Termoelektromos jelenségek
A Landauer-formula tárgyalásakor láttuk, hogy egy elektródából egy egycsatornás nanovezetékbe folyó áram az elektróda Fermi-függvényének energia szerinti integrálja szerint származtatható:
![\[\frac{2}{L} \sum (-e) \cdot v_k \cdot f(\varepsilon_k) = -\frac{2}{h}\int e\cdot f(\varepsilon)\,\mathrm{d} \varepsilon \rightarrow I.\]](/images/math/0/1/f/01ff36396dc5d21d21e83053358e9837.png)
Ha egy 
transzmissziós valószínűségű szórócentrumot tartalmazó egycsatornás nanovezeték elektródái közé 
feszültséget kapcsolunk, a nanovezetékben
![\[I=\frac{2 e}{h} \cdot \int \mathcal{T}\cdot [f_1(\varepsilon)-f_2(\varepsilon)]\mathrm{d}\varepsilon\]](/images/math/5/4/8/548208365bb0880ce3cd0cb4ffd2ebc3.png)
vezetőképességet kapunk. A következőkben azt vizsgáljuk meg, hogy mi történik, ha elektródáknak nem csak a kémiai potenciálja tér el, hanem a hőmérsékletük is különböző lehet (1. ábra).
 |
| 1. ábra. Különböző kémiai potenciálú és hőmérsékletű elektródák közötti átmeneti valószínűségű szórócentrummal rendelkező egycsatornás nanovezeték elektromos és hőtranszport tulajdonságaira vagyunk kíváncsiak.
|
Az elektromos áram továbbra is a fenti képlettel számítható figyelembe véve, hogy az elektródák Fermi-függvényeiben nem csak a kémiai potenciál, hanem a hőmérséklet is eltérő:
![\[I=\frac{2 e}{h} \cdot \int \mathcal{T(\varepsilon)}\cdot \left[f_1(\varepsilon,\mu_1,T_1)-f_2(\varepsilon,\mu_2,T_2)\right]\mathrm{d}\varepsilon.\]](/images/math/1/1/a/11a7d30cf8ace5ca12ec3b660bc01091.png)
A termodinamikából ismert 
összefüggés alapján hasonlóan származtatható az elektródából a nanovezetékbe folyó 
hőáram is:
![\[\frac{2}{L} \sum (\varepsilon_k-\mu) \cdot v_k \cdot f(\varepsilon_k) = \frac{2}{h}\int (\varepsilon-\mu) \cdot f(\varepsilon)\,\mathrm{d} \varepsilon \rightarrow I_Q,\]](/images/math/e/5/e/e5e2f1b89306ae0af61710e422983a02.png)
illetve ennek megfelelően a két elektróda között folyó hőáram transzmissziós valószínűség esetén:
![\[I_Q=\frac{2}{h} \cdot \int \mathcal{T(\varepsilon)}\cdot (\varepsilon-\mu_1)\cdot \left[f_1(\varepsilon,\mu_1,T_1)-f_2(\varepsilon,\mu_2,T_2)\right]\mathrm{d}\varepsilon.\]](/images/math/9/1/7/917f989f7ef7cf7ead4bbd7f1db12036.png)
Itt fontos megjegyezni, hogy ha az első elektródából/elektródába folyó hőáramot számítjuk, akkor a fenti képletben 
szerepel. Ugyanígy számíthatnánk a 2. elektródából/elektródába folyó hőáramot, ekkor az energia szerinti integrálban 
szorzófaktor szerepelne. Mivel ez a két számolás ugyanakkora hőáramot kell hogy adjon, így a kétféle számolás szükségszerűen ugyanarra az eredményre vezet.
A fentiek alapján az elektromos vezetőképesség számolását (Landauer-formula) kiegészítve kiszámolhatjuk az 1. ábrán látható rendszer hővezetőképsségét, illettve Seebeck- és Peltier-együtthatóját is.
