3. Megmaradási törvények a mechanikában

A Fizikában felfedezhetünk olyan átfogó törvényeket, amelyek gondolataink startkövei lehetnek, és iránymutatóként működhetnek. Az ún. „megmaradási tételek” (is) ilyenek. Bármilyen összetett is legyen egy (mechanikai) rendszer, és bármilyen bonyolult módon is mozogjék, ha az előírt feltételek teljesülnek, bizonyos tulajdonságai állandóak maradnak. Ez lehetővé teszi azt, hogy az igen bonyolult mozgásegyenletek megoldása nélkül is egzakt eredményekre jussunk. Ezen törvények megfelelő általánosításával a ma ismert Univerzum egészére érvényes állításokat tehetünk.

A megmaradási tételek számos természeti jelenségben felismerhetők, és segítségükkel technikai alkalmazások és a sportokban alkalmazott „trükkök” is könnyebben megérthetők.

Munka, teljesítmény, energia

A munka és a teljesítmény fogalma

A fizikában sok olyan fogalmat használunk, ami a hétköznapi életből származik, azonban a jelentése nem ugyanaz a fizikában, mint a hétköznapi nyelvhasználatban. Ilyen fogalom a munka és a teljesítmény is.

A mechanikai munka két test közötti energiaátadás egyik lehetséges módja. Az elemi munkát a

$\[\Delta W=\vec{F}\Delta\vec{s}\]$

skalárszorzat definiálja. Eszerint egy erő akkor végez munkát, ha a test elmozdul, és az elmozdulás nem merőleges az erőre. A munka az erő és az elmozdulás közti szögtől függően lehet pozitív vagy negatív, ami kifejezi az energiaátadás irányát. A munkát az elemi munkák összegzésével, határesetben integrálással kapjuk meg:

$\[W=\int_g\vec{F}{\rm d}\vec{s}\]$

Itt az integrál alatti $\setbox0\hbox{$g$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ arra utal, hogy egy görbe, a test pályája mentén kell integrálni. Ha $\setbox0\hbox{$\vec{F}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ állandó, akkor az integrál helyett a munka egy egyszerű skalárszorzattal kiszámítható:

$\[W=\vec{F}\vec{s}=Fs\cos\alpha\]$

ahol $\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az erő- és az elmozdulásvektor által bezárt szög. A teljesítmény a munkavégzés sebességét fejezi ki:

$\[P=\frac{{\rm d}W}{{\rm d}t}=\frac{\vec{F}{\rm d}\vec{s}}{{\rm d}t}=\vec{F}\vec{v}\]$

A munka SI mértékegysége a joule, 1 J = 1 Nm, a teljesítményé a watt, 1 W = 1 J/s.

Mozgási energia

Vizsgáljunk egy testet, mely a rá ható erők hatására valamilyen pályán mozog. Az $\setbox0\hbox{$\vec{F}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ eredő erő munkája

$\[W=\int_1^2\vec{F}{\rm d}\vec{s}\]$

ahol 1 és 2 a pálya kezdő és végpontját jelzi. Felhasználva, hogy Newton II. törvénye alapján $\setbox0\hbox{$\vec{F}=m\vec{a}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, valamint a gyorsulás és a sebesség definícióját, a kifejezés átalakítható:

$\[W=\int_1^2 m\vec{a}{\rm d}\vec{s}=m\int_1^2\frac{{\rm d}\vec{v}}{{\rm d}t}{\rm d}\vec{s}=m\int_1^2{\rm d}\vec{v}\frac{{\rm d}\vec{s}}{{\rm d}t}=m\int_{v_1}^{v_2}\vec{v}{\rm d}\vec{v}\]$

ahol $\setbox0\hbox{$v_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$v_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a testsebessége a vizsgált mozgás elején és végén. Az integrálást elvégezve:

$\[W=m\int_{v_1}^{v_2}\vec{v}{\rm d}\vec{v}=m\left[\frac{1}{2}v^2\right]_{v_1}^{v_2}=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2\]$

A kifejezésben szereplő

$\[E_m=\frac{1}{2}mv^2\]$

mennyiség a test mozgási energiája. A munkavégzés megváltoztatja a test mozgási energiáját. Ez az úgynevezett munkatétel:

$\[W=\Delta E_m\]$

1. ábra

Helyzeti energia

Bizonyos erőhatások esetében az erő által végzett munka nem függ a pálya alakjától, csak a kezdő és végpontoktól. Például az 1. ábrán az A pontból a B pontba három különböző útvonalon kiszámolva a munkát, azt kapjuk, hogy az mindhárom útvonalon egyforma:

$\[W_1=W_{AC}+W_{CB}=mgh+0=mgh\]$

$\[W_2=m\vec{g}\vec{s}=mgs\cos\alpha=mgh\]$

$\[W_3=\int_A^B m\vec{g}{\rm d}\vec{s}=m\vec{g}\int_A^B {\rm d}\vec{s}=m\vec{g}\vec{s}=mgh\]$

Ebből az is következik, hogy ilyen erők esetében, ha a kezdő és végpont megegyezik, azaz a pálya zárt görbe, akkor a munka nulla:

$\[\oint\vec{F}{\rm d}\vec{s}=\int_{A(1)}^B \vec{F}{\rm d}\vec{s}+\int_{B(2)}^A \vec{F}{\rm d}\vec{s}=\int_{A(1)}^B \vec{F}{\rm d}\vec{s}-\int_{A(2)}^B \vec{F}{\rm d}\vec{s}=W_{AB(1)}-W_{AB(2)}=0\]$

ahol (1) és (2) A és B közötti két különböző útvonal. Azokat az erőket, amelyek ilyen tulajdonságúak konzervatív erőnek nevezzük. (Ha az erő nem ilyen tulajdonságú, akkor nemkonzervatív. Ilyen például a súrlódási erő.) A konzervatív erő munkája ezek szerint csak a kezdeti és végponttól függ, ami megkönnyíti a munka kiszámítását. Azt a munkát, amit az erő akkor végezne, ha a test az A pontból egy tetszőlegesen megválasztott O kezdőpontba mozogna, a test A-beli helyzeti energiájának nevezzük:

