Egyszerű RL, RC, RLC körök megoldásai
Tartalomjegyzék |
Váltakozó áram, váltakozó feszültség
Mint azt az indukció tárgyalásánál láttuk, az effektus egyik – talán legfontosabb – alkalmazása a váltakozó feszültségű generátor. A generátor által biztosított váltakozó feszültség:
![\[ U(t) = U_0 sin(\omega t) \]](/images/math/c/5/f/c5fee7df0b393c7e6eb6e3c40c7305fc.png) |
(1.1) |
ahol 
a maximális feszültségérték vagy feszültségamplitúdó, és 
a körfrekvencia.
Az áramkörök válasza erre a gerjesztésre általában a váltakozó áram:
![\[ I(t) = I_0 sin(\omega t - \varphi) \]](/images/math/b/b/4/bb4e62a6a1c4cd35a10f311f330d8fbe.png) |
(1.2) |
Itt 
a maximális áramerősség és 
azt mutatja, hogy az áram mennyit késik (vagy siet) a feszültséghez képest.
Nézzük meg először, hogy mi történik, ha az 1.1 szerint megadott váltófeszültséget kapcsolunk egy ohmikus terhelésre vagy fogyasztóra, mondjuk egy merülőforralóra (1.1 ábra).
 |
| 1.1 ábra |
A huroktörvény alkalmazásával, vagy talán kevésbé elegánsan, az Ohm-törvény segítségével kapjuk az ellenálláson átfolyó áram értékét:
![\[ I(t) = \frac {U_0}{R} sin(\omega t) \]](/images/math/8/3/9/8392a3321ec9144c309ed8989d85c211.png) |
(1.3) |
Jól látszik, hogy az áramerősség maximális értékét az 
hányados adja, azaz 
és hogy az áram ”nem késik” a feszültséghez képest. Arra kérdésre pedig, hogy mekkora teljesítmény disszipálódik az 
ellenállású fogyasztón, kétféle választ adhatunk. Először is megadhatjuk a pillanatnyi veszteséget, a Joule-törvény segítségével:
![\[ P(t)=I(t)U(t) = \frac {U^2_0}{R} sin^2(\omega t) \]](/images/math/d/d/8/dd83ae649f7aea99933493092b242a1f.png) |
(1.4) |
Minthogy az általunk használt váltakozó feszültség frekvenciája 50 Hz, ezért a disszipált teljesítmény időfüggésével – legtöbbször, pl. egy merülőforraló esetében – értelmetlen dolog foglalkozni. Jobban használható adat egy fogyasztó esetében az átlagteljesítmény:
![\[ P_{\acute{a}tl}= \left< I(t)U(t) \right > = \frac{1}{T} \int\limits_0^T P(t)dt \]](/images/math/e/f/e/efe58325d63211d785c272ceaa24061c.png) |
(1.5) |
Ebben a konkrét példában:
![\[ P_{\acute{a}tl}= \frac{1}{T} \int\limits_0^T \frac {U^2_0}{R} sin^2(\omega t)dt \]](/images/math/3/6/8/36874ff7145ec58d38dd38f60ac90d46.png) |
(1.6) |
Nem nehéz megmutatni, hogy:
![\[ P_{\acute{a}tl}= \frac {U^2_0}{2R} \]](/images/math/c/6/3/c63c1dd627cd7ddf873ed3bad526f8cf.png) |
(1.7) |
A kapott eredményt írhatjuk így is:
![\[ P_{\acute{a}tl}= \frac {1}{R} \left( \frac {U_0}{\sqrt {2}} \right)^2 \]](/images/math/c/2/c/c2cdc3a624bcd57db6d0b8e583e36492.png) |
(1.8) |
Ennek pedig a következő az olvasata: a fogyasztón disszipált átlagteljesítmény akkorának adódik, mintha egy olyan egyenfeszültség-forrást kapcsoltunk volna a fogyasztóra, amelynek az elektromotoros ereje 
, ezt hívjuk effektív feszültségnek:
![\[ U_{eff} = \frac {U_0}{\sqrt {2}} \]](/images/math/9/7/5/97500ce03d32e275cb78bc0ac4bb92ac.png) |
(1.9) |
Hasonló módon bevezethetjük az effektív áramerősséget is:
![\[ I_{eff} = \frac {I_0}{\sqrt {2}} \]](/images/math/1/3/c/13c2fb6625a8791dec9a0a0b41c47e60.png) |
(1.10) |
Az effektív feszültség és áramerősség segítségével az átlagteljesítmény - ohmikus ellenállás esetén - a szokásos módon számítható:
![\[ P_{\acute{a}tl}= RI^2_{eff} = I_{eff} U_{eff} = \frac {U^2_{eff}}{R} \]](/images/math/b/f/1/bf1faa1439c9ecfb4922c0b4a68c0b5d.png) |
(1.11) |
Mint azt a bemutatott példán láttuk, az ohmikus fogyasztó esetében az áram és a feszültség "fázisban vannak", azaz nincs köztük fáziskülönbség.
Most rugaszkodjunk el az előző egyszerű példától és tegyük fel, hogy a váltakozó feszültség és áram között fáziskülönbség van, azaz:
![\[U(t) = U_0 sin(\omega t) \qquad {\rm {\acute{e}}s} \qquad I(t) = I_0 sin(\omega t - \varphi) \]](/images/math/4/9/f/49fcbd669e261bd75e7adb2dee2c9583.png) |
(1.12) |
Számítsuk ki átlagteljesítményt ebben az esetben:
![\[ P_{\acute{a}tl}= \frac{1}{T} \int\limits_0^T P(t)dt = \frac{1}{T} \int\limits_0^T U_0 I_0 sin(\omega t)sin(\omega t - \varphi)dt \]](/images/math/4/a/2/4a29fb43ad51895e66c153f1f55122d9.png) |
(1.13) |
Könnyű belátni, hogy:
![\[ P_{\acute{a}tl}= U_{eff} I_{eff} cos(\varphi) \]](/images/math/0/4/b/04b8847696b1c970ca17ee9cfa94139f.png) |
(1.14) |
A váltakozó áram és feszültség időfüggését szemléletesen be lehet mutatni a komplex síkon. Ezt a következőképpen tehetjük meg; legyen, mondjuk a feszültség a következő formában megadva:
![\[ U(t) = U_0 cos(\omega t) \]](/images/math/3/2/6/326dab122555dcdc11d3b034765e4707.png) |
(1.15) |
Ezt át lehet írni a következő alakba:
![\[ U(t) = Re [ U_0 e^{i\omega t} ] \]](/images/math/3/3/e/33e6561061423f52dd4caa192e3cc6d5.png) |
(1.16) |
A feszültséget tehát komplex alakban is felvehetjük:
![\[ \widetilde{U}(t) = U_0 e^{i\omega t} \]](/images/math/a/0/a/a0a8785e47bd64c366545e9f1fc55b7e.png) |
(1.17) |
Ez pedig egy 
abszolút-értékű vektor, amely körfrekvenciával forog a komplex számsíkon, amint ez az 1.2 ábrán látható.