Termofeszültség számolása (Seebeck-effektus)
Számoljuk ki az 1. ábrán szereplő rendszerre az elektromos áramot a két elektróda eltérő hőmérséklete esetén! Ehhez hívjuk segítségül a szilárdtestfizika alapjai tárgyban már megismert Sommerfeld-sorfejtést, melynek segítségével egy tetszőleges energiafüggő mennyiség Fermi-fügvénnyel vett szorzatának integrálja közelíthető:
![\[\int_{-\infty}^\infty H(\varepsilon)\cdot f(\varepsilon,\mu,T)\,\mathrm{d}\varepsilon = \int_{-\infty}^\mu H(\varepsilon)\,\mathrm{d}\varepsilon + \frac{\pi^2}{6}(kT)^2 H^\prime(\mu) + \mathrm{O} \left(\frac{kT}{\mu}\right)^4.\]](/images/math/b/9/c/b9c065d10d8f8bd34d2112173f294c8e.png)
Ezen Sommerfeld-sorfejtés alapját az képezi, hogy az 
függvényt 
alakban közelítjük, ahol a 
függvényt a 2. ábra szemlélteti. A Sommerfeld-sorfejtés első tagja a zérus hőmérsékletű Fermi-függvénnyel, azaz 
-nél zérussá váló lépcsőfügvénnyel vett integrál. A második tag 
energiafüggetlen 
esetén értelemszerűen zérust ad (lásd 2. ábra), így ezen integrál első rendben 
-vel arányos. A 2. ábra alpján a 
függés is indokolható.
 |
2. ábra. A Sommerfeld-sorfejtés szemléltetése. A  függvényen látható negatív és pozitív csúcs alatti (egyenlő) terület  nagyságrendbe esik, így  .
|
A Sommerfeld-sorfejtés alapján:
![\[I=\frac{2 e}{h} \cdot \int \mathcal{T(\varepsilon)}\cdot \left[f_1(\varepsilon,\mu_1,T_1)-f_2(\varepsilon,\mu_2,T_2)\right]\mathrm{d}\varepsilon\approx\frac{2 e}{h} \cdot \int_{\mu_2}^{\mu_1} \mathcal{T}(\varepsilon)\,\mathrm{d}\varepsilon +\frac{2 e}{h}\frac{\pi^2}{6}(kT_1)^2 \mathcal{T}^\prime(\mu_1)-\frac{2 e}{h}\frac{\pi^2}{6}(kT_2)^2 \mathcal{T}^\prime(\mu_2).\]](/images/math/4/e/9/4e9ae7dfcf026a29b446e1529bd983c4.png)
Ha energiafüggését csak lineáris rendben tekintjük, 
, így
![\[I\approx \frac{2 e}{h} \cdot eV \cdot\bar{\mathcal{T}}(\varepsilon)+\frac{2 e}{h}\frac{\pi^2 k^2}{3}\cdot\Delta T\cdot T \cdot\mathcal{T}^\prime(\mu),\]](/images/math/1/f/d/1fd3b23c04a789032940f9e00ea03fa8.png)
ahol 
, 
, 
,
pedig a transzmissziós valószínűség átlaga 
és 
között.
![\[V \big|_{I=0}=\underbrace{-\frac{\pi^2 k^2 T}{3e}\cdot \frac{1}{\mathcal{T}}\frac{\partial \mathcal{T}(\varepsilon )}{\partial \varepsilon} \bigg|_{\mu}}_{S} \cdot \Delta T\]](/images/math/1/f/d/1fd92f9d3dbf2d94361fcda8c71cbd4b.png)
 |
| 3. ábra. Seebeck-effektus |
Hővezetőképesség, Wiedemann-Franz törvény
![\[\frac{2}{L} \sum (-e) \cdot v_k \cdot f(\varepsilon_k) = -\frac{2}{h}\int e\cdot f(\varepsilon)\,\mathrm{d} \varepsilon \rightarrow I\]](/images/math/9/6/2/962fa51a57005b7ba294d49186060e01.png)
