Spintronika

Spindiffúziós hossz

Egy makroszkopikus vezetőben az elektronok számtalanszor szóródnak miközben eljutnak az egyik elektródából a másikba. Ahogy a nanovezetékek tárgyalásának bevezetésekor láttuk, a szennyezőkön és rácshibákon történő rugalmas szórás az elektronok elektromos tértől nyert impulzusának elvesztéséhez vezet. Ennek a folyamatnak a karakterisztikus skáláját az átlagos momentumrelaxációs szabadúthossz, $\setbox0\hbox{$l_m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ jellemzi. Rugalmatlan szórások esetén (pl. kölcsönhatás rácsrezgésekkel) az elektronok energiája megváltozik, és így elveszik a fázisinformáció, azaz megszűnik az interferenciaképesség. Ennek a folyamatnak a karakterisztikus skálája az ún. fázisdiffúziós hossz, $\setbox0\hbox{$L_{\phi}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Megfelelő távolságon belül az elektronok a mágneses momentumuk, azaz a spinjükhöz tartozó információt is elvesztik, amit a spindiffúziós hosszal, $\setbox0\hbox{$L_s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ jellemezhetünk. Egy spindiffúziós hossznál kisebb, mágnesesen rendezett építőelemeket tartalmazó nanoszerkezetben azonban számos érdekes, az elektronok spin szerinti polarizáltságához kötődő jelenséggel találkozhatunk.

Spinpolarizáció ideális nanovezetékekben

A korábbiakban láttuk, hogy ha két elektróda közé egy ideális, szórásmentes nanovezetéket helyezünk, akkor abban keresztirányban állóhullámok, hosszirányban pedig síkhullám terjedés alakul ki, a vezetőképesség pedig $\setbox0\hbox{$G=(2e^2/h)M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ahol M a nyitott vezetési csatornák száma, azaz azon különböző keresztmódusokhoz tartozó egydimenziós parabolikus diszperziók száma, melyek metszik a Fermi-energiát. A kettes szorzó a spin szerinti degenerációból adódott.

Egy ferromágneses nanovezetékben azonban különbséget kell tenni a fel és a le spinű elektronok között. A vezeték mágnesezettségét legegyszerűbben Stoner-képben vehetjük figyelembe, azaz az energidiszperziókhoz hozzáadjuk a kicserőlédési energiát, mely $\setbox0\hbox{$\varepsilon_{\mathrm{ex}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-el különbözik a fel illetve le spinű ($\setbox0\hbox{$\sigma =\pm 1/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) elektronokra:

$\[\varepsilon_n^{\sigma}(k)=\varepsilon(k)+\varepsilon_n-\sigma\varepsilon_{\mathrm{ex}}.\]$

Emlékeztetőül: $\setbox0\hbox{$\varepsilon(k)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a hosszirányú terjedést, $\setbox0\hbox{$\varepsilon_n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pedig a keresztirányú állóhullámok energiáját írja le. Fontos megjegyezni, hogy $\setbox0\hbox{$\varepsilon(k)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ lehet tetszőleges Bloch-állapot diszperziója, nem kell feltétlenül szabad elektronoknak megfelelő parabolikus diszperziót feltételezni.

1. ábra. Ferromágneses nanovezetékben a le spinű elektronok diszperziós relációja (piros) a kicserélődési energiával eltolódik a fel spinű elektronokéhoz képest (kék)

Az 1. ábra parabolikus szabad elektron diszperzió esetén szemlélteti az energiaviszonyokat. A kék görbék a fel, a piros görbék pedig a le spinű elektronokhoz tartoznak, azaz a piros parabolák mindig $\setbox0\hbox{$\varepsilon_{\mathrm{ex}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ energiával a megfelelő kék parabola felett helyezkednek el. A korábbiaknak megfelelően a $\setbox0\hbox{$k>0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ állapotok a bal oldali elektródából származnak, így annak a $\setbox0\hbox{$\mu_L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kémiai potenciáljáig vannak betöltve, míg a $\setbox0\hbox{$k<0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ állapotok a jobb oldali, $\setbox0\hbox{$\mu_R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kémiai potenciálú elektródából származnak.

2. ábra. Diszperziós görbék ferromágneses nanovezetékben a Fermi-energia körül. Fel spinű elektronoknak (kék) több nyitott vezetési csatorna áll rendelkezésre mint le spinű elektronoknak (piros).