$\[E_{hA}=\int_A^O\vec{F}{\rm d}\vec{s}=-\int_O^A\vec{F}{\rm d}\vec{s}=W_{AO}=-W_{OA}\]$

A helyzeti energia segítségével az erő munkája két tetszőleges pont között már könnyen kifejezhető:

$\[W_{AB}=W_{AO}+W_{OB}=E_{hA}-E_{hB}=-\Delta E_h\]$

Írjuk fel újra a munkatételt, de a testen végzett munkát osszuk kétfelé, konzervatív és nemkonzervatív munkákra:

$\[W_k+W_{nk}=\Delta E_m\]$

A konzervatív erők munkája viszont helyettesíthető:

$\[W_k=-\Delta E_h\]$

Az egyenletet átrendezve, és bevezetve az $\setbox0\hbox{$E=E_m+E_h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mechanikai energiát a következő összefüggést kapjuk:

$\[W_{nk}=\Delta E_m+\Delta E_h=\Delta\left(E_m+E_h\right)=\Delta E\]$

Ebből következik, hogy ha a nemkonzervatív erők nem végeznek munkát, akkor a test mechanikai energiája állandó:

$\[W_{nk}=0\quad\Leftrightarrow\quad E={\rm const.}\]$

Ez a mechanikai energia megmaradásának tétele egy tömegpontra.

Impulzus és perdület

Tömegpont impulzusa, Newton II. törvénye impulzussal megfogalmazva

A megmaradási tételek sok feladat megoldását megkönnyítik. A mechanikai energia után ezért bevezetjük az impulzus (vagy másképp lendület) fogalmát. Az impulzus vektoriális mennyiség, egy tömegpont impulzusa a tömeg és a sebességvektor szorzata:

$\[\vec{p}=m\vec{v}\]$

Ha a definiáló egyenletet idő szerint deriváljuk, akkor megkapjuk Newton II. törvényét impulzussal megfogalmazva (Newton ezt az alakot használta):

$\[\frac{{\rm d}\vec{p}}{{\rm d}t}=\frac{{\rm d}(m\vec{v})}{{\rm d}t}=m\frac{{\rm d}\vec{v}}{{\rm d}t}=m\vec{a}=\vec{F}\]$

Ebből következik, hogy ha a tömegpontra ható erők eredője nulla, akkor az impulzusa állandó:

$\[\vec{F}=0\quad\Leftrightarrow\quad\vec{p}={\rm const.}\]$

Ez az impulzus megmaradásának tétele egy tömegpontra.

Tömegpont perdülete, perdület és forgatónyomaték kapcsolata

Ugyanilyen megfontolásból bevezetjük a perdület (vagy másképpen impulzusmomentum) fogalmát is. A perdület szintén vektoriális mennyiség, az O pontra vonatkoztatott perdületet a következő vektoriális szorzattal definiálunk:

$\[\vec{N}=\vec{r}\times\vec{p}=m\vec{r}\times\vec{v}\]$

ahol $\setbox0\hbox{$\vec{r}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az O pontból a tömegpontba mutató helyvektor. Deriváljuk ezt a kifejezést is idő szerint:

$\[\frac{{\rm d}\vec{N}}{{\rm d}t}=\frac{{\rm d}(\vec{r}\times\vec{p})}{{\rm d}t}=\frac{{\rm d}\vec{r}}{{\rm d}t}\times\vec{p}+\vec{r}\times\frac{{\rm d}\vec{p}}{{\rm d}t}=\vec{v}\times\vec{p}+\vec{r}\times\vec{F}\]$

Az első tag 0, mert $\setbox0\hbox{$\vec{v}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\vec{p}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ párhuzamos, a második tag pedig az $\setbox0\hbox{$\vec{F}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ eredő erő forgatónyomatéka:

$\[\vec{M}=\vec{r}\times\vec{F}\]$

Ebből

$\[\frac{{\rm d}\vec{N}}{{\rm d}t}=\vec{M}\]$

és ha a tömegpontra ható forgatónyomatékok eredője nulla, akkor a tömegpont perdülete állandó:

$\[\vec{M}=0\quad\Leftrightarrow\quad\vec{N}={\rm const.}\]$

Ez a perdület megmaradásának tétele egy tömegpontra.

Megmaradási tételek

Pontrendszer fogalma

A pontrendszer tömegpontokból áll. Szabadon megválasztható, hogy mely pontok tartoznak a rendszerhez. A modell használható néhány testből álló rendszerek (például ütközések, Föld-Hold rendszer), nagyon sok tömegpontból álló rendszerek (például gázok, 10$^{25}$ részecske) és a kiterjedt testek (például merev testek) leírására.

A pontrendszer mozgása leírható az összes tömegpont helyének megadásával az idő függvényében. Ez azonban, különösen nagyszámú pont esetében, nem mindig lehetséges, és nem is mindig szükséges. A rendszer egésze jellemezhető néhány adattal is, a rendszer össztömegével

$\[m=\sum_i m_i\]$

és tömegközéppontjával

$\[\vec{r}_{{\rm TKP}}=\frac{1}{m}\sum_i m_i\vec{r}_i\]$

Impulzusmegmaradás tétele

A pontrendszer impulzusa a tömegpontok impulzusának összege. A kifejezést átalakítva és felhasználva a tömegközéppont definícióját:

$\[\vec{p}=\sum_i\vec{p}_i=\sum_i m_i\vec{v}_i=\sum_i m_i\frac{{\rm d}\vec{r}_i}{{\rm d}t}=\frac{{\rm d}\left(\sum_i m_i\vec{r}_i\right)}{{\rm d}t}=\frac{{\rm d}\left(m\vec{r}_{{\rm TKP}}\right)}{{\rm d}t}=m\frac{{\rm d}\vec{r}_{{\rm TKP}}}{{\rm d}t}=m\vec{v}_{{\rm TKP}}\]$

A pontrendszer impulzusa tehát úgy számolható, mintha az egész tömeg egyetlen pontként a tömegközéppont sebességével mozogna.