 |
| 1.2 ábra |
Természetesen az áramot is megadhatjuk komplex alakban (az áram késik a feszültséghez képest):
![\[ \widetilde{I}(t) = I_0 e^{i\omega t - \varphi} \]](/images/math/4/e/6/4e606f5647965f0a5f6bd82525b31ff7.png) |
(1.18) |
Az ábrázolásmód haszna abban rejlik, hogy a komplex síkon egyszerre ábrázolhatjuk a feszültséget és az áramot:
 |
| 1.3 ábra |
Természetesen az 
és az 
komplex vektorok ω szögsebességgel forognak miközben szöget zárnak be egymással. Az szögsebességű forgást azonban könnyen leválaszthatjuk az és az komplex vektorokról, amennyiben midkét tagot elosztjuk az 
-vel.
Most nézzük meg, hogy mi történik, ha egy kondenzátorra váltófeszültséget kapcsolunk (1.4 ábra).
 |
| 1.4 ábra |
A huroktörvény alkalmazásával kapjuk a következő összefüggést:
![\[ \frac {Q}{C} = U_0 sin(\omega t) \]](/images/math/3/5/2/3520d2d63c173ecffd2176b17be4014c.png) |
(1.19) |
Az áram definíciójának felhasználásával:
![\[ \frac {1}{C} \int I(t)dt = U_0 sin(\omega t) \]](/images/math/8/f/c/8fced729c7511cce4a6c0649da2ac120.png) |
(1.20) |
Mindkét oldalt deriválva kifejezhetjük 
– t:
![\[I(t) = C \omega U_0 cos(\omega t) \qquad {\rm {azaz}} \qquad I(t) = \frac {U_0}{X_C} cos(\omega t) = \frac {U_0}{X_C} sin(\omega t + \frac {\pi}{2}) \]](/images/math/1/8/d/18d0a9a48eea3728c9f0f5ff312aa1d4.png) |
(1.21) |
ahol 
a kapacitív ellenállás, más néven kapacitív reaktancia:
![\[ X_C = \frac {1}{C\omega} \]](/images/math/2/4/8/248cf6c5b94aab1451f4dcd9708985de.png) |
(1.22) |
Az áramot megadó 1.21-ből két dolog is következik; egyrészt a kondenzátor úgy viselkedik, mint egy olyan eszköz, amelynek az ellenállása frekvenciafüggő, másrészt pedig az áram 
-ot siet a feszültséghez képest (1.5 ábra).
 |
| 1.5 ábra |
Hasonlóképpen megvizsgálhatjuk azt is, hogy miként reagál egy szolenoid vagy egy toroid (egy olyan eszköz, amelynek önindukciós tényezője L), ha rá váltakozó feszültséget kapcsolunk (1.6 ábra). Az egyszerűség kedvéért feltesszük, hogy az ohmikus ellenállás elhanyagolható.
 |
| 1.6 ábra |
Most is alkalmazhatjuk a huroktörvényt:
![\[ U(t) - L \frac {dI}{dt} = 0 \]](/images/math/0/e/3/0e33ca274c9ad7d9a3c633f42365a501.png) |
(1.23) |
Ezt kissé átrendezhetjük és beírhatjuk a feszültség időfüggését:
![\[ \frac {dI}{dt} = \frac {1}{L} U_0 sin(\omega t) \]](/images/math/d/4/d/d4d707eb71d4a2ae89e5ae965700ae83.png) |
(1.24) |
Az áramot megkaphatjuk, ha mindkét oldalt integráljuk a 
szerint:
![\[ I(t) = - \frac {U_0}{L \omega} cos(\omega t) = \frac {U_0}{X_L} sin(\omega t - \frac {\pi}{2}) \]](/images/math/a/8/f/a8feed9eb70062e84ea295fa82725470.png) |
(1.25) |
ahol 
a tekercs induktív ellenállása (más néven: induktív reaktancia):
![\[ X_L = L\omega \]](/images/math/4/4/6/446f301b88dfafda93c23b99e8d71885.png) |
(1.26) |
Az 1.25 formula egyrészt megadja azt, hogy az induktív ellenállás hogyan függ a frekvenciától, másrészt pedig, hogy az áram fázisban éppen 
-vel marad le a feszültségtől (1.7 ábra). Ez utóbbi állítást természetesen fordítva is meg lehet fogalmazni, azaz hogy a feszültség siet az áramhoz képest.
 |
| 1.7 ábra |
Most próbáljuk meg alkalmazni a tanult módszert a soros RLC kör esetén. Először tekintsük a következő ábrán látható elrendezést.
 |
| 1.8 ábra |
A Kirchhhoff-féle huroktörvény alkalmazásával – figyelembe véve, hogy az áramerősség az áramkörben mindenhol ugyanazt az értéket veszi fel egyidejűleg – természetesen felírható egy differenciálegyenlet:
![\[ U(t)-L \frac {dI}{dt} - RI - \frac {Q}{C} = 0 \]](/images/math/f/a/d/fadaf9770e108f3bfe1dc741f5fb9474.png) |
(1.27) |
Ezzel most az a probléma, hogy két változó is szerepel benne, de az áram definícióját felhasználva felírható az előbbi egyenlet egyszerűbb alakban is:
![\[ L \frac {d^2 Q}{dt^2} + R\frac {dQ}{dt} + \frac {Q}{C} = U(t) \]](/images/math/f/f/9/ff988a32cbd7d9efeeba20d729898e8e.png) |
(1.28) |
ahol 
vagy 
. Ez az egyenlet már megoldható, de mi most egyelőre nem így keressük a megoldást.
