Optikai heterodin detektálás
Tartalomjegyzék |
Szerkesztés alatt!
Elméleti összefoglaló
A hullám fogalma – a fény mint hullám
A fény, mint ismeretes, az elektromágneses tér hullámjelensége. Jellemző rezgési frekvenciája a 1014 Hz körüli tartományba esik. Az a fizikai mennyiség, amelynek terjedését egyszerűen fénynek nevezzük, az elektromos és mágneses térerősség. Tehát a fényben az elektromos és a mágneses tér változásai terjednek. Tekintsünk egy, a tárgyalás szempontjából egyszerű, lineárisan polarizált harmonikus síkhullámot. A síkhullám elnevezés onnan ered, hogy az azonos térerősségű pontok egy adott pillanatban egy síkon helyezkednek el. A síkhullám kifejezése:
![\[{{E\left( \mathbf{r},t \right) = {E_0}\cos \left( \omega t - \mathbf{kr} \right)}}\]](/images/math/f/6/d/f6dbdb46476464b9d6662507a6419707.png)
ahol E0 az elektromos hullám amplitúdója, k a hullámszám vektor, 
az elektro-mágneses hullám körfrekvenciája, „f” pedig a frekvenciája. Egyszerű megfontolásokból a hullám terjedési sebessége k-val és 
-val kifejezhető:
![\[{{c = \frac{\omega }{\left| \mathbf{k} \right|}}}\]](/images/math/4/9/8/498df15b96825a8a3056b81993690aaa.png)
A „k” helyett a gyakorlatban 
-t szokás használni, amelyet hullámhossznak nevezünk. Így az egyenlet ismertebb alakjában 
. Az (1) egyenletből látszik 
szemléletes jelentése is: azt a k vektor irányában mért legkisebb távolságot jelenti, amely szerint a térerősség periodikusan változik.
Doppler-effektus
Tegyük fel, hogy az (1) szerinti monokromatikus síkhullámot egy „K” koordináta-rendszerben írtuk fel. Ha ezt a síkhullámot a K-hoz képest v(t) pillanatnyi sebességgel mozgó K' rendszerből figyeljük, akkor a hullám K-beli frekvenciájától különböző frekvenciájú hullámot fogunk észlelni. Válasszuk úgy a K és K' rendszert, hogy -ban az origók egybe essenek. Ekkor a K-beli koordinátát K'-beli koordinátákkal kifejezhetjük:
![\[\mathbf{r} = \int\limits_0^t \mathbf{v}(\tau) d\tau + \mathbf{r'}\]](/images/math/7/2/9/7297839bfebf68cf6ad7ead6ea975e9d.png)
Ezt beírva az (1) egyenletbe, a hullám K'-beli alakját nyerjük:
![\[E\left( \mathbf{r'},t \right) = {E_0}\cos \left( \varphi (\mathbf{r'},t) \right)= {E_0}\cos \left( \omega t - \mathbf{k} \cdot \int\limits_0^t \mathbf{v}(\tau)d\tau - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r'} \right)\]](/images/math/6/8/c/68c978c3caf0f4c63617e75ef88e46a4.png)
Definíció szerint a körfrekvencia a fázis (
) idő szerinti parciális deriváltja:
![\[\omega '(t) \equiv \frac{\partial \varphi }{\partial t} = \omega - \mathbf{k} \cdot \mathbf{v}(t)\]](/images/math/6/6/d/66d73041d0097047380b492c5705ee09.png)