A pontrendszer minden pontjára hathatnak erők. Az erők egy része a pontrendszeren kívüli testekkel való kölcsönhatás eredménye, ezeket nevezzük külső erőknek. Az $\setbox0\hbox{$m_i$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegpontra ható külső erők eredője $\setbox0\hbox{$\vec{F}_{k_i}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ Ezen kívül a pontrendszer tagjai között is felléphetnek erőhatások, ezeket belső erőknek nevezzük. Az $\setbox0\hbox{$m_i$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegpontra az $\setbox0\hbox{$m_j$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegpont $\setbox0\hbox{$\vec{F}_{b_{ij}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ erővel hat.

A pontrendszer minden tömegpontjára felírható Newton II. törvénye (impulzusos alakban):

$\[\frac{{\rm d}\vec{p}_i}{{\rm d}t}=\vec{F}_{k_i}+\sum_{j\neq i}\vec{F}_{b_{ij}}\]$

Összeadva az összes tömegpontra felírt egyenleteket

$\[\sum_i\frac{{\rm d}\vec{p}_i}{{\rm d}t}=\sum_i\vec{F}_{k_i}+\sum_i\sum_{j\neq i}\vec{F}_{b_{ij}}\]$

A baloldalon a rendszer összimpulzusának idő szerinti deriválja áll:

$\[\sum_i\frac{{\rm d}\vec{p}_i}{{\rm d}t}=\frac{{\rm d}\vec{p}}{{\rm d}t}\]$

A jobb oldal első tagja a rendszerre ható eredő külső erő:

$\[\sum_i\vec{F}_{k_i}=\vec{F}_k\]$

A jobb oldal második tagja viszont nulla, mert a kettős összegzésben két-két erő Newton III. törvénye miatt mindig kiejti egymást:

$\[\vec{F}_{b_{ij}}=-\vec{F}_{b_{ji}}\quad\Rightarrow\quad\sum_i\sum_{j\neq i}\vec{F}_{b_{ij}}=0\]$

Behelyettesítve:

$\[\frac{{\rm d}\vec{p}}{{\rm d}t}=\vec{F}_k\]$

Tehát a rendszer összimpulzusát csak a külső erők tudják megváltoztatni. Ha nincsenek külső erők, vagy a külső erők eredője nulla, akkor a rendszer impulzusa állandó:

$\[\vec{F}_k=0\quad\Leftrightarrow\quad\vec{p}={\rm const.}\]$

Ez az impulzus megmaradásának tétele pontrendszerre. Érdemes még egyszer hangsúlyozni, hogy a megmaradási tétel feltételében a belső erők nem szerepelnek, belső erők nem tudják megváltoztatni a rendszer impulzusát.

Perdületmegmaradás tétele

A pontrendszer tömegpontjaira ható erőknek – egy kiválasztott O pontra – forgatónyomatéka is lehet. Az erőkhöz hasonlóan a forgatónyomatékok is részben a pontrendszeren kívüli testekkel való kölcsönhatásból származnak, ezeket nevezzük külső forgatónyomatékoknak. Az $\setbox0\hbox{$m_i$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegpontra ható külső erők forgatónyomatékának eredője az O pontra $\setbox0\hbox{$\vec{M}_{k_i}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ A pontrendszer tagjai között ható erők forgatónyomatékait belső forgatónyomatékoknak nevezzük. Az $\setbox0\hbox{$m_i$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegpontra az $\setbox0\hbox{$m_j$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegpont az O pontra vonatkoztatva $\setbox0\hbox{$\vec{M}_{b_{ij}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ forgatónyomatékot fejt ki.

A pontrendszer minden tömegpontjára felírható a perdület és a forgatónyomaték közti kapcsolat:

$\[\frac{{\rm d}\vec{N}_i}{{\rm d}t}=\vec{M}_{k_i}+\sum_{j\neq i}\vec{M}_{b_{ij}}\]$

Ismét összeadva az összes tömegpontra felírt egyenleteket

$\[\sum_i\frac{{\rm d}\vec{N}_i}{{\rm d}t}=\sum_i\vec{N}_{k_i}+\sum_i\sum_{j\neq i}\vec{N}_{b_{ij}}\]$

2. ábra

A baloldalon a rendszer összperdületének idő szerinti deriválja áll:

$\[\sum_i\frac{{\rm d}\vec{N}_i}{{\rm d}t}=\frac{{\rm d}\vec{N}}{{\rm d}t}\]$

A jobb oldal első tagja a rendszerre ható eredő külső forgatónyomaték:

$\[\sum_i\vec{M}_{k_i}=\vec{M}_k\]$

A jobb oldal második tagja pedig ismét nulla, mert a kettős összegzésben két-két forgatónyomaték a 2. ábra alapján mindig kiejti egymást:

$\[\vec{M}_{b_{ij}}=\vec{r}_i\times\vec{F}_{b_{ij}}=-\vec{r}_j\times\vec{F}_{b_{ji}}=-\vec{M}_{b_{ji}}\quad\Rightarrow\quad\sum_i\sum_{j\neq i}\vec{M}_{b_{ij}}=0\]$

Behelyettesítve:

$\[\frac{{\rm d}\vec{N}}{{\rm d}t}=\vec{M}_k\]$

Tehát a rendszer összperdületét csak a külső erők forgatónyomatéka tudja megváltoztatni. Ha nincsen külső forgatónyomaték, vagy a külső forgatónyomatékok eredője nulla, akkor a rendszer perdülete állandó:

$\[\vec{M}_k=0\quad\Leftrightarrow\quad\vec{N}={\rm const.}\]$

Ez a perdület megmaradásának tétele pontrendszerre. A megmaradási tétel feltételében a belső erők forgatónyomatéka sem szerepel, belső forgatónyomatékok nem tudják megváltoztatni a rendszer perdületét.

