Számítógépes mérések
A mérés célja:
- megismerkedni laboratóriumban használt Vernier LabPro számítógépes adatgyűjtő rendszerrel, és gyakorlatot szerezni a számítógéppel gyűjtött adatok feldolgozásában.
Ennek érdekében:
- egyszerű méréseket végzünk a számítógépes adatgyűjtő rendszerrel (RC kör időállandójának mérése az exponenciális kisülés vizsgálatával, ill. hangtani mérések mikrofonnal),
- kiértékeljük a mérési eredményeket Origin szoftver segítségével.
Tartalomjegyzék |
Elméleti összefoglaló
Bevezetés
A laboratóriumi gyakorlat során személyi számítógéphez csatlakoztatott mérési adatgyűjtő interfész segítségével végzünk méréseket. A számítógépek felépítéséről és működésük alapelveiről hasznos információkat tartalmaz egy korábbi mérésleírás "Rakjunk össze számítógépet!" címmel. A következőkben két számítógépes mérési feladatot, illetve a méréshez használt Vernier LabPro interfész használatát ismertetjük.
Kondenzátor kapacitásának mérése exponenciális kisülés vizsgálatával
Tekintsük az 1. ábrán vázolt kapcsolást, melyen egy soros RC kört egy négyszögjel segítségével hajtunk meg. A négyszögjel feszültsége 
és 0 feszültség között váltakozik. A négyszögjelet biztosító generátor kimenetére kötjük a vizsgált rendszerünket, mely egy sorba kapcsolt kapacitásból (
) és ellenállásból (
) áll. A jelgenerátor 
kimenő feszültségét ill. a kondenzátoron eső 
feszültséget számítógépes adatgyűjtő rendszerrel mérjük.
A négyszögjel ráadásakor a kapacitás feltöltődik feszültségre, majd mikor a generátor feszültsége 0-ra esik, a kondenzátor kisül az ellenálláson keresztül. Az ellenállás értékét úgy választjuk, hogy lényegesen nagyobb legyen a függvénygenerátor belső ellenállásánál (50 Ω-nál), így a kisülés sebességét csak és értéke határozza meg. A kondenzátor feszültsége:
![\[U = \frac{1}{C} Q\]](/images/math/8/9/e/89edd51f006b1de920443f932c5a0db4.png)
így a feszültség deriváltja:
![\[\dot U = \frac{1}{C} \dot Q = \frac{1}{C} I = - \frac{U}{R C}\]](/images/math/3/6/1/361f21364140373bd2bf43c7a5dc6eef.png)
Ez alapján a kondenzátor feszültségének időfüggése a kisülés közben:
![\[U(t) = U_0 \cdot e^{-\frac{t}{RC} }\]](/images/math/4/d/4/4d4c6fe7778f4305f9b20535512bf6ee.png)
A kisülés karakterisztikus idejét a 
időállandó jellemzi. Az exponenciális kisülést számítógéppel felvéve az időállandó, ill. ismert ellenállás esetén a kapacitás értéke meghatározható.
Hangtani mérések mikrofon segítségével
A mérés során egy hangvilla ill. egy fújással megszólaltatott kémcső által kiadott hangokat rögzítünk és analizálunk számítógéphez csatlakoztatott mikrofon segítségével.
Egy hangszer által kiadott tiszta hang egy 
frekvenciájú periodikus jelnek felel meg, melyben az alaphangnak megfelelő frekvenciás szinuszos rezgés mellett az alaphang felharmonikusai is szerepelnek. Ez matematikailag a Fourier-sorfejtés segítségével fogalmazható meg. Vegyünk egy tetszőleges frekvenciás 
jelet, melyre:
![\[f ( t ) = f \left( t + \frac{n}{\nu} \right)\]](/images/math/4/6/b/46b352e85fcf713f4b71349858d457c5.png)
tetszőleges 
egész számra. Ez a függvény kifejthető a következő ún. Fourier-sorral:
![\[f ( t ) = \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty} A_n \sin \left( 2 \pi n \nu t + \varphi_n \right)\]](/images/math/8/2/c/82c25e4de7b39d06fc5d7bba17bb9060.png)
ahol az 
ill. 
megadják, hogy a jelben milyen amplitúdóval és milyen fázistolással szerepel az 
frekvenciájú felharmonikus. Azonos hangmagasságon megszólaltatott különböző hangszerek a felharmonikusok eltérő amplitúdói és fázisai miatt szólnak másként.