Értelemszerűen egy ferromágneses nanovezetékben a nyitott csatornák száma különbözhet a különböző spinű elektronokra (2. ábra), így az áram

$\[ I=\sum_{\sigma =\frac{1}{2},-\frac{1}{2}} \frac{e^2}{h}M^{\sigma}V \]$

alakban írható, ahol $\setbox0\hbox{$M^{\sigma}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ (illetve máshogy jelölve $\setbox0\hbox{$M^{\uparrow}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$M^{\downarrow}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) a fel és le spinű elektronokhoz tartozó nyitott csatornák száma.

Fontos megjegyezni, hogy itt figyelembe vettük, hogy a nanovezetéken belül az elektronok spinállapota nem változik, ennek köszönhető hogy a fel és le spinű elektronokat egymástól független csatornaként kezelhetjük az áram felírásakor: $\setbox0\hbox{$I=I^{\uparrow}+I^{\downarrow}=(e^2/h)(M^{\uparrow}+M^{\downarrow})V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Látjuk, hogy ferromágneses ideális nanovezetékben a vezetőképesség $\setbox0\hbox{$e^2/h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szerint kvantált.

Az elektronok spin szerinti polarizáltságának fokát

$\[ P_c=\frac{I^{\uparrow}-I^{\downarrow}}{I^{\uparrow}+I^{\downarrow}} \]$

képlettel definiálhatjuk, ami ideális nanovezetékben $\setbox0\hbox{$P_c=(M^{\uparrow}-M^{\downarrow})/(M^{\uparrow}+M^{\downarrow})$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ formában is írható. Ez a spinpolarizáció $\setbox0\hbox{$-1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ közötti értékeket vehet föl, tökéletes spinpolarizáció ($\setbox0\hbox{$P_c=\pm 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) félfémben érhető el, amikor csak fel (vagy le) spinű elektronok találhatók a Fermi-energia környékén. Fontos megjegyezni, hogy mindig a fel spint vesszük többségi spinorientációnak, mely a ferromágneses tartomány mágnesezettség-irányának felel meg. Később látni fogjuk, hogy a spinpolarizáció lehet a mágnesezettséggel ellentétes előjelű.

Landauer formula spinpolarizált esetben

Egy mágneses nanovezeték valósághűbb leírását kapjuk, ha szórást is megengedünk a vezetéken belül. Ezt a legegyszerűbben a korábban megismert Landauer formalizmus keretében tehetjük meg. A Landauer képben az elektrontranszportot $\setbox0\hbox{$\mathcal{T}_{m,n}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ transzmisszós valószínűségekkel írjuk le, melyek a bal oldali $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-edik vezetési csatornából a jobb oldali $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-edik csatornába történő szóródás valószínűségét adják meg. Míg $\setbox0\hbox{$\mathcal{T}_{m,n}=\delta_{m,n}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a fent tárgyalt ideális kvantumvezetéknek felel meg, ha a vezetéken belül az elektronok rácshibákon, illetve szennyezőkön szóródnak, akkor $\setbox0\hbox{$\mathcal{T}<1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ transzmissziós valószínűségeket kapunk. Fontos megjegyezni, hogy a Landauer-kép inelasztikus szórásokat (pl. elektron-fonon kölcsönhatás) és spinszórásokat nem tud figyelembe venni.

Vizsgáljuk meg a 3. ábrán szemléltetett rendszer vezetési tulajdonságait: a nanovezeték két nemmágneses ideális kvantumvezeték között egy ferromágneses tartományt tartalmaz, melyben szóródhatnak az elektronok.

3. ábra. Ferromágneses nanovezetékben a fel és le spinű elektronok transzmissziós valószínűségei különbözhetnek

Mivel spinszórás nem történik, az áramot továbbra is egymástól függetlenül számolhatjuk a két spincsatornára a transzmissziós valószínűségek figyelembe vételével:

$\[ I^\sigma=\frac{e^2}{h}\sum_{n,m=1}^{M^\sigma}T_{m,n}^\sigma V. \]$

A $\setbox0\hbox{$\mathcal{T}_{m,n}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értékek függnek az elektronok Fermi-hullámhosszától, ami egy adott $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-edik csatorna esetén jelentősen eltérhet a két spin-orientációra a kicserélődési felhasadás miatt. Ez alapján spinszórás (pl. spin-pálya kölcsönhatás) nélkül is a transzmisszós valószínűségek különböznek a két spincsatornára, ezt vesszük figyelembe a $\setbox0\hbox{$\sigma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ indexszel.