tehát a két rendszer relatív sebességétől függően a körfrekvencia megváltozik, mégpedig a két vonatkoztatási rendszer relatív sebességének pillanatnyi értéke szerint. (Az egyszerűség kedvéért v és ω időfüggését a továbbiakban nem jelöljük.) Ezt a jelenséget felfedezőjéről Doppler-effektusnak nevezik. A jelenség az akusztikában már XIX században ismert és igazolt volt. (A fenti eredmény csak közelítő jellegű, mivel a Galilei-féle relativitás elvének megfelelő transzformáció, amellyel az egyik koordináta rendszerből áttérünk a másikba, csak a fénysebességhez képest kis v sebességek esetében igaz. A pontos tárgyalásnál a Galilei-féle relativitást fel kell cserélni az Einstein-féle relativitás elvével és ennek megfelelően a két rendszer transzformációját Lorentz-transzformációval kell leírni, ld. a függeléket. A gyakorlatban szinte mindig teljesül az a feltétel, hogy v << c, ahol „c” a fénysebesség, ezért a kapott eredmények nagyon nagy pontossággal érvényben maradnak.) Felhasználva a
\[{{k = \frac{2\pi }{\lambda } és \omega = 2\pif}}\]
egyenleteket, a körfrekvenciáról áttérve frekvenciára kapjuk:
![\[{{f' = f - \frac{\left| \mathbf{v} \right|}{\lambda }\cos \vartheta}}\]](/images/math/1/8/7/187e21043c83a83d4601cc0e608bd933.png)
ahol 
a k és v vektor által bezárt szög koszinusza. Speciálisan, ha k és v azonos irányú, akkor , így:
![\[{{f' = f - \frac{\left| \mathbf{v} \right|}{\lambda }}}\]](/images/math/2/9/1/291d690bfda0bad1dc4b297e4ae14de7.png)
és ha ellentétes irányúak, akkor 
, melyből:
Optikai keverés
Tekintsünk két különböző frekvenciájú (
és 
), és azonos terjedési irányú (x) elektromágneses síkhullámot, ahol az egyik körfrekvencia időfüggő: 
. Ebben az esetben az elektromos térerősségek a következőképp írhatók fel:
![\[{{{E_1} = {E_{10}}\cos \left( {{\omega _1}t - {k_1}x} \right)}}\]](/images/math/a/7/7/a7709a1c3886877b1eb5600faa6e9ef2.png)
![\[{E_2} = E_{20}\cos \left( \int\limits_0^t \omega _2(\tau )d\tau - \int\limits_t^{t - x/c} \omega _2(\tau )d\tau + \varphi \right)=E_{20}\cos \left( \int\limits_t^{t - x/c} \omega _2(\tau )d\tau + \varphi\right)\]](/images/math/5/7/f/57f8c6e3341e643188bc0c321c13db14.png)
ahol „c” a fénysebesség, 
pedig egy konstans fázistolás. Az eredő elektromágneses tér a kettő összege:
![\[E = E_1 + E_2 = E_{10}\cos \left(\omega_1t - k_1x\right) + E_{20}\cos\left(\int\limits_t^{t - x/c} \omega _2(\tau )d\tau + \varphi\right)\]](/images/math/d/e/0/de09a912c6b9ab90ae0abbb5c2dd4e5c.png)
Helyezzünk az eredő tér egy adott pontjába (x) fényérzékelőt. Az érzékelő által szolgáltatott áram 
, ahol „P” a detektorra eső fényteljesítmény. A fényteljesítmény viszont az elektromos térerősség négyzetével arányos:
![\[P\sim E^2 = E_{10}^2 \cos^2\left(\omega_1t - k_1x\right) + E_{20}\cos^2\left(\int\limits_0^{t-x/c}\omega_2(\tau)d\tau + \varphi \right)+2E_{10}E_{20}\cos\left(\omega_1t - k_1x\right)\cos\left(\int\limits_{0}^{t-x/c}\omega_2(\tau)d\tau + \varphi\right)\]](/images/math/4/5/d/45d15020a51f96be9845137f137e1e15.png)
Ha ω2-t ω1-ből Doppler-eltolással állítjuk elő, és az alkalmazott sebességek nem relativisztikusak akkor ω2 csak nagyon kicsit tér el a konstans ω1-től. A továbbiakban egyszerűbb, ha az ω2 időfüggését egy külön 
taggal kezeljük, amely jóval kisebb ω1-nél.