Használjuk fel az előzőekben tanultakat. Láttuk, hogy az áramhoz képest a kapacitív ellenálláson a feszültség késik -ot és annak maximális értéke: 
. Azt is megmutattuk, hogy az induktív ellenálláson a feszültség siet -ot és maximális értéke 
. Az ohmikus ellenálláson mérhető feszültség fázisban van az árammal és maximális értéke: 
. Most csak annyit kell tennünk, hogy a komplex számsíkon ábrázoljuk a valós tengelyen felvett 
feszültséggel együtt a másik két feszültségértéket az említett fázistolásokkal és venni kell ezek vektori eredőjét, hiszen a huroktörvény alapján:
![\[ \widetilde{U}_R + \widetilde{U}_L + \widetilde{U}_C = \widetilde{U}(t) \]](/images/math/3/0/6/306beacaf2a124be9c33501f0da1b336.png) |
(1.29) |
Ugyanez a komplex síkon ábrázolva:
 |
| 1.9 ábra |
Az ábráról leolvasható, hogy az áram a feszültséghez képest fázissal késik. Elemi geometriai megfontolások alapján:
![\[ tg \varphi = \frac {\left|\widetilde{U}_L \right| - \left|\widetilde{U}_C \right| }{\left|\widetilde{U}_R \right|} \]](/images/math/a/5/6/a56762ab47d302332e9292a394444de2.png) |
(1.30) |
A második lépésben – val egyszerűsíthetünk. Most szükséges bevezetni egy új fogalmat a feszültség és az áram hányadosára, hiszen most már ez is egy komplex mennyiség lesz. Ez az új mennyiség a komplex impeadancia, és jele: 
. Amennyiben – val elosztjuk a 1.9 ábrán szereplő összes tagot, felrajzolható a soros RLC kör fazor ábrája:
 |
| 1.10 ábra |
Erről az ábráról egyrészt leolvasható, hogy mekkora az áram fáziskésése a feszültséghez képest. Másrészt pedig meghatározható az impedancia abszolút értéke, amely megadja a maximális feszültség és maximális áramerősség hányadosát, vagy – ami ugyanaz – az effektív feszültség és effektív áram hányadosának értékét. A komplex impedancia tehát:
![\[ \widetilde{Z} = R + i(X_L - X_C) \]](/images/math/8/f/2/8f2ee77eb40396a44122bf35d18f7f68.png) |
(1.31) |
és annak abszolút értéke:
![\[ \left|\widetilde{Z} \right| = Z = \frac {U_0}{I_0} = \sqrt {R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt {R^2 + \left( L\omega - \frac {1}{C\omega} \right)^2} \]](/images/math/4/5/1/4512c5795befd89f74c45997243a33ed.png) |
(1.32) |
Az áramkörben kialakuló áramerősség maximális értéke illetve az effektív áramerősség tehát frekvenciafüggést mutat:
![\[ I_{eff} = \frac {U_{eff}}{Z(\omega)} \]](/images/math/e/9/2/e9220eaf217998d918f3db6ac6284510.png) |
(1.33) |
Az impedancia értékét megadó 1.32-ből következik, hogy abban az esetben lesz maximális az áramerősség, ha 
, azaz a váltakozó feszültség - és az áram - körfrekvenciája:
![\[ \omega_o = \frac {1}{\sqrt{RL}} \]](/images/math/1/8/a/18a791f3cef43a2af53884837972233d.png) |
(1.34) |
ahol 
a soros RLC kör rezonanciafrekvenciája. Az áram rezonanciagörbéjét mutatja a következő ábra:
 |
| 1.11 ábra |
Az 1.32 formulából következik az is, hogy az áramerősség maximális értékét rezonancia esetén az ellenállás értéke határozza meg; ezt jól mutatják a 1.11 ábra rezonanciagörbéi. Az 1.30-ból közvetlenül adódik, hogy a rezonancia megvalósulásánál az áram és a feszültség között nincs fáziskülönbség és ilyenkor maximális az áram amplitúdója.
A 1.10 ábráról az is leolvasható, hogy:
![\[ R = Z cos (\varphi) \]](/images/math/9/3/8/9386cd484d5ac9ea2d9f3857465c072d.png) |
(1.35) |
Most már viszonylag egyszerűen megadhatjuk az előző két összefüggés felhasználásával a soros RLC körön disszipált átlagteljesítményt:
![\[ P_{\acute{a}tl}= U_{eff}I_{eff}cos(\varphi) = U_{eff}I_{eff} \frac{R}{Z} = R I^2_{eff} \]](/images/math/e/8/2/e82b820bc53f96a96fd5a5adf11dfed5.png) |
(1.36) |
Ez az eredmény rávilágít arra a tényre is, hogy a veszteséget az ellenállás okozza. Az induktivitásra és a kapacitásra számítható átlagteljesítmény – ideális esetben – zérus, hiszen a rájuk eső feszültség és az átfolyó áram között – os fáziskülönbség van.
A rezgőkört szokás még jellemezni az úgynevezett jósági tényező segítségével is. Ez a paraméter azt adja meg, hogy milyen arányban áll a rendszer energiája az egy periódus alatt történő energiaveszteséggel a rezonanciafrekvencián:
![\[ Q = 2 \pi \frac {\rm {a\, rendszerben \, t\acute {a} rolt \, energia}}{\rm {egy \, peri\acute{o}dus \, alatt \, disszip\acute{a}lt \, energia}} \]](/images/math/9/5/d/95dec2e1c92a93416e6ce0a1f3e7eb71.png) |
(1.37) |
Könnyen kiszámítható a definíció alapján, hogy soros rezgőkör esetében:
![\[ Q = \frac {L\omega_o}{R} \]](/images/math/0/c/8/0c8bab3ebd19135039a0ca8c17e7f76b.png) |
(1.38) |
A csillapított kényszerrezgés dinamikája és az RLC kör feszültség- valamint áramviszonyai hasonlóképpen tárgyalhatók. Tegyük fel, hogy egy Hooke-törvényt követő rugó végére kötünk egy 
tömegű testet, amelyre egyrészt – a rugóerőn kívül – hat az 
kényszererő, másrészt pedig a sebességgel arányos nagyságú, de azzal ellentétes irányú 
súrlódási erő (1.12 ábra).
