Optikai heterodin detektálás
Tartalomjegyzék |
Szerkesztés alatt!
Elméleti összefoglaló
A hullám fogalma – a fény mint hullám
A fény, mint ismeretes, az elektromágneses tér hullámjelensége. Jellemző rezgési frekvenciája a 1014 Hz körüli tartományba esik. Az a fizikai mennyiség, amelynek terjedését egyszerűen fénynek nevezzük, az elektromos és mágneses térerősség. Tehát a fényben az elektromos és a mágneses tér változásai terjednek. Tekintsünk egy, a tárgyalás szempontjából egyszerű, lineárisan polarizált harmonikus síkhullámot. A síkhullám elnevezés onnan ered, hogy az azonos térerősségű pontok egy adott pillanatban egy síkon helyezkednek el. A síkhullám kifejezése:
![\[{{E\left( \mathbf{r},t \right) = {E_0}\cos \left( \omega t - \mathbf{kr} \right)}}\]](/images/math/f/6/d/f6dbdb46476464b9d6662507a6419707.png)
ahol E0 az elektromos hullám amplitúdója, k a hullámszám vektor, 
az elektro-mágneses hullám körfrekvenciája, „f” pedig a frekvenciája. Egyszerű megfontolásokból a hullám terjedési sebessége k-val és 
-val kifejezhető:
![\[{{c = \frac{\omega }{\left| k \right|}}}\]](/images/math/5/d/4/5d492d4631dcb1bb6a6bcf00487e759c.png)
A „k” helyett a gyakorlatban 
-t szokás használni, amelyet hullámhossznak nevezünk. Így az egyenlet ismertebb alakjában 
. Az (1) egyenletből látszik 
szemléletes jelentése is: azt a k vektor irányában mért legkisebb távolságot jelenti, amely szerint a térerősség periodikusan változik.
Doppler-effektus
Tegyük fel, hogy az (1) szerinti monokromatikus síkhullámot egy „K” koordináta-rendszerben írtuk fel. Ha ezt a síkhullámot a K-hoz képest v(t) pillanatnyi sebességgel mozgó K' rendszerből figyeljük, akkor a hullám K-beli frekvenciájától különböző frekvenciájú hullámot fogunk észlelni. Válasszuk úgy a K és K' rendszert, hogy -ban az origók egybe essenek. Ekkor a K-beli koordinátát K'-beli koordinátákkal kifejezhetjük:
![\[{\bf{r}} = \int\limits_0^t {{\bf{v}}(\tau ){\rm{d}}\tau } + {\bf{r'}}\]](/images/math/5/1/e/51e96aacb29da120e8de44a781c4b6bd.png)
(3)
Ezt beírva az (1) egyenletbe, a hullám K'-beli alakját nyerjük:
![\[E\left( {{\bf{r'}},t} \right) = {E_0}\cos \left( {\varphi ({\bf{r'}},t)} \right) = {E_0}\cos \left( {\omega t - {\bf{k}} \cdot \int\limits_0^t {{\bf{v}}(\tau ){\rm{d}}\tau } - {\bf{k}} \cdot {\bf{r'}}} \right) \]](/images/math/b/5/3/b536ce6f20faf757d9ad7d2d7c3bdb0f.png)
(4)
Definíció szerint a körfrekvencia a fázis (
) idő szerinti parciális deriváltja:
![\[\omega '(t) \equiv \frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}} = \omega - {\bf{k}} \cdot {\bf{v}}(t)\]](/images/math/0/c/5/0c508082112a0cf5d548c354fcf1fe88.png)
(5)