![\[\omega_2(t) = \omega_1 + \Delta\omega(t)\]](/images/math/d/a/8/da82eecfb18dc662befca584cf8ef16a.png)
Δω függését a koordinátarendszerek sebességétől lásd a következő fejezetben. Ekkor
![\[\int\limits_0^{t-x/c}\omega_2(\tau)d\tau = \omega_1(t-x/c) + \int\limits_0^{t-x/c}\Delta\omega(\tau)d\tau\]](/images/math/3/7/d/37de04fd89f1253286612bc22946fafe.png)
Behelyettesítve (13)-ba a fenti összefüggést, és felhasználva, hogy
![\[{{\cos \alpha \cdot \cos \beta = \frac{1}{2}\left( {\cos \left( {\alpha + \beta } \right) + \cos \left( {\alpha - \beta } \right)} \right)}}\]](/images/math/e/d/e/edeb7e191965d71c4d6b7f0ef74cc12d.png)
iD alakja a következő:
![\[i_D \sim E_{10}^2\cos^2\left(\omega_1t - k_1x\right)+ E_{20}^2cos^2\left(\omega_1t - k_1x + \int\limits_0^{t-x/c}\Delta\omega(\tau)d\tau - \varphi\right) + E_{10}E_{20}\cos\left[2\omega_1t - 2k_1x + \int\limits_0^{t-x/c}\Delta\omega(\tau)d\tau + \varphi\right] + \]](/images/math/8/0/d/80d7e61d3371106f198b45043afc21a4.png)
![\[E_{10}E_{20}\cos\left[-\int\limits_0^{t-x/c}\Delta\omega(\tau)d\tau - \varphi\right]\]](/images/math/1/3/6/1369728c41961da2c04d41d268e5f336.png)
A detektor a ráeső teljesítmény időátlagát méri. Mivel fény esetén és ~1015 nagyságrendű, és ezt a frekvenciát a fényérzékelő nem képes követni, az első három tag iD kifejezésében kiátlagolódik. Felhasználva, hogy:
KÉPLET (18)
ahol < > az időátlagot jelenti. A detektor jelére azt kapjuk, hogy: KÉPLET (19)
Az időátlagolást a fenti kifejezésben a fényhullám periódusidejének néhányszorosára végeztük el (ahogy a detektor is teszi), ezért ha és elég közel esik egymáshoz, a (17) kifejezés negyedik tagja átlagolás után is megmarad, ugyanis az 
jóval nagyobb magánál és -nél. Amennyiben a különbségi körfrekvencia olyan kicsi, hogy az ebből eredő változást már a fényérzékelő is képes követni, a detektor kimenő jelében megjelenik egy, a két fény körfrekvencia-különbségével változó jel, melynek amplitúdója a két térerősség amplitúdójának szorzata. Bevezetve az intenzitásokra az 
és 
jelölést:
KÉPLET (20)
Az így kapott jel egyenáramú komponense a két fényhullám intenzitásának összegével arányos, ami e mérésben nem informatív, ezért elektronikus úton leszűrjük. A mért jel váltóáramú komponensét (iH) heterodin jelnek, az eljárást pedig heterodin keverésnek nevezzük:
![\[{i_H} \equiv \sqrt {{I_1}\;{I_2}} \;\cos \left[ {\int\limits_0^{t - {\raise0.7ex\hbox{$x$} \!\mathord{\left/ {\vphantom {x c}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \!\lower0.7ex\hbox{$c$}}} {\Delta \omega (\tau )d\tau } + \phi } \right]\]](/images/math/b/8/0/b808cf31328af2e46d979cebe7e8f0cf.png)
(21)
Az optikai keverésnél az intenzitások közül az egyiket elektromos analógia alapján lokáloszcillátornak nevezik (I1), a másikat pedig jelintenzitásnak (I2). Fénydetektálás szempontjából az optikai keverésnek azért van nagy jelentősége, mert a keletkező heterodin jel frekvenciája jól meghatározott értékű, valamint megfelelő nagyságú lokáloszcillátor-intenzitás segítségével a 
szorzat még kis I2 mellett is megnövelhető. Így az optikai keverés kis fényintenzitások mérésének egyik alkalmas módszereként kínálkozik. Ha például egy detektor érzékenysége 1 mW, és ennél kisebb jelet, mondjuk 10 μW-ot akarunk vele mérni, akkor a 10 μW-os jelet összekeverve egy 1 W-os lokál-oszcillátor jelével, akkor kb. 3 mW-os kevert jel keletkezik, amely már mérhető az adott detektorral. A dolog szépséghibája, hogy a detektoron megjelenik egy nagy, jelen esetben 1 W-os egyenáramú jel is, ami az érzékelőt, vagy az elekronikus erősítőt telítésbe viheti.
Optikai keverés megvalósítása Doppler-effektus felhasználásával
Az optikai keverés megvalósításához egy interferométerre van szükség. Az 1. ábrán látható Michelson-interferométerben a két nyaláb a karokból a féligáteresztő lemezen egyesül úgy, hogy a detektort azonos ponton találja el, és irányuk is pontosan megegyezik (azaz k1 és k2 párhuzamos).
Mérési feladatok