A spinfüggő áramot átírhatjuk

$\[ I^\sigma=\frac{e^2}{h}M^\sigma \bar{T}^\sigma V \]$

formába, ahol $\setbox0\hbox{$\bar{\mathcal{T}}^\sigma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az átlagos transzmissziós valószínűség a $\setbox0\hbox{$\sigma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ spin-orientációhoz tartozó összes nyitott vezetési csatornára. Ezzel a jelöléssel az áram spin szerinti polarizáltságát

$\[ P_c=\frac{I^{\uparrow}-I^{\downarrow}}{I^{\uparrow}+I^{\downarrow}}=\frac{M^{\uparrow}\bar{T}^\uparrow-M^{\downarrow}\bar{T}^\downarrow}{M^{\uparrow}\bar{T}^\uparrow+M^{\downarrow}\bar{T}^\downarrow}. \]$

formában írhatjuk. Spinpolarizált áramot a két spincsatorna között a nyitott vezetési csatornák számában illetve az az átlagos transzmissziós valószínűségben fellépő különbség egyaránt eredményezhet.

Kevés vezetési csatorna (pl. egyatomos kontaktus) esetén a $\setbox0\hbox{$\bar{T}^\uparrow$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\bar{T}^\downarrow$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ közötti különbség jelentős spinpolaizációt okozhat akkor is, ha a vezetési csatornák száma megegyezik a két spinirányra. Sok csatornás struktúrákban viszont $\setbox0\hbox{$\bar{T}^\sigma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sok, különböző Fermi-hullámszámú csatornára vett átlag, így a spindiffúziós hossznál kisebb struktúrákban, ahol csak a rugalmas szórásokat vesszük figyelembe, az átlagos transzmisszós valószínűséget közel azonosnak várjuk a két spinirányra. Ennek megfelelően az áram spinpolarizációjához az elsődleges járulékot a vezetési csatornák számának különbsége adja:

$\[ P_c\approx \frac{M^{\uparrow}-M^{\downarrow}}{M^{\uparrow}+M^{\downarrow}}, \]$

akkor is ha nem ideális a vezeték, azaz $\setbox0\hbox{$\bar{T}^\uparrow\approx\bar{T}^\downarrow<1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

Korábbi megfontolások alapján a vezetési csatornák számát formálisan:

$\[ M^\sigma=\frac{2\pi\hbar}{L}\sum_{n=1}^{M^\sigma}v_n^{\sigma}g_n^{\sigma} \]$

alakban írhatjuk. Vezessünk be egy átlagos Fermi-sebességet, mely a különböző csatornák Fermi-sebességeinek átlaga a csatornák állapotsűrűségével súlyozva,

$\[ \bar{v}_F^\sigma=\frac{\sum_{n} g_n^\sigma v_n^\sigma}{\sum_{n} g_n^\sigma}. \]$

Figyelembe véve, hogy $\setbox0\hbox{$\sum_{n} g_n^\sigma=g_F^\sigma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a Fermi szint teljes állapotsűrűsége, az áram spinpolarizációjára vonatkozó formulánkat átírhatjuk

$\[ P_c\approx\frac{M^{\uparrow}-M^{\downarrow}}{M^{\uparrow}+M^{\downarrow}}=\frac{g_F^{\uparrow}\bar{v}_F^{\uparrow}-g_F^{\downarrow}\bar{v}_F^{\downarrow}}{g_F^{\uparrow}\bar{v}_F^{\uparrow}+g_F^{\downarrow}\bar{v}_F^{\downarrow}} \]$

alakba. Ez a formula lehetőséget ad arra, hogy a spinpolarizációt sávszerkezet-parameterek (Fermi-felület állapotsűrűsége és Fermi-sebesség) alapján értelmezzük.