Ha a jelünk nem periodikus, akkor is felbonthatjuk különböző frekvenciájú komponensekre. Ezt a műveletet hívjuk Fourier-transzformációnak:
![\[F(\nu)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-{\rm i}2\pi\nu t} {\rm d}t\]](/images/math/e/a/f/eaf1cd1c17b0270a40d9d1d7b9f82dfd.png)
ahol 
megadja, hogy egy adott 
frekvenciájú komponens mekkora járulékot ad a jelünkhöz. komplex szám, melynek abszolút értéke adja meg a frekvenciás komponens amplitúdóját, fázisa pedig a fázistolást. Ha a Fourier-transzformációt egy periodikus jelre alkalmazzuk, akkor az alapfrekvenciánál (), és a felharmonikusoknál () kapunk csúcsokat, melyek nagysága megadja a különböző felharmonikusok amplitúdóját.
Mérésekben a jelünket csak diszkrét 
pontokban ismerjük, így a fenti folytonos Fourier-integrált is ún. diszkrét Fourier-transzformáció (DFT) helyettesíti:
![\[F(\nu)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{N} f(t_n) e^{-{\rm i}2\pi\nu t_n} \cdot\Delta t_n\]](/images/math/a/3/2/a323933292f99945c358ae14850d1cf7.png)
A diszkrét Fourier-transzformáció hatékony kiszámítására különböző algoritmusokat használhatunk, melyek közül kiemelkedően fontos az ún. FFT, "Fast Fourier Transformation".
A diszkrét Fourier-transzformáció fontos összefüggése a Nyquist-Shannon-féle mintavételezési tétel. Ha egy időfüggő jelből 
idő alatt 
-szer veszünk mintát ekvidisztáns 
időközönként, akkor a vett mintából a teljes spektrum csak 
maximális frekvenciáig, 
feloldással rekonstruálható. Másként kimondva, ha egy 
frekvenciánál nagyobb frekvenciakomponenst nem tartalmazó (sávkorlátozott) jelet akarunk mintavételezni, akkor legalább 
mintavételi frekvenciával kell mérni. A mérés hossza pedig a frekvenciafölbontást javítja.
A mérésben egy hangvilla és egy kémcsőben levő levegőoszlop rezgéseit vizsgáljuk. A hangvillára jellemző, hogy rezgési spektrumában csak az alaphang szerepel, nincsenek felharmonikusok. A kémcsövet egy egyik oldalán zárt sípnak tekinthetjük, melyben ideális esetben 
hullámhosszú állóhullámok alakulhatnak ki, ahol 
a kémcső hossza, pedig egy egész szám. A fenti feltétel abból ered, hogy a kémcső szájánál az állóhullámok duzzadóhelyei, a kémcső alján pedig csomópontok találhatók. Az így kialakuló rezgések frekvenciái:
![\[\nu=\frac{c}{\lambda}=\frac{c}{4L}(2n+1)\]](/images/math/6/1/5/615d9099d476da67e1e4e27a6a99aedd.png)
ahol 
a hang terjedési sebessége levegőben. Látszik, hogy félig zárt síp hangjában csak az alaphang páratlan felharmonikusai szerepelnek. A kémcsőben kialakuló rezgések frekvenciáit, illetve a kémcső hosszát megmérve meghatározható a hang terjedési sebessége.
A Vernier LabPro interfész használata
A méréseket a 2. ábrán látható Vernier LabPro interfész segítségével végezzük, melyhez különböző szenzorok csatlakoztathatók. A mérés során két feszültségszenzort ill. egy mikrofont használunk. Az interfész soros vagy USB porton keresztül csatlakoztatható a számítógéphez, és a szenzorok jelét a Logger Pro szoftver segítségével rögzítjük.
A szoftver elindítása után először be kell állítani, hogy milyen szenzorral (szenzorokkal) kívánunk mérni. Az 3. ábrán látható ablakhoz a Setup/Sensors gombokkal juthatunk el. Az ábrán látható beállításban az interfész CH1-es és CH2-es bemenetén feszültséget mér.
A következő feladat az adatgyűjtés paramétereinek megadása. A Setup/Data Collection/Sampling gombokkal a 4. ábrán látható ablakhoz jutunk. Itt állíthatjuk be a mérés hosszát és a mintavételezési frekvenciát. (A többi beállítást hagyjuk alapértéken!)
 |
 |
| 3.ábra: A szenzorok beállítása | 4.ábra: Az adatgyűjtés beállítása |
Mindkét mérésnél célszerű a mérőrendszert oszcilloszkóphoz hasonló üzemmódban használni. Ehhez a Setup/Data Collection/Mode menüben állítsunk be ismétlődő mintavételezést (repeat), melynek hatására a Sampling menüben beállított mérési hossz eltelte után újra kezdi a mérést a rendszer. A mintavételezést Setup/Data Collection/Triggering menü segítségével szinkronizálhatjuk a mért jel periódusával. Az 5. ábrán látható beállítás esetén a mintavételezés mindig akkor kezdődik, mikor a mért jel (CH1) értéke pozitív meredekséggel átlépi a beállított 3 V-os küszöbszintet.