 |
| 1.12 ábra |
A mozgásegyenletet a következő formában adhatjuk tehát meg:
![\[ ma = -kx-\lambda v + F_o cos(\omega t) \]](/images/math/e/d/8/ed803af4ebae1426936d6c179c5d43cb.png) |
(1.39) |
Elosztjuk mindkét oldalt a tömeggel és bevezetjük a 
új paramétert, így kapjuk a jól ismert egyenletet:
![\[ \ddot{x} + 2\beta \dot{x} + \omega^2_o x = f_o cos(\omega t) \]](/images/math/0/7/d/07d107a1d8ac18bb1bb55dbf236a3731.png) |
(1.40) |
ahol természetesen 
és az oszcillátor saját (kör)frekvenciája. A differenciálegyenlet szembetűnő hasonlóságot mutat a 1.28 formulával; ebből következően a két egyenlet megoldása matematikailag hasonló. Az 1.40 egyenlet jobb oldalán álló tag írható a következő formába is: ![\setbox0\hbox{$f_o cos(\omega t) = f_o Re \left[ exp(i\omega t) \right]$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/b/b/1/bb1450a8f6b12da29bf61582bd221802.png)
. Most már megtehetjük, hogy a változót is komplexnek vesszük, de közben észben tartjuk, hogy csak a valós értéknek van fizikai jelentése. Ezután a megoldást a következő alakban keressük:
![\[ x (t) = A e^{i\omega t} \]](/images/math/6/d/8/6d8e22cb6678f3c617f5e59042d594d4.png) |
(1.41) |
Helyettesítsünk be 1.40-be:
![\[ \left(\omega^2_o - \omega^2 + 2i\beta \omega \right) \widetilde {A} e^{i\omega t} = f_o e^{i\omega t} \]](/images/math/c/2/7/c27da368329e04db24c040b9a9513e48.png) |
(1.42) |
A komplex amplitúdó könnyen kifejezhető:
![\[ \widetilde {A} = \frac {f_o}{\left(\omega^2_o - \omega^2 + 2i\beta \omega \right)} = A e^{i\varphi} \]](/images/math/1/3/d/13db9ce7ff4347ea09731f20bce3992b.png) |
(1.43) |
ahol a rezgés 
amplitúdója és fázisa a következőféleképpen számítható:
![\[ A = \frac {f_o}{\sqrt{\left(\omega^2_o - \omega^2 \right)^2 + 4\beta^2 \omega^2 }} \qquad {\rm {\acute{e}}s} \qquad tg(\varphi) = \frac {2\beta \omega}{\omega^2_o - \omega^2} \]](/images/math/5/0/6/5068b990d13ef9dbdfa020726d8118f7.png) |
(1.44) |
A mozgásegyenlet megoldása tehát:
![\[ x(t) = A cos ( \omega t - \varphi) \]](/images/math/9/9/1/991620bbf303c488956e38b66176291d.png) |
(1.45) |
Hasonlóképpen a soros RLC kör esetében is követhetnénk az itt bemutatott módszert, és akkor 
gerjesztés esetén írhatnánk, hogy:
![\[ I(t) = I_o cos ( \omega t - \varphi) \]](/images/math/a/1/3/a1300974db4e820363de3145e9e76c78.png) |
(1.46) |
ahol a maximális áramerősség, azaz az áram-amplitúdó:
![\[ I_o = \frac {U_o}{\sqrt{R^2 + \left( L\omega - \frac {1}{C\omega} \right)^2}} \]](/images/math/8/f/d/8fd22c92c274c46d129585559f1fab0a.png) |
(1.47) |
Könnyű észrevenni a hasonlóságot 1.44 első formulája és 1.47 között. Azonban nemcsak a megoldás hasonló, hanem a levonható következtetések is; mindkét esetben fellép a rezonancia jelensége és a fáziskésés frekvenciafüggése is egy hasonló függvénnyel írható le, sőt még a jósági tényező meghatározása is ugyanazon definíció alapján történik. Meg lehet mutatni mindkét esetben, hogy ha a csillapítás nem erős, azaz például 
esetén, akkor a rezonanciagörbe félérték-szélessége arányos a csillapítással, vagyis 
-val illetve az ellenállással.
Láttuk, hogy a fazorábra segítségével hogyan adható meg a soros RLC kör impedanciája valamit a feszültség és az áram közötti fázis.
A módszer jól használható a párhuzamos RLC kör esetében is.
 |
| 1.13 ábra |
Mint az 1.13 ábrán jól látszik, most a feszültség lesz mindegyik áramköri elemen ugyanaz minden pillanatban. Alkalmazhatjuk a csomóponti törvényt, azaz 
, azaz ugyanezt komplex alakban felírva és a feszültséggel osztva:
![\[ \frac {1}{\widetilde {Z}} = \frac {1}{R} + \frac {1}{iL\omega} - \frac {C\omega}{i} \]](/images/math/0/a/d/0ad715d90593e83a9b9fe834117ebee6.png) |
(1.48) |
Az ehhez tartozó fazorábra:
 |
| 1.13 ábra |
Innen leolvasható, hogy az áram és a feszültség közötti fázis meghatározható a következő összefüggésből:
![\[ tg(\varphi) = \frac {\frac {1}{L\omega} - C\omega}{\frac {1}{R}} \]](/images/math/6/1/5/6152bfd4649fa15784b7495464ef9b85.png) |
(1.49) |
ahol az áram:
![\[ I(t) = \frac {U_o}{\widetilde {Z}} sin (\omega t - \varphi) \qquad {\rm {\acute{e}}s} \qquad I_{eff} = \frac {U_{eff}}{\left|\widetilde{Z} \right|} \]](/images/math/7/7/9/779b763ed6f98a2165ea26c0fc350cf8.png) |
(1.50) |
alakban adható meg.
Lineáris rendszer állapotváltozós leírása időtartományban
Ezidáig arra láthattunk példákat, hogy mi történik, ha egy RC, egy RL, egy soros RLC kör vagy az azzal analóg gerjesztett csillapított oszcillátor hogyan reagál az egyszerű szinuszos gerjesztésre. A mérnöki gyakorlatban azonban gyakran előfordul, hogy a gerjesztés egy aperiódikus jel. Annak vizsgálata, hogy ebben az általános esetben mi történik, igen fontos, hiszen a különböző áramkörökkel, oszcillátorral megvalósított rendszer egy általános leírását kaphatjuk meg. A matematikai leírás természetesen nem csak elméleti szempontból fontos, hanem számos gyakorlati haszna is van. A mérnöki gyakorlatban is használt eljárások közül talán a legfontosabb a zajszűrés, de még számos érdekes probléma is megoldható az alábbiakban vázlatosan bevezetésre kerülő módszerek alkalmazásával, mint például az alakfelismerés, homályos képek ”visszaállítása”, 3D-s képfeldolgozás, stb. Az általunk idáig vizsgált áramkörök és oszcillátorok úgynevezett lineáris rendszerek. Ez azt jelenti, hogy például "kétszer erősebb" (kétszeres amplitúdójú) gerjesztésre kétszer nagyobb választ ad a rendszer, azaz a bejövő jel (input) és a rendszer válasza között lineáris kapcsolat áll fenn. Arról, hogy az input és az output közötti kapcsolat nemlineáris szinte mindenkinek van némi tapasztalata: amennyiben egy rádiónak vagy akár egy HiFi berendezésnek (erősítő, hangfal, stb.) a hangerő szabályozóját maximálisra állítjuk, akkor a legtöbb esetben igen erős hangminőség romlás észlelhető. Erre általában azt mondjuk, hogy az eszköz torzít. Mit is jelent ez egyszerűen modellezve? Tegyük fel, hogy van két HiFi berendezésünk; az egyiken a jelátvitel lineáris, míg a másikon nem, ez utóbbi esetben érezzük azt, hogy a hang nem tiszta. Mindezt igen szemléletesen mutatja a következő ábra.