Ferromágneses anyag sávmodelljét szemlélteti a 4. ábra. Mindkét panelen az energiatengelytől jobbra a fel, míg balra a le spinű elektronok állapotsűrűsége látszik. Az $\setbox0\hbox{$s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-elektronokhoz tartozó parabolikus energiafüggésű állapotsűrűség mellett a keskeny $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ (vagy $\setbox0\hbox{$f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) sávokhoz tartozó állapotűrűség-csúcsokat láthatjuk, az utóbbi energiában felhasad a kicserélődési kölcsönhatás miatt. Az anyag mágnesezettsége a betöltött (Fermi-energia alatti) fel és le spinű elektronok számának különbségéből adódik. Mindkét panelen a fel spinű elektronok vannak nagyobb számban, azaz a fel spint tekintjük többségi spinorientációnak. Ezzel szemben a transzport-tulajdonságokhoz, így az áram spinpolarizációjához csak a Fermi-felület közelében levő elektronok adnak járulékot. Az a) panelen a fel spinű elektronok vannak jelen nagyobb számban a Fermi-szintnél, így pozitív a spinpolarizáció. Ezzel szemben a b) panelen a Fermi-energia máshol helyezkedik el a $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-sávokhoz képest, így végül a le spinű elektronok állnak rendelkezésre nagyobb számban a Fermi-energiánál, azaz a pozitív mágnesezettség ellenére negatív spinpolarizációt kapunk. Negatív spinpolarizációt valós anyagokban is tapasztalhatunk, pl. Co és Ni esetében.

4. ábra. Pozitív (a) és negatív (b) spinpolarizációval rendelkező mágnesesen rendezett anyagok sávszerkezetének szemléltetése

Spinpolarizált transzport alkalmazása: spinszelep

A spin szabadsági fok kihasználásával számos érdekes eszközt építhetünk. A továbbiakban a gyakorlati felhasználás szempontjából legelterjedtebb, merevlemezek olvasófejében alkalmazott eszközt, a spin-szelepet mutatjuk be.

Az alapötlet, az óriás mágneses ellenállást mutató nanoszerkezet felfedezése Albert Fert¹ és Peter Grünberg² nevéhez kötődik, akik 2007-ben Nobel-díjat kaptak felfedezésükért. A szerkezet két ferromágneses rétegből áll, melyeket egy, a spindiffúziós hossznál vékonyabb paramágneses réteg köt össze (lásd 5/a. ábra). A tapasztalatok alapján ennek a nanostruktúrának az ellenállása lényegesen nagyobb akkor, ha a két mágneses réteg mágnesezettsége azonos irányba mutat, mint ha ellentétes irányba mutatnak. Ezt a jelenséget lehet kihasználni mágnesesen tárolt információ kiolvasására, ha a felső réteg mágnesezettségét rögzítjük, az alsó réteg mágnesezettsége pedig az alatta mozgatott adattároló lemez mágnesezettségének megfelelően áll be, így az információ egyszerű ellenállás-méréssel kiolvasható. Ezzel a módszerrel a merevlemezek tárolókapacitásának jelentős növekedését lehetett elérni az eredeti induktív, illetve a későbbi anizotróp mágneses ellenállás mérésen alapuló módszerekhez képest.

5. ábra

Először tegyük fel, hogy mindkét ferromágneses réteg mágnesezettsége felfelé mutat. Az 5/b. ábra szemlélteti a fenti Stoner-modell keretében a kicserélődési energia alakulását a fel spinű elektronokra (kék görbe) illetve a le spinű elektronokra (piros görbe). A kicserélődési felhasadás hatását legegyszerűbben úgy szemléltethetjük, hogy mind a normál mind a ferromágneses tartományokat ideális nanovezetéknek tekintjük. Ebben az esetben a pozitív kicserélődési energia ekvivalens azzal, mint ha egy nemmágneses tartományban keresztirányú $\setbox0\hbox{$\varepsilon_n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ energia megnőne, azaz a vezeték összeszűkülne, míg a negatív kicserélődési energiát úgy tekinthetjük, mint ha $\setbox0\hbox{$\varepsilon_n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ csökkenne, azaz a vezeték szélessége megnőne. Ezt az ekvivalens képet szemlélteti az 5/c. ábra az 5/b. ábrának megfelelő mágnesezettség-irányok mellett, illetve az 5/e ábra abban az esetben, ha a két mágneses réteg mágnesezettsége ellentétes irányba mutat.