A View/Graph Options/Axis Options gombok segítségével jeleníthetjük meg a 6. ábrán látható ablakot, ahol a grafikon tulajdonságait állíthatjuk be.
 |
 |
| 5.ábra: Trigger beállítása | 6.ábra: A grafikon beállítása |
A mérést a fő ablakban (7. ábra) található Collect/Stop gombbal indíthatjuk el, ill. állíthatjuk le.
 |
| 7.ábra: Logger Pro főmenü |
A mérés végén az adatokat nem a Save utasítással kell elmenteni (ekkor olyan fájlt kapnánk, amit később is csak ezzel a programmal tudnánk megnyitni), hanem exportálni kell (File/Export Data)! Az így elmentett textfájlokat később bármely más adatkezelő programmal (Origin, Excel, stb.) meg lehet nyitni.
Mérési feladatok
A méréshez rendelkezésre álló eszközök
- A mérés elvégzéséhez és a mérési napló elkészítéséhez a dőlt betűs részekben adunk segítséget.
1. RC kör időállandójának meghatározása
Állítsuk össze a 1. ábrán szereplő kapcsolást. A jelgenerátor kimenő feszültségét és a kondenzátoron eső feszültséget kössük a VernierPro interfész bemeneteire. (Vegyük figyelembe, hogy mind a Vernier interfész bemeneteinek negatív pontjai (fekete banándugók), mind a függvénygenerátor kimenetének negatív pontja (BNC csatlakozó árnyékolása) közvetlenül a hálózati földhöz csatlakoznak, azaz a konnektorok földelésén keresztül rövidre vannak zárva!) A LoggerPro adatgyűjtő szoftverben az interfész megfelelő bemeneteit állítsuk feszültségmérő üzemmódba. (Setup → Sensors → Voltage (-10 – 10V)). Állítsunk be megfelelő mintavételezési sebességet (Setup → data collection → sampling), és állítsunk be oszcilloszkóp-szerű ismétlődő adatgyűjtést (Setup → data collection → mode → repeat). A jelgenerátor kimenő feszültségét használjuk trigger jelnek (Setup → data collection → triggering).
A jelgenerátor amplitúdójának és offset értékének beállításával érjük el, hogy a négyszögjel platói 5 V ill. 0 V feszültségértékeknél helyezkedjenek el. Keressünk megfelelő ellenállásértéket, mellyel a mérendő kapacitás kisülésének időállandója összemérhető a négyszögjel periódusidejének ~1/10 részével, és így az exponenciális kisülés jól látható.
Rögzítsük az exponenciális kisülést számítógéppel, vigyük át az adatokat Originbe, határozzuk meg a kisülés időállandóját. Ehhez válasszuk ki a kisüléshez tartozó görbeszakaszt, és erre illesszünk 
függvényt. Az ismert ellenállásértéket behelyettesítve számítsuk ki a mérésben használt kondenzátor ismeretlen kapacitását, és becsüljük meg a meghatározott kapacitásérték hibáját.
A 2. képlet alapján a kondenzátor feszültségének a deriváltja arányos a kondenzátor feszültségével, és az arányossági tényező a rendszer időállandója. Ezt az összefüggést ellenőrizzük a kisülési görbe numerikus deriválásával.
A fenti mérési feladatokat végezzük el mind a C1, mind a C2 jelzésű kondenzátorokon. (A kondenzátorok bekötésénél ügyeljünk a polaritásra!) Az első kondenzátoron végzett méréseket még a mérési gyakorlat során értékeljük ki, felmerülő problémák esetén kérjük a gyakorlatvezető segítségét.
- Rajzoljuk fel az összeállított kapcsolást! A kapcsolási rajzon jelöljük a feszültségmérő és a jelgenerátor földpontjait! Ha ezek nem azonos pontban vannak, akkor módosítsuk a kapcsolást!
- Gondoljuk végig, hogy a mérési idő (experiment length) és a mintavételezési sebesség (sampling speed) beállításánál milyen szempontokat érdemes figyelembe venni. (Az interfész egy mérés során maximum 12000 pontot tud tárolni, ami két szenzor esetén szenzoronként 6000 pontot jelent.) Az első mérés kiértékelése után a kapacitás értékének ismeretében gondoljuk át, hogy a meghajtó frekvencia, a mintavételezési paraméterek és/vagy a soros ellenállás értékének megváltoztatásával javíthatunk-e a mérés pontosságán!