A mechanikai energia megmaradásának tétele

A rendszer pontjaira ható erők munkát is végeznek. A munkavégzéseket is csoportosíthatjuk aszerint, hogy külső vagy belső erők végzik. Ezen kívül érdemes megkülönböztetni a konzervatív és nemkonzervatív erők munkáját is. Írjuk fel a munkatételt minden $\setbox0\hbox{$m_i$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegpontra:

$\[W_{k,k_i}+W_{k,nk_i}+\sum_{j\neq i}W_{b,k_{ij}}+\sum_{j\neq i}W_{b,nk_{ij}}=\Delta E_{m_i}\]$

A konzervatív erők munkája viszont helyettesíthető a helyzeti energia megváltozásának –1-szeresével:

$\[W_{k,k_i}=-\Delta E_{h_i}\]$

$\[W_{b,k_{ij}}=-\Delta E_{h_{ij}}\]$

Beírva és átrendezve:

$\[W_{k,nk_i}+\sum_{j\neq i}W_{b,nk_{ij}}=\Delta E_{m_i}+\Delta E_{h_i}+\sum_{j\neq i}\Delta E_{h_{ij}}=\Delta E_i\]$

ahol $\setbox0\hbox{$E_i$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az $\setbox0\hbox{$m_i$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegpont teljes mechanikai energiája. Összeadva az összes tömegpontra az egyenleteket

$\[\sum_i W_{k,nk_i}+\sum_i\sum_{j\neq i}W_{b,nk_{ij}}=\sum_i\Delta E_i\]$

Itt most a belső nemkonzervatív erők munkái nem ejtik ki egymást a kettős összegzésben (hiszen $\setbox0\hbox{$\vec{F}_{b,nk_{ij}}{\rm d}\vec{r}_i\neq-\vec{F}_{b,nk_{ji}}{\rm d}\vec{r}_j$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$). Tehát a rendszer teljes mechanikai energiáját a külső és a belső nemkonzervatív erők munkája tudja megváltoztatni:

$\[W_{k,nk}+W_{b,nk}=\Delta E\]$

Ha nincsenek nemkonzervatív erők, vagy a munkájuk nulla, akkor a rendszer mechanikai energiája állandó:

$\[W_{k,nk}+W_{b,nk}=0\quad\Leftrightarrow\quad E={\rm const.}\]$

Ez a mechanikai energia megmaradásának tétele pontrendszerre.

Bolygómozgás és műholdak

Kepler II. törvénye (perdületmegmaradás)

Kepler a XVII. század elején Tycho Brahe csillagászati megfigyelései alapján fogalmazta meg a bolygók mozgását leíró tapasztalati törvényeit:

I. A bolygók pályája ellipszis, melynek egyik gyújtópontjában van a Nap.

II. A Napból egy bolygóhoz húzott szakasz azonos idő alatt azonos területet súrol.

III. A bolygópályák fél nagytengelyeinek köbei úgy aránylanak egymáshoz (egy naprendszeren belül), mint a keringési idejük négyzetei.

3. ábra

A III. törvény fontos kísérleti előzménye volt Newton gravitációs törvényének. A II. törvény pedig szép példa a perdületmegmaradásra:

A bolygóhoz húzott szakasz által kicsiny $\setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ idő alatt súrolt terület a 3. ábra alapján:

$\[A=\frac{1}{2}r\left(v\Delta t\right)\sin\alpha=\frac{\Delta t}{2}rv\sin\alpha\]$

Kepler II. törvénye szerint ugyanakkora idő alatt ugyanakkora területet súrol a bolygó, tehát

$\[rv\sin\alpha=|\vec{r}\times\vec{v}|={\rm const.}\]$

A bolygó perdülete (a Napra, mint középpontra vonatkoztatva)

$\[\vec{N}=\vec{r}\times\vec{p}=m(\vec{r}\times\vec{v})\]$

Kepler II. törvénye tehát – csillagászati megfigyelések tapasztalata alapján – a bolygó (Napra vonatkoztatott) perdületének állandóságát mondja ki.

A Nap körül keringő bolygóra a Nap gravitációs vonzása hat (a többi bolygó hatása emellett elhanyagolható). Ez az erő mindig egy pontba, a Nap felé mutat (ún. centrális erő), ezért forgatónyomatéka (a Napra, mint középpontra vonatkoztatva) mindig nulla. Ebből következik, hogy a bolygó perdületének valóban állandónak kell lennie:

$\[\vec{M}=0\quad\Rightarrow\quad\vec{N}={\rm const.}\]$

Rakétaelv (impulzusmegmaradás)

A világűrben, a Föld légkörén kívül az űrhajóra csak a környező égitestek gravitációs ereje hat. Pályáját a gravitációs erőtér és a kezdeti feltételek határozzák meg. Ha csak egyetlen égitest hat rá, akkor kör-, ellipszis-, parabola- vagy hiperbolapályán fog mozogni.

A pálya megváltoztatására (gyorsításra, lassításra, irányváltoztatásra) egyetlen lehetőség van: az űrhajó nagy sebességgel anyagot (forró égésterméket) lövell ki magából. Az űrhajó és a kilövellt gáz közti erőhatás belső erő, amely nem változtathatja meg az űrhajó - kilövellt gáz rendszer összimpulzusát. Ezért ha a gáz nagy sebességgel hátrafelé áramlik ki, akkor az űrhajó előrefelé fog gyorsulni. Ez a rakétaelv, amelynek részleteit Ciolkovszkij dolgozta ki a XIX. század legelején.

