Mérések interferométerrel

A mérés célja:

• koherens optikai jelenségek tanulmányozása.

Ennek érdekében:

• áttekintjük a diffrakció és az interferencia elméletét,
• megmérjük a lézerfény koherenciahosszát,
• méréseket végzünk interferométerrel,
• diffrakciós méréseket végzünk.

Elméleti összefoglaló

Koherencia fogalma

A koherencia fogalmát a következő egyszerű képen keresztül definiálhatjuk. Tételezzük fel, hogy egy hullám egy $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kiindulási pontból két úton keresztül juthat el a $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pontba. Az 1. és 2. úton a $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pontba érkező nyalábokat $\setbox0\hbox{$A_1e^{i\phi_1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$A_2e^{i\phi_2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ komplex számokkal jellemezhetjük, ahol $\setbox0\hbox{$A_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$A_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a nyalábok amplitúdóit, $\setbox0\hbox{$\phi_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\phi_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pedig a fázisukat adják meg. B pontban a két nyaláb a szuperpozíció elve alapján összeadódik, így az eredő komplex amplitúdó $\setbox0\hbox{$A_1e^{i\phi_1}+A_2e^{i\phi_2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ lesz. Detektoraink viszont nem a komplex amplitúdót, hanem annak az abszolút érték négyzetét, az intenzitást érzékelik, mely egyszerű számolás alapján:

$\[ I_B = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos(\phi_1- \phi_2). \]$

Látszik, hogy a két nyaláb intenzitásának összege mellett megjelenik az úgynevezett interferencia tag is: ha a két nyaláb azonos fázisban érkezik a $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pontba, akkor erősítést, ha ellentétes fázisban érkeznek, akkor kioltást kapunk. Persze interferenciát csak akkor tapasztalunk, ha a két nyaláb fáziskülönbsége időben állandó, ekkor beszélünk koherens nyalábokról. Ellenkező esetben az interferenciatag időben kiátlagolódik, így nem látunk erősítéseket, ill. kioltásokat.

Fény esetében az interferencia tag eltűnésének a leggyakoribb oka, hogy maga az $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pontban elhelyezett fényforrás sem koherens. Ha az 1. és 2. nyaláb által megtett optikai úthossz különbözik, akkor a $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pontban találkozó nyalábok különböző időpontban indultak el az $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pontból. Koherencia időnek hívjuk azt a maximális $\setbox0\hbox{$\tau_c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időkülönbséget, melyre a fényforrásból a $\setbox0\hbox{$T_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ill. $\setbox0\hbox{$T_0+\tau_c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időpontban kibocsátott fotonok fázisai között korreláció tapasztalható. Ha az 1. és 2. nyaláb optikai úthosszainak különbsége nagyobb a fény által $\setbox0\hbox{$\tau_c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ idő alatt megtett útnál, $\setbox0\hbox{$|l_1-l_2|>l_c=c\tau_c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, akkor az interferencia tag eltűnik. Az ennek megfelelő $\setbox0\hbox{$l_c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ úthosszat koherenciahossznak nevezzük.

Az első koherens optikai kísérletet Thomas Young végezte úgy, hogy keskeny fénynyalábot irányított két szorosan egymás mellett elrendezett résre. A résekkel szemben elhelyezett ernyőn a réseken keresztül ráeső fényből szabályos, sötét és világos sávokból álló interferenciakép jött létre. Young kísérlete fontos bizonyítéka volt a fény hullámtermészetének. 1881-ben, 78 évvel Young után, A. A. Michelson hasonló elven működő interferométert épített. Michelson kísérletében a fényhullámot egy félig áteresztő tükör segítségével választotta két részre, melyek különböző utak megtétele után (lásd később) egy detektáló ernyőn újra találkozva alkotnak interferenciaképet. Michelson eredetileg az éternek, az elektromágneses sugárzások – így a fénynek is – terjedését biztosító feltételezett közegnek a kimutatására szerkesztette meg interferométerét. Részben az ő erőfeszítéseinek is köszönhetően az éter feltételezését ma nem tekintjük életképes hipotézisnek. Ezen túlmenően azonban a Michelson-féle interferométer széleskörűen elterjedt a fény hullámhosszának mérésére illetve ismert hullámhosszúságú fényforrás alkalmazásával rendkívül kis távolságok mérésére és optikai közegek vizsgálatára.