 |
| 2.1 ábra |
Mindkét esetben egy tiszta szinuszos bemenő jel volt az input, azonban a nemlineáris rendszer válasza, amit mi torzítottnak hallunk, tartalmazza az egyik felharmonikust is. A bemutatott egyszerű példa is rávilágít arra, hogy érdemes lehet a jelátvitel problémáját a frekvencia-tartományban vizsgálni. Ez három lépésben valósítható meg. Először meg kell határozni a gerjesztés (vagy input) különböző frekvenciájú komponenseinek amplitúdóját és fázisát, vagyis fel kell venni a spektrumát. A második lépésben valahogyan meg kell adni, hogy a különböző komponensek hogyan mennek át a rendszeren, azaz miként változik az amplitúdójuk és a fázisuk. Végül a szuperpozíció elvét alkalmazva, a komponensek összegeként előáll a rendszer válasza. A következőkben azt fogjuk megmutatni, hogy ez a három lépés hogyan valósítható meg, és néhány példát látunk majd az alkalmazásukra is. A most körvonalazott módszer segítségével – mint azt majd látni fogjuk – ráadásul lineáris differenciálegyenletek megoldása is viszonylag könnyen megadható.
Periódikus jel Fourier sora
Egy periodikus jel megadható a Fourier sorával, illetve közelíthető a Fourier sor véges tagjának összegével. Legyen a periodikus jel 
és a periódusa 
. A 
időpontot válasszuk meg úgy, hogy éppen egy ciklus közepére essen, azaz az ismétlődő jelsorozat egy periódusa tartson 
-től 
-ig (lásd a 2.1.1 ábrát).
 |
| 2.1.1 ábra |
A jel periódusából adódó legalacsonyabb frekvencia 
, a felharmonikusok: 
és természetesen 
, ahol 
. Az periodikus jel tehát megadható a (már tanult) Fourier sor segítségével:
![\[ x(t) = \sum^{\infty}_{i=1} a_k cos (\omega_k t)+ \sum^{\infty}_{i=1} b_k sin (\omega_k t) + a_0\]](/images/math/2/f/5/2f509ccf6d77fca37e7fa384bd9b80b8.png) |
(2.1.1) |
Az 
és 
Fourier együtthatókat a következőképen számíthatjuk ki:
![\[ a_0 = \frac{1}{T}\int\limits_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} x(t)dt \]](/images/math/8/0/e/80edfebb204766b1d4cf2e6db862d12b.png) |
(2.1.2) |
![\[ a_k = \frac{2}{T}\int\limits_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} x(t)cos(\omega_k t)dt \]](/images/math/3/7/9/379085057bd88a27cc6d1291ec19543a.png) |
(2.1.3) |
![\[ b_k = \frac{2}{T}\int\limits_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} x(t)sin(\omega_k t)dt \]](/images/math/5/a/1/5a14394b0b7b4f5d631d423037030fa7.png) |
(2.1.4) |
ahol k = 1, 2, 3, …
Természetesen vannak feltételek, melyek teljesülése szükséges ahhoz, hogy az függvény megadható legyen a Fourier sorával, például legyen a tartományon Riemann integrálható, stb. Most ezekkel a feltételekkel nem foglalkozunk; fogadjuk el, hogy az általunk vizsgált függvények "jól viselkedő függvények" (folytonosak, deriválhatók, végesek, stb.), amelyek esetében nem lép fel probléma az együtthatók kiszámításánál.
Példaként tekintsünk egy periodikus négyszögjelet, pontosabban ennek egy periódusát:
![\[ x(t)= \begin{cases} -1 &ha \quad -\frac{T}{2}<t<0 \\ 0 &ha \quad t= 0 \\ +1 &ha \quad 0<t<\frac{T}{2} \end{cases} \]](/images/math/8/0/4/8047941b644c0c3b9eec976775f682f1.png) |
(2.1.5) |
A Fourier együtthatók kiszámítása után kapjuk, hogy
![\[ x(t) = \frac{4}{\pi}\left(sin(\omega t)+ \frac {1}{3}sin(3\omega t) + \frac {1}{5}sin(5\omega t)+...\right) \]](/images/math/9/5/0/9500baa3a3deef8f4bd09e6009ec9021.png) |
(2.1.6) |
Az eredményt jól mutatja a 2.1.2 ábra, ahol a sor első három tagjának összege látszik.
 |
| 2.1.2 ábra |
Amennyiben a 
és a 
tagokat az Euler összefüggés segítségével átírjuk exponenciális alakra, akkor – mint az egyszerűen belátható – az Fourier sora megadható egy általánosabb formában is:
![\[ x(t) = \sum^{\infty}_{k=1} c_k e^{i\omega_k t}+ \sum^{\infty}_{k=1} c_{-k} e^{-i\omega_k t} + a_0\]](/images/math/0/f/9/0f9c62a74581ea6587ebf321a74e2c2c.png) |
(2.1.7) |
Az általánosításban még tovább mehetünk:
![\[ x(t) = \sum^{\infty}_{-\infty} c_k e^{i\omega_k t} \]](/images/math/f/0/1/f0116958dd89a6ca05fee078f69936f2.png) |
(2.1.8) |
A Fourier együtthatókat azonban nem csak kiszámítani lehet, hanem megfelelő szűrőkkel az együtthatók értékét, vagy egymáshoz való arányukat is megváltoztathatjuk. Egy sávszűrővel könnyen elnyomható a zaj, ha az valamely frekvencia-tartományban jelentkezik, amely a jel spektrumán kívül jelentkezik. Egy koncertfelvételt például véletlenszerűen megzavaró vonatfütty hangja szinte teljesen eltüntethető. Az említett módszerrel azonban nem csak a zajszűrés oldható meg, hanem akár a dobpergés vagy a hegedű hangja is kiemelhető egy együttes zenéjéből. Lássunk erre egy szemléletes példát! A következő ábrán egy gitár megpendített húrjának rezgési spektruma látható.