A sugárhajtású repülőgépekkel szemben az űrhajó csak olyan anyagot tud kilövellni, amelyet magával visz (szilárd vagy folyékony tüzelőanyag és oxigén vagy más oxidálószer), emiatt nagy végsebességhez nagy induló tömegre van szükség. A kiürült üzemanyagtartályokat nem célszerű tovább gyorsítani, ezért azok leválnak az űrhajóról (többlépcsős rakéták).

Kozmikus sebességek (energiamegmaradás)

A Föld körül körpályán keringő űrhajó sebessége Newton II. törvénye és gravitációs törvénye alapján könnyen meghatározható. A körpályához szükséges centripetális gyorsulást a gravitációs erő biztosítja:

$\[m\frac{v^2}{r}=\gamma\frac{mm_F}{r^2}\]$

ahol $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az űrhajó, $\setbox0\hbox{$m_F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a Föld tömege, $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a pálya sugara, $\setbox0\hbox{$\gamma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a gravitációs állandó. Felhasználva,hogy $\setbox0\hbox{$\gamma m_F=gr_F^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ($\setbox0\hbox{$r_F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a Föld sugara)

$\[v=\sqrt{\frac{\gamma m_F}{r}}=\sqrt{\frac{gr_F^2}{r}}\]$

Ha az űrhajó a Föld felszínén mozogna körpályán ($\setbox0\hbox{$r=r_F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) – ami persze a légellenállás miatt képtelenség, de néhány tíz km-es magasságban már lehetséges – akkor

$\[v_1=\sqrt{gr_F}\approx 7,9\,{\rm km/s}\]$

Ez az első kozmikus sebesség. Legalább ekkora sebességre kell gyorsítani egy űrhajót a Föld felszínén, hogy Föld-körüli pályára állhasson. (A Föld forgása miatt az egyenlítőn már a Földön álló úrhajónak is kb. 460 m/s sebessége van, ezért építik az űrközpontokat minél közelebb az egyenlítőhöz.)

A második kozmikus sebesség (vagy szökési sebesség az a sebesség, amivel az űrhajónak ahhoz kell rendelkeznie a Föld felszínén, hogy végleg elhagyja a Földet. Ennek meghatározásához használjuk fel, hogy a már kikapcsolt hajtóművű űrhajó teljes mechanikai energiája állandó:

$\[E=E_m+E_h={\rm const.}\]$

A helyzeti energia a definíció alapján számítható:

$\[E_h=-\int_{r_0}^r F{\rm d}r=-\int_{r_0}^r -\gamma\frac{mm_F}{r^2}{\rm d}r=-\gamma mm_F \left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}\right)\]$

Ha a nulla szintet a végtelenben választjuk ($\setbox0\hbox{$r_0=\infty$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$), akkor

$\[E_h=-\gamma\frac{mm_F}{r}=-m\frac{gr_F^2}{r}\]$

Ezzel a választással a helyzeti energia negatív, és a Földet éppen elhagyni képes űrhajó teljes mechanikai energiája éppen nulla (hiszen a Földtől távolodva a sebessége és a mozgási energiája a végtelenben csökkenne nullára). Felírva a teljes mechanikai energiát a Föld felszínén is, megkapjuk a második kozmikus sebességet:

$\[E_m+E_h=\frac{1}{2}mv_2^2-m\frac{gr_F^2}{r_F}=0\]$

$\[v_2=\sqrt{2gr_F}=\sqrt{2}v_1\approx 11,2\,{\rm km/s}\]$

Pályakorrekciók távközlési és navigációs holdaknál

A távközlési és navigációs műholdak pontosan meghatározott pályákon keringenek a Föld körül. A műholdakat nagy hordozórakéták emelik Föld-körüli pályára (minél magasabb a pálya, annál több energiára van szükség a pályára állításhoz).

A távközlési műholdak a forgó Földhöz képest állnak, hogy a Földről rögzített parabolaantennával lehessen velük kapcsolatot tartani. Ehhez a műholdnak pontosan egy nap (egy csillag-nap) alatt kell megkerülniük a Földet az egyenlítő síkjában. Felírva a mozgásegyenletet

$\[m\omega^2r=\gamma\frac{mm_F}{r^2}=m\frac{gr_F^2}{r^2}\]$

$\[r^3=\frac{gr_F^2}{\omega^2}=\frac{gr_F^2T^2}{4\pi^2}\]$

Ebből az ún. geostacionárius pálya sugara, illetve tengerszint feletti magassága:

$\[r\approx 40200\,{\rm km}\qquad h=r-r_F\approx 35800\,{\rm km}\]$

A GPS rendszer műholdjai ennél valamivel alacsonyabban (kb. 20 ezer km), sok más műhold (pl. fényképező, időjárási műholdak) pedig sokkal alacsonyabb pályán keringenek. (A Nemzetközi űrállomás például mindössze 360 km magasan.) A műholdak a különböző zavarok (az alacsony pályákon elsősorban a magas légkör fékező hatása) miatt pályakorrekciókra szorulnak. Erre a célra a műholdakon kisteljesítményű rakéták vannak. Az alacsony pályán keringő, és így a légkör miatt erősebb fékezésnek kitett műholdakat időnként újra magasabb pályára kell állítani. Ehhez a műholdat a keringés irányában a rakéták segítségével gyorsítani kell. (Ha elfogy a manőverekre szánt üzemanyag, akkor a műhold egyre mélyebbre süllyed, és végül elég a sűrűbb légkörben.)

Merev test forgása

Tehetetlenségi nyomaték

A merev test a valóságos testek egy modellje: a tömegponttal szemben figyelembe veszi a test alakját, forgását is, de a valóságos testek (rugalmas vagy képlékeny) alakváltozásait nem. A merev test leírásához felhasználható, amit a pontrendszerekről megállapítottunk, hiszen a merev test egy speciális pontrendszerként kezelhető (ahol a pontok egymáshoz képest nem mozoghatnak).