- Mennyiben befolyásolja a mérés pontosságát, ha a meghajtó jel negatív értéke nem pontosan 0 feszültségnél van? A kiértékelésnél hogyan lehet korrigálni a nulla szint pontatlanságát?
- Az exponenciális görbe illesztés előtt az adatok alapján becsüljük meg az illesztési paramétereket, és ezeket a becssült értékeket használjuk a nemlineáris görbeillesztés kiinduló paramétereiként! Ellenőrizzük hogy a görbeillesztés eredménye összhangban van-e a becslésünkkel!
- A hibabecslésnél vegyük figyelembe, hogy az összes mért feszültségértéknél felléphet egy digitalizálásból adódó (ún. digitális) hiba, és esetleg egy ofszet hiba is, mely az összes mért feszültségérték konstans értékkel történő eltolásához vezet. Ezen hibákra a műszer specifikációjából nyerünk információt. Egyszerű ellenőrzés az offset hibára: mérjük meg ugyan azt a (konstans) feszültséget egy másik műszerrel is (pl. Hameg multiméter).
2. Hangtani mérések mikrofonnal
Csatlakoztassuk a mikrofont a VernierPro interfészhez, és a Logger Pro szoftverben állítsuk a megfelelő bemenetet "microphone" üzemmódba.
Szólaltassuk meg a hangvillát, és vegyük fel a hangját a mikrofon segítségével. Vigyük át az adatokat Originbe, és határozzuk meg a hangvilla sajátfrekvenciáját. Ehhez először nemlineáris görbeillesztés segítségével illesszünk 
függvényt a mért adatokra. Ezután Fourier-transzformáljuk az adatokat, és a Fourier-transzformáltból olvassuk le a sajátfrekvenciát. Az illesztéssel és a Fourier-transzformációval kapott frekvenciákat hasonlítsuk össze.
- Keressük meg, hogy hova érdemes tenni a mikrofont!
- A hangvillánál a két kar szimmetrikus rezgési módusa a többi módusnál lényegesen nagyobb jósági tényezővel rendelkezik, hiszen ekkor a rezgés sem erővel sem forgatónyomatékkal nem hat a hangvilla rögzítési pontjára. A hangvilla megszólaltatása után rövid ideig azonban más módusok is jelentkezhetnek, ezek lecsengését érdemes megvárni.
- Válasszunk olyan mintavételi paramétereket, hogy a hangvilla sajátfrekvenciáját a lehető legpontosabban tudjuk mérni (a Nyquist-Shannon-féle mintavételezési tételt figyelembe véve). Mekkora a legkisebb mintavételi frekvencia, amellyel a hangvilla sajátfrekvenciája meghatározható? Határozzuk meg a sajátfrekvenciát a lehető legkisebb hibával! Mekkora ez a hiba? (Érdemes több beállítást is kipróbálni!)
Szólaltassuk meg a kémcsövet (fújjunk bele!), és vegyük fel a rezgéseit mikrofonnal. Fourier-transzformációval határozzuk meg az alaphang ill. a felharmonikusok frekvenciáit és relatív amplitúdóit. Az így kapott frekvenciákat hasonlítsuk össze az elméleti várakozásokkal. Az alaphang frekvenciáját és a kémcső hosszát megmérve határozzuk meg a hang terjedési sebességét.
- Itt is törekedjünk a mintavételezés olyan beállítására (mérési idő, mintavételezési frekvencia), hogy a legkisebb hibával meghatározhatóak legyenek az alaphang és a felharmonikusok (az első öt) frekvenciái! Próbáljunk ki különböző mintavételezési paramétereket, hasonlítsuk össze az eredményeket!
- A mérésnél alapvető jelentőségű a kémcső megfelelő megszólaltatása, kísérletezzük ki, hogy hogyan lehet "szép hangot" elérni! A mérést célszerű két embernek végezni, az egyik hosszan fújja a kémcsövet, a másik pedig ismétlődő üzemmódban (repeat) figyeli a jelet, és egy állandósult jel beállása után rögzíti az adatokat.
A kémcsőbe vizet töltve határozzuk meg az alapfrekvencia függését a kémcső hosszától (az üres kémcső mellett vizsgáljunk három különböző vízszintet), és hasonlítsuk össze eredményeinket az elméleti összefüggésekkel!
