzusszám:

$\[ L_{c2} = k^2 + 2L_{c1} = k^2 + 2k\sqrt{N_{h}} \]$

E mennyiséget kell a standardnál mérhető impulzusszámhoz hasonlítani, hogy a urán mennyiségre vonatkozó kimutatási határ értéket megkapjuk.

Ellenőrző kérdések

1. Mik a késő neutronok?
2. Ismertesse a késő neutronok keletkezési mechanizmusát!
3. Mik az anyamagok?
4. Mik a prompt neutronok?
5. Ismertesse a prompt neutronok keletkezési mechanizmusát!
6. Mi a különbség a prompt és a későneutronok energia eloszlása között?
7. Mi a periódus idő?
8. Mi a szerepe a késő neutronoknak a reaktor szabályzásban?
9. Ismertesse a késő neutronok mérésénél alkalmazott módszert
10. Milyen csoportokba sorolhatjuk a késő neutronokat és minek alapján?
11. Ismertesse az uránkoncentráció meghatározás elvét!

Irodalom

1. G. R. Keepin: Physics of Nuclear Reactors, Addison-Wesley Publishing Co., Massachusetts (1965)
2. G. R. Keepin: Interpretation of Delayed Neutron Phenomena, J. Nucl. Energy, 7, 13 (1958)
3. G. R. Keepin, T. F. Wimmet, R. K. Zeigler: Delayed Neutron from Fissionable Isotopes of Uranium, Plutonium and Thorium, Phys. Rev., 107, 1044 (1957)
4. Kiss D., Quittner P., Neutronfizika, Akadémiai Kiadó, Budapest 1971.
5. Szatmáry Z., Bevezetés a reaktorfizikába, Egyetemi jegyzet (ELTE), 1991.