![\[\frac{2}{L} \sum \varepsilon_k \cdot v_k \cdot f(\varepsilon_k) = \frac{2}{h}\int \varepsilon \cdot f(\varepsilon)\,\mathrm{d} \varepsilon \rightarrow I_\varepsilon\]](/images/math/a/9/4/a945e6538dd014bbdef33232d9158307.png)
![\[\frac{2}{L} \sum (\varepsilon_k-\mu) \cdot v_k \cdot f(\varepsilon_k) = \frac{2}{h}\int (\varepsilon-\mu) \cdot f(\varepsilon)\,\mathrm{d} \varepsilon \rightarrow I_Q\]](/images/math/1/f/7/1f7502c790238ef1d1e99aa2ab46143d.png)
![\[I_Q=\frac{2}{h} \cdot \int \mathcal{T(\varepsilon)}\cdot (\varepsilon-\mu_1)\cdot \left[f_1(\varepsilon,\mu_1,T_1)-f_2(\varepsilon,\mu_2,T_2)\right]\mathrm{d}\varepsilon\]](/images/math/2/8/8/28811e2a1ccd50c9270beb4db6f8716d.png)
![\[I_Q\approx\frac{2}{h}\frac{\pi^2}{6}(kT_1)^2\cdot\mathcal{T}(\mu) -\frac{2}{h}\frac{\pi^2}{6}(kT_2)^2\cdot \mathcal{T}(\mu) =\frac{2}{h}\frac{\pi^2 k^2}{3}\cdot\Delta T\cdot T \cdot \mathcal{T}(\mu)\]](/images/math/3/3/b/33b97a30471dce6bc9afdc02a74b2a33.png)
![\[I=G\cdot V;\ \ \ I_Q=G_Q \cdot \Delta T\]](/images/math/7/3/e/73ef397ba1455b20e4f54b00b5a56ff3.png)
![\[\frac{G_Q}{G}=\mathcal{L}\cdot T;\ \ \ \mathcal{L}=\frac{\pi^2k^2}{3e^2}=2.44\times 10^{-8}\,\mathrm{W\,\Omega\,K^{-2}}\]](/images/math/f/f/3/ff3d6b12800ff710fdc4212c0c4da3ce.png)
![\[\frac{\kappa}{\sigma}=\mathcal{L}\cdot T\]](/images/math/3/b/a/3ba412299adbd9ee548fee93c769a0b5.png)
![\[I_Q=\frac{2}{h} \cdot \int \mathcal{T(\varepsilon)}\cdot (\varepsilon-\mu_1)\cdot \left[f_1(\varepsilon,\mu_1,T)-f_2(\varepsilon,\mu_2,T)\right]\mathrm{d}\varepsilon\]](/images/math/9/a/9/9a997fff0a9371ba14020ac2775014a1.png)
![\[I_Q\approx\frac{2}{h} \cdot \underbrace{\int_{\mu_2}^{\mu_1} \mathcal{T}(\varepsilon)(\varepsilon-\mu_1)\,\mathrm{d}\varepsilon}_{\sim (eV)^2} +\frac{2}{h}\frac{\pi^2}{6}(kT)^2\left[\overbrace{\underbrace{\left(\mathcal{T}(\varepsilon)(\varepsilon-\mu_1)\right)^\prime |_{\mu_1}}_{\mathcal{T}(\mu_1)}- \underbrace{\left(\mathcal{T}(\varepsilon)(\varepsilon-\mu_1)\right)^\prime|_{\mu_2}}_{\mathcal{T}^\prime (\mu_2)(\mu_2-\mu_1)+\mathcal{T}(\mu_2)}}^{2\mathcal{T}^\prime (\mu)\cdot eV}\right]\]](/images/math/6/4/b/64bb1dc6d2eef760b79211de18692de1.png)
![\[I_Q\approx \frac{2e}{h}\frac{\pi^2 k^2 T^2}{3}\cdot \frac{\partial \mathcal{T}(\varepsilon)}{\partial \varepsilon}\bigg|_\mu \cdot V\]](/images/math/7/8/5/7857b4e85fea81f4c9f6f67dc781942f.png)
![\[I= -\frac{2e^2}{h}\mathcal{T}\cdot V\]](/images/math/a/b/a/ababe7b0669921e39c9d70cee2e50581.png)
![\[\frac{I_Q}{I}\bigg|_{T_1=T_2}\approx -\frac{\pi^2 k^2 T^2}{3e}\cdot \frac{1}{\mathcal{T}}\frac{\partial \mathcal{T}(\varepsilon)}{\partial \varepsilon}\bigg|_\mu =\Pi=T\cdot S\]](/images/math/0/7/d/07dab32535eec0cda541aeeb06b26c95.png)
