Elektromos bevezető mérés

A mérés célja:

• megismerkedni a legfontosabb elektromos jellemzők (az áram, a feszültség és az ellenállás) mérésének néhány egyszerű módszerével és a mérőeszközökkel
• egyszerű kapcsolások (például a feszültségosztó, alul/felüláteresztő szűrő, soros rezgőkör) összeállításának gyakorlása, majd mérések kivitelezése

Ennek érdekében:

• áttekintjük az egyen- és váltóáramú áramkörök törvényszerűségeit,
• ismertetjük a gyakorlat során alkalmazott mérési módszereket,
• egyszerű felépítésű áramkörök jellemzőit vizsgáljuk.

Elméleti összefoglaló

Az egyenáramú körökkel kapcsolatos alapfogalmak és törvények rövid összefoglalása

Áram, feszültség és ellenállás

A töltéshordozók áramlásának intenzitását jellemző mennyiség az áramerősség

$\[I=\frac{{\rm d}Q}{{\rm d}t}\]$

ahol $\setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ egy adott felületen átáramló töltést és $\setbox0\hbox{$t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az időt jelenti. Az áramerősség egysége az amper (A). Az egyenáram irányát – megállapodás alapján – a pozitív töltéshordozók mozgásának iránya adja meg. Egyenáramról beszélünk, ha az áram erőssége időben állandó. Egy vezető két pontja között levő $\setbox0\hbox{$U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ potenciálkülönbség (feszültség) áram kialakulásához vezet. A vezetőre kapcsolt feszültség és a benne folyó áram között sok esetben (pl. fémes vezetőkben) az

$\[U=RI\]$

összefüggés – az Ohm törvény – áll fenn. Itt $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a vezető ellenállása, amely a geometriai adatoktól ($\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúság és $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ keresztmetszet) valamint a vezető anyagától ($\setbox0\hbox{$\rho$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fajlagos ellenállás ) az alábbi módon függ:

$\[R=\rho\frac{l}{A}\]$

A fajlagos ellenállás – sok más anyagi jellemzőhöz hasonlóan – hőmérsékletfüggő:

$\[\rho=\rho_0\left[1+\alpha(t-t_0)+\beta(t-t_0)^2+...\right]\]$

ahol $\setbox0\hbox{$\rho_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a fajlagos ellenállás $\setbox0\hbox{$t_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékleten, $\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$\beta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ... stb. anyagi állandók és $\setbox0\hbox{$\rho$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a fajlagos ellenállás $\setbox0\hbox{$t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékleten felvett értéke. A vizsgált hőmérsékleti tartomány nagysága és a kívánt pontosság meghatározza, hogy konkrét esetben a fajlagos ellenállás hőmérsékletfüggésének leírásánál milyen közelítést alkalmazunk, azaz a kifejezésben hányadrendű tagig megyünk el.

Kirchhoff-törvények

Egyenáramú áramkörökkel kapcsolatos számításokat a Kirchhoff-törvények segítségével végezhetünk. A töltésmegmaradás törvényének kifejezése az úgynevezett csomóponti törvény: egy csomópontba összefutó áramok előjeles összege nulla. Ha a ki- és befolyó áramokat ellentétes előjelűnek tekintjük:

$\[\sum_{i=1}^n I_i=0\]$

Az energiamegmaradás törvényének következménye a huroktörvény, mely szerint egy zárt vezetőhurok feszültségeinek előjeles összege zérus:

$\[\sum_{i=1}^n U_i=0\]$

A Kirchhoff-törvények alkalmazásának egy lehetséges módja az alábbi:

• Felrajzoljuk az áramkört és bejelöljük a telepek polaritását.
• Tetszőlegesen felvesszük az ág áramokat és bejelöljük az irányukat.
• Bejelöljük a hurkokban tetszőleges körüljárási irányokat.
• Felírjuk a csomóponti egyenleteket. (Például a csomópontba befolyó áramokat tekintjük pozitívnak, a kifolyókat pedig negatívnak.)
• Felírjuk a hurokegyenleteket. Ilyenkor pl. úgy járhatunk el, hogy a telepeken a pozitív pólustól a negatív pólus felé haladva a telep $\setbox0\hbox{$U_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ üresjárati feszültségét pozitív előjellel vesszük figyelembe (fordított esetben pedig negatívval), az ellenállásokon eső $\setbox0\hbox{$U=RI$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ feszültséget pedig akkor vesszük pozitív előjellel számításba, ha a körüljárási irány és a bejelölt ág áram iránya megegyezik (ellenkező esetben pedig negatívval).
• Megoldjuk az egyenletrendszert. Azok az áramok, amelyek pozitívnak adódnak ténylegesen az előzetesen felvett irányban folynak. Ha a számítások alapján az áramra negatív érték jön ki, a tényleges áramirány a felvettel éppen ellenkező.

Megmutatható, hogy egy áramkör esetében annyi egymástól független egyenlet írható fel, amennyi az ágak – vagyis az áramok – száma. A Kirchhoff-törvények alkalmazásával könnyen megkapható, hogy $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ darab sorba kapcsolt ellenállás eredője

$\[R_s=\sum_{k=i}^n R_i\]$

illetve a párhuzamosan kapcsolt ellenállások esetében az eredő reciproka:

$\[\frac{1}{R_p}=\sum_{i=1}^n \frac{1}{R_i}\]$

Az áramkörbe be nem kötött, ún. nyitott telep sarkai között fellépő feszültség az $\setbox0\hbox{$U_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ üresjárati feszültség, melynek nagysága megegyezik a telep elektromotoros erejével. Az áramkörbe bekötött (árammal átjárt) telep sarkai között fennálló feszültség az $\setbox0\hbox{$U_k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kapocsfeszültség. Ennek értéke és előjele a telepen átfolyó áram irányától és nagyságától függően az üresjárási feszültségétől jelentősen eltérő lehet. Az eltérés az $\setbox0\hbox{$R_b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ belső ellenálláson eső feszültségből adódik:

$\[U_k=U_0-R_bI\]$

Áram és feszültség mérése

Egyenáram és egyenfeszültség mérése a kérdéses mennyiség nagyságának és irányának (polaritásának) meghatározását jelenti.

Az árammérőt (ampermérőt) mindig sorosan kell bekötni az áramkörbe, azaz úgy, hogy a mérni kívánt áram átmenjen a műszeren. Ebből következik, hogy ideális esetben az árammérő ellenállásának zérusnak kellene lennie. Ha a műszer ellenállása nem nulla, akkor az áramkör ellenállását és ezen keresztül az áram értékét is megváltoztatja, és így mérési hibát okoz. Az elkövetett hiba a vizsgált áramkör elemeinek és az alkalmazott műszer belső ellenállásának ismeretében meghatározható.

A feszültségmérő műszer (voltmérő) két bemeneti pontját mindig ahhoz a két ponthoz kell kötnünk, amelyek közötti feszültséget akarjuk megmérni. (Ha ez egy áramköri elem két végpontja, akkor ez azt jelenti, hogy a feszültségmérőt az áramköri elemmel párhuzamosan kell kapcsolni.) Ideális esetben a voltmérő belső ellenállásának végtelennek kellene lennie. Ellenkező esetben a műszer bekötése megváltoztatja a vizsgált két pont közötti ellenállást, és így egyúttal a mérni kívánt feszültséget is, vagyis mérési hibát okoz.

A digitális voltmérők ellenállása legalább 1 M$\setbox0\hbox{$\Omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ami a mérési gyakorlaton vizsgált ellenállásoknál 3-4 nagyságrenddel nagyobb. Ebben az esetben a voltmérő ideálisnak tekinthető.

A digitális ampermérő belső ellenállása méréshatár függő, érzékeny állásban akár 1 k$\setbox0\hbox{$\Omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ is lehet, ami összemérhető a vizsgált ellenállások nagyságával. Így az árammérő nem tekinthető ideálisnak.