A fenti kísérletek elvégzése hagyományos fényforrásokkal rendkívül nehéz feladat a rövid koherenciaidő, illetve a különböző frekvenciájú fénykomponensek keveredése miatt. A lézerek feltalálása óta lényegesen könnyebb interferencia-jelenségeket vizsgálni, egy vékony résen történő diffrakciót akár otthon is kipróbálhatjuk egy mutatólézer segítségével.

A lézer működési elvénél fogva egy nagy koherencia-hosszal rendelkező, jól meghatározott irányban terjedő monokromatikus fénynyalábot biztosít. A lézerben egy aktív közeg jól meghatározott frekvenciájú fotonokat emittál, melyek egy rezonátorban „oda-vissza pattognak”. A stimulált emisszió jelenségének köszönhetően az emittált fotonok a rezonátorban már jelenlévő fotonokkal azonos állapotúak lesznek, azaz a már jelenlévő fotonokkal azonos fázisú és terjedési irányú fotonok emittálódnak. A rezonátor egyik oldalán a fény egy részét kicsatolva egy irányított, koherens nyalábot kapunk. A mérésen is használt He-Ne lézerben a fényemissziót a gázkeverék bizonyos atomi átmenetei biztosítják, míg a rezonátort két szembeállított tükör alkotja, melyek egyike a fény kb. 1 %-át kiengedi. Mivel a rezonátor szélessége 10-20 cm is lehet, illetve a fotonok a kilépés előtt sokszor körbejárják a rezonátort, így a He-Ne lézer koherenciahossza több méter is lehet.

A napjainkban tömegesen alkalmazott félvezető lézerekben a fény elektronok és lyukak rekombinációjának köszönhetően emittálódik. A rezonátort maga a félvezető nanoszerkezet biztosítja, így kisebb koherenciahosszat várunk.

Michelson-féle interferométer felépítése

Hiba a bélyegkép létrehozásakor: 1. ábra

2. ábra

A 2. ábrán a Michelson-féle interferométer vázlata látható. A lézer sugárnyalábja sugárosztóra esik, amely a beeső fény 50 %-át visszaveri, és másik 50 %-át átengedi. A beeső fény így két nyalábra oszlik. Az egyik a mozgatható tükörre ($\setbox0\hbox{$M_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) esik, a másik a rögzített tükörre ($\setbox0\hbox{$M_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) verődik. Mindkét tükör a sugárosztóra veri vissza a fényt.

A mozgatható tükörről visszavert fény egyik fele most a megfigyelő ernyőre esik be, és a rögzített tükörről visszaverődő fény fele a sugárosztón áthaladva szintén a megfigyelő ernyőre esik.

3. ábra

Ily módon az eredeti sugárnyaláb először kettéosztódik, majd a keletkezett nyalábok egy része visszafelé egyesül egymással. Mivel a nyalábok ugyanabból a fényforrásból származnak, fázisuk erősen korrelált. Így, amikor lencsét helyezünk a lézer fényforrás és a sugárosztó közé, a fénynyaláb kitágul és a megfigyelő ernyőn sötét és világos gyűrűkből álló kép jelenik meg (3. ábra).

Mivel a két interferáló nyaláb ugyanabból a forrásból származik, fázisuk eredetileg azonos volt. Relatív fázisuk, amikor a megfigyelő ernyő bármely pontjában találkoznak, attól az optikai úthossztól függ, amelyet ezen pont eléréséig megtettek.

$\setbox0\hbox{$M_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mozgatásával az egyik nyaláb úthossza változtatható. Mivel a nyaláb az $\setbox0\hbox{$M_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és a sugárosztó közötti utat kétszer teszi meg, $\setbox0\hbox{$M_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-et 1/4 hullámhossznyival közelítve a sugárosztóhoz, a nyaláb úthossza 1/2 hullámhossznyival csökken. Eközben megváltozik az interferenciakép. A maximumok sugara oly módon csökken, hogy a korábbi minimumok helyét foglalják el. Ha $\setbox0\hbox{$M_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-et tovább mozgatjuk 1/4 hullámhossznyival a sugárosztó felé, a maximumok sugara tovább csökken úgy, hogy a maximumok és a minimumok ismét helyet cserélnek, és az új elrendezés megkülönböztethetetlen lesz az eredeti képtől.