 |
| 2.1.3 ábra |
Ha azonban a gitár húrját megérintjük a hosszának 1/3 – ánál, vagyis egy "természetes sávszűrő"-t alkalmazunk, a spektrum is természetesen ennek megfelelően változni fog (az alapharmonikus frekvenciája most más érték):
 |
| 2.1.4 ábra |
Aperiodikus jel spektruma
Amennyiben egy lineáris rendszer inputja, illetve gerjesztése egy aperiodikus jel, akkor a Fourier-sor már nem alkalmazható arra, hogy áttérjünk a frekvencia-tartományba, hiszen a jelet nem lehet előállítani egy alapharmonikus és felharmonikusai összegével; már az alapharmonikus meghatározása sem lehetséges. Az aperiodikus jel spektrumának kiszámításához a periódusidőt minden határon túl növeljük, ennek következtében a két szomszédos harmonikus közötti távolság, azaz 
(ami eredetileg 
-vel volt egyenlő) egyre kisebb lesz, azaz 
. Mindez azt sugallja, hogy a 2.1.14 kifejezésben összegzés helyett integrálnunk kell. Az általánosítás tehát a következő: az 
aperiodikus jel Fourier transzformáltja az 
komplex függvény (komplex, mert minden frekvencia-komponenshez tartozik egy fázis):
![\[ F(\omega)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-i\omega t}dt \]](/images/math/1/1/7/117416dfbfa7a04d7aaac9e3466b7837.png) |
(2.2.1) |
Az -ból pedig az inverz Fourier tarnszformáció segítségével kaphatjuk meg időtartományban az jelet:
![\[ f(t)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} F(\omega)e^{i\omega t}dt \]](/images/math/6/8/0/6801c4897004d8e75bd96cb5ebfbf2d7.png) |
(2.2.2) |
A módszer egyik nagy előnye a már említett zajszűrés. (Például zajos, szemcsés képek is megtisztíthatók bizonyos frekvencia-tartományok elnyomásával; ekkor kettős integrált és 
, 
komponenseket kell használni áttérve 2D-re.)
Ahhoz, hogy egy másik, igen fontos alkalmazási lehetőséget is megmutathassunk, tekintsünk egy egyszerű mechanikai példát. Legyen egy csillapítatlan harmonikus oszcillátor eredetileg nyugalomban 
, de a 
– ban bekapcsolunk egy 
állandó erőt. Ezt a gerjesztést másféleképpen is jelölhetjük: 
, ahol 
az ún. egységugrás függvény:
 |
| 2.2.1 ábra |
Az oszcillátor mozgásegyenlete:
![\[ m\ddot{x} + Dx = F_o 1(t) \]](/images/math/6/d/4/6d45f1cb98be241ebd4c5b5fd6a49498.png) |
(2.2.3) |
Könnyen meggyőződhetünk róla és szemléletesen is egyszerű belátni, hogy a megoldás (jelöljük ezt most 
-vel):
![\[ x_1 (t) = \frac{F_o}{D}\left[1-cos(\omega_o t)\right] \]](/images/math/f/c/a/fca58dd21fd3cd85da09be0eafc6d2f3.png) |
(2.2.4) |
ahol természetesen:
![\[ \omega_o = \sqrt {\frac{D}{m}} \]](/images/math/3/d/c/3dc304879d7203b8983360cd5a4b6433.png) |
(2.2.5) |
Ezután szeretnénk meghatározni, hogy egy erőlökésre hogyan reagál a rendszer, vagyis a csillapítatlan harmonikus oszcillátor. Az erőlökés 
ideig tart és ezen időtartam alatt állandó erő hat:
 |
| 2.2.2 ábra |
Az erőlökést megadó 
függvény – mint az a 2.2.3 ábrán látható – összerakható két egységugrás függvény összegeként:
 |
| 2.2.3 ábra |
A második 
erőt t = időpontban kapcsoljuk be. Most vizsgáljuk meg azt, hogy mi történne, ha az eredetileg nyugalomban lévő oszcillátorra csak az 
erő hatna. A mozgásegyenlet megoldása hasonló a 2.2.4 - hez, de most figyelembe kell venni, hogy a erő csak a t = időpontban kezd el hatni:
![\[ x_2 (t) = - \frac{F_o}{D}\left[1-cos(\omega_o (t-\tau))\right] \]](/images/math/2/2/2/2220025b3cb79b3298eb80217d2b9351.png) |
(2.2.6) |
Láttuk, hogy a ideig tartó erőlökés előáll az 
és 
összegeként. Minthogy a csillapítatlan oszcillátor lineáris rendszer és 
, ezért az erőlökésre, mint gerjesztésre a rendszer az 
megoldással "válaszol":
![\[ x(t) = \frac{F_o}{D}\left[1-cos(\omega_o t)\right] - \frac{F_o}{D}\left[1-cos(\omega_o (t-\tau))\right] \]](/images/math/0/6/1/06183841231ca8d5b1cc01b629946e98.png) |
(2.2.7) |
A zárójeleket felbontva egyszerűbb alakot nyerhetünk:
![\[ x(t) = \frac{F_o}{D}\left[cos(\omega_o t)cos(\omega_o \tau) + sin(\omega_o t)sin(\omega_o \tau) - cos(\omega_o t) \right] \]](/images/math/3/a/7/3a7edc0069bb2ee489973113c6ee5203.png) |
(2.2.8) |
Ezután végezzünk el egy előremutató általánosítást: tegyük fel, hogy az erőlökés pillanatszerű. Az erőlökés pillanatszerűsége gyakorlati szempontból azt jelenti, hogy << T, ahol T az oszcillátor periódusideje. Most tartson az erőhatás egyre rövidebb ideig, azaz 
, de közben az erőlökés nagysága - vagyis az oszcillátornak átadott impulzus: 
- maradjon állandó. Ebből azonnal adódik, hogy minden határon túl tart a 
- be. Ez a speciális erőlökés a 
- vel megszorzott Dirac-delta, amiről tudjuk, hogy:
![\[ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \delta(t)dt = 1 \qquad {\rm {\acute{e}}s} \qquad \delta(t) = 0 \qquad {\rm ha} \qquad t \neq 0 \]](/images/math/8/a/f/8af28c2e711e0ab4142877f65b7fb912.png) |
(2.2.9) |
A 2.2.8 formulából megkaphatjuk a választ arra a kérdésre, hogy miként reagál a csillapítatlan harmonikus oszcillátor egy pillanatnyi erőlökésre, ha elvégezzük a közelítést. Könnyen belátható, hogy a esetben:
![\[ x(t) = \frac{F_o \tau \omega_o}{D}sin(\omega_o t)= \frac{\Delta p \omega_o}{D}sin(\omega_o t) \]](/images/math/3/5/6/356a436990805b39f4c0b86c53d4d7ce.png) |
(2.2.10) |
Kérdés, hogy mi történik akkor, ha a pillanatnyi erőlökés nem a , hanem valamely 
időpontban történik. A válasz egyszerű; 
ha 
, viszont a 
esetén:
![\[ x(t) = \frac{F_o \tau \omega_o}{D}sin \left[\omega_o (t-t')\right] \]](/images/math/d/a/e/dae7d7fdc21d3b96da8c261701ed28b9.png) |
(2.2.11) |
Most már elég sokat tudunk ahhoz, hogy megvizsgálhassuk egy általános gerjesztés problémáját. Tegyük fel tehát, hogy a csillapítatlan oszcillátorra hat egy erő (vagy erőlökés):
 |
| 2.2.4 ábra |
A véges ideig ható erőt felbonthatjuk "pillanatszerű" erőlökések összegére (2.2.5 ábra).