tehát a két rendszer relatív sebességétől függően a körfrekvencia megváltozik, mégpedig a két vonatkoztatási rendszer relatív sebességének pillanatnyi értéke szerint. (Az egyszerűség kedvéért v és ω időfüggését a továbbiakban nem jelöljük.) Ezt a jelenséget felfedezőjéről Doppler-effektusnak nevezik. A jelenség az akusztikában már XIX században ismert és igazolt volt. (A fenti eredmény csak közelítő jellegű, mivel a Galilei-féle relativitás elvének megfelelő transzformáció, amellyel az egyik koordináta rendszerből áttérünk a másikba, csak a fénysebességhez képest kis v sebességek esetében igaz. A pontos tárgyalásnál a Galilei-féle relativitást fel kell cserélni az Einstein-féle relativitás elvével és ennek megfelelően a két rendszer transzformációját Lorentz-transzformációval kell leírni, ld. a függeléket. A gyakorlatban szinte mindig teljesül az a feltétel, hogy v << c, ahol „c” a fénysebesség, ezért a kapott eredmények nagyon nagy pontossággal érvényben maradnak.) Felhasználva a
![\[{{k = \frac{2\pi }{\lambda }}}\]](/images/math/5/7/5/5755dba41e8a74b0e68a16b11570c88f.png)
egyenleteket, a körfrekvenciáról áttérve frekvenciára kapjuk:
![\[{{f' = f - \frac{\left| \mathbf{v} \right|}{\lambda }\cos \vartheta}}\]](/images/math/1/8/7/187e21043c83a83d4601cc0e608bd933.png)
ahol 
a k és v vektor által bezárt szög koszinusza. Speciálisan, ha k és v azonos irányú, akkor , így:
![\[{{f' = f - \frac{\left| \mathbf{v} \right|}{\lambda }}}\]](/images/math/2/9/1/291d690bfda0bad1dc4b297e4ae14de7.png)
és ha ellentétes irányúak, akkor 
, melyből:
Optikai keverés
Tekintsünk két különböző frekvenciájú (
és 
), és azonos terjedési irányú (x) elektromágneses síkhullámot, ahol az egyik körfrekvencia időfüggő: 
. Ebben az esetben az elektromos térerősségek a következőképp írhatók fel:
![\[{{{E_1} = {E_{10}}\cos \left( {{\omega _1}t - {k_1}x} \right)}}\]](/images/math/a/7/7/a7709a1c3886877b1eb5600faa6e9ef2.png)
![\[{E_2} = {E_{20}}\cos \left( {\int\limits_0^t {{\omega _2}(\tau )d\tau } - \int\limits_t^{t - {\raise0.7ex\hbox{$x$} \!\mathord{\left/ {\vphantom {x c}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \!\lower0.7ex\hbox{$c$}}} {{\omega _2}(\tau )d\tau } + \phi } \right) = {E_{20}}\cos \left( {\int\limits_0^{t - {\raise0.7ex\hbox{$x$} \!\mathord{\left/ {\vphantom {x c}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \!\lower0.7ex\hbox{$c$}}} {{\omega _2}(\tau )d\tau + \phi } } \right)\]](/images/math/3/a/4/3a4b219007b094ea241c41909ea3bc61.png)
(11)
ahol „c” a fénysebesség, 
pedig egy konstans fázistolás. Az eredő elektromágneses tér a kettő összege:
![\[E = {E_1} + {E_2} = {E_{10}}\cos \left( {{\omega _1}t - {k_1}x} \right) + {E_{20}}\cos \left( {\int\limits_0^{t - {\raise0.7ex\hbox{$x$} \!\mathord{\left/ {\vphantom {x c}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \!\lower0.7ex\hbox{$c$}}} {{\omega _2}(\tau )d\tau + \phi } } \right)\]](/images/math/8/9/9/899e888fec3b672717ad519f42316b64.png)
(12)
Helyezzünk az eredő tér egy adott pontjába (x) fényérzékelőt. Az érzékelő által szolgáltatott áram 
, ahol „P” a detektorra eső fényteljesítmény. A fényteljesítmény viszont az elektromos térerősség négyzetével arányos:
KÉPLET (13)
Ha ω2-t ω1-ből Doppler-eltolással állítjuk elő, és az alkalmazott sebességek nem relativisztikusak akkor ω2 csak nagyon kicsit tér el a konstans ω1-től. A továbbiakban egyszerűbb, ha az ω2 időfüggését egy külön 
taggal kezeljük, amely jóval kisebb ω1-nél.