Lassan mozgatva a tükröt egy meghatározott $\setbox0\hbox{$d_N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságon, és közben leszámolva $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-et, annak számát, hányszor jutott a gyűrűkép az eredeti állapotába, meghatározható a fény hullámhossza:

$\[ \lambda = \frac{2d_N}{N}. \]$

Ha a fény hullámhossza ismert, ugyanígy mérhető a $\setbox0\hbox{$d_N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolság.

Fabry-Pérot interferométer felépítése

3. ábra

Mérési feladatok

A méréshez rendelkezésre álló eszközök

• A mérés elvégzéséhez és a mérési napló elkészítéséhez a dőlt betűs részekben adunk segítséget.

Mérések Michelson-féle interferométerrel

Félvezető lézer koherencia hosszának mérése

1. Állítsuk össze a Michelson-féle interferométert!

• Tolómérő segítségével úgy állítsuk be a tükröket, hogy a kettéválasztott fénynyalábok optikai úthossza minél pontosabban megegyezzen.

2. Állítsuk be a félvezető mutatólézert úgy, hogy a lézer nyaláb pontosan merőleges legyen a mozgatható tükörre.

• Ennek pontos beállításához egy papírlapba fúrt kis lyukon eresszük át a lézernyalábot, és addig állítsuk a lézer szögét, amíg a lézernyaláb pontosan a kis lyukba érkezik vissza.

• A lézernyaláb beállítása közben a féligáteresztő tükröt fordítsuk oldalra, hogy ne legyen a lézer útjában.

3. Helyezzük el a sugárosztót a lézernyalábbal $\setbox0\hbox{$45^\circ$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-os szöget bezárólag a jelzések közé úgy, hogy a nyaláb az álló tükörre verődjék!

• A sugárosztó szögét úgy kell beállítani, hogy a visszavert nyaláb a rögzített tükör közepére essék!

• Ekkor két fényes pontsorozatot kell látnunk a megfigyelő ernyőn. Az egyik pontsorozat a rögzített tükörről, a másik a mozgatható tükörről jön létre. Mindegyik pontsorozat egy fényes pontot és két vagy több kevésbé fényes pontot tartalmaz (a többszörös visszaverődés miatt).

4. Állítsuk a sugárosztó szögét addig, amíg a két pontsorozat a lehető legközelebb kerül egymáshoz, majd rögzítsük a sugárosztó helyzetét!

5. A rögzített tükör hátoldalán lévő csavarokkal állítsuk be annak hajlásszögét úgy, hogy a két pontsorozat a megfigyelő ernyőn egybeessék!

6. Helyezzünk egy 18 mm fókusztávolságú lencsét a lézer előtti elemtartó mágneses oldalára, és állítsuk be úgy, hogy a széttartó nyaláb a sugárosztóra koncentrálódjék!

7. A mikrométercsavar segítségével mozgassuk az egyik tükröt addig, míg a koncentrikus gyűrűk megjelennek a képen. Állapítsuk meg, hogy milyen elmozdulás-tartományban láthatók a gyűrűk. Ez alapján becsüljük meg a mutatólézer koherenciahosszát.

• Ha nem sikerül interferenciagyűrűket észlelni, akkor rossz a beállításunk, pl. nem eléggé kiegyenlítettek az optikai úthosszak.

He-Ne lézer hullámhosszának meghatározása

1. Állítsunk össze Michelson-féle interferométert az előző feladatban leírtaknak megfelelően He-Ne lézert használva!

2. Állítsuk a mikrométert középállásba (közelítőleg 500 µm)!

• Ebben a helyzetben a leginkább lineáris az összefüggés a mikrométeren leolvasott érték és a tükör elmozdulása között.

3. Forgassuk el a mikrométer gombját egy teljes fordulattal az óra járásával ellenkező irányban addig, amíg a nulla helyzet egybe nem esik a jelzéssel! Jegyezzük fel a leolvasott mikrométer értéket!

• Ha a mikrométer gomb forgatásának irányát megváltoztatjuk, a tükör nem indul meg azonnal. Ezt nevezzük kotyogásnak, amely minden mechanikai rendszernél előfordul mozgásirány megváltoztatásakor. A fenti módon a kotyogásból eredő hiba kiküszöbölhető.