Ellenállásmérés Ohm-törvénye alapján

1. ábra

Ha ismerjük az ellenálláson átfolyó áram erősségét, valamint az ellenállás végei közötti feszültséget, akkor az ellenállás értéke az Ohm-törvény segítségével meghatározható. Ezen elv alkalmazásához az 1. ábrán látható, ellenállásmérésre alkalmas kapcsolásokat állíthatjuk össze.

Az ábra a) része alapján látható, hogy az ampermérő ténylegesen az ellenálláson át folyó áramot méri, de a voltmérő már az ellenálláson és az ampermérőn eső feszültségek összegét mutatja, mivel az ampermérő ellenállása nem nulla. Így mérési eredményünk hibás lesz. Az ellenállás helyes értékének meghatározásához az ampermérőn eső feszültséget az ampermérő belső ellenállásának ismeretében lehet kiszámítani. A mérendő $\setbox0\hbox{$R_x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellenállás a mért értékek segítségével kifejezve:

$\[R_x=\frac{U_R}{I_m}=\frac{U_m-U_A}{I_m}=\frac{U_m-R_AI_m}{I_m}\]$

Mérési hibát követünk el akkor is, ha a kapcsolást az ábra b) része szerint állítjuk össze. Ekkor ugyan a voltmérő ténylegesen az ellenálláson eső feszültséget méri, az ampermérő viszont az ellenálláson és a voltmérőn átfolyó áramok összegét mutatja. Mivel a voltmérő ellenállása nem végtelen nagy, elvileg itt is a műszer ellenállásának ismeretében lehet csak meghatározni a mért ellenállást:

$\[R_x=\frac{U_m}{I_R}=\frac{U_m}{I_m-I_V}=\frac{U_m}{I_m-\frac{U_m}{R_V}}\]$

A mérési gyakorlaton előforduló esetekben azonban a voltmérő $\setbox0\hbox{$R_V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellenállása több nagyságrenddel nagyobb, mint a mérendő ellenállások, így a korrekcióra nincs szükség, az ellenállás egyszerűen az

$\[R_x=\frac{U_m}{I_m}\]$

képlettel számolható. Éppen ezért a két lehetséges kapcsolás közül ezt érdemes választani a gyakorlaton.

A digitális multiméterekkel közvetlenül is lehet ellenállást mérni. Az ellenállásmérő is az Ohm-törvény alapján méri az ellenállás értékét: a műszer meghatározott nagyságú (kis) áramot bocsát át az ellenálláson, és méri az ellenálláson eső feszültséget. A műszer kijelzőjén közvetlenül az ellenállás értéke olvasható le.

FONTOS, hogy ellenállásmérővel csak áramkörbe be nem kötött (passzív) eszköz ellenállása mérhető. Ha a mérendő ellenállás egy áramkör része, akkor hibás lesz a mérési eredmény (hiszen az ellenálláson nem csak az ellenállásmérő által kibocsátott áram folyik), és ezen kívül a műszer is tönkremehet. Emiatt: TILOS az ellenállásmérőt feszültség alatt lévő áramkörre kapcsolni!

Az ellenállásmérővel megmérhető az ampermérő belső ellenállása is: Kapcsoljuk az egyik, ellenállásmérő üzemmódban lévő multimétert a másik, ampermérő üzemmódban lévő (számunkra érdekes méréshatárra állított) multiméterre. Az ellenállásmérő méri az ampermérő (méréshatárfüggő) belső ellenállását. (Eközben az ampermérő megméri az ellenállásmérő – szintén méréshatárfüggő – mérőáramát.)

Váltóáramú körökkel kapcsolatos alapvető tudnivalók

A fentiekben az áramot időben állandónak (vagy a méréshez képest nagyon lassan változónak) tekintettük, ami sok esetben teljesül, azonban fontos megemlíteni az időben változó áramok témakörét is. Ezen belül a periodikusan (szinuszosan) változó jelekhez kapcsolódó fontosabb információkat tekintjük át.