 |
| 2.2.5 ábra |
A rendszernek a ráható 
, 
, 
, stb. időpontokban bekövetkező erőlökésekre adott válaszait össze kell adni, hiszen egy lineáris rendszer esetén alkalmazható a szuperpozíció, tehát:
![\[ x(t) = \frac{F_1 \tau \omega_o}{D}sin \left[\omega_o (t-t_1)\right]+ \frac{F_2 \tau \omega_o}{D}sin \left[\omega_o (t-t_2)\right]+...= \frac{\omega_o}{D}\sum^{n}_{i=1} F_n sin \left[\omega_o (t-t_n)\Delta t \right] \]](/images/math/6/5/9/659ed1fb9aa399cef975e2c41cf5f077.png) |
(2.2.12) |
Ha ránézünk az összegzésre és tudjuk, hogy 
, akkor az megadható egy könnyebben kezelhető formában is:
![\[ x(t)= \frac{\omega_o}{D}\int\limits_{-\infty}^{t}F(t')sin \left[\omega_o (t-t')\right] dt' \]](/images/math/8/3/6/836870149e60fabf563a464890ebb891.png) |
(2.2.13) |
Ezt a formulát írhatjuk egy másik – jóval általánosabb – alakba is:
![\[ x(t)= \int\limits_{-\infty}^{t}F(t')G(t-t') dt' \]](/images/math/4/c/1/4c159666fc9718d11c8e35503bd71e5e.png) |
(2.2.14) |
ahol a 
az ún. Green-függvény, melynek jelentése a következő: megadja, hogy a lineáris rendszer milyen választ ad egy időpontban bekövetkezett 
gerjesztésre. Most már jól látszik tehát, hogy egy általános gerjesztésre úgy számíthatjuk ki a rendszer válaszát, hogy először meghatározzuk a rendszer Green-függvényét, majd a (2.2.14) integrál segítségével kiszámítjuk -t. A módszer sok esetben jól működik, azonban a (2.2.14) integrál (vagyis az és a konvolúciója) kiszámítása néha nem egyszerű. Ennek a problémának az orvoslására felhasználhatunk egy igen gyakran alkalmazott tételt:
![\[ F(f {*} g)= F(f)F(g) \]](/images/math/3/3/0/33086afd4117824cc21b6a67fc5433f0.png) |
(2.2.15) |
ahol 
az 
és a 
függvény konvolúcióját jelenti, az 
pedig a Fourier transzformációt. Ha tehát a két függvény konvolúciójának kiszámítása nehézkesen megy, akkor áttérünk frekvencia-tartományba és egyszerűen összeszorozzuk a két függvény Fourier transzformáltját, majd egy inverz Fourier-transzformációval visszatérünk az időtartományba és megkapjuk a rendszer gerjesztésre adott válaszát. Mindezt egy egyszerű ábrán sematikusan is összefoglalhatjuk:
 |
| 2.2.6 ábra |
Az itt bemutatott módszer természetesen nem csak oszcillátorra, hanem lineáris áramkörökre, hálózatokra is alkalmazható. Az eljárás azonban csak abban az esetben használható, ha a Fourier transzformáció elvégezhető, azaz négyzetesen vagy abszolút értékre integrálható függvényekkel megadott gerjesztések lépnek fel. A mérnöki gyakorlatban azonban előfordul, hogy modellezni kell a bekapcsolási (vagy kisütés) jelenségeket is, ahol az említett feltételek nem teljesülnek.
Laplace transzformáció
A rendszertechnikai gyakorlatban előfordulnak olyan gerjesztések is, amelyek Fourier-transzformáltját nem lehet megadni. Ezeket olyan függvények írják le, amelyek nem négyzetesen integrálhatók ill. nem abszolút integrálhatók; ilyenek például a egységugrás függvény, az exponenciális függvény, az egységnyi sebességugrás függvény, stb.