A merev test mozgása felépíthető elemi elmozdulásokból és elfordulásokból. A merev test haladó mozgása ugyanúgy leírható, mint a tömegponté: a testet ekkor a tömegközéppontjába koncentrált tömegpontként kezelhetjük. A forgás általános esetben nagyon bonyolult lehet, itt két esettel, a rögzített tengely körüli forgással és a pörgettyűmozgással foglalkozunk.

4. ábra

Egy rögzített tengely körül forgó merev test tengelye (és így szögsebességvektora) legyen $\setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-irányú. A merev test egy elemi tömegdarabjának perdülete

$\[\Delta\vec{N}_i=\vec{r}_i\times\Delta\vec{p}_i=\Delta m_i\vec{r}_i\times\vec{v}_i=\Delta m_i\vec{r}_i\times\left(\vec{\omega}\times\vec{r}_i\right)\]$

A tengely csapágyaiban fellépő kényszererők forgatónyomatékai biztosítják a perdület $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$- és $\setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-rányú komponenseinek változását, ezért csak a perdület $\setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-irányú komponensével kell foglalkoznunk:

$\[\Delta N_{z_i}=\Delta m_i\omega_z R_i^2\]$

ahol $\setbox0\hbox{$R_i$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a tömegpont távolsága a tengelytől (4. ábra). A test teljes perdületének $\setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-komponense

$\[N_z=\sum_i\Delta m_i\omega_z R_i^2=\omega_z\sum_i\Delta m_i R_i^2\]$

Az összegzés csak a test tömegeloszlásától függ, ez a test adott tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka

$\[\Theta_z=\sum_i\Delta m_i R_i^2\]$

A tehetetlenségi nyomaték a definiáló képlet alapján integrálással meghatározható vagy táblázatokból kikereshető. A forgó test $\setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-irányú perdülete így:

$\[N_z=\Theta_z\omega_z\]$

Felírva a perdület és a forgatónyomaték kapcsolatát

$\[M_z=\frac{{\rm d}N_z}{{\rm d}t}=\frac{{\rm d}\left(\Theta_z\omega_z\right)}{{\rm d}t}=\Theta_z\frac{{\rm d}\omega_z}{{\rm d}t}=\Theta_z\beta_z\]$

Ebből következik, hogy ha a $\setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-irányú forgatónyomaték nulla, akkor a test állandó szögsebességgel forog:

$\[M_z=0\quad\Leftrightarrow\quad\omega_z={\rm const.}\]$

A forgó test mozgási energiája a tömegpontok mozgási energiájának összege

$\[E_m=\sum_i\frac{1}{2}\Delta m_i v_i^2=\frac{1}{2}\sum_i\Delta m_i\left(\omega R_i\right)^2=\frac{1}{2}\omega^2\sum_i\Delta m_i R_i^2=\frac{1}{2}\Theta\omega^2\]$

Precesszió

A pörgettyű olyan forgó test, melynek egyetlen pontja rögzített, amely körül szabadon foroghat.

Ha a pörgettyűre nem hat külső forgatónyomaték (pl. ha a rögzített pont a test tömegközéppontja), akkor perdületvektora időben állandó. Ez az ún. erőmentes pörgettyű. A perdületvektor állandóságán alapul a giroszkóp működése, melyet repülőgépekben (mesterséges horizont) és űrhajókban használnak a jármű orientációjának érzékelésére és szabályozására.

Ha a pörgettyűre külső forgatónyomaték hat (pl. tömegközéppontja alatt vagy felett van alátámasztva), akkor súlyos pörgettyűről beszélünk. Ilyen eszköz a gyerekjátékként használt búgócsiga. A gyorsan megpörgetett búgócsiga (annak ellenére, hogy a tömegközéppontja alatt van alátámasztva) nem dől fel, hanem forgástengelye egy függőleges tengelyű kúp mentén lassan körbefordul. Ez a mozgás a precesszió.

5. ábra

A precesszió jelensége az 5. ábra alapján megérthető: a gyorsan forgó, forgásszimmetrikus pörgettyűre a nehézségi erő forgatónyomatéka hat. A perdület és a forgatónyomaték közti kapcsolat

$\[\Delta\vec{N}=\vec{M}\Delta t\]$

alapján a perdületvektor változása mindig merőleges a perdületvektorra. Így a perdületvektor (és vele együtt a pörgettyű) függőleges tengely körül $\setbox0\hbox{$\Omega_p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ precessziós szögsebességgel körbefordul. A forgatónyomaték, a precesszió szögsebessége és a pörgettyű perdülete közötti kapcsolat

$\[\vec{M}=\vec{\Omega}_p\times\vec{N}\]$

amiből az látszik, hogy minél gyorsabban forog a pörgettyű, annál lassabb a precesszió. A számítások csak a gyorsan forgó pörgettyűre igazak. Ha a pörgettyű a súrlódás és a légellenállás miatt lassulni kezd, a precesszió egyre gyorsabb és szabálytalanabb lesz, míg végül a pörgettyű felborul.

Forgómozgás a hétköznapokban és a természetben

Gyorsan forgó adathordozók a számítógépben

A merevlemez és a DVD a számítógép két fontos adathordozója: az írható és olvasható adatokat mindkettőben – egészen különböző módon – gyorsan forgó lemezek tárolják. A nagy adatsűrűség és a minél gyorsabb adatelérés rendkívül gyors forgást tesz szükségessé, ami – a kis méretekkel együtt – komoly technikai kihívást jelent.