4. A megfigyelő ernyőt állítsuk be úgy, hogy a milliméter skála egyik jele essék egybe az interferenciakép egyik gyűrűjével!

• Könnyebb lesz a gyűrűk számlálása, ha a referencia jel a kép közepétől számított első vagy második gyűrűre esik.

5. Forgassuk tovább a mikrométer gombját az óramutató járásával ellenkező irányba és számoljuk meg a referencia jelen áthaladó gyűrűket! Legalább húsz gyűrűátmenetet számoljunk le! A gyűrűátmenetek leszámlálása után a gyűrűknek ugyanabban a helyzetben kell lenniük, mint a számlálás megkezdésekor. Jegyezzük fel a mikrométer tárcsán leolvasott értéket!

6. Jegyezzük fel a leszámlált gyűrű átmenetek számát!

7. Határozzuk meg a lézer fényforrás hullámhosszát, annak figyelembe vételével, hogy a mikrométeren egy kis osztás egy µm ($\setbox0\hbox{$10^{-6}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ m) tükör elmozdulásnak felel meg!

8. Többször ismételjük meg a 3 - 7. lépéseket!

A levegő törésmutatójának meghatározása

1. Állítsunk össze Michelson-féle interferométert!

2. Helyezzük az elemtartót a rögzített tükör és a sugárosztó közé, és helyezzük fel ennek mágneses hátoldalára a vákuum-kamrát és húzzuk a vákuumkamra levegőző csonkjára a kézi vákuumszivattyú csövét!

• Szükség szerint állítsuk be a rögzített tükröt úgy, hogy az interferenciakép közepe jól látható legyen a megfigyelő ernyőn!

3. A kézi vákuumszivattyún lévő billenőkapcsoló segítségével engedjünk levegőt a vákuumkamrába, és győződjünk meg arról, hogy a vákuumkamrában atmoszférikus nyomás uralkodik! Ez lesz a $\setbox0\hbox{$P_i$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kezdeti nyomás.

4. Lassan szivattyúzzuk ki a levegőt a vákuumkamrából, miközben számoljuk meg a bekövetkező gyűrű átmeneteket! Jegyezzük fel a manométerről leolvasott $\setbox0\hbox{$P_f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nyomás végértéket és a gyűrűátmenetek $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ számát!

• A manométer a nyomást az atmoszférikus nyomáshoz képest méri (pl. a 34 Hgcm állás az atmoszférikusnál 34 Hgcm-rel kisebb nyomást jelent). Ebben az esetben az abszolút nyomást a következőképpen kell számítani:

$\[ P_{abs} = P_{atm} - P_{mert} \]$

5. A mérési eredmények alapján határozzuk meg a törésmutató ($\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) - nyomás ($\setbox0\hbox{$P$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) grafikon meredekségét levegőre és a levegő törésmutatóját atmoszférikus nyomáson.

A Michelson-féle interferométernél a gyűrűkép jellemzőit a két interferáló nyaláb fázisviszonyai határozzák meg. A fázisviszonyok kétféle módon változhatnak meg. Az egyik az egyes nyalábok által megtett utak változása (például, a mozgatható tükör mozgatása révén). A másik a közeg megváltozása, amelyben az egyik vagy mindkét nyaláb áthalad.

Adott frekvenciájú fény esetén a hullámhossz a következő formula szerint változik:

$\[ \lambda = \lambda_0/n \]$

ahol $\setbox0\hbox{$\lambda_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a fény hullámhossza vákuumban, és $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a közeg törésmutatója, amelyben a fény halad. Megfelelően alacsony nyomásokon egy gáz törésmutatója lineárisan változik a gáz nyomásával. Vákuum esetén, ahol a nyomás zérus, a törésmutató pontosan 1. Ennek alapján kísérletileg meghatározva a törésmutató – nyomás grafikon meredekségét, kiszámíthatjuk a gáz törésmutatóját különböző nyomásokon.

A lézer nyaláb oda és vissza megtéve az utat a sugárosztó és a mozgatható tükör között, kétszer halad át a vákuumkamrán. A kamrán kívül a két nyaláb optikai úthossza nem változik a kísérlet során. A kamrán belül azonban a fény hullámhossza megnövekszik a nyomás csökkenésével.

