Transzport nanovezetékekben: Landauer-formula, vezetőképesség-kvantálás

Egy nanométeres skálájú objektum vezetési tulajdonságai több szempontból eltérnek a makroszkopikus skálán megszokott jelenségektől. Makroszkopikus vezetékek ellenállása jól leírható az Ohm-törvénnyel: az áramsűrűség a fajlagos vezetőképesség és az elektromos tér szorzata, a vezetőképesség pedig arányos a vezeték keresztmetszettel és fordítottan arányos a hosszával:

$\[\vec{j}=\sigma \cdot \vec{E}, \ \ \ G=R^{-1}=\frac{A\cdot \sigma}{L}\]$

Kvantumvezeték ellenállása

Egy hullámhosszal összemérhető szélességű, hosszú egyenes 2D kvantumvezetékben az elektronok hullámfüggvénye "hard wall" határfeltétellel:

$\[\Psi_{n,k}(x,y)=exp(i k x)\cdot sin\left(\frac{n \pi y}{W} \right)\]$

$\[\epsilon_n(k)=\frac{\hbar^2k^2}{2 m} + \frac{\pi^2 \hbar^2}{2 m W^2}\cdot n^2\]$

• X irányban: síkhullám terjedés
• Y irányban kvantált keresztmódusok

• 

  Diszperzós reláció

• 

  Diszperzós reláció a mintára feszültséget kapcsolva

• A különböző keresztmódusokhoz tartozó 1D parabolikus diszperziók: vezetési csatornák
• Fermi energiát metsző diszperziók: nyitott csatornák
• Ha feszültséget adunk a két elektróda közé akkor a bal oldali elektródából jövő állapotok ($\setbox0\hbox{$k>0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) eV-al magasabb energiáig lesznek betöltve mint a jobb oldali elektródából jövők ($\setbox0\hbox{$k<0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$)

Egy vezetési csatornában folyó áram:

$\[I^+=\frac{2 e}{L} \sum \limits_{k>0} v_k f_1(\epsilon_k) = 2e \int \frac{\mathrm{d}k}{2 \pi}\frac{\partial \epsilon_k}{\hbar \partial k} f_1(\epsilon_k) = \frac{2 e}{h}\int \mathrm{d} \epsilon f_1(\epsilon)\]$

$\[I^-=\frac{2 e}{L} \sum \limits_{k<0} v_k f_2(\epsilon_k) = \frac{2 e}{h}\int \mathrm{d} \epsilon f_2(\epsilon)\]$

$\[I=I^+-I^-=\frac{2 e}{h} \int \mathrm{d} \epsilon (f_1(\epsilon)-f_2(\epsilon))=\frac{2 e}{h}e V, \;\; G_0=\frac{2 e^2}{h}\]$

A csatornák nem tudnak egymásba átszóródni, mert ez sértené az impulzusmegmaradást, így függetlennek tekinthetjük őket.

$\[G=\frac{2 e^2}{h}M\]$

Landauer formula

Egycsatornás vezeték egy szórócentrummal

$\[\mathrm{d}I_1^+(\epsilon)=\frac{2 e}{h}\cdot f_1(\epsilon)\mathrm{d}\epsilon,\;\; \mathrm{d}I_2^-(\epsilon)=\frac{2 e}{h}\cdot f_2(\epsilon)\mathrm{d}\epsilon\]$

$\[\mathrm{d}I_1^-(\epsilon)=\mathrm{d}I_1^+(\epsilon)\cdot (1-T) + \mathrm{d}I_2^-(\epsilon)\cdot T,\;\; \mathrm{d}I_1=\mathrm{d}I_1^+ - \mathrm{d}I_1^- = \frac{2 e}{h} \cdot T \cdot [f_1(\epsilon)-f_2(\epsilon)]\mathrm{d}\epsilon\]$

$\[I=\int \mathrm{d}I_1(\epsilon) = \frac{2 e}{h} \cdot \int T\cdot [f_1(\epsilon)-f_2(\epsilon)]\mathrm{d}\epsilon = \frac{2 e}{h}\cdot eV \cdot T\]$

$\[G=\frac{2 e^2}{h}\cdot T\]$

Két ideális kvantumvezeték kvantált keresztmódusokkal, köztük egy $\setbox0\hbox{$t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ transzmissziós mátrix-szal leírható keskeny csatorna:

$\[|out \rangle_R = \hat{t} |in \rangle_L\]$

A vezetőképességet a Landauer formula adja meg:

$\[G = \frac{2 e^2}{h} \mathrm{Tr}(\hat{t}^\dagger \hat{t}) = \frac{2 e^2}{h} \sum \limits_{i=1..N} T_i\]$

• Megfelelő sajátbázisban a vezetőképesség transzmissziós sajátértékek összege, ún. „mezoszkópikus PIN kód”.

Az elektronok részecsketermészete $\setbox0\hbox{$\longrightarrow$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ "sörét" zaj

• Áram mérésekor vagy teljesen transzmittált, vagy teljesen reflektált elektront detektálunk, "fél" elektront soha.
• Időegység alatt transzmittált elektronok számának várható értéke:

$\[\langle N \rangle \sim G \sim T\]$

de $\setbox0\hbox{$T=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vagy $\setbox0\hbox{$T=1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kivételével véges szórást is tapasztalunk:

$\[\langle(N-\langle N \rangle)^2\rangle \sim T\cdot(1-T)\]$

Vezetőképesség kvantálás kvantum pont-kontaktusban

Kvantum pont-kontaktus: két elektródát egy keskeny, hullámhosszal összemérhető szélességű csatorna köt össze, melynek a szélességét középen egy kapuelektródára tett feszültséggel változtathatjuk.

• A kontaktus közepe felé haladva ez elektron keresztirányú energiája nő, hosszirányú kinetikus energiája pedig csökken.
• Adiabatikusan változó csatornaszélességnél a csatornák nem tudnak egymásba szóródni, függetlennek tekinthetők.
• A kontaktus közepénél a legtöbb csatorna keresztirányú energiája nagyobb mint a Fermi energia, ezek a módusok visszaverődnek a kontaktusról.
• A kontaktus közepén is nyitott csatornák T=1 valószínűséggel átjutnak, hiszen a visszaverődés jelentős impulzusváltozással járna.

Nyitott csatornák száma a kontaktus közepén:

$\[G=\frac{2 e^2}{h}N_c\]$

Vezetőképesség kvantálás!