Tekercs és kondenzátor

A váltóáramú körök esetén két új alapvető áramköri elem fogalma jelenik meg, ez a tekercs és a kondenzátor. Ezen elemek fontos tulajdonsága, hogy egy egyszerű ellenállással ellentétben a váltakozó áramú ellenállásuk (ún. impedanciájuk) függ a frekvenciától.

A tekercsben indukálódó feszültséget az

$\[u(t) = L \frac{{\rm d}i(t)}{{\rm d}t}\]$

egyenlet írja le. Szinuszos gerjesztés [$\setbox0\hbox{$i(t)=I_0\sin\omega t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$] esetén

$\[u(t) = L \omega I_0 \cos\omega t\]$

ami a következő alakba is írható:

$\[u(t) = L \omega I_0 \sin( \omega t + 90^\circ)\]$

tehát a tekercsben fellépő feszültség 90°-ot siet az átfolyó áramhoz képest.

A kondenzátoron átfolyó áram időfüggését az alábbi egyenlet írja le:

$\[i(t) = C \frac{{\rm d}u(t)}{{\rm d}t}\]$

Szinuszos gerjesztés [$\setbox0\hbox{$u(t)=U_0\sin\omega t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$] esetén:

$\[i(t) = C\omega U_0\cos\omega t\]$

ami a fentiekhez hasonlóan a következő alakba írható:

$\[i(t) = C\omega U_0\sin(\omega t + 90^\circ)\]$

azaz a kondenzátor árama 90°-ot siet a feszültségéhez képest.

Gyakran szükséges a kondenzátor feszültségének ismerete, ami a differenciális forma alapján az alábbiak szerint számítható:

$\[u(t) = \frac{1}{C} \int i(t){\rm d}t\]$

Mérési feladatok

• A mérés elvégzéséhez és a mérési napló elkészítéséhez a dőlt betűs részekben adunk segítséget.

Az áram- és feszültség- illetve az ellenállásmérésre alkalmas műszerekből és az áramköri elemekből a csatlakozózsinórok segítségével az áramköröket a hallgatók maguk állítják össze.

1. Ellenállások mérése multiméterrel

Válasszon ki négy darab tetszőleges ellenállást ügyelve arra, hogy ne legyen két egyforma köztük! Határozza meg az ellenállások értékeit és toleranciáját a színkód alapján, majd mérje meg a pontos ellenállásértéket egy multiméterrel!

• Becsülje meg az ellenállásmérés hibáját! Figyelje meg, mennyire stabil a mért jel! Jegyezze fel tapasztalatait! A mért és a színkód alapján meghatározott értékek a tolerancia/hibasávon belül vannak? Ugyanazt méri-e, ha egy másik műszert használ? Mekkora a vezetékek ellenállása?

2. Ellenállások mérése Ohm-törvény alapján

Mérje meg egy multiméterrel a rendelkezésre álló telep üresjárati feszültségét ($\setbox0\hbox{$U_T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$)! Válasszon ki két olyan ellenállást, amiket külön-külön a telepre kötve 20 mA alatti áramot várna az így létrehozott áramkörben! Ha nincs megfelelő ellenállás, akkor több ellenállást sorbakötve állítson be megfelelő értéket. Egy árammérő és egy feszültségmérő felhasználásával hozzon létre egy olyan kapcsolást, amellyel az adott ellenállások értékét meg tudja határozni.

• Hasonlítsa össze a kapott értékeket az előző feladatban mért értékekkel! Becsülje meg az ellenállás- feszültség- és árammérés hibáját és határozza meg az eltérés lehetséges okait! Állapítsa meg, hogy mekkora a telep és az árammérő belső ellenállása! Mi történik, ha az árammérőt, vagy a feszültségmérőt más méréshatárban használja?