A mai merevlemezek 5400-15000 fordulat/perc sebességgel forognak. A tükörsima lemezek 10-20 nm vastag mágneses rétegei felett néhány tized nm távolságra, egy néhány atom vastagságú légpárnán siklik az író-olvasó fej – a lemez pereménél versenyautónál is nagyobb sebességgel. Emiatt a lemezeket speciális pormentes helyiségekben kell összeszerelni és légmentesen lezárni. Az adatok írása az írófejben létrehozott mágneses térrel történik, a kiolvasásnál viszont a hagyományos indukciós elven működő apró tekercs helyett már az óriás mágneses ellenállás (GMR) kvantummechanikai jelenségén alapuló eszközöket használnak (ezzel jelentősen megnövelve az elérhető adatsűrűséget és kiolvasási sebességet).

A DVD lemezek szintén akár 10000 fordulat/perc sebességgel foroghatnak. Az író és olvasó lézerfényt ilyen sebesség mellett kell a $\setbox0\hbox{$\mu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$m-nél kisebb „lyukakba” fókuszálni.

Forgómozgás a sportban

A forgómozgásnak nagyon sok sportágban van meghatározó szerepe. A gerelyhajításnál, a diszkoszvetésnél és a frizbinél a forgásnak fontos szerepe van az eldobott test repülési helyzetének stabilizálásában. Az eldobáskor megforgatott sportszerek megőrzik perdületüket, és így olyan helyzetben maradnak, hogy az aerodinamikai felhajtóerő miatt sokkal messzebbre repülnek.

Ugyanez a szerepe a lövedékek forgásának is. A (sport)fegyverek csövében található huzagolás a kirepülő lőszert nagy sebességgel megforgatja hossztengelye körül, ezzel biztosítva stabilitását.

A labdajátékoknál is fontos szerepe van a forgásnak, de itt nem a helyzet stabilitása miatt: a forogva repülő labdára a levegővel való kölcsönhatás miatt a közegellenálláson kívül oldalirányú erő is hat (Magnus-effektus), ami a labda pályáját oldalirányban eltéríti. Ennek köszönhetően lehet szögletből közvetlenül gólt lőni. A pingpongban a nyesett és csavart labdák pedig nem csak a levegőben, hanem az asztalról való visszapattanáskor is „furcsán” viselkednek.

A perdületmegmaradás tételére szép példa a piruettező mozgása: a korcsolyázó vagy a tornász kitárt karokkal és térddel (azaz nagy tehetetlenségi nyomatékkal kezd forogni. Amikor karjait, lábát behúzza, a tehetetlenségi nyomatéka lecsökken, és így a perdület állandósága miatt (lábujjhegyen vagy a korcsolya hegyén pörögve nagyon kicsi a külső forgatónyomaték) a szögsebessége megnő, pörögni kezd.

Bonyolult forgó mozgás a szaltó és a különböző szertorna gyakorlatok: a forgás sebessége itt is a végtagok behúzásával gyorsítható.

A biciklikerekek forgására később visszatérünk.

A Föld precessziója: a csillagjegyek eltolódása

A Föld forgástengelye nem merőleges az ekliptikára (az ekliptika a Föld keringési síkja), hanem a merőlegestől 23,5°-kal eltér. Ez a tengelyferdeség okozza az évszakok változását: nyáron az északi féltekén a napfény meredekebben éri a felszínt, mint télen, így erősebb a besugárzás.

A Nap látszólagos mozgása az égen bonyolultabb, mint a csillagoké: egyrészt a Föld forgása miatt naponta felkel és lenyugszik, másrészt a keringés miatt a delelés látszólagos helye az égbolton folyamatosan változik. Azok a csillagképek, amelyeken egy év alatt végighalad a Nap delelése az állatövi csillagképek. A Nap látszólagos pályája kétszer keresztezi az egyenlítőt (ilyenkor a nappalok és az éjszakák hossza megegyezik), ezek közül egyik a tavaszpont. A forgástengely meghosszabbítása északi irányban egy aránylag fényes csillag közelében halad el: ez a Sarkcsillag. A Sarkcsillag mindig ugyanott látható az égbolton, ezért jól használható tájékozódásra.

6. ábra

A Föld azonban nem gömbszimmetrikus: a forgás miatt alakja jó közelítéssel lapult forgási ellipszoid. Emiatt a Nap (és a Hold) gravitációs erejének forgatónyomatéka van, amely a Föld tengelyét az ekliptikára merőleges irányba próbálja beforgatni.

A jelenséget érdemes a Föld keringésével együtt forgó koordinátarendszerből vizsgálni: ebben a koordinátarendszerben a Föld középpontja nyugalomban van, viszont a Földre a Nap gravitációs erején kívül a (fiktív) centrifugális erő is hat.

$\[F_g=\gamma\frac{m_F m_N}{r^2}\]$

$\[F_cf=\omega^2 r\]$

A Föld középpontjában a két erő kiegyenlíti egymást (hiszen ebben a koordinátarendszerben a Föld középpontja nyugalomban van). A Föld Naphoz közelebbi felén azonban az erők távolságfüggése miatt $\setbox0\hbox{$F_g>F_cf$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, míg a távolabbi felén $\setbox0\hbox{$F_g<F_cf$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ (6. ábra). Az így kialakuló erőpárnak a Föld perdületére merőleges forgatónyomatéka van, ezért a forgó Föld tengelye a búgócsigához hasonlóan precesszálni fog.

A precesszió periódusideje kb. 26000 év. Ez azt jelenti, hogy az ókor óta a csillagjegyek kb. egy hónappal eltolódtak (pl. a tavaszpont már nem a kos csillagképbe esik). A precesszió miatt változik a forgástengely meghosszabbításának a helye is az égbolton: a Sarkcsillag csak a jelenkorban van az égi pólus közelében.

A forgástengely precessziója mellett megfigyelhető a tengelyferdeség lassú változása is: a tengelyferdeség mértéke 41000 éves periódussal ingadozik 22° és 24,5° között, ami jelentősen befolyásolja a Föld éghajlatát.