![\[\omega_2(t) = \omega_1 + \Delta\omega(t)\]](/images/math/d/a/8/da82eecfb18dc662befca584cf8ef16a.png)
Δω függését a koordinátarendszerek sebességétől lásd a következő fejezetben. Ekkor
![\[\int\limits_0^{t - {\raise0.7ex\hbox{$x$} \!\mathord{\left/ {\vphantom {x c}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \!\lower0.7ex\hbox{$c$}}} {{\omega _2}(\tau )d\tau } = {\omega _1}\left( {t - {\raise0.7ex\hbox{$x$} \!\mathord{\left/ {\vphantom {x c}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \!\lower0.7ex\hbox{$c$}}} \right) + \int\limits_0^{t - {\raise0.7ex\hbox{$x$} \!\mathord{\left/ {\vphantom {x c}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \!\lower0.7ex\hbox{$c$}}} {\Delta \omega \left( \tau \right)d\tau }\]](/images/math/f/5/8/f58adb97f685ee80e91d235eb11c580f.png)
(15)
Behelyettesítve (13)-ba a fenti összefüggést, és felhasználva, hogy
![\[{{\cos \alpha \cdot \cos \beta = \frac{1}{2}\left( {\cos \left( {\alpha + \beta } \right) + \cos \left( {\alpha - \beta } \right)} \right)}}\]](/images/math/e/d/e/edeb7e191965d71c4d6b7f0ef74cc12d.png)
iD alakja a következő:
KÉPLET (17)
A detektor a ráeső teljesítmény időátlagát méri. Mivel fény esetén és ~1015 nagyságrendű, és ezt a frekvenciát a fényérzékelő nem képes követni, az első három tag iD kifejezésében kiátlagolódik. Felhasználva, hogy:
KÉPLET (18)
ahol < > az időátlagot jelenti. A detektor jelére azt kapjuk, hogy: KÉPLET (19)
Az időátlagolást a fenti kifejezésben a fényhullám periódusidejének néhányszorosára végeztük el (ahogy a detektor is teszi), ezért ha és elég közel esik egymáshoz, a (17) kifejezés negyedik tagja átlagolás után is megmarad, ugyanis az 
jóval nagyobb magánál és -nél. Amennyiben a különbségi körfrekvencia olyan kicsi, hogy az ebből eredő változást már a fényérzékelő is képes követni, a detektor kimenő jelében megjelenik egy, a két fény körfrekvencia-különbségével változó jel, melynek amplitúdója a két térerősség amplitúdójának szorzata. Bevezetve az intenzitásokra az 
és 
jelölést:
KÉPLET (20)
Az így kapott jel egyenáramú komponense a két fényhullám intenzitásának összegével arányos, ami e mérésben nem informatív, ezért elektronikus úton leszűrjük. A mért jel váltóáramú komponensét (iH) heterodin jelnek, az eljárást pedig heterodin keverésnek nevezzük:
![\[{i_H} \equiv \sqrt {{I_1}\;{I_2}} \;\cos \left[ {\int\limits_0^{t - {\raise0.7ex\hbox{$x$} \!\mathord{\left/ {\vphantom {x c}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \!\lower0.7ex\hbox{$c$}}} {\Delta \omega (\tau )d\tau } + \phi } \right]\]](/images/math/b/8/0/b808cf31328af2e46d979cebe7e8f0cf.png)
(21)
Az optikai keverésnél az intenzitások közül az egyiket elektromos analógia alapján lokáloszcillátornak nevezik (I1), a másikat pedig jelintenzitásnak (I2). Fénydetektálás szempontjából az optikai keverésnek azért van nagy jelentősége, mert a keletkező heterodin jel frekvenciája jól meghatározott értékű, valamint megfelelő nagyságú lokáloszcillátor-intenzitás segítségével a 
szorzat még kis I2 mellett is megnövelhető. Így az optikai keverés kis fényintenzitások mérésének egyik alkalmas módszereként kínálkozik. Ha például egy detektor érzékenysége 1 mW, és ennél kisebb jelet, mondjuk 10 μW-ot akarunk vele mérni, akkor a 10 μW-os jelet összekeverve egy 1 W-os lokál-oszcillátor jelével, akkor kb. 3 mW-os kevert jel keletkezik, amely már mérhető az adott detektorral. A dolog szépséghibája, hogy a detektoron megjelenik egy nagy, jelen esetben 1 W-os egyenáramú jel is, ami az érzékelőt, vagy az elekronikus erősítőt telítésbe viheti.
Optikai keverés megvalósítása Doppler-effektus felhasználásával
Az optikai keverés megvalósításához egy interferométerre van szükség. Az 1. ábrán látható Michelson-interferométerben a két nyaláb a karokból a féligáteresztő lemezen egyesül úgy, hogy a detektort azonos ponton találja el, és irányuk is pontosan megegyezik (azaz k1 és k2 párhuzamos).
Mérési feladatok