Feltételezve, hogy a kamra $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hossza eredetileg 10 hullámhossznyi volt (a valóságban természetesen sokkal hosszabb) és a kamra leszívása közben, a hullámhossz növekedése folytán 9 1/2 hullámhossznyi lesz, a kétszeri áthaladás miatt a kamrán, a fény eggyel kevesebb rezgést végez a kamrán belül. Ennek hatása az interferenciaképre ugyanolyan, mint amikor a mozgatható tükröt 1/2 hullámhossznyival közelebb hozzuk a sugárosztóhoz. Ezért egyetlen gyűrű átmenetet fogunk megfigyelni.

Fentieknek megfelelően (a kétszeri fényáthaladást figyelembe véve) a kamra belseje eredetileg $\setbox0\hbox{$N_i=2d/\lambda_i$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fényhullámhossznyi hosszúságú volt. A végnyomáson pedig $\setbox0\hbox{$N_f=2d/\lambda_f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hullámhossznyi fért el a kamrában. Ezen két érték közötti különbség, $\setbox0\hbox{$N=N_i-N_f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ , éppen a kamra leszívása közben leszámlált gyűrűátmenetek száma. Ezért $\setbox0\hbox{$N=2d/\lambda_i-2d/\lambda_f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Azonban $\setbox0\hbox{$\lambda_i=\lambda_0/n_i$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\lambda_f=\lambda_0/n_f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ahol $\setbox0\hbox{$n_i$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$n_f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a kamrában lévő levegő törésmutatójának kezdeti és végértéke. Ezért $\setbox0\hbox{$N=2d(n_i-n_f)/\lambda_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, úgyhogy $\setbox0\hbox{$n_i-n_f=N\lambda_0/2d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A törésmutató-nyomás grafikon meredeksége pedig:

$\[ \frac{n_i-n_f}{P_i-P_f} = \frac{N\lambda_0}{2d(P_i-P_f)},\]$

ahol $\setbox0\hbox{$P_i$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a levegő kezdeti nyomása, $\setbox0\hbox{$P_f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a levegő végső nyomása, $\setbox0\hbox{$n_i$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a levegő törésmutatója $\setbox0\hbox{$P_i$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nyomáson, $\setbox0\hbox{$n_f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a levegő törésmutatója $\setbox0\hbox{$P_f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nyomáson, $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a leszívás során megfigyelt gyűrűátmenetek száma, $\setbox0\hbox{$\lambda_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a lézerfény hullámhossza vákuumban és $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a vákuumkamra hossza (3 cm).

Üveg törésmutatójának meghatározása

1. Állítsunk össze Michelson-féle interferométert!

2. Helyezzük a forgatható mutatót az elemtartóval a sugárosztó és a mozgatható tükör közé, és rögzítsük az üveglemezt az elemtartó mágneses hátlapjára!

3. Úgy állítsuk be a mutatót, hogy finom skálájának "0"-ja az interferométer alapon lévő fokosztás nullpontjával essen egybe!

4. Vegyük el a lencsét a lézer elől! Tartsuk a megfigyelő ernyőt a sugárosztó és a mozgatható tükör között! Ha egy fényes pont és néhány másodlagos pont látható a megfigyelő ernyőn, addig állítsuk az elemtartó szögét a forgatható mutatóhoz képest, amíg egy fényes pont látható. Ezután ismét igazítsuk a forgatható mutatót a skálaosztás nullpontjához! Ekkor az üveglemez merőleges az optikai útra.

5. Helyezzük vissza a lencsét és a megfigyelő ernyőt, és végezzük el a szükséges tükör beállításokat, hogy tiszta gyűrűképet kapjunk!

6. Lassan forgassuk el a forgatható mutatót 0°-tól $\setbox0\hbox{$\theta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szögig (legalább 10 fokot), és eközben számoljuk le a megfigyelt gyűrűátmenetek számát!

5. A mérési eredmények alapján határozzuk meg az üveglemez törésmutatóját az alábbi összefüggés szerint:

$\[ n_g = \frac{(2t-N\lambda)(1-\cos\theta)}{2t(1-\cos\theta)-N\lambda} \]$

ahol $\setbox0\hbox{$t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az üveglemez vastagsága.