A Hold-pálya precessziója: miért nincs minden hónapban napfogyatkozás?

A Hold keringésének síkja nem egyezik meg az ekliptikával, azzal kb. 5°-os szöget zár be. A Hold-pályára a forgó Földhöz hasonlóan hat a Nap forgatónyomatéka, ezért a Hold-pálya tengelye is precesszál (18,6 éves periódusidővel).

Napfogyatkozás újholdkor lehet (amikor a Hold a Nap és a Föld között van), holdfogyatkozás pedig teliholdkor (amikor a Hold és a Nap a Föld két ellentétes oldalán van). A fogyatkozásoknak azonban az is feltétele, hogy a Hold éppen az ekliptika közelében legyen, ezért nincs minden hónapban fogyatkozás. A lehetséges időpontokat a Föld és a Hold keringéséből, valamint a Hold-pálya precessziójából adódó ciklusok határozzák meg. A fogyatkozás létrejötte és jellege, valamint megfigyelhetősége ezen kívül függ még a Nap-Föld és a Föld-Hold távolságtól, és természetesen a megfigyelő földrajzi helyétől (és az időjárástól) is. Holdfogyatkozást aránylag gyakran lehet látni, hiszen ha a Hold a Föld árnyékába kerül, akkor azt a Föld minden olyan pontjáról látni lehet, ahonnan a Hold látszik (tehát kb. a Föld feléről, ahol éppen éjszaka van). A teljes napfogyatkozás egy adott földrajzi helyen azért olyan ritka, mert a Hold látszólagos átmérője kb. megegyezik a Nap látszólagos átmérőjével (0,5°), és így a Hold árnyékkúpja csak egy nagyon kis területen éri el a Földet. (Amikor a Hold földtávolban, a Föld pedig napközelben van, akkor pedig egyáltalán nem éri el: ilyenkor csak gyűrűs napfogyatkozás látható.) A fogyatkozás során ez az árnyékkúp halad végig egy keskeny sávon, ahonnan a teljes napfogyatkozás megfigyelhető.

7. ábra

A Hold mozgására hatással vannak a Föld-Hold rendszerben kialakuló árapály erők. Az árapály jelenséget a Föld-Hold rendszerrel együtt forgó koordinátarendszerben érdemes vizsgálni: A Hold és a Föld a közös tömegközéppont körül kering (ami a tömegarányok miatt a Föld belsejébe esik). A forgó koordinátarendszerben az égitestekre a gravitációs vonzáson kívül a centrifugális erő is hat. Az Föld középpontjában a Hold vonzása és a centrifugális erő kiegyenlíti egymást (hiszen ebben a koordinátarendszerben nyugalomban van). A Hold felé néző oldalon a gravitációs erő, az ellentétes oldalon pedig a centrifugális erő nagyobb, így ezeken a helyeken az óceánok felszíne megemelkedik.

A Föld forgása miatt ezek a kiemelkedések körbejárják a Földet, így egy adott helyen naponta kétszer dagály, kétszer pedig apály figyelhető meg. (A Holdon kívül a Nap is hozzájárul az árapály-jelenséghez, amit a kontinensek is jelentősen befolyásolnak, így annak nagysága nagyon különböző: néhány cm-től akár 20 m-ig is változik.) A Földön körbehaladó dagályhullám fékezi a Föld forgását (emiatt lassan nő a napok hossza), ez viszont a rendszer összperdületének állandósága miatt a Hold pályaperdületének növekedését, és így a Földtől való folyamatos távolodást okozza.

A Holdon a tömegarányok miatt sokkal erősebb árapály erők lépnek fel. Mivel jelenleg a Holdon nincs folyékony anyag ezek az erők csak holdrengéseket okoznak. Korábban viszont az árapály erők fékezése lassította a Hold forgását, egészen addig, amíg a forgási idő meg nem egyezett a keringési idővel. Ez a kötött forgás az oka annak, hogy a Holdnak mindig ugyanazt az oldalát látjuk. (A Hold billegése miatt azonban a felszín 59 %-a látható a Földről.)

Egy tévhit: miért lehet biciklizni?

Széles körben elterjedt tévhit, hogy azért lehet biciklizni, mert a biciklikeréknek perdülete van, és ez stabilizálja a feldőléssel szemben. A bicikli azonban azért nem dől fel, mert már csekély dőléskor is a kormány elfordul a dőlés irányába, és az emiatt körpályára kényszerített biciklire ható centrifugális erő (a jelenséget a biciklivel együtt kanyarodó, azaz forgó rendszerből leírva) a dőlő biciklit felállítja.

Az igaz, hogy a kerék perdülete miatt a bicikli dőlésekor fellépő pörgettyűnyomaték közrejátszik a kormány elfordításában, de ez a hatás – különösen könnyű kerekű bicikliknél – sokkal kisebb, mint a kerék utánfutása miatt fellépő forgatónyomaték. Ez utóbbi hatásról könnyen meggyőződhetünk, ha egy álló biciklit a nyergénél megfogunk, és kicsit megdöntjük: a kormány el fog fordulni a dőlés irányába (annak ellenére, hogy az álló keréknek nincs perdülete). Ennek az az oka, hogy a kormány tengelyének meghosszabbítása az első kerék érintkezési pontja előtt metszi a talajt (a két pont távolságát nevezik utánfutásnak), és így a megdöntött biciklinél a talaj által kifejtett kényszererőnek forgatónyomatéka van a kormány tengelyére vonatkoztatva.

A biciklizés fizikája röviden és részletesebben.

---

Vissza a Kísérleti Fizika 1. nyitóoldalára

1. Tér és idő

2. Mozgás és megjelenítése

3. Megmaradási törvények a mechanikában

4. Rezgések

5. Rend és rendetlenség

6. Hideg-meleg