A feladathoz kapcsolódóan mérje meg egy árammérő belső ellenállását! Ehhez használjon két multimétert, egyiket állítsa ellenállásméréser, míg a másikat áramerősség-mérésre és kösse össze őket a megfelelő módon! Jegyezze fel a kapott ellenállásokat az árammérő minden méréshatára esetén!

3. Soros kapcsolás vizsgálata

4. ábra

Válasszon ki három tetszőleges ellenállást majd kösse sorba őket egy teleppel ($\setbox0\hbox{$U_T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) és egy tápegységgel ($\setbox0\hbox{$U_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) a 4.ábrának megfelelően! Mérje meg az egyes elemeken eső feszülstéget és vizsgálja meg, hogy teljesül-e Kirchhoff második törvénye! Ezután fordítsa meg a telep polaritását és újra mérje meg az egyes elemeken eső feszültséget!

• Tapasztalatait jegyezze le! Becsülje meg a mérés hibáját! Teljesül Kirchhoff második törvénye? A két mérésből határozza meg a telep belső ellenállását ($\setbox0\hbox{$R_b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) és elektromotoros erejét ($\setbox0\hbox{$U_T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$)!

4. Párhuzamos kapcsolás vizsgálata

5. ábra

Az 5. ábrának megfelelően állítsa össze a korábban használt három ellenállásból és a tápegységből álló párhuzamos kapcsolását úgy, hogy valamennyi ágba árammérő legyen csatlakoztatható! Mérje meg valamennyi ágban az áramerősséget, és ellenőrizze a csomóponti törvény teljesülését!

• A mérés közben gyors számolással ellenőrizze, hogy a törvény kb. teljesül-e!
• Mivel csak két árammérője van, egyszerre csak a főágban és egy mellékágban tud mérni. A hibaszámításnál vegye figyelembe az ampermérők belső ellenállásából adódó hibákat!

5. Feszültségosztó méretezése izzó meghajtásához

6. ábra

Ebben a feladatban egy potenciométeres feszültségosztót méretezünk úgy, hogy segítségével egy 6 V, 1,2 W-os izzót működtethessünk 12 V-os feszültségforrással. A mérési eredményeket felhasználva határozzuk meg az izzószál üzemi hőmérsékletét!

a) Ohm-mérő segítségével mérje meg a kísérletben használt izzó $\setbox0\hbox{$R_H$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hidegellenállását!

• A mérésnél vegye figyelembe a vezetékek ellenállását!

b) Mérje meg a dobozba épített tolóellenállás (potenciométer) $\setbox0\hbox{$R_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellenállását!

c) A 6. ábrán látható kapcsolás alapján számítsa ki, hogy a tolóellenállásból mekkora $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellenállást kell az izzóval párhuzamosan kapcsolni, azaz hová kell állítani a csúszkát!

• Számításai szerepeljenek a mérési naplóban!

d) Ellenállásmérő segítségével állítsa be a megfelelő $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értéket, és állítsa össze az áramkört!

• A kapcsolási rajz (a műszerek bekötésével együtt) szerepeljen a mérési naplóban!

e) Az összeállított áramkörrel ellenőrizze számításai helyességét!

f) Állapítsa meg az izzólámpa tényleges üzemi paramétereit ($\setbox0\hbox{$U_L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$I_L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$R_M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$P_L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$)! $\setbox0\hbox{$R_M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a tényleges melegellenállás.

• Ha lényegesen eltérnek az előzetesen kiszámított értékektől, akkor ellenőrizze a számításait, és szükség esetén módosítson a beállításon!

g) Az izzólámpa $\setbox0\hbox{$R_H$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hidegellenállásának és $\setbox0\hbox{$R_M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ melegellenállásának valamint a $\setbox0\hbox{$T_H=$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ 300 K hideg hőmérsékletnek az ismeretében számítsa ki az izzószál üzemi hőmérsékletét! A volfrám hőfoktényezője $\setbox0\hbox{$\alpha=4,4\cdot10^{-3}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ 1/K.