Ebben az ekvivalens képben a fel és a le spinű elektronok is egy adiabatikus nanovezetéket látnak, így a legkisebb keresztmetszetben elférő nyitott csatornák száma fogja meghatározni a vezetőképességet. Jelöljük a nyitott csatornák számát $\setbox0\hbox{$M^0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-al a normál vezetékdarabban, $\setbox0\hbox{$M^\uparrow$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-el ha az elektronok spinje a többségi spinorientációnak felel meg (azaz $\setbox0\hbox{$\uparrow$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ spinű elektronok mennek $\setbox0\hbox{$\uparrow$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mágnesezettésű tartományban vagy $\setbox0\hbox{$\downarrow$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ elektronok mennek $\setbox0\hbox{$\downarrow$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tartományban), illetve $\setbox0\hbox{$M^\downarrow$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-vel, ha egy adott mágnesezettségű tartományban ellentétes spinű (kisebbségi spinorientációjú) elektronok haladnak. A mágneses rétegek azonos irányú (parallel, $\setbox0\hbox{$P$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) beállása esetén a fel spinű elektronokra $\setbox0\hbox{$M^0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, míg a le spinű elektronokra $\setbox0\hbox{$M^\downarrow$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a csatornák száma a legkisebb keresztmetszetben, azaz a a vezetőképesség $\setbox0\hbox{$G^\mathrm{P}=(e^2/h)(M^\downarrow+M^0)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ellentétes mágnesezettségű rétegek esetén (antiparallel, $\setbox0\hbox{$AP$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) mindkét spinirányra $\setbox0\hbox{$M^\downarrow$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ számú csatorna fér el a legkisebb keresztmetszetben, azaz a vezetőképesség $\setbox0\hbox{$G^\mathrm{AP}=2(e^2/h)M^\downarrow$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Így a relatív vezetőképességváltozás a két beállás között:

$\[ \frac{\Delta G}{G^\mathrm{P}}=\frac{G^\mathrm{P}-G^\mathrm{AP}}{G^\mathrm{P}}=\frac{M^0-M^\downarrow}{M^0+M^\downarrow}, \]$

ami mindig pozitív érték. Kis vezetőképesség változás esetén ($\setbox0\hbox{$\Delta G \ll G^\mathrm{P}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$), és feltételezve hogy $\setbox0\hbox{$M^0-M^\downarrow \approx M^\uparrow-M^0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

$\[ \frac{\Delta G}{G^\mathrm{P}}\approx=\frac{1}{2}\frac{M^\uparrow-M^\downarrow}{M^\uparrow+M^\downarrow} \approx \frac{P_c}{2} \]$

adódik. Ez az egyszerűsített, ideális kvantumvezetékeken alapuló kép természetesen nem írja le valósághűen a merevlemezben használt spinszelepek vezetési tulajdonságait.

Valósághűbb képet kapunk, ha a különböző tartományokban szórási folyamatokat is megengedünk. Ha a spin-szelep struktúra kisebb a fázisdiffúziós hossznál ($\setbox0\hbox{$l_\phi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$), akkor a két réteg közötti oda-visza szórásokat koherensen kell összeadni, így a teljes vezetőképesség interferencia-jelenségek finom részleteitől függ.

A fázisdiffúziós hossznál nagyobb (de a spindiffúziós hossznál kisebb) spin-szelep esetén viszont könnyen számolhatunk, mert elvész a koherencia, és így a sorosan kötött ellenállások egyszerűen összeadódnak. Hogy eredményeinket összehasonlíthassuk az ideális kvantumvezetékek modelljével, a számolást vezetőképességekkel végezzük: többségi spinorientáció esetén a vezetőképesség $\setbox0\hbox{$G^\uparrow$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, kisebbségi spinorientáció esetén pedig $\setbox0\hbox{$G^\downarrow$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A rétegek $\setbox0\hbox{$P$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ beállása esetén a teljes vezetőképesség $\setbox0\hbox{$G^{P}=G^\uparrow/2+G^\downarrow/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, míg $\setbox0\hbox{$AP$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ beállás esetén $\setbox0\hbox{$G^{AP}=2G^\uparrow G^\downarrow/(G^\uparrow+G^\downarrow)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, azaz a relatív vezetőképesség-változás:

$\[ \frac{\Delta G}{G^\mathrm{P}}=\left(\frac{G^\uparrow-G^\downarrow}{G^\uparrow+G^\downarrow}\right)^2=P_c^2. \]$

Látszik, hogy mindkét modellben a relatív vezetőképesség-változás a spinpolarizációval skálázódik, és tökéletes spinpolarizáció esetén $\setbox0\hbox{$M^\downarrow =0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$G^\downarrow = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, így mindkét modell esetén $\setbox0\hbox{$\frac{\Delta G}{G^\mathrm{P}}=1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ adódik, ami jól megközelíthető valós, jelentős spin-polarizációval rendelkező eszközökben.

Fájl:Head of disc.png

7. ábra. Forrás: Wikipedia