Az előző fejezetben tanult módszer azonban a Fourier-transzformáció egy kis módosításával az említett gerjesztések esetén is használható. Az ötlet a következő: szorozzuk be a nem integrálható függvényeket a 
esetben gyorsan lecsengő 
– vel; ekkor elvárásaink szerint már egy konvergens megoldást kapunk a Fourier integrálra, amennyiben azt csak a t ≥ 0 tartományon számítjuk ki. A nem integrálható jel transzformáltját az említett módosítással a következőképpen kapjuk:
![\[ F(s)= \int\limits_{0}^{+\infty} f(t)e^{-\sigma t}e^{-i\omega t}dt = \int\limits_{0}^{+\infty} f(t)e^{-(\sigma + i\omega)t}dt = \int\limits_{0}^{+\infty} f(t)e^{-st}dt \]](/images/math/0/1/1/011956f923e96d66a63ac2da4a5c1648.png) |
(2.3.1) |
Az eljárást Laplace francia matematikus dolgozta ki, az ő tiszteletére a javított transzformációs formulát Laplace-transzformációnak hívják és jelölése:
![\[ L \left( f(t)\right ) = F(s)= \int\limits_{0}^{+\infty} f(t)e^{-st}dt \]](/images/math/4/4/7/447ccbcf45115c1170aa78ca872f1588.png) |
(2.3.2) |
A következő táblázatban összefoglaltuk néhány függvény Laplace-transzformáltját:
| Idő-tartományban: f(t) | Laplace-transzformáltja: L(f(t))=F(s) |
|---|---|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Van még néhány – az integrálszámítás módszereivel könnyen bizonyítható – szabály, melyet érdemes megemlíteni:
1. Linearitás: ha 
:
![\[ L(cf(t)) = cL(f(t)) = cF(s) \qquad {\rm {\acute{e}}s} \qquad L\left[ f_1 (t) + f_2 (t)\right] = L(f_1 (t))+ L(f_2 (t)) \]](/images/math/0/4/1/04114439a9603c4fa2a7a8eaace59007.png) |
(2.3.3) |
2. Eltolás:
![\[ L(f(t-\tau)) = e^{-\tau s}L(f(t))=e^{-\tau s}F(s) \]](/images/math/6/0/5/605a8ce6b618e60e4fc1ef14e04563cd.png) |
(2.3.4) |
3. Hasonlóság:
![\[ L(f(at) = \frac {1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right) \]](/images/math/5/1/4/5148978f8f85efd332ae314b58389695.png) |
(2.3.5) |
4. Differenciálás:
![\[ L(f'(t)) = sF(s) \]](/images/math/5/a/4/5a4b5d27655cfaab37b49432cef001a0.png) |
(2.3.6) |
(a kezdeti feltételeket zérusnak választottuk)
5. Integrálás:
![\[ L\left( \int\limits_{0}^{t} f(t)dt \right) = \frac {1}{s}F(s) \]](/images/math/0/d/1/0d1ebc55ca6e2bdcbf9f47d031e2ef84.png) |
(2.3.7) |
(a kezdeti feltételeket zérusnak választottuk)
Megjegyzés: az inverz-Laplace-transzformációt végezhetjük úgy is, hogy a fenti táblázatot visszafelé olvassuk.
Problémák megoldására a 12. ábrán látható sémához némileg hasonló módszert követhetünk. A követendő lépések: 1. felírjuk a probléma differenciálegyenletét… 2. végrehajtjuk a Laplace-transzformációt… 3. elvégezzük a szükséges algebrai átalakításokat… 4. inverz-Laplace-transzformációval kapjuk a probléma megoldását. Mindez egy sémában összefoglalva:
 |
| 2.3.1 ábra |
A tanultak alkalmazására keressük meg két ismert probléma megoldását!
Az RL-kör bekapcsolási jelensége
 |
| 2.3.2 ábra |
A probléma matematikai felírása már ismert:
![\[ L\frac{dI}{dt}+RI = U_o 1(t) \]](/images/math/4/4/d/44d0afe412a8953dbdd1b9e80d25b9e9.png) |
(2.3.8) |
Most végezzük el a Laplace-transzformációt az egyenlet mindkét oldalán, ezzel áttértünk az 
- térbe:
![\[ sLI(s)+RI(s) = \frac{1}{s}U_o \]](/images/math/1/0/c/10cbcda9bf712247c58512c63d89aa2f.png) |
(2.3.9) |
Ezután kifejezzük 
–t:
![\[ I(s)= U_o\frac{1}{s} \frac{1}{Ls+R}=\frac {U_o}{R}\frac{1}{s} \frac{1}{\frac {L}{R}s+1} \]](/images/math/e/0/c/e0c2d1f56ce67b036b076cc249bba398.png) |
(2.3.10) |
A táblázat segítségével elvégezhetjük az inverz-Laplace-transzformációt és megkapjuk az ismert megoldást:
![\[ I(t)= \frac {U_o}{R}\left(1-e^{-\frac{L}{R}t}\right) \]](/images/math/2/f/2/2f2b5be087aff6ab3db2c77f1ea51c43.png) |
(2.3.11) |
Hasonlóan járhatunk el az RC-kör esetén is.
 |
| 2.3.3 ábra |
A probléma matematikai modellje – csakúgy, mint az előbbi esetnél – ismert:
![\[ R\frac{dQ}{dt}+\frac{1}{C}Q = U_o 1(t) \]](/images/math/c/9/3/c93e00d1a4888df1c0b39f2312f32793.png) |
(2.3.12) |
Az egyenletet átírva az áramra kapjuk, hogy:
![\[ RI+\frac{1}{C}\int I(t)dt = U_o 1(t) \]](/images/math/9/6/8/9684ff2ce0b35803385eb6af0ba5c4e0.png) |
(2.3.13) |
A Laplace-transzformációt elvégezve:
![\[ RI(s)+\frac{1}{C}\frac{1}{s}I(s) = U_o \frac{1}{s} \]](/images/math/c/e/b/ceb557f8c127063fb5cb8520aaf5c0cc.png) |
(2.3.14) |
Az egyenletből I(s)-t kifejezve:
![\[ I(s)= \frac{U_o}{Rs+ \frac{1}{C}}=\frac{U_o}{R} \frac{1}{s+\frac{1}{RC}} \]](/images/math/0/b/1/0b141e00dbb4381dc517f74dde3c3a25.png) |
(2.3.15) |
Végezzük el az inverz-Laplace-transzformációt a táblázatot használva:
![\[ I(t)= \frac{U_o}{R} e^{-\frac{1}{RC}t} \]](/images/math/3/a/0/3a07bcf663cbb2f500151c97add2e684.png) |
(2.3.16) |
Megmutatható, hogy a Fourier-transzformációt alkalmazó konvolúciós tétel a Laplace-transzformációra is alkalmazható; tehát egy általános gerjesztés esetén (megszorítás: 
ha 
).
![\[ L(f {*} g)= L(f)L(g)=f(s)g(s) \]](/images/math/4/b/8/4b8affab8b03015161c6498228ea23a6.png) |
(2.2.15) |
A rendszer által adott választ most már a 2.2.6 ábrán látható sémának megfelelően kaphatjuk meg azzal a különbséggel, hogy a Fourier és inverz Fourier-transzformációk helyett a Laplace és inverz-Laplace-transzformációt kell alkalmazni.
Az általunk vizsgált egyszerű, lineáris áramkörök, valamint az alkalmazott módszerek – ahogy azt az előzőekben láthattuk – egy egyszerű sémával jellemezhetők (2.3.4 ábra).
 |
| 2.3.4 ábra |
Mint azt az ábra is mutatja, az 
feszültségre – vagyis a gerjesztésre – a lineáris rendszer az árammal reagál.
