Folyadék szabad felszínének vizsgálata

A szabad folyadékfelszín viselkedését egyenletes körmozgás esetén vizsgáljuk. A problémát alkalmas koordináta rendszer választásával visszavezetjük a szabad, nyugvó folyadékfelszín viselkedésére.

Elméleti összefoglaló

1. ábra

A nyugvó folyadék szabad (az edénnyel nem érintkező) felszíne mindenütt merőleges a külső erők eredőjére. Ha ugyanis a felszín valahol nem lenne merőleges az eredő erőre, akkor az utóbbi felszínnel párhuzamos összetevőjének hatására a felszín közelében áramlás jönne létre, vagyis a folyadékot nem tekinthetnénk nyugvónak.

Ha egy folyadékot tartalmazó hengeres edényt függőleges tengelye körül $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szögsebességgel forgatunk, akkor a folyadék felszíne felülről nézve homorú forgásfelület lesz. A folyadék az azonos tengely körül $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szögsebességgel forgó koordinátarendszerben nyugalomban van. Ebben a rendszerben a felszínen lévő $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű folyadékrészre kétféle erő hat: az $\setbox0\hbox{$mg$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nagyságú, függőleges $\setbox0\hbox{$(y)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ irányú nehézségi erő, valamint a forgó rendszerben fellépő tehetetlenségi erők. Esetünkben az utóbbiak közül csak az $\setbox0\hbox{$m\omega^2x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nagyságú, a forgástengelyre merőleges és attól sugárirányban elfelé mutató centrifugális erő játszik szerepet ($\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a folyadékrésznek a forgástengelytől mért távolsága). A folyadékfelszín mindenhol a két erő eredőjére merőleges helyzetet vesz fel (1. ábra). A kialakuló felület egy forgási paraboloid. A kísérletben ennek a forgási paraboloidnak egy, a forgástengelyen átmenő metszetét határozzuk meg.

Kísérleti berendezés

A folyadékot két egymáshoz közeli párhuzamos síklap által alkotott (téglatest alakú) edényben helyeztük el. (Továbbiakban a síklapokat egymáshoz végtelen közelinek tekintjük.) A forgástengely a téglatest egyik szimmetriatengelye. A forgó edényben kialakuló folyadékfelszín vizsgálatát egy olyan koordináta rendszerben végezzük, melynek $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tengelye az $\setbox0\hbox{$\omega=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szögsebességhez tartozó (vízszintes) folyadékfelszínnel esik egybe, $\setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tengelye pedig a függőleges forgástengely.

Az 1. ábráról leolvasható, hogy

$\[\tan\alpha=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{mx\omega^2}{mg}=\frac{\omega^2}{g}x,\]$

azaz

$\[\mathrm{d}y=\frac{\omega^2}{g}x\mathrm{d}x,\]$

ahonnan integrálással az

$\[y=\frac{\omega^2}{2g}x^2+C\]$

összefüggés adódik. A kifejezés egy parabola egyenlete, ahol a $\setbox0\hbox{$C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ integrálási állandó értéke a parabola csúcspontjának ordinátája. $\setbox0\hbox{$C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-t abból a feltételből kaphatjuk meg, hogy az állandó folyadéktérfogat miatt a $\setbox0\hbox{$\int_0^R y(x)\,\mathrm{d}x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ határozott integrálnak nullát kell adnia, azaz

 

$\[0=\int_0^R \left(\frac{\omega^2}{2g}x^2+C\right)\,\mathrm{d}x=\frac{\omega^2}{6g}R^3+CR,\]$

(1)

ahonnét

$\[C=-\frac{\omega R}{6g}.\]$

Így a folyadékfelszín egyenlete:

$\[y=\frac{\omega^2}{2g}\left(x^2-\frac{R^2}{3}\right).\]$

A (1) kifejezésből az alábbi következtetések vonhatók le:

• A parabola csúcspontjának ordinátája $\setbox0\hbox{$(C)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ arányos $\setbox0\hbox{$\omega^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-tel, ami alapján fordulatszámmérő készíthető.
• A különböző szögsebességekhez tartozó parabolák átmennek a $\setbox0\hbox{$\pm\left(\frac{1}{\sqrt{3}}R, 0\right)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pontokon. [Az utóbbi állítás könnyen belátható, ha (1)-be $\setbox0\hbox{$y=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-t helyettesítünk és $\setbox0\hbox{$\frac{\omega^2}{2g}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-vel egyszerűsítünk.]

Mérési feladatok

Igazolja kísérletileg, hogy a forgó folyadék felszíne által kialakított parabola csúcspontjának süllyedése a szögsebesség négyzetével arányos!

Vegye fel a $\setbox0\hbox{$\log C-\log\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvényt és a grafikon segítségével állapítsa meg $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kitevőjét! (Használja a $\setbox0\hbox{$\log\omega^n=n\log\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ összefüggést! A szögsebességet fordulatszámméréssel határozza meg!)

Határozza meg a nehézségi gyorsulás értékét!

Rajzolja fel a $\setbox0\hbox{$C-\omega^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvényt, majd határozza meg a mérési pontokon át fektetett egyenes meredekségét, ami $\setbox0\hbox{$\frac{R^2}{6g}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értékét adja meg. Ennek ismeretében számítsa ki a nehézségi gyorsulást!